Problemas de vectores

PROBLEMAS DE VECTORES

CAPÍTULO 3

TEST

1.-

6.-

Dados los vectores mostrados: a=8

I.I.-

Al multi multi plicar plicar un es escalar calar positi positi vo por por un vec vector, tor, se obtiene obti ene otro vector en el mismo senti sentido do que el primero. II.- Al multiplica multipli carr un esca escalar lar nega negativo tivo por un vector, vector, se obtiene obt iene otro vector vector en senti sentido do contrario al primero. prim ero. III.III.- Un vec vector tor sólo puede ser ser des descompuesto compuesto en dos vectores.

b =3 a) b) c) 2.-

d) e)

b−a =5 a + 4b = 20

Dos vectores ti enen de módul mó dulos os 4 y 8, 8, ¿cuál de los l os vavalores enteros puede ser ser resultante result ante de ellos? ell os? a) b) c)

3.-

a + b = 11 a − b = 11 a − 2b = 2

3 13 10

d) e)

2 14

a) b) c) 7.-

Para dos vectores vector es perpendi perp endiculares, culares,señalar señalar verdadero ver dadero o fals f also. o. Módulo de su resultante resultante es es igual igual al módulo de su diferencia. II.II.- El módulo de la resultante resultante es mayor mayor que el el módulo de la difere dif erencia. ncia. III.III.- El módul o de uno de los vectores vectores esmayor mayor que el de su diferencia. 8.-

4.-

VF VFF VVV VFV

d) e)

FFV FVV

a) b) c) 5.-

VV VVV VFV VFF

d) e)

R= 2C

d)

9.-

FFV FVF

R= 3C

R = 10 N

c)

R= 2C

e)

|R| = 20

Su result resultante ante es es la suma suma de sus módulos. Su result resultante ante es es la diferencia diferencia de sus sus módulos. Su resultante resultante es es mayor mayor que su diferencia diferencia.. El módulo de su res resultante se se obtiene por el el teorema de Pitágoras. El módulo de su su resultante resultante puede puede s ser er la suma suma de sus módulos.

Respect especto o a los vectores vect ores mostrados, señalar lo correcto respecto respecto a su su resultante. result ante. a) b) c) d) e)

10.-

b)

FFF FVV

Para dos vectores ortogonales:

e)

Dadas las relaciones, relacio nes,¿cuál no n o correspond cor responde? e?

a)

d) e)

Respecto especto a dos vectores señalar señalar la alt ernati va incorrecta:

a) b) c) d)

Para dos vectores de igual módulo mód ulo que forman fo rman un ángulo gul o de 120°, marcar verdadero verd adero o falso: fal so: I.- Módulo de su resultante resultante es es igual al al de uno deellos. ellos. III.- Módulo de su su result resultan ante te esel doble de uno deellos. ellos. III.III.- El módulo módul o de su su result result ante ante es cero. cero.

VF VFF VVF VVV

a) Laresult result ante ante máxima esla suma suma de sus módulos. b) La res resultante mínima es es la diferencia diferencia de s sus us módulos. c) La res resultante sigue sigue la dirección dirección del del mayor mayor.. d) Lamayor mayor result resultante ante se se da cuando cuando están están en el el mismo senti sentido. do. e) La menor menor res resultante se se da cuando cuando tienen sentisentidos contrarios.

I.I.-

a) b) c)

Respecto a los vectores, señalar verdadero o falso:

10 N 20 N 30 N 0 N.A.

¿Qué podrás decir de la resultante de los vectores mostrados? a) b) c) d) e)

40 N 120 N 80 N 40 3 N 80 3 N

PROBLEMAS DE VECTORES

CAPÍTULO 3

PROBLEMAS RESUEL TOS TO S RESUELTO

 A 1.-

prob problem lemas as de ap apli lica cació ción n

Se tienen dos fuerzas iguales a 10 N cada una, como muesm uest ra la figura, fi gura, determin det erminar ar el el valor de su resultante. Solución:

b gb g

R= 102 + 102 + 2 10 10 10 cos60° Solución:

b gF H G 21I J K 

2.-

R= 100 + 100 + 2 100

Nos piden: pid en:

R= A + B + C ......... (1)

R= 10 3 N

De la figura:

A = B+ C

(2) en (1)

R= A + A ⇒ R= 2A

¿Cuál es la result ante ant e en N, de dos fuerza fuer zas s de 10 N de módul mód ulo o cada una,si forman for man entre ent re sí un ángul áng ulo o de 90°?

5.-

En la figura, “M” es punto medio del vector “ A ”, obtener el vector “ D ” en función de los vectores B y C.

Solución:

R= 102 + 102 R= 10 2 N

3.-

Encontrar ncontr ar la magnir r tud del d el vector vector A + B sabiendo que q ue A = 5 unidades, uni dades, B= 8 unidades. Solución:

r r Observamos que los vectores A y B son perpendiculares ent entre re si:

R= A + B R= A2 + B2

Solución:

t En el triángulo PQR:

C= A + B ......... (1) (1) A = C− B ....... t En el t riángulo ri ángulo MPQ: MPQ:

A + B = D ........ (2) 2 t (1) en (2):

R= 52 + 82 R= 89

C− B + B= D 2

R≈ 9, 4 uni dades D= 4.-

En el sistema mostrado,determinar det erminar el vector result result ante en términos t érminos del del vector A.

......... (2)

1 B+ C 2

e

j

PROBLEMAS DE VECTORES

B

CAPÍTULO 3

3.-

problemas complementarios 

Hallar el módulo del vector resultante, si: a=6 , b =8

1.-

El módulo mód ulo de d e la resultant resultante e de dos vectores perpendiculares es10 y cuando form f orman an 120°es 120°es 2 13 . Hallar el módulo del mayor de ellos. ellos. Solución:

ri mer caso: caso: cuando son perpendi perpendiculares culares t Primer 2

2

Solución:

2

2

Podemos observar que:

A + B = 102 A + B = 100 100 ........ (1)

b = d + e + f − a+ c ......... (1) (1) b + a = d + e + f + c ....... Pero piden: pi den:

egun do caso: caso: cuando forman fo rman 120° t Segundo 2

2

R= a + b + c + d + e + f ........ (2)

2

R = A + B + 2 A B cos120°    3    1    2    R

e2

=

13

j

2

Reemplaza eempl azando ndo (1) en (2):

F G 1I J  H  2K 

e

= 100 + 2 A B −

j e

R= a + b + b + a = 2 a + b

Nótese que a y b forman 90°

A B = 48 ....... ......... (2) (2)

F  H G

R = 2 a+ b = 2 t Finalment in alment e: de (1) y (2)

A =8 2.-

j

2

a +b

2

I  J K  ⇒

R = 2 62 + 102

R = 20

B=6

Dos vectores tienen sus módulos en la relación de 5 a 6. La result result ante de d e las dos forma form a 37°con 37°con el menor módul o. ¿Qué ángulo forman los vectores concurrentes?

4.-

En el para p aralelog lelogramo, ramo, determinar determ inar la l a result result ante del sissistema, en términos de los vectores A y B, (m y n son puntos medios).

Solución:

En el t riángulo riángu lo ABC tan 37° =

6 sen φ 5 + 6 cosφ

3 6 sen φ = 4 5 + 6 cosφ

b

Solución:

g b

g

3 5 + 6 cosφ = 4 6 sen φ

15 + 18 cos φ = 24 sen φ ⇒ 8sen φ − 6 cos φ = 5

Aprovechando los puntos medios, adicionamos vectores A /2 y B /2.

8 6 5 sen φ − cosφ = 10 10 10 cos 37° sen φ − sen 37° cos φ =

b

g

sen φ − 37° = Luego:

1 2

1 2

φ − 37° = 30°

⇒

φ = 67°

R= A+ B + C+ D ........ (1)

PROBLEMAS DE VECTORES

Del triángulo tri ángulo (I): (I): C= A +

CAPÍTULO 3

Del Del triángulo tri ángulo (II): (II):

B ........ (2) 2

D = B+

A ........ (3) 2

(2) y (3)en (1):

F  H G

R= A + B + A +

R=

5.-

I  F  J K  H G

B A + B+ 2 2

I  J K 

Solución:

5 A+ B 2

e

j

La figura fi gura muestra un trapecio, de vértices A, B, C, D, sabiendo que ”M” es punt o medio del segment segmento o AB, AB, determinar el módulo de la result result ante de los vectores a y b . BC= 7 ; AD = 13 Solución:

Descomponiendo el vector a:

Nos piden: pi den: a + b = ?

......... (1) (1) a = p + q ....... Descomponiendo el vector b : b = m + n ........ (2) (1) + (2): a + b = p + q + n + m ®

0 (de la figura)

a+ b = p + m

Descomponiendo a: a = p + q ........ (1)

Entonces: a + b = p + m

Descomponiendo b :

Según los l os datos y la figura: fi gura:

......... (2) (2) b = m + n .......

p = 10 ; m = 24 ; a + b = 26 Luego:

(1) + (2): a + b = p + m + q + n ®

2

2

2

a + b = p + m + 2 p m cos α

0 (de la figura)

a+ b = q + n

b gb g

262 = 102 + 24 2 + 2 10 10 24 cosα

Como q y n son paralelos:

cosα = 0 ⇒

a + b = q + n = 7 + 13

α = 90°

Finalmente: 64° + α + θ = 180°

a + b = 20

64° + 90° + θ = 180° ⇒ θ = 26° 6.-

Dado Dado el t rapecio MNPQ MNPQ mostrado en la fi gura, deterdet erminar el valor del d el ángulo “θ” para que la result result ante de sea de 26 unidades unid ades.. R es punt pu nto o medio med io de d e PQ PQ a y b sea (MQ = 10 u; NP = 24 u).

7.-

En el siguiente gráfico se muestra un triángulo con dos vectores vecto res en en su int erior, eri or, si AB= 2 y BC= 4. Det ermiermi nar el el módulo módu lo del vector res r esult ult ante. Además: Además: AM = MN = NC

PROBLEMAS DE VECTORES

CAPÍTULO 3

Solución:

Creamos vectores ”q” y“p” aprovechando lo los s puntos medios; y le damos nombre a los vectores mostrados ( A y B)

Solución:

Nos piden: pid en:

Descomponemos los vectores y observamos que el vector MA y NC se anulan.

R ⇒ R= A + B

De la figura: A + q = 2p ⇒ A = 2p − q B + p = 2q ⇒ B = 2q − p A + B= q + p Con lo l o cual: Pero:

R= p + q

R=L ; p =L ; q =L

Lo cual se reduce a : Luego: R2 = p 2 + q2 + 2pqcosα

b gb g

L2 = L2 + L2 + 2 L L cosα L2 = 2L2 + 2L2 cosα

cosα = −

Equivalente a:

1 ⇒ α = 120 120° 2

Con ello ell o la l a fig figura ura correcta es: es:

b gb g

R= 42 + 22 + 2 4 2 cos60° R= 4 + 16 + 8 R= 2 7

8.-

Hall Hallar ar la medida del ángulo ángul o “α” para que la result result ante de los l os vectores mostrados tenga t enga módulo mód ulo “L “ L”.

9.-

En la l a figura figu ra se se muest muest ra un hexágono regul regular, ar,determidet erminar el vector result result ante en término t érminos s del vect vect or “C” “C”.

PROBLEMAS DE VECTORES

CAPÍTULO 3

Solución:

10.-

Expresar el vector

x en función de los vectores r1 y r2 . G: baricentro M: punto medio

Aprovechando que qu e el hexágono hexágono es regul regular ar,, trasladatrasladaremos los vectores A y E a la part parte e inferior.

Solución:

Ilustrando

R= A + B + C + D + E En el triángulo (I):

En el triángulo (II):

C= B + E

C= D + A

Ordenando R:

e

Analizando Analizando el t riángulo CMA

j e

j

C= A + D + B+ E + C 123

123

C

C

r1 + r2 + 3x = r2 ⇒ 2 x=

R= 3C

x=

F  H G

1 r +r r2 − 1 2 3 2

I  J K 

1 r2 − r1 6

e

j

PROBLEMAS PROPUESTOS

 A 1.-

prob problem lemas as de ap apli lica cació ción n

Es posible aplicar a un cuerpo simultáneamente una fuerza de 6 kN y otr otra a de 8 kN de modo que produ p roduzc zcan an el mismo efecto de una sola fuerza. Determinar la magnit ud de dicha di cha fuerza (kN). (kN). Rpta.

2.-

En la figura mostrada determinar las compor F nentes delr vector (en (en r r módulo), F = d + e

10 Rpta.

Dos fuerzas de módul mó dulo o “F” “F” forman for man un ángulo ángul o de 120°, determinar su resultante. Rpta.

3.-

4.-

F

Si el vector C posee un módulo mód ulo de d e 5 unidades. unidades. Hallar el módulo de la resultante del sistema mostrado.

Rpta. 10 u

Fx = 9 Fy = 6

5.-

r r

r

La figura fi gura muestra tr es vector or rer r tres r vectores A , B y C. El vect sultante de: B + C− A , es el indicado in dicado en la l a figura figu ra por:

PROBLEMAS DE VECTORES

CAPÍTULO 3

B 1.-

(A)

(B)

(C)

problemas complementarios  r Hallar el módulo de “ P” para que la resultante del sistema sist ema sea sea una fuerza hori zontal de d e 280 N. N.

Rpta.

2.-

(D) 6.-

(E)

Determinar la magnitud del vector resultante si cada cuadrado tiene ti ene de lado 10 m.

3.-

k 3

Un jugador de fútbol está corriendo a una velocidad de 3 m/s, hacia el nort e. Después Después de una violent viol enta a colicoli sión con ot ro fut bolis boli st a,tiene ti ene una velocidad de 4 m/s, hacia el este. ¿C ¿Cuál de d e los vectores vect ores representa el cambio de su velocidad? velocid ad? ¿porqué? porqu é?

Sea el vector vect or A = (4 ; -3). Determinar Determ inar un vector unit un it ario en la dirección de A. Rpta.

8.-

Determinar en la figura que se muestra, el el ánguáng ulo “α” para que la result ante quede q uede en el eje “x”. “x”. Rpta. α = 30°

Rpta. 10 2 m

7.-

P = 56 10 N

4$ 3$ i− j 5 5

Rpta.

eAj

Si: A = 2 $j ; B= 4 $j − 3 $i ; C= 2 $i Calcular: A + B + C Rpta.

9.-

La magnit magni t ud de d e la resultante result ante de d e dos fuerzas varía desdesde un valor mínimo míni mo de d e 3 hast hast a un máximo de 12,a medida que varía el ángulo comprendido entre las fuerzas. zas.Determinar Determi nar el valor de d e la mayor de d e las fuerzas. fuerzas. Rpta.

10.-

37 4.-

7,5 7,5

Hall Hallar ar la result result ante del sistema sistema vectorial vectori al (módulo). (módul o). Rpta.

R=0

En el siguiente con  junto de vectores. ¿Cómo deben deben ser las l as componentes del vector D, si la resultante tant e del sistema sistema de vectores es cero? además: A = 25; C = 30 y θ = 217 217° °. Rpta. (5; -4)

5.-

Los vectores A y B forman un ángulo “ α”. Hal Hallar lar el ánán $ $ $ $ gulo entre −A y −B si: A = 3 i + 4 j ; B= i + j Rpta.

8°

PROBLEMAS DE VECTORES

6.-

Hallar Hallar el módulo módul o de la l a result resultante ante del sistema mos mostr trado. ado.

CAPÍTULO 3

8.-

Sea un vector A = (6 ; 8) en las coordenadas xy, determine mi ne las nuevas nuevas coor coordenadas denadas del vector vect or A en un sistema de coordenadas x’y’,que resulta result a de girar el sistema xy anterior un ángulo θ = 16°en sentido antihorario. ¿Qué ocurre con el módul mó dulo? o? Rpta.

9.-

Rpta. 7.-

b g

A = 8 ; 6 ; A = 10

Hallar: q – p; sabien sabiendo do que q ue en el paralelog p aralelogramo ramo ABCD mostrado se cumple: AC = 5AE ; BC= 3BF y además: EF= pAD pAD + qAB.

10 u

Calcular la expresión expresión vectorial vectori al del vector DE para que la result result ante de DB, FG y DE (suma) sea sea nulo. nul o.

Rpta.

10.-

2/3

Hallar el módulo de la resultante del sistema.

Rpta:  45,5 u

Rpta. 2b $i