problemas de matematicasAndalucia 2000

I.P.A.O. Granada

EXAMEN ANDALUCÍA 2000.

JARR

PROCEDIMIENTO SELECTIVO PARA EL INGRESO AL CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA. CONVOCATORIA 2000. M A T E M Á T I C A S

EJERCICIO 1: Construir un triángulo conociendo los lados "b" y "c" y la bisectriz "d" del ángulo que forman. Discusión del problema a resolver. SOLUCION TRIGONOMÉTRICA: La superficie del triángulo ABC es S=bcsen(2α)/2. La bisectriz la divide en dos triángulos de superficies: S 1 =bdsen(α)/2 y S 2 =cdsen(α)/2 Como S 1 +S 2 =S. Se tiene: y como sen(2α)=2sen(α)cos(α) Se tiene que . El problema quedará en construir un triángulo conocidos dos lados y el ángulo que forman (fácil). Para que se pueda construir dicho triángulo debe existir cos(α) luego , la bisectriz es menor que la media armónica de los lados. SOLUCIÓN CON REGLA Y COMPÁS. Si suponemos construido el triángulo, ABC, llevemos sobre la prolongación de uno de los lados (el b por ejemplo) el otro lado. Sea E el punto extremo de este segmento; el triángulo EAB es un triángulo isósceles (dos lados iguales a c). Por lo que los ángulos AEB y ABE son iguales y a su vez iguales a los ángulos CAD y DAB (es decir α); basta con ver la medida del ángulo EAB en uno y otro triángulo. De donde los segmentos AD y EB estarán contenidos en rectas paralelas y podemos aplicar el teorema de Tales, llamando x a la longitud del segmento EB, se tiene:

Construcción: mediante el teorema de Tales construimos con regla y compás la cuarta proporcional a los segmentos b+c, b y d; una vez determinado el segmento x, construimos un triángulo isósceles de lados c,c y x (ABE); y sobre la prolongación de uno de los lados iguales (AE) llevamos un segmento de longitud b (determina el vértice C), uniendo los extremos de este segmento (C) y el otro de longitud c (B) tenemos el triángulo pedido. Para que se pueda construir el triángulo ABE es necesario que el lado x