eometría Selección de Problemas 1º parte
2004
Problemas de Geometría del Espacio 1º Parte
V cil. Ve s f . V c o n o = = 1 3 2
Recopilado por GRUPO MARAL Ingº Aldo Gil Crisóstomo
Selección de problemas de Geometría tomados en Academias de Preparación Peruanas para Ingreso a Universidades de Ingeniería
Lima – Perú – 2006
____________ GRUPO MARAL
Pág. 1
____________________________
[email protected] [email protected]
eometría Selección de Problemas 1º parte
2004
Problema 1
En la figura, se tiene un cono de revolución equilátero y un cilindro de revolución. Hallar el volumen del cilindro si AC = 24, O es centro de la base del cilindro y es bisectriz del ángulo ACO.
A
Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 18 - Guía 27 - Anual
M
Problema 7 x°
B Fuente: Sigma Tomo XIV – Prob 506– 1990-II
El lado de la base de una pirámide cuadrangular es igual a “m” “m” . El ángulo entre la arista lateral y la altura de la pirámide es igual a 30º. Construimos la sección de la pirámide con un plano que pasa por el vértice de la base perpendicularmente a la arista opuesta. Hallar el área de la sección.
x°
O
C
Una recta es tangente a un cono, y en el punto de tangencia forma con su generatriz el ángulo agudo , y con el plano de de la base del cono el mismo ángulo . Hallar el ángulo entre la generatriz y el el plano de la base, base, si tan = ½. Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 1 - Guía 26 - Anual
Problema 2
Problema 8
Se tiene un prisma recto de base triangular ABC, con ∠ABC = 90º y la altura del prisma igual a 6. Considerando como diámetro el segmento BC se dibuja un cilindro recto de igual altura que el prisma. La cara lateral mayor del del prisma es dividido por una de las generatrices cilindro en dos regiones rectangulares cuyas áreas son 18 2 y 6 u . La región rectangular menor es interior al cilindro. Hallar el volumen del cilindro.
La proyección ortogonal de un cubo sobre un plano es un hexágono regular de lado √2. Hallar el área total del cubo. Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 17 - Guía 26 - Anual Problema 9
Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 1 - Guía 29 - Anual
Una elipse que es proyectada por un círculo de 2 centímetro de radio tiene sus ejes diferenciados en 1 centímetro. Hallar el ángulo formado por los planos de ambas figuras.
Problema 3
Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 8 - Guía 25 - Anual
Se tiene un plano que pasa por uno de los vértices de la base y por los puntos medios de dos aristas laterales de una pirámide regular triangular. Hallar la superficie lateral de la 2 pirámide si el área de su base mide 7 √6 u , sabiendo que el plano secante es perpendicular a la cara lateral.
Problema 10
Hallar el ángulo diedro que forman dos caras laterales adyacentes de una pirámide regular que tiene por base un cuadrado cuyo lado tiene una longitud que es el doble de la altura de la pirámide. Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 4 - Guía 25 - Anual
Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 8 - Guía 28 - Anual
Problema 11
Problema 4
Por cada una de las aristas de un tetraedro se han trazado un plano paralelo a la arista opuesta. Hallar la razón entre los volúmenes del paralelepípedo obtenido y del tetraedro.
Los puntos A y B sobre dos rectas que forman ángulo recto distan de la perpendicular común en 3 y 4 centímetros. Si AB = 10 cm. Hallar el ángulo entre AB y la distancia entre las rectas. r ectas. Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 1 - Guía 24 - Anual
Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 20 - Guía 28 - Anual
Problema 12
Problema 5
Cuantas caras tiene un poliedro compuesto de cuadrados, triángulos y pentágonos regulares, si cada pentágono y cada triángulo esta rodeado de cuadrados y cada cuadrado esta rodeado alternativamente por un pentágono y un triángulo.
Calcular el volumen de una pirámide cuya base es un trapecio rectángulo de diagonales perpen2 diculares y la base mayor es igual a 16 u . Además se sabe que el pie de la altura de la pirámide coincide con el unto de intersección de las diagonales de la base y que los ángulos diedros cuyas aristas son la base mayor y menor
Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 11 - Guía 27 - Anual Problema 6
del trapecio rectángulo respectivamente.
____________ GRUPO MARAL
Pág. 1
miden
45º
y
53º
____________________________
[email protected] [email protected]
eometría Selección de Problemas 1º parte
2004
Fuente: Vallejo - Tomo V - Prob 175 - Pág 125 Problema 13
el plano dista 1 centímetro del vértice del cono, hallar el volumen del cono.
Calcular el radio de la base de un cono recto, sabiendo que su altura mide 4 y que la arista del tetraedro regular inscrito en el cono mide √6. Un vértice del tetraedro esta en el centro de la base y los otros tres están en la superficie lateral.
Fuente: AJC - Tomo XXVI - Prob 10 - Guía 29 – Anual Problema 20
Calcular AP, si PD = 13, PB = 5, PC = 12 de la figura y ABCD rectángulo
Fuente: Vallejo - Tomo V - Prob 180 - Pág 126 Problema 14
un
Fuente: Concurso de Becas 13-02-93
Un cono recto de revolución tiene 3 metros de altura, la suma de la generatriz y el radio de la base es 9. Hallar el ángulo central del sector circular que se obtendría por el desarrollo del área sobre un plano. Fuente: Vallejo - Tomo V - Prob 4 - Pág 133
es
Problema 21
Problema 15
Fuente: Vallejo - Tomo V - Prob 5 - Pág 133
Calcular el volumen del poliedro que se determina al unir un vértice de un tetraedro regular con los puntos medios de las aristas que concurren en dicho vértice y el centro de una de las que concurre en el mismo vértice. La arista del
Problema 16
tetraedro mide “a”.
Hallar el volumen de aquel cilindro que puede inscribirse en un cono de revolución de altura 10 y radio 12.El radio de la base del cilindro es 8.
Fuente: Concurso de Becas 26-10-93
Hallar el volumen del poliedro formado al unir un vértice de un tetraedro regular de arista 3 √6, con los centros de las caras que concurren en dicho vértice. Fuente: Vallejo - Tomo V - Prob 19 - Pág 134
Problema 22
Calcular la altura de un cilindro recto de volumen máximo, inscrito en la octava parte de una esfera de radio 4√3 metros. Fuente: Vallejo - Tomo V - Prob 183 - Pág 127
Problema 17
Problema 23
Calcular el volumen del tetraedro AHMN, si AC = 26, PQ = 12, (P y Q son puntos de tangencia)
Hallar el volumen de una pirámide regular hexagonal donde el apotema mide 6 √3 y además la cara lateral forma con la base un ángulo de 60º. Fuente: Vallejo - Tomo V - Prob 1 - Pág 133 Problema 24
Si partiendo de un vértice de un cubo se trazan las diagonales de dos conos vecinos. ¿Cuánto mide el ángulo que forman?
Fuente: Valllejo-Concurso de Becas 13-02-93
Fuente: Academia Alfa – Prob. Propuesto 67
Problema 18
Se tiene una caja de forma de paralelepípedo rectangular si el largo es el doble del ancho y la suma de las tres dimensiones es igual a 14. Calcular la altura para que la superficie total tenga área máxima. Fuente: Concurso de Becas 26-10-93 Problema 19
Una de radio 3 centímetros, esta inscrita en unesfera cono recto, se traza un plano tangente a la esfera y perpendicular a la generatriz del cono. Si ____________ GRUPO MARAL
Pág. 2
____________________________
[email protected] [email protected]
