Problemas de Resistencia de Materiales

MATERIAL DIDÁCTICO INGENIERÍA

PROBLEMAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES: Nivel básico

Eduardo Martínez de Pisón Ascacíbar

18

PROBLEMAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES Nivel básico

Ingeniería Agrícola

MATERIAL DIDÁCTICO Ingenierías nº 18

Eduardo Martínez de Pisón Ascacibar

PROBLEMAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES Nivel básico

Ingeniería Agrícola

UNIVERSIDAD DE LA RIOJA SERVICIO DE PUBLICACIONES 2011

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© El autor © Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2011 publicaciones.unirioja.es E-mail: [email protected] ISBN: 978-84-694-0677-3

PRESENTACIÓN

Problemas de Resistencia de Materiales, Nivel Básico, reúne un conjunto de ejercicios resueltos que completa el libro de teoría, Resistencia de Materiales, Nivel Básico, que publicó la Universidad de la Rioja en el año 1999. En primer lugar es justo pedir disculpas por las erratas que el lector haya podido encontrar en el libro de teoría y las que pueda encontrar en este. Espero que puedan ser corregidas en una segunda edición y de las cuales, como su autor, me hago totalmente responsable. Espero que el lector sepa disculparme y comprenda que escribir un libro de estas características y que una sola persona se ocupe de su entera elaboración dificulta en gran medida el resultado del mismo. Ya en el libro de teoría, se explicó la problemática de esta asignatura en los nuevos planes de estudio de las ingenierías. Se resume en una carga docente insuficiente lo que obliga a sintetizar los contenidos y prescindir de muchos de ellos que pueden ser importantes para la formación del estudiante. En Problemas de Resistencia de Materiales, Nivel Básico, se presentan ejercicios resueltos dirigidos al diseño elemental de vigas y de forma práctica en acero según la NBE-EA-95, Norma Básica de la Edificación “Estructuras de acero en edificación”. También aparecen diseños en otros metales y hormigón. Sin embargo, en el caso del hormigón se plantea algún ejercicio sin aplicar los conceptos tecnológicos de la normativa actual la EHE, “Instrucción de Hormigón Estructural”, por lo que son meramente ilustrativos desde el punto de vista de la Resistencia de Materiales y se le asumen unas propiedades al hormigón que si bien se pueden asemejar en algún caso a su comportamiento no corresponden a la realidad tecnológica. La razón de esto último es que el diseño en estructura de hormigón es excesivamente complejo para poder ilustrarlo convenientemente en estas pocas lecciones. Los problemas presentados siguen las lecciones del libro de teoría y corresponden a los contenidos de la asignatura, por ello no me extenderé más en desglosar los objetivos y contenidos remitiéndome a la publicación mencionada. Todas las lecciones cuentan con sus ejercicios salvo la primera que es de repaso y la última, correspondiente al potencial interno que se aplica en el resto de lecciones y se introdujo como complemento. Además, cada lección de ejercicios incluye una presentación con la formulación básica de la lección. En esta formulación se han corregido algunos errores detectados en la teoría y en alguna lección se han incluido figuras que faltaban en la edición del libro de teoría, e incluso se han ampliado algunos contenidos. Respecto a los ejercicios presentados, aquellas lecciones que se consideran más relevantes cuentan con un mayor número de problemas, o bien, aunque sean pocos son completos y ampliamente desarrollados. Las figuras que aparecen en los ejercicios se han numerado con un primer dígito referente a la lección, un segundo al ejercicio. Si el ejercicio cuenta con varias figuras se distinguen añadiendo a la numeración una letra.

I

Presentación.

También se añaden los anexos con tablas, incluyendo las tablas de perfiles que recoge la NBE EA 95. Lo mismo que se dijo en la presentación del libro de teoría, que estas lecciones se dedican a los estudiantes con el ánimo de que se esfuercen y trabajen para ser unos buenos profesionales.

Logroño Noviembre del año 2000

Eduardo Martínez de Pisón Ascacíbar

II

CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

LECCIÓN 1 Concepto y Situación de la Resistencia de Materiales Introducción: Esta lección es introductoria y no incluye ejercicios. Objetivos de la lección: Situar la Resistencia de Materiales como disciplina dentro de la Mecánica. Repaso de conceptos elementales de la Física. Contenidos de los problemas: Repaso de las unidades en los sistemas: SI (Sistema Internacional) y en el SM (Sistema Métrico), que se aplicarán en la asignatura en las lecciones sucesivas. Problemas resueltos: No se han incluido al ser una lección de repaso. Fórmulas básicas: Segunda ley de Newton →

→

F = m·a

Ley de la Gravitación Universal. →

F=G

m1·m 2 ∧ r r2

1

LECCIÓN 2 Fundamentos de Resistencia de Materiales Objetivos de la lección: Conseguir que el estudiante comprenda y maneje correctamente los conceptos y contenidos de la lección que son la base de la asignatura. Contenidos de los problemas: Introducir los conceptos básicos de la Resistencia de Materiales como son la introducción al concepto de sólido deformable, distinción entre acciones y esfuerzos, resistencia mecánica y rigidez, modelo del sólido elástico, planteamiento de las ecuaciones de equilibrio elástico y obtención de los esfuerzos, análisis de las reacciones en vigas e introducción al concepto de isostatismo e hiperestatismo en vigas. Problemas resueltos: Los problemas se pueden separar en varios grupos: i) Cálculo de esfuerzos en secciones concretas de vigas planas de vital importancia, dado que la mayoría de los casos que se estudian en la asignatura y muchos de los casos reales se pueden estudiar como problemas planos. Además de los contenidos señalados, el estudiante se familiariza con el estudio de acciones de tipo puntual, uniformemente repartido y triangular. ii) Cálculo de esfuerzos en secciones concretas de elementos tridimensionales con cargas sencillas para no complicar excesivamente los ejercicios. iii) Determinación de esfuerzos en estructuras planas sencillas en determinadas secciones por aplicación del método de las secciones que en estructuras se denomina método de Ritter Formulación básica: Segunda ley de Newton →

åF

→

= m· a G EXT

→

å MG

→

= IG ·α EXT

Ecuaciones de equilibrio estático →

åF

→

=0 EXT

→

åM

→

=0

G EXT

desarrolladas

åF |

x EXT

=0

åF |

y EXT

=0

åF |

z EXT

=0

3

Ejercicios propuestos

åM |

Gx EXT

=0

Ejercicios de Resistencia de Materiales Básica

åM |

Gy EXT

=0

åM |

Gz EXT

=0

Ecuaciones de equilibrio elástico →

→

åF = 0 →

→

å MG = 0

se diferencian de las de equilibrio estático en que las primeras solo incluyen acciones y las incógnitas suelen ser las reacciones, mientras que en estas por aplicación del método de las secciones incluyen los esfuerzos que suelen ser las incógnitas del problema. NOTA: En el cálculo de esfuerzos los signos pueden salir cambiados dependiendo de la elección del tramo, o del criterio de signos empleados, ejes usados, etc. En temas sucesivos se interpretarán los valores y signos de los esfuerzos. Esta nota es extensible a todos los ejercicios y problemas de esta lección. Aclaraciones al método de Ritter

El método de Ritter es el método de las secciones aplicado a estructuras. Se puede aplicar a cualquier estructura obteniendo los esfuerzos en las vigas que interese. Sin embargo, no siempre permite obtener todos los esfuerzos de la estructura. En esta lección se aplica a estructuras planas con disposiciones triangulares de barras y cargas puntuales en los nudos, de forma que los momentos en los mismos se desprecian pudiéndose considerar que la estructura trabaja con nudos articulados, y las vigas con esfuerzo normal exclusivamente. Si al aplicar el método se aísla un nudo, se podrá resolver cuando confluyan dos barras, y si confluyen más cuando solo se tengan dos incógnitas planteando el equilibrio de fuerzas en el nudo. Se puede cortar la estructura aislando más de un nudo, siempre que las incógnitas sean tres y aplicando las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos.

4

Ejercicios de Resistencia de Materiales

Ejercicios resueltos

3000 N/m

4000 N 1250 N·m A

B

2m

2m

2,3 m

2m

Figura 2.1a

1.- Para la viga cargada y apoyada según la figura 2.1a. Determinar los esfuerzos en las secciones con posiciones x = 1, x = 4, x = 5 y x = 7. Tomar el origen de x el extremo A y ejes x horizontal, y vertical. En la figura 2.1b se ha representado un diagrama de sólido libre de la viga. La acción del pasador en A se representa mediante las componentes de fuerza HA y VA. 4000 N

6000 N

1250 N m HA A VA

2m

B VB

2,3 m 7,3 m Figura 2.1b

La acción del apoyo en B está representada por la fuerza VB, la cual actúa perpendicularmente a la superficie horizontal en B. Para determinar las reacciones la carga distribuida de 3000 N/m puede representarse en el diagrama de sólido libre por una resultante ficticia R que sea estáticamente equivalente, y que se sitúa en la mitad de la carga distribuida. Así pues, R = A = 3000·2 = 6000 N a una distancia x = 6,3 + ½ (2) = 7,3 m. La resultante R debería dibujarse a trazos en el diagrama a fin de indicar que puede utilizarse solamente para calcular los efectos exteriores (reacciones). Para determinar los esfuerzos deberá utilizarse la carga distribuida real. La viga está sometida a un sistema coplanario de fuerzas paralelas al eje y; por tanto, HA = 0. De las dos ecuaciones de equilibrio restantes se pueden despejar VA y VB.

5

Ejercicios resueltos

Ejercicios de Resistencia de Materiales

Determinación de VB: →

åM

→

= 0 ; → VB ·8,3 + 1250 – 4000·4,3 – 6000·7,3 = 0 → VB = + 7199N; VB = A

7199 N ↑

Determinación de VA: →

→

å M B = 0 ; → -VA ·8,3 + 1250 + 4000·4 + 6000·1 = 0 →

åM

→

= 0 ; → VA = + 2800N; A

VA = 2800 N ↑

Alternativamente (o como comprobación) : å Fy =0; → VA – 4000 – 6000 +7200 = 0 → VA = +2801N; → VA = 2800 N ↑

Resueltas las reacciones se pueden evaluar los esfuerzos. Se aplica el método de las secciones VA

M1

VA

1250 N m

4000 N

T1

M3 T3

x=5

x=1 VA

4000 N 1250 N m

T2 M2

VA

1250 N m

3000 N/m

M4 T4

x = 6,3 x=4 x=7 Figura 2.1c

En x = 1: →

→

åF=0→ →

åM

6

→

= 0→ S

VA + T1 = 0 → T1 = - VA = - 2800 N VA ·x1 – M1 = 0 → M1 = x1·VA = 1m· 2800N → M1 = 2800 N·m

Ejercicios de Resistencia de Materiales

Ejercicios resueltos

En x = 4 : →

→

å F = 0 → VA →

+ T2 = 0 → T2 = - VA = - 2800 N

→

å M = 0 → VA x2 – 1250 – M2 = 0 → M2 = VA x2 – 1250 → M2 = 4·2800 – S

1250 = M2 = 9950 N·m En x = 5 : →

→

å F = 0 → VA →

åM

+ T3 – 4000 = 0 → T3 = 4000 – VA = 1200 N

→

= = 0 → VA ·x3 – 1250 – (5 – 4,3 )·4000 – M3= 0 → S

M3 = VA·x3 – 1250 – 0,7·4000 = 9950 N·m En x = 7 : →

→

å F = 0 → VA – 4000 – (7 – 6,3)·3000 + T4 = 0 VA – 4000 – 2100 + T4 = 0 → T4 = - VA + 4000 + 2100 → T4 = 3300 N NOTA: En el cálculo de esfuerzos los signos pueden salir cambiados dependiendo de la elección del tramo, o del criterio de signos empleado, ejes usados, etc. En temas sucesivos se interpretará los valores y signos de los esfuerzos. Esta nota es extensible a todos los ejercicios y problemas de esta lección.

6 kN/m

3 kN/m

B

A

3m

3m

Figura 2.2a

2.- Una viga está cargada y apoyada según se indica en la figura 2.2a. Determinar los esfuerzos en las secciones con posiciones x = 1, x = 2, x = 3 y x = 4. Tomar el origen de x el extremo A, ejes x horizontal, y vertical.

7

Ejercicios resueltos

Ejercicios de Resistencia de Materiales

En la figura 2.2b se ha representado un diagrama de sólido libre de la viga. La acción que soporta del pasador en A se representa por las componentes de fuerza HA y VA. La acción del apoyo en B está representada por la fuerza VB, la cual actúa perpendicularmente a la superficie horizontal en B. Por ahora, en el diagrama de sólido libre, las cargas distribuidas pueden representarse por resultantes ficticias R1, R2 y R3 cuyas rectas soporte (las que tienen dirección de la carga y pasan por el centro de masas) se hallan a distancias x1, x2 y x3 respectivamente, del apoyo de la izquierda. R1 = ½ ·6·3 = 9 kN;

x1 = (2/3)·3 = 2 m

R2 = ½·3·3 = 4,50 kN;

x2 = 3 + (1/3)·3 = 4 m

R3 = 3·3 = 9 kN;

x3 = 3 + ½ (3) = 4,5 m

La viga está sometida a un sistema coplanario de fuerzas paralelas al eje y; por lo tanto, HA = 0. De las dos ecuaciones de equilibrio restantes se pueden despejar VA y VB. 4,50 kN

y

9 kN

9 kN

HA A

B

VA

VB

2m 4m 4,5 m

Figura 2.2b

Determinación de VB: →

→

å M A = 0 ; → VB ·6 - 9·2 - 4,50·4 – 9·4,5 = 0 VB = 12,75 kN ↑

VB = + 12,75 kN Determinación de VA: →

åM

→

= 0 ; → - VA·6 + 9·4 + 4,5·2 + 9·1,5 = 0 B

VA = + 9,75 kN

VA = 9,75 kN↑

Alternativamente (o como comprobación): å Fy = 0:

VA – 9 – 4,5 – 9 + 12,75 = 0

VA = + 9,75 kN 8

VA = 9,75 kN↑

x

Ejercicios de Resistencia de Materiales

Ejercicios resueltos

Antes de plantear los esfuerzos es conveniente obtener el valor de la carga trapezoidal para cualquier posición. Como en el futuro se tomarán las x a partir de un extremo, casi siempre A, pues lo hacemos así. La carga distribuida triangular entre 0