Problemas de Calor Temperatura y Termodinamica

C A P I T U L O 15

presión constante ct = y

TEMPERATURA Y DliATACION

3T

, o en términos del coeficiente de expansión volumétrica o

dilatación cúbica a presión constante (3 = --

dJ

y

Tumperatura. - Termómetro: El concepto de temperatura desde un punto de vista físico I);; ol de una m.ii)niluil üscalar, tnacroscópica, relacionada a nuestro sentido de caliente o de frío. Se mi(j() niodianto loa instrumentos llamados termómetros los cuales contienen una .sustancia de trabajo con una propiedad medible o mesurable tal como longitud, presión, etc. quH camíjian i;n forma regular cuando tai sustancia se calienta o se enfría.

PROBLEMAS

Una regla de acero, de un metro, es exacta a 0°C y otra a 2S°C. ¿Cuál es la diferencia entre sus longitudes a 20°C?

Cuando un termómetro y cualquier otro objeto se ponen en contacto mutuo, ambos eventualmente adquieren el equilibrio térmico. Por consiguiente ¡a lectura del termómetro será entonces la temperatura del otro objeto, proceso consistente con la ley cero de la Termodinámica.

15^2.- Una cinta de agrimensor de 100 pies es correcta a la temperatura de 65°F. La distancia entre dos puntos se mide con esta cinta un día en que la temperatura es 95°F, y resulta ser 86,57 pies. ¿Cuál es la verdadera distancia entre ios dos puntos? Un anillo de acero de 75 mm de diámetro interior a 20°C, ha de ser calentado e introducido en un eje de latón de 75,05 mm de diámetro a 20°C. a) ¿A qué temperatura ha de calentarse el anillo? b) Si el anillo y el eje juntos se enfrían por algún procedimiento, tal como introduciéndolos en aire líquido, ¿a qué temperatura saldrá el anillo solo del eje?

Ley Cero de la Termodinámica.- Esta ley establece que si dos cuerpos A y B s e encuentran en equilibrio térmico con un tercer cuerpo C (digamos el termómetro) entonces los cuerpos A y B estarán en mutuo equilibrio térmico. Termómetro de g a s a volumen c o n s t a n t e . - En este termómetro la temperatura e s proporcional a la presión de la muestra de gas cuyo volumen se mantiene constante. L a constante de proporcionalidad es establecida definiendo el valor numérico de alguna condi--; ción reproducible tal como aquella en la cual el agua pueda coexistir en equilibrio en sus tees fases de sólido, líquido y vapor. La temperatura de este triple punto del agua ha sido elegida internacionalmente con el valor de T = 273,16°K. 'l

1^'4.-,A la temperatura de 20''C, el volumen de un cieri:o matraz de vidrio, hasta una señal de referencia que lleva en el cuello, es exactamente 100 cm^. El matraz está lleno hasta dicha señal con un líquido cuyo coeficiente de dilatación cúbica es 120 x 10" °C-\o tanto el matraz como el líquido a 20°C. El coeficiente de dilatac-ion lineal del vidrio es 8 x 10"^ "C"''. La sección transversal del cuello es 1 mrrv' y p i i m l i ' considerarse como constante. ¿Cuánto ascenderá o descenderá el líquido d rui' lio, cuando la temperatura se eleve hasta 40°C?

Temperatura de un gas i d e a l . - Se ha logrado encontrar experimentalmente que las temperaturas medidas con termómetros de gas a volumen constante dependen de la clase y cantidad de gas usados y que las discrepancias entre diferentes gases son menores si se usa menos gas. Una temperatura de un gas ideal puede definirse entonces como la tempé^ ratura límite lograda por un termómetro de gas a volumen constante cuando en repetidas mediciones se usan cada vez cantidades menores de gas. Es decir, la temperatura de un

15.5.-Un reloj cuyo péndulo da una vibración e n 2 seg, marca exactamonfi' l^| l i o i n i m . i i . i n do la temperatura es 25°C. La varilla del péndulo es de ICDH, y .u i i i . . m . m • i. inercia puede despreciarse frente al de la lenteja, a) ¿Cu.il la v . n i . n u m i.ilniivrt t|» longitud de la varilla cuando se enfría hasta 15'C'^ h) :i)anl.i. . i M j i i n . i - > • Í M adelantará o retrasará el reloj a 15°C?

p Qas T estará dada por la relación

T = ¡imite

x 273,16

(V = ccnsíanie)

donde P es la

rldl gas que trabaja a la temperatura T y P,, es la presión a ia temperatura del punto iiiph' ili:l agua.

|M'Í:;Í()II

{ • c a l a Kalvin de Temperatura.- La escala de temperatura de un gas ideal es equLva^, 'Uto ii lii f)rii:nla K.'lvin tU) N;mperatura definida más apropiadamente en íermodinámica. "lili.II.i

.1

:

, . 1

|M)r

lo ninni).; otras

do:i

liscalas termodinámicas en uso que son:

•i|\llutailn •!' - . - M i r . 11.'111111 la IIIir la [(""lacifín: t^, ) t». 4 U f l h i . i M l u i i l

Inllnlil ,

PROPUESTOS

T-273,15'

* 15.S.-Una varilla delgada de acero oscila como un |). induli. ii-.u .• zontal que pasa por uno de sus e;l i i i ' : : i

: ;;; 1 , i

..'I I

I

« o aperatura t. yv el medio es

H2 = .

(t2-t)4a(t|-t2

y el 'lujo caiü¡'íficc entre el piano medio y la cara de íempe.raiura t es

H=:H, + H^ = 1,13096 cal/s. b)

La fracción de corriente caiorífica transportada por el núcleo de acero obviamente será

Ha 0.04712 = -¡q- = Jy^q^ X 100

cobre ha de ser por ;o íanío

Por lo tanío, como quiera que ios flujos caloríficos H, y H.^son ios mismos,

4,17% y ¡a correspondiente de la envoltura de H„ 1,08384 = jf- = 'ÍT.^QQQ

X

100 = 95,83%

17.2.-Gomo datos de esta problema tenemos el aislador ciiíndrico de radio exterior y i.emperaíura u y ei iuco de vapor de radio exterior R, a la temperatura t,. Luego, si designamos por r la disíancla radiai medida desde el centro del tubo hasta un punto aonce ia temperatura sea 'ustamenía ¡a media arítméfica t = — r - ^ y por-i la longitud

de donde se deduce que ¡a ieinperaiura en e¡ piano medio ha de ¿er dada por ia relación 2 ( - ( i , -^XJ -r ^ a j 2 í - - | t f - t j i | = o , o bien reemplazando dates numéricos, la temperatura í ha de ssiar dada por ia relación

+ lOOt - 10000 = O, por ío

que resolviendo esta ecuación de segundo grade se tiene Í = 51,80 '"C.

- 4 4 9 -

- 4 4 8 -

de una misma masa de agua en las dos ramas son inversamente proporcionales a sus respectivas densidades, a)

La relación de los volúmenes o de las alturas de las columnas de agua será V2 _ Ah2 _ ^2 _ Pi _ VT - Ah7 - h7 -

1g/cm^

- 0,9775 g /cm^ =

ya que según tablas específicas de la densidad del agua, se conoce que a la temperatura t^ = 4 °C, pi = 1 g/cm^ y a la temperatura 1^ = 75 °C, = 0,8775 g/cm^. b)

Si ii^ = hj = ti = 10 m = 1000 cm, la diferencia de presiones del líquido en el fondo de las dos columnas de agua, obviamente será •

'

Ap = P i - p 2 =

gh,-P2gh2 = gh{pi-P2)

= 980 X 1000 (1 - 0,9775) = 22050 dinas/cm^. 17.5.-Como datos de este problema tenemos los siguientes

'-^r• •y''J:í'-^[:.;

Agua de densidad p = 1 g/cm^ a la temperatura T = 0°C, la capa de hielo de densidad'^ p, = 0,92 g/cm^, espesor 1=5 cm, calor de fusión (o calor de solidificación del agua): L = 80 cal/g y conductividad térmica k = 0,0040 cal/s x cm x °C y aire sobre la capada ' tiielo a la temperaturaTf, = -10''C. Si consideramos una porción de la capa de iiielo con una sección transversal unitaria A = 1 cm^, la tasa o flujo calorífico que fluye a través de la capa de iiielo hacia el medio exterior aire ha de ser obviamente . dQ dT AT 10 = k A — = k A — = 0 , 0 0 4 0 x 1 x — = 0,008 cal/s , dX dx í 5 ' donde AT = T - Tj, = 10°C, por lo que el tiempo requerido para solidificar una masa de m = 1 g de agua será entonces

t=

j"^^ =

= ^ 0000 s.

En este tiempo el espesor x que ha de crecer la capa de hieio estará dado por la relación x= m = „ , 1g _3W._2Í =' ^ Ph^ ~ (0,92 g /cm^jílom^j por lo que ia tasa de crecimiento del espesor de la capa de hielo será dx X 1.087 = 1.087 X 10--* cm/s = 3913,2 x 10"'* cm/hora = 0,39132 cm/'hora. dt t 10000

m = p, V , = p,Ax , de donde

17.6-Corno datos de este problema tenemos; La temperatura dei aire delinterior de la habitación T¡ = 25°C; ia temperatura dsl aire de! e; /'

dU = dQ.

-

2)

P a r a p r o c e s o s isobáricos (p = c o n s t a n t e ) t e n d r e m o s

;3)

Finaimeníe para proceses o transformaciones adiabáticas,

dU = d Q - pdV

y

•

• " - " ^ ,

Q =0;dQ = 0 p o r lo q u e e l p r i m e r p r i n c i p i o d e i a í o r m o d i n á m i c a e s t a r á d a d o p o r la r s i a c i ó n dU = - d W .

1,S.1 . - E ! v o l u m e n d e u n mioi d e u n g a s i d e a l a u m e n t a i s o t é r m . i c a m e n í e í T = c o n s t . ) d e 1 a 20

litros a 0""C. L a p r a s i ó n d e l g a s e n c u a l q u i e r m o m e n t o e s t á d a d a p o r i a e c u a c i ó n pV-RT, s i e n d o H = 3,31 J ü ! i o s / m o ! - " K , y T, !a t e m p e r a t u r a K s i v i n . ¿ C u á n t o s J u l i o s d-j

- 453 l^fíT-Calcular el trabajo realizado cuando un gas se dilata desde el volumen V, nasta el V¿ siendo la relación entre la presión y el volumen ' ' a ] p + — 2 " ! (V - b) = k en la que a, b y k son constantes. V J

,

18.3.- Durante la expansión adiabática de un gas ideal, la presión en cualquier momento está dada por la ecuación pV = k, en la cual y y k son constantes. Demostrar que el trabajo realizado al expandirse del estado (p.,, V,) al estado {p^, V^) es W = ^^—~f-^1p^-En

un cierto proceso se suministran a un sistema 500 cal, y ai mismo tiempo se realiza sobre el sistema un trabajo de 100 Julios. ¿Cuál es el incremento de su energía interna?

18.5.-Un kg de agua, cuando hierve a 100°C a la presión atmosférica, se convierte en 1594 litros de vapor. Calcular: a) el trabajo exterior en kilográmetros; b) el aumento de ^ energía interna, en kcal. : IS.S.fUna bola de hierro es dejada caer sobre un piso de concreto desde una altura de 10 ^ m. En el primer rebote sube una altura de 0,50 m. Asúmase que toda la energía ' mecánica macroscópica perdida en la colisión es adquirida por la bola. El calor específico del hierro es 0,12 cal/g x °C. a) ¿Se ha adicionado calor a la bola durante la colisión?, b) ¿Se ha realizado trabajo sobre la bola?, c) ¿Ha cambiado la energía interna de la bola? Si es así, ¿cuánto?, d) ¿En cuánto se ha elevado la temperatura de la bola luego de la primera colisión? 18.7.-Un cilindro tiene un pistón metálico de 2 kg de masa cuya área de su sección transversal es 2 cm^ (Ver Fig. 1 8 - 7 ) . El ciiindro contiene agua y vapor a temperatura constante. Se observa que el pistón cae lentamente a razón de 0,30 cm/seg a causa de que se escapa caior a través de las paredes del cilindro. En tanto esto sucede, algo de vapor se condensa en la cámara. La densidad del vapor dentro de la cámara del cilindro es 6 x 10"^ g/ cm^ y la presión atmosférica es 1 atm. a) Calcular la tasa de condensación del vapor, b) ¿A qué tasa el calor abandona la cámara?, c) ¿Cuál es ia tasa de cambio de la energía interna del vapor V del agua dentro de la cámara? Fig. 1 3 - 7

PSOBIEMAS DESASROLIADOS SOIiaCiÓN m

ALSÜNOS Dí IOS PSOBiEMAS PSOPÜESTOS

18.1,-Como datos ds asía problema tenemos el volumen del mol de gas a íemperatura consíanta T = 11- 273 = 0"C + 273 = 273='K, variando isoíérmicameníe desde V¡ = 1 litro hasta V, = 20 ütros, mediante la relación pV = RT donde R = 3,31 j c u l e a ' m o l - ' K . D'i te ecuación mciar da estado pV - RT, la presión

RT

R ( t + 273)

V

V

-

por lo que el trabajo realizado en la expansión isotérmica será

v. rv, dV W = J^^' pdV = RT J ^ ' ^ = RT In

= 8,31 x 273 x In 20 = 6796,208 joules.

18.2.-Como datos de este problema tenemos la expansión del gas desde un volumen inicial V, a otro volumen final V j , realizada según la expresión (V - b) = k.

P+

El trabajo realizado sobre el gas durante el proceso de expansión es por lo tanto f W = J pdV

y como p = y-^ W =

•Va

r

k

[V-b

k a - — ,

resulta entonces^ue el trabajo requerido será

a ]

v^J '^V =

k l n ^ - a

O

^1

18.3.-Como datos de este problema tenemos la expansión adiabática entre los estados (Pi. y (Pg, Vg), realizada de acuerdo con la expresión pVr = k. Como quiera que la presión p = kV-r, el trabajo realizado sobre el gas para pasar del estado (p,, V,) al estado (Pg, Vg) será por lo tanto P2.V2

W =

J pdV = 1

•P2.V2

kV-T^ d V :

Pl.Vi

[

HVi

P1.V1

P1V1-P2V2

nw1P2.V2

1-Y^^

1-y

1P2.V2

'pV^V^-'^ " 1-y

~

Y-1

•

18.4. - C o m o datos de este problema tenemos el calor suministrado al sistema Q = 500 calorías y el trabajo realizado sobre el mismo W = - 1 0 0 joules = - 2 3 , 8 9 calorías. Por lo tanto, según el primer principio de la termodinámica Q = AU + VV, se tiene que el incremento de la energía interna del sistema ha de ser AU = U2 -

= Q - W = 500 - ( - 23,89) = 523,89 cal.

18.5. - C o m o datos de este problema tenemos la masa de agua m = 1 kg a la temoeratura í = 100°C, ocupando un volumen inicial ,, m 1 ' ~ 7 " 0,95838 = •04343 litros = 1,04343 x 10"- m^ para luego transformarse en vapor y ocupar un volumen íinatV, = 1594 litros = 1594 x IQ-^ m^. a)

El crabajo 8;