PROBLEMAS DE INGENIERIA TERMICA APLICADA (1).pdf

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA MECÁNICA - ENERGÍA

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN:

“TEXTO: PROBLEMAS DE INGENIERIA TERMICA APLICADA”

JEFE DEL PROYECTO ING. JORGE LUIS ALEJOS ZELAYA CIP. 26308

CRONOGRAMA (01 OCTUBRE 2007 AL 30 SETIEMBRE 2009)

RESOLUCIÓN RECTORAL Nº-1165-2007-R

Ing. Jorge Luis Alejos Zelaya

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ÍNDICE •

RESUMEN

04

•

INTRODUCCIÓN

05

•

MARCO TEORICO

08

CAPITULO I:

09

PRINCIPIOS BÁSICOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

1.1.- Conducción. Conductividad Térmica.

10

1.2.- Convección.

11

1.3.- Radiación.

12

CAPITULO II:

35

CONDUCCIÓN UNIDIRECCIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO.

2.1.- Pared plana.

36

2.2.- Paredes compuestas.

36

2.3.- Sistemas radiales.

37

2.4.- Transferencia de calor en superficies extendidas.

38

CAPITULO III:

71

CONVECCIÓN UNIDIRECCIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO.

3.1.- Convección libre.

72

3.2.- Convección forzada.

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CAPITULO IV:

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RADIACIÓN ENTRE SUPERFICIES.

4.1.- Intercambio de radiación de cuerpo negro.

92

4.2.- Intercambio de radiación entre superficies grises.

94

4.3.- Factor de forma.

95

CAPITULO V:

108

INTERCAMBIADORES DE CALOR

5.1.- Intercambiadores de calor de tubos concéntricos.

109

5.2.- Intercambiadores de calor de tubos y coraza.

109

5.3.- Intercambiadores de calor de flujo cruzado.

110

•

MATERIALES Y MÉTODOS.

150

•

RESULTADOS.

151

•

DISCUSIÓN.

152

•

REFERENCIALES

153

•

APÉNDICE

154

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RESUMEN

Por tratarse de un texto universitario, el presente trabajo tiene una estructura didáctica en el desarrollo de sus cinco capítulos; con una redacción clara y solución metodológica de los problemas y las aplicaciones

respectivas en los procesos de

Transferencia de Calor, donde es necesario determinar la energía en tránsito de los modos de transferencia de calor para el diseño de los componentes y sistemas en los que tiene lugar un intercambio energético, para así controlar térmicamente un proceso manteniendo las temperaturas de funcionamiento de los componentes sensibles al calor dentro de unos márgenes predeterminados, para el ahorro de energía

La presentación del texto sigue la línea clásica de tratar

por separado: la

Conducción, la Convección y la Radiación, para el posterior análisis energético en los Intercambiadores de calor donde se presentan la solución de los problemas por los métodos de la Diferencia Media Logarítmica de Temperatura y del Número de Unidades de Transferencia de Calor, métodos utilizados ampliamente ya que cada una de ellas ofrece sus propias ventajas al diseñador.

La obra servirá al estudiante de Ciencias e Ingeniería Térmica como apoyo al aprendizaje eficaz de los modos de transferencia de calor y las aplicaciones respectivas para practicar el arte del diseño de aparatos térmicos.

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INTRODUCCIÓN

La Ingeniería Térmica es una ciencia aplicada que estudia la producción y transformación de las distintas formas de energía y se fundamenta en la ciencia de la Termodinámica, para aplicarlos a la solución de problemas y necesidades industriales a fin de brindar mayores niveles de vida a la población.

Sabido es que una teoría resulta más productiva, mientras más simple sea en sus premisas y mayor alcance tenga en sus aplicaciones; por eso es que el “TEXTO: PROBLEMAS DE INGENIERÍA TÉRMICA APLICADA” es bastante versátil y proporciona al estudiante el desarrollo de problemas orientados a determinar la rapidez con la que bajo ciertas condiciones específicas tendrá lugar la transferencia de calor y su aplicación en el diseño Termo- Fluidos de Intercambiadores de Calor.

En cuanto a la presentación del material expuesto en la presente investigación, se ha tenido cuidado de cumplir con lo establecido en el planteamiento del problema, presentado de la siguiente manera:

¿Existe un texto que oriente adecuadamente al estudiante a analizar, plantear y solucionar problemas de la Ingeniería Térmica Aplicada en el estudio de los modos de transferencia de calor, con contenidos establecidos en el Plan Curricular vigente de la Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica?

Planteado el problema de Investigación, se trabajó para lograr los propósitos propios de la investigación, explicitados en: OBJETIVO GENERAL: Desarrollar un texto: “TEXTO: PROBLEMAS DE INGENIERIA TERMICA APLICADA” en forma ordenada y sistemática, que

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permita al estudiante de ingeniería: analizar, comprender, plantear y solucionar problemas de aplicación de los mecanismos de transferencia de calor al cálculo y diseño de aparatos térmicos

OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Después de estudiar el texto, el estudiante será capaz, de:

a.- Reconocer e Identificar problemas de los procesos de transformación y transmisión de energía térmica. b.- Aplicar los Principios de de Conservación de Masa y Energía en el Balance Térmico de los aparatos térmicos. c.- Plantear y resolver situaciones generales en que intervengan los fluidos principales y secundarios en los mecanismos de transferencia de calor. d.- Dar solución a problemas de aplicación en el cálculo y diseño de aparatos térmicos utilizados en los procesos industriales. e.- Utilizar adecuadamente métodos y técnicas en el análisis térmico de equipos de transferencia de calor y entienda las limitaciones que estos procedimientos puedan tener. f.- Describir y comprender el principio de de operación de los diferentes equipos de transferencia de calor.

De esta manera la investigación está orientada a fortalecer la formación profesional en las carreras afines de la Ingeniería Mecánica – Energía, por lo que tiene un papel preponderante y de allí nace la:

IMPORTANCIA Y JUSTIFICACIÓN El Proyecto de Investigación, titulado: “TEXTO: PROBLEMAS DE INGENIERIA TERMICA APLICADA” será un texto que permitirá facilitar al estudiante el proceso de aprendizaje de los modos de transferencia de calor y sus aplicaciones respectivas en el cálculo y diseño térmico de los intercambiadores de calor, con una metodología apropiada práctica en la labor del Ingeniero.

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en el desarrollo de problemas que tienen aplicación

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El

texto

está preparado para servir de complemento a las asignaturas de

Termodinámica y Transferencia de Calor, donde los estudiantes de Ingeniería podrían encontrar problemas reales y de gran significado de los modos de transferencia de calor y sus aplicaciones de conversión energética en un equipamiento térmico.

Por tratarse de un texto universitario, que pretende constituirse en un medio de apoyo al aprendizaje eficaz del alumno, el libro tendrá una estructura didáctica.

Se espera que este libro pueda proporcionar bases sólidas del conocimiento de energía térmica aplicada al estudiante de Ingeniería.

Serán muy apreciados todos los comentarios, sugerencias y/ó críticas.

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MARCO TEORICO

En esta etapa del Proyecto de Investigación se recurrió a la ubicación de las fuentes de información primaria ò directa citadas en la referencia; para un posterior análisis en sus contenidos de conceptos básicos de los modos de transferencia de calor unidimensional y estacionario que los gobiernan a través de ecuaciones ó leyes empíricas sustentadas en la experimentación, y aplicarlos en el estudio y desarrollo de problemas de aplicación en el diseño termo – fluidos de intercambiadores de calor, requeridos de acuerdo a un método determinado

El texto en su desarrollo tiene orden lógico y sistematizado en la solución de sus problemas de aplicación en el área de Ingeniería Térmica, tratándose por capítulos separados: la conducción , la convección y la radiación en régimen permanente y unidimensional,

para el posterior análisis y solución de problemas de tipos de

intercambiadores de calor por los métodos de la Diferencia Media Logarítmica de Temperatura y del Número de Unidades de Transferencia de Calor, métodos utilizados ampliamente ya que cada una de ellas ofrece sus propias ventajas al diseñador.

Cabe recalcar que en cada uno de los capítulos, se explica inicialmente una teoría básica, que es siempre un buen ejemplo de la creatividad humana necesaria para producir nuevos conocimientos y que permite orientar adecuadamente la Investigación, que a continuación se detalla en sus capítulos.

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CAPITULO I

PRINCIPIOS BÁSICOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

La Ingeniería Térmica Aplicada trata de los procesos de transferencia de calor y la metodología para calcular la velocidad temporal con que éstos se producen y así poder diseñar los componentes y sistemas en los que son de aplicación. La transferencia de calor abarca una amplia gama de fenómenos físicos que hay que comprender antes de proceder a desarrollar la metodología que conduzca al diseño térmico de los sistemas correspondientes. Algunos ejemplos de diseño pueden ser:

a) Los que requieren disminuir las cantidades de calor transferido mediante un aislante térmico, o amplificarlas mediante aletas u otros sistemas b) Los que implican procesos de transferencia de calor de un fluido a otro mediante intercambiadores de calor c) Los que controlan térmicamente un proceso, manteniendo las temperaturas de funcionamiento de los elementos sensibles al calor dentro de unos márgenes predeterminados, etc.

Siempre que exista un gradiente de temperatura en un sistema o siempre que dos sistemas con diferentes temperaturas se ponen en contacto se transfiere energía. El proceso mediante el cual se transporta la energía se conoce como Transferencia de Calor, donde lo que se transfiere se conoce como Calor y no puede medirse u observarse de manera directa, pero si los efectos que produce. Todos los procesos de Transferencia de Calor implican transporte y la conversión de la energía. Para proceder a realizar un análisis completo de la transferencia del calor es necesario considerar tres mecanismos diferentes, conducción, convección y radiación. Ing. Jorge Luis Alejos Zelaya

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El diseño y proyecto de los sistemas de intercambio de calor y conversión energética requieren de cierta familiaridad con cada uno de estos mecanismos.

1.1.- CONDUCCIÓN. CONDUCTIVIDAD TERMICA

A la mención de la palabra conducción debemos evocar de inmediato conceptos de actividad atómica y molecular, pues hay procesos en estos niveles que sustentan este modo de transferencia de calor. La conducción se considera como la transferencia de energía de las partículas más energéticas a las menos energéticas de una sustancia debido a las interacciones entre las mismas.

Cuando en un cuerpo existe un gradiente de temperatura

∂T , la experiencia ∂x

muestra que hay una transferencia de energía desde la región de alta temperatura hacia la región de baja temperatura. La razón a la cual se transfiere el calor por conducción ( q k )

es proporcional al gradiente de temperatura por el área a través de la cual se transfiere

el calor. q k .α . A.

dT dx

--------------------

(1.1)

En esta relación T(x) es la temperatura local y “x” es la distancia en la dirección del flujo de calor. La razón real de flujo de calor depende de la conductividad térmica “k”, la cual es una propiedad física del medio. Para la conducción a través de un medio homogéneo, la tasa de transferencia de calor es:

qk = − K . A.

dT dX

--------------------

(1,2)

La ecuación anterior se conoce como la Ley de Fourier de conducción de calor.

El signo negativo es consecuencia de la Segunda Ley de la Termodinámica. En el Sistema Internacional, el Área se expresa en (m2), la Temperatura en grados kelvin (K), la Distancia “x” en metros (m) y la razón de Flujo de Calor en Watts (W).

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CONDUCTIVIDAD TÉRMICA.- De acuerdo a la Ley de Fourier la conductividad

térmica queda establecida, por

qK K = A dT dX

. Por consiguiente, las unidades para la

 W  conductividad térmica son   y en el sistema inglés, que aun es muy utilizado  m.K   BTU   , el factor de de conversión por los ingenieros en los Estados Unidos, es   h. ft.º F  para “K” entre el SI y el Ingles, es:

1.W BTU = 0,578. m.K h. ft.º F

1.2.- CONVECCIÓN

El modo de transferencia de calor por convección se compone de dos mecanismos. Además de la transferencia de energía debida al movimiento molecular aleatorio (Difusión), la energía también se transfiere mediante el movimiento global o macroscópico del fluido.

La razón de transferencia de calor por convección entre una superficie y un fluido, se calcula por la Ley de Enfriamiento de Newton, la misma que se expresa: −

q c = h . A.∆T c

------------------------

(1,3)

Donde: q c = Tasa de transferencia de calor por convección (W) ó (BTU/h) A

= Área de transferencia de calor (m2) ó ( ft2)

∆T = Diferencia entre la temperatura superficial (T) y una temperatura del

fluido ( T∞ ) en un lugar específico (casi siempre alejado de la superficie) (k) ó (ºF) _

hc = Coeficiente de transfe5rencia de calor por convección promedio a través del área (a menudo llamado coeficiente de película o coeficiente de transferencia de calor por convección), (W/m2.K) ó (BTU/h.ft2.ºF)

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La distribución de temperaturas en la convección forzada y libre tienen formas análogas y en ambos casos el mecanismo de transferencia de calor en la interfase (fluido/sólido) es la conducción. El coeficiente de transferencia de calor por convección

hc depende, en general, de algunas propiedades inherentes al flujo del fluido, como son su densidad, viscosidad y velocidad, y de sus propiedades térmicas

hc = f (ρ, η, u, k, cp)

…………………. (1.4)

1.3.- RADIACIÓN. La cantidad de energía que abandona una superficie como calor radiante depende de la temperatura absoluta y de la naturaleza de la superficie. Un radiador perfecto o “cuerpo negro” emite energía radiante de su superficie a una razón (q r ) dada por: q r = σ . A1 .T14

------------------------- (1,5)

La razón de flujo de calor (q r ) estará en (W) ó (BTU/h) si el área de la superficie A1 está en metros cuadrados (m2) ó ( ft 2 ) y su Temperatura T1 está en grados Kelvin (K) ó (ºR). La constante dimensional de Stefan – Boltzmann ( σ ) con un valor de 5,67 x 10-8 W/m2.K

Si el cuerpo negro irradia en un espacio cerrado que también es negro, es decir que absorbe toda la energía radiante que incide en él, la razón neta de transferencia de calor radiante está dada por:

(

q r = A1 .σ . T14 − T24

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)

------------------------- (1,6)

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Problema 01.- Un flujo de calor de 3 kw se conduce a través de una pared transversal de10 m2 y espesor 2.5 cm. Si la temperatura de la superficie interna (caliente) es de 415 ºC y la conductividad térmica del material es de 0.2 W/m .K ¿Cuál es la temperatura

de la superficie externa? Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Conducción unidimensional. 3. Propiedades constantes.

Análisis: Según la ley de Fourier:

Resolviendo: T2 = 377.5 ºC

Problema 02.- Se determina que el flujo de calor a través de una tabla de manera de 50 mm de espesor, cuyas temperaturas sobre las superficies internas y externas son 40 y 20 º C, respectivamente, es 40W/m2. ¿Cuál es la conductividad

térmica de la

madera? Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Conducción unidimensional. 3. Propiedades constantes

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Análisis: Según la ley de Fourier

Resolviendo:

k = 0.1 W/m·K

Problema 03.- Las temperaturas de la superficie interna y externa de una ventana de vidrio de 5 mm de espesor son 15 y 5 º C. ¿Cuál es la perdida de calor a través de una

ventana que mide 1x3m de lado? Si la conductividad térmica del vidrio es 1.4W/m .K. Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Conducción unidimensional. 3. Propiedades constantes.

Análisis:

Según la ley de Fourier

q = 8400 W

Problema 04.- El comportamiento de un congelador consiste en una cavidad cubica que tiene 2 m de lado. Su ponga que el fondo esta perfectamente aislado. ¿Cuál es el

espesor mínimo de aislante de espuma de poliuretano (k= 0.030 W/m . K) que debe explicarse en las paredes superior y laterales para asegurar una carga de calor de menos de 500 W, cuando las superficies interior y exterior están a -10 y 35ºC ? Solución:

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Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Conducción unidimensional. 3. Propiedades constantes. 4. La pérdida de calor por el fondo de la cavidad es despreciable.

5. La pared de la cavidad cúbica es muy delgada.

Análisis: Según la ley de Fourier

Resolviendo:

L = 0.054 m

Problema 05.- ¿Cuál es el espesor que se requiere de una pared de mampostería que tiene una conductividad térmica de 0.75 W/m . K si al velocidad del calor será 80% de la velocidad del calor a través de una pared de estructura compuesta que tiene una conductividad térmica de 0.25 W/m .y un espesor de 100 mm? Ambas paredes están sujetas a la misma diferencia de temperatura superficial.

Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Conducción unidimensional. 3. Propiedades constantes.

Análisis: Según el enunciado del problema

Aplicando la ley de Fourier

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q' ' 2 = 0.8q' '1

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Resolviendo

L2 = 0,375 m. Problema 06.- Un clip cuadrado de silicio (k=150 W/m .K) tiene un ancho w = 5 mm de lado y espesor t =1 mm. El clip se monta en un sustrato de modo que sus lados y la superficie inferior quedan aislados, mientras que la superficie frontal se expone a un fluido refrigerante. Si se disipan 4 W de los circuitos montados en la superficie posterior del clip, ¿Cuál es la diferencia de temperaturas de estado estable entre las

superficies inferior y frontal? Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Conducción unidimensional. 3. Propiedades constantes. 4. La pérdida de calor por el fondo y por los lados es despreciable.

Análisis: Según la ley de Fourier

Resolviendo:

∆ T = 1.067 ºC Problema 07.- Usted a experimentado el enfriamiento por convención si alguna vez saco la mano por la ventana de un vehículo en movimiento o si la sumergió en una corriente de agua. Si la superficie de la mano se considera a una temperatura de 30ºC.

Determine el flujo de calor por convección para una velocidad de 0.2m/s en una corriente de agua a 10ºC con un coeficiente de convención de 900W/m2. K ¿en cuál condición se sentiría mas frio? Compare estos resultados con una pérdida de calor de aproximadamente 30 W/m2 en condición ambiental normales.

Solución:

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Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. La temperatura de la mano es uniforme. Análisis: Según la ley de enfriamiento de Newton: q" = h(Ts − T∞ )

Para el aire: q" = 40(30 + 5) = 1400W / m 2 Para el agua: q" = 900(30 − 10) = 18000W / m 2

Problema 08.- Un calentador de resistencia eléctrica se encapsula en un cilindro largo de 30 mm de diámetro. Cuando fluye agua con una temperatura de 25º C velocidad de 1m/s cruzando el cilindro, la potencia por unidad de longitud que se requiere para mantener la superficie a una temperatura uniforme de 90ªC es 28 k/W m. Cuando fluye aire, también a 25ªC, pero con una velocidad de 10 m/s, la potencia por unidad de longitud que se requiere para mantener la misma temperatura superficial es 400 W/m.

Calcule y compare los coeficientes de convención para los flujos de agua y aire. Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. La temperatura de la superficie es uniforme.

4. El cilindro es muy largo. Análisis: Según la ley de enfriamiento de Newton: q ' = hπD(Ts − T∞ ) Resolviendo para el coeficiente convectivo y sustituyendo los datos conocidos Para el agua:

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Para el aire:

Problema 09.- Un calentador eléctrico de cartucho tiene forma climático de longitud L=200 mm y diámetro exterior D=20mm. En condiciones de operación normal el calentador disipa 3 KW, mientras se sumerge en un flujo de agua que esta a 20º C y provee un coeficiente de transferencias de calor por convención de h=5000W/m2 .K. Sin tomar en cuenta la transparencia de calor de los extremos el calentador, determine la temperatura superficial TS. Si el flujo de agua cesa sin advertirlo mientras el calentador se expone al aire que también está al 20ª C, pero para el que h=50 W/m2 .K ¿Cuál es la

temperatura superficial correspondiente? ¿Cuáles son las consecuencias de tal evento? Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. La temperatura de la superficie es uniforme.

Análisis: Según la ley de enfriamiento de Newton: q ' = hπD (Ts − T∞ ) Resolviendo para la temperatura de la superficie y sustituyendo los datos conocidos

Para el agua:

Para el aire:

Comentarios: •

Como puede verse en los resultados obtenidos la temperatura de la superficie cuando el cilindro es enfriado con aire es mucho mayor que la

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temperatura que se alcanza cuando el cilindro es enfriado con agua. •

Si

el

calentador

eléctrico estuviera construido de cobre puro (punto de

fusión = 1085 ºC) este se fundiría antes de que la temperatura llegase a los 3203.10 ºC.

Problema 10.- Un clip cuadrado isotérmico tiene un ancho w=5mmde lado y esta montado en un sustrato de modo que sus superficies lateral e inferior estén bien aisladas, mientras que la superficie frontal se expone a al corriente de un fluido refrigerante a tT8=15ºC. A partir de consideraciones de confiabilidad, la temperatura del clip no debe exceder T=85ºC. Si el fluido refrigerante es aire y el coeficiente de convección correspondiente es h=200 W/m2 .K ¿Cuál es la potencia máxima admisible del clip?

Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. La temperatura de la superficie es uniforme.

4. La pérdida de calor a través del sustrato es despreciable.

Análisis: Según la ley de enfriamiento de Newton:

Además:

q =P

(P es la potencia disipada por el chip en W)

Sustituyendo los datos conocidos, para el refrigerante con h = 200 W/m2·K

2 P = 200(0.005)  ( 85 – 15 ) = 0.35 W

Para el refrigerante con h = 3000 W/m2·K

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2 P = 3000(0.005) (85–15) = 5.25W

Problema 11.- El control de temperatura para una secadora de ropa consiste en un conmutador bimetálico montado sobre un calentador eléctrico único a una almohadilla aislante instalada en la pared. El conmutador se fija par abrirse a 70ºC, que es la temperatura máxima del aire de secado. A fin de operar la secadora a una temperatura de aire mas baja, se suministra potencia suficiente al calentador de modo que el conmutador alcance 70ºC (t

Max)

cuando la temperatura del aire T8 sea menor que T

coeficiente de transferencia de calor por

Max.

Si el

convección entre el aire y la superficie

expuesta del conmutador de 30 mm2 es 25 W/m2.K ¿Cuánta potencia de calentamiento

Pese requiere para cuando la temperatura deseada del aire T8=50ºC? Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. La temperatura de la superficie es uniforme.

4. La pérdida de calor a través del aislante es despreciable.

5. El switch bimetálico es muy delgado.

Análisis: Según la ley de enfriamiento de Newton: q = hA(Tset − T∞ )

Además

q=P

(P es la potencia disipada por el calentador eléctrico en W)

Sustituyendo los datos conocidos:

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Problema 12.- El coeficiente de transferencias de calor por convención libre sobre un placa delgada vertical caliente en aire quieto se determina observando el cambio de la temperatura de la placa al paso del tiempo, a medida que esta se enfría. Suponiendo que la placa es isotérmica y que el intercambio de radiación con sus alrededores es significante, evalúe el coeficiente el coeficiente de de convección en el momento en que la temperatura de la placa es de 225ºCy que el cambio en la temperatura de la placa con el tiempo (dt/dt) es- 0.022K/s. La temperatura del aire ambiente es de 3.75 kg un calor especifico de 2770j/kg .K.

Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. La temperatura de la superficie es uniforme.

4. La placa es muy delgada. 5. La radiación es despreciable.

Análisis: Aplicando un balance de energía en la placa entera

Además:

A = 2wH

Sustituyendo en el balance se tiene Resolviendo para h

W / m 2 .K

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Problema 13.- Una sonda interplanetaria esférica de 0.5 m de diámetro contiene dispositivos electrónicos que disipan 150w. Si la superficie de la sonda tiene una emisividad de 0.8, y la sonda no recibe radiación de otras superficies como, por ejemplo, el sol, ¿Cuál es la temperatura de la superficie?

Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. La temperatura de la superficie es uniforme.

Análisis: El calor disipado por la esfera está dado por la ecuación:

E = q = εσATS4

Resolviendo para Ts

Problema 14. Con transferencias de calor por convención al aire, se encuentra que la potencia máxima permisible del chip es 0.35 W. Si también se considera la transferencia neta de calor por radiación de la superficie del clip a alrededores a 15ºC. . La superficie del chip tiene una emisividad de 0.9. ¿Cuál es el porcentaje de aumento en la

potencia máxima permisible en el chip proporcionado por esta consideración? Solución: Esquema:

Suposiciones: 1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3.

La temperatura de la superficie es

uniforme.

4. La pérdida de calor a través del sustrato es despreciable.

5.

La radiación se presenta entre una

superficie pequeña y un gran encierro.

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Análisis: La pérdida de calor por convección es:

La pérdida de calor por radiación es:

Sustituyendo los datos conocidos:

La pérdida de calor total que corresponde a la potencia disipada por el chip es

P = q cv +  q rad

P = 0.35 +  0.012 = 0.362 W

Por lo tanto:

El porcentaje de aumento es

Comentario: Como puede verse en este ejemplo resulta obvio que podría despreciarse la transferencia de calor por radiación en posteriores cálculos que involucren al mismo chip.

Problema 15.- Se conecta un resistor eléctrico a una batería, como se muestra en el esquema. Después de una breve fluctuación transitoria, la resistencia toma una temperatura de estado estable casi uniforme de 90º, mientras que la batería y los alambres de conexión permanecer a al temperatura ambiente de 25º C. No tome en cuenta la resistencia

eléctrica de los alambres de conexión. Considere el resistor

como un sistema alrededor del cual se coloca una superficie de control.

Determinar a) Los valores correspondientes de E net (W), E g (w), E sal (w), E y

Alm.

(w).

b) Si se coloca una superficie de control alrededor del sistema entero ¿Cuáles son los valores de E ent., E g, E sal, y E Alm.

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Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. La temperatura de la superficie es uniforme.

4. La radiación es despreciable. Análisis: a) La energía generada en el transistor es

E& g = q&V

Resolviendo para q

Donde:

Por lo tanto:

b) Desarrollando un balance de energía en el transistor Donde:

Por lo tanto:

E& g = E& out

A = πDL E& g = hDL π (TS − T∞ )

Resolviendo para h y sustituyendo los valores conocidos

Problema 16.-Una esfera sólida de diámetro D=1m y emisividad superficial e= 0.30 se precalienta y después se suspende en una cámara grande de vació enfriada criogenicamente, cuyas superficies interiores se mantienes a 8 k.

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¿Cuál es la velocidad de cambio de la energía almacenada por el sólido cuando su temperatura es 600k? Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado transitorio. 2. Propiedades constantes. 3. La temperatura del sólido es uniforme.

4. La radiación se presenta entre una superficie pequeña y un gran encierro.

Análisis:

Desarrollando un balance de energía en la esfera E& ST = − E& OUT

Donde:

y

A = πD 2

Por lo tanto:

Sustituyendo los valores conocidos:

W

Problema 17.- en una estación espacial orbital, un paquete electrónico se almacena en un compartimiento que tiene un área superficial AS =1 m2, que expone al espacio. En condiciones normales de operación, los dispositivos electrónicos disipan 1 Kw., que debe transferirse en su totalidad de la superficie expuesta al espacio. Si la emisividad de

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la superficie es 1.0 y la superficie no se expone al sol, ¿Cuál es su temperatura de estado estable? Si la superficie se expone a un flujo solar de 750 W/m2 y su absortividad a la radiación solar es 0.25. ¿Cuál es su temperatura de estado estable?

Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. La temperatura de la superficie es uniforme.

4. La radiación se presenta entre una superficie pequeña y un gran encierro.

Análisis

Donde:

E& g = E& OUT

Realizando un balance de energía

E& OUT = εσATS4

E g = 1000 W

Sustituyendo en el balance y resolviendo para Ts 1000 = εσATS4

Sustituyendo los datos conocidos

Si se presenta absorción de energía

Donde:

E& IN = αAG

E& g = 1000W

E& OUT = εσATS4

Sustituyendo en el balance y resolviendo para Ts

αAG + 1000 = εσAT

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4 S

 αAG + 1000  TS =   εσA  

1/ 4

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Sustituyendo los datos conocidos

Problema 18.- En una etapa de un proceso de recocido, 304 hojas de acero inoxidable se llevan

de 300 K a 125 K conforme pasan a través de un horno

calentando

eléctricamente a una velocidad de Vs=10 mm/s. el espesor y ancho de la hoja son ts=8 mm y Ws=2m, respectivamente, mientras que la altura, ancho y largo del horno son H0=2m, W0=2.4m, y L0 = 25 m, respectivamente, mientras que la altura, ancho y largo del horno se exponen al aire ambiental y a alrededores, cada uno se exponen al aire ambiental y alrededores, cada uno a 300 K, y la temperatura de la superficie, coeficiente de conveccion y emisividad respectivos son Ts=350 K, h=10 W/m2 * K y ∈s = 0.8. La superficie inferior del horno también esta a 350 K y reposa en una placa de concreto de 0.5 m de espesor cuya base está a 300 K. Estime la potencia eléctrica, Pelec que se

requiere suministrar al horno. Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. La radiación se presenta entre una superficie pequeña y un gran encierro.

Propiedades: Para una Temperatura promedio AISI 304 (T = (300 + 1250) / 2 = 775 K ) : ρ = 7900kg / m 3 , c p = 578.875 J / kg.K Concreto: k = 1.4 W/m·K

Análisis:

Donde:

Realizando un balance de energía:

E& IN = Pe

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E& IN = E& OUT

E& OUT = q sh + q rad + q cv + q cd

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q sh = m& c p (T0 − Ti )

Además:

m& = VρA = 10 x10 −3 (7900)( 2)(0.008) = 1.264kg / s q sh = 1.264(578.875)(1250 − 300) = 695113.1W

4 q rad = εσA1 (TS4 − Tsur )

A1 = 4 H 0W0 + L0W0 = 19.2 + 60 = 79.2m 2

q rad = 0.8(5.67 x10 −8 )(79.2)(350 4 − 300 4 ) = 24810.8W

,

q cv = 10(79.2)(350 − 300) = 39600W

A2 = L0W0 = 25(2.4) = 60m 2

Sustituyendo lo anterior en el balance:

Pe = 768 Kw.

Problema 19.- En un contenedor cilíndrico largo de pared delgada se empacan desechos radiactivos. Estos generan energía térmica de manera no uniforme de acuerdo con la relación q = qo [1 − ( r / r0 ) 2 ], donde q es la velocidad local de generación de energía por unidad de volumen, qo es una constante, y r0 es el radio del contenedor. Las condiciones de estado estable se mantienen sumergiendo el contenedor en un líquido que esta a T∞ y proporciona un coeficiente de conveccion h uniforme. Obtenga una expresión para la

velocidad total a la que se genera energía por unidad de longitud del contenedor. Aproveche este resultado y obtenga una expresión para la temperatura Ts de la pared del contenedor.

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Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. La temperatura de la superficie es uniforme. 4. La pared del contenedor es muy delgada.

Análisis: La cantidad total de energía generada es:

E& g = q&V

Sin embargo como la generación volumétrica de calor depende del radio del contenedor se tiene r0

E& g = ∫ q&dV 0

La diferencial del volumen de un cilindro es:

dV = 2πrLdr

Sustituyendo en la integral

Integrando y simplificando:

La ecuación final es:

Para obtener una expresión para evaluar la temperatura de la superficie se realiza un balance de energía en la misma

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E& g = E& out

(Este balance es por unidad de longitud del contenedor)

Donde

Sustituyendo en el balance y resolviendo para Ts

Problema 20.- En un contenedor esférico de pared delgada se empacan desechos radiactivos. Estos generan energía térmica de manera no uniforme de acuerdo con la relación q = q o [1 − ( r / r0 ) 2 ], donde q es la velocidad local de generación de energía por unidad de volumen, qo es una constante y ro es el radio del contenedor. Las condiciones de estado estable se mantienen sumergiendo el contenedor en un líquido que esta a T∞ y proporciona un coeficiente de conveccion h uniforme.Obtenga una expresión para la

velocidad total a la que se genera energía térmica en el contenedor. Con este resultado obtenga una expresión para la temperatura Ts de la pared del contenedor. Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. La temperatura de la superficie es uniforme. 4. La pared del contenedor es muy delgada.

Análisis:

La cantidad total de energía generada es:

E& g = q&V

Sin embargo como la generación volumétrica de calor depende del radio del

contenedor se tiene:

El diferencial de volumen de una esfera es:

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Sustituyendo en la integral:

Integrando y simplificando:

La ecuación final es:

Para obtener una expresión para evaluar la temperatura de la superficie se realiza un balance de energía en la misma:

E& g = E& out

Donde

Sustituyendo en el balance y resolviendo para Ts.

Problema 21.- Un trozo de hielo en un contenedor de paredes delgadas de 10 mm de espesor y 300 mm por lado se coloca en una almohadilla bien aislada. En la superficie superior, el hielo se expone al aire ambiental para el que T∞=250C y el coeficiente de conveccion es 25 W/m2 * K,. Sin tomar en cuenta la transferencia de calor de los lados y suponiendo que la mezcla de hielo-agua permanece a 0ºC.¿Cuánto tiempo tardara en

fundirse por completo el hielo? La densidad y calor latente de fusión del hielo son 920 kg/m3 y 334 kJ/kg, respectivamente.

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Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. La temperatura de la superficie es uniforme. 4. La pared del contenedor es muy delgada. 5. La pérdida de calor por los lados y por la parte inferior del contenedor es despreciable.

6. La mezcla de agua y hielo permanece a 0 ºC.

Análisis: Realizando un balance de energía:

Donde: E in = hw 2 (T∞ − Ts )t

Sustituyendo en el balance:

E in = ∆E st = ∆U lat

∆E st = mhsf

m = ρV = ρw 2 t h

hw 2 (T∞ − Ts )t = ρw 2 t h hsf

Resolviendo para t y sustituyendo los datos conocidos

Problema 22.- Unos

dispositivos electrónicos de potencia se montan en un disipador

de calor que tiene un área de superficie expuesta de 0.045 m2 y una emisividad de 0.80. Cuando los dispositivos disipan una potencia total de 20 W y el aire y los alrededores están a 270C, la temperatura promedio del disipador es de 420C. ¿Qué temperatura

promedio alcanzara el disipador cuando los dispositivos disipen 30 W para la misma condición ambiental?

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Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. El coeficiente convectivo permanece constante.

4. La temperatura de la superficie es uniforme.

Análisis:

Realizando un balance de energía:

Sustituyendo en el balance y resolviendo para h

Sustituyendo los datos conocidos

Si se disipan 30 W

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E& g = E& out

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Sustituyendo los datos conocidos

Resolviendo por Newton-Raphson

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Ts = 322.4 K

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CAPITULO II

CONDUCCIÓN UNIDIRECCIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO.

La conducción es una forma de transferencia térmica según la cual, el calor viaja desde una región de temperatura elevada a otra de menor temperatura, pudiendo aparecer en los sólidos, en los líquidos y en los gases. Para el caso de los líquidos y gases, la conducción se encuentra normalmente en combinación con la convección; la conducción pura tiene lugar, fundamentalmente, en los sólidos opacos.

En lo que sigue consideraremos que el medio conductor es un sólido, pero los principios que se desarrollan pueden aplicarse asimismo a aquellos líquidos y gases en los que el movimiento convectivo se encuentre limitado por el mecanismo que sea.

El estudio de la conducción térmica se puede realizar siguiendo tres directrices principales:

a)

En la primera interviene la conducción en régimen estacionario, en el que la temperatura resulta ser función de una determinada dirección.

b) En la segunda la temperatura es función de dos o tres direcciones. c)

La tercera se corresponde con la conducción en régimen transitorio

La ecuación de la conducción es una expresión matemática, consecuencia del Principio de Conservación de la Energía en una sustancia sólida; se obtiene mediante un balance energético en un elemento de volumen del material en el que se realiza la Ing. Jorge Luis Alejos Zelaya

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transferencia de calor por conducción. La transferencia de calor debida a la conducción está relacionada con la distribución de temperaturas mediante la ley de Fourier.

2.1.- PARED PLANA.

Una aplicación inmediata de la ley de Fourier corresponde al caso de la transmisión del calor a través de una pared plana. Cuando las superficies de la pared se encuentran a temperaturas diferentes, el calor fluye sólo en dirección perpendicular a las superficies. Si la conductividad térmica es uniforme, la integración de la ecuación de Fourier proporciona:

QK = −

K.A (T2 − T1 ) = K . A (T1 − T2 ) = T1 −L T2 L L K.A

……….. (2.1)

Donde: L es el espesor de la pared, T1 es la temperatura de la superficie de la izquierda x = 0, y T2 es la temperatura de la superficie de la derecha x = L

2.2.- PAREDES COMPUESTAS.

Paredes en serie: Si el calor se propaga a través de varias paredes en buen contacto térmico, capas múltiples, el análisis del flujo de calor en estado estacionario a través de todas las secciones tiene que ser el mismo. Sin embargo en un sistema de tres capas, los gradientes de temperatura en éstas son distintos. El calor transmitido se puede expresar para cada sección y como es el mismo para todas las secciones, se puede poner:

QK =

T1 − T2 T −T T −T T1 − T4 = 2 3 = 3 4 =  L   L   L   L   L   L          +  +   K . A  A  K . A  B  K . A c  K . A  A  K . A  B  K . A C

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…….. (2.2)

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En la que T1 y Tn + 1 son la temperatura superficial de la capa “1” y la temperatura superficial de la capa “n” respectivamente.

Paredes en paralelo.- Las ecuaciones anteriores se pueden utilizar en la resolución de problemas más complejos, en los que la conducción tiene lugar en paredes dispuestas en paralelo. Se muestra un bloque formado por dos materiales de áreas A1 y A2 en paralelo; para su resolución hay que tener en cuenta que para una determinada diferencia de temperaturas a través del bloque, cada capa del conjunto se puede analizar por separado, teniendo presentes las condiciones impuestas para el flujo unidimensional a través de cada una de las dos secciones.

Si la diferencia de temperaturas entre los materiales en contacto es pequeña, el flujo de calor paralelo a las capas dominará sobre cualquier otro flujo normal a éstas, por lo que el problema se puede tratar como unidireccional sin pérdida importante de exactitud. Como el calor fluye a través de los dos materiales según trayectorias separadas, el flujo total de calor Qk será la suma de los dos flujos:

QK = Q1 + Q2 =

T1 − T2 T −T 1 1 T −T + 1 2 = ( + )(T1 − T2 ) = 1 2 R1.R2  L   L  R1 R2     R1 + R2  K . A 1  K . A  2

……. (2.3)

En la que el área total de transmisión del calor es la suma de las dos áreas individuales y la inversa de la resistencia total es igual a la suma de las inversas de todas las resistencias individuales.

2.3.- SISTEMAS RADIALES.

Para el caso de cilindros de capas múltiples con convección y radiación al medio exterior, la energía en transito denominado calor se determina:

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Q = U . A.(TPF − TPO ) =

TPF − TPO 1 U .A

………………… (2.4)

La resistencia térmica en paralelo se puede sustituir por una única, considerando un coeficiente de convección. hc = hCF + hrF

El circuito térmico correspondiente, es:

La resistencia térmica total queda establecido, por:

rA r ln 2 1 1 ri 1 rA = + + + U . A 2π .r1.L.hci 2π .K1.L 2π .K 2 .L 2π .r2 .L.(hCF + hrF ) ln

………. (2.5)

2.4.- TRANSFERENCIA DE CALOR EN SUPERFICIES EXTENDIDAS.

Las superficies ampliadas tienen un extenso campo de aplicaciones en problemas de transmisión de calor, desde radiadores de automóviles o equipos de aire acondicionado, hasta los elementos combustibles de reactores nucleares refrigerados por gases, o los elementos de absorción y disipación de energía en vehículos espaciales, o los equipos de refrigeración y calentamiento en la industria química, etc.

Antes de entrar en la resolución de los problemas térmicos en superficies específicas, es conveniente hacer una interpretación intuitiva de la necesidad de las superficies ampliadas, que se conocen como aletas, así como de sus secciones

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transversales, laterales y perfiles (sección recta), que se corresponden con figuras geométricas con posibilidades de fabricación en serie, tales como las rectangulares, triangulares, trapezoidales, parabólicas e hiperbólicas, con dimensiones en las que la relación (longitud/espesor) es del orden de 5/1 ÷ 50/1, y espesores del orden de 0,5 ÷10 mm. Las aletas se pueden disponer sobre superficies planas o curvas. Si la disposición es de tipo longitudinal, se puede admitir que la superficie de encastre donde se apoya la aleta es plana, siempre que el radio del tubo sea elevado frente al espesor de la aleta.

Cuando las aletas son sólidos de revolución o paralelepípedos se denominan protuberancias y su disposición puede admitirse sobre superficies planas cuando la superficie de la protuberancia en la base sea pequeña frente a la superficie de esta última. Las protuberancias se tratan con distribución de temperatura constante para cada sección recta paralela a la base, lo que equivale a admitir que la relación entre la longitud L de la protuberancia y el diámetro o longitud equivalente en la base, es elevada, pudiéndose considerar la transmisión de calor como unidireccional; cuando esta hipótesis no se cumpla se estudia el fenómeno de la transmisión de calor en tres dimensiones. Las aletas y las protuberancias se disponen en la superficie base constituyendo un conjunto, siendo el más frecuente un tubo en el que el número de aletas o protuberancias es variable, con una separación del orden de 1 a 6 centímetros para las aletas, y una distribución de retícula cuadrada o triangular para las protuberancias. Para satisfacer las necesidades térmicas, los elementos se acoplan en serie o en paralelo constituyendo un intercambiador de calor. Cuando el fluido que circula por las aletas está confinado y se mueve mediante un sistema de bombeo, hay que tener en cuenta la energía necesaria para mantener el coeficiente de convección a través de las aletas, procurando que la energía térmica extraída sea máxima frente a la energía utilizada en mover el fluido.

a) Aletas longitudinales

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b) Aletas transversales

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Problema 01.- Una pared de ladrillo de 0,1 metros de espesor y k = 0,7 W/m°K, está expuesta a un viento frío de 270°K, con un coeficiente de película de 40 W/m2°K.

El lado opuesto de la pared está en contacto con el aire en calma a 330°K, y coeficiente de película de 10 W/m2°K. ¿Calcular el calor transmitido por unidad de área y unidad de tiempo. Solución.-

q=

Tint − Text 3

∑R

=

Tint − Text R1 + R2 + R3

i

I =1

R1 = R2 =

1 hei A

=

1 ºC = 0,025 40 x1 W

e 0,1 ºC = = 0,143 kA 0,7 x1 W

R3 =

1 1 ºC = = 0,1 hce 10 x1 W

Calor transmitido por unidad de superficie y unidad de tiempo: q 330 − 270 W = = 224 2 A 0,025 + 0,143 + 0,10 m

Problema 02.- Una pared plana grande, tiene un espesor de 0,35 m; una de sus superficies se mantiene a una temperatura de 35°C, mientras que la otra superficie está a 115°C. Únicamente se dispone de dos valores de la conductividad térmica del material de que está hecha la pared; así se sabe que a 0°C, k = 26 W/m°K y a 100°C, k = 32 W/m°K. Determinar el flujo térmico que atraviesa la pared, suponiendo

que la conductividad térmica varía linealmente con la temperatura. Solución.Se sabe que para T = 0º C ; k = 26

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W m.º K

y que para T = 100º C ; k = 32

W m.º K

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La temperatura media de la pared es: T p =

115 + 35 = 75º C 2

El coeficiente de conductividad térmica media se puede obtener interpolando linealmente entre las dos temperaturas dadas:

kˆ − 26 32 − 26 W = ; kˆ = 26 + 4,5 = 30,5 75 100 m.º C

Flujo térmico a través de la pared:

q ˆ T pi − T pe 115 − 35 W =k = 30,5 x = 6971,5 2 A e 0,35 m

Problema 03.- Calcular la densidad de flujo térmico por metro lineal de un conducto cilíndrico, de diámetro exterior de = 12 cm, y diámetro interior di = 5 cm, si la temperatura Te = 200°C y la interior Ti= 60°C. Se supondrá una conductividad térmica del material, a la temperatura media, de 0,50 Kcal/ m.h.°C

Solución.-

q = −kA

T − Tpe dT dT Kcal 60 − 200 = −2π 0,5 x1mx = −k (2πrL ) = −2πkL pi r 6 dr dr h.m.º C ln e ln ri 2,5

q = 502,3

Kcal hora

Problema 04.- En un tubo cilíndrico de 4 cm de diámetro interior y 8 cm de diámetro

exterior

se transmite

calor por conducción

en dirección

radial,

manteniéndose las temperaturas de las superficies interior y exterior a Tpi = 80°C y Tpe = 100°C. Si la conductividad térmica del material de que está formado el tubo varía linealmente con la temperatura en la forma: k = 1 + 0,004 T, con k en Kcal/m.h.°C, y T en °C. Determinar la temperatura del tubo en la zona

correspondiente a un diámetro d=6 cm en los siguientes supuestos: a) Trabajando con el valor medio de k b) Trabajando con el valor de k correspondiente a cada punto del tubo.

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Solución.a) Trabajando con el valor medio de “k”:

T pe

100

∫ kdt

kˆ =

q = 2πkˆL

T pi

T pe − T pi

=

∫ (1 + 0,004T )dT

80

100 − 80

= 1,36

Kcal hmº C

T pe − T pi 100 − 80 Kcal  Kcal  = 2π 1,36 = 246,56  x1m re 4 hora  hmº C  ln ln 2 ri

Temperatura T del tubo en un diámetro correspondiente a: d = 6 cm. 100 − T Kcal  Kcal  2π 1,36 = 246,56 ; T = 91,7 º C  x1m 4 hora  hmº C  ln 3 b) En el supuesto de trabajar con el valor de k correspondiente a cada punto del tubo, se puede suponer un valor de k de la forma:

k=

246,56 =

kTpe + k T 2

=

(1 + 0,004 x100) + (1 + 0,004T ) = 1,2 + 0,002T 2

2π (1,2 + 0,002T )(100 − T ) ; 0,002T 2 + T − 108,72 = 0 ; T = 91,84º C 4 ln 3

Con esta temperatura de 91,84 ºC habría que iterar y rehacer los cálculos.

Problema 05.- Un tubo de diámetro de = 0,5 metros, cuya emitancia superficial vale ε=0,9, que transporta vapor de agua, posee una temperatura superficial de 500°K. El tubo está localizado en una habitación a 27°C, y el coeficiente de transmisión de calor por convección entre la superficie del tubo y el aire de la habitación se puede considerar igual a hc = 20 W/m2°K. Calcular:

a) La conductancia superficial unitaria combinando radiación y convección b) El calor disipado por unidad de tiempo y por metro de longitud del tubo

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Solución.a) El tubo se puede considerar como un cuerpo emisor, rodeado por un cuerpo negro que es la habitación; además hay que tener presente la convección. Por lo tanto, la conductancia global será: h = hC + hR Pero hC = 20

hR =

……….

(I)

W es dato del problema m2 º K

(

σεA Ttubo 4 − Text 4 A(Ttubo − Text )

hR = 13,88

) = 5,67.10 (W / m º K )x0,9 x1m (500 −8

2

4

2

4

(500 − 300)º K

)

− 3004 º K 4

W mº K

Reemplazando valores en la ecuación (I):

h = 20 + 13,88 = 33,88

W m2 º K

b) Pérdidas de calor por unidad de tiempo y por metro de longitud de tubo: Q = πd e Lh(Ttubo − Text ) = πx0,5 x1x33,88(500 − 300 ) = 10650W

Problema 06.- En una tubería de aluminio vaporiza agua a 110°C. La tubería tiene un coeficiente de conductividad térmica k = 185 W/m°K, un diámetro interior di = 10 cm, y un diámetro exterior de = 12 cm. La tubería está situada en una habitación en la que la temperatura ambiental del aire es de 30°C, siendo el coeficiente de transferencia térmica convectiva entre la tubería y el aire hc=15 W/m2°K. Determinar

la transferencia de calor para los siguientes casos: a) La tubería no se encuentra aislada b) La tubería se encuentra aislada y, para ello, se recubre con una capa de aislante de 5 cm de espesor, k1=0,20 W/m°K. Se admitirá que es despreciable la resistencia convectiva del vapor.

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44

Solución.a) Como el

hcvapor

es muy elevado, su resistencia convectiva R1 será muy pequeña

(despreciable), y podemos considerar que la temperatura interior del tubo coincide con la temperatura del vapor.

q=

q=

Tvapor − TF R1 + R2 + R3

= R1 = 0 =

Tvapor − TF 110 − 30 = r 1 6 1 1 1 ln e + ln + 2πk ri 2πre he F 2πx185 5 2π 0,06 x1,5

110 − 30 W = 452 −4 1,568.10 + 0,1768 m

b) Tubería con revestimiento térmico:

q=

q=

Tvapor − TF R1 + R2 + R3 + R4

= R1 = 0 =

Tvapor − TF r 1 r 1 1 ln e + ln 3 + 2πk ri 2πk * re 2πre heF

110 − 30 110 − 30 W = = 138,2 −4 1 6 1 11 1 1,568.10 + 0,4823 + 0,09645 m ln + ln + 2π 185 5 2π 0,2 6 2πx0,11x15

Se observa que la presencia del aislamiento reduce la pérdida de calor en un 70%. En ambos casos se podía haber despreciado la resistencia térmica de la tubería de A1 sin perder mucha exactitud en el cálculo de la transferencia de calor por unidad de tiempo.

Problema 07.-Se considera cobre y acero inoxidable (AISI 304) como material para las paredes de la tobera de un cohete enfriada por líquido. El exterior enfriado de la pared se mantiene a 150ºC, mientras que los gases de combustión dentro de la tobera están a 2750ºC. El coeficiente de transparencia de calor del lado del gas es hi, = 2 x 104 W/m2 . K, y el radio de la tobera es mucho mayor que el espesor de la pared. Limitaciones térmicas indican que la temperatura del cobre y la del acero no exceden 540ºC y 980ºC, respectivamente. ¿Cuál es el espesor máximo de la pared que se podría emplear

para cada uno de los dos materiales?

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Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Conducción unidimensional. 3. Propiedades constantes. 4. Radiación despreciable. 5. Las temperaturas son uniformes.

Propiedades: De las tablas termo físicas de la materia, se tiene:

Cobre T=

540 + 150 + 273 = 618 K 2

k = 377.8 W/m·K.

AISI 304 T = (980 + 150)/  2) +  273 = 838 K : k = 23.1 W/m·K.

Análisis: El circuito térmico de nuestro problema es

Por lo tanto el flujo de calor a través de la pared es

Resolviendo para L

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Para el cobre con Ts,i = 540 ºC

Para el acero inoxidable con Ts,i = 980 ºC

Problema 08.-Lo helado de la brisa, que se experimenta en un día frío y con viento, se relaciona con el incremento de la transferencia de calor de la piel humana expuesta a la atmósfera circundante. Considere una capa de tejido adiposo de 3 mm de espesor y cuya superficie interior se mantiene a una temperatura de 36ºC. En un día calmado el coeficiente de transferencia de calor por convección a la superficie externa es 25W/m2 . K, pero con vientos de 30Km/h alcanza 65W/m2 . K. en ambos casos, la temperatura del aire del ambiente es -15ºC.

Determinar: a.- ¿Cuál es la pérdida de calor por unidad de área de la piel que se produce de un día calmado en un día con viento? b.- ¿Cuál será la temperatura de la superficie externa de la piel en un día calmado? c.- ¿Qué temperatura debería tener el aire en el día calmado para producir la misma pérdida de calor que ocurre con una temperatura del aire de -15ºC en un día con viento?

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Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Conducción unidimensional. 3. Propiedades constantes. 4. Radiación despreciable. 5. Las temperaturas son uniformes.

Propiedades:

Tablas: tejido graso (T = 300 K): k = 0.2 W/m·K.

Análisis:

a) El circuito térmico de nuestro problema es

Por lo tanto el flujo de calor a través del tejido es

Sustituyendo los datos conocidos

Para el día calmado, h = 25 W/m2·K

Para el día airoso, h = 65 W/m2·K

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48

Por lo tanto:

b) El flujo de calor es

Resolviendo para Ts,o y sustituyendo los datos conocidos

Para el día calmado

Para el día airoso

c) El flujo de calor es

Resolviendo para T∞ y sustituyendo los datos conocidos

Problema 09.-Una placa de acero de 1m de largo (k = 50W/m .K) está bien aislada en sus lados, mientras que la superficie superior está a 100ºC y la superficie inferior se enfría por convección mediante un fluido a 20ºC. en condiciones de estado estable sin generación, un termopar en el punto medio de la placa revela una temperatura de 85ºC.

¿Cuál es el valor del coeficiente de transferencia de calor por convección en la parte inferior?

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Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. Conducción unidimensional. 4. Las temperaturas son uniformes 5. La pérdida de calor por los lados la placa es despreciable.

Análisis: El circuito térmico del problema es

El flujo de calor a través de la placa es

Sustituyendo los datos conocidos

El flujo de calor es

Resolviendo para h y sustituyendo los datos conocidos

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Problema 10.-Una ventana térmica de vidrio consiste en dos piezas de vidrio de 7 mm de espesor que encierran un espacio de aire de 7 mm de espesor. La ventana separa el aire del cuarto a 20ºC del aire ambiente del exterior a -10ºC. El coeficiente de convección asociado con la superficie interna (lado del cuarto) es 10W/m2.K. Si el coeficiente de convección asociado con el aire exterior es ho = 80 W/m2.K ¿Cuál es la

pérdida de calor a través de una ventana que tiene 0,8 m de largo por 0,5 m de ancho? Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. Conducción unidimensional. 4. Las temperaturas son uniformes 5. La pérdida de calor por las bases de la ventana es despreciable.

6. El aire se encuentra estático. 7. Radiación despreciable.

Propiedades: Tablas:

Vidrio (300 K): kg = 1.4 W/m·K. Aire (T = (293 + 263) / 2 = 278 K ) : k a = 24.54 x10 −3 W / m.K

Análisis: El circuito térmico del problema es

La pérdida de calor a través de la ventana es

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Sustituyendo los datos:

Problema 11.-La pared de un edificio es un compuesto que consiste en una capa de 100 mm de ladrillo común, una capa de 100 mm de fibra de vidrio (forrada con papel, 28kg/m3), una capa de 10 mm de revoque de yeso (vermiculita) y una capa de 6 mm de tabla de pino. Si el coeficiente de convección interior es 10W/m2 .K y el coeficiente de convección exterior es 70W/m2 . K ¿Cuál es la resistencia total y el coeficiente global

para la transferencia de calor? Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. Conducción unidimensional.

Propiedades: De las tablas termo físicas de la materia, se tiene:

Ladrillo común: k1 = 0.72 W/m·K, Fibra de vidrio: k2 = 0.038 W/m·K, Yeso: k3 = 0.25 W/m·K, Pino: k4 = 0.12 W/m·K.

Análisis: El circuito térmico del problema es

La resistencia total es

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Sustituyendo los datos conocidos

Por lo tanto el coeficiente global es:

Problema 12.-La pared compuesta de un horno consiste en tres materiales, dos de los cuales son de conductividad térmica conocida, kA = 20 W/m .K y kc = 50 W/m . K y de espesor conocido, LA = 0.30 m y LC = 0.15 m. el tercer material, B, que se intercala entre los materiales A y C, es de espesor conocido, LB = 0.15m, pero de conductividad térmica, KB desconocida. Determinar la conductividad térmica del material B

Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. Conducción unidimensional. 4. Las temperaturas son uniformes. 5. Radiación despreciable. 6. La resistencia térmica debida a la unión de los materiales es despreciable.

Análisis: El circuito térmico del problema es

Realizando un balance de energía

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E& in = E& out

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53

Donde

Sustituyendo en el balance y resolviendo para KB

Sustituyendo los datos conocidos

Problema 13.-Las paredes exteriores de un edificio son un compuesto que consiste en un tablero de yeso de 10 mm de espesor, espuma de uretano de 50 mm de espesor y 10 mm de madera blanda. En un típico día de invierno las temperaturas del aire exterior e interior son -15ºC y 20ºC, respectivamente, con coeficientes de convección externo e interno de 15W/m2 .K y 5 W/m2 . K, respectivamente.

Determinar la carga de calentamiento: a) ¿Para una sección de 1m2 de pared? b) ¿Si la pared compuesta se reemplaza por una ventana de vidrio de 3 mm de espesor? c) ¿Si la pared compuesta se reemplaza con una ventana de doble vidrio que consiste en dos placas de vidrio de 3mm de espesor separadas por un hueco de aire estancado de 5mm de espesor?

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Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. Conducción unidimensional. 4. Radiación despreciable. 5. La resistencia térmica debida a la unión de los materiales es despreciable.

Propiedades: De tablas Yeso: kA = 0.17 W/m·K, uretano: kB = 0.026 W/m·K, Madera suave: kC = 0.12 W/m·K., vidrio (T = 300 K): kg = 1.4 W/m·K. -3 Aire T = 293  258  2 = 278 K  : ka = 24.54x10 W/m·K

Análisis:

a) El circuito térmico del problema es

La carga de calor es

Sustituyendo los datos conocidos

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b) Esquema:

Análisis: El circuito térmico del problema es

La carga de calor es

Sustituyendo los datos conocidos

c) Esquema:

Análisis: El circuito térmico del problema es

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La carga de calor es

Sustituyendo los datos conocidos

La carga de calor es

Resolviendo para T1 y sustituyendo los datos conocidos

La carga de calor es

Resolviendo para T1 y sustituyendo los datos conocidos

La conductividad térmica del aire debe ser evaluada nuevamente a la siguiente

temperatura promedio

Por lo tanto de tabla: aire (T = 270.5): k = 23.94x10-3 W/m·K.

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Recalculando la carga de calor

Recalculando la temperatura T1

Recalculando la temperatura T2

Recalculando la temperatura promedio

Por lo tanto de tablas para el aire (T = 270.5): k = 23.95x10-3 W/m·K.

Recalculando la carga de calor

73 W

Problema 14.-Una casa tiene una pared compuesta de madera, aislante de fibra de vidrio y tablero de yeso, como se indica en el esquema. En un día frío de invierno los coeficientes de transferencia de calor por convección son h0 = 60 W/m2 .k y hi = 30 W/m2. K. el área total de la superficie de la pared es 350m2. Determine:

a) Una expresión para determinar la resistencia térmica total. b) La pérdida total de calor a través de la pared c) El porcentaje de aumento en la pérdida de calor Si el viento sopla de manera

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violenta, elevando ho a 300 W/m2.K. d) La resistencia controladora que determina la cantidad de flujo de calor a través de la pared. Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. Conducción unidimensional. 4. Radiación despreciable. 5. La resistencia térmica debida a la unión de los materiales es despreciable.

Tablas de propiedades termo físicas de la materia: Yeso: kp = 0.17 W/m·K, fibra de vidrio: kb = 0.038 W/m·K, Madera contrachapada: ks = 0.12 W/m·K.

Análisis:

a)

El circuito térmico del problema es

La resistencia térmica total es

b) La pérdida de calor es

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Sustituyendo los datos conocidos

4214 W

c) La pérdida de calor es

Sustituyendo los datos conocidos

El porcentaje de aumento es

d).El valor de cada una de las resistencias térmicas es

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Problema 15.-Dos placas de acero inoxidable de 10 mm de espesor están sujetas a una presión de contacto de 1 bar bajo condiciones de vacío para las que hay una caída general de temperaturas de 100ºC a lo largo de las placas. ¿Cuál es la caída de temperatura a

través del plano de contacto? Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. Conducción unidimensional.

Propiedades: Tablas: acero inoxidable (T = 400 K): k = 16.6 W/m·K.

Análisis: El circuito térmico del problema es

Por lo tanto el flujo de calor es

La resistencia térmica de contacto de obtiene de tablas, para un valor promedio

Sustituyendo los datos conocidos en la ecuación (1)

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El flujo de calor también es

Resolviendo para

Sustituyendo los datos conocidos

Problema 16.-Considere una pared plana compuesta integrada por dos materiales de conductividades térmicas KA = 0.1 W/m . K y KB = 0.04 W/m . k y espesor LA = 10 mm y LB = 20 mm. Se sabe que la resistencia de contacto en la interfaz entre los dos materiales es 0.30 m2 . K/W. El material A está al lado de un fluido a 200ºC para el que h = 10 W/m2 . K y el material B a un fluido a 40ºC para el que h = 20 W/m2 . k. ¿Cuál

es la transferencia de calor a través de una pared que tiene 2 m de altura por 2.5 m de ancho? Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. Conducción unidimensional. 4. Radiación despreciable.

Análisis: El circuito térmico del problema es

La tasa de calor a través de la pared es

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Sustituyendo los datos

q = 762 W

Problema 17.-Un calentador eléctrico

delgado envuelve la superficie de

un tubo cilíndrico largo cuya superficie interna se mantiene a una temperatura de 5ºC. La pared del tubo tiene radios interno y externo de 25 y 75 mm, respectivamente y una conductividad térmica de 10W/m.K. La resistencia térmica de contacto entre el calentador y la superficie externa del tubo por unidad de longitud de tubo es Rt = 0.01m – K/W. La superficie externa del calentador se expone a un fluido con T

= -10ºC y un

2

coeficiente de convección h = 100W/m . K . Determine la potencia de calentamiento

por unidad de tubo que se requiere para mantener el calentador a T0 = 25ºC. Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. Conducción unidimensional. 4. Las temperaturas son uniformes. 5. El calentador es muy delgado.

Análisis: El circuito térmico del problema es

Realizando un balance de energía en el nodo 3

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Sustituyendo los datos conocidos

2377 W/m

Problema 18.-Una pared cilíndrica está compuesta por dos materiales de conductividad térmica KA y KB, separados por un calentador de resistencia eléctrica delgado para el cual las resistencias térmicas de contacto de las interfaces son insignificantes.Un liquido que se bombea a través del tubo esta a una temperatura T∞i , y proporciona un coeficiente de convección de hi en la superficie interna del compuesto. La superficie externa se expone al medio ambiente el cual esta ha T∞ , o y proporciona un coeficiente de convección ho . En condiciones de estado estable, el calentador disipa un flujo de calor uniforme qh" .

a) Dibujar el circuito térmico equivalente del sistema y exprese todas las resistencias en términos de variables relevantes. b) Obtenga una expresión que sirva para determinar la temperatura del

calentador Th. c) Obtenga una expresión para la razón de los flujos de calor a los fluidos externo e interno.

Solución: Esquema:

Suposiciones: 1. Estado estable y propiedades constantes 2. El cilindro es muy largo y el calentador muy delgado. 3. Conducción unidimensional. 4. Radiación despreciable. 5. Las temperaturas son uniformes.

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Análisis: a) El circuito térmico equivalente es

b) Realizando un balance de energía en el nodo 3

Dividiendo entre 2π

Si hacemos:

Entonces

Resolviendo para Th

c)

Del circuito térmico tenemos

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64

65

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Por lo tanto:

Comentarios: •

Para

que

la

proporción

anterior

disminuya

pueden

realizarse

los

siguientes cambios: Disminuir la temperatura del fluido interno, T∞,i, Aumentar la temperatura del aire ambiente, T∞,o, Reducir la conductividad térmica del material A, Reducir el coeficiente convectivo del aire ambiente, Aumentar la conductividad térmica del material B, Aumentar el coeficiente convectivo del fluido interno. •

Lo más factible sería aumentar la velocidad del fluido interno, para con esto aumentar el coeficiente convectivo y reducir la resistencia a la transferencia de calor.

Problema 19.-Un alambre eléctrico que tiene un radio de ri = 5 mm y una resistencia por unidad de longitud de 10-4 /m, se cubre con un aislante plástico de conductividad térmica k = 0.20 W/m . K. El aislante se expone al aire del ambiente para el que T

= 300 K y

2

h = 10 W/m . K. Si el aislante tiene una temperatura máxima permisible de 450K,

¿Cuál es la corriente máxima posible que se puede hacer pasar por el alambre?

Solución:

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Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. Conducción unidimensional. 4. Radiación despreciable. 5. La resistencia térmica debida a la unión del aislante con el cable es despreciable.

Análisis: La corriente máxima se presenta cuando el radio del aislante es igual al radio crítico

Realizando un balance de energía (por unidad de longitud): E& g = E& out

Donde

y

Sustituyendo en el balance y resolviendo para la corriente, I

Sustituyendo los datos conocidos

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Problema 20.-Un tubo de pared delgada de 100 mm de diámetro sin aislar se usa para transportar agua a equipo que opera en el exterior y utiliza el agua como refrigerante. En condiciones de invierno particularmente adversas la pared del tubo alcanza una temperatura de -15ºC y se forma una capa cilíndrica de hielo sobre la superficie interna de la pared. Si la temperatura media del agua es 3ºC y se mantiene un coeficiente de convección de 2000W/m2 K en la superficie interna del hielo, que está a 0ºC, ¿Cuál es

el espesor de la capa de hielo? Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. Conducción unidimensional. 4. Las temperaturas son uniformes

Propiedades: De tablas: hielo (T = ( 273 + 258) / 2 = 265.5 K ) : k = 1.936W / m.K Análisis: Realizando un balance de energía (por unidad de longitud) en la superficie interna del hielo: E& in = E& out

Donde:

Sustituyendo en el balance:

Simplificando y sustituyendo los datos conocidos

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29.04  17974.394r i  6000r i ln r i = 0 Resolviendo por Newton-Raphson: r i = 0.045 m El espesor de la capa de hielo es: t = ro − ri = 0.05 − 0.045 = 0.005m

Problema 21.-Un tanque de almacenamiento consiste en una sección cilíndrica que tiene una longitud y diámetro interior de L = 2m y Di = 1mm, respectivamente, y dos secciones externas hemisféricas. El tanque se construye de vidrio (Pirex) de 20 mm de espesor y se expone al aire del ambiente para el que la temperatura es 300 K y el coeficiente de convección es 10W/m2.K. El tanque se utiliza para almacenar aceite caliente, que mantiene la superficie interior a una temperatura de 400 K.

Determinar la potencia eléctrica que debe suministrarse al calentador sumergido en el aceite para mantener las condiciones establecidas. Deje de lado los efectos de radiación y suponga que el Pirex tiene una conductividad térmica de 1.4 W/m2 . K.

Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable. 2. Propiedades constantes. 3. Conducción unidimensional. 4. Radiación despreciable. 5. La temperatura interna de la pared del tanque es uniforme.

6. El coeficiente convectivo es el mismo en toda la superficie exterior del tanque.

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Análisis: Realizando un balance de energía: E& in = E& out

Donde:

Sustituyendo en el balance

Sustituyendo los datos conocidos

Pe = 5704 + 2958 = 8662 W

Problema 22.-Una esfera hueca de aluminio, con un calentador eléctrico en el centro, se utiliza en pruebas para determinar la conductividad térmica de materiales aislantes. Los radios interior y exterior de la esfera son 0.15 y 0.18m, respectivamente, y la prueba se hace en condiciones de estado estable, en las que la superficie interna del aluminio se mantiene a 250ºC. En una prueba particular, una capa esférica de aislante se funde sobre la superficie externa de la esfera y alcanza un espesor de 0.12m. el sistema está en un cuarto para el que la temperatura del aire es 20ºC y el coeficiente de convección en la superficie externa del aislante es 30 W/m2 . K. si se disipan 80 W por el calentador bajo condiciones de estado estable, ¿Cuál es la conductividad térmica del aislante?

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Solución: Esquema:

Suposiciones:

1. Estado estable y Propiedades constantes. 2. Conducción unidimensional. 3. Las temperaturas son uniformes. 4. La resistencia térmica despreciable.

Propiedades: De tablas para el aluminio (T = 523 K): kA = 234.5 W/m·K. Análisis: El circuito térmico del problema es

El calor que fluye es

80 =

250 − 20 0,177 0,03 + KB

k B = 0.062 W/m.K

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CAPITULO III

CONVECCIÓN UNIDIRECCIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO.

Cuando un fluido a TF se pone en contacto con un sólido cuya superficie de contacto está a una temperatura distinta TpF el proceso de intercambio de energía térmica se denomina convección. Existen dos tipos de convección:

a) Convección libre o natural b) Convección forzada

Independientemente de que la convección sea natural o forzada, la cantidad de calor transmitida Qc, se puede escribir (Ley de Newton): Qc = hcF . A.(TpF − TF )

………………..

(3.1)

El tema de transferencia de calor por convección requiere un balance de energía junto con un análisis de la dinámica de los fluidos de los problemas a los que afecta.

Transferencia de calor desde una superficie: q = h. A(TSuperficie − TCorriente.Libre )

…………….

q = h. A(TSuperficie − TMedia )

……………. Para corriente en canales

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Para corrientes exteriores

72

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3.1.- CONVECCIÓN LIBRE.

En la convección natural ó libre , la fuerza motriz procede de la variación de densidad en el fluido como consecuencia del contacto con una superficie a diferente temperatura, lo que da lugar a unas fuerzas ascensionales; el fluido próximo a la superficie adquiere una velocidad debida únicamente a esta diferencia de densidades, sin ninguna influencia de fuerza motriz exterior; ejemplos típicos son la transmisión de calor al exterior desde la pared o el tejado de una casa en un día soleado sin viento, la convección en un tanque que contiene un líquido en reposo en el que se encuentra sumergida una bobina de calefacción, el calor transferido desde la superficie de un colector solar en un día en calma, etc.

Nu = f (Gr, Pr)

……………….

(3.2)

Parar resolver los problemas de Convección Natural, se sigue el procedimiento siguiente: •

Decidir si el problema es realmente un problema de convección natural.

•

Establezca la geometría del problema: Placa horizontal, cilindro horizontal, etc.

•

Hacer una determinación preliminar de las propiedades apropiadas del fluido.

•

Establecer el régimen del flujo calculando el producto de los números de Grashof y Prandtl. Hay que tener cuidado parar emplear la dimensión característica correcta de la geometría en particular.

•

Elegir una ecuación que se ajuste a la geometría y régimen de flujo y si es necesario volver a evaluar las propiedades con arreglo a las condiciones y a la ecuación seleccionada.

•

Se calcula el coeficiente de transferencia de calor convectivo “h” y/o el flujo de calor.

3.2.- CONVECCIÓN FORZADA.

La convección forzada tiene lugar cuando una fuerza motriz exterior mueve un fluido con una velocidad VF sobre una superficie que se encuentra a una temperatura

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TpF, mayor o menor que la del fluido TF. Como la velocidad del fluido en la convección forzada VF es mayor que en la convección natural, se transfiere, por lo tanto, una mayor cantidad de calor para una determinada temperatura.

Nu = f (Re, Pr)

……………… (3.3)

Un procedimiento general de cálculo en Convección Forzada, es: •

Se establece la geometría de la configuración.

•

Se realiza una determinación preliminar adecuada de las propiedades del fluido.

•

Se establece el régimen de flujo calculando el número de Reynolds ó de Peclet.

•

Se selecciona una ecuación que se ajusta a la geometría y al régimen de flujo y se reevalúan las propiedades, si es necesario, de acuerdo con las hipótesis y la ecuación seleccionada

•

Se calcula el coeficiente de transferencia de calor convectivo “h” y/o el flujo de calor.

Problema 01.-. Se calienta aire a 2 atm y 200 ºC mientras circula por un tubo de 2,54 cm de diámetro a una velocidad de 10 m/s. Calcúlese el calor transferido por unidad de longitud de tubo si se mantiene en la pared una condición de flujo de calor constante, siendo la temperatura de la pared 20 ºC superior a la temperatura del aire a lo largo de todo el tubo. ¿Cuánto aumentaría la temperatura promedio en 3 m de longitud del

tubo? Solución: En primer lugar se calcula el numero de Reynolds para determinar si el flujo es laminar o turbulento y después se selecciona la correlación empírica adecuada para calcular el calor transferido. Las propiedades del aire a una temperatura promedio de 200 ºC son:

ρ=

ρ RT

=

µ = 2,57 x10 −5 kg m.s

El número de Reynolds:

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2 x1,0132 x10 5 = 1,493 kg 3 m 287 x 473

k = 0,0386W m.º C

Re d =

Pr = 0,681

c p = 1,025 kj kg .º C

ρum d (1,493)(10)(0,0254) = = 14,756 µ 2,57 x10−5

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De modo que el flujo es turbulento. Por tanto se calcula el coeficiente convectivo de transferencia de calor de la siguiente manera.

hd = 0,023 Re 0d,8 Pr 0, 4 = (0,023)(14,756) 0,8 (0,681) 0, 4 = 42,67 k

Nu d =

k (0,0386)(42,67) Nu d = = 64,85W m 2 º C d 0,0254

h=

Entonces el flujo de calor por unidad de longitud es

q = hπd (T p − Tb ) = (64,85)π (0,0254)(20) = 103,5W m L

Ahora se puede establecer el balance energético para calcular el aumento de la temperatura promedio en una longitud de tubo de 3m.

.

También se tiene:

m = ρ * um

πd 2 4

= (1,493)(10)π

. q q = m c p ∆Tb = L ( ) L

(0,0254) 2 = 7,565 x10 − 3 kg s 4

De modo que introduciendo los valores numéricos en el balance energético se obtiene (7,565 x10 −3 )(1,025) ∆Tb = (3,0)(103,5) ∆Tb = 40,04º C

Problema 02.- En un tubo de 2,54 cm de diámetro entra agua a 60 ºC a una velocidad media de 2 cm/s. Calcúlese la temperatura de salida del agua si el tubo tiene 3,0 m

de longitud y la temperatura de la pared permanece constante a 80 ºC. Solución: En primer lugar se evalúa el número de Reynolds a la temperatura promedio a la entrada para determinar a la entrada para determinar el régimen de flujo. Las propiedades del agua a 60 ºC son:

ρ = 985 kg m 3 c p = 4,18 kJ kg º C µ = 4,71x10 −4 kg m.s

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k = 0,651W m.º C

Pr = 3,02

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Re d =

ρu m d (985)(0,02)(0,0254) = = 1,062 µ 4,71x10 − 4

De modo que el flujo es laminar. Calculando el parámetro adicional se tiene

Re d Pr

d (1,062)(3,02)(0,0254) = = 27,15 > 10 L 3

La temperatura promedio para evaluar las propiedades no se esconden aún, así que el primer lugar cálculo se realiza sobre la base de 60 ºC, se determina una temperatura promedio a la salida y se realiza una segunda iteración para obtener un valor más preciso. Si las condiciones en la entrada y salida se designan con los subíndices 1 y 2, respectivamente, el balance energético es

Tb − Tb2  q = hπdL T p − 1 2 

 .  = m c p (Tb2 − Tb1 )  

A la temperatura de la pared de 80 ºC se tiene

µ p = 3,55 x10 −4 kg m.s

 (1,062)(3,02)(0,0254)  Nu d = (1,86)   3 

h=

………………. (a)

1/ 3

 4,71     3,55 

.

m=ρ

πd 2 a

um =

= 5,816

[26,26Btu / h. ft

kNu d (0,651)(5,816 = = 149,1W / m 2 .º C d 0,0254

El flujo másico es

0 ,14

2

.º F

]

(985)π (0,0254) 2 (0,02) = 9,982 x10 −3 kg / s 4 .

Introduciendo el valor de h en la Ecuación. (a) así como m y Tb1 = 60 º C y T p = 80 º C se obtiene T + 60   −3 (149,1)π (0,0254)(3,0) 80 − b 2  = (9,982 x10 )( 4,180)(Tb 2 − 60) ……….. (b) 2  

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76

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Tb 2 = 71,98º C

Esta ecuación puede resolverse para dar;

Tb.media =

Por lo que hay que evaluar las propiedades a

Se obtienen

ρ = 982kg / m 3

c p = 4,185 J / kg .º C

k = 0,656W / m.º C

Re d =

(1,062)( 4,71) = 1,147 4,36

Nu d = (1,86)(27,00)

1/ 3

 4,36     3,55 

71,98 + 60 = 66º C 2

µ = 4,36 x10 −4 kg / m.s

Pr = 2,78

Re Pr

d (1,147 )( 2,78)(0,0254) = = 27,00 L 3

0 ,14

= 5,743

h=

(0,656)(5,743) = 148,3W / m 2 º C 0,0254

Se introduce de nuevo este valor de h en la ecuación (a) para obtener: Tb 2 = 71,88º C

La iteración en este problema da como resultado una diferencia muy pequeña. Si se hubiese encontrado una diferencia de temperatura promedio grande, el cambio en las propiedades podría haber tenido un efecto mayor.

Problema 03.- En un tubo liso de 5 mm de diámetro entra aire a 1 atm y 27ºC a una velocidad de 3,0 m/s. La longitud del tubo es 10 cm. En la pared del tubo se impone un flujo de calor constante. Calcúlese el calor transferido si la temperatura promedio de

salida es 77ºC. Calcúlese, también, la temperatura de la pared y el valor de h a la salida. Solución: En primer lugar debe evaluarse el régimen de flujo tomando las propiedades a la media de la temperatura promedio:

v = 18,22 x10 −6 m 2 / s

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Tb =

27 + 77 = 52º C = 325º K 2

Pr = 0,703

k = 0.02814W / m.º C

77

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Re d =

ud (3)(0,005) = = 823 v 18,22 x10 −6

………………

(a)

De modo que el flujo es laminar. La longitud del tubo es bastante corta, así que es de esperar un efecto térmico en la entrada. El inverso del número de Graetz se calcula como: Gz −1 =

1

x 0,1 = = 0,0346 Re d Pr d (823)(0,703)(0,005)

Por tanto, para q p = cons tan te , se obtiene el número de Nusselt en la salida como:

qpd hd = 4,7 = k (T p − Tb ) k

Nu =

……………….

(b)

El calor total transferido se obtiene mediante el balance total de energía: .

q = m c p (Tb 2 − Tb1 )

A la entrada ρ = 1,1774 kg / m 3 , de modo que el flujo másico es .

m = (1,1774)π (0,0025) 2 (3,0) = 6,94 x10 −5 kg / s q = (6,94 x10 −5 )(1,006)(77 − 27) = 3,49W

Así, se puede encontrar el flujo de calor sin determinar realmente las temperaturas de la pared o los valores de h. Sin embargo, para determinar Tb debe calcularse qp para introducirlo en la ecuación. (b) se tiene:

q = q p πdL = 3,49W = 2,222W / m 2

Ahora en la ecuación. (b)

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(T

p

− Tb )x = L =

(2,222)(0,005) = 84º C (4,7)(0,02814)

78

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La temperatura de la pared a la salida es entonces:

Tp

]

x= L

= 84 + 77 = 161º C

El coeficiente de transferencia de calor es:

hx = L =

qp (T p − Tb ) x = L

=

2,222 = 26,45W / m 2 .º C 84

Problema 04.- Repítase el problema 03 en el caso de que la temperatura de la pared sea constante.

Solución: Se evalúa las propiedades para determinar N u d para T p = cons tan te .

Para Gz −1 = 0,0346 ,

Nu d = 5,15

Se calcula entonces el coeficiente de transferencia de calor medio como

 k  (5,15)(0,02814) h = (5,15)  = = 29,98W / m 2 .º C d 0 , 005  

La transferencia de calor se refiere a una media de la temperatura promedio, 52ºC, de modo que q = h πdL (T p − Tb ) = 3,49W

T p = 76,67 + 52 = 128,67 º C

Problema 05.- Un tubo de 2,0 cm de diámetro, cuya rugosidad relativa es 0,001, se mantiene a la temperatura constante de 90ºC. En el tubo entra agua a 40ºC y sale a 60ºC. Si la velocidad a la entrada es 3 m/s, Calcular la longitud de tubo necesaria para

conseguir el calentamiento. Solución: En primer lugar se calcula el calor transferido a partir de .

q = m c p ∆Tb = (989)(3,0)π (0,01) 2 (4,174)(60 − 40) = 77,812W

Dada la condición de tubo rugoso, puede emplearse la relación de Pertukhov La temperatura de película media es

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Tf =

90 + 50 = 70º C 2

79

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Las propiedades del fluido son:

ρ = 978kg / m 3 µ = 4,0 x10 −4 kg / m.s

k = 0,664W / m.º C

µ b = 5,55 x10 −4 kg / m.s, µ p = 2,81x10 −4 kg / m.s

Pr = 2,54

Re d =

El número de Reynolds es:

(978)(3)(0,02) = 146,700 4 x10 − 4

Del diagrama de Moody, el factor de fricción es: f = 0,0218 f / 8 = 0,002725

Puesto que T p > Tb , se toma n = 0,11 y se obtiene

(0,002725)(146,700)(2,54)  5,55  Nu d =   1/ 2 2/3 1,07 + (12,7)(0,002725) (2,54 − 1)  2,81 

h=

0,11

= 666,8

(666,8)(0,664 = 22,138W / m 2 .º C 0,02

La longitud del tubo se obtiene después a partir del balance energético q = h πdL (T p − Tb ) = 77,812W

L = 1,40m

Problema 06.- Transversalmente a un cilindro de 5,0 cm de diámetro circula aire a 1 atm y 35ºC a la velocidad de 50 m/s. La superficie del cilindro se mantiene a una temperatura de 150ºC. Calcúlese el calor perdido por unidad de longitud del cilindro.

Solución: En primer lugar se determina el número de Reynolds Las propiedades del aire se evalúan a la temperatura de película:

Tf =

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T p + T∞ 2

=

150 + 35 = 92,5º C = 365,5 K 2

80

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ρf =

ρ

=

RT

µ f = 2,14 x10 −5 kg / m.s

Re f =

1,0132 x10 5 = 0,966kg / m 3 (287)(365,5)

k f = 0,0312W / m.º C

Pr f = 0,695

ρu ∞ d (0,966)(50)(0,05) = = 1,129 x10 5 µ 2,14 x10 −5

C = 0,0266

n = 0,805

hd = (0,0266)(1,129 x105 ) 0,805 (0,695)1 / 3 = 275,1 kf h=

(275,1)(0,0312) = 171,7W / m 2 .º C 0,05

Por tanto, el calor transferido por unidad de longitud es

q = hπd (T p − T∞ ) = (171,7)π (0,05)(150 − 35) = 3,100W / m L

Problema 07.- Un alambre de 3,94x10-5 m de diámetro está situado en una corriente de aire a 1 atm y a 25ºC siendo la velocidad de la corriente de 50 m/s perpendicularmente al alambre. Por el alambre pasa una corriente eléctrica, elevando su temperatura hasta 50ºC

Determinar el calor perdido por unidad de longitud. Solución: En primer lugar se obtienen las propiedades a la temperatura de película T f = ( 25 + 50 / 2) = 37,5º C = 310 K

v f = 16,7 x10 −6 m 2 / s

El número de Reynolds es

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k f = 0,02704W / m.º C

Re d =

Pr f = 0,706

u ∞ d (50)(3,94 x10 −5 ) = = 118 vf 16,7 x10 −6

81

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El numero de Peclet es Pe = Re Pr = 83,3. Los cálculos se van a realizar de dos formas, para luego comparar los resultados

Primera forma: Utilizando C = 0,683 y n = 0,466, en la ecuación para evaluar el Nu d = (0,683)(118) 0 , 466 (0,705)1 / 3 = 5,615

Número de Nusselt.

El coeficiente convectivo de transferencia de calor es

0,02704 k h = Nu d   = 5,615 = 3,854W / m 2 .º C −5 d 3 , 94 x 10  

El calor transferido por unidad de longitud es entonces

q = πdh(T p − T∞ ) = π (3,94 x10 −5 )(3,854)(50 − 25) = 11,93W / m L

Segunda forma: El numero de Nusselt como

Nud = 0,3 +

h=

(0,62)(118)1 / 2 (0,705)1 / 3

[1 + (0,4 / 0,705) ]

2 / 3 1/ 4

[1 + (118 / 282,000) ]

5/8 4/5

= 5,593

(5,593)(0,02704) = 3,838W / m 2 .º C 3,94 x10− 5

q = (3,838)π (3,94 x10 −5 )(50 − 25) = 11,88W / m L

Problema 08.- Alrededor de una esfera de 12 mm de diámetro circula una corriente de aire a 1 atm y 27 ºC con una velocidad de la corriente libre de 4 m/s. Un pequeño calentador situado dentro de la esfera mantiene la temperatura de superficie a 77ºC.

Calcúlese el calor perdido por la esfera.

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Solución: El número de Reynolds se evalúa a la temperatura de la corriente libre. Por tanto, se necesitan a T∞ = 27º C = 300K las propiedades siguientes: v = 15,69 x10 −6 m 2 / s

k = 0,02624W / m.º C

Pr = 0,708

µ p = 2,075 x10 −5

Para T p = 77 º C = 350 K

El número de Reynolds es entonces

[

N u = 2 + (0,4)(3,059)

1/ 2

Re d =

µ ∞ = 1,8462 x10 −5 kg / m.s

( 4)(0,012) = 3,059 15,69 x10 −6

+ (0,06)(3,059)

2/3

]

 1,8462  (0,708)    2,075  0, 4

1/ 4

= 31,40

 k  (31,4)(0,02624) h = N u  = = 68,66W / m 2 .º C 0,012 d  El calor transferido es: q = h A(T p − T∞ ) = (68,66)(4π )(0,006) 2 (77 − 27) = 1,553W

Con el fin de comparar, se calcula también el coeficiente de transferencia de calor utilizando a la temperatura de película es T f = (350 + 300) / 2 = 325 K , de modo que

v f = 18,23x10 −6 m 2 / s

Y el número de Reynolds es:

Re d =

k f = 0,02814W / m.º C

( 4)(0,012) = 2,633 18,23 x10 −6

Nu f = (0,37)(2,633) 0, 6 = 41,73

Y h se calcula como

 k f  (41,73)(0,02814) h = Nu   = = 97,9W / m 2 .º C d 0 , 012  

Aproximadamente el 42 por 100 mayor que el valor calculado anteriormente

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83

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Problema 09.- En un lugar situado cerca de un horno, un flujo neto de energía radiante de 800 W/m2 incide sobre una superficie metálica vertical de 3,5 m de altura y 2m de ancho. El metal está aislado por su cara posterior y pintado de negro, de modo que toda la radiación incidente se pierde por convección natural al aire ambiente que se encuentra a 30ºC ¿Cuál será la temperatura media que alcanzara la placa?

Solución: Este problema se trata como una superficie con flujo de calor constante. Al no conocerse la temperatura de la superficie, se debe hacer una estimación de la misma para determinar Tf y las propiedades del aire. Un valor aproximado de h en problemas de convección

∆T =

qp h

≈

natural

es

W/m2.ºC

10

y

por

tanto

aproximadamente:

800 = 80º C 10

Tf ≈

Luego:

80 + 30 = 70º C = 343 K 2

Las propiedades del aire a 70ºC son:

v = 2,043 x10 −5 m 2 / s

Para x = 3,5 m,

Grx* =

β=

1 = 2,79 x10 −3 K −1 k = 0,0295W / m.º C Tf

gβq p x 4 kv 2

=

Pr = 0,7

(9,8)(2,92 x10 −3 )(800)(3,5) 4 = 2,9 x1014 (0,0295)(2,005 x10 −5 ) 2

Se evalúa el coeficiente convectivo, h de la siguiente manera:

hx =

k 0,0295 (0,17)(Grx* Pr)1 / 4 = (0,17)(2,79 x1014 x0,7)1 / 4 = 5,36W / m 2 .º C x 3,5

En la transferencia de calor en régimen turbulento, se observa:

Nu x =

hx ≈ (Grx* )1 / 4 ≈ ( x 4 )1 / 4 k

Luego hx no varía x, y se puede tomar éste valor como el valor medio.

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84

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El valor de h = 5,41 W/m2.ºC es menor que el valor aproximado utilizando para estimar Tf Volviendo a calcular ∆T , se obtiene:

∆T =

El nuevo valor de la temperatura de película seria:

qp h

=

800 = 149º C 5,36

T f = 30 +

149 = 104,5º C 2

Las propiedades del aire a 104,5ºC son

v = 2,354 x10 −5 m 2 / s

β=

1 = 2,65 x10 −3 K −1 k = 0,0320W / m.º C Tf

Pr = 0,695

(9,8)(2,65 x10 −3 )(800)(3,5) 4 Gr = = 1,75 x1014 −5 2 (0,0320)(2,354 x10 )

Luego

* x

Y hx se calcula a partir de

hx =

[

]

1/ 4 k (0,0320)(0,17) (0,17)(Grx* Pr)1 / 4 = (1,758 x1014 )(0,695) = 5,17W / m 2 .º C h 3,5

La nueva diferencia de temperaturas vale: ∆T = (T p − T∞ ) med =

qp h

=

800 = 155º C 5,17

Por lo tanto la temperatura media en la pared es: T p ,med = 155 + 30 = 185º C

Problema 10.- Una placa grande vertical de 4 m de alto se mantiene a 60ºC y se expone al aire atmosférico a 10ºC. Calcúlese el flujo de calor transferido si la placa tiene una

anchura de 10 m. Solución: En primer lugar se determina la temperatura de película

Tf =

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60 + 10 = 35º C = 308 K 2

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Las propiedades de interés son:

β=

1 = 3,25 x10 −3 K −1 308

Gr Pr =

k = 0,02685W / m.º C v = 16,5 x10 −6 m 2 / s

Pr = 0,7

(9,8)(3,25 x10 −3 )(60 − 10)(4) 3 0,7 = 2,62 x1011 (16,5 x10 −6 ) 2

N u 1 / 2 = 0,825 +

(0387)(2062 x1011 )1 / 6

[1 + (0,492 / 0,7) ]

El coeficiente de transferencia de calor es, h =

9 / 16 8 / 27

= 26,75 = 716

(716)(0,02685) = 4,80W / m 2 º C 4,0

Y el flujo de calor transferido q = h A(T p − T∞ ) = ( 4,80)( 4)(10)(60 − 10) = 9,606W

Como alternativa, se podría emplear la relación más simple

Nu = 0,10(Gr Pr)1 / 3 = (0,10)(2,62 x1011 )1 / 3 = 639,9

Que proporciona un valor aproximadamente un 10 por 100 más bajo que obtenido anteriormente.

Problema 11.- Un calentador de 2 cm de diámetro cuya superficie se mantiene a una temperatura de 38ºC se encuentra sumergido, en posición horizontal, en agua a 27ºC.

Calcúlese, por unidad de longitud del calentador, el calor perdido por convección natural. Solución: La temperatura de película es:

Tf =

38 + 27 = 32,5º C 2

Las propiedades del agua son: k = 0,630W / m.º C

Y el siguiente término es particularmente útil para obtener el producto Gr Pr al

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multiplicarlo por d ∆T : 3

gβρ 2 c p

µk

= 2,48 x1010

[1 / m .º C ] 3

Gr Pr = ( 2,48 x1010 )(38 − 27)(0,02) 3 = 2,18 x10 6

Haciendo uso de C = 0,53 y m = ¼, se tiene:

Nu = (0,53)(2,18 x10 6 )1 / 4 = 20,36

h=

La transferencia de calor es,

( 20,36)(0,63) = 642W / m 2 .º C 0,02

q = hπd (T p − T∞ ) = (642)π (0,02)(38 − 27) = 443W / m L

Problema 12.- Un alambre delgado, que tiene un diámetro de 0,02 mm, se mantiene a una temperatura constante de 54ºC por medio de una corriente eléctrica. El alambre se expone al aire a 1 atm y a 0ºC. Calcúlese la potencia eléctrica necesaria para

mantener la temperatura del alambre se la longitud de éste es 50 cm. Solución: La temperatura de película es T f = (54 + 0) / 2 = 27 º C = 300 K , de modo que las propiedades del aire son:

β = 1 / 300 = 0,00333K −1 k = 0,02624W / m.º C

v = 15,69 x10 −6 m 2 / s Pr = 0,708

Se calcula el producto Gr Pr (9,8)(0,00333)(54 − 0)(0,02 x10 −3 ) 3 Gr Pr = (0,708) = 4,05 x10 −5 −6 2 (15,69 x10 )

Para C = 0,675 y m = 0,058, de modo que

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N u = (0,675)(4,05 x10 −5 ) 0,058 = 0,375  k  (0,375)(0,02624) h = N u  = = 492,6W / m 2 .º C −3 d 0 , 02 x 10   La potencia, es q = h A(T p − T∞ ) = (492,6)π (0,02 x10 −3 )(0,5)(54 − 0) = 0,836W

Problema 13.- Una tubería horizontal de 0,3048 m de diámetro se mantiene a una temperatura de 250ºC en una habitación en la que el aire ambiente se encuentra a 15ºC.

Calcúlese, por unidad de longitud, el calor perdido por convección natural. Solución: Se determina el producto de los números de Grashof – Prandtl.

Las propiedades del aire se evalúan a la temperatura de película:

Tf =

T p − T∞ 2

=

250 + 15 = 132,5º C = 405,5K 2

k = 0,03406W / m.º C

β=

1 1 = = 2,47 x10 −3 K −1 T f 405,5

v = 26,54 x10 −6 m 2 / s

Grd Pr =

gβ (T p − T∞ )d 3 v2

Pr =

Pr = 0,687

(9,8)(2,47 x10 −3 )(250 − 15)(0,3048) 3 (0,687) = 1,571x10 −8 (26,54 x10 −6 ) 2

Para, C = 0,53, y m = 1/4, de modo que

Nu d = 0,53(Grd Pr) 1 / 4 = (0,53)(1,571x10 8 )1 / 4 = 59,4

h=

kNu d (0,03406)(59,4) = = 6,63W / m 2 .º C d 0,3048

El calor transferido por unidad de longitud se calcula de

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[1,175Btu / h. ft

2

.º F

]

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q = hπd (T p − T∞ ) = 6,63π (0,3048)(250 − 15) = 1,49kW / m L

[1,560Btu / h. ft ]

Como alternativa, se calcularía el número de Nusselt mediante

Nu

1/ 2

 1,571x10 8 = 0,60 + 0,387   1 + (0,559 / 0,687) 9 / 16

[

1/ 6

 16 / 9  

]

Nu = 64,7

Que es un valor del orden de un 8 por 100 mayor.

Problema 14.- Un cubo de 20 cm de lado y que se mantiene a 60ºC, esta expuesto al aire ambiente a 20ºC. Calcúlese la transferencia de calor.

Solución: Las propiedades se evalúan

k = 0,02685W / m.º C

β = 3,25 x10 −3 K −1 v = 17,47 x10 −6 m 2 / s

Pr = 0,7

La longitud característica es la distancia que recorre una partícula en la capa límite, que en este caso es L/2 a lo largo de la cara inferior. Más L lo largo la cara lateral, más L/2 a lo largo de la cara superior. Esto es, 2L = 40 cm. Así pues, el producto de Gr Pr, vale

Gr Pr =

(9,8)(3,25 x10 −3 )(60 − 10)(0,4) 3 (0,7) = 3,34 x10 8 −6 2 (17,47 x10 )

De tablas se tiene: C = 0,52 y n = ¼ y calculando el numero de Nusselt

Nu = (0,52)(3,34 x108 )1 / 4 = 135,2

h = Nu

k (135,2)(0,02685) = = 9,07W / m 2 .º C L (0,4)

El cubo tiene seis caras, de modo que el área será 6(0,2)2 = 0,24 m2 y el calor transferido q = h A(T p − T∞ ) = (9,07)(0,24)(60 − 10) = 108,8W

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Problema 15.- Entre dos placas verticales cuadradas de 0,5 m de lado, separadas 15 mm hay encerrado aire a presión atmosférica. Las temperaturas de las placas son 100ºC y 40ºC, respectivamente. Calcúlese la transferencia de calor por convección natural

a través de la cámara llena de aire. Calcúlese también la transferencia de calor por radiación a través del espacio de aire si ambas superficies tienen ε = 0,2 . Solución: Las propiedades del aire se evalúan a la temperatura media de las dos placas.

Tf =

ρ=

β=

ρ RT

100 + 40 = 70º C = 343 K 2 =

1,0132 x105 = 1,029kg / m3 (287 )(343)

1 1 = = 2,915 x10− 3 K −1 T f 343

k = 0,0295W / m.º C

µ = 2,043 x10 −5 kg / m.s

Pr = 0,7

Se calcula ahora el producto de los números de Grashof y de Prandtl

Grδ Pr =

(9,8)(1,029) 2 ( 2,915 x10 −3 )(100 − 40)(15 x10 −3 ) 3 0,7 = 1,027 x10 4 −5 2 ( 2,043 x10 )

Se puede calcular la conductividad térmica efectiva, con L = 0,5 m, δ = 0,015m y las constantes tomas de las tablas

ke  0,5  = (0,197)(1,027 x10 4 )1 / 4   k  0,015 

−1 / 9

= 1,343

La transferencia de calor puede calcularse para un área de (0,5)2 = 0,25 m2, de modo que:

q=

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(1,343)(0,0295)(0,25)(100 − 40) = 39,62W 0,015

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El flujo de calor de radiación se calcula, tomando T1 = 373K , T2 = 313K

y

ε 1 = ε 2 = 0,2 . Así con σ = 5,669 x10 −8 W / m 2 .K 4

(q / A)rad

(5,669 x10 )(373 −8

=

)

− 313 4 = 61,47W / m 2 [1 / 0,2 + 1 / 0,2 − 1] 4

q rad = (0,5) 2 (61,47) = 15,37

Problema 16.- Dos placas horizontales de 20 cm de lado están separadas 1 cm y en el espacio entre ellas hay aire a 1 atm. Las temperaturas de las placas son 100ºC para la inferior y 40 ºC para la superior. Calcúlese la transferencia de calor a través de

espacio entre placas. Solución: Las propiedades del aire son:

ρ = 1,029kg / m 3 β = 2,915 x10 −3 K −1

k = 0,0295W / m.º C

µ = 2,043 x10 −5 kg / m.s

Pr = 0,7

El producto de Gr Pr se evalúa cobre la base de la separación de las placas. Así se tiene )2 Gr Pr = (9,8)(1,029) 2 (2,9!5x10 −3 )(000 − 40)( ,01) 3

En tablas se encuentra C = 0,059, n = 0,4 y m = 0, de modo que

0

ke  0.2  = (0,059 ) 3,0430, 4   = 1,46 k  0,01 

(

q=

k e A(T1 − T2 )

δ

=

)

(1,460 )(0,0295)(0,2)2 (100 − 40) = 10,34W 0,01

Problemas 17.- Dos placas cuadradas horizontales de 50 cm de lado se encuentran separadas una distancia de 1 cm. La placa inferior se mantiene a 37,8ºC y la superior a

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26,7ºC. El espacio entre las dos placas está ocupado por agua a presión atmosférica.

Calcúlese la pérdida de calor de la placa inferior Solución: Las propiedades se evalúan a la temperatura media de 32,2ºC y para el agua se obtiene gβρ 2 c p

k = 0,623W / m.º C

µk

= 2,48 x1010

El producto de los números de Grashof y de Prandtl se evalúa ahora utilizando el espaciado entre las placas, 1 cm, como la dimensión característica.

Gr Pr = ( 2,48 x1010 )(0,01) 3 (37,8 − 26,7) = 2,75 x10 5

m

k n L Ahora haciendo uso de la ecuación e = C (Grδ Pr )   y consultando las tablas de k δ 

relaciones empíricas para la convección natural, donde se obtiene

C = 0,13

n = 0,3

m=0

Reemplazando valores, se tiene:

ke = (0,13)(2,75 x10 5 ) 0,3 = 5,57 k La conductividad térmica efectiva es, pues he = (0,623)(5,57 ) − 3,47W / m.º C

Y la transferencia de calor

q = k e A∆T / δ =

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(3,47)(0,5) 2 (37,8 − 26,7) = 963W 0,01

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CAPITULO IV

RADIACIÓN ENTRE SUPERFICIES

La forma radiactiva de la transmisión del calor se caracteriza porque la energía se transporta en forma de ondas electromagnéticas, que se propagan a la velocidad de la luz.

El transporte de energía por radiación se puede realizar entre superficies separadas por el vacío; así por ejemplo, el Sol transmite energía a la Tierra por radiación a través del espacio que, una vez interceptada por la Tierra, se transforma en otras fuentes de energía.

La teoría ondulatoria establece que la radiación se comporta como una onda que oscila con una frecuencia ν y una longitud de onda λ.

El producto de la frecuencia por la longitud de onda es la velocidad de la luz c. La teoría corpuscular admite que la energía radiante se transporta en forma de fotones.

4.1.- INTERCAMBIO DE RADIACIÓN DE CUERPO NEGRO.

No todas las superficies emiten o absorben la misma cantidad de energía radiante cuando se calientan a la misma temperatura. Un cuerpo que emite (radiación difusa) o absorbe la máxima cantidad de energía a una temperatura determinada es un cuerpo negro, que no es más que un modelo ideal al que se pueden aproximar en la práctica los cuerpos reales recubriendo su superficie con determinadas pinturas o modificando su forma; es, por lo tanto, un cuerpo estándar con el que pueden compararse otros cuerpos

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radiadores. La energía transmitida en forma de calor se hace mediante ondas electromagnéticas a la velocidad de la luz; la energía que abandona una superficie en forma de calor, por radiación, depende de su temperatura absoluta y de la naturaleza de la superficie.

Un radiador perfecto o cuerpo negro, emite un flujo de energía por radiación a través de su superficie, dada por la ecuación:

qr = σ . A.T 4 = A.Eb

………………….. (4.1)

Donde: σ = 5,67 .10-8 W/m2.K4 la constante de Stefan -Boltzman A: Área superficial en m2. T: Temperatura absoluta superficial en K

Esta ecuación dice que cualquier superficie irradia calor proporcionalmente a la cuarta potencia de su temperatura absoluta; aunque la emisión es independiente del medio exterior, la medida de la energía radiante requiere de una temperatura de referencia, como puede ser la de otro sistema que reciba la energía transferida, y así poder obtener a partir de esta referencia la transferencia neta de energía radiante.

Si un cuerpo negro A1 irradia a un recinto A2 que le rodea completamente, y que se puede considerar como una superficie negra, la transferencia neta de energía radiante, viene dada por: qr = σ . A1.(T14 − T24 ) = A1.( Eb1 − Eb 2 )

………………. (4.2)

Siendo A1 el área superficial del cuerpo negro emisor, T1 la temperatura del cuerpo negro emisor y T2 la temperatura del recinto, ambas en K.

Si un cuerpo negro A1 irradia a otro cuerpo negro A2 la transferencia neta de energía radiante viene dada por:

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qr = σ . A1.F12 .(T14 − T24 )

………………….. (4.3)

En la que F12 se conoce como factor de forma o factor de visión, que modifica la ecuación de los radiadores perfectos teniendo en cuenta las geometrías relativas de los cuerpos.

4.2.- INTERCAMBIO DE RADIACIÓN ENTRE SUPERFICIES GRISES.

Los cuerpos reales no cumplen las especificaciones de un radiador ideal, sino que emiten radiación a un ritmo inferior al de los cuerpos negros.

Si a una temperatura igual a la de un cuerpo negro emiten una fracción constante de la emisión correspondiente a un cuerpo negro, para cada longitud de onda, se denominan cuerpos grises.

Un cuerpo gris emite radiación según: qr = σ . A1.ε 1.T14

…………………….. (4.4)

La energía radiante neta transferida a la temperatura T1 a un cuerpo negro que lo rodea, (medio exterior), a la temperatura T2 es: qr = σ . A1.ε1.(T14 − T24 )

…………………….. (4.5)

En la que el subíndice 1 se corresponde con el cuerpo gris, siendo ε1 la emitancia del mismo, igual a la relación entre la emisión de la superficie gris y la emisión de un radiador perfecto a la misma temperatura.

Si ninguno de los dos cuerpos es un radiador perfecto, pero existe entre los mismos una determinada relación geométrica, la energía radiante neta transferida entre ellos viene dado por: qr = A1.F12* ( Eb1 − Eb 2 ) = A1.F12* .σ .(T14 − T24 )

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………….

(4.6)

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En la que F12* es un factor de forma complejo que depende de las emisividades y de las geometrías relativas a los cuerpos.

4.3.- FACTOR DE FORMA.

La transferencia de calor por radiación entre dos superficies cualesquiera, se calcula determinando el factor de forma F12, que se interpreta como la fracción de energía radiante total que abandona la superficie A1, (q1→semiesfera) y llega directamente a una segunda superficie A2, (q1→2).

Factor de forma dFdA1 →dA2 entre dos superficies infinitesimales dA1 y dA2

dFdA1 →dA2 dA1 = dFdA2 →dA1 dA2

Regla de la reciprocidad

Problema 01.- Si se supone que el Sol se comporta como un cuerpo negro a 6000 ºK

a) ¿Cuál será la longitud de onda en que se da el máximo de potencia emisiva monocromática?

b) ¿Cuál será la energía de esta fuente a 6000 ºK que se corresponde con el espectro visible 0,38 µm < λ < 0,76 µm ?

Solución: Longitud de onda en que se da el máximo de potencia emisiva Monocromática. El valor de ( λ T) en que se da la máxima potencia emisiva monocromática es (Ley de Wien, 2897,6 µm ºK).

a) La longitud de onda deseada es:

λ=

2897,6 µm º K = 0,483µm 6000 º K

b) Energía de esta fuente a 6000 ºK que se corresponde con el espectro visible 0,38 µm < λ < 0,76 µm

De la Tabla de funciones de radiación se obtiene:

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Fracción de energía entre 0 y ( λ T) = 0,76 x 6000 = 4560 µ m.ºK

4400 → 0,548830 ⇒

4600 → 0,579316

= 57 ,16 %

4560 → 0,571600

Fracción de energía entre 0 y ( λ T) = 0,38 x 6000 = 2280 µ m.ºK

2200 → 0,100897 ⇒

2400 → 0,140268

= 11,66%

2280 → 0,116645

La fracción de energía en el espectro visible será la diferencia: 57,16 − 11,66 = 45,5%

Problema 02.- La emisión de la radiación desde una superficie se puede aproximar por la radiación de un cuerpo negro a T=1000°K. Determinar:

a) La fracción de la energía total emitida por debajo de λ = 5µm b) La longitud de onda si la emisión de energía por debajo de ella es un 10,5% de la emisión total a 1000 ºK. c) La longitud de Onda la que se produce la emisión espectral máxima a 1000 ºK? Solución: a) Fracción de la energía total emitida por debajo de λ = 5µm De la Tabla de Funciones de radiación para: λ T = 5 x 1000 = 5000, se obtiene:

f (0→λT ) =

Eb (0 → λ1T ) = 0,6337 ⇒ Que el 63,3 % de la emisión total sucede por debajo σT 4

de ( λ = 5µm )

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E b (0 → λ1T ) = 0,6337σT 4 = 0,6337 x5,67 x10 −8

W W x(1000) 4 º K 4 = 35,935 2 4 m ºK m 2

b) Longitud de onda si la emisión de energía por debajo de ella es un 10,5% de la emisión total a 1000°K Para: f (0→ λ T ) =

0,6337 −

λ=

Eb (0 → λ1T ) − Eb (0 → λ2T ) = 0,105 σT 4

Eb (0 → λ2T ) E (0 → λ2T ) = 0,5287 ⇒ λT m º K103 = 4,2777 = 0,105 _; _ b 4 4 σT σT

(

)

4,2777 = 4,27 x10− 6 m = 4,27 µm 3 1000 x10

c) Longitud de onda para la que se produce la emisión espectral máxima a 1000°K Teniendo en cuenta la Ley de Desplazamiento de Wien: λ max T = 2,8976 x10 −3 m º K

Luego para: T = 1000º K , se tiene: λmax =

2,8976 x10 −3 m º K = 2,898 x10 −6 m = 2,89 µm 1000 º K

Problema 03.- Una pequeña superficie de área A=5 cm2 está sometida a una radiación de intensidad constante, I=1,8 x 104 W/m 2 .st sobre el ángulo sólido subtendido por 0 < ϕ < 2π y 0 < Φ < π 6. Calcular la radiación incidente sobre la

superficie. Solución: La radiación incidente sobre la superficie a través del ángulo sólido ( dw = senΦdΦdϕ ), viene dada por: q i = AI cos ΦsenΦdΦdϕ

La energía total incidente Qi sobre la superficie viene determinada por integración entre los ángulos Φ y ϕ : π 6

Qi = AI

2π

π π ∫ cos ΦsenΦdΦ ∫ dϕ = ... = 4 AI = 4 (5.10 )(1,8.10 ) = 7,07W −4

0

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0

4

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Problema 04.- Una superficie de A=2 cm2 emite radiación como un cuerpo negro a T = 1000°K. a) Calcular la radiación emitida dentro del ángulo sólido subtendido por 0 < ϕ < 2π y 0 < Φ < π / 6

b) ¿Qué fracción de la energía emitida se corresponde con el espacio hemisférico entero? Solución: a) Radiación emitida dentro del ángulo sólido subtendido por 0 < ϕ < 2π y 0 < Φ < π / 6 La radiación emitida por una superficie A a través de un ángulo sólido dw, de la forma: dw = senΦdΦdϕ

q = AI b (T ) cos ΦsenΦdΦdϕ

En cualquier dirección, es:

La energía en el ángulo sólido subtendido por los ángulos [0 ≤ ϕ ≤ 2π ] y π 6

2π

Q = AI b (T ) ∫ dϕ 0

Q=

(

)(

∫

cos Φ senΦ dΦ =

0

π 4

AI b (T ) =

AσT 4 4

)

1 2.10 − 4 x 5,67.10 −8 x1000 4 = 2,835W 4

[0 ≤ Φ ≤ π / 6] Se obtiene por integración de: b)

Fracción de la energía emitida que se corresponde con el espacio hemisférico

Q0 = A σ T4 = A π Ib (T)

Luego el porcentaje de la energía total emitida dentro del ángulo sólido considerado

es: 1 AσT 4 Q 1 4 = = ⇒ 25% 4 Q0 4 AσT

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Problema 05.- La emisividad hemisférica del ladrillo a T = 750ºK es función de la longitud de onda, como se indica a continuación:

ε1 = 0,1 , para (λ0 = 0 ÷ λ1 ≤ 2) µ m) ε2 = 0,6 , para (λ1 = 2 ÷ λ2 ≤ 14) µm) ε3 = 0,8 , para (λ2 = 14 ÷ λ3 → ∞ ) µm) Calcular la emisividad hemisférica ε sobre todas las longitudes de onda. Solución: ∞

∫ ε λ E λ (T )dλ b

ε=

0

Eb (T )

ε1 f0- λ1

λ1

λ

λ

3 2 E (T )dλ E (T )dλ E (T )dλ = ε 1 ∫ bλ + ε 2 ∫ bλ + ε 3 ∫ bλ = Eb (T ) Eb (T ) Eb (T ) λ1 λ2 0

+ ε2 {f 0- λ2

- f0- λ1} + ε3 {f 0- ∞ - f0- λ2}

λ 1 T = 2 x 750 = 1500 ⇒ f 0-λ 1 = 0,013



Los valores de f 0 −λ son:

λ 2 T = 14 x 750 = 10500 ⇒ f0- λ 2 = 0,924 λ 3 T → ∞ ⇒ f 0-∞ = 1

ε = (0,1 x 0,013) + 0,6 x {0,924 - 0,013} + 0,8 x {1 - 0,924} = 0,609

Luego:

Problema 06.- El filamento de una bombilla se puede considerar como un cuerpo negro

a

la

temperatura

T = 2400°K. Si el cristal de la bombilla tiene una

transmisividad de τ = 0,90 para la radiación emitida por el filamento en el espectro

visible. Calcular el % de la energía total emitida por el filamento, que llega a alcanzar el medio ambiente como luz visible. Solución: El espectro visible está comprendido entre λ1 = 0,38 µ m y λ2 = 0,76 µ m. La fracción F de la energía total emitida por el filamento que alcanza el medio ambiente como luz es:

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100

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA λ2

∫ E λ (T )dλ b

F =τ

λ1

E b (T )

λ2

=τ ∫ 0

λ

1 E bλ (T ) dλ E (T )dλ − τ ∫ bλ = τ f 0→λ2 − f 0→λ1 E b (T ) E b (T ) 0

(

)

En la que τ es la transmisividad del cristal de la bombilla

Para (λ1T ) =

Para (λ 2T ) =

0,38 x 2400 = 0,912 ⇒ f 0→λ1 = 0,0002 1000

⇒ F = 0,9 x(0,0436 − 0,0002) = 0,039

0,76 x 2400 = 1,824 ⇒ f 0→λ2 = 0,0436 1000

Es decir, sólo el 3,9% de la energía total entra en el ambiente como luz; el resto de la energía produce calentamiento.

Problema 07.- Determinar el factor de forma de una superficie elemental dA1 = 2 cm 2 respecto a una superficie A 2 de sección cuadrada de 10 cm de lado; la separación entre las superficies es de 10 cm. Solución:

dA1 se puede considerar como superficie elemental si:

dA1 2 = 2