Problemas de mecánica lagrangiana

Departamento de Física Aplicada Mecánica Analítica y de los medios continuos. 3º Grado en Física.

Formulación Lagrangiana

RELACIÓN 2: FORMULACIÓN LAGRANGIANA

2.1- Determine la función Lagrangiana y deduzca las ecuaciones de movimiento para los sistemas mecánicos de los problemas 1.11, 1.12, 1.14 y 1.16 correspondiente a la relación de problemas del capítulo 1.

2.2- Considere el problema 1.15. (a) Resuélvalo empleando la formulación Lagrangiana. (b) Complete y resuelva el problema incluyendo la posibilidad de que el plano inclinado posea una masa M y pueda deslizar sin rozamiento sobre el suelo impulsado por una fuerza f horizontal, hacia la derecha. Solución: (b)

(m + I / R 2 ) s + mx0 cos α = mg sen α (m + M )  x0 + ms cos α = f

2.3- Partiendo de las ecuaciones generales del movimiento de la formulación Lagrangiana para sistemas holónomos, obtenga la forma de Nielsen de las ecuaciones de movimiento, ∂T ∂T −2 = Qj ∂q j ∂q j

∀j = 1,..., n

2.4- Una partícula de masa m puede deslizar sin rozamiento y por la varilla AB, que se encuentra unida rígidamente por su A centro a otra varilla perpendicular OO’ de longitud a. Ambas varillas se encuentran en el plano vertical y pueden girar en torno al eje perpendicular a dicho plano que pasa por el g O' origen O. Si llamamos r a la distancia de la partícula al punto a CM r O’, obtenga las ecuaciones de movimiento en los siguientes casos: b (a) el sistema de varillas, de masa despreciable, está obligado B θ = ωt a girar a velocidad angular constante, θ =ωt, por acción de un O x motor externo, (b) el sistema de varillas puede girar libremente en torno al eje perpendicular que pasa por O, siendo I el momento de inercia respecto a este eje, M la masa total de las dos varillas y b la distancia del centro de masas de las varillas al punto O.

r − ω 2 r − g cos(ωt ) = 0 Solución: (a)  ⎧mr − maθ − mrθ 2 − mg cos θ = 0 (b) ⎪⎨ 2 2 ⎪⎩m( a + r )θ + 2mrrθ − mar + Iθ + mg [ a cos θ + r sen θ ] + Mgb cos θ = 0

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2.5- Un sistema está constituido por dos barras unidas rígidamente entre sí, formando un ángulo recto que puede girar respecto a un eje vertical que pasa por el centro, con un momento de inercia I. El extremo de la barra horizontal se conecta a una partícula de masa m a través de una varilla inextensible de masa despreciable, pudiendo oscilar en torno x a la vertical siempre en el plano de las barras. Sobre dicha partícula, además de la gravedad, está actuando, una fuerza horizontal, F, dirigida en todo momento hacia el eje central de giro, no necesariamente conservativa. (a) Determine las fuerzas generalizadas Qθ y Qφ asociadas a la fuerza F. (b) Deduzca las ecuaciones de movimiento del sistema. Solución: (a) Qθ = − Fa cos θ

Formulación Lagrangiana

z y

O

g

l

a F

φ

θ m

, Qφ = 0

⎧⎪maθ + mg sen θ − m(l + sen θ ) cos θφ2 + F cos θ = 0 (b) ⎨ 2 ⎪⎩[m(l + a sen θ ) + I ]φ = cte = B

2.6- Una partícula puntual de masa m está unida a una polea de radio R por medio de un muelle de masa despreciable cuya constante elástica es k y longitud natural r0. El muelle, además de comprimirse/alargarse, puede también oscilar respecto al punto A de unión con la superficie de la polea. A su vez, la polea gira con velocidad angular constante ω respecto al eje perpendicular a la polea y que pasa por O, y la partícula está sometida a la acción del campo gravitatorio terrestre. Considerando que el movimiento tiene lugar en un plano, encuentre las ecuaciones de movimiento del sistema. Solución:

ω

y

g A

r O

x

θ

m

⎧⎪ r − Rω 2 sen(θ − ωt ) − rθ 2 − g cos θ + (k / m)(r − r0 ) = 0 ⎨ 2 ⎪⎩rθ + 2rθ − Rω cos(θ − ωt ) + g sen θ = 0

2.7- Considere un péndulo plano formado por una bolita de masa m unida a un soporte O por un hilo inextensible de longitud l y masa despreciable sometida a la acción de la gravedad. Obtenga (a) la fuerza generalizada, (b) la ecuación de movimiento de la partícula y (c) la tensión del hilo empleando los multiplicadores de Lagrange. Solución: (a) Qφ = − mgl sen φ (b) lφ + g sen φ = 0 (c) T = −mlφ2 − mg cos φ

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Formulación Lagrangiana

2.8- Una pequeña cuenta de masa m se encuentra ensartada en un alambre circular de radio R colocado verticalmente y que se encuentra obligado a girar a velocidad angular constante ω en torno al eje vertical que para por su centro. Calcule (a) la ecuación de movimiento y (b) la reacción que ejerce el alambre sobre la cuenta. Considere que la única fuerza que actúa sobre la partícula es la gravitatoria.

g Solución: (a) θ − ω 2 sen θ cos θ − sen θ = 0 R 2  ⎧⎪ Rr = −mRθ − mRω 2 sen 2 θ + mg cos θ (b) ⎨ 2  ⎪⎩ Rφ = 2mR ωθ sen θ cos θ

2.9- Empleando el método de los multiplicadores de Lagrange, determine las ecuaciones de movimiento y las fuerzas de ligadura, para una partícula de masa m obligada a desplazarse (sin rozamiento) sobre un cono invertido de semiángulo α por acción de la gravedad. Interprete el resultado físicamente en términos de las Leyes de Newton.

(

)

2 2 ⎧ ⎪r = rφ − g / tg α sen α Solución: (a) ⎨ ⎪⎩mr 2φ = cte = l0

⎧ R = − mrφ2 cos 2 α − mg sen α cos α ⎪⎪ r (b) ⎨ Rφ = 0 ⎪ 2 2 ⎪⎩ Rz = mrφ sen α cos α + mg sen α

y

2.10- Un anillo delgado y homogéneo de masa m y radio a se encuentra en reposo en la parte superior de una superficie cilíndrica de radio R. Tras desplazar ligeramente el anillo del punto superior, éste rueda sin deslizar por acción de la gravedad sobre la superficie de manera que el movimiento tiene lugar en un mismo plano vertical que corta transversalmente al cilindro. Demuestre que el anillo abandona la superficie cuando el ángulo θ es de 60º.

N a

φ

g

r

θ R O

2.11- Una varilla delgada homogénea y rígida de longitud l y masa M tiene ambos extremos apoyados sobre la pared y el suelo, formando originalmente un ángulo θ0=90º con el suelo. Tras desplazar ligeramente el extremo B de la varilla hacia la derecha, ésta empieza a deslizar sin rozamiento por acción de la gravedad. Demuestre que el extremo izquierdo de la varilla abandona la pared cuando el ángulo que forma con el suelo es de 41.8º.

y

x

A

l

g

CM

θ O

B x

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Formulación Lagrangiana

z

2.12- Un trompo cónico homogéneo de masa M, radio máximo R y altura h se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal. El cono rueda sin deslizar sobre dicha superficie, manteniendo el extremo O fijo. Obtenga la función Lagrangiana de este sistema y la(s) ecuación(es) de movimiento. Solución: (a)

ψ

θ0

y

O x

φ

CM

R

⎡3 ⎤ 3 h L = T − V = ⎢ M ( R 2 + 4h 2 )sen 2 θ 0 + MR 2 ( + cosθ 0 ) 2 ⎥ φ2 − V0 , V0 = cte. 20 R sen θ 0 ⎣ 40 ⎦

(b) φ = 0 ⇒ φ = ω0t + φ0

2.13- Un péndulo simple está formado por una pequeña bolita de masa m unida a un soporte por medio de una varilla rígida de masa y grosor despreciable y longitud l. La bolita se encuentra sumergida en un fluido, de manera que experimenta una fuerza de rozamiento opuesta a la dirección del movimiento de la bolita y proporcional a su velocidad. (a) Obtenga la ecuación de movimiento en el caso de que el fluido se encuentre en reposo. (b) Repita el apartado anterior pero considerando ahora el fluido se mueve en la dirección positiva del eje x a velocidad constante u. Considere en ambos casos que el movimiento del péndulo se produce en un plano y que la gravedad actúa verticalmente y hacia abajo (-y). Solución: (a) ml 2θ + α l 2θ + mgl sen θ = 0 (b) ml 2θ + α l 2θ + mgl sen θ − α ul cos θ = 0

2.14- Un bloque rectangular de masa M1 que descansa sobre una superficie horizontal se encuentra unido a la pared por k2 medio de un muelle de constante elástica k1 y longitud 2 natural l0. Sobre este bloque se apoya otro bloque de masa k1 M2, que también está conectado con la misma pared con otro 1 muelle de constante elástica k2 y misma longitud natural, l0. Al desplazarse, los bloques rozan uno con el otro, experimentando fuerzas de fricción que vienen dadas por Froz = -μN, donde N es la reacción normal. Además, el bloque 1 desliza sobre el suelo sin rozamiento. Suponiendo que el movimiento de ambos bloques tiene lugar en una dimensión, a) deduzca las ecuaciones de movimiento del sistema empleando la formulación Lagrangiana. b) Obtenga también dichas ecuaciones suponiendo que no hay rozamiento entre ambos bloques, sino que cada bloque sufre una fuerza de fricción ejercida por el aire que los rodea, de valor Fr = -μv, siendo μ es la constante de fricción y v la velocidad de cada bloque. c) ¿Es aplicable la función de disipación de Rayleigh en ambos apartados? Solución: a) ⎧⎪ M1 x1 + k1 ( x1 − l0 ) = μ M 2 g ( x2 − x1 ) / x2 − x1 ⎨ x2 + k2 ( x2 − l0 ) = − μ M 2 g ( x2 − x1 ) / x2 − x1 ⎪⎩ M 2  b)

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x1 + k1 ( x1 − l0 ) = c( x2 − x1 ) ⎧ M1 ⎨ x2 + k2 ( x2 − l0 ) = −c( x2 − x1 ) ⎩ M 2 

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Formulación Lagrangiana

2.15- Un plano inclinado de masa M1 puede deslizar por una superficie horizontal plana. Sobre este plano L L inclinado se encuentran una caja de masa M2 y un M2 disco de masa M3, radio a y momento de inercia M3 respecto a su centro de masas I. La caja y el disco se encuentran unidos entre sí a través de un muelle de H a constante elástica k y longitud natural r0. Se sabe M1 que el disco rueda sin deslizar sobre el plano inclinado (véase la figura), que la gravedad actúa en α la dirección vertical y hacia abajo, y que todo el O movimiento tiene lugar en el mismo plano vertical. Además, considere que la caja roza con el plano inclinado con una fuerza de rozamiento Fr que es proporcional a la velocidad relativa de la caja respecto del plano Fr = -μvrel, donde μ es la constante de fricción. (a) Determine el número de grados de libertad del sistema y escoja un conjunto conveniente de coordenadas generalizadas para describir el movimiento. (b) Calcule la función Lagrangiana del sistema. (c) Obtenga las ecuaciones de movimiento del sistema. x + ( M 2 + M 3 ) cos α  s + M 3 cos α  r =0 ⎧( M1 + M 2 + M 3 )  ⎪ Solución: ⎨( M 2 + M 3 ) cos α  x + ( M 2 + M 3 + I / a 2 ) s + ( M 3 + I / a 2 ) r − ( M 2 + M 3 ) g sen α = − μ s ⎪ x + ( M 3 + I / a 2 )( r +  s ) − M 3 g sen α + k (r − r0 ) = 0 ⎩ M 3 cos α 

2.16- Una partícula puntual de masa m desliza sobre la superficie de una esfera de radio R por acción de la gravedad. La partícula roza sobre la superficie de la esfera, siendo la fuerza de rozamiento Froz = -μN (N es la reacción normal de la esfera sobre la partícula). Obtenga la ecuación de movimiento de la partícula, suponiendo que el movimiento tiene lugar en el plano vertical. Solución: Rθ − μ Rθ 2 + g ( μ cos θ − sen θ ) = 0

2.17- Encuentre, empleando el método de los multiplicadores de Lagrange, las ecuaciones de movimiento de un disco de masa m y radio R que puede rodar libremente sobre una superficie plana horizontal. Integre dichas ecuaciones para determinar las coordenadas generalizadas en función del tiempo. Suponga que el disco siempre está situado verticalmente respecto al suelo.

θ = kt + θ0 φ = k ' t + φ0

⎫ ⎪ ⎪ Solución: ⎬ siendo k, k’, θ0, φ0, A y B constantes de movimiento. xc = R (k '/ k ) sen(kt + θ 0 ) + A ⎪ yc = − R(k '/ k ) cos(kt + θ 0 ) + B ⎪⎭

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