Problemas de Prog_Lineal

Ing. Norman Vásquez Quispe Programación Lineal

1

InvOpe:

Programación lineal 

Es un modelo maemáico diseccionado a resolver pro!lemas de opimización o ma"imización# $ minimización de acividades indusriales# económicas# miliar% ec. Maximizar una función

&a"imizar una 'unción es deerminar el valor del dominio que (ace que la 'unción enga el ma$or valor. Minimizar una función

&inimizar una 'unción es deerminar el valor del dominio que (ace que la 'unción enga el menor valor. valor. La programación lineal iene el siguiene algorimo en raamieno $ solución del un pro!lema. 1. Loc oca aliza lizacción ión del del pro! pro!le lema ma en el eno enorn rno o rea reall )eal )e aliza izarr mode modelo loss ma mae emá mái ico coss de pro! pro!lem lemas as de vida vida real real es un are are $  requiere de !asane (a!ilidad la cual se logra poco a poco mediane el análisis de muc(os pro!lemas# dedicación $ so!re odo paciencia. *. Pla Planea neami mien eno o o des descripc ripció ión n de del pro pro!l !lem ema. a. Enunci Enunciado ado del pro!lem pro!lema a (ec(o (ec(o en 'orma 'orma apropi apropiada ada recogi recogiend endo o odas odas las varia!les conrola!les que es+n inerviniendo en el pro!lema. ,. Loca Lo cali liza zaci ción ón de las las var varia ia!l !les es de deci decisi sión ón del del pro pro!l !lem ema. a. Es 'undamenal dar una de-nición precisa a cada una de las varia!les de decisión que inervienen en el modelo# $a que el planeamieno del pro!lema depende de esas. . /eerminar la la 'u 'unción o! o!0eivo. Es una 'unción lineal que se planea en 'unción de las varia!les de decisión# $  en el ma$or de los casos corresponde a una 'unción de uilidad# cu$o o!0eivo es ma"imizar o minimizar segn las condiciones enconradas en el pro!lema. 2. Loca Lo caliz lizar ar las las rres esr ric icci cion ones es a o o!s !serv ervar ar el la soluc solució ión n del del pro! pro!lem lema. a. Lineales. Esán de-nidas por ecuaciones o inecuaciones e indican • que la varia!les de /ecisión solo le esán permiidas omar cieros valores dados en el pro!lema. Lógicas. Lógicas. O de no negaividad negaividad indican indican que las varia!les varia!les oman solo solo • valores posiivos. Ejemplo 1.

En el enorno de la empresa P3PO 4:3# dedicada en una de sus l5neas a la 'a!ricación de dos modelos de !icicleas de: paseo $ mona6a se (a localizado el siguiene pro!lema. Esa!lecer el nmero de !icicleas de cada modelo a 'a!ricar para o!ener la má"ima uilidad# sa!iendo que los maeriales de $ acero $ aluminio de los que esán 'a!ricadas las !icicleas# ingresan: 1 7g de acero $ , 7g. de aluminio en las del ipo paseo $ * 7g de cada meal en la de ipo mona6a# si se cuena con 89 7gs de acero $ 1*9 7g de aluminio $ los precios de vena de cada !iciclea de ipo paseo $ mona6a son de: . *99 $ . 129 respecivamene. Solución Localización del problema en el entorno concreto . 1.

;ipo+icamene el enunciado del pro!lema da a conocer como $ en donde se (a deecado el pro!lema por el especialisa# invesigador o perio *. Pla Planea neami mien eno oss o des descripc ripció ión n del del pro! pro!le lema ma..

Ing. Norman Vásquez Quispe Programación Lineal

*

InvOpe:

El pro!lema se nos presena $a planeado de modo al que se aprecia el o!0eivo de la empresa. ,. Localización de varia!les que inervienen en el pro!lema. Paseo &ona6a 1 7g * 7g , 7g * 7g . *99 . 129

&aeria prima  3cero  3luminio Precio vena

de

/isponi!ilidad de  maeria prima 89 7g 1*9 7g

La a!la ad0una (a sido ela!orada a parir de los daos consignados en el  pro!lema $ (an sido dispuesos convenienemene de modo que 'acilia la inerpreación del ?pro!lema. 4ea: .

": el nmero de !icicleas del modelo paseo a 'a!ricar  @: el nmero de !icicleas modelo mona6a a 'a!ricar.

/eerminar la 'unción o!0eivo 4ea

A B '="#$> la 'unción o!0eivo Como quiera que la uilidad esa en 'unción del precio de vena#

enonces  A B *99" D 129$   A: de!e o!ener el valor má"imo Qu+ valores de!en adquirir " + $ para (acer que A adquiera el valor  má"imoF 2.

Localizar las resricciones a o!servar el la solución del pro!lema •

•

)esricciones de disponi!ilidad de maeria prima = la nica > " D *$ G 89 =1> ," D *$ G 1*9 = * > )esricciones lógicas el nmero de !icicleas a 'a!ricar de cada modelo de!e ser ma$or o igual a cero.  " H 9 =,>  $ H 9 => En resumen el pro!lema queda 'ormulado de la siguiene manera: Maximizar

Z = 200x + 150y

Sujeto a:

x + 2y 3x + 2y x y

< < > >

80 120 0 0

(1) (2) (3) (4)

En la solución del pro!lema que consise en esa!lecer los valores de las varia!les de decisión de modo que (agan opimo =&á"imo> en ese caso a la 'unción o!0eivo A B ' =" # $> e"isen dos m+odos: ra-co $ anal5ico =&+odo 4imple">. 4e esudiara el m+odo grá-co Método Graco:

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,

InvOpe:

El m+odo gra-co es aplica!le a pro!lemas de programación lineal# donde nicamene inervienen dos varia!les. Pasos para resoler el problema por el método !raco:

1. ra-car en un 4isema Coordenado Caresiano cada una de las resricciones con el -n de o!ener la región 'aci!le. "e!ión #actible: Con0uno de odos los punos del plano caresiano# limiado por el pol5gono conve"o resulado de la inersección de la gra-ca de cada una de las inecuaciones u ecuaciones de las resricciones del pro!lema. *. deerminar las coordenadas =" # $> de cada v+rice de la región 'aci!le ,. Evaluar la 'unción o!0eivo en cada uno de los v+rices de la región 'aci!le. $ota: Los valores !uscados de " + $ que (acen má"imo la 'unción A es alguna de las coordenadas de los v+rices de la región 'aci!le. 4. 4elección del valor opimo: el &a$or si la 'unción o!0eivo es ma"imizar $  el menor si la 'unción o!0eivo es minimizar.

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

InvOpe:

Los valores de " + $ que (acen que el valor de la 'unción A adquiera su má"imo valor son:  J B *9 # $ B ,9   A B 82999 Luego la empresa P3PO 43 de!e 'a!ricar *9 !icicleas de paseo $ ,9 !icicleas de mona6a. Problema %:

Kna compa65a produce dos ipos de ar5culos# manuales $ el+cricos. Cada uno requiere para su 'a!ricación del uso de res maquinas# 3# < $ C. la a!la ad0una da la In'ormación relacionada con la 'a!ricación de esos ar5culos. Cada ariculo manual requiere del uso de la maquina 3 durane * (oras# la maquina < por una (ora $ de la C ora (ora. Kn ariculo el+crico requiere 1 (ora de la maquina 3# * (oras de la < $ 1 de la C. además# supongamos que el nmero má"imo de (oras disponi!les por mes para el uso de las maquinas 3# < $ C es de 189# 19 $ 199 (oras# respecivamene. La uilidad por cada ar5culo manual es de   $ por  cada ar5culo el+crico es de . 4i la compa65a vende odos sus ar5culos que  puede producir# Cuános ar5culos de cada ipo de!e producir con el -n de ma"imizar su uilidad mensualF Solución:

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2

InvOpe:

/aos e"ra5dos del enunciado del pro!lema dispuesos en una mariz de modo al que 'acilie la inerpreación $ solución del pro!lema.  3r5culos = Mipo >

 3 * (r 1 (r 189

&anual El+crico ;oras disponi!les 1&

C 1 (r 1 (r 199

Kilidad   unidad  

'enición de las ariables de decisión .

4ea: %&

&áquinas < 1 (r * (r 19

": El nmero de ar5culos manuales a producir en un mes  $: El nmero de ar5culos el+cricos a producir en un mes

'eterminación de la función objetio .

4ea A B '="#$> unción o!0eivo &a"imizar: A B " D $   (&

Localización de las restricciones

/isponi!ilidad de iempo de la maquina 3 *" D $ ≤   189 =1> /isponi!ilidad de iempo de la maquina <  " D *$ ≤   19 =*> /isponi!ilidad de iempo de la maquina C  " D $ ≤   199 =,> )esricciones lógicas  3demás "  9 $  9

=> =2>

)esumiendo el pro!lema Maximizar Sujeto a:

Z = 4x + 6y 2x + y x + 2y x + y x  0

Solución Gr)ca

≤ ≤ ≤

180 160 100

 La grá-ca de: "  9 +  primer cuadrane  La grá-ca de la resricción  La grá-ca de la resricción  La grá-ca de la resricción

(1) (2) (3) (4)

$  9 reducen la re!ión factible a solo el = 1 ># unión de los punos = R9 # 9 > # = 9 # 189 > = * ># unión de los punos = 19 # 9 > # = 9 # 89 > = , ># unión de los punos = 199 # 9 > # = 9 # 199 >

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

InvOpe:

Las coordenadas de los v+rices del pol5gono conve"o que consiu$e la región 'aci!le son  3 = 9 # 9 > # < = 9 # 89 > # C = 9 # 9 > # / = 89 # *9 > # E = R9 # 9 >

Las coordenadas de C = 9 # 9 > se o!ienen de la inersección de las ecuaciones  " D *$ B 19   " D *$ B 19    " D $ B 199  "  $ B 199     S $ B 9 " B 9 Las coordenadas de / = 89 # *9 > se o!ienen de la inersección de las ecuaciones *" D $ B 189   *" D $ B 189   " D $ B 199  "  $ B 199   S " B 89 $ B *9 Evaluación de la 'unción o!0eivo en los v+rices de la región 'aci!le  A B " D $  A=3>:  A=:  A=C>:  A=/>:  A=E>:

A A A A A

B B B B B

unción ópima =9> D =9>  = 9 > D  = 89 >  = 9 > D  = 9 >  = 89 > D  = *9 >  = R9 > D  = 9 >

         

A A A A A

B B B B B

9 89 2*9 9 ,9

Los valores de " B 9 # $ B 9 (acen el valor de la 'unción A má"imo A B 2*9 Por lo que de!e producir 9 ar5culos manuales $ 9 ar5culos el+cricos con lo que se o!endrá la má"ima uilidad.

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T

InvOpe:

Ejemplo (

Kna 'á!rica de mue!les produce dos ipos de escriorios. Mipo I $ Mipo II# en los deparamenos de core# armado $ aca!ado. Las (oras que se requiere cada ipo de escriorio en cada deparameno# (oras disponi!les por deparameno $ la uilidad por cada ipo de escriorio se dan en la a!la ad0una. &odelos Mipo I Mipo II ;rs. /isponi!les

/EP3)M3&ENMO4 Core 3rmado 3ca!ado 1.9 ,.9 *.9 1.9 *.9 ,.9 89 **9 *19

Kilidad   unidad . 2 . 

Solución:

1. /e-nición de las varia!les de decisión 4ea: ": Nmero de escriorios del ipo I $: Nmero de escriorios del ipo II *. unción O!0eivo. &a"imizar A B 2" D $ ,. )esricciones: )esricciones deparamenos de: core# armado $ aca!ado Moal de (oras en el deparameno de core es: " D $ # pero (a$ disponi!les solo 89 (oras para ese deparameno. Luego la resricción para ese deparameno es  " D $ G 89 /e igual manera se planea la resricción para el deparameno de armado ," D *$ G **9  3(ora la resricción del deparameno de aca!ado es: *" D ,$ G *19 )esricciones lógicas. Las varia!les de decisión " 1 # " * son no negaivas =)esricción lógica>  " H 9 # $ H 9 En resumen el pro!lema queda 'ormulado de la siguiene manera Maximizar

Z = 5x + 6y

!u"#i$" o%jeti&o

Sujeto a:

x + y 3x + 2y 2x + 3y  x > 0 ,y

departamento de corte departamento de armado departamento de acabado restricciones lóica

< 80 < 220 < 210 >0

4olución gra-ca: En el 4CC se muesra la región 'aci!le o!enida por la inersección de La gra-ca de cada una de las desigualdades de las resricciones# as5 como las coordenadas de los v+rices del pol5gono conve"o de la región 'aci!le en cu$os ángulos se evaluará la 'unción o!0eivo.

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8

InvOpe:

x2

x1 + y2 = 80 ' 2x1 + 3y2  = 210 

  *

x1



Coordenadas de los v+rices de la región 'aci!le  3 = 9 # 9 > < = T9 # 192 > C = ,9 # 29 > / = 9 # *9 >  Evaluación de la 'unción o!0eivo  A  3  A <  A C  A /

B B B B

2 =9 >D = 9> 2 = 9 > D  = T9 > 2 = ,9 > D  = 29 > 2 =9 > D  = *9 >

       

 A  3 B  A  'unción o!0eivo &inimizar A B 8" D $  

,.

Localización de las resricciones: Los nurimenos de ipo 3 no de!en ser menores de 19 ," D *$  189 =1> Los nurimenos de ipo < no de!en ser menores de *999 2" D *$  189 =*> Los nurimenos de ipo C no de!en ser menores de 89 " D *$  189 =,> )esricciones lógicas  "  9 =>  $  9 =2> )esumiendo el pro!lema: Mi"imizar

Z = 8x + 6y

Sujeto a:

3x + 2y  5x + 2y  x + 2y  x  y 

160 200 80 0 0

(1) (2) (3) (4) (5)

Solución Gr)ca

 La grá-ca de: "  9 # $  9 reducen la región 'aci!le a solo el  primer cuadrane  La grá-ca de la resricción = 1 ># unión de los punos e"remos = 19, # 9 > # = 9 # 89 >  La grá-ca de la resricción = * ># unión de los punos e"remos = 9 # 9 > # = 9 # 199 >  La grá-ca de la resricción = , ># unión de los punos e"remos: = 89 # 9 > # =  9 # 9 > /e esa manera las coordenadas de los v+rices de la región 'aci!le =región ilimiada> son:  3 = 89 # 9 > # < = 9 # *9 > # C = *9 # 29 > # / =9 # 199 > Las coordenadas de C = *9 # 29 > se o!ienen de la inersección de las ecuaciones 2" D *$ B *99   2" D *$ B *99   ," D *$ B 19  ,"  *$ B  19   S

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19

InvOpe:

*" B 9

 $ B 29

" B *9

Las coordenadas de < = 9 # *9 > se o!ienen de la inersección de las ecuaciones ," D *$ B 19   ," D *$ B 19     " D *$ B 89    "  *$ B  89   S *" B 89 " B 9  $ B *9

Evaluando la 'unción opima en cada uno de los v+rices se o!iene. &a"imizar:  A=3>:  A=:  A=C>:  A=/>:

       

A B 8" D $  A  A  A  A

B B B B

8 = 89 > D  = 9 > 8 = 9 > D  = *9 > 8 = *9 > D  = 29 > 8 =9 > D  = 199 >

unción o!0eivo        

A A A A

B B B B

9 9 9 99

Luego los valores de " + $ que (acen m5nimo el valor de A son: " B 9 # $  B *9 Por lo que de!e comprar 9 !olsas del produco crece rápido $ *9 !olsas del  produco crece 'ácil.

Problemas propuestos de pro!ramación lineal  Problema 1:

En la empresa P3PO 4.3. 4e producen dos ar5culos 3 $ < en dos deparamenos I  $ II# donde e"ise un numero de (oras de mano de (ora de mano de o!ras

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InvOpe:

disponi!les por semana en cada deparameno# con un margen de uilidad de 4. 2 por unidad de 3 $ .  por unidad de Cuánas (oras no se uilizan en cada deparamenoF Problema (:

Kna compa65a 'armac+uica necesia res producos qu5micos 3# # el modelo 3 $ el . Kn envase de  0ugo de pina $ naran0a requiere de 8 onzas de cada uno de los concenrados de esas 'ruas. Para un envase de 0ugo de naran0a $ pláano se requiere de 1* onzas de concenrado de 0ugo de naran0a $  onzas de concenrado de  pulpa de pláano. Por limo# para un envase de 0ugo de pina# naran0a $   pláano# se requiere de  onzas de concenrado de 0ugo de pina# 8 onzas de concenrado de 0ugo de naran0a $ de  onzas de pulpa de pláano. La compa65a (a decidido asignar 1 999 onzas de concenrado de 0ugo de pina# * 999 onzas de concenrado de 0ugo de naran0a $ 2999 onzas de concenrado de pulpa de pláano para arrancar su producción. La compa65a (a esipulado am!i+n que la producción de 0ugo de pina# naran0a $ pláano no de!e e"ceder de 899 envases. La ganancia en un envases de 0ugo de pina  $ naran0a es de  1.99# la ganancia en un envase de 0ugo de naran0a $ pláano es de 9.89 $ la ganancia en un envase de 0ugo de pina# naran0a $ pláano es de 9.R9. Para alcanzar una ganancia má"ima# cuános envases de cada mezcla de!e producir la compa65aF *. P)O/KCCION P3)3 KMILI/3/ &3JI&3 Kn 'a!ricane de 0uguees prepara un  programa de producción para dos nuevos 0uguees# mu6ecas $ soldados# con !ase en la in'ormación. Concerniene a sus iempos de producción dados en la a!la que sigue: &u6ecas 4oldados

&aquina 3 * (r 1(r

&aquina < 1(r 1(r

3ca!ado 1(r   ,(r  

Por e0emplo# cada mu6eca requiere de * (oras en la máquina 3. Las (oras disponi!les empleadas por semana son: para operación de la máquina 3# T9 (oras% para la *R. CO4MO /E P)O/KCCION Kna compa65a qu5mica esá dise6ando una plana  para producir dos ipos de pol5meros# P1# $ P*. La plana de!e ener una capacidad de producción de al menos 199 unidades de P1# $ *9 unidades de P* cada dia. E"isen dos posi!les dise6os para las cámaras principales de reacción que se incluirán en ]a plana. Cada cámara de ipo 3 cuesa 99#999 $ es capaz de producir 19 unidades de P1 $ *9 unidades de P* por  d5a% el ipo < es un dise6o más económico# cuesa ,99#999 $ es capaz de  producir  unidades de P1# $ ,9 unidades de P* por d5a. 3 causa de los cosos de operación# es necesario ener al menos  cámaras de cada ipo en la  plana. Cuánas cámaras de cada ipo de!en incluirse para minimizar el coso de consrucción $ sais'acer el programa de producción requeridoF =4uponga que e"ise un coso m5nimo.> (3& CONM)OL /E CONM3&IN3CION 3 causa de las reglamenaciones 'ederales

nuevas so!re la conaminación. Kna compa65a qu5mica (a inroducido en sus  planas un nuevo $ más caro proceso para complemenar o reemplazar un  proceso anerior para la producción de un produco qu5mico en paricular. E1  proceso anerior descarga 12 gramos de dió"ido de azu're $ 9 gramos de  par5culas a la amós'era por cada liro de produco qu5mico producido. El nuevo proceso descarga 2 gramos de dió"ido de azu're $ *9 gramos de  par5culas a la amós'era por cada liro producido. La compa65a o!iene una uilidad de ,9 $ *9 cenavos por liro en los procesos anerior $ nuevo# respecivamene. 4[ el go!ierno le permie a la plana descargar no más de 19#299 gramos de dió"ido de azu're# $ no más de ,9#999 gramos de  par5culas a la amós'era cada d5a# cuános liros de produco qu5mico de!en  producirse diariamene# por cada uno de los procesos# para ma"imizar la uilidad diariaF Cuál es la uilidad diariaF

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1R

InvOpe:

Ejercicios:

1. &a": P B 19" D 1*$  4u0eo a:  " D $ G 9  "  *$ H 9 "#$ H 9 *. &a": P B "  $  4u0eo a: $ G T ,"  $ G , " D $ H 2 "#$ H 9

,.

&a": P B "  19$  4u0eo a:  "  $ H  *"  $ H * "#$ H 9

.

&in: P B *" D $  4u0eo a: ," D $ H , " D ,$ H  " D *$ H * "#$ H 9

2. &in: P B 19" D *$  4u0eo a:  " D *$ H   "  *$ H  "#$ H 9 . &in: P B 8" D 1$  4u0eo a: *" D $ H 8 19" D $ H * "#$ H 9