Problemas Bombas Resueltos
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Descripción: Ejercicios interesantes de bombas...
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BOMBAS HIDRÁULICAS ROTODINÁMICAS. Teoría y Aplicaciones.
122
____________________________________________________________________ _______________________________________ ___________________________________________________________ ______________________________
10. PROBLEMAS RESUELTOS
Con el propósito de lograr una mejor comprensión de los conceptos tratados en los capítulos anteriores, y de promover el hábil manejo de toda una serie de formulaciones deducidas a lo largo de este libro, se han seleccionado y resuelto los siguientes problemas ilustrativos.
Problema No. 1
Una bomba centrífuga para agua, que gira a 1000 rpm, tiene las siguientes especificaciones: D1 = 180 mm;
D2 D1
= 2; b1 = 30 mm; b2 = 20 mm; 1 = 20°; 2 = 30°. La entrada en los
álabes es radial; h = 81%, m = 95%; motor eléctrico = 0.85. Las bridas de entrada y de salida se encuentran a la misma cota. Diámetro de la tubería de entrada y de la tubería de salida: 220 mm y 200 mm, respectivamente. El desnivel entre el depósito de aspiración, abierto a la atmósfera, y la brida de aspiración, es de 1.2 m. Las pérdidas en la tubería de succión ascienden a 4.0 m. Calcular:
Los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del rodete.
El caudal de la bomba (supóngase v = 1.0).
La altura de Euler.
Las alturas de presión a la entrada y a la salida de la bomba.
La energía eléctrica consumida en seis horas de funcionamiento de la bomba.
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10. PROBLEMAS RESUELTOS123
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Solución. 1. Cálculo de los Triángulos de Velocidades. 1 20º 1 90º (entrada radial)
Luego, c1 m
c1 sen α1 c1
c1 u
cos α1 0 c1 cos
y
Por tanto, los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del álabe se representan de la siguiente manera:
n 1000
rev rev min min
ω 2πn
D2
1000 rev 60
s
2 π 1000 rad rad 60
s
104.720
rad s
2 D1 2 (180 mm) 360 mm
u1
ω r 1
u2
ω r 2
ω D1
2 ω D2
2
104.720
104.720
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0.18 m m 9.425 s 2 s
rad rad
0.36 m m 18.850 s 2 s
rad rad
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10. PROBLEMAS RESUELTOS123
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Solución. 1. Cálculo de los Triángulos de Velocidades. 1 20º 1 90º (entrada radial)
Luego, c1 m
c1 sen α1 c1
c1 u
cos α1 0 c1 cos
y
Por tanto, los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del álabe se representan de la siguiente manera:
n 1000
rev rev min min
ω 2πn
D2
1000 rev 60
s
2 π 1000 rad rad 60
s
104.720
rad s
2 D1 2 (180 mm) 360 mm
u1
ω r 1
u2
ω r 2
ω D1
2 ω D2
2
104.720
104.720
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0.18 m m 9.425 s 2 s
rad rad
0.36 m m 18.850 s 2 s
rad rad
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En el triángulo a la entrada: c1 m
tan β1
u1
c1 m c1 u 1 tan β1 9.425
w1
c
2 1m
m m tan 20º 3.430 s s
u 3.430 9.425 2
2 1
2
m2
s
2
10.030
m s
Por continuidad: Q A1 v1
A2 v2
Q π D1 b1 c1 m
c2m c2m
D1 b1 D 2 b 2
π D 2 b 2 c 2 m c1 m
180 mm 30 mm m m 3.430 2.573 s s 360 mm 20 mm
En el triángulo a la salida: c2 m
w 2 sen β 2
w2
cos β 2
2.573
c2 m sen β 2 u2
m
s sen 30º
5.146
m s
c2 u w2
c 2 u u 2 w 2 cos cos β 2 c2 u
18.85 0
m m m cos 30º 14.393 5.146 cos s s s
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10. PROBLEMAS RESUELTOS125
__________________________________________________________________________________________________
14.393 2.573 2
2
m2
s
c2
c c
α2
c 2.573 tan 1 2 m tan 1 10.136º 14.393 c 2 u
2 2u
2 2m
2
14.621
m s
2. Cálculo del Caudal de la Bomba, Q Q π D1 b1 c1 m m m3 l Q π 0.18 m 0.03 m 3.430 0.05819 58.19 s s s
3. Cálculo de la Altura de Euler, Ht Ht
0
u 2 c2 u
u 1 c 1 u g
u 2 c2 u g
dado que: c1 u 0
;
18.850 m 14.393 m s s 27.656 m Ht 9.81
m
s2
4. Cálculo de la Altura de Presión a la entrada de la Bomba,
p e
Aplicando Bernoulli entre el tanque de aspiración y la entrada de la bomba, se tiene: 0
0
zA
p A γ
dado que:
v A
2
2g v 2A 2g
h Ae z e
p e γ
v e2 2g
0 y suponiendo presiones relativas,
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(1) p A γ
0
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p e
z e z A
γ
p e
H s
γ
v e2 2g
8 Q2 π
2
g D e4
h A e
(2)
h A e
(3)
Suponieenedo η v 1.0 , y q e q i 0 8 0.05819
2
p e γ
1.2 m
m6 s2
m 4 π 2 9.81 2 0.22 m 4 s
4.0 m 5.319 m
5. Cálculo de la Altura de Presión a la salida de la bomba,
p s
Planteando la Ecuación de Bernoulli entre la entrada (e) y la salida (s) de la bomba, se tiene: z e
p e γ
v e2 2g
H u z s
p s γ
v s2 2g
(4)
Luego, p s γ
p s γ
Hu
p e
Hu
p e
γ
γ
v s2 2g v e2
1 1 2 4 4 π g D e D s
8 Q2
(5)
(6)
Por otra parte, ηh
Hu Ht
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10. PROBLEMAS RESUELTOS127
__________________________________________________________________________________________________
H u η h H t 0.81 (27.684 m) 22.424 m Sustituyendo éste y demás valores en (6), resulta: 2
p s
8 0.05819
22.424 m 5.319 m
γ
π
p s
2
m6 s2
m 1 1 9.81 2 s 0.224 m 4 0.204 m 4
17.105 m
γ
6. Cálculo de la energía eléctrica consumida, Eeléct consumida Eeléct. consumida = Pred. tfuncionamiento Pa
Pred ηmotor eléctrico
(7) (8)
de (8), Pred
Pa η motor
(9)
Por otra parte,
ηh ηm η v
η total
Pu Pa
de donde Pa
Pu ηh η m η v
(10)
Sustituyendo (10) en (9) y el resultado en (7), se tiene: Pred
Pu η h η m η v η motor
E eléct. consu.
Pu t func. η h η m η v η motor
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Finalmente, reemplazando la Pu, queda E eléct. consu.
γ Q H u t func. η h η m η v η motor
(11)
m 3 1000 kgf 0.05819 22.424 m s m 3 6 horas E eléct. consu. 0.81 0.95 1.0 0.85
E eléct. consu. 11969.752
kgf m
E eléct. consu. 117423.267
s
N m h 11969.752 9.81 h s
J h 117423.267 W h s
E eléct. consu. 117.423 kW h
Problema No. 2
Una bomba centrífuga tiene las siguientes características: D1 = 100 mm;
D2 D1
= 2; b1 = 20
mm; b2 = 10 mm; 1 = 15°; 2 = 30°; n = 1500 rpm. Las tuberías de succión e impulsión tienen el mismo diámetro. El manómetro de aspiración registra una altura de presión relativa de -4 m c.a. El rendimiento total de la bomba es 65 %; m = 96%; v = 0.9 y la entrada en los álabes es radial. Calcular:
Los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del rodete.
El caudal (supóngase rendimiento volumétrico igual a 1).
La potencia en el eje de la bomba. Pa.
La lectura del manómetro de impulsión.
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10. PROBLEMAS RESUELTOS129
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1. Cálculo de los Triángulos de Velocidades. u1
ω r 1 2 π n
u1
π 1500
u2
π n D2
60
D1
0.1 m 60 s
2
π n D1
60
7.854
π 1500
;
n (rpm)
m s
0.2 m 60 s
15.708
m s
α1 90º (entrada radial)
Del triángulo a la entrada: c1
u 1 tan β1 7.854
w1
c
2 1m
m s
tan 15º 2.104
u 2.104 7.854 2
2 1
2
m s
m2
s
2
c1 m 8.131
m s
Por continuidad, Q π D1 b1 c1 m
c2 m
c2m
D1 b1 D 2 b 2
π D 2 b 2 c 2 m c1 m
m m 100 20 2.104 2.104 s s 200 10
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__________________________________________________________________________________________________
Del triángulo a la salida, se tiene:
c2u
u2
c2m
15.708
tan β 2
m s
2.104
m
s tan 30º
12.064
12.064 2.104 2
2
m2
s
c2
c c
α2
c 2.104 tan 1 2 m tan 1 9.893º c 12.064 2 u
w2
2 2u
2 2m
2.104
c2 m
sen β 2
2
m s
12.246
m s
m
s sen 30º
4.208
m s
2. Cálculo del Caudal, Q Q π D1 b1 c1 m m m3 l Q π 0.1 m 0.02 m 2.104 0.01322 13.22 s s s
3. Cálculo de la Potencia en el Eje, Pa Pa
Pu η total
γ Q Hu η h η v ηm
γ Q η h H t η h η v η m
γQ ηv ηm
u c 2 2 u g
(1)
kgf m 3 1000 3 0.01322 s m m m 15.708 Pa 12.604 m s s 0.9 0.96 9.81 2 s
Pa
308.800
kgf m s
3029.3328 W 3.029 kW
4. Cálculo de la Lectura Manométrica a la salida, Ps Aplicando Bernoulli entre las bridas de succión y de impulsión, queda: FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
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10. PROBLEMAS RESUELTOS131
__________________________________________________________________________________________________
zs
p s γ
v s2 2g
p i
H u z1
γ
v i2 2g
de donde, p i γ
v i2 p s z s z i Hu γ 2g v s2
(2)
Suponiendo que las bridas están al mismo nivel, es decir, z1 = zs y considerando el hecho de que la diferencia de velocidades es muy pequeña, resulta: p i γ
Hu
p s γ
ηh H t
p s γ
(3)
Además, η total η h η m η v
y
ηh
Ht
η total ηm ηv
u 2 c2 u
(4)
g
(5)
Llevando (4) y (5) a (3), p i γ
p i γ
p i γ
η total ηm ηv
u 2 c2 u g
p s γ
(6)
m m 0.65 15.708 12.064
s
m 0.96 0.9 9.81 2 s
s
4m
10.532 m c.a.
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__________________________________________________________________________________________________ Problema No. 3
Una bomba centrífuga, en la cual se despreciarán las pérdidas, produce un caudal de agua de 300 m3/h y tiene las siguientes características: D1 = 150 mm; b 2 b1
D2 D1
= 3; b1 = 40 mm;
1
; ß1 = 60°; ß2 = 40°; entrada radial. 2
Calcular:
El número de revoluciones por minuto del rodete.
Altura efectiva de la bomba.
El par suministrado por la bomba.
La potencia de la bomba.
El incremento de presión que se produce en el rodete.
Altura dinámica generada por el rodete.
Solución. No hay pérdidas η h η m η v η total 1 Q 300
m3 h
0.08333
m3 s
83.33
l s
1. Cálculo del Número de Revoluciones, n. Q π D1 b1 c1 m
c1 m
Q π D1 b1
π D 2 b 2 c 2 m 0.08333
m3
m s 4.421 s π 0.15 m 0.04 m
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10. PROBLEMAS RESUELTOS133
__________________________________________________________________________________________________
c2m
0.08333
Q π D 2 b 2
m3
m s 2.947 s π 0.45 m 0.02 m
Del triángulo a la entrada, se tiene: c1 m
4.421
s tan 60º
u1
w1
u c
tan β1
2 1
m
2.552
m s
2.552 4.421 2
2 1m
Por otro lado, u 1
π D1 n
60
2
m2
s
2
5.105
m s
(con n en rpm)
de donde,
n
60 u 1 π D1
60 s 2.552
m
s
π 0.15 m
324.93 rpm
2. Cálculo de la Altura Efectiva, Hu. u2
π D2 n
60
π 0.45 m 324.93
60 s
7.656
m s
Del triángulo a la salida, FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
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__________________________________________________________________________________________________
c2 u
c2u
c2
α
2
c2m
u2
tan β 2
7.656
c
2 2m
2 2u
m
s tan 40º
4.144
m s
2.947 4.144 2
2
m2
s
2
5.085
m s
2.947 m 1 c 2 m 1 s 35.418º tan tan m c 2 u 4.144 s
c
w2
4.585
ηh
s
c
w2
Ht
m
2.947
2 2m
u 2 c 2 u 2.947 7.656 4.144 2
m2
s
2
s 0
u 1 c 1 u g
u 2 c2 u g
7.656 m 4.144 m s s 3.234 m 9.81
m
s2
1
Ht
Hu
2
m
u 2 c2 u
Hu
2
H t 3.234 m
3. Cálculo de la Potencia, P η total
Pu Pa
1
Pu Pa γ Q H u γ Q H t
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10. PROBLEMAS RESUELTOS135
__________________________________________________________________________________________________
kgf m 3 kgf m 3.234 m 269.392 Pu Pa 1000 3 0.0833 s s m
Pa 2642.74 W 2.64 kW 3.6 c.v. 3.54 h.p.
Pu
4. Cálculo del Par de la bomba, M 2 π n M.ω M 60
Pa
M
60 Pa 2 πn
60 s 269.392
kgf m
7.917 kgf m
s 2 π 324.93
5. Cálculo del Incremento de Presión, H p
u 12 w 12 w 22 H p 2g 2g u 22
7.656
2
H p
H p
2
2.552
m 2 9.81 2 s
m2
s
2
5.105
2
2
4.585
2 9.81
m2
s
2
m
s 2
2.912 m
6. Cálculo de la Altura Dinámica, Hd m2
c12 5.085 4.421 s 2 Hd m 2g 2 9.81 2 s 2
2
c 22
Hd
0.322 m
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__________________________________________________________________________________________________ Problema No. 4
Una bomba centrífuga para agua suministra un caudal de 50 m3/h. La presión a la salida de la bomba es de 2.6 bar. El vacuómetro de aspiración indica una depresión de 250 Torr. La diferencia de cotas entre los ejes de las secciones, donde se conectan las tomas manométricas, es de 0.6 m. Los diámetros de las tuberías de aspiración e impulsión son iguales. El rendimiento total de la bomba es de 62%. Calcular la potencia de accionamiento de esta bomba. Solución: Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre la entrada (e) y la salida (s), de la bomba, se tiene: ze
p e γ
v e2 2g
H u zs
p s γ
v s2 2g
(1)
de donde Hu
z s z e
p s p e γ
(2)
p s
kgf kgf kgf 2.6 bar 2.6 1.02 2 2.6 1.02 10 4 2 26520 2 m m cm
p e
kgf kgf 250 Torr 250 mm Hg 0.25 m 13600 3 3400 2 m m
vs
ve
(por ser tuberías de igual diámetro).
Sustituyendo valores numéricos en (2), resulta:
Hu
0.6 m
26520 3400 1000
kgf
kgf m2
30.520 m
m3
De otra parte:
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10. PROBLEMAS RESUELTOS137
__________________________________________________________________________________________________
η total
Pu Pa
Pa Pa
Pu η total
683.69
γ Q Hu η total
kgf m s
50 m 3 1000 kgf 30.520 m 3 3600 s m 0.62
N.m s
683.69 9.81
6700 W 6.7 kW
Problema No. 5
Una bomba centrífuga, cuya entrada en los álabes del rodete es radial, proporciona una altura útil de 22 m, a una velocidad de 1200 rpm. D1 = 180 mm; D2 = 300 mm. cm es constante en todo el rodete; c 2 u 25
m s
. Las pérdidas hidráulicas en la bomba son iguales
a 0.027 c 22 m (c2 en m/s). Calcular.
El rendimiento hidráulico de la bomba, h.
Los ángulos de los álabes a la entrada y a la salida, ß1 y ß2.
Solución: Entrada radial:
α1 90º ; c1 u
0 ; c1 m c1 c 2 m , c 2 u 25
m s
; H int 0.027 c 22 (en
metros); H u 22 m . 1. Cálculo de la Eficiencia Hidráulica, h u1
π D1 n
60
π 0.18 m 1200
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60 s
11.31
m s
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138
__________________________________________________________________________________________________
u2
ηh
Ht
ηh
π D2 n
60 Hu Ht
π 0.30 m 1200
60 s
18.85
m s
u 2 c2 u g
(1) m m 18.85 25 s s 48.038 m
22 m 48.038 m
9.81
m
s2
0.4580 45.80%
2. Cálculo de los Ángulos ß1 y ß2 Hu H int
H t H int
(2)
Ht Hu
(3)
H int
48.038 22 m 26.038 m
H int
0.027 c 22 26.038 m
luego,
c2
26.038 m 0.027 s
31.054
m s
De los siguientes triángulos de velocidades, se deduce:
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10. PROBLEMAS RESUELTOS139
__________________________________________________________________________________________________
β1
2 2 c1 m 1 c 2 m 1 c 2 c 2 u tan tan tan u u u1 1 1 1
31.0542 252 m 18.42 1 s tan 1 β1 tan 58.519º m 11.31 11.31 s m 18.47 1 c 2 m 1 ' s 71.5844º tan β 2 tan m u c 2 2 u 18.85 25 s β2
180º β 2 ' 180º 71.5844º 108.4156º
En consecuencia, el triángulo de velocidades a la salida del álabe queda de la siguiente manera:
Problema No. 6
Una bomba centrífuga proporciona una altura útil de 40 m, con rendimiento hidráulico de 80%. Las tuberías de aspiración e impulsión son de 150 mm de diámetro. D2 = 350 mm; b2 = 25 mm; ß2 = 25°; n = 1400 rpm. La pérdida de carga en las tuberías de aspiración e impulsión, incluyendo las pérdidas secundarias, es de 10 m. FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
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140
__________________________________________________________________________________________________
Calcular:
El caudal de la bomba.
La diferencia de cotas entre los niveles de agua en los depósitos de succión e impulsión, si ambos están abiertos a la atmósfera.
Solución:
1. Cálculo del Desnivel entre los Tanques, H. Planteando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y C, sobre la superficie libre del agua, en sendos tanques, se tiene: 0
0
zA
p A γ
v A
0
0
2
2g
h asp h imp H u z C
p C γ
v C
2
2g
z C z A H u h asp h imp Luego, H Hu
h totales 40 m 10 m 30 m
2. Cálculo del Caudal Bombeado, Q. u2
π D2 n
60
π 0.35 m 1400
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60 s
25.656
m s
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10. PROBLEMAS RESUELTOS141
__________________________________________________________________________________________________
Del triángulo de velocidades a la salida, se tiene:
tan β 2
c2 m u2
c2 u
(1)
c 2 m u 2 c 2 u tan β 2
(2)
Además, ηh
Hu Ht
g Hu u 2 c2 u
u 1 c1 u
(3)
Suponiendo entrada radial α1 90º , c1u = 0, entonces ηh
g Hu u 2 c2 u
(4)
de donde,
c2u
9.81 m 40 m g Hu m s 2 19.1 m ηh u 2 s 0.8 25.656 s
Reemplazando éste y demás valores numéricos en (2), resulta: c2 m
m
m
s
s
25.656 19.1 tan 25º 3.057
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BOMBAS HIDRÁULICAS ROTODINÁMICAS. Teoría y Aplicaciones.
142
__________________________________________________________________________________________________
Finalmente, Q π D 2 b 2 c 2 m m m3 l Q π 0.35 m 0.025 m 3.057 0.084 84 s s s
Problema No. 7
Entre las bridas de entrada y de salida de una bomba, se coloca un manómetro en U, de mercurio. La bomba da un caudal de agua de 300 m3/h. Las tuberías de aspiración y de impulsión son de 250 mm y 200 mm de diámetro, respectivamente. El eje de la bomba es horizontal y entre los ejes de las tuberías, en las tomas manométricas de aspiración e impulsión, hay un desnivel de 35 cm. El manómetro indica un incremento de altura de mercurio de 20 cm (más elevada en la rama unida al tubo de aspiración). Calcular la potencia útil que da la bomba. Solución:
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10. PROBLEMAS RESUELTOS143
__________________________________________________________________________________________________
Aplicando Bernoulli entre las bridas de aspiración (a) y de impulsión (i), resulta: za
p a γ
v a2 2g
Hu zi
p i γ
v i2 2g
(1)
de donde,
p i p a v i2 v a2 H u z i z a γ γ 2 g
(2)
p i p a 8 Q 2 1 1 2 4 4 H u z i z a γ γ π g D i D a
(3)
Además, aplicando manometría entre (a) e (i), resulta: p a
γ z i z a l Δh γ m Δh γ l p i
p a
z i z a l Δh
γ
γm γ
Δh l
(4)
p i γ
Agrupando términos correspondientes y reduciendo términos comunes, se tiene:
p i p a γ z i z a Δh m 1 γ γ γ
(5)
Llevando el resultado de (5) en (3), queda:
γ m 8 Q 2 1 1 H u Δh 1 2 4 4 γ π g D i D a
(6)
Sustituyendo valores numéricos en (6), se tiene: 2
300 m 6 8 13600 3600 s 2 1 H u 0.2 m 1000 π 2 9.81 m s 2 Hu
1 1 1 4 0.25 4 m 4 0.2
2.520 m 0.212 m 2.732 m
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BOMBAS HIDRÁULICAS ROTODINÁMICAS. Teoría y Aplicaciones.
144
__________________________________________________________________________________________________
Finalmente, Pu
γ Q Hu
300 m 3 Pu 1000 3 2.732 m m 3600 s kgf
kgf m
Pu
227.67
Pu
227.67 9.8 W 2231.17 W
Pu
2.23 kW
s
Problema No. 8
Una bomba centrífuga para alimentación de una caldera de vapor, que desarrolla una altura efectiva de 80 m, bombea agua a 90°C, desde un depósito de aspiración, abierto a la atmósfera, hasta la caldera. La pérdida de carga en la tubería de succión es de 0.5 m. La presión barométrica es de 725 Torr. El caudal de la bomba es 0.25 m3/s: El diámetro de la tubería de aspiración es de 400 mm y el coeficiente de cavitación de la bomba, = 0.1.
Esquematice la instalación, indicando la cota del eje de la bomba con respecto al nivel superficial en el pozo de succión.
¿A qué altura geodésica máxima se podrá colocar la bomba?.
Si la presión de la caldera es 8,2 bar. y el eje de la bomba se encuentra 6 m por debajo del nivel del agua en la caldera, ¿cuáles son las pérdidas totales en la impulsión de la bomba?.
Solución: 1. Esquema de la Instalación de Bombeo.
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10. PROBLEMAS RESUELTOS145
__________________________________________________________________________________________________
A la temperatura T = 90°C, de tablas, se obtiene: γ agua
965
kgf m3
p vapor 70.11 kPa 7154
kgf m2
(absoluta).
p atmosferica
kgf 725 Torr 725 mm Hg 0.725 m 13600 3 m
p atmosferica
9860
kgf m2
2. Cálculo de la Altura de Succión Máxima, Hs máx. H s max
H s max
p A p V γ
h Ae Δh
p atmosferica p V γ
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h Ae σ H u
(1)
(2)
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146
__________________________________________________________________________________________________
H s max
9860 7154 965
H s max
kgf m2
kgf
0.5 m 0.1 80 m
m3
5.7 m
La bomba operará en carga, es decir, con su eje situado a 5.7 m, máximo, por debajo de la superficie libre de agua en el tanque de succión. 3. Cálculo de las Pérdidas Totales en la Tubería de Impulsión, h T imp. . Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre A y C, puntos situados sobre la superficie libre de agua, en sendos depósitos, se tiene:
0
zA
p A γ
v A
0 2
2g
H T asp. H u H T imp z C
p C γ
v C
2
2g
(3)
en donde se han considerado presiones absolutas. Y despreciando las diferencias de velocidades. Luego, H T imp.
H u h T asp
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p A p C γ
z C z A
(4)
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10. PROBLEMAS RESUELTOS147
__________________________________________________________________________________________________
1.02 p A
8.2 bar
kgf
cm bar
2
10 4
kgf
m2 kgf
83640
kgf m2
cm 2
Reemplazando valores numéricos en (4), resulta:
H T imp.
80 m 0.5 m
9860 83640 965
kgf m2
kgf
6 5.7 m 2.744 m
m3
Problema No. 9
Una bomba centrífuga opera a 150
rad s
y necesita 294 h.p. Determine la descarga a través
de la bomba, si la velocidad absoluta del agua a la entrada no tiene componente tangencial. D2 = 16", b2 = 1" y ß2 = 45°. Además, η total 1 ¿Por qué existen dos posibles soluciones y por qué la bomba no operaría eficientemente en una de ellas?. Solución: Sean los siguientes, los triángulos de velocidades correspondientes a la entrada y a la salida de los álabes del rodete:
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148
__________________________________________________________________________________________________
u2
ω D2
ω r 2
rad 16 0.0254 m m 150 30.48 s 2 s
2
Q π D 2 b 2 c 2 m
c2 m
tan β 2
(1) (2)
Q π D 2 b 2
c2 m u2
u2
c2 u
c2 u
c2 u c2 m tan β 2
c2 m tan 45º
c2 m
u 2 c2 m
(3)
Reemplazando (2) en (3), se tiene: c2 u
u2
Q π D 2 b 2
(4)
Por otro lado, Pu
γ Q Hu
(5)
Además,
η total
ηh ηV ηm 1
de donde, ηh
Hu Ht
1
Luego, Hu
Ht
u 2 c2 u g
(6)
Llevando (6) a (5),
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10. PROBLEMAS RESUELTOS149
__________________________________________________________________________________________________
Pu
γ Q u2 c2u
g g Pu
u2 γ
Q c2 u
(7)
Trayendo (4) a (7), se obtiene:
Q Q u 2 π u2 γ D b 2 2 g Pu
g Pu u2 γ
Q u2
Q2 π D 2 b 2
o mejor,
1 2 g Pu Q u 2 Q 0 γ u2 π D 2 b 2
(8)
que es una ecuación cuadrática para Q, con dos raíces o soluciones para el caudal, la cual se resolverá sustituyendo en ella los valores numéricos, así:
9.81 m 294 76 kgf m Q m s s 2 30.48 Q 0 π 16 0.0254 m 1 0.0254 m s 1000 kgf 30.48 m s m 3 2
30.8363 Q 2
30.48 Q 7.1841 0
(9)
ó Q2
0.98445 Q 0.232975 0
(10)
cuyas soluciones son: Q1
0.60043
m3 s
600.43
l s
y FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
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150
__________________________________________________________________________________________________
m3 Q 2 0.38801 s
388.01
l s
Existen dos valores posibles para Q, puesto que, dada la forma de la curva H vs. Q, se pueden obtener dos valores de H correspondientes a sendos valores de Q, para un único valor de P, que satisfacen la ecuación Pu
γ Q1 H u 1 γ Q 2 H u 2 constante
de donde se deduce que, para el mayor valor de Q, corresponde el menor valor de Hu, y viceversa. Ello se puede observar en el siguiente esquema:
Además, para la curva vs. Q, de la misma bomba, se puede observar que existe un valor de Q2 , cuya eficiencia es menor que la correspondiente a Q1. La conclusión es que, para el l
mayor de los dos caudales posibles (Q = 600.42 ) se obtiene mejor eficiencia. s
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10. PROBLEMAS RESUELTOS151
__________________________________________________________________________________________________ Problema No. 10
Una bomba centrífuga que aspira directamente de la atmósfera (patm = 740 mm Hg) da un l
caudal de 555 , a una altura efectiva de 13.5 m, cuando gira a 730 rpm. El NPSHneces es s
3.33 m; la temperatura del agua es 20°C y las pérdidas de carga en el tubo de aspiración ascienden a 0.54 m. Calcular:
La altura máxima de aspiración de esta bomba.
El número específico de revoluciones.
Solución: 1. Cálculo de la Altura Máxima de Succión, Hs máx. H s máx
p atmosférica p v γ
h asp NPSH necesario
A T = 20°C, pv = 2337 Pa = 238.47
kgf m2
(abs.) y
(1) γ 998
kgf m3
Reemplazando valores numéricos en (1), resulta:
0.74m 13600 H s máx
kgf
998
H s máx 2.
kgf
238.47 2 m 3 m 0.54m 3.33m kgf m3
5.975 m
Cálculo del Número Específico de Revoluciones, ns ns
3.65 n Q1/2 H 3/4 1/2
m 3 13.5 m3/4 281.85 n s 3.65 730 rpm 0.555 s FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
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__________________________________________________________________________________________________ Problema No. 11
Una bomba centrífuga cuyo coeficiente de cavitación = 0.11, desarrolla una altura útil de 90 m. La presión barométrica del lugar es 1.0 bar. La presión de saturación del vapor de líquido bombeado ( = 1.4), para la temperatura de funcionamiento, es 0.03 bar (abs.). Las pérdidas de carga en la tubería de aspiración ascienden a 1.5 m. Calcular la altura máxima permisible a la cual puede colocarse el eje de la bomba, con respecto al nivel del agua en el depósito de aspiración. Solución: H s máx
H s máx
H s máx
p atm p v γ
p atm p v γ
h asp Δh h asp σ H u
1.0 0.03 1.02 x 10 4 1400
H s máx
kgf
kgf m2
1.5 m 0.11 90 m
m3
4.33 m
La bomba operará en carga, es decir, su eje estará 4.33m, como máximo, por debajo de la superficie libre de agua en el tanque de succión.
Problema No. 12
Una bomba centrífuga de 0.5 m de diámetro de impulsor, eleva 20
l s
de agua a una altura
de 18 m, con una potencia absorbida de 4 kW, cuando opera a 1170 rpm, en su máximo rendimiento. Si las relaciones de alturas de elevación y de diámetros de rodetes, con una
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10. PROBLEMAS RESUELTOS153
__________________________________________________________________________________________________
bomba modelo, son 4/1 y 5/1, respectivamente, a iguales rendimientos, ¿cuál es el número específico de revoluciones del modelo?. Solución. Para que exista semejanza dinámica entre bombas rotodinámicas, debe cumplirse que: ns p = ns m
(1)
En general,
ns
n P1/2 H 5/4
(2)
Con n (rpm); P (c.v.) y H (m) Además, se conocen los siguientes datos: l
D p
0.5 m ; Q p 20 ; H p 18 m ; Pa p 4 kW 4000 W ; n p 1170 rpm
η p
ηm ;
s
H p Hm
4
D p
1
Dm
;
5 1
Existen dos maneras de resolver este problema, una más rápida que la otra, y se desarrollan a continuación:
Primera Solución: Hallando ns p, con los datos correspondientes al prototipo, mediante la ecuación (1) se obtiene indirectamente ns m. n s p
n s m n p P p1/2 H p5/4
1W
1 c.v. 1.359157322 10-3 c.v. 9.81 75 1.359157322 10-3 c.v
Pa p
4000 W
n s p
n s m 1170rpm 5.43662929 c.v.1/2 18m-5/4
n s p
n s m 73.58
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1W
5.43662929 c.v.
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154
__________________________________________________________________________________________________
Segunda Solución: Se obtendrá ns m reemplazando en (2) los parámetros correspondientes al modelo, así: De la relación de cabezas se obtiene nm:
n p H m n m H p
2
2
D p D m
(3)
D H m m n m D p H p n p
D H m n s p n p D H p m nm
5 1/4 1170 rpm 2925 rpm
(4) (5)
Ahora, de la relación de potencias, se calcula Pm:
n p Pm n m P p
3
D p D m
n Pm m n p
3
3
5
5
D m P p D p 5
2925 1 5.43662929 c.v. Pm 1170 5 Pm
2.718314644 102 c.v.
De la relación de alturas, se obtiene Hm: H p Hm
4
Hm
H p 4
18 m 4
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4.5 m
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10. PROBLEMAS RESUELTOS155
__________________________________________________________________________________________________
Finalmente, se obtiene ns m reemplazando los parámetros correspondientes al modelo, en la ecuación (2): nsm
n m Pm1/2 H m5/4
ns m
2925 rpm 2.71831464 10 -2 c.v. 4.5 m -5/4
n sm
73.58
con lo cual se comprueba que
n s p
ns m
Problema No. 13
Una bomba de proceso, de succión única e impulsor de 8” de diámetro, bombea 35 0 US
gpm a 200 pie de cabeza, rotando a 3500 rpm, en su punto de mejor eficiencia. La potencia necesaria es de 26 h.p. El trabajo cambia ligeramente y se sugiere cambiar el diámetro del rotor a 7". Determinar las nuevas cabezas, descarga y potencia necesaria, en el punto de mejor eficiencia. Solución: Se trata de un caso de similitud en bombas geométricamente semejantes, de diámetro de rotor diferentes y girando a igual número de revoluciones. Prototipo
Modelo
D1 = 8"
D2 = 7"
Q1 = 350 US gpm
n2 = n1 = 3500 rpm
H1 = 200 pie
Q2 = ?
P1 = 26 h.p.
H2 = ?
n1 = 3500 rpm
P2 = ?
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156
__________________________________________________________________________________________________
De la primera ley de semejanza, se conoce lo siguiente:
D 1 Q 2 D 2 Q1
3
3
3 D 2 7 Q1 350 US gpm 234.47 US gpm Q 2 8 D1
De la segunda ley, se tiene: D 1 H 2 D 2 H1
2
2
2 D 2 7 H1 200 pie 153.13 pie H 2 8 D1
Y de la tercera ley, se tiene:
D 1 P2 D 2 P1
5
5
5 D 2 7 P2 P1 26 h.p. 13.34 h.p. 8 D1
Problema No. 14
Debe bombearse agua a 55°C, desde un recipiente elevado, conectado a la atmósfera, en un lugar ubicado a 1048 m sobre el nivel del mar (patm = 9103.85 kgf/m2). Las pérdidas de carga en la tubería de succión se han estimado en 0.55 m. Si el eje de la bomba se encuentra 3.75 m por debajo de la superficie de agua en el tanque de alimentación, ¿cuál es el NPSH disponible? Solución:
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10. PROBLEMAS RESUELTOS157
__________________________________________________________________________________________________
Para
T 55º C, p vapor 1560
y
γ 986
NPSH disp
NPSH disp
kgf m2
(abs)
kgf m3
p A p v γ
H s h succión
9103.85 1560.66 986
kgf
(succión negativa, Hs < 0)
kgf m2
3.75m 0.55m
m3
NPSH disp 10.85 m
Problema No. 15
Una bomba situada a nivel del mar debe elevar agua a 15°C, desde un tanque subterráneo conectado a la atmósfera. La superficie de agua en el tanque de succión está localizada 2.15 m por debajo del eje de la bomba. Las pérdidas totales de carga en la tubería de succión son equivalentes a 0.55 m de columna de agua. ¿Cuál es el NPSH disponible?. Solución:
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158
__________________________________________________________________________________________________
Para
T 15º C, p vapor 183
γ 999.2
kgf m2
(abs) .
kgf m3
A nivel del mar, p atmosférica 10336 NPSH disp
NPSH disp
p A p v γ
m2
H s h succión
10336 183 999.2
kgf
kgf
kgf
m2
2.15 m 0.55 m
m3
NPSH disp 7.46 m
Problema No. 16
Se emplea una bomba para elevar agua desde un tanque que recibe una mezcla de agua y vapor de una caldera, a una temperatura de 115°C. El nivel de líquido en dicho tanque está 7 m por encima del eje de la bomba, y las pérdidas de carga en la tubería de succión son FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
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10. PROBLEMAS RESUELTOS159
__________________________________________________________________________________________________
equivalentes a 0.46 m de agua caliente. ¿Cuál es el NPSHdisponible de la instalación de bombeo, si ésta se encuentra a 578 m sobre el nivel del mar ( p atmosféric 9659 de vapor, a T = 115°C, p vapor 17675
kgf m2
kgf m2
). Presión
(abs.)
Solución:
p A p v
NPSH disp
NPSH disp
p p v v H s h succión
NPSH disp
H s h succión
NPSH disp
7.0 m 0.46 m 6.54 m
γ
H s h succión
( succión negativa, Hs < 0)
γ
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160
__________________________________________________________________________________________________ Problema No. 17
Se necesita una bomba para elevar 10000 gpm de agua a una cabeza de 25 pie. Una bomba similar, con un impulsor de 36" de diámetro, descarga 2500 gpm a una cabeza de 120 pie, cuando gira a 800 rpm. Determinar el diámetro necesario del impulsor y la velocidad de rotación para la bomba, a la misma eficiencia. Solución. η 1 total
η 2 total BOMBA No. 1
BOMBA No. 2
Prototipo
Modelo
D1 = ?
D2 = 36"
n1 = ?
n2 = 800 rpm
Q1 = 10000 gpm
Q2 = 2500 gpm
H1 = 25 pie
H2 = 120 pie
De las leyes de similitud de bombas, se tiene: 3
n D 1 1 Q 2 n 2 D 2 Q1
(1)
3
Q D 1 2 n 2 Q 2 D1 n1
(2)
Además,
n 1 H 2 n 2 H1
2
2
D 1 D 2
(3)
Llevando (2) a (3), resulta: FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
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10. PROBLEMAS RESUELTOS161
__________________________________________________________________________________________________
Q 1 H 2 Q 2
2
D 2 D1
6
Q 1 H 2 Q 2
2
D 2 D1
4
H1
H1
H Q 4 1 2 D1 H 2 Q1
D2
D 1 D 2
2
2
Luego, 2
H Q D1 4 2 1 D 2 H1 Q 2 Entonces, 2
120 10000 36 pulg. D1 4 25 2500 D1
106.57 pulg. 8.88 pie 9.0 pie
(4)
Finalmente, reemplazando (4) en (2), resulta: 3
Q D n 1 1 2 n 2 Q 2 D1 Luego, n1
10000 36 800 rpm 2500 106.57
n 1 123.35 rpm
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162
__________________________________________________________________________________________________ Problema No. 18
Para abastecer de agua a una comunidad rural, situada a 1500 m sobre el nivel del mar, se ha construido un pozo cuyo nivel medio de agua se encuentra a 40 m por debajo del correspondiente a un tanque de almacenamiento, como se muestra en la figura. Se instalará l
un sistema de bombeo que, dada las necesidades de consumo, eleve 50.5 y opere 6 horas s
diariamente. Las tuberías de succión e impulsión serán de hierro galvanizado (C =100 ), y los accesorios requeridos en la instalación se indican en la figura. Se instalará una bomba centrifuga con motor de velocidad variable, cuyas especificaciones se desean conocer, para lo cual se pide seleccionar una bomba apropiada, y calcular:
Altura dinámica de la bomba, HB.
Potencia útil de la bomba, Pu.
Potencia requerida (potencia absorbida) por la bomba, Pa, si se sabe que la eficiencia de la bomba es del 68%.
El NPSHdisonible de la bomba.
El NPSHrequerido de la bomba.
La altura de succión máxima de la bomba.
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10. PROBLEMAS RESUELTOS163
__________________________________________________________________________________________________
Solución: 1. Cálculo de la altura Dinámica de la bomba, HB. Aplicando Bernoulli entre los puntos A y B, situados en la superficie libre del agua en sendos tanques, se tiene: 0
zA
p A γ
v A
0 2
2g
hT s hTi HB zB
p B γ
v B
2
2g
(1)
de donde, HB
z B z A h T s h T i
(2)
En la cual z B z A es la altura estática a vencer por parte de la bomba. hT s y hT i son las pérdidas de carga totales, por fricción y por accesorios, en las tuberías de succión y de impulsión, respectivamente. FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
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164
__________________________________________________________________________________________________
1. Cálculo de las Pérdidas de Carga Totales, hT 1.1.1. Pérdidas en la Tubería de Succión, hT s Se empleará la formula de Hazen-Williams, que expresa: V 0.355 C D 0.63 J 0.54
(3)
Por continuidad, Q V A 0.355 C D
0.63
h f L
0.54
π D 2 4
de donde, h f
3.5866 CD
1.851
2.63
L Q1.851
(4)
Para considerar las pérdidas locales, debidas a válvulas y accesorios, se empleará el método de las longitudes equivalentes: VÁLVULAS/ACCESORIO
LONGITUD VIRTUAL EQUIVALENTE (m)
Válvula de pie con rejilla (D = 6”)
39.0
Codo 90º (radio medio) (D = 6”)
6.7
Válvula de compuerta abierta (D = 6”)
1.7
Longitud virtual equivalente, Lequivalente
47.4
Longitud real de la tubería de succión, L
3.0
Longitud total, LT = Lequivalente + L
50.4
Reemplazando valores numéricos en (4):
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10. PROBLEMAS RESUELTOS165
__________________________________________________________________________________________________
hTs
3.5866 2.63 100 6 0.0254
hTs
4.02 m
1.851
50.4 0.0505 1.851 m
1.1.2. Pérdidas en la Tubería de Impulsión, hT i VÁLVULAS/ACCESORIO
LONGITUD VIRTUAL EQUIVALENTE (m)
Válvula de compuerta abierta (D = 5”)
0.9
2 Codos de 45º (D = 5”) (*1.9 m)
3.8
1 Válvula de retención (tipo pesada) (D = 5”)
16.1
1 Salida de la tubería (D = 5”)
4.0
Longitud virtual equivalente, Lequivalente
24.8
Longitud real de la tubería de impulsión, L
127.0
Longitud total, LT = Lequivalente + L
151.8
3.5866 hTi 2.63 100 5 0.0254 hTi
1.851
151.8 0.0505 1.851 m
29.42 m
Reemplazando en la ecuación (2), se tiene: HB
40 m 4.02 m 29.42 m
HB
73.44 m
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166
__________________________________________________________________________________________________
2. Cálculo de la Potencia Útil de la bomba. Pu Pu
γ Q Hu γ Q HB
m 3 73.44 m Pu 1000 3 0.0505 s m kgf
Pu
3708.72
Pu
48.8 h.p.
kgf m s
3708.72 76
h.p.
3. Cálculo de la Potencia Requerida por la bomba, Prequerida A la potencia requerida se le llama también potencia absorbida en el eje, y se le denota por Pa. De la expresión para la eficiencia total se tiene: η bomba
Pa
Pu Pa
Pu η bomba
(5) 48.8 h.p. 0.68
71.76 h.p.
4. Selección de la Bomba Para elegir la bomba más apropiada a las condiciones dadas del problema, se utilizará la siguiente gráfica suministrada por el fabricante de las bombas centrifugas. Para ello, se l
l
s
min
entrará a dicha figura con los valores de Q 50.5 3030
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y H B 73.44 m .
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10. PROBLEMAS RESUELTOS167
__________________________________________________________________________________________________
En dicha figura se observa que la bomba que cumple con estas exigencias quedaría en una situación intermedia entre las bombas comerciales No. 1 ( n 1750 rpm , Pa1
75 h.p. ) y la No. 2 (n = 2000 rpm, P2 = 100 h.p.).
Por tanto, se seleccionará la Bomba No. 2, por tener una potencia mayor que la requerida y por suministrar una cabeza, H, y un caudal, Q, mayores que los exigidos por la situación real. Luego, la bomba seleccionada tiene las siguientes especificaciones: Bomba: 5 x 6 x 15 Diámetro del rotor: D = 381 mm Velocidad Variable: 1150 n 2000 rpm Potencia nominal: P = 75 h.p.
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168
__________________________________________________________________________________________________
Conexión a la succión: Ds = 6” Conexión a la impulsión: Di = 5” 5. Cálculo del NPSH disponible, NPSHdisponible NPSH disponible
NPSH disponible
p A p v γ
Hs h T s
p Atmosférica p v
(6)
Hs h T s
γ
A 1500 m sobre el nivel del mar, patm = 8.4
(7) N cm 2
= 0.8571
Para una temperatura del agua, T = 20ºC, p v 0.234
N cm
2
kgf cm 2
= 8571
0.0239
kgf cm
2
kgf m2
239
kgf m2
Además, la altura de succión Hs = 1.8 m. ,
Reemplazando valores numéricos en la ecuación (7):
NPSH disponible
8571 239 1000
kgf m2
kgf
1.8 m 4.02 m
m3
NPSH disponible 2.512 m
6. Cálculo del NPSHrequerido De la misma gráfica del fabricante, para la bomba seleccionada (n = 2000 rpm), se l
l
s
min
encuentra que, para Q 50.5 3030
, NPSH requerido 2.0 m
De esta manera, NPSH disponible 2.51 m NPSH requerido 2.0 m
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10. PROBLEMAS RESUELTOS169
__________________________________________________________________________________________________
7. Cálculo de la Altura Máxima de Succión, Hs máx H s máx
H s máx
p A p v γ
Δh h T s
p Atmosferica p v γ
(8)
NPSH requerido h T s
(9)
Reemplazando valores numéricos en la ecuación (9), se tiene:
H s máx
8571 239 1000
H s máx
kgf m2
kgf
2.0 m 4.02 m
m3
2.31 m
Chequeo: Hs máx 2.31 m H s 1.8 m
Problema No. 19
Para el sistema de bombeo mostrado en la figura, calcule la presión en el nodo C, las presiones de succión y descarga de la bomba, el caudal de la línea 3 y la potencia útil de la bomba. Solución. HB
68.58 639.66 Q1.5
m 3 H B m ; Q s Línea 1:
L= 67.1 m
D = 406 mm
C = 120
Línea 2:
L = 670.6 m
D = 105 mm
C = 120
Línea 3:
L = 304.8 m
D = 305 mm
C = 120
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170
__________________________________________________________________________________________________
1.852
Potencia útil:
Pu
Q H B
u
3.5866 h f 2.63 C D
L Q1.852
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y D, se tiene: p D v 2D v 2A h f 1 H B h f 2 h f 3 z D zA 2g 2g p A
Considerando presiones relativas y despreciando las cabezas de velocidades, y reemplazando los valores numéricos, se tiene: 1.852
3.5866 zA C D 2.63 1 1
3.5866 L 2 Q12.852 L1 Q11.852 68.58 639.66 Q11.5 2.63 C 2 D 2
1.852
3.5866 2.63 C D 3 3
L 3 Q13.852 z D
Por la ecuación de continuidad: Q1
Q2 Q3 q
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10. PROBLEMAS RESUELTOS171
__________________________________________________________________________________________________
3.5866 z D z A 2.63 C D 1 1 Q 3 q
1.852
1.852
3.5866 2.63 C D 3 3
L1 Q 3 q
1.852
68.58 639.66 Q 3 q
1.5
3.5866 L 2.63
C 2 D 2
2
1.85 2
L 3 Q13.852
Agrupando términos y reemplazando valores numéricos, resulta: 3.5866 91.4 38.1 68.58 639.66 Q 3 0.0212 120 1.852 670.6 304.8 Q 3 67.1 4.87 4.87 4.87 0.305 0.305 0.405 1.5
1.852
Q 3 0.0212
1.852
Organizando se tiene: 639.66 Q3
0.02121.5 335.226848 Q3 0.02121.852 148.6291144 Q13.852 15.28 0
m3 Q 3 0.0501046 s Q3
50.1
l s
m3 Q1 Q 2 Q B Q 3 0.0212 s
m3 0.0501046 0.0212 s
m3
Q1
Q 2 Q B 0.0713046
Cálculo de la altura útil, Hu = HB
s
Hu
H B 68.58 639.66 0.07130461.5
Hu
56.4 m
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172
__________________________________________________________________________________________________
Cálculo de la potencia útil de la bomba, Pu Pu
QB Hu
m 3 56.4 m Pu 1000 3 0.0713046 s m kgf
kgf m
Pu
4021.58
Pu
4021.58 c.v. 53.62 c.v. 75
Pu
4021.58
Pu
4021.58 9.8
76
s
h.p. 52.92 h.p. N m s
J
39411.48 39411.48 W 39.41 kW s
Cálculo de la presión en C, pc. Bernoulli entre A y C: p C
zA
H B z C z A h f 1 h f 2
0 0 h f 1 H B h f 2
v C2 zC 2g p C
8 Q 22
2 g D 42 1.852
3.5866 3.5866 1.852 68.58 639.66 Q z C z1 L Q 1 1 2.63 2.63 C D C D γ 1 1 2 2 2 8 1 Q 2 L 2 Q1.852 2 2 4 π g D2
p C
1.5 B
Reemplazando valores: p C
p C
68.58 12.179 m 7.6 m 0.0611 m 2.46 m 0.0486 m 56.401 m 7.6 m 0.0611 m 2.46 m 0.0486 m 46.2313 m c. a.
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10. PROBLEMAS RESUELTOS173
__________________________________________________________________________________________________
p C
46.2313m 1000
kgf m
3
46231.3
kgf m
2
4.6231
kgf cm 2
Cálculo de la presión de succión o presión a la entrada de la bomba, pa
Bernoulli entre A y e:
p e v e2 v 2A h f 1 z e zA 2g 2g p A
Despreciando la velocidad en A y tomando presiones relativas, se tiene
v e2 z A h f 1 z e 2g
p e
p e
z A z e h f
8 Q12
2 g D14
Remplazando valores numéricos, se tiene: p e
p e
38.1 35.05 m 0.0611 m
2
8 1 0.0713046
2 9.8 0.4064
m
3.05 m 0.0611 m 0.0155 m 2.9734 m
Cálculo de la presión dinámica de descarga o presión a la salida de la bomba, ps Ecuación de Bernoulli entre e y s:
v e2 p s v s2 HB zs ze 2g 2g p e
v e2 v s2 HB 2g
p s
p e
2 2 4 Q B 4 Q B 2 2 HB 2 g D 2e D s
p s
p e
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174
__________________________________________________________________________________________________
1 2 1 2 HB 2 g D 4e D s4
p s
p e
8 Q 2B
2
p s
2.9734 m 56.401 m
8 10.0713046
m
1 2 1 2 1 s 4 4 4 m 0.406 0.305 m 2 9.8 2 2
s
p s
p s
2.9734 m 56.401 m 0.0331 m 59.341 m
Problema No. 20
Los resultados de un ensayo elemental de una bomba rotodinámica, girando a 1450 rpm, se presentan en la siguiente tabla:
Q (l/s)
40
80
120
160
200
H (m)
32.0
30.5
28.0
24.5
20.0
Pa (kW)
34.2
39.2
45.0
52.5
64.5
Aplicando las ecuaciones de regresión lineal por mínimos cuadrados, ajuste una expresión de la forma H a c Q 2 , y otra de la forma η dQ e Q 2 , para dicha bomba. Además, calcule su eficiencia máxima, sus características nominales (Q N, H N y PaN) y su número específico de revoluciones, ns.
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10. PROBLEMAS RESUELTOS175
__________________________________________________________________________________________________ N
N
H
a N c Q
i
i 1
N
N
η Q
2 i
i
i 1
N
i 1
i
i 1
N
N
a Qi2 c Qi4
H i Q i2
N
i 1
i 1
ηi Q i
2
i 1
N: Número de puntos (Hi, Qi)
N
d Q e Q 3i 2 i
i 1
i 1
N
N
i 1
i 1
d Q3i e Q i4
N: Número de puntos (i, Qi)
1. Ajuste de la curva H vs. Q Se trata de determinar una ecuación de la forma H a c Q 2 , y otra, de la forma η dQ e Q 2 , para la bomba, aplicando los siguientes sistemas de ecuaciones N
H
N
i
i 1
N
η Q
(1)
i
i 1
N
H
a N c Q 2 i
N
i
i 1
Q a Q c Q 2 i
η Q i
i 1
N
d Q e Q 3i 2 i
i 1
N
(2)
4 i
i 1
i
i 1
N
2 i
N
N
2 i
i 1
(3)
i 1
N
d Q e Q i4 3 i
i 1
(4)
i 1
Donde N es el número de puntos (Hi, Qi) ó (i, Qi) de las respectivas curvas características. En este problema, se trabajará con caudales en m3/s. N
Hi
N
135 ;
i 1
Q i2
0.088 ;
i 1
N
H i Q i2
N
Q
2.0768 ;
i 1
4 i
0.00250624
i 1
De (1): a
1 N
H
i
c Qi2
(5)
(5) en (2):
H
i
Q i2
H i Q i2
1 N
H
1
N
Hi
i
c Qi2 Q i2 c Q i4
Qi2 c Q i4
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c
Q Q N 2 i
2 i
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BOMBAS HIDRÁULICAS ROTODINÁMICAS. Teoría y Aplicaciones.
176
__________________________________________________________________________________________________
H
2 i Qi
1
H Q N i
H Q c Q
2 i
i
4 i
2 i
2 1 c Qi4 Qi2 N
1
H Q N 1 Q N
i
2 i
(6)
2 2 i
Reemplazando las respectivas sumatorias en la ecuación (6), se tiene: 2.0768
135 0.088
c 0.00250624
5 0.0882
312.5
(7)
5
Ahora, se sustituye el valor de c en la ecuación (5), para determinar el valor del coeficiente a, así: a
1
135 312.5 0.088 32.5
(8)
5
Ecuación de regresión para H: H (m), Q (m3/s)
H 32.5 - 312.5 Q 2 ;
(9)
2. Cálculo de los valores de la potencia útil, Pu
m 3 kgf H m Pu γ Q H γ 3 Q s m
(10)
m 3 kgf m N m H m 1000 Q H Pu 1000 3 Q 1000 9.81 Q H s s m s kgf
Pu
J
1000 9.81
s
1000
1000 9.81 Q H 1000 9.81 Q H W
m 3 H m kW Pu 9.81 Q s
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Q H kW (11)
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10. PROBLEMAS RESUELTOS177
__________________________________________________________________________________________________
Sustituyendo los valores de Q (m3/s) y de H (m) de la Tabla de Datos en la ecuación (11), se obtienen los correspondientes valores Pu. Por ejemplo, para Q = 40 l/s = 0.040 m3/s, y H = 32.0 m, se tiene: Pu
9.81 0.04 32 kW 12.5568 kW
(11’)
3. Cálculo de los valores de eficiencia, η
Pu Pa
100
(12)
Con ayuda de la ecuación (12) se calculan los respectivos valores de la eficiencia de la bomba, , completando la Tabla de Datos. Por ejemplo, para Q = 40 l/s = 0.040 m3/s, y H = 32.0 m, Pu = 12.5568 kW y Pa = 34.2 kW, se tiene: η
12.5568 kW 34.2 kW
100 36.7958 %
(13)
4. Ajuste de la curva vs. Q Ahora, se determinará la expresión que relaciona la eficiencia, , con el caudal, Q, que impulsa la bomba, de la forma η dQ e Q 2 . De la ecuación (2),
η Q e Q d Q i
i
3 i
2 i
(14)
Sustituyendo (14) en (4), se tiene:
η Q
2 i
η Q e Q Q Q
η Q
2 i
η Q Q Q
i
i
i
3 i
i
2 i
i
i
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2 i
3 i
e
3 i
e Q i4
Q Q Q 3 i
2 i
3 i
e Q i4
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BOMBAS HIDRÁULICAS ROTODINÁMICAS. Teoría y Aplicaciones.
178
__________________________________________________________________________________________________
η Q i
2 i
η Q Q Q i
2 i
3 2 Q i e Q i4 Q i2
η Q Q η Q Q e Q Q Q i
i
3 i
i
2 i
i
2 i
3 2 i
4 i
3 i
(15)
2 i
Para este caso, los valores de las sumatorias son:
η Q i
Q
3 i
2 i
5.812952003 ;
0.0144 ;
Q
4 i
Q
2 i
0.088 ;
η Q i
i
39.03049303 ;
0.00250624
Reemplazando los valores de las sumatorias en la ecuación (15), se tiene: 5.812952003
39.03049303 0.0144
e 0.00250624
0.088 0.01442
3828.862226
(16)
0.088
Sustituyendo este valor en la ecuación (10), se obtiene: d
39.03049303 3828.862226 0.0144 1070.069421 0.088
(17)
Con lo cual se obtiene: 3 η 1070.069421 Q - 3828.862226 Q 2 ; con Q (m /s), (%)
(18)
5. Cálculo de la eficiencia máxima, máx El valor de la eficiencia máxima resultará de derivar la función vs. Q, con respecto al caudal; así: dη dQ
1070.069421 2 3828.862226 Q
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10. PROBLEMAS RESUELTOS179
__________________________________________________________________________________________________
dη dQ
1070.069421 7657.724452 Q 0 1070.069421
Q
7657.724452
0.1397372685
m3 s
(19)
(20)
Este es el valor del caudal correspondiente a la máx; es decir, es el caudal nominal, Q N
l
139.74
(21)
s
Reemplazando este valor de Q en la ecuación (18), se tiene: η máx
1070.069421 0.1397372585 3828.862226 0.13973725852 74.76428363
η máx
74.764 %
(22)
6. Cálculo de las características nominales de la bomba, (Q N, H N, Pa N) Recuérdese que las características nominales de una bomba son las que corresponden al punto de mejor rendimiento, PMR, es decir a la máx. 6.1. Cálculo del caudal nominal, Q N En el epígrafe 5 se obtuvo el valor del caudal nominal, y es: Q N
l
139.74
(23)
s
6.2. Cálculo de la altura nominal, H N H N
H Q Q
H N
26.4 m
l 139.74 N s
32.5 312.5 0.13974 26.3977 m (24)
6.3. Cálculo de la potencia útil nominal, PuN Pu N
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γ Q N H N
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180
__________________________________________________________________________________________________
Pu N
m3 1000 3 0.13974 s m
Pu N
36.19 kW
kgf
26.4 m 3689.139
kgf m s
(25)
6.4. Cálculo de la potencia de accionamiento nominal, PaN
η máx
Pu N Pa N
Pa N
Pa N
Pu N η máx
36.19 kW 0.74764
48.40565 kW
48.4 kW
(26)
6.5. Cálculo de la velocidad específica, ns ns
1/2 n Q N 3/4 N
H
con n (rpm), Q N (m3/s) y H N (m)
, 1/2
1450 0.13974
ns
ns
46.54
3/4
26.4
46.53989794
A continuación, se presenta una tabla con los valores iniciales del problema y los resultados obtenidos durante su resolución. Q (l/s)
40
80
120
160
200
H (m)
32.0
30.5
28.0
24.5
20.0
Pa (kW)
34.2
39.2
45.0
52.5
64.5
Pu (kW)
12.5568
23.9364
32.9616
38.4552
39.24
(%)
36.71578947
61.0622449
73.248
73.248
60.8372093
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10. PROBLEMAS RESUELTOS181
__________________________________________________________________________________________________ Problema No. 21
Dos bombas distintas, cuyas curvas características se expresan a continuación, han de acoplarse en serie, de acuerdo con la instalación mostrada en la figura. H B1
69 135 Q - 4000 Q 2
;
η1
25 Q - 230 Q 2
H B2
54 71 Q - 4285 Q 2
;
η2
37 Q - 380 Q 2
con H (m), Q (m3/s) y en tanto por uno. Se desea determinar:
El caudal que impulsarían las bombas si se acoplan en serie.
El costo unitario por m3 de agua elevada por el conjunto en serie, sabiendo que el costo de la energía es 219 $/kW∙h.
L Total
L T 1872 m ;
ν agua
1.141 106
m2 s
;
k
LT
7.4
k s = 0.2 mm = 0.0002 m Ds = Di = 350 mm Los subíndices s e i significan succión e impulsión, respectivamente.
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BOMBAS HIDRÁULICAS ROTODINÁMICAS. Teoría y Aplicaciones.
182
__________________________________________________________________________________________________
Solución Analítica: Por tratarse de un sistema de bombas en serie, QT
Q B1 Q B2 , y H T H B1 H B2
(1)
1. Determinación de las curvas motriz y resistente del sistema Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los depósitos A y C, se tiene: HA
H A-C H B1 H B2 H C
(2)
0 0 0 0 2 p C α v 2C p A α v A z A γ 2 g h f s h L s h f i h L i H B1 H B2 z C γ 2 g
z C z A h f s h f i h L s h L i H B1 H B2
(3)
(4)
8 h L s Q T2 8 h L i Q T2 8 f s L s Q T2 8 f i Li Q T2 H B1 H B2 (5) z C z A 2 2 5 5 2 4 2 4 g D i g D s g D i g Ds
f s L s f i L i 8 Q T2 z C z A 2 5 5 2 g D s D i g 8 Q T2
h L s h L i D s4 D i4 H B1 H B2
z C z A
f s L s f i L i h L s h L i H B1 H B2 5 2 g D 5s D i D s4 D i4
z C z A
f s L s f i L i h L s h L i 2 Q T H B1 H B2 5 5 2 4 4 g D s D i D s D i
8 Q T2
8
Curva Resistente
Curva Motriz
(6)
1.1. Determinación de la ecuación de la curva motriz del sistema Hm
H B1 H B2
(7)
Hm
A1 B1 Q B1 C1 Q 2B1 A 2 B2 Q B 2 C 2 Q 2B 2
(8)
Por estar las bombas acopladas en serie, FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
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10. PROBLEMAS RESUELTOS183
__________________________________________________________________________________________________
Q B1
Q B2 Q T
(9)
Luego, Hm
A1 A 2 B1 B2 QT C1 C 2 QT2
(10)
Ecuación particular de la curva motriz del sistema, para dos bombas en serie. 1.2. Determinación de la curva resistente del sistema
f s Ls f i L i h L s h L i 2 Q T (11) H r z C z A 2 5 5 4 4 g D s D i D s D i 8
Ecuación general de la curva resistente del sistema. En este problema, los diámetros de las tuberías de succión e impulsión son iguales, es decir, D s D i D .
Además, por tratarse de tuberías de idéntico material
k s s k s i k s constante , por las que fluye el mismo caudal QT Q B1 Q B2 , los coeficientes de fricción son iguales f s f i f . Por lo tanto, la ecuación (11) se puede expresar de la siguiente manera: H r z C
zA
f Ls f i L i k L s k L i 2 Q T 5 4 4 2 g D 5 D D D
(12)
H r z C
zA
f L s L i k L s k L i 2 Q T 2 5 4 g D D
(13)
8
8
Es claro que la longitud total de la tubería del sistema, L T L s L i , y que
k k k Ls
Li
T
Luego, la ecuación (13) se reduce a la siguiente: H r z C
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zA
8 f L T 2
g D
5
Q T2
8
k
LT
2
g D
4
Q T2
(14)
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184
__________________________________________________________________________________________________
H r z C
zA
8 2
g D
5
f L
T
D k L T Q T2
(15)
Ecuación particular de la curva resistente del sistema 2. Determinación del punto de funcionamiento del sistema, PH T , Q T El punto de funcionamiento del sistema queda definido por la intersección de la curva motriz con la curva resistente, es decir, resolviendo la ecuación (6) para el caudal, QT, del sistema. En pocas palabras, se debe calcular el valor de QT que satisfaga la siguiente igualdad: H r H m
(16)
2.1. Cálculo del caudal total, QT Igualando las ecuaciones (15) y (16), se tiene:
z C z A
8 2
g D
5
f L
T
D k L T Q 2T A1 A 2 B1 B2 Q T C1 C 2 Q T2 ecuación (17)
Para calcular QT que satisfaga la ecuación (17), se requiere del concurso de la ecuación de Colebrook & White, la cual expresa lo siguiente: 2.51 k 2 log s f 3.7 D R f
1
con
R
4 QT πD
(18)
(19)
Reemplazando la ecuación (19) en la ecuación (18), se tiene:
k 2.51 π D 2 log s 3.7 D f 4 Q f T
1
(20)
En definitiva, se trata de resolver el sistema de ecuaciones simultáneas conformado por las ecuaciones (17) y (20), cuyas incógnitas son f y QT. Ello sólo puede hacerse iterativamente, por ensayo y error, lo cual es bastante laborioso. FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
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10. PROBLEMAS RESUELTOS185
__________________________________________________________________________________________________
La manera más ágil de resolver el sistema de ecuaciones (17) y (20) es eliminando f y obteniendo una sola ecuación con una sola incógnita: QT. En efecto, combinando la ecuación de Darcy & Weisbach con la de Colebrook & White, se llega a la siguiente expresión:
QT
h f T L T
D2
2 g D
2
k 2.51 s log 3.7 D h f T D 2 g D L T
(21)
y de la ecuación (4) se despeja h f s h f s i h f T , así: h f T
z C z A k L s k L i H B1 H B 2
(22)
ó h f T
z C z A
8
k
LT
2
Q T2
g D
4
A1 A 2 B1 B2 Q T C1 C 2 Q 2T
(23)
Finalmente, llevando (23) a (21), y reordenando términos, resulta: QT
0.5
2 g D5 LT
log 2 g D3 L T
8 k L T Q T2 2 A1 A 2 B1 B 2 Q T C1 C 2 Q T z C z A 2 4 g D
2.51 2 8 k L T Q T 2 A1 A 2 B1 B 2 Q T C1 C 2 Q T z C z A 2 g D 4 ecuación (24)
En la ecuación (24), todos los valores son conocidos, excepto el del caudal, QT. Con la ayuda de una calculadora programable (por ejemplo, la HP-48GX), es fácil resolver la ecuación (24), para lo cual, con los datos que aparecen en la figura del problema, se obtuvo: FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
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186
__________________________________________________________________________________________________
QT
0.080913
m3 s
(25)
Por lo tanto, el caudal impulsado por las dos bombas conectadas en serie es QT
0.080913
m3 s
l
80.91 . Además, f 0.0187958368401 . s
2.2. Cálculo de la altura suministrada por cada bomba en el punto de funcionamiento, HBi Para la bomba B1: H B1
69 135 Q B1 - 4000 Q 2B1 m3 Q T 0.080913 s
Q B1
Q B2
H B1
69 135 0.080913 - 4000 0.0809132
H B1 31.889 m
Para la bomba B2: H B2
54 71 Q B2 - 4285 Q 2B2
H B2
54 71 0.080913 - 4285 0.0809132
H B2 20.202 m
2.3. Cálculo de la altura total del conjunto de bombas en serie Cuando las bombas se asocian en serie, la altura total de la asociación es, sencillamente, la suma de las alturas que suministran las bombas; esto es: HT
H B1 H B2
HT
31.889 m 20.202 m
HT
52.091 m
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10. PROBLEMAS RESUELTOS187
__________________________________________________________________________________________________
3. Cálculo del caudal nominal de cada bomba, Q N El caudal nominal es aquel que corresponde al valor de la eficiencia máxima, y se calcula de la siguiente manera: Para la bomba B1: η1
25 Q - 230 Q 2
d η1
25 - 460 Q 0
dQ
Q N 1
Obsérvese que Q N 1 0.05435
25 460 m3 s
0.05435
m3 s
Q T 0.080913
m3 s
Para la bomba B2: η2
37 Q - 380 Q 2
dη2 dQ
37 - 760 Q 0
Q N 2
Nótese que Q N 2 0.04868
m3 s
37 760
0.04868
m3 s
Q T 0.080913
m3 s
4. Cálculo de la eficiencia máxima de cada bomba, máx Para la bomba B1: η máz , 1
25 Q N 1 - 230 Q N2 1
η máz , 1
25 0.05435 - 230 0.054352 0.6793 67.93 %
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188
__________________________________________________________________________________________________
Para la bomba B2: η máz , 2
37 Q N 2 - 380 Q N2 2
η máz , 2
37 0.04868 - 380 0.048682 0.9007 90.07 %
5. Cálculo de las eficiencias en el punto de funcionamiento, Bi La eficiencia de cada bomba, en el punto de funcionamiento del sistema, se obtiene reemplazando el valor del caudal correspondiente al punto de funcionamiento del sistema, Q T 0.080913
m3 s
, en la respectiva ecuación de rendimiento de la bomba:
Para la bomba B1: η B1
25 Q T - 230 QT2
η B1
25 0.080913 - 230 0.0809132 0.5170 51.70 %
η B2
37 QT - 380 QT2
η B2
37 0.080913 - 380 0.0809132 0.5060 50.60 %
Para la bomba B2:
6. Cálculo de la potencia absorbida en el eje, de cada bomba, Pa i Pa i
Pa1
Pa2
Pu i ηB i
γ QB i H B i ηB i
γ Q B1 H B 1 η B1
γ QB 2 H B 2 ηB 2
m 3 1000 kgf 0.080913 31.889 m s m 3 0.517 m 3 1000 kgf 0.080913 20.202 m s m 3
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0.506
4990.78
3230.44
kgf m s
kgf m s
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10. PROBLEMAS RESUELTOS189
__________________________________________________________________________________________________
7. Cálculo de la potencia útil del conjunto, PuT kgf m 3 kgf m 52.091 m 4214.84 Pu T γ Q T H T 1000 3 0.080913 s s m Pu T
N m s
4214.84 9.81
4214.84 9.81 kW 41.35 kW 1000
8. Cálculo de la eficiencia global del conjunto, T ηT
Pu T
N
P
Pa T
Pa 1 Pa 2
γ QT HT γ Q T H B1 γ Q T H B 2
ai
4214.84 ηT
ηB1
i 1
ηB 2
kgf m
s
4990.78 3230.44
kgf m
0.5127 51.27 %
s
9. Cálculo de la potencia absorbida total del conjunto de bombas, PaT Pa T
Pu T ηT
41.35 kW 0.5127
80.65 kW
10. Cálculo del costo unitario de elevación del agua, Cu Cu
C energía E absorbida Volumen elevado
C energía Pabsorbida t bombeado Q bombeado t bombeado
C energía Pa T t b Q T t b
$ 219 80.65 kW 1 h $ kW h Cu 60 . 64 m3 m 3 0.080913 3600 s s
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190
__________________________________________________________________________________________________
Solución Gráfica para el Punto de Funcionamiento: En la siguiente figura se muestran las curvas motriz y resistente del sistema, de cuya intersección resulta el punto de funcionamiento PF (QT, HT). Además, en ella se puede observar las curvas de eficiencia correspondientes a cada una de las bombas.
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10. PROBLEMAS RESUELTOS191
__________________________________________________________________________________________________ Problema No. 22
Resolver el problema (21) bajo la consideración de que las dos bombas estarán asociadas en paralelo.
Solución Analítica: Por estar acopladas las dos bombas en paralelo, H B1 H B2 H T , y QT Q B1 Q B2 1. Determinación de las curvas motriz y resistente del sistema Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los depósitos A y C de la figura, resulta: HA
H A-C H T conjunto H C
(1)
Al reemplazar en la ecuación (1), resulta: zA
h f s h L s h f i h L i H T z C
(2)
Reorganizando los términos en la ecuación (2), se tiene:
z C z A h f s h L s h f i h L i H T FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
(3) Ramiro V. Marbello Pérez Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
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192
__________________________________________________________________________________________________
La ecuación (3) presenta dos variantes distintas, según que se considere la trayectoria A B1 U C o la trayectoria A B2
U C , y son las siguientes:
z C z A
f s 1 L s 1 k L s 1 2 5 Q B1 28 2 4 g D s 1 g D s 1
z C z A
f s 2 L s 2 5 2 g D s 2
8
8
k
Ls2
D s42
f i L i k L i 2 5 QT HT 4 Di D i
2 Q B 2 28 g
f i L i k L i 2 5 QT H T 4 Di D i
(4a)
(4b)
Normalmente, las longitudes de las tuberías de succión en un sistema de bombas en paralelo son cortas, por lo cual se pueden ignorar las pérdidas de carga en dichas tuberías. Por esta razón, las ecuaciones (4a) y (4b) se vuelven idénticas, resultando:
z C z A
8 2
g D
5 i
f L D k Q H H H i
i
i
2 T
Li
T
B1
B2
Curva Resistente
Curva Motriz
Por otra parte, como se dijo al principio,
QT
Q B1 Q B2 ,
(5)
(6)
2. Cálculo de la altura suministrada por el conjunto de bombas en paralelo, HT Los caudales Q B1 y Q B2 se despejarán de las respectivas ecuaciones de H vs. Q, de la siguiente manera: H B1
A1 B1 Q B1 C1 Q 2B1
Q B1
B1 B12 4 C1 A1 H B1 2 C1
(7)
(8)
Así mismo, HB 2
A 2 B2 Q B 2 C2 Q 2B 2
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(9)
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10. PROBLEMAS RESUELTOS193
__________________________________________________________________________________________________
QB 2
B 2 B 22 4 C 2 A 2 H B 2 2 C2
(10)
Sustituyendo las ecuaciones (9) y (10) en la ecuación (6), sabiendo que H B1
H B2 H T , se tiene:
B1 B12 4 C1 A1 H T B2 B22 4 C 2 A 2 H T QT 2 C1
(11)
2 C2
La ecuación (11) se sustituye en la ecuación (5), resultando:
z C z A
8 2
5
g D i
f L i
i
D i k L i 2
135 18225 16000 69 H T 71 5041 17140 54 H T HT 8000 8570
(12)
Estas dos ultimas ecuaciones se resolverán iterativa y simultáneamente junto con la ecuación de Darcy & Weisbach combinada con la ecuación de Colebrook & White, la cual elimina la variación de f con QT.
QT
D i2 2
2 g Di
h f i L i
k 2.51 log s i 3.7 D i h D i 2 g D i f i L i
(13)
A continuación, se presenta la ecuación general que integra en una sola a las ecuaciones (11), (12) y (13), adecuada para calcular HT, dados los valores de las restantes variables:
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194
____________________________________________________________________ _______________________________________ ___________________________________________________________ ______________________________
B1 B12 4 C1 A1 H T 2 C1
B 2 B 22 4 C 2 A 2 H T 2 C2
8 k L i B1 B12 4 C1 A1 H T H T z C z A 2 2 Li 2 C1 g D i4 2 B 2 B 22 4 C 2 A 2 H T k 2.51 log s i 2 C2 3.7 D i D 2 g D i H z z i T C A Li 2 8 k L i B1 B12 4 C1 A1 H T B 2 B 22 4 C 2 A 2 H T 2 4 2 C1 2 C2 g D i D i2
2 g Di
(14) En la ecuación (14) debe descartarse el signo (+) del término
B2
4 C A H T ,
dado que éste es mayor que (-B), y siendo C < 0, por lo cual resultarían valores negativos para los caudales Q B1 y Q B2 . Para el problema que se está resolviendo, se conocen los siguientes parámetros:
A1 = 69;
B1 = -135;
C1 = -4000
A2 = 54;
B2 = -71;
C2 = -4285
zA =1.5 m
zC = 49.7 m
Di = Ds = 0.35 m
Li = 1872 m
k Li Li = 7.4
= 1.141 x 10-6 m2/s
g = 9.81 m/s2
k sisi = 0.0002 m
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10. PROBLEMAS RESUELTOS195
__________________________________________________________________________________ _____________________________________ _____________________________________________________________ ________________
Al resolver la ecuación (14) para HT, resulta: HT
51.189 m
(15)
Así mismo, H B1 H B2 H T 51.189 m
(16)
3. Cálculo de los caudales aportados por las bombas, Q B1 , Q B2 y Q T Sustituyendo este valor en las ecuaciones (8) y (10), respectivamente, resulta: Q B1
Q B2
0.0519536 0.0186321
m3 s m3 s
51.95 18.63
l s l s
Por lo tanto, Q T Q B1 Q B2 0.0705857
m3 s
70.59
l s
4. Comprobación del cálculo de los caudales Q B1 y Q B2 Con los caudales Q B1 y Q B2 calculados en el numeral anterior, se puede comprobar que H T 51.189 m H B1 H B2 . En efecto, H B1
69 135 0.051954 - 4000 0.0519542 51.189 m
O.K.
H B2
54 71 0.018632 - 4285 0.0186322 51.189 m
O.K.
5. Cálculo de las eficiencias de las bombas, B1 y B2 η B1
25 Q B1 - 230 Q 2B1
η B1
25 0.051954 - 230 0.0519542 0.6780 67.80 %
η B2
37 Q B 2 - 380 Q 2B 2
η B2
37 0.0186321 - 380 0.01863212 0.5570 55.70 %
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196
____________________________________________________________________ _______________________________________ ___________________________________________________________ ______________________________
6. Cálculo de la potencia absorbida en el eje, de cada bomba, Pa i Pa i
Pa1
Pa2
Pu i
ηB i
γ QB i H B i ηB i
γ Q B1 H B 1
η B1
γ QB 2 H B 2
ηB 2
kgf m 3 1000 kgf 0.051954 51.189 m s m 3 0.678
3922.53
kgf m 3 1000 kgf 0.0186321 51.189 m s m 3
0.557
kgf kgf m
1712.31
s
kgf kgf m s
7. Cálculo de la potencia útil del conjunto de bombas asociadas, PuT kgf kgf m 3 kgf kgf m 51.189 m 3613.21 Pu T γ Q T H T 1000 3 0.0705857 s s m Pu T
N m s
3613.21 9.81
J s
35445.59 35.45 kW
8. Cálculo de la eficiencia global del conjunto de bombas asociadas, T
ηT
Pu T
N
P
Pa T Pa 1 Pa 2
3613.21
kgf kgf m s
3922.53 1712.31
ai
kgf kgf m
i 1
0.6412 64.12 %
s
9. Cálculo de la potencia absorbida total del conjunto de bombas, PaT Pa T
Pu T ηT
35.45 kW 0.6412
55.29 kW
10. Cálculo del costo unitario de elevación del agua, Cu Cu
C energía E absorbida Volumen elevado
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C energía Pabsorbida t bombeado Q bombeado t bombeado
C energía Pa T t b Q T t b
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10. PROBLEMAS RESUELTOS197
__________________________________________________________________________________________________
219 $ 55.29 kW 1 h $ kW h Cu 47 . 65 m3 m 3 0.0705857 3600 s s Solución Gráfica para el Punto de Funcionamiento: En la siguiente figura se muestran las curvas motriz y resistente del sistema, de cuya intersección resulta el punto de funcionamiento PF (QT, HT). Además, en ella se puede observar las curvas de eficiencia correspondientes a cada una de las bombas.
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198
__________________________________________________________________________________________________ Problema No. 23
Analizar e interpretar cualitativamente los resultados de los Problemas 21 y 22. BOMBAS Y ASOCIACIÓN
ECUACIÓN CARACTERÍSTICA
BOMBA No. 1
HB1 = 69 – 135 Q – 4000 Q 2
B1 BOMBA No. 2 B2
EN SERIE
EN PARALELO
B1 = 25 Q – 230 Q2
HB2 = 54 – 71 Q – 4285 Q 2 B2 = 37 Q – 380 Q2
QT = QB1 = QB2 HT = HB1 + HB2
QT = QB1 + QB2 HT = HB1 = HB2
CAUDAL
ALTURA
EFICIENCIA
POTENCIA
Q (m /s)
H (m)
( % )
P (kgf.m/s)
3
Q N1 = 0.05435
H B1|Q=0 = 69
máx, 1 = 67.93
Q N2 = 0.04868
H B2|Q=0 = 54
máx, 2 = 90.07
QB1 = 0.080913
HB1 = 31.89
B1 = 51.7
QB2 = 0.080913
HB2 = 20.20
B2 = 50.6
QT = 0.080913
HT = 52.09
T = 51.27
QB1 = 0.051954
HB1 = 51.189
QB2 = 0.018632
HB2 = 51.189
QT = 0.070586
HT = 51.189
COSTO DE ELEVACIÓN
Cu ($/m3)
Pa1 = 4990.78 Pa2 = 3230.44 PaT = 8220.87
60.64
PuT = 4214.84 Pa1 = 3922.53
B1 = 67.8
Pa2 = 1712.31
B2 = 55.7
PaT = 5635.07
47.65
PuT = 3613.21
En el cuadro resumen, se presentan los resultados de los problemas 21 y 22, en los que se considera la asociación de las bombas en serie y en paralelo, respectivamente. De dicho cuadro se pueden extraer las siguientes conclusiones: i. La operación de bombas asociadas en serie conduce a un funcionamiento bastante alejado del punto de funcionamiento óptimo. ii. Bombas distintas acopladas en serie o, lo que es lo mismo, acoplar rodetes diferentes en una misma bomba multietapas, no pueden funcionar simultáneamente cerca o en el punto óptimo de funcionamiento respectivo. iii. El rendimiento global de dos o más bombas distintas, asociadas en serie, es relativamente bajo, tanto más bajo, cuanto más bambas diferentes se acoplen.
FACULTAD DE MINAS Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
Ramiro V. Marbello Pérez Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
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