Problemas de Aplicacion 2 (Solucion)

PRACTICA DIRIGIDA DE MECANICA DE SUELOS PROBLEMA 1: Determinar la altura de ascensión capilar en tres diferentes tubos cuyos diámetros se indican a continuación y considerando que la tensión superficial vale 𝑇𝑠 = 0.075 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔 y 𝛼 = 0°, 𝑑1 = 2 𝑚𝑚 , 𝑑2 = 3 𝑚𝑚 y 𝑑3 = 4 𝑚𝑚

SOLUCION: 2𝑇𝑠 cos 𝛼 ℎ= 𝑟𝛾𝑤 Para 𝑑1 = 2 𝑚𝑚 , ℎ1 = 𝑑2 = 3 𝑚𝑚 , ℎ2 = 𝑑3 = 4 𝑚𝑚 , ℎ2 =

2(0.075)(1) 0.1(1) 2(0.075)(1) 0.15(1) 2(0.075)(1) 0.2(1)

= 1.5 𝑐𝑚 = 1.0 𝑐𝑚 = 0.75 𝑐𝑚

PROBLEMA 2: En un permeámetro de carga variable se probó la permeabilidad de una muestra cilíndrica cuyo diámetro era de 5 cm y su altura a la mitad de su diámetro. El diámetro interior del tubo capilar del permeámetro mide 1.25 cm y al empezar la prueba tenía agua hasta una altura de 45 cm. Después de 445 segundos, el nivel del agua en el tubo piezométrico se encontraba a una altura de 43 cm. Calcular el coeficiente o constante de permeabilidad de la muestra. SOLUCION: 𝑎𝐿 ℎ1 𝑘 = ( ) 2.3𝑙𝑜𝑔10 ( ) 𝐴𝑡 ℎ2 2 𝐴 = 𝜋𝑟 = (3.1416)(2.5)2 = 19.635 𝑐𝑚2 𝑎 = 𝜋𝑟 2 = (3.1416)(0.625)2 = 1.227𝑐𝑚2 𝐷 5 𝑟𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 = = = 2.5 𝑐𝑚 2 2 𝐷 1.25 𝑟𝑡𝑢𝑏𝑜 = = = 0.625 𝑐𝑚 2 2 𝐷 5 = = 2.5 𝑐𝑚 2 2 𝑡 = 445 𝑠𝑒𝑔. ℎ1 = 45 𝑐𝑚 ℎ2 = 43 𝑐𝑚 𝐿=

𝑘=(

(1.227)(2.5) 45 ) 2.3𝑙𝑜𝑔10 ( ) = 0.0000159 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔 (19.635)(445) 43

PROBLEMA 3: El coeficiente de conductividad hidráulica o permeabilidad de un acuífero como el mostrado es de 0.06 cm/seg. y el agua en los tubos piezométricos situados a 90 m de distancia subió a 30 m y 28 m, como se ve en la figura. El acuífero tiene un espesor promedio de 6 m. Se desea calcular el flujo perpendicular a su sección transversal en centímetros por segundo y por metro de ancho de acuífero.

SOLUCION: 𝑘 = 0.06 𝑐𝑚/𝑠𝑒𝑔 ℎ = 30 𝑚 − 28 𝑚 = 2 𝑚 = 200 𝑐𝑚 𝐿 = 90 𝑚 = 9,000 𝑐𝑚 𝐴 = (𝐵)(𝐻) 𝐻 = 6 𝑚 = 600 𝑐𝑚 𝐵 = 1 𝑚 = 100 𝑐𝑚 ℎ

200

𝑄 = 𝑘𝑖𝐴 = 𝑘 (𝐿 ) 𝐴 = (0.06) (9,000) (600𝑥100) = 80 cm/seg/m de ancho. PROBLEMA 4: En un permeámetro de nivel constante, se mide 60 cm3 de agua que filtraron a través de una muestra de 10 cm de diámetro y 15 cm de altura durante un tiempo de 1.5 minutos. ¿Cuál es el coeficiente de permeabilidad o constante de conductividad hidráulica de la muestra, si la perdida de carga es de 30 cm? SOLUCION: 𝑄𝐿 𝑘= 𝐴ℎ𝑡 𝑄 = 60𝑐𝑚3 𝐿 = 15 𝑐𝑚 𝑡 = 1.5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 90 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 ℎ = 30 𝑐𝑚 𝜋𝐷2 (3.1416)(10)2 𝐴= = = 78.54 𝑐𝑚2 4 4 ℎ 30 𝑖= = =2 𝐿

15

𝑘=

𝑄 60 = = 0.00424 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔 𝐴𝑖𝑡 (78.54)(2)(90)

PROBLEMA 5: Se construye un canal paralelo a un rio, como señala la figura. Si la arena que muestra la figura indicada presenta una conductividad hidráulica o coeficiente de permeabilidad k=0.0065 cm/seg, Calcular cual es la perdida de agua que tendrá el canal por infiltración en cm 3/seg/km.

SOLUCION: 𝑄 = 𝐴𝑘𝑖𝑡 𝑡 = 1 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑘 = 0.0065 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔 ℎ = 600 − 580 = 20 𝑚 𝐴 = (100,000)(150) = 15,000,000 ℎ 20 𝑖= = = 0.2 𝐿 100 𝑄 = (15,000,000)(0.0065)(0.2)(1) = 19,500 𝑐𝑚3 /seg/km

PROBLEMA 6: Para una prueba de permeabilidad de carga constante en laboratorio sobre una arena fina, se dan los siguientes valores (véase la figura): • Longitud de la muestra = 300 mm • Diámetro de la muestra = 150 mm • Diferencia de carga = 500 mm • Agua recolectada en 5 min = 350 cm3 Determine: a. La conductividad hidráulica, k, del suelo (cm/s) b. La velocidad de descarga (cm/s) c. La velocidad de filtración (cm/s) La relación de vacíos de la muestra de suelo es 0.46. SOLUCION: compatibilizamos unidades a. Ecuación de permeabilidad para carga constante: (350)(30) 𝑄𝐿 𝑘= = 𝜋 = 3.96𝑥10−3 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔 𝐴ℎ𝑡 ( 152 ) (50)(300) 4 b. Ecuación de la velocidad de descarga: 50 𝑣 = 𝑘𝑖 = (3.96𝑥10−3 ) ( ) = 6.6𝑥10−3 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔 30 c. Ecuación de la velocidad de filtración: 1+𝑒 1 + 0.46 𝑣𝑆 = 𝑣 ( ) = (6.6𝑥10−3 ) ( ) 𝑒 0.46 𝑣𝑆 = 20.95𝑥10−3 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔 PROBLEMA 7: Una capa de suelo permeable está sustentada por una capa impermeable, tal como se muestra en la figura Con k=4.8x10-3 cm/seg para la capa permeable, calcule la tasa de filtración a través de ella en m3/hr/m si H = 3 m y 𝛼 =5° SOLUCIÓN: 𝑡 = 1 𝑠𝑒𝑔 = 1⁄3600 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝐴 = (𝐻𝑐𝑜𝑠𝛼)(1) = 3 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑘 = 4.8𝑥10−3 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔 𝑘 = 4.8𝑥10−5 𝑚⁄𝑠𝑒𝑔 a. Calculamos la gradiente hidráulica: 𝑖=

∆ℎ 𝐿

=

𝐿′ 𝑡𝑎𝑛𝑔 𝛼 𝐿′ ) cos 𝛼

(

= 𝑠𝑒𝑛 𝛼

b. Calculamos el caudal unitario: 𝑞 = 𝑘𝑖𝐴 𝑞 = (𝑘)(𝑠𝑒𝑛 𝛼)(3 cos 𝛼) 𝑞 = (4.8𝑥10−5 )(𝑠𝑒𝑛 5°)(3 cos 5°) 𝑞 = (4.8𝑥10−5 )(0.087)(2.99)(3600) 𝑞 = 0.045 𝑚3 /hr/m

PROBLEMA 8: Para una prueba de permeabilidad de caída de carga (ver figura), se dan los siguientes valores: longitud de la muestra =38 cm, área de la muestra =19.4 cm2 y k = 2.92 x10-3 cm/s. ¿Cuál debería ser el área del tubo vertical para que la carga caiga de 64 cm a 30 cm en 8 minutos? SOLUCIÓN: 𝐿 = 38 𝑐𝑚 𝐴 = 19.4 𝑐𝑚2 𝑘 = 2.92𝑥10−3 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔 ℎ1 = 64 𝑐𝑚 ℎ2 = 30𝑐𝑚 a. Ecuación de la permeabilidad: 𝑎𝐿 ℎ1 𝑘 = 2.303 𝑙𝑜𝑔10 𝐴𝑡 ℎ2 𝒂𝑥38 64 2.92𝑥10−3 = 2.303 ( ) 𝑙𝑜𝑔10 ( ) 19.4𝑥480 30 𝒂 = 0.944 𝑐𝑚2 PROBLEMA 9: Una capa de suelo permeable está sustentada por una capa impermeable, como se muestra en la figura. Con k = 5.2x10-4 cm/seg para la capa permeable, calcule la tasa de filtración a través de ésta en m3/hr/m de longitud. Considere H = 3.8 m y 𝛼 = 8°. SOLUCIÓN: 𝑡 = 1 𝑠𝑒𝑔 = 1⁄3600 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝐴 = (𝐻𝑐𝑜𝑠𝛼)(1) = 3.8 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑘 = 5.2𝑥10−4 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔 𝑘 = 5.2𝑥10−6 𝑚⁄𝑠𝑒𝑔 a. Calculamos la gradiente hidráulica: ∆ℎ 𝐿′ 𝑡𝑎𝑛𝑔 𝛼 𝑖= = = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝐿′ 𝐿 (cos 𝛼 ) b. Calculamos el caudal unitario: 𝑞 = 𝑘𝑖𝐴 𝑞 = (𝑘)(𝑠𝑒𝑛 𝛼)(3.8 cos 𝛼) 𝑞 = (5.2𝑥10−6 )(𝑠𝑒𝑛 8°)(3.8 cos 8°) 𝑞 = (5.2𝑥10−6 )(0.139)(3.76)(3600) 𝑞 = 0.0098 𝑚3/hr/m

PROBLEMA 10: En la siguiente figura. Encuentre la velocidad de flujo en la longitud m 3/s/m (en ángulo recto con respecto a la sección transversal mostrada) a través de la capa de suelo permeable dado H=3 m, H1 =2.5 m, h=2.8 m, L=25 m, 𝛼=10° y k=0.04 cm/seg.

SOLUCIÓN: 𝑘 = 0.04 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔 𝐻 =3𝑚 𝐻1 = 2.5 𝑚 ℎ = 2.8 𝑚 𝐿 = 25 𝑚 𝛼 = 10° a. Ecuación de la velocidad de descarga: ∆ℎ 𝐻1 + 𝐻 + ℎ − ℎ − 𝐿 tan 10° 2.5 + 3 − 4.41 ) = (𝑘) ( ) = (0.04) ( ) = 0.002 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔 𝐿 𝐿 25.38 cos 10° PROBLEMA 11: En un estrato de arcilla limosa se han instalado dos tubos piezométricos, en igual número de puntos separados 25.00m entre sí, ascendiendo el agua a las elevaciones o cotas 18.70 y 12.40 m, dentro de los tubos. Una muestra del estrato en asunto, de 150 cm² de área y 12 cm de altura, fue colocada en un permeámetro de carga variable, con un tubo vertical de 9 cm² de sección transversal; observándose que, para pasar de una altura de carga de 70 cm a otra de 30 cm, fueron necesarias 3 hora, a una temperatura de 20°C. Determine la velocidad del flujo de agua dentro del estrato, en cm/día. (Figura 44 y 45). 𝑣 = 𝑘(

SOLUCION: 2.3𝐿𝑎 ℎ1 𝑘= 𝑙𝑜𝑔 𝐴𝑡 ℎ2 ℎ1 = 70 𝑐𝑚 ℎ2 = 30 𝑐𝑚 𝐴 = 150 𝑐𝑚2 𝐿 = 12 𝑐𝑚 𝑎 = 9 𝑐𝑚2 𝑡 = 3 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 10,800 𝑠𝑒𝑔. Remplazando en la ecuación: 2.3(12)(9) 70 𝑘= 𝑙𝑜𝑔 (150)(10800) 30 248.4 𝑘= 𝑙𝑜𝑔2.333 1620000 𝑘 = 0.0000564 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔 Determinación de v:

ℎ 𝑣 = 𝑘𝑖 = 𝑘 ( ) 𝐿 𝑘 = 5.64𝑥10−5 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔 ℎ = (18.70 − 12.40) = 6.3 𝑚 𝐿 = 25 𝑚 (𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑡𝑢𝑏𝑜𝑠 𝑝𝑖𝑒𝑧𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜𝑠) 6.3 𝑣 = 𝑘𝑖 = 5.64𝑥10−5 ( ) 25 −5 𝑣 = 1.42𝑥10 𝑥86,400 𝑠𝑒𝑔⁄𝑑𝑖𝑎 𝑣 = 1.23 𝑐𝑚⁄𝑑𝑖𝑎 PROBLEMA 12: Se construyó un Permeámetro con un tanque de gasolina vacío, de un diámetro de 0.56 m, manteniéndose una altura de carga constante e igual a 1.00m, si la longitud de muestra fue de 0.80 m y en 5 segundo se recogieron 89 cm3 de agua, determínese el coeficiente de permeabilidad del material analizado a la temperatura del análisis (Figura 46).

Figura 46 SOLUCION: 𝑄𝐿 𝑘= 𝐴𝐻𝑡 𝑄 = 89 𝑐𝑚3 𝐿 = 80 𝑐𝑚 𝜋𝑑 2 (3.141516)(56)2 𝐴= = = 2,463.01 𝑐𝑚2 4 4 𝑡 = 5 𝑠𝑒𝑔. 𝐻 = 1.00 𝑚 = 100 𝑐𝑚 𝑘=

(89)(80) = 5.78𝑥10−3 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔 (2,463.01)(5)(100)

PROBLEMA 13: En un permeámetro de carga variable a una temperatura de 20°C, se ensayó una muestra de 15 cm de diámetro y 10 cm de altura, extraída de un estrato de arcilla inorgánica con trazas de limo, Se requirieron 2.5 horas para que el nivel del agua descendiera de 80 cm a 40 cm en un tubo vertical de 2 cm² de sección transversal. Determine el coeficiente de permeabilidad del material en asunto (Figura 47).

SOLUCION: 2.3𝐿𝑎 ℎ1 𝑘= 𝑙𝑜𝑔 𝐴𝑡 ℎ2 𝐿 = 10 𝑐𝑚 𝑎 = 2𝑐𝑚2 𝜋𝐷2 (3.141516)(15)2 𝐴= = = 176.71𝑐𝑚2 4 4 𝑡 = 9,000 𝑠𝑒𝑔 ℎ1 = 80 𝑐𝑚 ℎ2 = 40 𝑐𝑚 2.3(10)(2) 80 𝑘= 𝑙𝑜𝑔 = 8.71𝑥10−6 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔 (176.71)(9,000) 40

PROBLEMAS PROPUESTOS: PROBLEMA 1: Consulte la prueba de permeabilidad de carga constante que se muestra en la figura. Para una prueba, se dan los siguientes valores: • L = 300 mm • A=área de la muestra =175 cm2 • Diferencia constante de carga = h = 500 mm • Agua recolectada en 3 minutos=620 cm3 Determine la conductividad hidráulica en cm/s.

PROBLEMA 2: Consulte la figura. Para una prueba de permeabilidad de carga constante en arena se dan los siguientes valores: • L = 350 mm • A = 125 cm2 • h = 420 mm • Agua recolectada en 3 minutos = 580 cm3 • Relación de vacíos de la arena = 0.61 Determine: a. La conductividad hidráulica, k (cm/s) b. La velocidad de filtración PROBLEMA 3: En una prueba de permeabilidad de carga constante en el laboratorio, se obtienen los siguientes valores: L = 305 mm y A = 96.8 cm2. Si el valor de k = 0.015 cm/s y un caudal de 7.374 cm3/hr que debe mantenerse a través del suelo, ¿cuál es la diferencia de carga, h, a través de la muestra? Determine también la velocidad de descarga bajo las condiciones de prueba. PROBLEMA 4: Durante una prueba de permeabilidad de caída de carga se dan los siguientes valores: • Longitud de la muestra del suelo = 200 mm • Área de la muestra de suelo = 1000 mm2 • Área del tubo vertical = 40 mm2 • Diferencia de carga en el tiempo t = 0, 500 mm • Diferencia de carga en el tiempo t = 3 min, 300 mm a. Determine la conductividad hidráulica del suelo en cm/seg b. ¿Cuál fue la diferencia de carga en el tiempo t = 100 seg?

PROBLEMA 5: La figura, muestra un suelo estratificado. Estime la conductividad hidráulica equivalente para el flujo en la dirección vertical. PROBLEMA 6: Refiérase a la figura anterior. Estime la conductividad hidráulica equivalente (cm/s) para el flujo en la dirección horizontal. También calcule la relación de 𝑘𝑉(𝑒𝑞) 𝑘𝐻(𝑒𝑞)