Problemas de Mecanismos

January 24, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A

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RELACIÓN DE PROBLEMAS DE CINEMÁTICA DE MECANISMOS Asignatura: Teoría de Máquinas Curso: Tercero

Antonio Javier Nieto Quijorna Febrero 2007

CONTENIDOS

1. GRADOS GRADOS DE LIBERTAD LIBERTAD……… ……………… ……………… ………………… …………….1 ….1 2. ANÁLISIS ANÁLISIS DE DE POSICIÓN POSICIÓN.. Métodos Métodos gráficos gráficos……………… ………………..9 ..9 3. ANÁLISIS ANÁLISIS DE DE POSICIÓN POSICIÓN.. Métodos Métodos analítico analíticos……………. s……………..32 .32 4. ANÁLISIS ANÁLISIS DE DE VELOCID VELOCIDAD. AD. Métodos gráficos……………4 gráficos……………433 5. ANÁLISIS ANÁLISIS DE DE VELOCIDA VELOCIDAD. D. Métodos Métodos analíticos analíticos………….. …………..56 56 6. ANÁLISIS ANÁLISIS DE DE ACELERA ACELERACIÓN. CIÓN. Métodos gráficos…………6 gráficos…………677 7. ANÁLISIS ANÁLISIS DE ACELERACIÓ ACELERACIÓN. N. Métodos Métodos analíticos……….. analíticos………..81 81

Cap´ıtulo 1

GRADOS DE LIBERTAD.

1.1. 1. 1.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un mecanismo de guiado de la válvula alvula (barra 9) de un motor de combustión on interna. Identificar las barras que componen dicho mecanismo as as´´ı como los pares cinem´ aticas. aticas. Determinar ta tambi´ mbiéen n el número umero de grados de libertad.

Resoluci´ o on n

Resolvemos el problema con la ecuacióon n de grados de libertad de Kutzbach para un mecanismo con movimiento plano: n = 3 (nb 1) 2 p1 p2

·

− − · −

Siendo n b el numero de barras, p Siendo n barras, p 1 los pares cinemáaticos ticos que admiten un grado de libertad y y p p 2 los pares cinem´ aticos aticos que admiten dos grados de libertad. Numeramos las barras como se muestra en la figura: 1

5

8

6

1 7 1

4

9

3

2

número umero de barras: 9 pares cinemáticos aticos de tipo 1: 10(7 cil´ındricos ındricos y 3 prismáticos) aticos) pares cinemáaticos ticos de tipo 2: 1 (entre las piezas 6 y 7) Aplicando estos valores a la fórmula ormula para obtener el siguiente resultado:

n = 3 (9

1.2. 1. 2.

− 1) − 2 · 10 − 1 = 3

PR PROB OBLE LEMA MA..

La figura muestra un mecanismo para captación on de imágenes agenes mediante cámaras amaras CCD (cuerpo rojo). Identificar el n´ umero umero de barras del mecanismo, pares cinemáticos aticos y grados de libertad.

Resoluci´ o on n

2

4

5

3

2

1

número umero de barras: 5 pares cinemáaticos ticos de tipo 1: 4 (entre 1 y 2, 2 y 3, 3 y 4, 4 y 5) pares cinemáticos aticos de tipo 2: 0

n = 3 (nb

·

− 1) − 2 · p1 − p2

n = 3 (5

· − 1) − 2 · 4 − 0 = 4

1.3. 1. 3.

PR PROB OBLE LEMA MA..

La figura muestra un brazo robotizado para captación on de objetos objetos median mediante te pinzas pinzas.. Ident Identific ificar ar el número umero de barras del mecanismo, as´ı como los pares cinem´ aticos aticos y grados de libertad.

Resoluci´ o on n

3

4 3 5

2

1

Aplicamos la expresióon n de Kutzbach para el caso de tres dimensiones:

n = 6 (nb

·

− 1) − 5 · p1 − 4 · p2 − 3 · p3 − 2 · p4 − p5

número umero de barras: 5 pares cinemáaticos ticos de tipo 1: 3 (entre 3 y 4, 4 y 5(un por cada brazo de la pinza)) pares cinemáticos aticos de tipo 2: 0 pares cinemáticos aticos de tipo 3: 1 (entre 2 y 3) pares cinemáticos aticos de tipo 4: 0

pares cinemáticos aticos de tipo 5: 0

n = 6 (5

· − 1) − 5 · 3 − 4 · 0 − 3 · 1 − 2 · 0 − 0 = 6

1.4. 1. 4.

PR PROB OBLE LEMA MA..

La figura muestra una plataforma elevadora con un mecanismo de tijera ayudado por un actuador hidráulico. aulico. Determinar el número umero de barras, pares cinemáticos aticos y grados de libertad. 4

Resoluci´ o on n

Una primera posibilidad es hacer la siguiente configuración on de barras:

número umero de barras: 12 pares cinemáticos aticos de tipo 1:

13 de rotación o n (entre 1 y 2, 2 y 3, 2 y 10, 2 y 5, 3 y 4, 3 y 12, 4 y 5, 4 y 7, 5 y 6, 5 y 9, 6 y 7, 6 y 11, 7 y 8) 3 pares prismáticos aticos (entre 1 y 12, 8 y 11, 9 y 10)

pares cinemáticos aticos de tipo 2: 0

n = 3 (nb

·

− 1) − 2 · p1 − p2 5

n = 3 (12

− 1) − 2 · 16 − 0 = 1

Otra forma de resolver este problema es con la siguiente configuración on de barras:

número umero de barras: 10 pares cinemáticos aticos de tipo 1:

11 de rotacióon n (entre 1 y 2, 2 y 3, 2 y 10, 2 y 5, 3 y 4, 4 y 5, 4 y 7, 5 y 6, 5 y 9, 6 y 7, 7 y 8) 2 pares prismáticos aticos (entre 9 y 10)

pares cinemáaticos ticos de tipo 2: 2(entre 3 y 11, 8 y 6)

n = 3 (nb

·

n = 3 (10

1.5. 1. 5.

− 1) − 2 · p1 − p2

− 1) − 2 · 13 − 2 = 1

PR PROB OBLE LEMA MA..

La figura muestra el mecanismo de suspensióon n de un veh veh´´ıculo monoplaza. Representar el esquema de dicha suspensión on tanto en planta (mecanismo de dirección) on) como en alzado (mecanismo de suspensión). on). Determinar en cada caso en número umero de grados de libertad. 6

Resoluci´ o on n

Representamos en primer lugar el esquema de la suspensión: on:

número umero de barras: 6 pares cinemáticos aticos de tipo 1: 7 (6 de revolución on y 1 prismático(entre atico(entre 5 y 6)) pares cinemáticos aticos de tipo 2: 0 7

n = 3 (nb

− 1) − 2 · p1 − p2 n = 3 (6 − 1) − 2 · 7 − 0 = 1 ·

En segundo lugar hacemos el esquema de la direccióon: n:

número umero de barras: 4 pares cinemáticos aticos de tipo 1: 4 (3 de revolución on y 1 prismático(entre atico(entre 1 y 4)) pares cinemáticos aticos de tipo 2: 0

n = 3 (nb

− 1) − 2 · p1 − p2

n = 3 (4

1)

·

2 4

− − · −

8

0=1

Cap´ıtulo 2

´ ´ N. M´ ANALISIS DE POSICIO etodo gr´ afico.

2.1. 2. 1.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un mecanismo de cuatro barras. Realizar el análisis alisis de posición on para seis posiciones distintas de la barra de entrada, para los siguientes valores de las barras: i) L 1 = 2m, L 2 = 3m, L 3 = 4m, L 4 = 4m. ii) ii) L 1 = 3m, L 2 = 2m, L 3 = 4m, L 4 = 4m. iii) iii) L 1 = 4m, L 2 = 4m, L 3 = 3m, L 4 = 2m.

i)

ii)

r2 r4

r3

r1

Resoluci´ o on n

i) L 1 = 2m, L 2 = 3m, L 3 = 4m, L 4 = 4m. θe = 0rad 9

iii)

r4 r3

r2 r1

θe = π/ π/66rad

r3 r4

r2

r1

θe = π/ π/22rad

r3

r4 r2

r1

θe = 3π/4 π/ 4rad 10

r3

r4

r2

r1

θe = πrad = πrad

r3

r4

r2

r1

θe = 3π/2 π/ 2rad

r4

r1

r3

r2

ii) ii) L 1 = 3m, L 2 = 2m, L 3 = 4m, L 4 = 4m. π/66rad θe = π/ 11

r3 r4

r2

r1

θe = π/ π/44rad

r3

r4 r2

r1

θe = π/ π/33rad

r 3

r4 r2

r1

θe = 0,416 416πrad πrad 12

r3

r4 r2

r1

θe = π/ π/22rad

r3

r4 r2

r1

θe = 0,65 65πrad πrad

r3

r4

r2

r1

iii) iii) L 1 = 4m, L 2 = 4m, L 3 = 3m, L 4 = 2m. θe = 0,0389 0389πrad πrad 13

r2

r1

r4 r3

θe = π/ π/66rad

r2

r3 r1

r4

θe = π/ π/22rad

r3

r2 r4 r1

θe = 3π/4 π/ 4rad 14

r3

r4 r2 r1

θe = πrad = πrad

r3

r4 r1

r2

θe = 4π/3 π/ 3rad

r4

r1

r3 r2

2.2. 2. 2.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un mecanismo biela-manivela. Determinar la posición on de las barras, imponiendo 6 posiciones a la barra de entrada. Datos: L1 = 2; L2 = 4. 15

Resoluci´ o on n

θe = 0rad

θe = π/ π/33rad

θe = 2π/3 π/ 3rad 16

θe = πrad = πrad

θe = 4π/3 π/ 3rad

θe = 5π/3 π/ 3rad

17

2.3. 2. 3.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un mecanismo de retorno ráapido. pido. Realizar el análisis alisis de posición on para seis posiciones distintas de la barra de entrada. Las dimensiones son barra de entrada 2 m, distancia entre centros 4 metros, barra 3 8 m.

Resoluci´ o on n

θe = 0rad

r2

r4 r1

r3

18

θe = π/ π/66rad

r2

r4 r3 r1

θe = π/ π/22rad

r2

r4 r3

r1

θe = 3π/4 π/ 4rad

r2 r4

r3

r1

19

θe = πrad = πrad

r2 r4

r3 r1

θe = 3π/2 π/ 2rad

r4

r2 r1

r3

2.4. 2. 4.

PR PROB OBLE LEMA MA..

La figura muestra una leva excéntrica. entrica. Realizar el análisis alisis de posición on gráfico afico para 6 posiciones de la barra de entrada. Datos: R1 = 2; L1 = 5; R2 = 4; L2 = 4; O1A = 2; L3 = 5. 20

Resoluci´ o on n

θe = 0rad

θe = π/ π/33rad

θe = 2π/3 π/ 3rad

21

θe = πrad = πrad

θe = 4π/3 π/ 3rad

θe = 5π/3 π/ 3rad

2.5. 2. 5.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un yugo inglés. es. Realizar el análisis alisis de posición on para seis posiciones distintas de la barra de entrada. Las dimensiones son O son OP P  = = 4 m. 22

P

O A

Resoluci´ o on n

−→ −→ −→

Definimos los vectores r1 , r2 y r3 de la siguiente forma: r1 = AO r2 = OP r3 = P A

−→ −→ −→ −−→ → − −→

θe = 0rad

r2

r1

θe = π/ π/66rad 23

r3 = 0

r2 r3 r1

θe = π/ π/22rad

r3

r2 r 1= 0

θe = 3π/4 π/ 4rad

r3

r2 r1

θe = πrad = πrad 24

r3 = 0 r2

r1

θe = 3π/2 π/ 2rad

r 1= 0 r2

2.6. 2. 6.

r3

PR PROB OBLE LEMA MA..

Determinar gráficamente aficamente la posición on de las barras del mecanismo que se muestra en la figura. Para ello, introduce 6 posiciones a la barra de entrada Datos: L1 = 2; O1O2 = 8; L2 = 2; AC = 8; L3= 6; BC = 8; L4 = 4; L5 = 1.

Resoluci´ o on n

25

θe = 0rad

θe = π/ π/33rad

θe = 2π/3 π/ 3rad

θe = πrad = πrad

θe = 4π/3 π/ 3rad

26

θe = 5π/3 π/ 3rad

Resoluci´ o on n

2.7. 2. 7.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra una rueda escéntrica entrica con una gu´ıa ıa por p or donde se desplaza el bulón on de barra 2. Realizar el análisis alisis de posicióon n para cuatro posiciones distintas de la barra de entrada. La longitud de la barra 2 es de 3 m, del centro de la rueda al punto sobre el que gira 2 m, y desde ese punto al centro de giro de la barra 2 hay 4 m.

r3

r2 r1

Resoluci´ o on n

θe = 0,06 06πrad πrad 27

r2

r3 r1

θe = π/ π/66rad

r2

r3 r1

θe = π/ π/44rad

r3

r2 r1

θe = 0,48 48πrad πrad 28

r2

r3

r1

2.8. 2. 8.

PR PROB OBLE LEMA MA..

La figura muestra la rueda de ginebra. Determinar su posición on gráficamente, aficamente, dando 6 posiciones a la barra de entrada. Datos: L1 = 3; O2A = 2.

Resoluci´ o on n

θe = 0rad

θe = π/ π/33rad 29

θe = 2π/3 π/ 3rad

θe = πrad = πrad

θe = 4π/3 π/ 3rad

θe = 5π/3 π/ 3rad 30

31

Cap´ıtulo 3

´ ´ N. M´ ANALISIS DE POSICIO etodo anal´ıtico.

3.1. 3. 1.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un mecanismo de cuatro barras. Realizar el análisis de posición on para un angulo ángulo de entrada θ entrada θ 2 = 0rad rad y y las siguientes longitudes de las barras: L1 = 2m, L 2 = 3m, L 3 = 4m, L 4 = 4m.

Resoluci´ o on n

Si definimos un vector r k como r k = ρk eiθk el análisis alisis de posición on consiste en conocer los los rk y los θk , con k con k = 1, 2,... ,..... Para ello emplearemos razones y teoremas trigonométricos etricos entre otras cosas.

·

32

Los ρ k son datos al igual que θ 2 , por lo que nuestro problema consiste en hallar los angulos: θ Los ρ ángulos: θ 1 , θ 3 y θ 4 . Es obvio que θ que θ 1 = 0, t y unicamente tenemos que calcular θ calcular θ 3 y θ4 . Para obtener θ obtener θ 3 vamos a emplear el teorema del coseno:

∀

cos θ3 =

9 + 4 16 2 3 2

− ⇒ θ3 = 104, 104,47o = 0, 0 ,58 · πrad · ·

De igual forma hacemos para calcular θ calcular θ 4 :

cos α =

θ4 = 180o

4 + 16 9 2 2 4

− ⇒ α = 46 46,,56o · ·

− 46 46,,56o = 133, 133,43o = 0,74 · πrad

4 3

Q

3

2

3.2. 3. 2.

a

Q

4

4

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un mecanismo biela-manivela. Realizar el análisis alisis de posición on de d e fform ormaa an anal´ al´ıtica ıtic a o si el angulo ángulo de entrada es θ es θ 2 = 0 . Datos: L Datos: L11 = 2 m, L m, L22 = 4 m 33

Resoluci´ o on n

El resultado es muy sencillo e inmediato. Las longitudes de los vectores 2 y 3 coinciden con las longitudes de las barras 1 y 2 respectivamente y la del vector 3 la podemos calcular por el teorema de Pit´ agoras. agoras. El áangulo ngulo del vector 2 es dato, 0o , y el del vector 1 se puede observar en el gráfico afico que es 90o , mientras que el del vector 3 es 180o α siendo siendo α α el áangulo ngulo que forman los vectores 2 y 3. Este áangulo ngulo lo podemos calcular por el teorema del coseno. La solución on es la siguiente:

−

34

√ − ⇒

ρ21 + ρ + ρ22 = ρ = ρ 23 ρ1 = 42 22 = 3, 3 ,46 ρ +ρ −ρ −12 α = 60o cos α = 2·ρ ·ρ = 4+16 12 θ3 = 180o α = 120o

⇒

2 2

2 3

2

2 1

3

−

θ1 = 90o ; θ2 = 0o ; θ3 = 120o . ρ1 = 3,46 46m m; ρ2 = 2m; ρ3 = 4m.

3.3. 3. 3.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un mecanismo de retorno rápido. apido. Realizar el análisis alisis de posición on anal ana l´ıticame ıtic amente nte para un angulo ángulo de la barra de entrada de θ de θ 2 = 0o . Las dimensiones son barra de entrada 2 m, distancia entre centros 4 metros, barra 3 8 m.

Resoluci´ o on n

θ2 = 0o , θ 1 = 270o , θ 3 =?, θ 4 =?. ρ2 = 2m, ρ 1 = 4, ρ 3 =?, ρ 4 = 8. 35

r

2

r

4

r

r

3

1

a

Q =Q

3

4

2 3

−ρ

ρ3 = 4,47 47m m cos cos 90 = 4+16 16 4 +ρ −2 α = 26 26,,57o cos α = 8ρ θ3 = 90o 26 26,,57o = 63 63,,42o 2

2 3

2

3

−

3.4. 3. 4.

⇒ ⇒

PR PROB OBLE LEMA MA..

La figura muestra una leva excéntrica. entrica. Realizar el análisis alisis de posicióon n de forma anal´ anal´ıtica para un o ángulo de entrada igual a 0 . Datos: R angulo Datos: R11 = 2m; L L11 = 5m; R2 R 2 = 4m; L2 L 2 = 4m; O O11A = 2m; L3 L 3 = 5m.

Resoluci´ o on n

36

ρ ρ

ρ

4

3

ρ

6

ρ ρ 5

2

1

Seg´ u un n hemos definido los vectores conocemos los siguientes datos: módulos odulos de los vectores 1, 2, 3, 5 y 6 y los ángulos angulos de los vectores 1, 2 y 5. El módulo odulo del vector 6 es la suma de los radios de las dos ruedas. Utilizamos los vectores 5 y 6 para definir al 4, ya que r4 = r5 + r6

−→ −→ −→

Definimos un nuevo vector de módulo a odulo a y áangulo α ngulo α 1 para poder obtener los ángulos angulos que nos faltan. 9 + 16 = a = a2 a = 5 9+25−16 α1 = ar = ar cos 30 = 53 53,,13o 25+16−9 α2 = ar = ar cos 40 = 38 38,,86o

⇒

a

α2

ρ

α1

ρ

2

1

−36 73,,73o β 1 = ar cos 25+25 40 = 73 −25 53,,13o β 2 = ar cos 36+25 60 = 53 −25 53,,13o β 3 = ar cos 36+25 60 = 53 θ6 = β = β 3 + α + α1 = 106, 106,26 θ3 = 360o 90o β 1 + α + α2 = 159, 159,41o

−

−

β ρ

ρ β

3

2

1

6

β

3

a

ϕ = 180o θ6 = 73 73,,74o −ρ cos ϕ = 0,2799 = 4+36 ρ4 = 5,768 24 4+33,28−36 θ4 = ar = ar cos 23,072 = 86 86,,819o

−

2 4

⇒

ρ

ρ 4

6

θ4 ϕ θ6

ρ

5

37

Soluci´ on: on: θ1 = 0o , θ 2 = 90o , θ 3 = 159, 159,4o ,θ4 = 86 86,,819o,θ5 = 0o ,θ6 = 106, 106,2o . ρ1 = 5m, ρ 2 = 4m 4 m, ρ 3 = 55m m, ρ 4 = 5,768 768m m, ρ 5 = 2m, ρ 6 = 6m.

3.5. 3. 5.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un yugo inglés. es. Realizar el análisis alisis de posicióon n de manera anal´ anal´ıtica para un o ángulo de la barra de entrada θ angulo entrada θ 2 = 30 . Las dimensiones son O son OP P  = = 4 m.

P

O A

Resoluci´ o on n

θ2 = 30o, θ1 = 180o, θ3 = 270o . ρ2 = 4m, ρ 1 =?, ρ =?, ρ 3 =?.

r

2

Q

2

r

1

38

r

3

cos θ2 = ρρ sin θ2 = ρρ

1 2

3 2

3.6. 3. 6.

√

ρ1

⇒ 23 = 4 ⇒ ρ1 = 3,464 464m m 1 ⇒ 2 = 4 ⇒ ρ3 = 2m ρ3

PR PROB OBLE LEMA MA..

Realizar el análisis alisis de posición on de forma anal´ıtica ıtica del mecanismo que se muestra en la figura para un o ángulo de la barra de entrada de 0 . Datos: L angulo Datos: L11 = 2m, O O11O2 = 8m 8 m, L2 L 2 = 2m, AC AC    = 8m, L3 = 6m,BC  = = 8m, L4 = 4m, 4 m, L5 = 1m.

Resoluci´ o on n

Tenemos enemos que determin determinar ar 9 longit longitude udess y 9 angulos ángulos de los vectores dibujados en el gráfico.De afico.De las longitudes conocemos 6, y de los vectores 4, con lo que tenemos 18 - 10 = 8 incógnitas. ognitas. Para resolverlas planteamos 8 ecuaciones escalares linealmente independientes. =?m, =?m, =?m. ρ1 = 2m, ρ2 = 2m, ρ3 =? m, ρ4 =? m, ρ5 = 6m, ρ6 = 4m, ρ7 = 6m, ρ8 = 1m, ρ9 =? m. θ1 = 0o , θ2 =? o , θ3 =? o , θ4 =? o , θ5 =? o , θ6 =? o , θ7 = 0o , θ8 = 90o , θ9 = 0o .

−

Planteamos las siguientes ecuaciones vectoriales: 39

−→r 1 + −→ → → r3 = − r8 + − r9



2 + + ρ ρ3 cos θ3 = ρ 9 ρ3 sin θ3 = 1

−



(1) (2)

−→r 2 + −→ → r4 = − r3

2cos θ2 + ρ + ρ4 cos θ4 = ρ 3 cos θ3 2sin θ2 + ρ + ρ4 sin θ4 = ρ 3 sin θ3

 −→  −→

−→ −→ −→



r 7 = r2 + r5 + r6 6 = 2 co coss θ2 + 6 cos cos θ5 + 4 co coss θ6 0 = 2 si sin n θ2 + 6 si sin n θ5 + 4 si sin n θ6

−→

−→ −→ −→

r 8 + r 9 = r1 + r2 + r4 ρ9 = 2 + 2 cos cos θ2 + ρ + ρ4 cos θ4 1 = 2 si sin n θ2 + ρ + ρ4 sin θ4

−



(3) (4)



(5) (6)

(7) (8)

Resolviendo el sistema con paciencia obtenemos lo siguiente:

ρ1 = 2m, ρ2 = 2m, ρ3 = 8m, ρ4 = 8m, ρ5 = 6m, ρ6 = 4m, ρ7 = 6m, ρ8 = 1m, ρ9 = 9,91 91m. m. o o o o o o o θ1 = 0 , θ2 = 75, 75,63 , θ3 = 173, 173,71 , θ4 = 157, 157,47 , θ5 = 20 20,,08 , θ6 = 88 88,,12 , θ7 = 0 , θ8 = 90o , θ9 = 0o .

−

3.7. 3. 7.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra una rueda escéntrica entrica con una gu´ıa ıa por p or donde se desplaza el bulón on de barra 2. Realizar el análisis alisis de posicióon n de manera anal´ anal´ıtica siendo el angulo ángulo de la barra de entrada θ entrada θ 2 = 30o . La longitud de la barra 2 es de 3 m, del centro de la rueda al punto sobre el que gira 2 m, y desde ese punto al centro de giro de la barra 2 hay 4 m. 40

r3

r2 r1

Resoluci´ o on n

θ2 = 30o, θ1 = 0o , θ 3 =?. ρ2 = 3m, ρ 1 = 4, ρ 3 =?.

ρ

ρ

2

3

θ

α

2

ρ

1

√

+ρ22 ρ23 3 = 16+9 ρ23 2 24 2ρ1 ρ2 2,0532 +42 32 α = cos α = 4 2 2,053 = 0,6828 o o o θ3 = 180 46 46,,93 = 133, 133,068 2 1

−

cos θ2 = ρ

··

−

3.8. 3. 8.

−

⇒



⇒

−

⇒ ρ3 = 2,053 053m m 46 46,,93o

PR PROB OBLE LEMA MA..

La figura muestra la rueda de ginebra. Determinar el análisis de posicióon n de forma anal´ıtica ıtica cuando o el angulo ángulo de entrada es 0 .Datos: .Datos: L L11 = 3m; O2 O 2A = 2m. 41

Resoluci´ o on n

α es el ángulo angulo que forman los vectores 1 y 2. ρ2 = 42 + 92 = 3,6055 + ρ23 = ρ 22 ρ21 + ρ ρ +ρ −ρ −9 α = 72 72,,25o cos α = 2·ρ ·ρ = 4+914,394 ,42 θ2 = (180o α) = 107, 107,74o 2 1

⇒ 2 2

1

2 3

√

2

−

⇒

θ1 = 0o ; θ2 = 107, 107,74o ; θ3 = 90o . ρ1 = 2m; ρ2 = 3,6055 6055m m; ρ3 = 3m.

42

Cap´ıtulo 4

´ ´ RELACION 4. ANALISIS DE VELOCIDAD DAD. M´ etodo Gr´ afico.

4.1. 4. 1.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un mecanismo de cuatro barras. Para un ángulo de entrada θ entrada θ2 = 0o y velocidad de esta barra ω barra ω 2 = 1rad/s rad/s calcular calcular la velocidad de la barra 4 (barra de salida). Las dimensiones son: L1 = 2m, L 2 = 3m, L 3 = 4m, L 4 = 4m.

Resoluci´ o on n

Para realizar el análisis alisis de velocidad de forma anal´ıtica ıtica tenemos que tener claras dos ecuaciones. La primera es que un punto A que gira alrededor de un centro centro O con un movimiento circular tiene una velocidad igual a: 43

−→ −→ −−→

V A = ω xAB

Y la segunda es la ecuacióon n de velocidad de movimiento relativo:

−→ −→ −→ −→

V A = V o + ω xOA OA + + v

−→

−→

Siendo V 0 la velocidad del origen de los ejes de coordenadas intermedios, ω la velocidad angular de los ejes intermedios,OA OA es es la distancia entre el punto A y A y el origen de los ejes intermedios y  y v la velocidad relativa del punto A vista desde los ejes intermedios.

−→

Una vez explicadas estas fórmulas ormulas solo tenemos que aplicarlas con criterio y resolver las incógnitas ognitas que se nos plantean. En este caso vamos a calcular la velocidad del punto punto   A, que es el punto de unión o n de la barra 2 y la barra 3, de la que conocemos la dirección on y el módulo, odulo, y tambi´ en en vamos a calcular la velocidad del punto B (punto de unión on de la barra 3 y 4) con la ecuación on de movimiento circular, en la que conoceremos la direcci´ on, on, y la ecuacióon n de movimiento relativo, en la que conocemos la dirección on de la parte angular, y la dirección on de la velocidad V B . Para la ecuación on del movimiento movimiento relativo vamos vamos a colocar los ejes intermedios intermedios con centro centro en A y girando

−→

con la barra 3. Según un estas indicaciones tenemos lo siguiente: Y

x

B

O 1

A

O 2

X

     y

−→ ω→2x−O−1→A V = − −→ ω→4x−O−2→B V = − A

B

−→ −→ V = V + B

A

 

−−→

 −→ −−→ · −−→ 

direccion : direccion :   perpendicularaO1 A MoDulo : : ω2 xO1 A = 1 2 = 2 MoDulo direccion : direccion :   perpendicularaO2B MoDulo :? MoDulo :?

−→ −→3x−AB ω −−→

direccion: perpendicularaAB

  



44

−−→

direccion : direccion :   perpendicularaO2B MoDulo :? MoDulo :?



ω

3

VA

x AB

VB

Una vez dibujamos las direcciones y módulos odulos que tenemos obtenemos un triángulo angulo con las tres velocidades. Para obtener el valor numérico erico de la velocidad velo cidad solo so lo tenemos tenemo s que hacer h acer una escala. escala . As´ As´ı por ejemplo, ejemplo , si la velocidad de entrada de la barra 2 en el dibujo mide 16.79 mm y en la realidad 1 m/s, con medir lo que vale en el papel la velocidad V B ya sabremos su verdadero valor. La medida en el papel es 33.35mm y en la realidad:

−→

33,,35 · 2 = 2, 2 ,016 016m/s m/s | V −→ |= 33 16 16,,79 B

4.2. 4. 2.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un mecanismo biela-manivela. Determinar la velocidad del pistón si tenemos un angulo ángulo de entrada θ entrada θ 2 = 45o y una velocidad de entrada ω entrada ω 2 = 1rad/s rad/s.. Datos: L Datos: L11 = 2m, L2 = 4m. 4 m.

Resoluci´ o on n

45

V A = ω 2 r2 V B = V A + v + v

×

ω3

× r3 = 0

De De V V conocemos su dirección on y modulo (como ω (como ω 2 × r2 son perpendiculares, se puede decir que V que V × r2 ). De De V su dirección on (dirección on vertical). De v De v su dirección on (paralela (paralela AB).

A =

A

ω2

B

Midiendo y multiplicando por el factor de escala obtenemos:

|V | = 1,95 95 m/s m/s |ω3| = 0,0 ,379 379 rad/s rad/s P P

4.3. 4. 3.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un mecanismo de retorno rápido. apido. Calcul Calcular ar la velocidad velocidad del punto punto B (pertene(perteneo ciente a la barra 4 (barra larga)) para un ángulo angulo de la barra de entrada de de θ θ 2 = 30 y ω 2 = 1rad/s rad/s.. Las dimensiones son barra de entrada 2 m, distancia entre centros 4 metros, barra 3 8 m.

46

Resoluci´ o on n

A es un punto de la barra 2 (barra de entrada), y B pertenece a la barra 4. El eje de coordenadas fijo lo situamos en O en O 1 (centro de rotacióon n de la barra 2) y el eje intermedio con centro en A y rotando con la barra 4.

Y

  x     y

X

Calculamos la velocidad de A:

−V → = −ω→2x−O−1→A = −V → = 1,999 999m/s m/s A

  A

     0 0

x

2cos30 2sin30

1

0

  

−→k −→i −→ j

=

0

0

1

2 ccoos 3300 2 ssiin 30 30

0

    =

−1

1,73205 0

 

modulo

⊥ O−−1→A

Calculamos la velocidad de B:

−→ ω→4x−O−2→B V = − B



−−→

direccion : direccion : perpendicular perpendicularO2 B MoDulo :? MoDulo :?



Y también en con la fórmula ormula del movimiento relativo seg´ un un los ejes definidos al principio del problema:

−→ = V −→ + −→v −→ −→ −→ ω−→4x−AB −AB −→=0 0

V B = V A + v +

A

yaque

   47

−→

− −−−→

−→

El vector V B va a ser perpendicular a O2 B por la ecuación on anterior y el v va a ser paralelo al eje x del sistema intermedio, ya que el movimiento relativo que describe para alguien situado en (x,y) es de rectas paralelas a a ox ox.. Del vector V A conocemos módulo odulo y dirección. on. Aplicamos las fórmulas ormulas al dibujo y obtenemos:

−→

v

VA

VB

Aplicamos el factor de escala al dibujo y obtenemos que la velocidad del punto B es:

19,,48 · 2 = 1, 1 ,459 459m/s m/s | V −→ |= 19 26 26,,7 B

4.4. 4. 4.

PR PROB OBLE LEMA MA..

La figura muestra muestra una leva leva exc exc´éentrica. ntrica. Calcular la velocidad velocidad del punto punto B de forma gráfica afica para un o ángulo de entrada igual a 0 y ω 2 = 1rad/s angulo rad/s.. Datos: R Datos: R11 = 2m; L1 L 1 = 5m 5 m; R2 R 2 = 4m; L2 L 2 = 4m; O O11A = 2m; L3 = 5m. 48

Resoluci´ o on n

V A = ω 4

× r4

V B = V A + ω + ω3

× AB

De igual modo que antes V A = ω4 r4 . Conocemos direccióon n y modulo V B conocemos su dirección on (vertical) ω (vertical) ω 3 AB AB conocemos conocemos su dirección, on, perpendicular a AB a AB..

·

×

Midiendo y multiplicando por el factor de escala obtenemos:

| −V→A|= −2m 2m//s | −−ω→→3|= −0,1053rad 1053rad//s 86m//s | V |= −1,86m B

4.5. 4. 5.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un yugo inglés. es. Calcular la velocidad del punto B (pertenecient (p ertenecientee a la barra 4) si el angulo ángulo de la barra de entrada esθ es θ2 = 30o y la velocidad ω velocidad ω 2 = 1rad/s rad/s.. Las dimensiones son O son OP P    = 4 m. 49

A O1

Resoluci´ o on n

Primero definimos los ejes. El eje fijo lo colocamos en O1 , centro de rotación on de la barra de entrada y el eje intermedio (x,y) lo situamos con centro en A y girando con la barra 4, o lo que es lo mismo, no gira.

Y

y B c 4 A c 2 x O 1

X

Calculamos la velocidad del punto A:

−V → = −ω→2x−O−1→A = −V → = 4m/s A

  A

     0 0 1

x

4cos30 4sin30 0

 

=

 

−→k −→i −→ j 0 0 4 ccoos 3300 4 ssiin 30 30

Calculamos la velocidad del punto B: 50

1 0

    =

−2

3,4646 0

 

modulo

⊥ −O−1→A

−→ −→ −→ −→ −−→ = V −→ + −→v −ω→4=0 0

V B = V A + v + ω4 xAB

  

A

yaque

La velocidad del punto B sabemos que va a ser paralela al eje X, debido al movimiento del yugo, y la velocidad relativa va a ser paralela al eje y, porque la barra 4 se va a mover hacia arriba y hacia debajo por la gu´ gu´ıa. Ya tenemos todas las direcciones y móodulos dulos necesarios para hacer el gráfico afico de velocidades:

v V   A V   B

Si medimos y le aplicamos el factor de escala obtenemos que:

−→

V B =

4.6. 4. 6.

6,127 4 = 1,732 732m/s m/s 14 14,,15

·

PR PROB OBLE LEMA MA..

Determinar la velocidad del punto C del mecanismo que se muestra en la figura. El ángulo angulo de la barra o de entrada es θ es θ 1 = 0 y la velocidad angular ω angular ω 1 = 1rad/s rad/s.. Datos:   L1 = 2m Datos: 2 m, O1 O 1O2 = 8m 8 m, L L22 = 2m, AC AC    = 8m, L3 = 6m,BC  = = 8m, L4 = 4m, L5 = 1m.

51

Resoluci´ o on n

V A = ω 1 r1

·

+ ω3 V B = V A + ω

× AB

De igual modo que antes V A = ω1 r1 . Conocemos direccióon n y modulo V B conocemos su dirección on (horizontal) ω (horizontal) ω 3 AB AB   conocemos su direccióon, n, perpendicular aa AB AB .

×

·

Midiendo y multiplicando por el factor de escala obtenemos:

|| V−ω→→3A|=|=0,02m/ 2m /s /s ,252rad 252rad/ | V −→ |= 0,252m 252m//s B

4.7. 4. 7.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra una rueda escéntrica entrica con una gu´ıa ıa por p or donde se desplaza el bulón on de barra 2. Calcular la velocidad del punto B perteneciente a la barra 3 (rueda) si el ángulo de la barra de entrada es es   θ2 = 30o y la velocidad angular ω1 = 1rad/s rad/s.. La longitud de la barra 2 es de 3 m, del centro de la rueda al punto sobre el que gira 2 m, y desde ese punto al centro de giro de la barra 2 hay 4 m. 52

r3

r2 r1

Resoluci´ o on n

Situamos los ejes fijos con centro en O1 y los intermedios con centro en A y rontando con 2, tal y como se muestra a continuación: on:

Y

  y A c 2 B c 3

  x   O 1

O 2

53

X

Calculamos la velocidad del punto A:

−V → = −ω→2x−O−1→A = −→ 999m/s m/s V = 2,999 A

  A

     0 0 1

x

Calculamos la velocidad del punto B: V B = V A + v +

 

3cos30 3sin30 0

=

 

−→k −→i −→ j 0 0 2,598 1,5

1 0

−→ −→ −→ ω−→2x−AB −→ = V −→ + −→v −AB −→=0 0 −−→ −V → = −ω→3x−O−2→A direccion : direccion : perpendicular perpendicularO2 A



B

−→

   

  −    =

1,5 2,598 0

A

yaque

MoDulo :? MoDulo :?



−→

−→

Del vector V A conocemos todo y de V B la direccióon, n, por lo que solo nos queda analizar el vector v . Un sujeto situado en el eje (x,y) verá el punto B moverse el eje x, por lo que ya conocemos el módulo de este vector. Dibujamos los resultados:

a

AB

α

x 3

O2 B

26.12

AA 3

x

3

x O2 B

Aplicamos el factor de escala y obtenemos que el módulo odulo de la velocidad del punto B vale:

−→

V B =



106 106,,06 3 = 13 13,,274 274m/s m/s 23 23,,97

·

54

4.8. 4. 8.

PR PROB OBLE LEMA MA..

La figura muestra la rueda de ginebra. Determinar la velocidad del punto A si el ángulo angulo de la barra o de entrada es θ es θ 1 = 0 y la velocidad angular ω angular ω 1 = 1rad/s rad/s.. Datos:   L1 = 3m Datos: 3 m; O2 O 2A = 2m.

Resoluci´ o on n

V A = ω 1 r1 . El punto A está en la rueda.

×

Midiendo y multiplicando por el factor de escala obtenemos:

| −V→A|= 2m/ 2m/s 55

Cap´ıtulo 5

´ ´ RELACION 5. ANALISIS DE VELOCIDAD DAD. M´ etodo Anal´ıtico.

5.1. 5. 1.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un mecanismo de cuatro barras. Para un ángulo angulo de entrada entrada   θ2 = 0o y velocidad de esta barra ω2 = 1rad/s rad/s   calcular la velocidad de la barra 4 (barra de salida) aplicando el método eto do aanal´ nal´ıtico. ıtic o. Las L as dimen d imensio siones nes son son:: L1 = 2m, L 2 = 3m, L 3 = 4m, L 4 = 4m.

Resoluci´ o on n

Podemos aplicar Podemos aplicar el méetodo todo anal´ anal´ıtico de dos formas distinta distintas. s. Una primera primera es con las ecuaciones ecuaciones cinem´ aticas aticas empleadas en el análisis alisis gráfico afico (relación on 4). Una vez tenemos las ecuaciones vectoriales damos los valores a los datos que conozcamos y resolvemos el sistema de ecuaciones resultante sabiendo que cada ecuacióon n vectorial son dos ecuaciones escalares. 56

La segunda segunda forma de resolver resolver estos problemas es aplicando aplicando ecuaciones ecuaciones de cierre. cierre. Este método etodo consiste consiste en definir unos vectores para formar un circuito cerrado y poder plantear una serie de ecuaciones. En algunos problemas problemas tendremos tendremos que elegir elegir m´ aass de un circuito de vectores. En primer lugar tenemos que plantear la ecuación on vectorial y aplicar la notación on compleja para los vectores: Y

^

r k

r k

y

r k

x

X

−→ r = ρ · e k

k

jθ k

+ j sin θk ejθ k = cos θk + j rk = ρ k (cos θk + j + j sin θk )

··

−→

con k un vector cualquiera. con k Si derivamos esta expresióon n con respecto al tiempo tenemos que:

−→

d(rk ) dt

=

d(ρk ejθk ) dt

·



d(ejθk ) dt

ρk ) ejθ k + = d(dt

rk′ = ρ˙k + j + j ˙θk ρk

jθ k

· ρ = ρ˙ · e

·

· 

k

ejθk = ρ˙k + j + j ˙θk ρk

·

k

+ j ˙θk ρk ejθk

·

(cos θk + j + j sin sin θk )

En segundo lugar elegiremos el o los circuitos de vectores que vamos a emplear para resolver el problema. Se escogeráan n en función on de los datos que nos pregunten en el enunciado del problema o los paráametros metros que querramos conocer nosotros. Para este problema elegimos los siguientes:

r4 r3

r2 r1

57

A continuacióon n tendr´ tendr´ıamos que resolver el problema de posición on para conocer todos los módulos odulos y ángulos de la figura, pero como ya lo hicimos en la relación angulos on 2, pasamos a plantear las ecuaciones.

−→ → → → r1 + − r2 + − r3 = − r4 −→ → → → r1 ′ + − r2 ′ + − r3 ′ = − r4 ′ ρ˙2 + j + j ˙θ2 ρ2

 

ejθ + ρ˙3 + j + j ˙θ3 ρ3 2

ejθ = ρ˙ 4 + j + j ˙θ4 ρ4 3

·    ·  · · · · · ·− ·

(0 + j + j 1 2) 1 + 0 + j + j θ˙3 3 θ˙3 = 0,567 567rad/s rad/s θ˙4 = 0,566 566rad/s rad/s

 ·

ejθ

4

( 0,25 + j + j 0,97) = 0 + j + j θ˙4 4



· · · (−0,69 + j + j · 0,73)

−

Vemos que los módulos odulos de los vectores son constantes en todos los casos por lo que sus derivadas son nulas. Y lo ultimo u ´ ltimo que tenemos tenemos que realizar realizar una vez calculado calculado los par´ aametros metros que desconoc descono c´ıamos es e s resolver res olver la velocidad del punto B. La velocidad de la barra 4 la podemos calcular como la velocidad del punto B, ya que pertenece a la barra. La velocidad de un punto se calcula como la derivada del vector que une el punto con un punto fijo. Por lo que el resultado es el siguiente:

−V → = −→ r4 ′ = B



ρ˙4 + j + j ˙θ4 ρ4

·

jθ 4

e

= (0 + j + j ( 0,566) 4) ( 0,69 + j + j 0,73) =

·−

· ·−

·

  1,65 1,56

m/s

Si hacemos el módulo odulo de la velocidad observamos que el resultado es parecido al obtenido en la relación on 4 y ser ser´´ıa igual si las mediciones fuesen exactas.

5.2. 5. 2.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un mecanismo biela-manivela. Determinar la velocidad del pistón si tenemos un angulo ángulo de entrada entrada θ2 = 45o y una velocidad de entrada entrada ω2 = 1rad/s rad/s apl aplica icando ndo el método eto do anal ana l´ıtico. ıtic o. Datos:   L1 = 2m, Datos: 2 m, L2 = 4m.

58

Resoluci´ o on n

r˙2 + r˙3 = r˙1

ρ˙ 2 eiθ + ρ2 iθ˙2 eiθ + ρ˙ 3 eiθ + ρ3 iθ˙3 eiθ = ρ˙ 1 eiθ + ρ1 iθ˙1 eiθ 2

2

3

3

1

1

ρ2 iθ˙2 eiθ + ρ3 iθ˙3 eiθ = ρ˙ 1 eiθ 2

3

1

θ˙2 ρ2 sin θ2 + θ˙3 ρ3 sin θ3 = ρ˙ 1 cos θ1 θ˙2 ρ2 cos θ2 + θ˙3 ρ3 cos θ3 = ρ˙ 1 senθ1

sin θ = 0,3779 3779 rad/s rad/s ω3 = ωρρ sin θ ρ˙1 = θ˙2 ρ2 cos θ2 + θ˙3 ρ3 cos θ3 = 11,,984 984 m/s m/s 2

3

2

2

3

−

5.3. 5. 3.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un mecanismo de retorno rápido. Calcular la velocidad del punto B (perteneciente a la barra 4 (barra larga)) para un ángulo angulo de la barra de entrada de θ2 = 30o y ω2 = 1rad/s aplicando aplica ndo el méetodo todo aanal´ nal´ıtico. ıtico. Las La s dimensiones dimen siones son barra ba rra de entrada entra da 2 m, distancia distanc ia entre centros centro s 4 metros, metro s, barra 3 8 m. 59

Resoluci´ o on n

r2

r3

r1

−→ → → r1 + − r2 = − r3 −→ → → r1 ′ + − r2 ′ = − r3 ′

 

·   · · ·

ρ˙ 2 + j + j ˙θ2 ρ2

ejθ = ρ˙3 + j + j ˙θ3 ρ3 2

· ·

(0 + j + j 1 2) 1 = ρ˙ 3 + j + j θ˙3 4,43 θ˙3 = 0,204 204rad/s rad/s ρ˙ 3 = 1,79 79m/s m/s

· ·

ejθ

3

(0 (0,,45 + j + j 0,89)

·

La velocidad del punto B la calculamos como la derivada del vector que une un punto fijo con este, y el resultado es el mismo si empleamos r2 o r3 .

−→ −→

60

−V → = −→ r3 ′ = B

5.4. 5. 4.



ρ˙3 + j + j ˙θ3 ρ3

·

e

jθ 3

= (1, (1 ,79 + j + j 0,904) (0 (0,,45 + j + j 0,89) =

·

·

·



0,0054 1,594



m/s

PR PROB OBLE LEMA MA..

La figura muestra muestra una leva leva exc exc´éentrica. ntrica. Calcular la velocidad velocidad del punto punto B de forma gráfica afica para un o ángulo de entrada igual a 0 y ω2 = 1rad/s angulo rad/s   aplican apli cando do el método eto do anal ana l´ıtico. ıtic o. Datos: Dato s: R1 = 2m; L1 = 5m; R2 = 4m 4 m; L L22 = 4m; O1 O 1A = 2m; L L33 = 5m 5 m.

Resoluci´ o on n

61

r˙1 + r˙2 + r˙3 = r˙4 ρ˙1 eiθ + ρ1 ω1 ieiθ + ρ˙2 eiθ + ρ2 ω2 ieiθ + ρ˙3 eiθ + ρ3 ω3 ieiθ = ρ˙4 eiθ + ρ4 ω4 ieiθ ρ˙1 = ω = ω 1 = ρ˙ 2 = ρ˙ 3 = ρ˙ 4 = 0 1

1

2

2

3

3

4

4

ρ2 ω2 sin θ2 + + ρ ρ3 ω3 sin θ3 = 0 ρ2 ω2 cos θ2 + + ρ ρ3 ω3 cos θ3 = ρ = ρ 4 ω4 ω2 = ω3 =

− −

ρ3 ω3 sin θ3 ρ2 sin θ2 = ρ4 ω4 θ3 tgθ2

sin

ρ3



0,3714 3714 rad/s rad/s = 0,1045 1045 rad/s rad/s

+cos θ3



V B = ρ 2 ω2 ieiθ = (0, (0 ,581 581,, 1,7636) 7636) m/s m/s V B = 1,856 856 m/s m/s

| |

5.5. 5. 5.

2

−

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un yugo inglés. es. Calcular la velocidad del punto B (pertenecient (p ertenecientee a la barra 4) si el ángulo angulo de la barra de entrada esθ es θ2 = 30o y la velocidad ω velocidad ω 2 = 1rad/s rad/s ap aplic licand andoo el método eto do anal ana l´ıtico. ıtic o. Las dimensiones dimensiones son O son OP = 4 m. P  =

A O1

Resoluci´ o on n

62

r2 r3 r1

−→ → → r1 = − r2 + − r3 → r3 ′ → r2 ′ + − −→ r1 ′ = − ρ˙ 1 + j + j ˙θ1 ρ1 · e

 



jθ 1



= ρ˙ 2 + j + j ˙θ2 ρ2

· 

ejθ + ρ˙ 3 + j + j ˙θ3 ρ3 2

·

ejθ

3

(ρ˙1 + j + j 0 3,464 2) ( 1) = (0 + j + j 4 1) (0 (0,,86 + j + j00,5) + ( ρ˙ 3 + j + j 0 2) ( j j)) ρ˙ 1 = 2m/s 46m/s ρ˙ 3 = 3,46 m/s

· ·

· ·−

· · ·

· · ·−

Una vez calculados todos los parámetros ametros podemos resolver la velocidad del punto B:

−→ → V = − r1 ′ = B

5.6. 5. 6.



ρ˙ 1 + j + j ˙θ1 ρ1

·

jθ 1

e

= (2 + j + j 0) ( 1 + j + j 0) =

· ·−

·

  2 0

m/s

PR PROB OBLE LEMA MA..

Determinar la velocidad del punto C del mecanismo que se muestra en la figura aplicando el método etodo o anall´ıtico. ana ıtic o. El angulo ángulo de la barra de entrada es θ 1 = 0 y la velocidad angular ω angular ω 1 = 1rad/s rad/s.. Datos:   L1 = 2m Datos: 2 m, O1 O 1O2 = 8m 8 m, L L22 = 2m, AC AC    = 8m, L3 = 6m,BC  = = 8m, L4 = 4m, L5 = 1m. 63

Resoluci´ o on n

r˙1 + r˙3 + r˙8 = r˙9 ρ˙1 eiθ + ρ1 ω1 ieiθ + ρ˙3 eiθ + ρ3 ω3 ieiθ + ρ˙8 eiθ + ρ8 ω8 ieiθ = ρ˙9 eiθ + ρ9 ω9 ieiθ ρ˙1 = ω = ω 8 = ω 9 = ρ˙ 3 = ρ˙ 8 = 0 1

1

3

3

8

8

9

9

ρ3 ω3 sin θ3 = ρ˙9 ρ1 ω1 + ρ + ρ3 ω3 cos θ3 = 0 ρ1 ω1 θ3 ρ3

252 rad/s rad/s − cos = −0,252 −ρ1ω1tgθ3 = −0,255 255 m/s m/s V = ρ˙ 9 e = (−0,255 255,, 0) 0) m/s m/s |V | = 0,255 255 m/s m/s

ω3 = ρ˙9 = B

iθ9

B

5.7. 5. 7.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra una rueda escéntrica entrica con una gu´ıa ıa por p or donde se desplaza el bulón on de barra 2. Calcular la velocidad del punto B perteneciente a la barra 3 (rueda) si el ángulo de la barra de entrada es es θ θ 2 = 30o y la velocidad angular ω angular ω 1 = 1rad/s rad/s aplican aplicando do el e l método etodo anal´ıtico. ıtico. La longitud longitu d de d e llaa barra b arra 2 es de 3 m, del centro de la rueda al punto sobre el que gira 2 m, y desde ese punto al centro de giro de la barra 2 hay 4 m. 64

r3

r2 r1

Resoluci´ o on n

r2

r3 r1

−→ → → r1 = − r2 + − r3 −→ → → r1 ′ = − r2 ′ + − r3 ′



·  ·    · · · ·

0 = ρ˙ 2 + j + j ˙θ2 ρ2

ejθ + ρ˙ 3 + j + j ˙θ3 ρ3 2

√ 3

0 = (0 + j + j 3 1) θ˙3 = 4,585 585rad/s rad/s 50m/s m/s ρ˙ 3 = 8,50



−

ejθ

3

+ j 0,5 + ρ˙ 3 + j + j θ˙3 2,053 2

65

·

· −

( 0,98 + j + j00,73)

Como la velocidad de un punto es la derivada del vector que une un punto fijo cualquiera con el punto en cuestión, on, planteamos la velocidad del punto B de la siguiente manera:

−V → = −→ r3 ′ = B

5.8. 5. 8.



ρ˙ 3 + j + j ˙θ3 ρ3

·

ejθ = ( 8,50 + j + j44,585) ( 0,98 + j + j00,73) = 3

−

·−

 −  −

2,51 5,11

m/s

PR PROB OBLE LEMA MA..

La figura muestra la rueda de ginebra. Determinar la velocidad del punto A si el ángulo angulo de la barra o de entrada es θ es θ 1 = 0 y la velocidad angular ω angular ω 1 = 1rad/s rad/s ap aplica licando ndo el método eto do anal ana l´ıtico. ıtic o. Datos:   L1 = 3m Datos: 3 m; O2 O 2A = 2m.

Resoluci´ o on n

V A = r˙1 = ρ 1 ω1 ieiθ = (0 (0,, 2) 2) m/s m/s V A = 2 m/s 1

| |

66

Cap´ıtulo 6

´ ´ RELACION 6. ANALISIS DE ´ N. M´ ACELERACIO etodo Gr´ afico.

6.1. 6. 1.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un mecanismo de cuatro barras. Para un ángulo de entrada θ entrada θ2 = 0o y velocidad de esta barra barra ω2 = 1rad/s rad/s y y aceleración on α2 = 1rad/s2 calcular la aceleración on de la barra 4 (barra de salida). Las dimensiones son: L1 = 2m, L 2 = 3m, L 3 = 4m, L 4 = 4m.

Resoluci´ o on n

La resoluci´ resoluci´ oon n del problema es igual que para el caso de la velocidad pero cambiando la fórmula ormula por la de aceleración on y la resolucióon n es idéntica entica pero máass laboriosa. ejes intermedios: origen en O en O 1 y girando con 2. 67

  −   −→ −−→ −→ −−→ −→ −→ −−→                        AA = AO +

ω2 x (ω2 xrO

1

1

0

0 0 1

0 0 1

x

+

A)

α2 xrO

1

0 0 1

2cos θ2 2sin θ2 0

x

A

=

2cos θ2 2sin θ2 0

x

2 2 0

ejes intermedios en A en A y girando con 3:

−A→ = −A→ −2

−→ −→ −−→ −→ −−→            

B

A

+ ω3 x (ω3 xrAB ) + α3 xrAB

⊥AB

AB

2 0

ejes intermedios en O en O 2 y girando con 4:

−A→ = −A−→ + −ω→4x (−ω→4x−r−−→) + −α→4x−r−−→ B

O2 B

O2

0

O

2

B

O2 B

⊥O

2

B

         −→ −−→

−→

y el vector V B y los transformamos a Si medimos en el análisis alisis de velocidad gráfico afico el vector ω3 xAB AB y unidades reales obtenemos ω3 y ω4 .

|−→| |−→|

−→ |−→| |−−→| ⇒ |−→| −→ −→ −−→ |  | ⇒ | | V B = ω4 x rAB

1 ,463 ω3 xrAB = 1,

ω4 = 32 = 0,66 66rad/s rad/s

ω3 = 1,463 487rad/s rad/s 3 = 0,487 68

B AA

3

x

3

x AB

4

AB x

4

x O2 B

x AB 3

O2

A

O1

Si medimos en el papel la longitud de la flecha y le aplicamos el factor de escala obtenemos que la aceleraci´ on on del punto B es: 17,,18 · 2 −A→ = 17 = 1,718 718m/s m/s2 B

6.2. 6. 2.

20

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un mecanismo biela-manivela. Determinar la aceleración del pistón on si tenemos 2

entrada entrada θ2 =

un angulo ángulo de2m, Datos: Datos: L1 = 2 m, L2 = 4m. 0 y una velocidad de

entrada ω2 =

69

1rad/s rad/sm my

aceleración on α 2 =

1rad/s .

Resoluci´ o on n

AP

− − A

= α 3 A = α

× r3 + ω + ω3 × ω3 × r3

Midiendo obtenemos:

A p = 2,67 67m/s m/s2 ;

324 rad/s α3 = 0,324 rad/s2

La solución on es:

, Ap = Ap  = 5,341 67 m/s m/s 2 4,4·2 2 = 2,67

6.3. 6. 3.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un mecanismo de retorno rápido. apido. Calcular la aceleración on del punto B (perteneciente a la barra 4 (barra larga)) para un ángulo de la barra de entrada de θ2 = 30o y ω 2 = 1rad/s rad/s   y aceleraci´ on α on α 2 = 1rad/s2 . Las dimensiones son barra de entrada 2 m, distancia entre centros 4 metros, barra 3 8 m. 70

Resoluci´ o on n

ejes intermedios con centro en en A

∈ 2 y girando con 3

−A→ = −A→ + −ω→3x (−ω→3x−r−→) + −α→3x−r−→ +−→a + 2−ω→3x−→v = A−→ + −→a 0 = −A→ = −A−→ + 0 = ω−→2x (−ω→2x0−r −→ − → − − → + α2 xr ) B

A

A

   

A

AB

AB

,A B

,A B

2

0 0 1

0 0 1

x

x

+2ω3 x v

B

O1 A

O1 A

O1

0

 −→ −→                        0 0 1

2cos θ2 2sin θ2 0

x

2cos θ2 2sin θ2 0

ejes intermedios en O en O 2 y girando con 3:

−A→ = −ω→3x (−ω→3x−r−−→) + −α→3x−r−−→ B

O2 B

O2 B

       O

2

B

⊥O

2

B

−→

−→ −→

Del análisis alisis de velocidad gráafico fico obtenemos el módulo odulo de v (1.37m/s) y el módulo odulo de ω3 como V B /O2 B (0.326rad/s). Otra cosa que tenemos que tener en cuenta es la velocidad relativa de a , que es O2 B porque se mueve sobre 3. Con las fórmulas ormulas y estos datos podemos dibujar lo siguiente:



71

0.89 a

AA AB ω α

x 3

O2 B

3

x

ω 3

x

O B 2

O1

O2

Midiendo la aceleración on y aplicándole andole el factor de escala sale un valor de la aceleración on del punto B de : 27,,32 · 2 −A→ = 27 = 2,732 732m/s m/s2 B

6.4. 6. 4.

20

PR PROB OBLE LEMA MA..

La figura muestra una leva excéntrica. entrica. Calcular la aceleraci´ on on del punto B de forma gráfica afica para un o 2 ángulo de entrada igual a 0 y ω2 = 1rad/s angulo rad/s   y α2 = 1rad/s . Datos: R1 = 2m; L1 = 5m; R2 = 4m; L2 = 4m; O O11A = 2m; L L33 = 5m 5 m.

72

Resoluci´ o on n

AA = A = A T   + AN   = α 4

× r4 + ω + ω4 × ω4 × r4

Ponemos un eje con centro en A que gira con 3:

AB

AA = α = α 3

−

r3 + ω + ω3

×

ω3

r3

× ×

Ponemos un eje con centro en C que gira con 2:

AB

− A

C   = α 2

× r2 + ω + ω2 × ω2 × r2

Midiendo obtenemos:

α3 = 1,026 026 rad/s rad/s2

La solución on es:

·2 α2 = 0,66 33 rad/s rad/s2 4 = 0,33 AB = α 2 r2 + ω + ω 2 r2 = 2,33 33 m/s m/s 2

| |

6.5. 6. 5.

2

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un yugo inglés. es. Calcular la aceleraci´ on on del punto B (perteneciente a la barra o 4) si el ángulo angulo de la barra de entrada esθ es θ2 = 30 y la velocidad ω velocidad ω 2 = 1rad/s rad/s y y aceleración α on α 2 = 1rad/s2 aplicando aplica ndo el méetodo todo anal´ıtico. ıtico. Las dimensiones dimensi ones son O son OP P  = = 4 m. 73

A O1

Resoluci´ o on n

ejes intermedios con centro en en A y girando con 3:

−A→ = −A→ + −ω→3x (−ω→3x−r−→) + −α→3x−r−→ +−→a + 2−ω→3x−→v = A−→ + −→a B

A

A

 −→ −→ 0

0,A=B

0,A=B

−A→ =

A

AB

AB

      

2

+2ω3 x v

B

 −  −→ −−→ −→ −→ −−→                        ω2 x (ω2 xrO

1

0 0 1

−→

x

0 0 1

x

A)

+

α2 xrO

1

0 0 1

2cos θ2 2sin θ2 0

−→

x

A

2cos θ2 2sin θ2 0

=

5,46 1,46 0

La dirección on de AB es paralela al eje ox mientras que ω3 es 0 p porque orque la barra 3 no gira. Tambi´ También en hay que saber que la velocidad relativa a es paralela al eje oy porque 4 no gira y se desplaza sobre la gu gu´´ıa. Con estas consideracion consideraciones es podemos p odemos hacer el siguiente siguiente dibujo:

−→

74

AA

a

B A AB O1

Tomamos la medida de la aceleración on de B y la multiplicamos por el factor de escala: 54,,6 −A→ = 1 · 54 = 5,46 46m/s m/s2 B

6.6. 6. 6.

10

PR PROB OBLE LEMA MA..

Determinar la aceleración on del punto C del mecanismo que se muestra en la figura. El angulo ángulo de la o 2 barra de entrada es θ es θ 1 = 0 y la velocidad angular ω angular ω 1 = 1rad/s rad/s y y aceleración α on α 2 = 1rad/s . Datos:   L1 = 2m Datos: 2 m, O1 O 1O2 = 8m 8 m, L L22 = 2m, AC AC    = 8m, L3 = 6m,BC  = = 8m, L4 = 4m, L5 = 1m.

Resoluci´ o on n

75

Calculamos la Aceleración on del punto A: AA = A = A T   + AN   = α 1

× r1 + ω + ω1 × ω1 × r1

Para calcular la aceleración on del punto C, ponemos un eje con centro en A,que gira con 3: AC

− A

A = α 3

× r3 + ω + ω3 × ω3 × r3

Midiendo obtenemos:

·1,87 = 1,59 A p = 2,391 59 m/s m/s2 2,805

6.7. 6. 7.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra una rueda escéntrica entrica con una gu´ıa ıa por p or donde se desplaza el bulón on de barra 2. Calcular la aceleración on del punto B perteneciente a la barra 3 (rueda) si el ángulo de la barra de entrada o es es θ θ 2 = 30 y la velocidad angular ω angular ω 1 = 1rad/s rad/s y y aceleración α on α 2 = 1rad/s2 . La longitud de la barra 2 es de 3 m, del centro de la rueda al punto sobre el que gira 2 m, y desde ese punto al centro de giro de la barra 2 hay 4 m.

r3

r2 r1

76

Resoluci´ o on n

Situamos los ejes intermedios con centro en A y rotando con 2.

−A→ = A

−ω→2x (−ω→2x−r −→)

+

O1 A

α−→2 x−r −→ O1 A

=

 −  4,09 1,09 0

2cos θ2 0 2cos θ2 0 0 0 x 2sin θ2 0 x 0 x 2sin θ2 0 1 0 1 1 AB = AA + ω3 x (ω3 xrAB ) + α3 xrAB + a + 2ω3 x v = AA + a + 2ω3 x v

−→

−→ −→  −→ −−→  −→ −−→ −→ −→ −→  −→  −→  −→ −→          −→  −→  v

−A→ = −ω→3x (−ω→3x−r−0−→=) + −α→3x−r −0→ =

,A B

,A B

B

O2 B

⊥v

O2 B

conocemos la dirección on y módulo odulo de v ya que los calc calculamos ulamos en el an´ alisis alisis gráfico afico de velocidad y ω3 que lo calculamos como:

−→

|−ω→3| =

−→

−→ |−−−→ | V B

rO

2

B

=

13 13,,274 = 3 77

−4,42 42rad/s rad/s

78

Aplicamos el factor de escala a la medida tomada en el gráfico afico y obtenemos una aceleración on del punto B de:

−A→ = 590 · 1 = 295m/s 295m/s2 B

6.8. 6. 8.

2

PR PROB OBLE LEMA MA..

La figura muestra muestra la rueda de ginebra. ginebra. Determinar Determinar la aceleraci´ aceleraci´ on on del punto A si el áangulo ngulo de la barra de entrada es θ es θ 1 = 0o y la velocidad angular ω angular ω 1 = 1rad/s rad/s y y la aceleración α on α 2 = 1rad/s2 . Datos:   L1 = 3m Datos: 3 m; O2 O 2A = 2m.

Resoluci´ o on n

Para calcular la aceleración on de A: AA = A = A T   + AN   = α

r + ω + ω 2

×

2

ω 2

× 2×

r 2

79

De modo que midiendo:   p = 2,838·12 = 2,838 A 838 m/s m/s2 12

80

Cap´ıtulo 7

´ ´ RELACION 7. ANALISIS DE ´ N. M´ ACELERACIO etodo Anal´ıtico.

7.1. 7. 1.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un mecanismo de cuatro barras. Para un ángulo de entrada θ entrada θ2 = 0o y velocidad 2 de esta barra ω barra ω2 = 1rad/s rad/s y y aceleración α on α 2 = 1rad/s calcular la velocidad de la barra 4 (barra de salida) aplicando aplica ndo el méetodo todo anal´ıtico. ıtico. Las dimensiones dimensi ones son: L1 = 2m, L 2 = 3m, L 3 = 4m, L 4 = 4m.

Resoluci´ o on n

El procedi procedimien miento to para resolver los problemas problemas de aceleraci´ aceleraci´ oon n con el método etodo anal´ıtico ıtico es el mismo que el del problema de velocidad pero empleando las expresiones de aceleración, on, que resulta de derivar dos veces la definición on compleja del vector como se puede ver a continuación: on: 81

rk = (ρk ) ejθk

·

 

rk′ = ρ˙ k + j + j ˙θk ρk

·

ejθk

rk′′ = ρ¨k + j + j θ¨k ρk + 2 j 2 j ˙θk ˙ρk − θ˙k2 ρk

·

ejθ k

Como ya tenemos resuelto el análisis alisis de posicióon n y de velocidad para la siguiente posición on solo tenemos que resolv resolver er las ecuaciones ecuaciones obtenidas obtenidas con la aceleraci´ aceleraci´ on. on.

r4 r3

r2 r1

→ −r1 + −→ → → r2 + − r3 = − r4 → −r1 ′ + −→ → → r2 ′ + − r3 ′ = − r4 ′ → −r1 ′′ + −→ → → r2 ′′ + − r3 ′′ = − r4 ′′

 · · − ·

ρ¨2 + j + j θ¨2 ρ2 + 2 j 2 j ˙θ2 ˙ρ2



( j 1 2 1 2) 1 + θ¨3 = 0,567 567rad/s rad/s2 θ¨4 = 0,566rad/s 566rad/s2

·









jθ 2





jθ 3



−

−→

Calculamos la aceleración on de B con el vector r4 y obtenemos:





−A→ = −→ r4 ′′ = ρ¨4 + j + j θ¨4 ρ4 + 2 j 2 j ˙θ4 ˙ρ4 − θ˙42 ρ4 · e = 1,214 = ( j · (−0,566) · 4 − 0,320 · 4) · (−0,69 + j + j · 0,73) = −1,34 B

7.2. 7. 2.



− θ˙22ρ2 · e + ρ¨3 + j + j θ¨3 ρ3 + 2 j 2 j ˙θ3 ˙ρ3 − θ˙32 ρ3 · e = ρ¨4 + j + j θ¨4 ρ4 + 2 j 2 j ˙θ4 ˙ρ4 − θ˙42 ρ4 · e j · θ¨3 · 3 − 0,321 · 3 · (−0,25 + j + j · 0,97) = j θ¨4 · 4 − 0,320 · 4 · (−0,69 + j + j · 0,73)

jθ 4





m/s2

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un mecanismo biela-manivela. Determinar la velocidad del pistón si tenemos un áangulo ngulo de entrada θ2 = 0 y una velocidad de entrada ω2 = 1rad/s rad/s   y aceleración on α2 = 1rad/s2 aplica apl icando ndo el método eto do anal ana l´ıtico. ıtic o. Datos: Dato s: L L11 = 2m, L2 = 4m. 82

jθ 4

Resoluci´ o on n

Derivamos la ecuación on de triang triangulaci ulación: ón: (ρ¨2 ˙θ22 ρ2 )eiθ + ( 2ρ˙ 2 ˙θ2 + ¨ θ2 ρ2 )ieiθ + (ρ¨3 iθ θ¨1 ρ1 )ie

−

2

2

1

− ˙θ32 ρ3)e

iθ3

+ ( 2ρ˙ 3 ˙θ3 + ¨ θ3 ρ3 )ieiθ = (ρ¨1 3

Como ρ˙2 = ρ˙ 3 = θ˙1 = 0 :



Re Real al : : θ˙2 ρ2 θ˙3 ρ3 cos θ3 + ¨ θ3 ρ3 senθ3 = 0 ¨ ˙ ¨ Imag Imag : : θ2 ρ2 θ3 ρ3 senθ3 + θ3 ρ3 cosθ3 = ρ¨1

−

−

−

Despejando y sustituyendo α3 =

ω22 ρ2 senθ2 ω32 ρ3 cosθ3 ρ3 senθ3

−

=

−0,324 324 rad/s rad/s2

ρ¨1 = α 2 ρ2 senθ2 + α + α3 ρ3 cosθ3 + ω + ω32 ρ3 senθ3 = 2,4 m/s 2 De modo que:

 P   = r¨2 = (ρ¨2 + j A + j θ¨2 ρ2 + 2 j 2 j ˙θ2 ˙ρ2 2

− θ˙22 ρ2)e

P

|A | = 3 m/s

83

jθ 2

= (0, (0 , 3)

− ˙θ12ρ1 )e

iθ1

+ (2ρ˙ 1 ˙θ1 +

7.3. 7. 3.

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra un mecanismo de retorno rápido. Calcular la velocidad del punto B (perteneciente a la barra 4 (barra larga)) para un ángulo angulo de la barra de entrada de θ2 = 30o y ω2 = 1rad/s 2 y aceleración on α2 = 1rad/s aplicando el méetodo todo anal´ anal´ıtico. Las dimensiones son barra de entrada 2 m, distancia entre centros 4 metros, barra 3 8 m.

Resoluci´ o on n

r2

r1

r3

84

r2 =  = r3 r2′′ = r3′′



ρ¨2 + j + j θ¨2 ρ2 + 2 j 2 j ˙θ2 ˙ρ2

(0 + j + j 1 2 + 2 j 1 0 θ¨3 = 0,758 758rad/s rad/s2 ρ¨3 = 2, 2 ,32 32m/s m/s2



−

· · · − 1 · 2) · 1 =

· ·

θ˙2 ρ2 2



·  ejθ 2

= ρ¨3 + j + j θ¨3 ρ3 + 2 j 2 j ˙θ3 ˙ρ3

ρ¨3 + j + j ¨ θ3 4,43 + 2 j 0,204 1,79

· ·

· ·

 



·

−

θ˙2 ρ3 3

·

ejθ

3



− 0,041 · 4,43 · (0 (0,,45 + j + j · 0,89)

−A→ = −→ r3 ′′ = ρ¨3 + j + j θ¨3 ρ3 + 2 j 2 j ˙θ3 ˙ρ3 − θ˙32 ρ3 · e = = (2, (2 ,32 + j + j · 0,758 · 4,43 + 2 · j · 0,204 · 1,79 − 0,041 · 4,43) · (0 (0,,45 + j + j · 0,89) = −0,47 m/s2 = B



7.4. 7. 4.

2,69

jθ 3

PR PROB OBLE LEMA MA..

La figura muestra muestra una leva leva exc exc´éentrica. ntrica. Calcular la velocidad velocidad del punto punto B de forma gráfica afica para un o 2 ángulo de entrada igual a 0 y ω2 = 1rad/s angulo rad/s y y aceleración on α2 = 1rad/s aplica apl icando ndo el método eto do anal ana l´ıtico. ıtic o. Datos:   R1 = 2m; L Datos: L11 = 5m; R2 R 2 = 4m 4 m; L L22 = 4m 4 m; O1 O 1A = 2m; L3 = 5m.

Resoluci´ o on n

85

r¨1 = 0; θ2 ρ2 )ieiθ + (ρ¨3 (ρ¨2 θ˙22 ρ2 )eiθ + (2ρ˙2 ˙θ2 + ¨

−



2

2

− θ˙32ρ3)e

iθ3

θ3 ρ3 )ieiθ = ( ρ¨4 + (2 (2ρ˙ 3 ˙θ3 + ¨ 3

− θ˙42 ρ4)e

iθ4

θ4 ρ + (2ρ˙ 4 ˙θ4 + ¨

−θ˙22ρ2 cos θ2 + α + α2 ρ2 senθ2 − θ˙32 ρ3 cos θ3 + ¨ θ3 ρ3 senθ3 = −θ˙42 ρ4 + α2 ρ2 cos θ2 − θ˙32 ρ3 senθ3 + ¨ −θ˙22 ρ2senθ2 + α θ3 ρ3 cosθ3 = θ¨4 ρ4

Re Real al : : Imag Imag : :

α2 =

−θ˙

2 4

¨ θ¨3 = θ ρ 4

4

ρ4 +θ˙22 ρ2 cos θ2 +θ˙32 ρ3 cos θ3 ρ2 senθ2

−θ¨ ρ 3

senθ3

+θ˙22 ρ2 senθ2 +θ˙32 ρ3 senθ3 α2 ρ2 cos θ2 ρ3 cosθ3

−

 P   = r¨2 = (ρ¨2 + j A + j θ¨2 ρ2 + 2 j 2 j ˙θ2 ˙ρ2 AP = 2,146 146 m/s m/s 2

| |

7.5. 7. 5.

3

= 0, 0 ,3327 3327rad/s rad/s2

= 1,026 026rad/s rad/s2

− θ˙22 ρ2)e

jθ 2

= (1, (1 ,175 175,, 1,795)

−

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra muestra un yugo inglés. es. Calcular la velocidad velocidad del punto punto B (pert (perteneci enecient entee a la barra o 4) si el ángulo angulo de la barra de entrada esθ es θ2 = 30 y la velocidad ω velocidad ω 2 = 1rad/s y aceleración α on α 2 = 1rad/s2 rad/s y aplicando aplica ndo el méetodo todo anal´ıtico. ıtico. Las dimensiones dimensi ones son O son OP P  = = 4 m.

A O1

86

Resoluci´ o on n

r2 r3 r1

→ −r1 = −→ → r2 + − r3 r1′′ = r2′′ + r3′′ ρ¨1 + j + j θ¨1 ρ1 + 2 j 2 j ˙θ1 ˙ρ1



−

θ˙2 ρ1 1

· 

ejθ = ρ¨2 + j + j θ¨2 ρ2 + 2 j 2 j ˙θ2 ˙ρ2 1

−

θ˙2 ρ2 2

(ρ¨1 + j + j 0 2 + 2 j 0 2 0 2) ejθ = (0 + j + j 1 4 + 2 j 1 0 jθ + (ρ¨3 + j + j 0 2 + 2 j 0 2,24 0 2) e ρ¨1 = 3,71 71m/s m/s2 ρ¨3 = 5,23 23m/s m/s2

· · · ·



· · · − · · · · · − · · 1

3

· ·

· 

ejθ + ρ¨3 + j + j θ¨3 ρ3 + 2 j 2 j ˙θ3 ˙ρ3 2

−

θ˙2 ρ3 3

· · · − 1 · 4) · (0 (0,,86 + j + j00,5) +

−A→ = −→ r1 ′′ = ρ¨1 + j + j θ¨1 ρ1 + 2 j 2 j ˙θ1 ˙ρ1 − θ˙12 ρ1 · e = = (3, (3 ,71 + j + j · 0 · 2 + 2 · j · 0 · 2 − 0 · 2) · (−1 + 0 j 0 j)) = jθ 1

B

=

  5,46 0

7.6. 7. 6.

m/s2



PR PROB OBLE LEMA MA..

Determinar la velocidad del punto C del mecanismo que se muestra en la figura aplicando el método etodo o anall´ıtico. ana ıtic o. El angulo ángulo de la barra de entrada es θ1 = 0 y la velocidad angular angular ω1 = 1rad/s rad/s y y aceleración on 2 α2 = 1rad/s . Datos:   L1 = 2m Datos: 2 m, O1 O 1O2 = 8m 8 m, L L22 = 2m, AC AC    = 8m, L3 = 6m,BC  = = 8m, L4 = 4m, L5 = 1m. 87

·

ejθ

3

Resoluci´ o on n



−θ˙12ρ1 − θ˙32ρ3 cos θ3 + ¨θ3ρ3 senθ3 = ρ¨9 −θ¨12 ρ1 − θ˙32ρ3senθ3 + ¨θ3ρ3cosθ3 = 0

Re Real al : : Imag Imag : :

−θ¨ θ¨3 =

2 1

ρ1 +θ˙32 ρ3 senθ3 ρ3 cosθ3

=

126rad/s −0,126 rad/s2

−θ˙12ρ1 − θ˙32ρ3 cos θ3 + ¨θ3ρ3senθ3 = ρ¨9 = −1,273 273m/s m/s2 AP   = r¨8 + r¨9 = (ρ¨9 , 0) = ( 1,273 273,, 0) 2 AP = 1,273 273 m/s m/s

| |

7.7. 7. 7.

−

PR PROB OBLE LEMA MA..

En la figura se muestra una rueda escéntrica entrica con una gu´ıa ıa por p or donde se desplaza el bulón on de barra 2. Calcular la velocidad del punto B perteneciente a la barra 3 (rueda) si el ángulo angulo de la barra de entrada es o 2 θ2 = 30 y la velocidad angular ω angular ω 1 = 1rad/s rad/s y y aceleración α on α 2 = 1rad/s aplican apl icando do el método eto do anal ana l´ıtico. ıtic o. La longitud de la barra 2 es de 3 m, del centro de la rueda al punto sobre el que gira 2 m, y desde ese punto al centro de giro de la barra 2 hay 4 m. 88

r3

r2 r1

Resoluci´ o on n

r2

r3 r1

r1 = r2 + r3 r1′′ = r2′′ + r3′′



ρ¨1 + j + j θ¨1 ρ1 + 2 j 2 j ˙θ1 ˙ρ1

0 = (0 + j + j 1 3 + 2 j 1 0 ( 0,98 + j + j00,73) θ¨3 = rad/s2

·−

· ·



− θ˙12ρ1 · e

jθ 1

· · · − 1 · 3)

 ·

= ρ¨2 + j + j θ¨2 ρ2 + 2 j 2 j ˙θ2 ˙ρ2

√ 3



jθ 2



+ ρ¨3 + j + j θ¨3 ρ3 + 2 j 2 j ˙θ3 ˙ρ3

¨3 + j + j θ¨3 2,053 + 2 j 4,585 ( 8,50) 2 + j 0,5 + ρ

·

2





− θ˙22ρ2 · e

ρ¨3 = m/s = m/s 89

· ·

· ·

·−

−



− θ˙32ρ3 · e 4,5852

jθ 3

·

· 2,053

Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación on de la aceleración on del punto B:



−A→ = −→ r2 ′′ =

ρ¨2 + j + j θ¨2 ρ2 + 2 j 2 j ˙θ2 ˙ρ2

B

−

θ˙2 ρ2 2

·   ejθ = 2

m/s2

Como podemos ver no era necesario calcular los parámetros ametros que hemos obtenido aunque pueden ser utiles u ´ tiles para otro tipo de preguntas de otras velocidades y aceleraciones.

7.8. 7. 8.

PR PROB OBLE LEMA MA..

La figura muestra la rueda de ginebra. Determinar la velocidad del punto A si el ángulo angulo de la barra de entrada es es θ1 = 0o y la velocidad angular ω angular ω 1 = 1rad/s rad/s y y aceleración α on α 2 = 1rad/s2 aplica apl icando ndo el método eto do an anal´ al´ıt ıtic ico. o. Datos:   L1 = 3m Datos: 3 m; O2 O 2A = 2m.

Resoluci´ o on n

90

Para calcular la aceleración on simplemente sustituimos:   p = r¨2 = ρ 2 ω2 + iα A + iα2 ρ2 = 2,838 838 m/s m/s 2

91

Problemas de Mecanismos

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