Problemas Cantidad de Movimiento

Problemas sobre cantidad de movimiento Problema n° 1.- La tubería mostrada cambia su diámetro de D 1 = 1.50 m a D2 = 1 m y conduce un gasto de agua Q = 1.8 m3/seg, siendo la presión p = 4 kg/cm2. Despreciando la pérdida de energía debida al cambio de diámetro, calcular la fuerza dinámica F a que está sujeta la pieza que sirve para realizar la transición.

F=? Fp1

p

2

1

(

Fp1 = p1 A1= 4 ×10

4

kg × 1.77 m2 2 m

)

F p 1=70800 kg Fp2 = p2 A2=

V 1=1.02 m/seg V2=2.29 m/seg 2 V1 =0.053m 2g V 22 =0.267 m 2g p 4 ×10 4 = =40 m γ 100 0 Bernoulli entre 1 y 2

0+ 0.053+ 40=0+

p2 +0.267 γ

p2=39786 kg /m2 Fp2 = 39786 x 0.78 = 31033.08 kg Fp1 =70800 kg Ecuación de cantidad de movimiento

γ F p 1−F p 2−F= Q ¿ g

A1=

π × ( D 1 )2=¿1.77 m2 4

A2=0.78 m2

Donde ρ=

γ g

γ F p 1−F p 2−F= Q [ V 2−V 1 ] g 1000 70800−31033−F= (1.8)(2.29−1.02) 9.8 F=39533 kg Problema n° 2.- Una tubería horizontal de 6 m de diámetro tiene un codo reductor que conduce al agua a una tubería de 4 m de diámetro, unida a 45° de la anterior. La presión a la entrada del codo es de 10 kg/cm2 y la velocidad 15 m/seg. Determinar las componentes de la fuerza que han de soportar los anclajes del codo y el peso de líquido dentro del mismo. 4m

Plano horizontal

7m 45° 6m

V= 15m/seg

Solución 1° Definir el V.C.

Plano horizontal 7m

=?

2°Cálculo previos - Cálculo de áreas A1=

π 2 π ( 6 ) =28.27 m 2; A2= ( 4 )2=12.57 m 2 4 4

- Cálculo del gasto

Q= A 1 ×V 1=28.27 ×15=424.05 m 3 /seg - Cálculo de la velocidad V 2 aplicando la ecuación de continuidad

Q 424.05 = =33.74 m/ seg A2 12.57 - Cálculo de la presión p2 V 2=

Planteando Bernoulli entre 1 y 2, y teniendo en cuenta que z 1=z 2

V 21 p 1 V 22 p2 p2 V 21 V 22 p 1 + = + → = − + 2g γ 2g γ γ 2g 2g γ p 2 ( 15 )2 ( 33.74 )2 10 ×10 4 = − + γ 19.6 19.6 1000 p2 2 =53.389 m → p2=53389 kg /m γ 3° Cálculo de fuerzas de presión

F p 1=p 1 A1 =( 10 ×104 ) × 28.27=2 ´ 827 , 000 kg=2827 tn F p 2=p 2 A 2=53389× 12.57=671099.73kg=671.09 tn 4° Ecuación de cantidad de movimiento En la dirección x

γ F p 1−F p 2 cos 45 °−F x = ×Q ׿ g 3 γ 1000 kg /m 2 4 ρ= = ρ=1000 Kgm /m3 2 ¿ 102.04 kg seg /m g 9.8 m/ seg 1 2827−671.09 ×0.707−F x = × 424.05 ×(33.74 ×0.707−15) 9.8 2827−474.46−F x =43.27× 8.854 F x =1969.43 tn En la dirección y γ −F p 2 sen 45 ° + F y = ×Q ׿ g 1 −671.09 ×0.707+ F y = × 424.05× 23.854 9.8 F y =1506.63 tn F=2479.63 tn

γ =1 tn/m3

Problema n° 3.-Se pide calcular el empuje dinámico resultante sobre la bifurcación mostrada en la figura, donde: D1 = 0.46 m Q1= 0.567 m3/seg D2 = 0.15 m D3 = 0.30 m Q3= 0.341 m3/seg Los ramales 2 y 3 descargan a las condiciones atmosféricas.

60°

45°

/seg

60°

45°

/seg

Solución Cálculo de áreas

π π π A1= ( 0.46 )2=0.166 m 2 ; A2= ( 0.15 )2 =0.0177 m 2 ; A3 = ( 0.30 )2=0.0707 m 2 4 4 4 Cálculo de Q 2

Q2=Q1−Q3=0.567−0.341=0.226 m3 / seg Q 2=0.226 m3 / seg Cálculo de velocidades

Q 1 0.567 Q 2 0.226 = =3.416 m/seg ;V 2= = =12.768 m/seg ; A1 0.166 A2 0.0177 Q 0.341 V 3= 3 = =4.823 m/ seg A3 0.0707 V 1=

Ecuación de cantidad de movimiento En la dirección x

γ + ( −Q 2 V 2 cos 60 ) + ( + Q 3 V 3 cos 45 ° ) ] g[ 1000 F x= [−( 0.226 ×12.768 × 0.5 ) +( 0.341× 4.823 ×0.707)] 9.8 F x =102.04 ×(−1.443+1.163) F x =−28.571 kg En la dirección y γ −F y + F p 1= [−( + Q 1 V 1 ) + ( +Q 2 V 2 sen 60 ) + ( + Q 3 V 3 sen 45 ° ) ] g −F y =102.04 (−0.567 × 3.416+0.226 ×12.768 ×0.866+ 0.341× 4.823 ×0.707 )−F p1 −F y =102.04 (−1.937+2.499+1.162 ) −1162 F y =986.08 kg F x=

Problema n° 4.- La superficie fija (mostrada en la figura) divide el chorro de agua, de tal manera que 0.0285 m3/seg fluye en ambas direcciones. Para una velocidad inicial del chorro, de 14 m/seg, encontrar las componentes F x y F y de la fuerza requerida para conservar la superficie en equilibrio; desprecie para ello las resistencias de fricción.

90° 45°

V = 14 m/seg

Solución

60°

90° 45°

= 14 m/seg

60°

=?

Q1=2 ×0.0285=0.057 m3 /seg V 1=V 2 =V 3=14 m/ seg (chorro libre) Ecuación de cantidad de movimiento En la dirección x

γ −F x = × [−( +Q 1 V 1 cos 45° ) + ( +Q 3 V 3 cos 60 ° ) ] g −F x =102.04 × [ −0.057 ×14 × 0.707+0.0285 ×14 × 0.5 ] F x =37.19 Kg En la dirección y

γ F y = × [− ( +Q 1 V 1 sen 45° )+ (−Q 3 V 3 sen 60 ° )+(+Q 2 V 2) ] g F y =102.04 ×14 × [ −0.057 ×0.707−0.0285 ×0.866+ 0.0285 ] F y =−52.0 Kg

Problema n° 5.-Una boquilla se conecta a un tubo vertical y descarga hacia la atmósfera como se muestra en la figura. Cuando la descarga es de 0.1 m 3/seg la presión manométrica en el platillo es de 40 Kpa. Determinar la componente vertical de la fuerza de sujeción necesaria para mantener en su sitio la boquilla. La boquilla pesa 200 N y el volumen del agua en la boquilla es de 0.012 m 3. ¿La fuerza de sujeción es hacia arriba o hacia abajo?

30°

Chorro libre Área =0.01 m2

Tobera

g

P = 40 KPa

Área = 0.02 m2

0.10 m3/seg

Solución

=10m/seg Plano vertical

30°

W = 317 N Área = 0.02 m2

N

−F y −W total + F p 1=ρQ ¿ −F y −317+800=1000 ×0.1 ×(10× 0.5−5) Problema n° 6.- Un chorro de 10 cm de diámetro y una velocidad de 30 m/seg, incide sobre un álabe móvil, que lleva una velocidad de 20 m/seg en la misma dirección del chorro. La dirección de salida del álabe forma un ángulo de 150° con la entrada. Suponiendo que no existe rozamiento, calcular las componentes en las direcciones X e Y de la fuerza que ejerce el agua sobre el álabe.

10 m/seg

2

20 m/seg

30 m/seg

1

30°

10 m/seg

Fy 2 Fx

30 -20 = 10 m/seg

1

Solución La velocidad de llegada V 1=V −U=30−20=10 m/ seg = V 2

π ×0.12 )×10 m/ seg 4 Q=0.0785 m3 / seg

Luego el caudal de llegada es: Q=(

Aplicando la ecuación de cantidad de movimiento entre 1 y 2 En la dirección x

γ −F x = × Q× ¿ g −1000 −F x = × 0.0785× ¿ 9.8 F x =149.47 kg En la dirección y

γ F y = ×Q ׿ g 1000 F y= ×0.0785 ×(10 sen 30 ° ) 9.8 F y =40.05 kg

Problema n° 7.- Un chorro vertical de aire de sección transversal circular choca contra un desviador cónico como se indica en la figura. Para mantener en su sitio el desviador se requiere

una fuerza de sujeción vertical de 0.1 N. Determinar la masa (kgm) del desviador. La magnitud de la velocidad del aire permanece constante.

60°

0.1m

Solución

60°

W 0.1m

Plano vertical

Aplicando la ecuación de cantidad de movimiento En la dirección y

−F A−W =ρQ [−( +V 1 ) + ( +V 2 cos 30 ° ¿ ¿ ) ] V 1=V 2 =V π A1= × ( 0.1 )2=0.00785 m 2 4 Q=0.00785× 30=0.236 m 3 /seg −F A−W =ρ Q ¿ −F A−W =ρ Q V ¿ −0.1 N−W =1.23

kgm 3

m

3

❑

× 0.236 m /seg × ( 30 m/ seg ) (−0.1339 )

−0.1 N−W =−1.164 N W =1.064 N Dividiendo entre g

∴ m=0.108 kg m

Problema n° 8.- Un codo convergente (ver figura) hace girar el flujo de agua un ángulo de 135° en un plano vertical. El diámetro de la sección transversal del flujo es de 400 mm en la entrada del codo, sección (1), y de 200 mm en la salida del codo, sección (2). El volumen que pasa por el codo es de 0.2 m 3 entre las secciones (1) y (2). El caudal de agua es 0.4 m 3/seg y las presiones en la entrada y salida del codo son de 150 KPa y 90 KPa, respectivamente. La masa del codo es de 12 kg m. Calcular las fuerzas de sujeción horizontal (dirección x) y vertical (dirección z) necesarias para mantener en su sitio el codo.

Sección (1) 135°

Sección (2)

Sección (1) 135°

Fz 2077.6 N

Sección (2)

Fx

En la dirección x

F p 1+ F p 2 cos 45 °−F x = ρQ ∑ [−(+V 1)+ (−V 2 cos 45 ° ) ] En la dirección Z

F p 2 sen 45 °−W + F z=ρQ ∑ [ + (−V 2 sen 45 ° ) ] W =12× 9.8+0.2 ×980 0=207 7 . 6 N A1=0.1257 m2 →V 1 =3.182m/ seg A2=0.0314m 2

→ V 2=12.739 m/seg

F p 1=150000× 0.1257=18855 N F p 2=90000 ×0.0314=2826 N

∑ Fx 18855+2826 × cos 45 °−F x =1000 × 0.4 × (−3.182−12.739cos 45 ° ) 20853.283−F x =−4875.93 F x =−25729.213 N

∑ Fy 2826 × sen 45 °−2078.8+ F z=1000 × 0.4 × (−12.739 sen 45 ° ) −80.516+ F z=−3603.13 F z =−3522.614 N