Problemas de Física II - Potencial Eléctrico

Física II

Potencial eléctrico Ejercicios Energía potencial eléctrica 1. Una carga puntual Q = +9,1 μC se encuentra fija en el origen de un sistema de coordenadas rectangular. Una segunda carga puntual q = -0,42 μC y de 3,2 10-4 kg de masa se coloca sobre el eje x a 0,96 m del origen. a) ¿Cuál es la energía potencial eléctrica de la pareja de cargas? (Tome la energía potencial como cero cuando las cargas están separadas una distancia infinita.) b) La segunda carga puntual se deja en libertad con velocidad inicial cero. ¿Cuál es su rapidez cuando está a 0,24 m del origen? Rta.: a) -0,036 J; b) 25,9 m/s. 2. Una carga puntual q1 = +2,3 μC se mantiene estacionaria en el origen. ¿A qué distancia de éste se debe colocar una segunda carga puntual q2 = +7,2 μC para que la energía potencial eléctrica U de la pareja de cargas sea 0,5 J? (Tome U igual a cero cuando las cargas están separadas una distancia infinita.) Rta.: 0,298 m. 3. Una carga puntual q1 = -5,8 μC se mantiene estacionaria en el origen. Una segunda carga puntual q2 = +4,3 μC se desplaza desde el punto x = 0,26 m, y = 0 hasta el punto x = 0,38 m, y = 0. ¿Cuánto trabajo realizó la fuerza eléctrica sobre q2? Rta.: -0,272 J. 4. Una carga puntual q1 se mantiene estacionaria en el origen. Una segunda carga q2 se coloca en un punto a y la energía potencial eléctrica de la pareja de cargas es -6,4 10-8 J. Cuando la segunda carga se desplaza al punto b, la fuerza eléctrica sobre ésta hace un trabajo de 4,2 10-8 J. ¿Cuál es la energía potencial eléctrica de la pareja de cargas cuando la segunda carga se encuentra en el punto b? Rta.: -1,06 10-7 J. 5. Dos cargas positivas que se aproximan. Una esferita metálica que lleva una carga neta q1 = +7,5 μC se mantiene fija en una posición estacionaria mediante soportes aislantes. Otra esferita metálica, con una carga neta q2 = +3 μC y masa 2 g, es lanzada hacia la esfera con q1. Cuando las dos esferas están separadas una distancia de 0,8 m, q2 se desplaza hacia q1 con una rapidez de 22 m/s. Suponga que las dos esferas pueden tratarse como cargas puntuales. Desprecie la fuerza de la gravedad. a) ¿Cuál es la rapidez de q2 cuando las esferas están separadas 0,5 m? b) ¿Cuánto se acerca q2 a q1? Rta.: a) 18,22 m/s; b) 0,275 m. 6. Tres cargas puntuales, que inicialmente están separadas una distancia infinita, se colocan en los vértices de un triángulo equilátero de lado d. Dos de las cargas puntuales son idénticas y tienen una carga q. Si se requiere un trabajo neto cero para colocar las tres cargas en los vértices del triángulo, ¿cuál debe ser el valor de la tercera carga? Rta.: -q/2

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7. Tres cargas puntuales de igual magnitud, q = 8,4 10-7 C, están colocadas en los vértices de un triángulo equilátero de 1 m de lado. ¿Cuál es la energía potencial del sistema? (Tome la energía potencial de las tres cargas como cero cuando están separadas una distancia infinita.) Rta.: 0,019 J. 8. Una carga puntual q1 = 2 nC está en el origen y otra carga puntual q2 = -3 nC está sobre el eje x en x = +20 cm. Se va a colocar una tercera carga q3 = 5 nC sobre el eje x entre q1 y q2. Tome como cero la energía potencial de las tres cargas cuando están separadas una distancia infinita. a) ¿Cuál es la energía potencial del sistema de las tres cargas si q3 se coloca en x = +10 cm? b) ¿Dónde se debería colocar q3 para hacer que la energía potencial del sistema sea igual a cero? Rta.: a) -7,2 10-7 J; b) 0,069 m. Potencial eléctrico 9. El potencial a una distancia de 0,75 m de una esfera cargada muy pequeña es de 48 V; el potencial es cero a una distancia infinita de la esfera. Si ésta se trata como una carga puntual, ¿cuál es su carga? Rta.: 4 10-9 C. 10. Una carga puntual tiene una carga de 6 10-11 C. Diga a qué distancia de ésta el potencial eléctrico es igual a a) 90 V; b) 30 V. Tome el potencial cero a una distancia infinita de la carga. Rta.: a) 0,006 m; b) 0,018 m. 11. Una partícula con una carga +4,3 nC se encuentra en un campo eléctrico uniforme E dirigido hacia la izquierda. Se libera del reposo y se desplaza hacia la izquierda; después de recorrer 5 cm, su energía cinética es de 2,5 10-6 J. a) ¿Qué trabajo realizó la fuerza eléctrica? b) ¿Cuál es el potencial del punto de inicio con respecto al punto final del movimiento? c) ¿Cuál es la magnitud de E? Rta.: a) 2,5 10-6 J; b) 581 V; c) 11628 V/m. 12. Un campo eléctrico uniforme con magnitud E está dirigido hacia la dirección positiva del eje x. Considere los puntos a, en x = 0,80 m, y b, en x = 1,20 m. La diferencia de potencial entre estos dos puntos es de 730 V. a) ¿Cuál de los dos puntos, a o b, está a mayor potencial? b) Calcule la magnitud E del campo eléctrico. c) Una carga puntual negativa q = - 0,2 μC se desplaza de b a a. Calcule el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre la carga. Rta.: a) a; b) 1825 V/m; c) 1,46 10-4 J. 13. El potencial a una cierta distancia de una carga puntual es de 452 V (el potencial cero se tomó en el infinito), y el campo eléctrico es de 226 N/C. a) ¿Cuál es la distancia a la carga puntual? b) ¿Cuál es la magnitud de la carga? c) ¿El campo eléctrico está dirigido hacia la carga o alejándose de ella? Rta.: a) 2m; b) 1,004 10-7 C; c) alejándose de ella. 14. Una carga de 37 nC está colocada en un campo eléctrico uniforme dirigido verticalmente hacia arriba y cuya magnitud es de 5 104 N/C. Diga qué trabajo realiza la fuerza eléctrica cuando la carga se desplaza a) 0,45 m hacia la derecha; b) 0,67 m hacia abajo; c) 2,60 m formando un ángulo de 45º por encima de la horizontal. Rta.: a) 0; b) -1,24 10-3 J; c) 3,4 10-3 J

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15. Dos cargas puntuales estacionarias de +3,87 nC y -1,13 nC están separadas una distancia de 5 cm. Un electrón se libera del reposo entre las dos cargas, a 1 cm de la carga negativa, y se mueve a lo largo de la recta que une a las dos cargas. ¿Cuál es su rapidez cuando se encuentra a 1 cm de la carga positiva? Rta.: 3,44 107 m/s. B 0,08 m q1

16. Dos cargas puntuales q1 = +6,80 nC y q2 = -5,10 nC están separadas una distancia de 0,10 m. El punto A está a la mitad del segmento que las une; el punto B está a 0,08 m de q1 y a 0,06 m de q2 (ver figura). Tome el potencial cero en el infinito. Encuentre a) el potencial en el punto A; b) el potencial en el punto B; c) el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre una carga de 2,50 nC que se desplaza de B a A.

0,06 m A

+

- q2 0,05 m

0,05 m

Rta.: a) 306 V; b) 0; c) 7,65 10-7 J. 17. Potencial de dos cargas positivas. Dos cargas puntuales positivas, cada una de magnitud q, se encuentran fijas sobre el eje y en los puntos y = +a, y = - a. Tome el potencial cero a una distancia infinita de las cargas. a) Trace un diagrama donde se muestre la posición de las cargas. b) ¿Cuál es el potencial V0 en el origen? c) Muestre que el potencial en cualquier punto sobre el eje x es: V 

1 4 0

2q a  x2 2

d) Trace una gráfica del potencial sobre el eje x en función de x sobre el intervalo comprendido entre x = - 4a y x = +4a. e) ¿Cuál es el potencial cuando x >> a? Explique por qué se obtiene este resultado. Rta.: b)

1 4 0

2q 2q 1 ; e) . a 4 0 x

18. Potencial de dos cargas de signo opuesto. Dos cargas, una positiva +q y otra negativa -q, están fijas en los puntos x = 0, y = - a, y x = 0, y = +a, respectivamente. Tome V = 0 a una distancia infinita de las cargas. a) Trace un diagrama que muestre la posición de las cargas. b) ¿Cuál es el potencial en un punto sobre el eje x a una distancia x del origen? c) Obtenga una expresión para el potencial en puntos del eje y en función de la coordenada y. d) Trace una gráfica del potencial en puntos del eje y en función de y en el intervalo entre y = - 4a y y = +4a. e) Muestre que el potencial en un punto sobre el eje +y está dado por V = - (1/4πε0)2qa/y2, cuando y >> a. f) ¿Cuáles serían las respuestas a (c) y (e) si las dos cargas se intercambiaran de modo que +q estuviera en y = +a y - q en y = - a? q



Rta.: b) 0; c) 4  0 

1

 y  a

2





1

 y  a

 2





.

19. Una carga positiva q se encuentra fija en el punto x = 0, y = 0, y una carga negativa -2q está fija en el punto x = a, y = 0. a) Trace un diagrama donde se muestre la posición de las cargas. b) Deduzca una expresión para el potencial en puntos del eje x en función de x. Tome V = 0 a una distancia infinita de las cargas. c) Trace una gráfica del potencial en puntos sobre el eje x en el intervalo de x = - 2a a x = +2a. d) ¿En qué puntos del eje x el potencial es igual a cero? e) ¿Cuál sería la respuesta de (b) si x >> a? Explique por qué se obtiene este resultado.

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q

Rta.: b) 4  0 

1 x2



2



 x  a 2 



; d) –a y a/3; e) 

q 4 0 x

.

20. Considere la distribución de cargas puntuales del ejercicio anterior. a) Derive una expresión para el potencial en puntos del eje y en función de y. Tome V igual a cero a una distancia infinita de las cargas. b) Trace una gráfica del potencial en puntos del eje y en el intervalo entre y = - 2a y y = +2a. c) ¿En qué posiciones del eje y el potencial es igual a cero? d) ¿Cuál sería la respuesta de (a) si y >> a? Explique por qué se obtiene este resultado. q



Rta.: a) 4  0 

1 y

2





2 

y  a  2

2

; c)

a

3;

d)

q 4 0 y

.

21. Un tipo sencillo de tubo de vacío conocido como diodo consiste esencialmente en dos electrodos dentro de una ampolla donde se ha hecho el vacío. Un electrodo, el cátodo, se mantiene a alta temperatura y emite electrones desde su superficie. Se mantiene una diferencia de potencial de unos cuantos cientos de volts entre el cátodo y el otro electrodo, conocido como ánodo, con este último a mayor potencial. Suponga un diodo que consiste en un cátodo cilíndrico montado coaxialmente dentro de un ánodo cilíndrico de mayor radio. El potencial del ánodo es 360 V más alto que el del cátodo. Un electrón abandona la superficie del cátodo con una rapidez inicial cero. Encuentre su rapidez cuando incide en el ánodo. Rta.: 1,124 107 m/s. Cálculo del potencial eléctrico 22. Dos grandes láminas de metal paralelas que llevan carga eléctrica de igual magnitud y signo opuesto están separadas una distancia de 52 mm. El campo eléctrico entre ellas es uniforme y tiene una magnitud de 670 N/C. a) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las láminas? b) ¿Cuál lámina está a mayor potencial, la que tiene carga positiva o la de carga negativa? c) ¿Cuál es la densidad de carga superficial σ sobre la lámina positiva? Rta.: a) 34,84 V; b) la positiva; c) 5,93 10-9 C/m2. 23. Dos grandes placas metálicas paralelas tienen cargas de signo opuesto. Están separadas una distancia de 85 mm y la diferencia de potencial entre ellas es de 500 V. a) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico (suponga que es uniforme) en la región comprendida entre las placas? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que este campo ejerce sobre una partícula de +2,40 nC de carga? c) Utilice el resultado de (b) para calcular el trabajo realizado por el campo sobre la partícula a medida que ésta se desplaza desde la placa de mayor potencial a la de menor. d) Compare el resultado de (c) con el cambio de energía potencial de la misma carga, calculado a partir del potencial eléctrico. Rta.: a) 5882 V/m; b) 1,41 10-5 N; c) 1,2 10-6 J. 24. Dos grandes placas conductoras paralelas que tienen cargas de igual magnitud y signo contrario están separadas una distancia de 4,50 cm. a) Si la densidad de carga superficial de cada placa tiene una magnitud de 3,50 nC/m2, ¿cuál es la magnitud de E en la región comprendida entre las placas y cuál es la diferencia de potencial entre éstas? b) Si se duplica la separación entre las placas al tiempo que se mantiene constante la densidad de carga superficial en el valor dado en (a), ¿qué le sucede a la magnitud de E y a la diferencia de potencial? Rta.: a) 395,5 V/m y 17,8 V; b) E se mantiene, la diferencia de potencial se duplica.

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25. Se establece una diferencia de potencial de 3,75 kV entre dos placas paralelas en el aire. a) Si el aire se vuelve eléctricamente conductor cuando el campo excede 3 106 V/m, ¿cuál es la mínima separación de las placas? b) Cuando la separación tiene el valor mínimo calculado en (a), ¿cuál es la densidad de carga superficial sobre cada placa? Rta.: a) 1,25 mm; b) 3,186 10-11 C/m2. 26. Se distribuye de manera uniforme una carga total de 2,60 nC sobre la superficie de una esfera metálica de 0,20 m de radio. Si el potencial es cero en un punto en el infinito, diga cuál es el valor del potencial a) en un punto sobre la superficie de la esfera; b) en un punto dentro de la esfera a 0,05 m de su centro. Rta.: a) 117 V; b) 117 V. 27. Un anillo delgado cargado uniformemente tiene un radio de 10 cm y una carga total de +12 nC. Se coloca un electrón en el eje del anillo a una distancia de 25 cm de su centro y se le restringe a permanecer sobre el eje del anillo. Entonces el electrón se libera del reposo. a) Describa el movimiento que adquiere el electrón. b) Encuentre la rapidez del electrón cuando alcanza el centro del anillo. Rta: a) oscilatorio no armónico simple; b) 1,54 107 m/s. 28. Una línea de carga infinitamente larga tiene una densidad de carga lineal de 4 10-12 C/m. Un protón (masa de 1,67 10-27 kg, carga de +1,60 10-19 C) está a 18 cm de la línea y se desplaza directamente hacia ella a 2,50 103 m/s. ¿Cuánto se acerca el protón a la línea de carga? Rta.: hasta una distancia de 11,44 cm. Superficies equipotenciales - Gradiente de potencial 29. Se establece una diferencia de potencial de 480 V entre dos placas metálicas paralelas grandes. Sean sus potenciales 480 V y 0 V. Las placas están separadas una distancia d = 1,70 cm. a) En un diagrama, muestre las superficies equipotenciales correspondientes a 0, 120, 240, 360 y 480 V. b) En un diagrama, muestre las líneas de campo eléctrico. ¿Las líneas de campo y las superficies equipotenciales son mutuamente perpendiculares? 30. Esfera dentro de un cascarón. Una esfera de metal de radio ra está colocada sobre una base aislante en el centro de un cascarón esférico metálico hueco de radio rb. Hay una carga +q sobre la esfera interior y una carga -q en el cascarón esférico. a) Calcule el potencial V(r) para i) r < ra; ii) ra < r < rb; iii) r > rb. (Sugerencia: El potencial neto es la suma de los potenciales debidos a las esferas individuales.) Tome V(r) igual a cero cuando r es infinita. b) Muestre que el potencial de la esfera interior con respecto al del cascarón es Vab 

q 4 0

 1 1     ra rb 

c) Si E es radial con respecto a un punto o a un eje y r es la distancia desde el punto o eje, se cumple que E r   V r  . Use esta ecuación y el resultado de (a) para mostrar que el campo eléctrico en cualquier punto entre las esferas tiene una magnitud de

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E

Vab

1  1 1  r2     ra rb 

d) Use la ecuación E r   V r  y el resultado de (a) para hallar el campo eléctrico en un punto fuera del cascarón a una distancia r del centro, donde r > rb. e) Suponga que la carga de la esfera exterior no es -q sino una carga negativa de diferente magnitud, digamos -Q. Muestre que las respuestas de (b) y (c) son las mismas que antes pero que la respuesta de (d) es diferente. Rta.: a) i)

q 4 0

 1 1 q    , ii) 4 0  ra rb 

 1 1    , iii) 0; d) 0.  r rb 

31. Una esfera de metal con radio ra = 1,20 cm está colocada sobre una base aislante en el centro de un cascarón esférico metálico hueco de radio rb = 9,60 cm. Se pone una carga +q en la esfera interior y una carga -q en el cascarón exterior. La magnitud de q se escoge de modo que la diferencia de potencial entre las esferas sea de 500 V. a) Utilice el resultado del ejercicio anterior para calcular q. b) Con ayuda del resultado obtenido en el ejercicio anterior, trace un diagrama en el que se muestren las superficies equipotenciales correspondientes a 500, 400, 300, 200, 100 y 0 V. c) En el diagrama, muestre las líneas de campo eléctrico. ¿Las líneas de campo y las superficies equipotenciales son mutuamente perpendiculares? ¿Están las equipotenciales más próximas entre sí cuando la magnitud de E es mayor? Rta.: a) 7,62 10-10 C

a a

32. Una carga Q está uniformemente distribuida a lo largo de una varilla de longitud 2a. a) Demostrar que el potencial V en un punto P sobre una recta perpendicular a la varilla y que corta a la varilla en su punto medio, a una distancia x de su centro es:

Q x

V 

P a a

1 Q  ln 4π 0 2a 

a 2  x 2  a  a 2  x 2  a 

b) Diferenciando esta expresión, encuentre la componente Ex del campo eléctrico en dicho punto y muestre que el resultado es la misma expresión que encontramos en un problema anterior mediante una integración directa. (Sugerencia: Al escribir el logaritmo natural de la fracción como la diferencia de dos logaritmos se simplifican los cálculos.) c) Por simetría, en un punto sobre la bisectriz perpendicular de la varilla, Ey = 0 y Ez = 0. Explique por qué no sería correcto llegar a estas conclusiones utilizando el conjunto de ecuaciones E x   V x  , E y   V y  , E z   V z  . Q

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Rta.: b) E x  4π 2 2 . 0 x a  x 33. En cierta región del espacio, el potencial eléctrico es V = axy + by2 + cy, donde a = 3 V/m2, b = - 2 V/m2 y c = 5 V/m. a) Calcule las componentes x, y, z del campo eléctrico. b) ¿En qué puntos el campo eléctrico es igual a cero? Rta.: a) E x   ay ; E y  ax  2by  c ; E z  0 ; b) x = -1,67; y = 0; z = 0. 34. El potencial debido a una carga puntual Q situada en el origen se puede escribir como

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V 

Q Q  2 4 0 r 4 0 x  y 2  z 2

a) Calcule Ex, Ey y Ez utilizando las ecuaciones E x   V x  , E y   V y  , E z   V z  . b) Muestre que el resultado de (a) concuerda con lo calculado mediante la definición de campo eléctrico. Q x Q y Q z Ey  Ez  3 ; 3 ; 3 Rta.: a) E x  4π 4π 0 2 4 π 0 2 0 x2  y2  z2 2 x  y2  z2 2 x  y2  z2 2













35. El potencial está dado por V = 0 para y < 0, por V = Cy para 0 < y < d y por V = Cd para y > d, donde C y d son constantes positivas. El potencial no depende de x ni de z. a) Encuentre el campo eléctrico (magnitud y dirección) en todos los puntos. b) ¿Qué distribución de carga sería la fuente de este campo? Explique. Rta.: y < 0, E = 0; 0 < y < d, E = -C; y > d, E = 0. El tubo de rayos catódicos 36. ¿Cuál es la rapidez final de un electrón acelerado a través de una diferencia de potencial de 108 V si tiene una rapidez inicial de 3 106 m/s? Rta.:6,85 106 m/s. S

37. Desviación en un tubo de rayos catódicos. En la figura se ve un protón v0 + 2 cm proyectado a lo largo del eje en el punto medio entre las placas de desviación de un tubo de rayos catódicos con una rapidez inicial de 6 cm 12 cm 8 105 m/s. El campo eléctrico uniforme entre las placas tiene una magnitud de 1,40 103 N/C y apunta hacia abajo. a) ¿Cuánto se desplaza el protón por debajo del eje cuando alcanza el extremo de las placas? b) ¿Con qué ángulo con respecto al eje se mueve cuando sale de las placas? c) ¿A qué distancia por debajo del eje golpeará la pantalla S? Rta.: a) 0,38 mm; b) 0,72º; c) 1,89 mm. E

38. El campo eléctrico en la región comprendida entre las placas de desviación de cierto tubo de rayos catódicos de un osciloscopio es 1,80 104 N/C. a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza sobre un electrón en esta región? b) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración de un electrón cuando actúa sobre él esta fuerza? Rta.: a) 2,88 10-15 N; b) 3,16 1015 m/s2.

Problemas 39. Los físicos han logrado eliminar los 92 electrones de un átomo de uranio. Suponga que la carga positiva del núcleo de uranio está distribuida uniformemente a través de un volumen esférico de 7,4 10-15 m de radio. a) Si el potencial es cero en un punto en el infinito, ¿cuál es el valor del potencial en la superficie del núcleo de uranio sin electrones? b) ¿Cuál es la energía potencial

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eléctrica de una pareja de núcleos de uranio cuya superficie está separada una distancia d = 12 fm (12 10-15 m)? (Exprese la respuesta en eV.) Rta.: a) V 

1 92e  4 0 r

b) U 

1 92e  92 (en eV) 4 0 2r  d

40. "Cristal" de una sola dimensión. Aunque los cristales reales tienen tres dimensiones, se puede aprender mucho de modelos unidimensionales cuyos cálculos son mucho más fáciles. En un modelo unidimensional de un cristal iónico como el cloruro de sodio (NaCl) se alternan iones positivos y negativos de carga +e y -e espaciados +e +e +e +e -e -e -e -e uniformemente a lo largo del eje x con una separación d (ver figura). Se puede considerar que d los iones se extienden hasta el infinito en ambas direcciones. a) Escriba una expresión para la energía potencial de interacción entre el ión positivo situado en x = 0 y todos los demás iones. Esto representa la energía potencial por ión en este "cristal" unidimensional. (La expresión que obtenga será una serie infinita.) b) Calcule la serie infinita de (a) utilizando el resultado ln(1 + z) = z - z2/2 + z3/3 - z4/4 c) ¿La energía potencial por ión tiene el mismo valor para los iones negativos del "cristal" que para los positivos? Argumente su respuesta. d) En el cristal real, de NaCl, de tres dimensiones, el espaciado entre iones adyacentes es de 2,82 10-10 m. Utilizando este espaciado para el valor de d de la figura, calcule la energía potencial por ión en el cristal unidimensional. e) Para la mayoría de las sustancias de los cristales iónicos reales como el NaCl (tridimensionales), la energía potencial por ión es de cerca de -8 10-19 J/ión. ¿Cómo se compara esto con el resultado de (d)? ¿Qué tan buen modelo es el "cristal" unidimensional mostrado en la figura? Rta.: b) 

e2 ln 2 ; c) Sí. d) -3,56 10-18 J/ión; 2 0 d

41. El ión H2+. El ión H2+ está compuesto por dos protones, cada uno con carga +e = 1,6 10-19 C, y un electrón de carga -e y masa 9,11 10-31 kg. La separación entre los protones es d = 1,07 10-10 m. Los protones y el electrón pueden considerarse como cargas puntuales. a) Si el electrón está en el punto medio entre los protones, ¿cuál es la energía potencial de interacción entre el electrón y los dos protones? (No incluya la energía potencial de la interacción entre los dos protones.) b) Suponga que el electrón de (a) tiene una velocidad de magnitud 1,7 105 m/s en una dirección a lo largo de la bisectriz perpendicular de la línea que una a los protones. ¿Qué tan lejos del punto medio entre los dos protones puede desplazarse el electrón? Debido a que la masa de los protones es mucho mayor que la del electrón, el movimiento de los primeros es muy lento y puede ignorarse. (Nota: Una descripción realista del movimiento del electrón requiere el uso de la mecánica cuántica, no de la mecánica newtoniana.) Rta.: a) -8,61 10-18 J; b) 3,29 10-12 m. 42. Una pequeña esfera de 3,20 g de masa cuelga de un hilo entre dos placas paralelas verticales separadas 5 cm. La carga en la esfera es q = 5,8 10-6 C. ¿Qué diferencia de potencial entre las placas hará que el hilo forme un ángulo de 30º con la vertical? (ver figura.) Rta.: 156 V.

30º q 5 cm

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43. Un cristal iónico. En la figura se muestran ocho cargas puntuales colocadas en los vértices de un cubo cuyos lados tienen longitud d. Como se muestra, los -q 5 valores de las cargas son +q y - q. Éste es un modelo de una celda 6 +q de un cristal iónico cúbico. En el cloruro de sodio, por ejemplo, los +q 8 7 -q iones positivos son Na+ y los negativos son Cl-. a) Calcule la d energía potencial U de esta distribución (tome como cero la energía potencial de las ocho cargas cuando están separadas entre +q 2 -q 1 sí una distancia infinita). b) En (a) debió de haber encontrado que d U < 0. Explique la relación entre este resultado y el hecho de que 3 +q -q 4 estos cristales iónicos existen en la naturaleza. d Rta.: a) U  5,824

1 q2 . 4 0 d

44. Se establece una diferencia de potencial de V = 1400 V entre dos placas paralelas separadas d = 4 cm. Se suelta un electrón de la placa negativa al mismo tiempo que se suelta un protón de la placa positiva. a) ¿A qué distancia de la placa positiva se cruzarán? b) ¿Cuál es el cociente de la magnitud de sus velocidades antes de que se estrellen con las placas opuestas? c) ¿Cuál es el cociente de sus energías cinéticas justo antes de que se estrellen con las placas opuestas? Rta.: a) 2,18 10-29 m; b) 1833; c) 1. 45. Una partícula de carga +4,30 nC está en un campo eléctrico uniforme E que apunta hacia la izquierda. Otra fuerza además de la eléctrica actúa sobre la partícula de modo que cuando se libera del reposo, se desplaza hacia la derecha. Después de recorrer 5 cm, la partícula tiene una energía cinética de 6,20 10-5 J, y la fuerza adicional ha hecho un trabajo de 8,45 10-5 J. a) ¿Qué trabajo realizó la fuerza eléctrica? b) ¿Cuál es el potencial del punto de inicio con respecto al punto final? c) ¿Cuál es la magnitud de E? Rta.: a) -2,25 10-5 J; b) -5233 V; c) 1,05 105 V/m. 46. En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno un solo electrón gira alrededor de un protón trazando un círculo de radio r. Suponga que el protón permanece en reposo. a) Igualando la fuerza eléctrica con la masa del electrón multiplicada por su aceleración, deduzca una expresión para la rapidez del electrón. b) Obtenga una expresión para la energía cinética del electrón y muestre que su magnitud es justamente la mitad de la energía potencial eléctrica. c) Obtenga una expresión para la energía total y calcúlela utilizando r = 5,29 10-11 m. Dé el resultado numérico en joules y en electrón volts. Rta.: a)

1 1 e2 1 e2 ; b) ; c) -2,18 10-18 J. 2 4 0 r 4 0 rme

47. En un ejercicio anterior se describió un diodo. Debido a la acumulación de carga cerca del cátodo, el potencial eléctrico entre los electrodos no es una función lineal de la posición, incluso teniendo una geometría en dos dimensiones, sino que está dado por V = Cx 4 / 3 donde C es una constante, característica del diodo particular y de las condiciones de operación, y x es la distancia desde el cátodo (electrodo negativo). Suponga que la distancia entre el cátodo y el ánodo (electrodo positivo) es de 14,6 mm y que la diferencia de potencial entre los electrodos es de 160 V a) Determine el valor de C. b) Obtenga una fórmula para el campo eléctrico entre los electrodos en función de x. c) Determine la fuerza ejercida sobre un electrón que está en el punto medio entre los electrodos.

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Potencial eléctrico

Física II

Rta.: a) 44838; b) 

4 Cx 1 3 ; c) 1,85 10-15 N. 3

48. Una carga q1 = -3 nC se coloca en el origen de un sistema de coordenadas xy, y una carga q2 = 2 nC se coloca sobre el eje y positivo en y = 5 cm. Una tercera carga q3 = 6 nC se coloca ahora en el punto x = 3 cm, y = 0 cm. a) Calcule el potencial en el punto A x = 3 cm, y = 0 y en el punto B x = 3 cm, y = 5 cm debido a las dos primeras cargas. Sea el potencial cero en un lugar alejado de las cargas. b) Si la tercera carga se desplaza desde el punto A al B, calcule el trabajo realizado por el campo de las dos primeras cargas. Comente sobre el signo de este trabajo. ¿Es razonable su resultado? Rta.: a) VA = -591,3 V; VB = 136,9 V; b) -4,37 10-6 J. 49. Cilindros coaxiales. Un cilindro metálico largo de radio a está colocado sobre un soporte aislante en el eje de un tubo cilíndrico metálico largo de radio b. La carga positiva por unidad de longitud en el cilindro interno es λ, y hay una carga negativa por unidad de longitud de la misma magnitud en el cilindro exterior. a) Calcule el potencial V(r) para i) r < a; ii) a < r < b; iii) r > b. Utilice el hecho de que el potencial neto es la suma de los potenciales debidos a los conductores individuales. Tome V = 0 en r = b. b) Muestre que el potencial del cilindro interno con respecto al  b ln . externo es Vab  2 0 a c) Use la ecuación E r   V r  y el resultado de (a) para mostrar que el campo eléctrico en cualquier punto comprendido entre los cilindros tiene una magnitud E 

Vab 1 . ln  b a  r

d) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los dos cilindros si el externo no tiene carga neta?  b  b ln ; ii) ln ; iii) 0. Rta.: a) i) 2 0 a 2 0 r 50. Un contador Geiger detecta radiación como las partículas alfa utilizando el hecho de que la radiación ioniza el aire a lo largo de su trayectoria. El Electrón dispositivo consiste en un alambre delgado colocado libre Circuito sobre el eje de un cilindro metálica hueco y aislado electrónico de éste (ver figura). Se establece una diferencia de potencial grande entre el alambre y el cilindro exterior, con el alambre a mayor potencial. Esto establece un intenso campo eléctrico radial dirigido hacia afuera. Cuando la radiación ionizante penetra en el dispositivo, ioniza unas cuantas moléculas de aire. Los electrones libres que se producen son acelerados por el campo eléctrico hacia el alambre y, en su trayectoria hacia éste, ionizan muchas más moléculas de aire. Por consiguiente, se produce un pulso de corriente que puede ser detectado mediante un circuito electrónico adecuado y convertido en un sonido audible. Suponga que el radio del alambre central es de 50 μm y que el radio del cilindro hueco es de 2 cm. ¿Qué diferencia de potencial entre el alambre y el cilindro se requiere para producir un campo eléctrico de 6 104 N/C a una distancia de 1,50 cm del alambre? (Suponga que el alambre y el cilindro son muy largos en comparación con el radio del cilindro, de modo que se puedan aplicar los resultados del problema anterior.) Rta.: 5392 V +

Radiación

12 cm

51. Los precipitadores electrostáticos utilizan fuerzas eléctricas para eliminar partículas contaminantes

+

Fuente de energía 60 kV Flujo de aire

-

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Potencial eléctrico

Física II

del humo, en particular en las chimeneas de las plantas de energía de combustión de carbón. Una forma de precipitador consiste en un cilindro metálico hueco colocado verticalmente con un alambre delgado, aislado del cilindro, que transcurre a lo largo de su eje (ver figura). Se establece una diferencia de potencial grande entre el alambre y el cilindro exterior, con el alambre a menor potencial. Esto establece un intenso campo eléctrico dirigido hacia adentro y produce una región de aire ionizado cerca del cable. El humo entra en el precipitador por el fondo, las cenizas y el polvo que vienen con el humo recogen electrones y los contaminantes cargados son acelerados por el campo eléctrico hacia la pared del cilindro exterior. Suponga que el radio del alambre central es de 80 μm, el radio del cilindro es de 12 cm y la diferencia de potencial entre el alambre y el cilindro es de 60 kV. Suponga también que el alambre y el cilindro son muy largos en comparación con el radio del cilindro, de modo que se aplican los resultados de los problemas anteriores. a) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico en el punto medio entre el cable y la pared del cilindro? b) ¿Qué magnitud de carga debe tener una partícula de ceniza de 30 μg si el campo eléctrico calculado en (a) debe ejercer una fuerza de diez veces el peso de la partícula? Rta.: a) 136739 V/m; b) 2,15 10-11 C. 52. El potencial en un punto a lo largo de la bisectriz perpendicular de una varilla, a una distancia x de su centro, para una línea de carga de 2a de longitud, con una carga total Q es: V 

1 Q  ln 4 0 2a 

a 2  x 2  a  a 2  x 2  a 

a) Muestre que si x >> a, V(x) se aproxima a Q/4πε0x. Interprete este resultado. (Sugerencia: Para | z| a. Explique por qué E tiene sólo una componente radial. b) Obtenga una expresión para ρ(r) en cada una de las dos regiones r  a y r > a. (Sugerencia: Use la ley de Gauss para dos cascarones esféricos, uno de radio r y el otro de radio r + dr. La carga contenida en el cascarón esférico infinitesimal de grueso dr es dq = 4πr2ρdr.) c) Muestre que la carga neta contenida dentro de una esfera de radio mayor o igual a a es cero. (Sugerencia: Integre la expresión obtenida en (b) para ρ sobre un volumen esférico de radio mayor o igual a a.) ¿Este resultado es consistente con el campo eléctrico para r > a que obtuvo en (a)? Rta.: a) r < a, E 

0 18 0 

 6r  

6r 2 a



4r    ; r > a, E = 0; b) r < a,    0  1   ; r > a, ρ = 0. 3 a  

75. Dos cargas puntuales se desplazan hacia la derecha a lo largo del eje x. La carga puntual 1 tiene carga q1 = 2 μC, masa m1 = 6 10-5 kg y rapidez v1. La carga puntual 2 está a la derecha de q1 y tiene carga q2 = -5 μC, masa m2 = 3 10-5 kg y rapidez v2. En un instante en particular las cargas están separadas una distancia de 9 mm y poseen una rapidez v1 = 400 m/s y v2 = 1300 m/s. Las únicas fuerzas que actúan sobre las partículas son las que ejercen entre sí. a) Determine la rapidez vcm del centro de masa del sistema. b) La energía relativa Erel del sistema se define como la energía total menos la energía cinética proporcionada por el movimiento del centro de masa: E rel  E 

1 2  m1  m2  vcm 2

donde qq 1 1 E  m1v12  m2 v 22  1 2 2 2 4 0 r es la energía total del sistema y r es la distancia entre las cargas. Muestre que E rel 

1 2 q1 q 2 v  2 4 0 r

donde μ = m1m2/(m1 + m2) se conoce como la masa reducida del sistema y v = v2 - v1 es la rapidez relativa de las partículas en movimiento. c) Para los valores numéricos dados antes, calcule el valor numérico de Erel. d) Basándose en el resultado de (c), para las condiciones dadas anteriormente, ¿"escaparán" las partículas una de la otra? Explique. e) Si las partículas escapan, ¿cuál será su rapidez relativa final? Es decir, ¿cuál será su rapidez relativa cuando r → ? Si las partículas no escapan, ¿cuál será su distancia de máxima separación? Es decir, ¿cuál será el valor de r cuando v = 0? f) Repita los apartados (c) hasta (e) para v1 = 400 m/s y v2 = 1800 m/s cuando la separación es de 9 mm. Rta.: a) 700 m/s; c) -1,9 J; e) 0,0474 m; f) 980 m/s.

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Potencial eléctrico

Física II

76. Un cilindro hueco de pared delgada, aislado, de radio R y longitud L (como el tubo de cartón de un rollo de papel sanitario) tiene una carga Q uniformemente distribuida sobre su superficie. a) Calcule el potencial eléctrico en todos los puntos a lo largo del eje del tubo. Ubique el eje x en el centro del tubo y el potencial cero en el infinito. b) Muestre que si L