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PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Capítulo

1

SISTEMA DE COORDENADAS Demostrar que los puntos A = (0,1) y B = (3,5) ; C = (7,2) y D = (4,−2) son los vértices de un cuadrado. Solución: !

AB =

9 + 16 = 25 = 5

!

BC =

16 + 9 = 25 = 5

!

AD =

9 + 16 = 25 = 5

!

CD =

16 + 9 = 25 = 5

Como :

ˆ

AB = BC = AD = CD = 5

ABCD es un cuadrado.

LQQD

1

Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS

Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A = (−1,1) y B = (3,1) . Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos casos).

Solución: Sea C = (x,y ) el tercer vértice. !

BC = AC

(x − 3)2 + (y − 1)2

! = ! !

De

ˆ

=

(x + 1)2 + (y − 1)2

→

"

BC = AB

(x − 3)2 + (y − 1)2

" y !:

(

  

= 16

→

!

x =1 y = 1± 2 3

C = 1,1 ± 2 3

)

Dados los puntos P1 = (2,−3) y P2 = (−1,2) encontrar sobre P1 P2 el punto que diste doble de P1 que P2 . Solución: Sea P = (x,y ) el punto pedido. ! r=

!

P2P

=

2 =2 1

x + r x 2 2 + 2(− 1) = = x= 1 1+ r 1+ 2 =

2

PP1

2−2 0 = =0 3 3

!

x=0

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

! y=

y1 + r y 2 − 3 + 2 (2) − 3 + 4 1 = = = 1+ r 1+ 2 3 3

ˆ

 1 P = (x, y ) =  0,   3

!

y=

1 3

El lado de un rombo es igual a 5 10 y dos de sus vértices opuestos son los puntos P = (4,9 ) y Q = (− 2,1) . Calcular el área de este rombo. Solución: PQ =

!

36 + 64 =

(

x 2 = 5 10

100 = 10

)2 − 5 2 = 250 − 25

!

x 2 = 225

!

x = 15

Luego : : A =

D × d 30 × 10 = = 150 2 2

!

A = 150 m 2

3

Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS

Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es dividido en tres partes iguales por los puntos P = (2,2) y Q = (1,5 ) . Solución: ! Cálculo de A = (x 1 ,y 1 ) : ! r=

!

      

ˆ

!

AP PQ

=1 1 + x1 2

!

x1 = 3

y +5 2= 1 2

!

y 1 = −1

2=

A = (3, − 1)

Cálculo de B = (x 2 ,y 2 ) :

! r=

ˆ

PQ QB

=1 !

      

1=

2 + x2 2

!

x2 = 0

5=

2 + y2 2

!

y2 = 8

B = (0,8 )

La longitud del segmento MN es igual a 13; su origen está en el punto M = (3, − 2 ) ; la proyección sobre el eje de abscisas es igual a −12 . Hallar

las coordenadas del otro extremo del segmento, si forma con el eje de ordenadas un ángulo dado.

4

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Solución: ! Si

AB = −12 ! x − 3 = −12

! Si

MN = 13

ˆ

!

!

x = −9

(x − 3 )2 + (y + 2)2

= 13

!

y = −7

N = (x, y ) = (− 9, − 7 )

Tres de los vértices de un paralelogramo son A = (− 1,4 ) , B = (1, − 1) y C = (6,1) . Si la ordenada del cuarto vértice es 6. ¿Cuál es su abscisa?

Solución:

Sea D = ( x ,6) el punto pedido. !

AD = BC

!

(x + 1)2 + (6 − 4) 2

=

(6 − 1)2 + (1 + 1)2 5

Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS

Efectuando operaciones: !

x 2 + 2x − 24 = 0   

!

x1 = 4 x 2 = −6

Luego : ! D = ( x ,6 ) !

D = (4,6 )

El punto medio de cierto segmento es el punto M = (− 1,2 ) y uno de sus extremos es el punto N = (2,5 ) . Hallar las coordenadas del otro extremo. Solución: Sea P = (x, y ) el punto pedido. !

xM =

!

yM =

ˆ

x + xN 2 y + yN 2

! −1 = !

2=

x+2 ! x = −4 2 y+5 2

!

y = −1

P = (x, y ) = (− 4, − 1)

Los vértices de un triángulo ABC son A = (2, − 1) , B = (− 4,7 ) y C = (8,0 ) . Calcular las coordenadas del baricentro de dicho triángulo. Solución: Sabemos que :

6

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

!

x + x 2 + x3 x= 1 3

! x=

2−4+8 3

!

y + y 2 + y3 y= 1 3

! y=

− 1+ 7 + 0 6 ! y= =2 3 3

ˆ

! x=

6 =2 3

G = (x, y ) = (2,2)

¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une los puntos A = (1, − 1) y B = (4,5 ) en la dirección AB, para que su longitud se triplique?

Solución: Sea P = (x, y ) el punto pedido. ! Sabemos :

AB BP

=

1 2

! BP = 2 AB

7

Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS

!

(x − 4 )2 + (y − 5 )2

=2

(4 − 1)2 + (5 + 1)2

Efectuando operaciones : ! !

x 2 + y 2 − 8x − 10y − 139 = 0

También : !

→

"

AB + BP = AP

(4 − 1)2 + (5 + 1)2 + (x − 4)2 + (y − 5)2

=

Efectuando operaciones : ! De

ˆ

8

x 2 + y 2 − 8x − 10y + 14 = 0

" y !:

  

→

x1 = 10 ;

y1 = 17

x 2 = −2 ;

y 2 = −7

P = (x, y ) = (10,17 )

!

(x − 1)2 + (y + 1)2

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Capítulo

2

GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS Discutir y graficar las curvas, cuyas ecuaciones son:

16 x 2 − y = 0

Solución: E(x,y ) : 16 x 2 − y = 0

→

!

1º. Intercepciones con los ejes: Eje X :

y = 0 ! 16x 2 = 0 !

Eje Y :

x=0 !

y=0

x=0

  ! 

O = (0,0 )

9

Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS

2º. Simetría: Eje X :

E(x,− y ) ≠ E(x, y )

Eje Y :

E(− x, y ) = E(x, y )

Origen :

E(− x,− y ) ≠ E(x, y )

    

Curva simétrica sólo con el eje X

3º. Extensión:

!:

De

y = 16x 2 ;

∀ x∈ú

4º. Asíntotas: No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales. 5º. Cuadro de valores: x

0

1

−1

12

−1 2

....

y

0

16

16

4

4

....

6º. Gráfico:

10

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

xy − 2x − 1 = 0

Solución: E(x, y ) :

xy − 2x − 1 = 0

!

→

1º. Intercepciones con los ejes: A = (− 1 2 ,0 )

Eje X :

y=0 !

x = −1 2;

Eje Y :

x = 0 ! ò intercepci ón con el eje X

2º. Simetría: Eje X :

E(x,− y ) ≠ E(x, y )

Eje Y :

E(− x, y ) ≠ E(x, y )

Origen :

E(− x,− y ) ≠ E(x, y )

    

Curva no simétrica ni con los ejes ni con el origen

3º. Extensión: De

!:

xy − 2 x − 1 = 0 !

y=

1 + 2x ; x

∀x≠0

4º. Asíntotas: De

!: 1+ 2 x x 1 x= ; y−2 y=

! !

x=0

!

y−2=0 !

y=2

5º. Cuadro de valores: x

1

2

−1

−2

....

y

3

52

1

32

....

11

Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS

6º. Gráfico:

x3 + y 2 − 4y + 4 = 0

Solución: E(x, y ) :

x 3 + y 2 − 4y + 4 = 0

!

→

1º. Intercepciones con los ejes: A = (− 1.6,0 )

Eje X :

y=0 !

x = −1.6 ;

Eje Y :

x=0 !

y = 2 ; B = (0,2 )

2º. Simetría:

12

Eje X :

E(x,− y ) ≠ E(x, y )

Eje Y :

E(− x, y ) ≠ E(x, y )

Origen :

E(− x,− y ) ≠ E(x, y )

    

Curva no simétrica ni con los ejes ni con el origen

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

3º. Extensión:

!:

De

y = 2 ± − x3 ;

∀x≤0

4º. Asíntotas: No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales. 5º. Cuadro de valores: x

0

−8 5

−1

−2

....

y

2

0

13 10

24 5 , − 4 5

....

6º. Gráfico:

13

Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS

y2 =

x2 − 1 x2 − 4

Solución: E(x, y ) :

y2 =

x2 − 1

→

x2 − 4

!

1º. Intercepciones con los ejes: A = (± 1,0 )

Eje X :

y=0 !

x = ±1;

Eje Y :

x=0 !

y = ± 1 2 ; B = (0,± 1 2 )

2º. Simetría: Curva simétrica con los ejes y con el origen. 3º. Extensión:

!:

De

y=±

x2 − 1

∀ x ∈ − ∞, − 2

x2 − 4

∪

[− 1,1]

∪

2, + ∞

4º. Asíntotas:

!:

De !

y=±

!

x=±

x2 − 1 2

x −4

!

4 y2 − 1

!

2

y −1

x2 − 4 = 0 !

x = ±2

y2 − 1 = 0 !

y = ±1

5º. Cuadro de valores:

14

x

1

−1

0

±3

±4

±1 2

.....

y

0

0

±1 2

±1 3

± 11 10

± 24 5

....

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

6º. Gráfico:

(

)

y x2 + 1 = 4

Solución: E(x, y ) :

(

)

y x2 + 1 = 4

→

!

1º. Intercepciones con los ejes:

Eje X :

y = 0 ! ò intercepción con el eje X

Eje Y :

x=0 !

y = 4;

A = (0,4 )

2º. Simetría: Curva simétrica sólo con el eje Y.

15

Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS

3º. Extensión:

De

!:

y=

2

4

!

x +1

x 2 + 1 = 0;

∀ x∈ú

4º. Asíntotas:

!:

De

4

!

y=

!

x=±

2

x +1 4−y y

!

x2 + 1 = 0 !

x∉ú

y =0 !

y=0

!

5º. Cuadro de valores: x

0

±1

±2

±3

....

y

4

2

45 25

....

6º. Gráfico:

16

( Eje

X)

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Una recta pasa por los dos puntos A = (− 2,−3 ) y B = (4,1) . Si un punto de abscisa 10 pertenece a la recta. ¿Cuál es su ordenada? Solución: Sea

C = (10, y ) el punto pedido.

Dado que :

AB + BC = AC

36 + 16 + 36 + (y − 1)2 =

!

(10 + 2)2 + (y + 3 )2

=

Efectuando operacione s : y=5

!

Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los dos puntos A = (2,−2) y B = (4,1) es siempre igual a 12. Solución: Sea P = (x, y ) el punto pedido. Entonces de la condición del problema tenemos : !

BP

2

− AP

2

= 12

De donde : !   −  

(x − 4)2 + (y − 1)2  

2

−

(x − 2)2 + (y + 2)2  

2

= 12

Luego, efectuando operaciones : !

4x + 6y + 3 = 0

17

Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS

Un segmento rectilíneo de longitud 4 se mueve de tal manera que uno de los puntos extremos permanece siempre sobre el eje X y el otro permanece siempre sobre el eje Y. Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto medio del segmento. Solución: De la condición : !

PA + PB = 4

(x − x 2)2 + (− y 2)2 +

! +

(x 2)2 + (y

2 − y )2 = 4

Efectuando operacione s : !

x 2 + y 2 = 16

Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto P = (x, y ) , tal que la distancia de P al punto A = (0,6 ) es igual a la mitad de la distancia de P al eje X.

Solución:

De la condición : !

AP =

1 y 2

!

x 2 + (y − 6 )2 =

Luego, efectuando operaciones : !

18

4x 2 + 3 y 2 − 48 y + 144 = 0

1 y 2

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Capítulo

3

LA LÍNEA RECTA Hallar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos A = (4,2 ) y B = (− 5,7 ) .

Solución: Sea

‹ la recta buscada.

Dado que se conocen dos puntos de la recta, se puede conocer su pendiente.  A = (4,2) ‹ :  

ˆ ‹:

B = (− 5,7 ) y−2 = −

! m‹ = m

5 (x − 4 ) "! 9

AB

=

7−2 5 =− −5−4 9

‹ : 5x + 9 y − 38 = 0 19

Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA

Calcular el área del triángulo que forma la recta 3 x − 4 y − 12 = 0 con los ejes coordenados. Solución: !

‹ : 3 x − 4 y − 12 = 0

Luego : !

‹ : 3 x − 4 y = 12

Dividiendo × 2 : !

‹:

x y + =1 ! 4 −3

ˆ A∆ =

4 × (− 3 ) 2

=

12 2

  

a=4 b = −3

A ∆ = 6u2

"!

Los vértices de un triángulo son A = (0,0 ) , B = (4,2 ) y C = (− 2,6 ) . Obtener las ecuaciones de las rectas que contienen los lados del triángulo. Solución: ! Ecuación de AB : AB :

  

A = (0,0 ) B = (4,2)

! m

AB

=−

ˆ y − 0 = − (x − 0) "! 1 2

1 2

x − 2y = 0

! Ecuación de BC : BC :

  

B = (4,2) C = (− 2,6 )

! m

ˆ y − 2 = − (x − 4 ) "! 20

2 3

BC

=−

2 3

2x + 3 y − 14 = 0

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

! Ecuación de AC :   

AC :

A = (0,0 ) B = (− 2,6)

! m

ˆ y − 0 = −3(x − 0 ) "!

AC

= −3

3x + y = 0

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A = (4, 8 3 ) y por la intersección de las rectas 3 x − 4 y − 2 = 0 , 9 x − 11y − 6 = 0 Solución:

‹:

      

A = (4, 8 3 )

Un punto de la recta

‹1: 3x − 4y − 2 = 0 ‹2 : 9 x − 11y − 6 = 0

   ! 

‹1 ∩ ‹2 = B = (2 3 ,0 )

Luego :

‹ : y − y1 = m(x − x1 )

Donde : m ‹ = m

AB

=

0−8 3 4 = 2 3−4 5

Finalmente :

‹: y−

8 4 = (x − 4 ) "! 3 5

Si la recta ax + by + c = 0

‹ : 12x − 15 y − 8 = 0 pasa por el punto P = (p, q) , escribir una

ecuación en forma de: a) pendiente y ordenada en el origen. b) punto - pendiente. c) simétrica. Solución:

a)

‹ : ax+ by + c = 0 !

a c y =− x− b b

21

Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA

a b ) ‹ : ax + by + c = 0; Donde : m ‹ = − ; P = (p, q) d b

‹ : y − q = − (x − p ) a b

!

c ) ‹ : ax + by + c = 0 ! !

‹:

‹ : ax + by = −c

x y + =1 c c − − a b

Encontrar la ecuación de una recta que tiene intercepciones iguales y que pasa por el punto A = (8,−6 ) Solución:

‹:

Sea :

x y + = 1 Pero : a a

A = (8,−6 ) ∈ ‹

8 −6 + =1 ! a = 2 a a

Luego :

x y + = 1 "! 2 2

ˆ ‹:

‹ : x+y−2 = 0

Desde el punto M0 = (− 2,3 ) se ha dirigido hacia el eje OX un rayo de luz con una inclinación de un ángulo α , se sabe que tg α = 3 . El rayo se ha reflejado del eje OX. Hallar las ecuaciones de las rectas en las que están los rayos incidente y reflejado. Solución:

! Ecuación del rayo incidente : pendiente : m = tgα = 3 !

22

y − 3 = 3 (x + 2) "!

3x − y + 9 = 0

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

! Ecuación del rayo reflejado : Si

y=0 !

x = −3 ; P0 = (− 3,0 )

pendiente : m = tg ( 180 º −α ) = −tgα = −3 !

y − 0 = −3 (x + 3 ) "!

3x + y + 9 = 0

Dados los puntos M = (2,2 ) y N = (5,−2) . Hallar en el eje de abscisas un punto P de modo que en el ángulo MPˆN sea recto. Solución: Dado que : MP ⊥ NP !

"! m

MP

⋅m

NP

= −1

 −2   2   = −1 ⋅   x −2  x −5

Efectuando operacione s : x 2 − 7x + 6 = 0 !

ˆ

  

x1 = 6 x2 = 1

P1 = ( 6,0 ) ; P2 = (1,0 )

23

Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA

Los puntos A = (3,−2) , B = (4,1) y C = (− 3,5 ) son los vértices de un triángulo. Demostrar que la recta que pasa por los puntos medios de los lados AB y CD es paralelo a la base BC del triángulo. Solución:

! Cálculo de M1 = (x1, y1 )

!

    

x A + xB 7 = 2 2 y A + yB 1 =− y1 = 2 2 x1 =

 7 1 ! M1 =  ,−  2 2

! Cálculo de M2 = (x 2 , y 2 )

!

24

    

x A + xC =0 2 y + yC 3 = y2 = A 2 2 x2 =

 3 ! M2 =  0,   2

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

BC * M1 M2

Sabemos que :

"! m

BC * M1 M2

Luego efectivamente :

BC

=m

M1 M2

"!

−

4 4 =− 7 7

LQQD

Calcular la distancia entre las rectas paralelas:

x + 2y + 4 = 0 y

2x + 4 y − 5 = 0

Solución: Dado que :

‹ 1 : x + 2y + 4 = 0 ∧ ‹ 2 : 2x + 4 y − 5 = 0 Hallamos un punto cualesquie ra P , de la recta x=0 !

Para

y = −2

ˆ

‹1 .

P = (0, − 2)

Luego :

ˆ

d=

(2)(0) + (4)(− 2) − 5 2

2 +4

2

=

−8−5 20

"!

d=

13 ≈ 2.90 20

25

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Capítulo

4

LA CIRCUNFERENCIA Encontrar la ecuación de la circunferencia sabiendo que sus extremos de un diámetro son los puntos A = (− 2,3 ) y B = (4,−1) . Solución: C = (h,k ) es punto medio de AB !

  

Luego :

h=1 k =1

! C = (1,1)

r=

AB 2

=

52 2

! r 2 = 13

ˆ C : (x − h)2 + (y − k )2 = r 2 (x − 1)2 + (y − 1)2 = 13 C : x 2 + y 2 + 12x − 12y + 36 = 0

27

Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA

Obtener la ecuación de la circunferencia tangente a los dos ejes, radio 6, en el segundo cuadrante. Solución: Del gráfico, se deduce que C = (h,k ) = (− 6,6 ) es el centro de la circunferencia y su radio r = 6.

ˆ C : (x − h)2 + (y − k )2 = r 2 (x + 6)2 + (y − 6)2 = 36 C : x 2 + y 2 + 12x − 12y + 36 = 0 Dada la ecuación de la circunferencia 3 x 2 + 3 y 2 + 4 y − 7 = 0 , encontrar el centro y el radio. Solución: Completando cuadrados : ! 3x 2 + 3 y 2 + 4y − 7 = 0 4 4 4  3 x 2 + 3 y 2 + y +  = 7 + 3 9 3  2

2 25  3x 2 + 3 y +  = 3 3   2

2 25  x2 +  y +  = 3 9 

28

ˆ

d donde : h = 0 , k = − ; De

2 5  C =  0,−  ; r = 3 3  

2 3

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C = (− 4,−1) y que es tangente a la recta: 3 x + 2y − 12 = 0 . Solución:

r = Distancia de C a

Sea :

‹ : 3x + 2y − 12 = 0

Luego : ! r=

= =

(3)(− 4) + (2)(− 1) − 12 3 2 + 22 − 12 − 2 − 12 13 − 26 13

=

26 13

! r 2 = 52

ˆ C : (x − h)2 + (y − k )2 = r 2 Reemplazando :

C : (x + 4 )2 + (y + 1)2 = 52 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A = (4,0 ) , B = (0,3 ) y C = (− 2, − 2) .

Solución: Sea

C : x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 → ⊗

!

A = (4,0 ) ∈

C ! 16 + 4 D+ F = 0 → #

!

B = (0,3 ) ∈

C ! 9 + 3E + F = 0 → "

!

C = (− 2, − 2) ∈

Luego, de

C ! − 2D − 2E + F = 8 → !

# ," y ! :

D=−

19 5 132 ; E= ; F=− 13 13 13

29

Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA

En

⊗:

ˆ C:

x 2 + y2 −

19 5 132 =0 x+ y− 3 13 13

C : 13x 2 + 13y 2 − 19x + 5y − 132 = 0 Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 10, tangente en el eje X, cuyo centro está sobre la recta x = 2y . Solución:

! Primer caso

‹ : x = 2 y pero C = (h1,10) ∈ ‹ ! h1 = 20 ; C = (20,10) C : (x − h1)2 + (y − k1)2 = r 2

(x − 20)2 + (y − 10)2 = 100 30

x 2 + y 2 − 40x − 20y + 400 = 0

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

! Segundo caso

‹ : x = 2 y pero C = (h2,−10) ∈ ‹ ! h2 = −20 ; C = (− 20,−10) C : (x − h2 )2 + (y − k 2 )2 = r 2

(x + 20)2 + (y + 10)2 = 100 x 2 + y 2 + 40x + 20y + 400 = 0

La ecuación de una circunferencia es x 2 + y 2 = 50 . El punto medio de una cuerda de esta circunferencia es el punto P = (− 2,4 ) . Hallar la ecuación de la cuerda. Solución:

Sea y

‹2 la recta que contiene a la cuerda referida

‹1 la recta que pasa por el punto P y el centro de la circunferencia.

! Pendiente de

‹1 : m‹1 =

4−0 = −2 −2−0

Luego :

‹1 ⊥ ‹2 "! m‹1 ⋅ m‹ 2 = −1 "!

(− 2)⋅ m‹ 2

"! m‹ = 2

= −1

1 2

Luego : !

‹ 2 : y − 4 = (x + 2) 1 2

‹ 2 : x − 2y + 10 = 0 31

Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA

Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en C = (4, 4 3 ) y que pasa por Q = (− 1,− 4 3 ) . Solución: De los datos, tenemos :

C : (x − h)2 + (y − k )2 = r 2

(x − 4)2 + (y − 4 3)2 = r 2 !

ˆ

Q = (− 1,− 4 3 ) ∈

2 289 4 4 C ! (− 1 − 4)2 +  − −  = r 2 ! r 2 =

 3

3

2 4 289 C : (x − 4)2 +  y −  =



3

9

Hallar el área del círculo cuya ecuación es: 9 x 2 + 9 y 2 + 72 x − 12 y + 103 = 0

Solución: Tenemos la ecuación de la circunferencia :

C : 9x 2 + 9y 2 + 72x − 12y + 103 = 0 Despejando el término independiente y completando cuadrados !

C : 9x 2 + 9y 2 + 72x − 12y = −103

(

)

4 4  9 x 2 + 8x + 16 + 9  y 2 − y +  = −103 + 144 + 4 9 3  2

2  9 (x + 4 )2 + 9  y −  = 45 3  

(x + 4)2 +  y − 2  

32

ˆ

A = πr2 = π × 5

3

2

=5

"!

Donde : r 2 = 5 A = 5 πu 2

9

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Capítulo

5

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS Por una traslación de ejes, transformar la ecuación: 3 x 2 − 2y 2 − 42 x − 4 y + 133 = 0

en otra que carezca de términos de primer grado. Solución: Completando cuadrados : 3x 2 − 2y 2 − 42x − 4y + 133 = 0

) (

(

)

3 x 2 − 14x + 49 − 2 y 2 + 2y + 1 = −133 + 147 − 2 3 (x − 7 )2 − 2 (y + 1)2 = 12 Siendo :

  

xN= x − 7 yN= y + 1

!

3xN2 − 2yN2 = 12

33

Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

Simplificar la ecuación: 72 x 2 + 36 y 2 − 48 x + 36 y − 55 = 0

por una traslación de los ejes coordenados. Solución: Completando cuadrados : 72x 2 + 36y 2 − 48x + 36y − 55 = 0

(

)

1 2  72  x 2 − x +  + 36 y 2 + y + 1 = 55 + 8 + 9 9 3   2

2

1 1   72  x −  + 36  y +  = 72 2 3   2

2

1 1   2x −  + y +  = 2 3 2          

Siendo :

xN= x −

1 3

2xN2 + yN2 = 2

!

1 yN= y + 2

Por una traslación de ejes, simplificar la ecuación: x 2 − 2y 2 + 8 x + 4 y − 3 = 0

Solución: Completando cuadrados en la expresión, se tiene :

(x

2

) (

)

− 8x + 16 − 2 y 2 − 2y + 1 = 3 + 16 − 2

(x − 4 )2 − 2 (y − 1)2 = 17 Siendo :

34

  

xN= x − 4 yN= y − 1

!

xN2 − 2yN2 = 17

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Por medio de una traslación de ejes, eliminar los términos de primer grado de la ecuación: 2xy − x − y + 4 = 0 Solución: 2x y − x − y + 4 = 0 !

  

x = xN+ h y = yN+ k

"

→ →

#

# en " : 2 (xN+ h)(yN+ k ) − (xN+ h) − (yN+ k ) 2 xNyN+ 2 k xN+ 2 k yN+ 2 hk − xN− h − yN− k + 4 2 x Ny N+ (2 k − 1)xN+ (2 h − 1)yN+ 2 hk − h − k + 4 = 0   

De donde :

Luego en

2 k− 1 = 0 2 h− 1 = 0

!

→

h=k =

1 2

!

4 x Ny N+ 7 = 0

!

!:

 1 1 1 1 2 x Ny N+ 2     − − + 4 = 0  2  2  2 2

Por una rotación de los ejes coordenados, transformar la ecuación: 16 x 2 + 24 xy + 9 y 2 + 25 x = 0

en otra que carezca del término en xy. Solución:

16x 2 + 24xy + 9y 2 + 25x = 0 → Luego :

x = xN cosθ − yN sen θ y = xN sen θ + yN cos θ

"   → 

# 35

Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

# en " :

Ahora

( 16 cos θ + 24 senθ cos θ + 9 sen θ) xN + + ( 16 sen θ − 24 sen θ cos θ + 9 cos θ) yN + + ( 24 cos θ − 32 sen θ cos θ − 24 sen θ + 18 sen θ cos θ) xNyN+ 2

2

2

2

2

2

2

2

+ 25 xNcos θ − 25 yNsen θ = 0

→

⊗

Luego para eliminar el término xN e yN. ! 24 cos 2 θ − 32 sen θ cos θ − 24 sen2 θ + 18 sen θ cos θ = 0 24 cos 2 θ − 24 sen2 θ − 14 sen θ cos θ = 0

(

)

24 cos 2 θ − sen2 θ − 14 sen θ cos θ = 0 24 cos 2θ − 7 × 2 sen θ cos θ = 0 24 cos 2θ − 7 sen 2θ = 0 Dividiendo × cos 2θ : ! 24 − 7 tg 2θ = 0 ! tg 2θ =

24 7

Luego de la figura : ! cos 2θ =

7 25

Además :

!

1 − cos 2θ senθ = = 2

1 + cos 2θ ! cosθ = = 2

36

7 25 = 2

9 25

!

senθ =

3 5

7 25 = 2

16 25

!

cosθ =

4 5

1−

1+

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

⊗:

En

(4 cos θ + 3 sen θ) 2 xN2 + (4 sen θ + 3 cos θ) yN2 + 25 xNcos θ − 25 yNsenθ = 0

!

2

3 4 4 2 3 2  3  4  4 ⋅ + 3 ⋅  xN +  4 ⋅ + 3 ⋅  yN + 25 ⋅ xN− 25 ⋅ yN= 0 5 5 5 5  5  5 25 xN2 + 20 xN− 15 yN= 0

5xN2 + 4xN− 3yN= 0

!

Simplificar la ecuación: x 2 − 10 xy + y 2 − 10 x + 2y + 13 = 0

por transformación de coordenadas. Solución: x 2 − 10xy + y 2 − 10x + 2y + 13 = 0 Luego :

  

x = xN+ h y = yN+ k

→

→

"

#

# en " : xN2 + 2 hx N+ h2 − 10xNyN− 10 k xN− 10 h yN− 10 hk + yN2 + 2 ky N+ k 2 − − 10xN− 10 h+ 2yN+ 2 k + 13 = 0 xN2 + yN2 + (2h − 10k − 10 ) xN+ (2 + 2 k − 10 h) yN+ + k 2 − 10 hk − 10 h + 2 k + 13 = 0

→

⊗

Para eliminar los términos xN e yN; debe cumplirse que   

2 h− 10 k − 10 = 0 2 + 2 k − 10 h = 0

! h = 0 ; k = −1

37

Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

En

⊗:

! xN2 + yN2 − 10xNyN+ 1 − 2 + 13 = 0 xN2 + yN2 − 10xNyN+ 12 = 0 ......!

Pero :

xN= xNNcos θ − yNNsen θ yN= xNNsenθ + yNNcos θ

  ......$ 

$ en ! : ! xNN2 cos2 θ − 2 xNNyNNsenθ cos θ + yNN2 sen2 θ + xNN2 sen2 θ + + 2 xNNyNNsen θ cos θ + yNN2 cos2 θ − 10 + xNN2 senθ cos θ − − 10 xNNyNNcos2 θ + 10 x NNyNNsen θ + 10 yNN2 sen θ cos θ + 12 = 0 !

(cos θ + sen θ − 10senθ cosθ) xNN + (sen θ + cos θ + 10senθ cosθ) yNN + + (2 senθ cos θ − 2 senθ cos θ − 10 cos θ + 10 sen θ) xNNyNN+ 12 = 0 2

2

2

2

2

2

2

!

2

(1− 10 senθ cos θ) xNN2 + (1+ 10 senθ cos θ) yNN2 +

)

(

+ − 10 cos2 θ + 10 sen2 θ xNN yNN+ 12 = 0 ...... ⊕ Ahora el término xNN yNN: Ahorapara paraeliminar eliminar el término x´´y´´: ! − 10 cos2 θ + 10 sen2 θ = 0

(

)

− 10 cos2 θ − sen2 θ = 0 ! cos2 θ − sen2 θ = 0 ! cos 2θ = 0

38

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Además : ! sen θ =

1 − cos 2θ = 2

1 2 = 2 2

! cos θ =

1 + cos 2θ = 2

1 2 = 2 2

Reemplazan do en

⊕:

 2 2  2  2 2  2 ⋅ ⋅ ! 1 − 10 ⋅ xNN + 1 + 10 ⋅ yNN + 12 = 0  2 2  2 2   

(1 − 5) xNN2 + (1 + 5) yNN2 + 12 = 0 2 2 − 4 xNN + 6 yNN + 12 = 0

Dividiendo × 2 : !

2 −6 = 0 2xNN2 − 3 yNN

Un punto P se mueve de tal modo que la diferencia de sus distancias a los dos puntos

A = (1,4 ) y B = (− 2,1) es siempre igual a 3. Hallar la

ecuación del lugar geométrico y simplificarla por transformación de coordenadas. Solución: Sea P = (x, y ) el punto que se mueve. De la condición : !

AP − B P = 3

(x − 1)2 + (y − 4)2 − (x + 2)2 + (y − 1)2

=3

39

Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

Efectuando operaciones se tiene : ! 20 x − 4 y − 8 x y + 9 = 0

→

"

Pero : !

x = xN+ h y = yN+ k

  

→

#

Luego : !

(20 − 8 k ) xN− (4 + 8 h) yN− 8xNyN+ 20 h− 4 k − 8 h k + 19 = 0

Ahora para eliminar los términos xN e yN: !

20 − 8 k = 0 4 + 8h = 0

 1 5  ! h= ; k=− 2 2 

# en ! :  1 5  1  5  ! − 8xNyN+ 10  −  − 4   − 8  −   + 19 = 0 2 2      2  2  − 8xNyN− 10 − 10 + 10 + 19 = 0 ! − 8xNyN− 9 = 0

40

→

!

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Capítulo

6

LA PARÁBOLA Obtener la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuya directriz es y = 2 . Solución: Del gráfico, se tiene : : x 2 = −4py

→

!

p=2 En !

!: : x 2 = −8 y

41

Capítulo 6. LA PARÁBOLA

Hallar la ecuación de la parábola cuya directriz es la recta x = −6 y su foco es F = (0,0 ) . Solución: Del gráfico :

(y − k )2 = 4 p (x − h)

:

V = (− 3,0 ) y

Como : En

→

!

p = FV = 3

!: : y 2 = 12 (x + 3 )

!

: y 2 = 12x + 36

Calcular el radio focal del punto M de la parábola y 2 = 20 x si la abscisa del punto M es igual a 7. Solución: : y 2 = 20 x De

!:

→

!

4p = 20 ! p = 5

de donde : F = ( 5,0 ) M = ( 7, y1 ) ∈ En

!:

!

y12 = 20 (7 ) !

(

! M = 7,± 140

)

y1 = ± 140

Por lo tanto : FM =

42

FM =

(

)2

140 − 0 + (7 − 5 )2 144 = 12

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Dada la ecuación de la parábola x 2 + 8 y − 2x = 7 . Hallar el vértice, eje, foco y directriz. Trazar la curva. Solución: : x 2 + 8 y − 2x = 7 Completando cuadrados : x 2 + 8 y − 2x = 7 :

: x 2 − 2 x + 1 = −8 y + 7 + 1

!

(x − 1)2 = −8y + 8

!

:

(x − 1)2 = −8(y − 1)

Luego, las coordenadas del vértice de la parábola : Seguidamente :

4p = −8

V = (h,k ) = (1,1)

! p = −2

Ahora, las coordenadas del foco : F = (h,k + p ) = (1,−1) ! Ecuación del eje :

x =1

! Ecuación de la directriz :

y=3

43

Capítulo 6. LA PARÁBOLA

Encontrar la ecuación de la parábola, cuyo vértice es el punto V = (3,2 ) y el foco es F = (4,2) . Solución:

(y − k )2 = 4p(x − h)

:

→

!

Dado que se conoce el vértice y el foco : p = VF = 1 Reemplazando los valores en !

:

!:

(y − 2)2 = 4 (1)(x − 3) (y− 2)2 = 4 (x − 3)

: y 2 = 4y + 4x − 16

Obtener la ecuación de la parábola con foco en F = (2,3 ) y cuya ecuación de la directriz es x = −6 . Solución: Del gráfico : !

FP = Distancia de P a

!

‹ (definición)

(x − 2)2 + (y − 3)2

=x+6

Efectuando operaciones : !

44

:

y 2 − 16 x − 6y − 23 = 0

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Determinar la longitud del segmento determinado por la ecuación y 2 = 4 x , con la recta de ecuación x = 2y − 3 . Solución:

Tenemos :

De

  

:

y 2 = 4x

!

→

‹ : x = 2 y − 3 → "

! y " obtenemos los puntos

P1 = (1,2)

   

P2 = (9,6 )

P1 y P2 intersección de las dos gráficas : Luego : P1 P2 =

(9 − 1)2 + (6 − 2)2

=

64 + 16

"!

P1 P2 = 4 5 ≈ 8,94

45

Capítulo 6. LA PARÁBOLA

Determinar la ecuación de una circunferencia que tiene por diámetro la cuerda normal de la parábola, cuya ecuación es y 2 = 16 x . Solución: : y 2 = 16 x

→

!

se deduce que el vértice V = (h,k ) = (0,0 )

é : F = (h + p,k ) = (4,0 ) Tambien

(lado recto ) → "  P1 = (4,8 ) 

Luego, la cuerda normal ! CN : De

x=4

! y ":

!

 

! r = FP1 = P2F = 8

P2 = (4,−8 ) "! r 2 = 64

Siendo C centro de la circunferencia !

C = F "! C = (4,0 )

Por lo tanto :

C : (x − 4 )2 + y 2 = 64 C : x 2 + y 2 − 8x − 48 = 0 Una recta que pasa por el foco de una parábola con el vértice en el origen y con el eje horizontal, corta a la directriz en el punto A = (− 3,8 ) . Calcular las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola y la recta. Solución:

!

:

y su vértice

46

! V = (h,k ) = (0,0)

y 2 = 4px

→

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Además : p = 3

" en ! : !

→ :

"

y 2 = 12x

 A = (− 3,8 ) ‹ :  

→

F = (h + p,k ) = (3,0)

$

! m‹ = m

AF

=−

4 3

‹ : y − 0 = m ‹ (x − 3) y=− De

$ y #:

4 (x − 3) "! 3 P:

  

‹ : 4x + 3y − 12 = 0 → # : y 2 = 12x

‹ : 4x + 3y − 12 = 0

"!

P1 = (3 4 ,3 ) P2 = (12,−12)

47

Capítulo 6. LA PARÁBOLA

Las dos torres de suspensión de un puente colgante distan entre sí 300 m. y se extienden 80 m por encima de la calzada. Si el cable (que tiene la forma de una parábola) es tangente a la calzada en el centro del puente, determinar la altura del cable por encima de la pista a 50 m y también a 100 m del centro del puente. (Asumir que la pista es horizontal). Solución:

Del gráfico, se observa que ! P = (150,80) ∈

!:

:

x2 =

x 2 = 4py

→

!

.

! 1502 = 4p (80 ) "! En

:

4p =

75 × 15 4

75 × 15 y 4

Luego : ! P1 = (50, y1) ∈

48

! P2 = (100, y 2 ) ∈

! 50 2 =

75 × 15 y1 4

! 100 2 =

!

75 × 15 y2 4

y1 = !

80 ≈ 8,88 m. 9

y2 =

320 ≈ 35,55 m. 9

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Capítulo

7

LA ELIPSE Hallar la ecuación de la elipse cuya longitud de la cuerda normal (lado recto) es 5 vértices (± 10,0 ) . Solución:

õ:

Sabemos :

x2

y2 + = 1 → a 2 b2

!

Luego del enunciado : !

CN =

!

a = 10

2 b2 = 5 "! b 2 = 25 a !

Por lo tanto en

a 2 = 100

!:

õ:

x2 y2 + =1 100 25

49

Capítulo 7. LA ELIPSE

Hallar la ecuación de la elipse, cuyo eje es coincidente con x = 1 , C = (1,5 ) , F = (1,8 ) ; suma de las distancias focales de un punto de la elipse es 12.

Solución:

õ:

Del enunciado deducimos : Pero : 2a = 12

"!

a=6

"!

"!

c2 = 9

Luego : c = CF = 3

Sabemos : b 2 = a 2 − c 2 Por lo tanto :

50

õ:

"!

(x − h)2 + (y − k )2 b2

=1

a 2 = 36

b 2 = 36 − 9 = 27

(x − 1)2 + (y − 5)2 27

a2

36

=1

"! b 2 = 27

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Reducir la ecuación x 2 + 4 y 2 − 6 x + 16 y + 21 = 0 a la forma ordinaria de la ecuación de una elipse y determinar las coordenadas del centro, vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, y la cuerda normal; y la excentricidad. Solución: x 2 + 4 y 2 − 6x + 16y + 21 = 0 Completando cuadrados para x e y :

(x

2

) (

)

− 6x + 9 + 4 y 2 + 4y + 4 = −21 + 9 + 16

(x − 3)2 + 4(y + 2)2 = 4 õ:

(x − 3)2 + (y + 2)2 4

1

=1

De la ecuación tenemos : C = (h,k ) = (3,−2) Luego los vértices de la elipse se obtienen de : !

V = (h ± a,k ) = (3 ± 2,−2) !

   

V1 = (5,−2) V2 = (1,−2 )

También : !

a2 = 4

!

a 2 = b2 + c 2

!

a = ±2 !

!

4 = 1+ c2

! Eje mayor : 2a = 2 × 2 = 4 !

b 2 = 1 ! b = ±1

Cuerda Normal : CN =

! Excentricidad : e =

! !

c2 = 3

!

c2 = ± 3

Eje menor : 2b = 2 × 1 = 2

2b2 2 ×1 = =1 a 2

c 3 = 0

! y = log10 x ; Cuadro de valores :

70

x

1

y

0

4

9

0.301 0.47

100

0.1

...

1

−1 2

...

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Trazar la curva exponencial, cuya ecuación es: y = 4 e x −1 Solución: ! y = 4 e x −1 ;

∀ x∈ú

Cuadro de valores : x

0

1

2

−1

...

y

1.4

4

10.8

0.5

...

71

Capítulo 9. CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR

x Trazar la curva, cuya ecuación es: y = cos   . 3 Solución: Cuadro de valores : x

0

π2

π

3π 2

2π

5π 2

3π

y

1

0.86

12

0

− 0.86

−1 2

−1

La ley de Boyle - Mariotte establece que a una temperatura constante de presión p y el volumen v de un gas satisfacen la ecuación p ⋅ v = c , para algún número real fijo c. Un cierto gas por debajo de una presión de 20 libras por pulgada cuadrada tiene un volumen de 300 pulgadas cúbicas. Hallar c de la ecuación: p ⋅ v = c Solución: ! p ⋅ v = c ! c = 20 × 300 ! c = 6000 Luego : ! p ⋅ v = 6000 ! v =

72

6000 p

; ∀p≠0

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Cuadro de valores : x

1

6000

−1

− 6000

...

y

6000

1

− 6000

−1

...

73

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Capítulo

10

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS ¿Para qué valor de h estará el punto P = (h,−3 ) en la recta determinada por A = (1,−1) y B = (4,7 ) ?

Rpta. :

1 4

Demostrar que el triángulo cuyos vértices son A = (10,5 ) , B = (3,2 ) y C = (6, − 5 ) es rectángulo. Hallar el área. Rpta. : 29 u2

Si

A = (5,12 ) es el punto medio del segmento BC y B = (− 7,−3 ) .

¿Cuáles son las coordenadas de C ? Rpta. : C = (17,27 )

Discutir y graficar las curvas, cuyas ecuaciones son: a ) x 2 y 2 + 2x 2 − 4 = 0

(

)

b ) y x 2 + 4 = 10 x

75

Capítulo 10. PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto cuya distancia de A = (− 6,0 ) es dos veces su distancia de B = (6,0 ) . Trazar la curva. Rpta. :

x 2 + y 2 − 20 x + 36 = 0

Hallar la ecuación de la recta que pasa por P = (5,3 ) y su X-interceptor es 10. Rpta. : 3 x − 5 y − 30 = 0

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (7,4 ) y forma un ángulo de 120º con la parte positiva del eje X. Rpta. :

3x + y − 4 − 7 3 = 0

Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto de intersección de las rectas

x + 2y − 4 = 0

y 4 x − y − 2 = 0 , tal que forman con el

primer cuadrante un triángulo de área 25 u 2 . Rpta. :

2x + y − 10 = 0 , 9 x + 2 y − 30 = 0

Los puntos X = (3,−2) , Y = (4,1) y Z = (− 3,5 ) son los vértices de un triángulo. Hallar la ecuación de la recta perpendicular al lado XZ que pasa por Y . Rpta. :

6 x − 7 y − 17 = 0

Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a ambos ejes, y su centro está en el cuarto cuadrante.

Rpta. :

76

(x − 4)2 + (y + 1)2 =

1 34

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

La ecuación de la circunferencia es x 2 + y 2 − 10 x = 28 . Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto A = (3,7 ) . Rpta. : 2 x − 7 y + 43 = 0

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por las intersecciones de las circunferencias: x 2 + y 2 + 2x + y − 1 = 0 y x 2 + y 2 + 2x + 2 y − 4 = 0 y por el punto P = (− 3,0 ) . Rpta. : 3 x 2 + 3 y 2 + 10 x + y + 3 = 0

Por una traslación de ejes, simplificar la ecuación: 2x 2 + y 2 + 3 x − 7 y − 1 = 0 Rpta. : 16 xN2 + 8 yN2 = 115

La parábola y 2 = 2 p x tiene un extremo de la cuerda focal en el punto A = (8,8 ) . Hallar las coordenadas del otro extremo.

1  Rpta. :  ,−2  2 

Un cable suspendido se carga de tal manera que toma la forma de una parábola. Los extremos tienen una separación de 400 pies y tienen una altura de 100 pies del centro. Hallar la altura del cable a 50 pies desde el centro. Rpta. :

6.25 pies

77

Capítulo 10. PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

Hallar la ecuación de la elipse con focos en F1 = (0,7 ) y F2 = (0,12 ) , un vértice en V = (0,16 ) .

Rpta. :

x 2 (y − 19 2)2 + =1 36 169 4

Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, eje menor sobre el eje Y, e = 4 5 , cuerda normal (lado recto) 18 5 .

Rpta. :

x2 y2 + =1 6 2

Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, eje principal (real) sobre el eje X; pasa por los puntos S = (3,1) y T = (9,5 ) .

Rpta. :

x2 y2 − =1 6 2

Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en C = (− 1,8 ) , con vértice en V1 = (3,8 ) , e = 3 . Rpta. :

(x + 1)2 − (y − 8 )2 16

128

=1

Trazar la curva, cuya ecuación es: y = x 2 ⋅ e 2

78