Problemas con Métodos de Demostración

 Problemas con Métodos de Demostración

1.  Probar que

2 no es un número racional.

Solución: Supongamos que 2

a

=

2 es un número racional, es decir que

con a, b ∈ Z y b ≠ 0 .

b

Vamos a suponer también que a b es una fracción irreducible, es decir que sean  primos relativos. Se sigue entonces que: 2=

a2 b

a2

o también

2

=

2b 2

Luego a 2 es par y por tanto a es un entero par, es decir a es de la forma a con p ∈ Z. De a 2

=

2 2b 2 se sigue 4 p

=

2b 2 ; es decir  b 2

=

=

2 p ,

2 p 2

Luego b 2 es par y por tanto b es par. par. Se tiene entonces una contradicción con lo que supusimos, y en consecuencia lo correcto sería decir que 2 no es un número racional. 2.  Demostrar que 1 0 no es un número real. Solución: Supongamos que 1 0 si es un número real. Llamémoslo 1 α  =

0

α 

; entonces tenemos:

, de donde se sigue que 0 ⋅ α  = 1 , o lo que es lo mismo 0 = 1 , que es un absurdo, por tanto lo que supusimos es incorrecto y lo verdadero es que 1 0 no es un número real.

3.  Demostrar que n( n + 1) es divisible por 2 para todo n ∈ Z. Solución: Debemos demostrar que:

n( n + 1)

=

2k 

En efecto, se nos presentan dos casos i.

Si n es par, tenemos:

n = 2 p n + 1 = 2 p + 1

, con p ∈ Z

Entonces,

n( n + 1)

2 p( 2 p + 1) , sea n( n + 1) = 2k  =

 p( 2 p + 1)

=

k  , tenemos:

Por tanto si n es par  n( n + 1) n es divisible por 2. ii.

Si n es impar  

n = 2 p + 1

, con p ∈ Z

n + 1 = 2 p + 1 + 1 = 2 p + 2 =

(  p + 1)

2

Entonces, n( n + 1) = 2( p + 1) ( 2 p + 1)

n( n + 1)

, sea

( p + 1) ( 2 p + 1) = k ∈ Z, tenemos:

2k 

=

Por tanto si n es impar  n( n + 1) n es divisible por 2.

4.  Demostrar que 10n+1+10n+1 es divisible por 3,

∀n ∈ N 

Solución: Probemos por inducción. i.

ii. ii.

Prob Probem emos os si es verd verdad ader ero o par paraa P(0 P(0)) y P(1 P(1). ).  P ( 0 ) : 10 + 1 + 1 = 12

que es divisible para 3.

 P (1) : 10 2

que es divisible para 3.

+ 10 + 1 = 111

Hipó Hipóte tesi siss de Ind Induc ucci ción ón:: Supo Supong ngam amos os que que  P ( k ) Z, debemos probar que  P ( k + 1) : 10

k + 2

+ 10

k +1

En efecto,

 P ( k + 1) : 10 k 

+2

+ 10

k +1

(

+ 1 = 10 10

k +1

+ 10

k 

) +1

= 10

+1 =

k +1

+ 10

k 

+1 =

3r , con r ∈ Z.

3q , con q ∈

( = 10(10 = 10 10

)

k +1

+ 10

k 

+1−1 +1

k +1

+ 10

k 

+1 − 9

)

( 3q ) − 9 = 3(10q − 3) , sea r  = (10q − 3) ∈ Z = 10

Por tanto, comprado que se cumple para P(0) y P(1) y bajo la hipótesis de inducción se llega a probar que P(k+1) también se cumple, podemos concluir que esto se cumple ∀n ∈ N.