Problemas de Física II - Campo Magnético y Fuerzas Magnética - Revisado Para Imprimir

 Física II 

Campo magnético y fuerzas magnéticas Ejercicios Campo magnético 1. Una partícula que inicialmente se desplaza hacia el norte en un campo magnético que apunta verticalmente hacia abajo, se desvía hacia el este. ¿Cuál es el signo de la carga de la partícula? ta.! negativo

2. Una partícula de ",#"$"% &' (g de masa ) una carga de ",**$"% &# C tiene, en un instante dado,  j. ¿Cuáles son la magnitud ) la direcci0n de la aceleraci0n de la una velocidad v + '$"% '$"%- ms/ j  partícula producida por un campo magnético magnético uni1orme B + &%,#"&%,#"- 2/i? * ta.! ",3- ms /k  3. Una Una part partíc ícu ula con con una carg cargaa de &*,4 &*,4#$ #$"% "%&# C se muev muevee con con velo veloci cida dad d insta instant ntán ánea ea 4 4 v + &',#-$"%  ms/i 5 4,"6$"%  ms/ j. 7iga cuál es la 1uerza ejercida sobre esta partícula por  un campo magnético a/ B + ",4% 2/ i? b/ B + ",4% 2/k . ta.! a/ %,%%"4-- 8/ k 9 b/ &%,%%"4- 8/ i & %,%%"'4 8/ j 4. Una partícula de %,'6 g de masa porta una carga de *,-%$"% &# C. :a partícula tiene una veloci velocidad dad horizo horizonta ntall inicial inicial hacia hacia el oeste oeste cu)a cu)a magnit magnitud ud es de 4$"% 4$"%4 ms.  ms. ¿Cuále ¿Cuáless son la magni agnitu tud d ) la dire direcc cci0 i0n n del del míni mínimo mo camp campo o magn magnét étic ico o que que mant manten endr dráá a la part partíc ícul ulaa desplazándose en el campo gravitatorio terrestre en la misma direcci0n horizontal hacia el oeste? ta.! ',#** 2 hacia el sur.

5. Un electr0 electr0n n e;perim e;perimenta enta una 1uerza 1uerza magnéti magnética ca de 4,3$"% 4,3$"%&"- 8 cuando se desplaza a un ángulo de 4%< con respecto a un campo magnético de ',-$"% &' 2 de magnitud. =ncuentre la rapidez del electr0n. ta! "*,#$"% 3 ms

6. Un prot0n se desplaza a *,-$"% 3 ms a través de una regi0n en la que e;iste un campo magnético de direcci0n no especi1icada ) magnitud >,4$"% &* 2. a/ ¿Cuáles son la ma)or ) la menor magnitud posibles de la aceleraci0n del prot0n debida al campo magnético? b/ i la aceleraci0n real del prot0n es la media de las dos magnitudes del apartado a/, ¿cuál es el ángulo entre la velocidad del prot0n ) el campo magnético? ta.! a/ ",>>$"% "' ms*9 %9 b/ '%%> qvB j9 e/ &%,>%> qvB

 j ! %,>%> qvB k . "

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"#neas $e campo magnético y f%ujo magnético

 y b

'% cm

a

'% cm c

 z 

d 

&. =l campo magnético en cierta regi0n es de %,'#- 2 ) su

e

4% cm

 f 

-% cm

 x

direcci0n es la del eje 5 x  ver 1igura/. a/ ¿Cuál es el 1lujo magnético a través de la super1icie abcd de la 1igura? b/ ¿Cuál es el 1lujo magnético a través de la super1icie befc? c/ ¿Cuál es el 1lujo magnético a través de la super1icie aefd ? d/ ¿Cuál es el 1lujo neto a través de las cinco super1icies que limitan al volumen sombreado? ta.! a/ &%,%43* Ab9 b/ %9 c/ %,%43* Ab9 d/ %.

'. Una estudiante de 1ísica a1irma que ha encontrado una distribuci0n de imanes que produce un campo magnético en el volumen limitado por el área de la 1igura del ejercicio # tal que B apunta en la direcci0n +y ) tiene una magnitud de  βy*, donde β  + - 2m*. a/ =ncuentre el 1lujo neto de B a través de las cinco super1icies que limitan al volumen de la 1igura. b/ ¿=s creíble la a1irmaci0n de la estudiante? =;plique. ta.! a/ %,%*> Ab.

1(. =l 1lujo magnético a través de una cara de un cubo es de 5%,*- Ab. a/ ¿Cuál debe ser el 1lujo magnético total a través de las otras cinco caras del cubo? b/ ¿Bor qué no es necesario conocer  las dimensiones del cubo para responder el apartado a/? c/ uponga que el 1lujo magnético se debe a un imán permanente. 2race un diagrama en donde muestre la  posici0n del cubo del apartado a/ con respecto al imán. ta.! a/ &%,*- Ab.

11. Un área circular de %,'>4 m de radio se encuentra en el plano  xy. 7iga cuál es el 1lujo magnético a través de este círculo debido a un campo magnético uni1orme  B  ","3 2 a/ en la direcci0n 5 z 9 b/ a un ángulo de >',-< de la direcci0n 5 z 9 c/ en la direcci0n 5 y. ta.! a/ %,-" Ab9 b/ %,"4- Ab9 c/ %.

)ovimiento $e part#cu%as carga$as en un campo magnético 12. Una partícula cargada con q  4,#$"%&"6 C describe una 0rbita circular de radio !  %,43# m debido a la 1uerza ejercida sobre ella por un campo magnético de magnitud  B  ",3- 2  perpendicular a la 0rbita. a/ ¿Cuál es la magnitud del momento lineal p de la partícula? b/ ¿Cuál es la magnitud del momento angular " de la partícula? ta.! a/ ',>"$"%&"6 (gms/9 b/ ",>'$"%&"6 (gm*s/. v%

D

!

E "% cm

13. Un electr0n que se encuentra en el punto D de la 1igura tiene una rapidez v% de *,64$"% 3  ms. =ncuentre a/ la magnitud ) la direcci0n del campo magnético que ocasionará que el electr0n siga *

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la tra)ectoria semicircular de D a E9 b/ el tiempo necesario para que el electr0n se desplace de D a E. ta.! a/ ','4$"%&4 2, hacia adentro de la página9 b/ -,'4$"% &# s.

14. epita el ejercicio anterior para el caso en que la partícula sea un prot0n en lugar de un electr0n. ta.! a/ %,3" 2, hacia a1uera de la página9 b/ -,'4$"% &# s.

15. Un deuter0n n@cleo de un is0topo del hidr0geno/ tiene una masa de ','4$"% &*> (g ) una carga de 5e. =sta partícula describe una tra)ectoria circular de radio ',4# cm en un campo magnético de ",-% 2 de magnitud. a/ Falle la rapidez del deuter0n. b/ =ncuentre el tiempo necesario para que recorra media revoluci0n. c/ ¿D través de qué di1erencia de potencial tiene que ser acelerado el deuter0n para adquirir esta rapidez? ta.! a/ *,-$"%3 ms9 b/ 4,'>$"% &# s9 c/ 3-*'4 G.

16. Un ion con una sola carga de >:i is0topo del litio/ tiene una masa de ","3$"% &*3 (g. =s acelerado a través de una di1erencia de potencial de 4-% G ) luego penetra en un campo magnético de %,>*' 2 de magnitud perpendicular a la tra)ectoria del ion. ¿Cuál es el radio de la tra)ectoria del ion en el campo magnético? ta! "",* mm.

1. *u+o $e imagen $e *, . Un electr0n del haz de un tubo de imagen de 2G es acelerado por  una di1erencia de potencial de *%%%% G. 7espués pasa por una regi0n de campo magnético transversal, donde se mueve en un arco circular de %,"' m de radio. ¿Cuál es la magnitud del campo? ta.! ',3>$"%&' 2.

1&. Cuando una partícula cargada tiene componentes de velocidad perpendicular ) paralela a un campo magnético uni1orme, la partícula se desplaza en una tra)ectoria helicoidal. upongamos que la partícula cargada es un prot0n  q  e  + ",3%$"% &"6 C, m p + ",3>$"%&*> (g/ ) el campo magnético uni1orme de magnitud B está dirigido a lo largo del eje x. :a rapidez del prot0n es v ) su velocidad v( en el instante t  % tiene componente z  cero. ¿Cuál debe ser el ángulo de v( con el plano xz  para que el paso de la hélice sea igual a su radio? ta.! #%,63<

1'. Un prot0n q + ",3$"%&"6 C, m  ",3>$"%&*> (g/ se desplaza en un campo magnético uni1orme B + %,- 2/i. =n t  % el prot0n tiene componentes de la velocidad v x + ",-$"% -  ms, v y + % ) v z   + *$"% - m s. Ddemás del campo magnético e;iste un campo eléctrico uni1orme en la direcci0n de & x, E + &'$"%4 Gm/i. a/ 7escriba la tra)ectoria del prot0n. ¿D1ecta el campo eléctrico al radio de la hélice? =;plique. b/ =n t  + " *, donde "   es el periodo del movimiento circular del prot0n, ¿cuál es la componente x del desplazamiento del prot0n desde su posici0n en t  %? ta.! a/ Félice de paso variable, de radio 4,">- mm ) con su eje paralelo al eje  x9 no9 b/ ',33 mm.

-p%icacin $e% movimiento $e part#cu%as carga$as 2(. a/ ¿Cuál es la rapidez de un haz de electrones cuando la in1luencia simultánea de un campo eléctrico de ',64$"%- Gm ) un campo magnético de 4,3*$"% &* 2, con ambos campos normales '

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al haz ) entre sí, no produce desviaci0n de los electrones? b/ Huestre en un diagrama la orientaci0n relativa de los vectores v, E ) B. c/ ¿Cuál es el radio de la 0rbita del electr0n cuando se elimina el campo eléctrico? ta.! a/ #,-'$"%3 ms9 c/ ",%- mm.

21. /eterminacin $e %a masa $e un istopo. =l campo eléctrico entre las placas del selector de velocidad de un espectr0metro de masas de Eainbridge es ",*%$"% 3 Gm ) el campo magnético en ambas regiones es de %,3 2. Un haz de iones de aluminio con una sola carga se mueve en una tra)ectoria circular de radio %,#66 m en el campo magnético. 7etermine la masa de un ion de aluminio ) el n@mero de masa de este is0topo del aluminio. =l n@mero de masa es igual a la masa del is0topo en unidades de masa at0mica, redondeada al entero más cercano. Una unidad de masa at0mica + " u + ",33$"% &*> (g./ ta.! 4,'"-*$"%&*3 (g9 *3.

22. =n el espectr0metro de masas de Eainbridge, suponga que la magnitud del campo magnético  B en el selector de velocidad es de ",*% 2 ) que algunos iones con una rapidez de ',4#$"% 3 ms  pasan sin ser desviados. a/ ¿Cuál es el campo eléctrico entre las placas  #  ) #$ ?  b/ i la separaci0n de las placas es de %,463 cm, ¿cuál es la di1erencia de potencial entre las placas? ta.! a/ 4,">3$"% 3 Gm9 b/ *%>"' G.

0uerza magnética so+re un con$uctor por e% ue circu%a una corriente 23. Bor una varilla horizontal de %,*% m de largo que está montada sobre una balanza circula una corriente. 7onde está la varilla ha) un campo magnético uni1orme de %,%#> 2 ) con direcci0n  perpendicular a la varilla. :a balanza mide la 1uerza magnética sobre la varilla ) se encuentra que es de %,** 8. ¿Cuál es la corriente? ta.! "*,3 D

24. Un electroimán produce un campo magnético de ",%" 2 en una regi0n cilíndrica de - cm de radio entre sus polos. Un cable recto por el que circula una corriente de "%,# D pasa por el centro de esta regi0n ) es perpendicular al campo magnético. ¿Iué 1uerza se ejerce sobre el cable? ta.! %,-4- 8

25. Un cable situado a lo largo del eje  x lleva una corriente de > D en la direcci0n positiva. Calcule la 1uerza e;presada en términos de vectores unitarios/ sobre una secci0n de " cm del cable ejercida por los siguientes campos magnéticos! a/ B + &%,3- 2/ j9 b/ B + %,-3 2/k 9 c/ B + &%,'" 2/i9 d/ B + %,'' 2/i & %,*# 2/ k 9 e/ B + %,>4 2/ j & %,'3 2/ k . ta.! a/ &%,%4-- 8/ k 9 b/ &%,%'6* 8/ j9 c/ %9 d/ %,%"63 8/ j9 e/ %,%*-* 8/ j 5 %,%-"# 8/ k .

26. Bor un cable vertical recto circula una corriente de # D hacia arriba en una regi0n comprendida entre los polos de un gran electroimán superconductor, donde el campo magnético tiene magnitud  B  3,>* 2 ) es horizontal. 7iga cuáles son la magnitud ) la direcci0n de la 1uerza magnética sobre una secci0n del cable de " cm que se encuentra en este campo magnético uni1orme si la direcci0n del campo es a/ hacia el este9 b/ hacia el sur9 c/ '%< al sur del oeste. ta.! a/ %,-'>3 8 hacia el norte9 b/ %,-'>3 8 hacia el este9 c/ %,-'>3 8, '%< al este del sur.

0uerza y momento $e torsin so+re una espira $e corriente

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2. Bor una bobina circular de cable de 3,- cm de diámetro que tiene "* vueltas circula una corriente de *,> D. :a bobina está en una regi0n donde el campo magnético es de %,-3 2. a/ ¿Cuál es el má;imo momento de torsi0n sobre la bobina? b/ ¿=n qué posici0n la magnitud del momento de torsi0n es la mitad del obtenido en el apartado a/? ta.! a/ %,%3 8m9 b/ cuando la normal al plano de la bobina 1orme un ángulo de '%< con la direcci0n de B.

2&. Una bobina rectangular de - cm ; "* cm con 3%% vueltas lleva una corriente de %,%3"' D. ¿Cuál es el má;imo momento de torsi0n sobre la bobina, si se encuentra en un campo uni1orme de %,*3> 2 de magnitud? ta.! %,%-6 8m

2'. Una bobina con momento magnético  % + ",*% D.m*  está orientada originalmente con su momento magnético paralelo a un campo magnético uni1orme con  B  %,>*# 2. ¿Cuál es el cambio en la energía potencial cuando la bobina se gira "#%< de modo que su momento magnético es antiparalelo al campo? ta.! ",>- J.

3(. =l plano de una espira de cable rectangular de - cm ; # cm es paralelo a un campo magnético de %,"6 2 de magnitud. Bor la espira circula una corriente de 4," D. a/ ¿Iué momento de torsi0n act@a sobre la espira? b/ ¿Cuál es el momento magnético de la espira? c/ ¿Cuál es el má;imo momento de torsi0n que se puede obtener con la misma longitud total de cable ) circulando la misma corriente en este campo magnético? ta.! a/ ',"* "% &' 8m9 b/ %,%"34 Dm *9 c/ 4,"6 "% &' 8m.

 y  x

 y

a/ ;

 x

b/ ;  z   x

c/ ;

31.

 z 

 x

d/ ;

Una bobina circular de área  & )  '   vueltas puede girar libremente alrededor de un diámetro que coincide con el eje x. Bor la bobina circula una corriente  I . =;iste un campo magnético uni1orme B en la direcci0n 5 y. Calcule la magnitud ) la direcci0n del momento de torsi0n ) el valor  de la energía potencial ( , cuando la bobina está orientada como se muestra en los apartados a/ a d/ de la 1igura. =n las 1iguras a/ ) c/, la direcci0n positiva del eje  z  es saliente a la página, mientras que en las 1iguras b/ ) d/, la direcci0n positiva del eje  y  es entrante a la página. e adopta el valor cero para la energía potencial cuando  ) B 1orman un ángulo recto. ta.! a/ ) + & '&IB i9 (   + %9 b/ ) + %9 (  + & '&IB9 c/ ) + '&IB i9 (  + %9 d/ ) + %9 (  + '&IB.

E% motor $e corriente continua 32. Un motor de cc con su rotor ) sus bobinas de campo conectados en serie tiene una resistencia interna de 4,' K. Cuando 1unciona a plena carga sobre una línea de "*% G, la 1em en el rotor es de "%- G. a/ ¿Cuál es la corriente que toma el motor de la línea? b/ ¿Cuál es la potencia suministrada al motor? c/ ¿Cuál es la potencia mecánica desarrollada por el motor? ta! a/ ',46 D9 b/ 4"#,3 A9 c/ '33 A.

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33.

=n un motor de cc e;citado en derivaci0n las 5  bobinas de campo ) el rotor están conectados en paralelo ver 1igura/, la resistencia ! f de las bobinas de campo es de ε, ! "*% G  ! f  r  "*# K ) la resistencia  !r   del rotor es -,6 K. Cuando se aplica una di1erencia de potencial de ) + "*% G a las & escobillas ) el motor 1unciona a toda su capacidad, suministrando potencia mecánica, la corriente requerida es de I  + 4,#> D. a/ ¿Cuál es la corriente en las bobinas de campo? b/ ¿Cuál es la corriente en el rotor? c/ ¿Cuál es la 1em inducida desarrollada por el motor? d/ ¿Cuánta potencia mecánica se produce con este motor? ta! a/ %,64 D9 b/ ',6' D9 c/ 63,# G9 d/ '#% A.

34. Un motor de cc e;citado en derivaci0n con las bobinas de campo ) el rotor conectados en  paralelo ver 1igura del problema anterior/ 1unciona conectado a una línea de potencia de "*% G cc. :a resistencia de las bobinas de campo, ! f  , es de *4' K. :a resistencia del rotor,  !r , es de ',# K. Cuando el motor está 1uncionando, el rotor produce una 1em L. =l motor toma una corriente de 4,-3 D de la línea. :as pérdidas por 1ricci0n suman -% A. Calcule a/ la corriente de campo9 b/ la corriente del rotor9 c/ la 1em L9 d/ la potencia disipada como energía térmica en las  bobinas de campo9 e/ la potencia disipada como energía térmica en el rotor9 1/ la potencia de entrada al motor9 g/ la e1iciencia del motor. ta! a/ %,46 D9 b/ 4,%> D9 c/ "%4,- G9 d/ -#,' A9 e/ 3*,6 A9 1/ -4>,* A9 g/ %,36.

E% efecto a%% 35.

=n la 1igura se muestra una parte de un list0n de  plata con  z " + ",4- cm )  y" + %,*6 mm, por el que circula una corriente de "-% D en la direcci0n 5 x. =l list0n se B  z " encuentra en un campo magnético uni1orme, en la direcci0n  y, de magnitud ",- 2. Dplique el modelo simpli1icado del  x  y" e1ecto Fall. i ha) n + -,#-$"%*# electrones libres por metro  I  c@bico, encuentre a/ la magnitud de la velocidad de arrastre  z  de los electrones en la direcci0n  x9 b/ la magnitud ) la direcci0n del campo eléctrico en la direcci0n z  debido al e1ecto Fall9 c/ la 1em Fall. ta! a/ ',#" mms9 b/ -,>$"% &' Gm, 5 z 9 c/ #,'$"%&- G.  y

36. upongamos que la 1igura representa una tira de potasio de las mismas dimensiones que las de la cinta de plata del problema anterior. Cuando el campo magnético es de 4,'% 2 ) la corriente es de "%% D, la 1em Fall es de *"% MG. ¿Cuánto da el modelo simpli1icado del e1ecto Fall para la densidad de electrones libres en el potasio? ta! 4,4"$"%*#

ro+%emas 3. Campos E y B cruza$os. Una partícula con velocidad inicial v( + ',*6$"% ' ms/i  penetra en una regi0n de campos eléctrico ) magnético uni1ormes. =l campo magnético en la regi0n es B + &%,-"- 2/ j. Calcule la magnitud ) la direcci0n del campo eléctrico en la regi0n, si la  partícula debe pasar sin desviarse, para una carga de la partícula de a/ 5%,*6*$"%&# C9 b/ &%,*6*$"%&# C. 7esprecie el peso de la partícula. ta! a/ "364 Gm/ k 9 b/ "364 Gm/ k . 3

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3&. =n el caN0n de electrones de un tubo de imagen de 2G los electrones son acelerados por un voltaje )   + >-%% G. 7espués de salir del caN0n, el haz de electrones recorre %,4% m hacia la  pantalla9 en esta regi0n e;iste un campo magnético transversal de -$"%&- 2 de magnitud comparable con el campo terrestre/ ) no ha) campo eléctrico. Calcule la desviaci0n apro;imada del haz debida a este campo magnético. ¿=s signi1icativa? ta! "',> mm

3'.

 y

v" 4-<

0" v*  z 

0*

 x

Una partícula lleva una carga de 4,6> nC. Cuando se desplaza con velocidad v1, cu)a magnitud es ',->$"%4 ms ) apunta a 4-< del eje 5 x en el plano  xy, un campo magnético uni1orme ejerce una 1uerza 01 a lo largo del eje & z  ver 1igura/. Cuando la  partícula se desplaza con velocidad v2  cu)a magnitud es de ",3*$"% 4 ms a lo largo del eje 5 z , e;iste una 1uerza 02 de magnitud 4$"% &- 8 sobre ésta a lo largo del eje 5 x. ¿Cuáles son la magnitud ) la direcci0n del campo magnético?

ta! %,46> 2.

4(. :a 1uerza sobre una partícula cargada que se mueve en un campo magnético puede calcularse como la suma vectorial de las 1uerzas debidas a cada componente separada del campo magnético. Una partícula con ',-$"%&# C tiene una velocidad v  -,#6$"%- ms en la direcci0n & x. e desplaza en un campo magnético uni1orme cu)as componentes son  B x + 5%,*%* 2,  B y + & %,-** 2 )  B z   + 5%,'** 2. ¿Cuáles son las componentes de la 1uerza ejercida sobre la  partícula por el campo magnético? ta! F  y + %,%%334 89 F  z  + %,%"%# 8.

41. Un electr0n ) una partícula al1a un átomo de helio doblemente ionizado/ en un campo magnético describen tra)ectorias circulares con la misma rapidez tangencial. Calcule el cociente del n@mero de revoluciones qué recorre el electr0n por segundo ) el n@mero de revoluciones por  segundo de la partícula al1a. :a masa de esta @ltima es de 3,3-$"% &*> (g. ta! '3-%

42. Un ciclotr0n debe acelerar protones hasta una energía de ',* HeG. =l electroimán superconductor del ciclotr0n produce un campo magnético de ',- 2 que es perpendicular a la 0rbita de los protones. a/ ¿Cuál es el radio de la 0rbita circular de los protones ) cuál es su velocidad angular cuando han adquirido una energía cinética de ",3 HeG? b/ epita el apartado a/ cuando los protones han alcanzado su energía cinética 1inal de ',* HeG. ta! a/ %,%-* m9 ','>$"% # rads9 b/ %,%>4 m9 *,'>$"% # rads

43. Un ciclotr0n construido hacia "6'% tiene polos magnéticos que producen un campo magnético de ",- 2 de magnitud. :os polos tienen un radio de %,-% m, de modo que éste es el má;imo radio de las 0rbitas de las partículas aceleradas. a/ ¿Cuál es la energía má;ima a la que se pueden acelerar los protones q + ",3%$"% &"6 C, m + ",3>$"%&*> (g/ en este ciclotr0n? 7é su respuesta en electr0nvolt ) en joules. b/ ¿Cuánto tiempo tarda un prot0n en recorrer una revoluci0n en su má;ima 0rbita? c/ ¿Cuál debería ser la magnitud del campo magnético para que la má;ima energía a la cual pueden ser acelerados los protones sea del doble de la calculada en el apartado a/? d/ Bara  B  ",- 2, ¿cuál es la má;ima energía a la que se pueden acelerar las

>

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 partículas al1a q + ',*%$"% &"6 C, m + 3,3-$ "%&*> (g/ en este ciclotr0n? ¿C0mo es ésta en comparaci0n con la energía má;ima de los protones? ta! a/ 4,'"$"%&"* J9 b/ 4,'>$"% &# s9 c/ *,"* 29 d/ 4,''$"% &"* J

44. Una partícula cu)a carga es q  ",4- MC se desplaza con una velocidad v + ",6#$"%' ms/ j. :a partícula e;perimenta una 1uerza 0 + ",-'$"%&4 8/'i & 4k / debida a un campo magnético B. a/ 7etermine la magnitud de 0. b/ 7etermine  B x, B y ) B z , o las componentes que sea posible determinar con la in1ormaci0n dada. c/ i además se tiene que la magnitud del campo magnético es de %,- 2, determine las componentes de B que 1altan. ta! a/ >,3-$"%&4 89 b/ B z  + %,"3 29 B x + %,*"' 29 c/ B y + %,4*' 2

45. uponga que el campo eléctrico entre las placas de un espectr0metro de Eainbridge es de ",##$"%4 Gm ) que el campo magnético en ambas regiones es de %,>%" 2. i la 1uente contiene los tres is0topos del magnesio, *4Hg, *-Hg, *3Hg, ) los iones tienen una sola carga, encuentre la distancia entre las líneas 1ormadas por los tres is0topos sobre la placa 1otográ1ica. uponga que las masas at0micas de los is0topos en unidades de masa at0mica/ son iguales a sus n@meros de masa, *4, *- ) *3. Una unidad de masa at0mica + " u + ",33$"%&*> (g./  'ota! en el espectr0metro de Eainbridge, la velocidad de los iones al ingresar a la zona donde describen una tra)ectoria circular es igual al cociente entre la magnitud del campo eléctrico ) la magnitud del campo magnético/ ta! entre *4Hg ) *-Hg, la distancia es %,'6 mm ) entre *-Hg ) *3Hg, %,4 mm

46. :a 1uerza sobre una partícula cargada que se desplaza en un campo magnético puede calcularse como la suma vectorial de las 1uerzas debidas a cada una de las componentes separadas de la velocidad de la partícula. Una partícula con carga >,#*$"%&# C se mueve en una regi0n donde ha) un campo magnético uni1orme de %,' 2 en la direcci0n 5 x. =n cierto instante la velocidad de la partícula tiene componentes v x  *,'-$"%4 ms, v y  #,#*$"%4 ms, v z   &4,6-$"%4 ms. ¿Cuáles son las componentes de la 1uerza que act@a sobre la partícula en dicho instante? ta! F  y + &%,%%""3 89 F  z  + &%,%%*%> 8

4. Una partícula con carga positiva q ) masa m  ",-'$"%&"- (g se desplaza a través de una regi0n que contiene un campo magnético uni1orme B + &%,** 2/k . =n un instante en particular, la velocidad de la partícula es v + ",**$"%3 ms/ 4i & ' j & "*k /, ) la 1uerza 0 sobre la partícula tiene una magnitud de ",>- 8. a/ 7etermine la carga q.  b/ 7etermine la aceleraci0n a  de la  partícula. c/ =;plique por qué la tra)ectoria de la partícula es una hélice ) determine el radio de curvatura de la componente circular de la tra)ectoria helicoidal. d/ 7etermine la 1recuencia de ciclotr0n de la partícula. e/ Dunque el movimiento helicoidal no es peri0dico en el sentido estricto de la palabra, las coordenadas x, y sí varían de manera peri0dica. i las coordenadas de la  partícula en t  % son  x, y, z/ +  !, %, %/, determine sus coordenadas en el instante t  *" , donde "  es el periodo del movimiento paralelo al plano xy. ta! a/ ",'$"%&3 C9 b/ 3,#4$"% "4 8/i 5 6,"*$"%"4 8/ j9 c/ '*,3 mm9 d/ *,6>#$"% > Fz9 e/  !, %, &%,6#'/.

#

Campo magnético y fuerzas magnéticas

 Física II 

v

!

b

r 

a

4&. Un electr0n se mueve en una tra)ectoria circular con radio r  + 4 cm en el espacio contenido entre dos cilindros concéntricos. =l cilindro interior es un cable cargado positivamente de radio a  " mm ) el cilindro e;terior es un cilindro hueco cargado negativamente de radio b  - cm. :a di1erencia de potencial entre los dos cilindros es ) ab + "*% G, ) el cable está a ma)or   potencial ver 1igura/. =l campo eléctrico E en la regi0n entre los cilindros es radial hacia 1uera ) tiene una magnitud *  + ) abOr  lnba/P. a/ 7etermine la rapidez del electr0n para que mantenga su tra)ectoria circular. 7esprecie los campos gravitatorio ) magnético de la 2ierra. b/ Qnclu)a ahora el e1ecto del campo magnético de la 2ierra. i el eje de simetría de los cilindros se coloca  paralelo al campo magnético terrestre, ¿a qué rapidez debe moverse el electr0n para mantener la misma 0rbita circular? uponga que la magnitud del campo magnético terrestre es de ",'$"% &4 2 ) que su direcci0n es hacia a1uera del plano de la página en la 1igura. c/ Guelva calcular el apartado b/ para el caso en que el campo magnético va)a en la direcci0n opuesta a la del apartado b/. ta! a/ ',3* "%3 ms9 b/ 4," "% 3 ms9 c/ ',* "% 3 ms.

4'. 7os iones positivos que poseen la misma carga q ) masas di1erentes m" ) m* son acelerados horizontalmente desde el reposo a través de una di1erencia de potencial ) . 7espués penetran en una regi0n donde ha) un campo magnético uni1orme B normal al plano de la tra)ectoria. a/ Huestre que si las partículas entraron en el campo a lo largo del eje x, el valor de la coordenada  y para cada ion en cualquier instante t  es apro;imadamente  y

=

 Bx *

q #m) 

, siempre ) cuando y

sea mucho más pequeNa que  x. b/ ¿e puede utilizar esta disposici0n para separar is0topos? =;plique su respuesta.

5(. Bor un cable de %,"- m de largo que se encuentra a lo largo del eje  y circula una corriente de # D en la direcci0n 5 y. =l campo magnético es uni1orme ) tiene componentes  B x + %,"%> 2,  B y + &","' 2 )  B z   + %,-'# 2. a/ =ncuentre las componentes de la 1uerza sobre el cable. :a 1uerza neta es la suma vectorial de las 1uerzas debidas a cada componente de B. b/ ¿Cuál es la magnitud de la 1uerza total sobre el cable? ta! a/ F  x + %,34-3 89 F  z  + &%,"*#4 89 b/ %,3-# 8.  y

51. =l cubo de la 1igura tiene %,-% m de lado ) está en un campo c b  I   z 

B

 f  e a

 x d 

magnético uni1orme de %,4'- 2 paralelo al eje  x. Bor el cable abcdef circula una corriente de 4,6* D en la direcci0n indicada. a/ 7etermine la magnitud ) la direcci0n de la 1uerza que act@a sobre los segmentos ab, bc, cd , de ) ef . b/ ¿Cuáles son la magnitud ) la direcci0n de la 1uerza total sobre el cable? ta! a/ en orden! &",%> 8/ k 9 &",%> 8/ j9 ",%> 8/ j 5 ",%> 8/ k 9 &",%> 8/ j9 %9 b/ &",%> 8/ j.

6

Campo magnético y fuerzas magnéticas

 Física II 

52.

Can $e rie% e%ectromagnético.

Una barra conductora de masa m ) longitud   se desliza sobre rieles horizontales que B están conectados a una 1uente de voltaje9 ésta mantiene una corriente constante  I   en los  I  rieles ) en la barra, ) un campo magnético constante ) uni1orme llena la regi0n entre los rieles apuntando verticalmente ver 1igura/. a/ =ncuentre la magnitud ) la direcci0n de la   1uerza neta sobre la barra conductora. Qgnore la 1ricci0n, la resistencia del aire ) la resistencia eléctrica. b/ e ha sugerido que los caNones de rieles basados en este principio  podrían acelerar un vehículo espacial hasta ponerlo en 0rbita e incluso más lejos. =ncuentre la distancia que la barra debe recorrer a lo largo de los rieles para que pueda adquirir la rapidez de escape de la 2ierra "",* (ms/. 2ome B + %," 2, I   + "$"%' D, m  -% (g )  + " m. ta! a/ "%% 89 b/ '"'3% (m.

53.

Una pieza recta de cable conductor de masa Garilla de  ,   ) longitud  está colocada como se muestra sobre masa ,  el plano inclinado sin 1ricci0n que 1orma un ángulo -  con la horizontal ver 1igura/. =;iste un campo magnético uni1orme vertical B en todos los puntos producido por una distribuci0n de imanes que no se -  muestra en la 1igura/. Bara evitar que la pieza se deslice por el plano inclinado se conecta una 1uente de   voltaje a los e;tremos de la varilla. Cuando circula  justo la cantidad correcta de corriente por la pieza, ésta permanece en reposo. 7etermine la magnitud ) la direcci0n de la corriente en la varilla que hará que permanezca en reposo. Copie la 1igura ) trace en ella la direcci0n de la corriente. Ddemás, trace un diagrama de cuerpo libre en el que se muestren todas las 1uerzas que act@an sobre la varilla. ta!  ,g  B/tg- .

B

54. Como se muestra en la 1igura, un cable delgado ) 1le;ible cuelga del punto B en una regi0n en la que e;iste un campo magnético uni1orme horizontal de magnitud B dirigido hacia dentro del plano de la página ) perpendicular a éste. Fa) un peso atado en la parte in1erior del cable que proporciona una  I  tensi0n "   uni1orme a lo largo de todo el cable. =l peso 5  ! del propio cable es despreciable./ Cuando una corriente I  B 1lu)e desde la parte superior a la in1erior del cable, éste se curva 1ormando un arco circular de radio !. a/ 2omando en cuenta las 1uerzas sobre un pequeNo segmento de cable que subtiende un ángulo - , muestre que el radio de curvatura del cable es  ! + "I  B. ugerencia/ ecuerde que si -   es pequeNo, sen - 0 tan - 0 - , con el ángulo en radianes./ b/ Dhora se retira el cable. Una partícula cargada B

"%

Campo magnético y fuerzas magnéticas

 Física II 

 positivamente con carga q ) masa m es lanzada desde el mismo punto B desde donde colgaba el cable, en la misma direcci0n en la que el cable se e;tendía a partir de B. Huestre que la tra)ectoria de la partícula será el mismo arco circular que 1ormaba el cable si la rapidez de la  partícula es v + q" mI . Bor eso se utilizan cables pesados en el diseNo de sistemas magnéticos  para guiar haces de partículas cargadas9 la curvatura del cable por el que circula la corriente indica c0mo se curvarán las tra)ectorias de las partículas/.

55. )omento $e torsin so+re una espira $e corriente.  :a espira rectangular de alambre de la 1igura

 y  x

3 cm # cm  z 

'%<

tiene una masa de m + %,"6 g por centímetro de longitud ) está 1ija en el lado ubicado sobre el eje  z   a un eje de rotaci0n sin 1ricci0n. :a corriente en el cable es I  + 3,# D en la direcci0n mostrada. =ncuentre la magnitud ) la direcci0n del campo magnético paralelo al eje  y que ocasionará que la espira se balancee hasta que su plano 1orme un ángulo de '%< con el plano yz . ta! %,%'> 2.

56. :a espira rectangular de la 1igura está 1ija de uno de sus lados verticales, de modo que puede  y

3 cm

# cm  x

'%<

"- D  z 

girar alrededor del eje  y, ) por ella circula una corriente de "- D en la direcci0n indicada. a/ i la espira se encuentra en un campo magnético uni1orme de %,*- 2, paralelo al eje  x, encuentre la magnitud del momento de torsi0n necesario para mantener la espira en la posici0n mostrada. b/ epita el apartado a/ para el caso en el cual el campo es paralelo al eje  z . c/ Bara cada uno de los campos magnéticos anteriores, ¿qué momento de torsi0n se requeriría si la espira estuviera 1ija en un eje que pasara por su centro, paralelo al eje y? ta! a/ %,%"-3 8.m9 b/ %,%%6 8.m9 c/ igual que los anteriores.

5. 0uerza so+re una espira $e corriente en un campo magnético no uniforme. :a 1uerza neta sobre una espira de corriente en un campo magnético  y uniforme es cero. Geamos qué sucede cuando el campo  I  magnético no es uni1orme. =n la 1igura se muestra una espira  , / %, / cuadrada de alambre que se encuentra en el plano  xy en  z  %/. :a espira tiene lados de longitud  ) sus vértices están en %, %/, %, /,  , %/ )  , /, ) por ella circula una corriente constante I   en el sentido horario. =l campo magnético no tiene  x componente x pero sus otras dos componentes son distintas de %, %/  , %/ cero! B +  B% z  / j 5  B% y /k , con B% una constante positiva. a/ 2race un diagrama de las líneas de campo magnético en el  plano xy. b/ =ncuentre la magnitud ) la direcci0n de la 1uerza magnética ejercida sobre cada lado de la espira mediante la integraci0n de la ecuaci0n d 0 +  I d% 7 B. c/ =ncuentre la magnitud ) la direcci0n de la 1uerza magnética neta sobre la espira. ta! b/ :ado izquierdo  IB% 1 */ i9 lado superior & IB% / j9 lado derecho & IB% 1 */ i9 lado in1erior  %9 c/ & IB% / j.

5&. )omento $e torsin so+re una espira $e corriente en un campo magnético no uniforme. Cuando se dedujo la e;presi0n del momento de torsi0n sobre una espira de corriente, se hizo con ""

Campo magnético y fuerzas magnéticas

 Física II 

la suposici0n de que el campo magnético B es uni1orme. Geamos ahora qué sucede si el campo magnético no es uni1orme. =n la 1igura del problema anterior se muestra una espira cuadrada de alambre que se encuentra en el plano xy  en z  %/. :a espira tiene lados de longitud  ) sus vértices están en %, %/, %, /,  , %/ )  , /, ) por ella circula una corriente constante I   en el sentido horario. =l campo magnético no tiene componente  z  pero sus otras dos componentes son distintas de cero! B +  B% y /i 5  B% x / j, con B% una constante positiva. a/ 2race un diagrama de las líneas de campo magnético en el plano  xy. b/ =ncuentre la magnitud ) la direcci0n de la 1uerza magnética ejercida sobre cada lado de la espira mediante la integraci0n de la ecuaci0n d0 +  I d% 7 B. :a 1uerza neta sobre cada lado de la espira es la suma vectorial de la 1uerza debida a cada componente de B./ c/ i la espira puede girar libremente alrededor del eje  x, encuentre la magnitud ) la direcci0n del momento de torsi0n magnético sobre la espira. d/ epita el apartado c/ para el caso en que la espira pueda girar libremente alrededor del eje  y. e/ ¿:a ecuaci0n 8 +  7 B, es una descripci0n apropiada del momento de torsi0n sobre esta espira? =;plique su respuesta. ta! b/ :ado izquierdo & IB% 1 */ k 9 lado superior  IB% 1 */ k 9 lado derecho  IB% 1 */ k 9 lado in1erior & IB% 1 */ k 9 c/  IB% * 1 */ i9 d/ & IB% * 1 */ j9 e/ í.

5'. 9na +o+ina mvi%. :a 1uerza neta sobre una espira

 y

de corriente en un campo magnético uni1orme es cero. :a 1uerza magnética sobre la bobina m0vil de un altavoz no es cero debido a que el campo magnético en la bobina no B B  I  es uni1orme. Una bobina m0vil de un altavoz tiene 4% vueltas de cable ) un diámetro d  + ",'% cm, ) circula por  ella una corriente de %,#" D. uponga que el campo magnético en cada punto de la bobina tiene una magnitud  x constante de %,"> 2 ) apunta 1ormando un ángulo de 3%< hacia a1uera de la normal al plano de la bobina ver 1igura/. uponga que el eje de la bobina está en la direcci0n y. :a corriente en la bobina tiene la direcci0n mostrada en sentido antihorario vista desde un punto por encima de la bobina en el eje  y./ Calcule la magnitud ) la direcci0n de la 1uerza magnética neta en la bobina. ta! &%,"6- 8/ j. 3%<

3%<

6(. Garias 1uerzas e;ternas 0i ejercen su acci0n sobre un cuerpo rígido. :a 1uerza 0" está aplicada en el punto localizado en r", la 1uerza 0* en r* ) así sucesivamente, todo con respecto a un origen 2. =l punto B está localizado en rB. i el cuerpo se encuentra en equilibrio de traslaci0n, de modo que R0i + %, demuestre que la suma de los momentos de torsi0n alrededor del punto B es igual a la suma de los momentos de torsi0n alrededor del punto 2. =sto muestra que para una espira de corriente en un campo magnético uni1orme, debido a que la 1uerza neta sobre la espira es cero, el momento de torsi0n es el mismo para cualquier eje que se seleccione./

61.

Un cable aislado con masa m + 6,%6$"%&- (g tiene 1orma de U invertida, de modo que la parte horizontal tiene una longitud 3 + *- cm. :os e;tremos del cable están inmersos en dos contenedores con mercurio de modo que ha) - cm de alambre por debajo del nivel del mercurio. :a estructura completa está en una regi0n donde e;iste un campo

3 

5 

"*

",- G Hercurio

Hercurio

Campo magnético y fuerzas magnéticas

 Física II 

magnético de %,%"*> 2 de magnitud, cu)a direcci0n apunta hacia adentro de la página ver  1igura/. e hace una cone;i0n eléctrica entre los e;tremos del cable a través de los contenedores. :os terminales de los contenedores están conectados a una batería de ",- G ) a un interruptor 9 cuando se cierra este @ltimo, el alambre salta una distancia de %,>% m en el aire, medida desde su  posici0n original. a/ 7etermine la rapidez v del cable cuando sale del mercurio. b/ uponiendo que la corriente a través del cable 1ue constante desde el momento en que se cerr0 el interruptor  hasta el instante en que el cable sale del mercurio, determine I . c/ 7espreciando la resistencia del mercurio ) de los alambres del circuito, determine la resistencia del cable que se mueve. ta! a/ ',-> ms9 b/ ',6' D9 c/ %,'#* K.

62.

v

)o$e%o $e uark $e% neutrn. =l neutr0n es una

 partícula de carga cero ) momento magnético di1erente de cero cu)a componente  z   es 6,33$"% &*> D.m*. i se considera u que el neutr0n es una entidad 1undamental sin estructura r  interna, las dos propiedades anteriores parecen contradictorias. 7e acuerdo con la teoría actual de la 1ísica de partículas, un v d neutr0n está compuesto de tres o más partículas llamadas d quar(s. =n este modelo, el neutr0n consiste en un Squar( hacia arribaS u/, cu)a carga es de 5*e', ) dos Squar(s hacia abajoS v d/, cada uno con una carga de &e'. :a combinaci0n de los tres quar(s produce una carga neta de *e' & e' & e' + %, como se requiere, ) si los quar(s están en movimiento, también podrían producir un momento magnético di1erente de cero. Como modelo mu) sencillo, suponga que el quar( hacia arriba se mueve en el plano  xy  en una tra)ectoria circular, en el sentido antihorario, ) los quar(s hacia abajo se mueven en el plano  xy en el sentido opuesto, todos con un radio r  ) con la misma rapidez v ver 1igura/. a/ Tbtenga una e;presi0n para la corriente debida a la circulaci0n del quar( hacia arriba. b/ Tbtenga una e;presi0n para la magnitud %u. del momento magnético debido al movimiento del quar( hacia arriba/. c/ Tbtenga una e;presi0n para la magnitud del momento magnético del sistema de tres quar(s utilice las direcciones correctas de los momentos magnéticos/. d/ ¿Con qué rapidez v se deben desplazar los quar(s si este modelo debe reproducir el momento magnético del neutr0n? Como radio de las 0rbitas utilice el radio del neutr0n r  ",*$"%&"- m. ta! a/ ev'r 9 b/ evr '9 c/ *evr '9 d/ >,--$"% > ms.

63. Bor una espira circular de alambre de -,*# cm * de área circula una corriente de "- D. :a espira se encuentra en el plano xy. i se le mira a lo largo del eje z  en la direcci0n de & z  hacia el origen, la corriente circula en el sentido antihorario. =l momento de torsi0n ejercido sobre la espira por un campo magnético e;terno B está dado por 8 + "$"%&' 8.m/ &3i 5 # j/, ) para esta orientaci0n de la espira la energía potencial magnética U + & . B es negativa. :a magnitud del campo magnético es de *,3% 2. a/ 7etermine el momento magnético de la espira de corriente. b/ 7etermine las componentes B x, B y ) B z  de B. ta! a/ &>,6*$"%&' D.m*/ k 9 b/ B x + &",%"9 B y + &%,>39 B z  + &*,*>.

64. =s bastante 1ácil deducir e;plícitamente la ecuaci0n 8 +  7 B para una espira de corriente circular.

 y

Considere un anillo de cable colocado en el plano xy con su centro en el origen. Bor la espira circula una corriente  I  en sentido antihorario ver 1igura/. 2omemos un campo

d %

B  !

d-  - 

 x

"'

Campo magnético y fuerzas magnéticas

 Física II 

magnético B en la direcci0n x, B +  B xi =l resultado se puede e;tender con 1acilidad a B en una direcci0n arbitraria./. a/ =n la 1igura, muestre que el elemento d % + &sen - i 5 cos - j/ ! d- , ) encuentre d 0 +  I d % 7 B. b/ Qntegre d 0 alrededor de la espira para ver que la 1uerza neta es cero. c/ 7el apartado a/, encuentre d 8 + r 7 d 0, donde r +  !cos - i 5 sen - j/. Tbserve que d % es  perpendicular a r/. d/ Qntegre d 8 sobre la espira para encontrar el momento de torsi0n total 8 sobre la espira. Huestre que el resultado se puede escribir 8 +  7 B , donde M +  I&. * * * * ta! a/  I!B x cos -  d-  k  9 c/ −  I!  B x sen-  cos -  d-  i +  I!  B x cos -  d-   j 9 d/ 4I!  B x j −

65. 9so $e %a %ey $e :auss para e% magnetismo. =n cierta regi0n del espacio, el campo magnético B no es uni1orme, sino que posee una componente  z   ) otra que apunta radialmente hacia 1uera o hacia adentro del eje z . :a componente  z  está dada por B z  z / +  βz , donde β  es una constante positiva. :a componente radial  Br   s0lo depende de r , la distancia radial al eje z . a/ Utilice la le) de Vauss para el magnetismo para encontrar la componente radial Br   como una 1unci0n de r . ugerencia/ Utilice una super1icie gaussiana cilíndrica de radio r   concéntrico con respecto al eje z , con un e;tremo en z  % ) el otro en z  +  ./ b/ 2race un diagrama de las líneas de campo magnético. ta! a/ rβ *.

66. Bor un anillo de 3,43 cm * de área circula una corriente de -% D, ) el anillo puede girar  libremente alrededor de uno de sus diámetros9 el anillo, inicialmente en reposo, está inmerso en una regi0n de campo magnético uni1orme dado por B + ",''$"%&* 2/ 'i & 4 j & "*k / ), en un  principio, está colocado de modo tal que su momento magnético i está dado por  i +  %  &%,3 i  5 %,# j /, donde %  es la magnitud positiva/ del momento magnético. =l anillo se suelta ) gira un ángulo de 6%,'$"%&' J9 b/ 6*,3> rads.

;3 m9 b/ >,#3 "% &> s9 c/ "-," mm9 d/ >-,# mm.

6&. "a +om+a e%ectromagnética. :as 1uerzas magnéticas que act@an sobre 1luidos conductores  proporcionan un medio conveniente de bombear tales 1luidos. Bor ejemplo, este método se puede utilizar para bombear sangre a las células sin el daNo que ocasionan las bombas mecánicas. Un tubo horizontal con secci0n transversal rectangular altura 6, ancho 7/ está colocado 1ormando un ángulo recto con un campo magnético uni1orme de magnitud  B, de modo que una longitud 8 está en el campo ver 1igura/. =l tubo está lleno con sodio líquido ) se mantiene una corriente eléctrica, cu)a densidad es 9 , en la tercera direcci0n mutuamente perpendicular. a/ Huestre que la di1erencia de presi0n entre un punto del líquido sobre el plano vertical que pasa por ab ) un  punto del líquido sobre el plano vertical que pasa por cd , en condiciones en las cuales no ha) 1lujo de líquido, es W p  93B.  b/ ¿Iué densidad de corriente se necesita para producir una di1erencia de presi0n de " atm entre estos dos puntos si  B  ",#3 2 ) 3  + *% mm? ta! b/ *,>$"%3 Dm*.  y

B

E

 x

6'. 9na trayectoria cic%oi$e. Una partícula con masa m ) carga 5q se empieza a mover desde el reposo en el origen de la 1igura. =;iste un campo eléctrico uni1orme E en la direcci0n 5 y ) un campo magnético uni1orme B dirigido hacia 1uera de la página. =n te;tos más avanzados se demuestra que la tra)ectoria es una cic3oide, cu)o radio de curvatura en los puntos más altos es del doble que la coordenada y en ese nivel. a/ =;plique por qué la tra)ectoria tiene esta 1orma "-

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 Física II 

general ) por qué es repetitiva. b/ Bruebe que la rapidez en cualquier punto es igual a *q*y .  m . ugerencia/ Utilice la conservaci0n de la energía./ c/ Dplique la segunda le) de 8eXton al  punto más alto ), dado que en éste el radio de curvatura es igual a * y, demuestre que la rapidez en este punto es de * *  B.

"3

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