PROBLEMAS 7.2 Media Muestral

1. Una población población consiste consiste de de las edades edades de los niños de una familia familia de cuatro cuatro niños. Estas edades son: 2; 4; 6 y 8 años. a) ete eterm rmin inar ar la la medi mediaa

µ  y la des!iación est"ndar σ  de la población.

 b) Enumerar todas las muestras posibles p osibles #sin reempla$o) de 2 niños %ue pueden seleccionarse en esta familia y determine &  para cada muestra. c) 'alc 'alcul ular ar la medi mediaa

µ

(

 y la des!iación est"ndar

erifi%ue erifi%ue %ue se cumple:

µ =µ (

* σ( =

σ

σ n

(

 de las medias muestrales.  + − n  + − 1

2. E!al,e E!al,e la distr distribuc ibución ión de la la població población n ( por muest muestreo reo con con n = 2  de una  población { -;1;2;;4;/;6;0;8; } . upon3a %ue el muestreo se ace: a) 'on repo reposi sici ción ón  b) in reposición . ea ( una una poblaci población ón const constitui ituida da por por { 2 ; 4 ; 6 } . 'alcular: a) 5a me media

µ  y la des!iación est"ndar σ  de la población.

 b) e e&trae una muestra de tamaño /4 / 4 con reempla$o de la población* pob lación* calcular la media

µ

(

 y la des!iación est"ndar

σ

(

 de las ( .

c) 'alcular   4.1 < ( < 4.4 4. 'onsidere 'onsidere una población población ( %ue consiste consiste de 8 billetes billetes de 7 / cada uno uno y 2 billetes billetes de 7 1- cada uno. etermine E ( ( )  y ar ( ( ) . 'olo%ue los 1- billetes en una urna y seleccione al a$ar y con reposición 2 billetes. ea (  la media muestral* a) allar allar la la distri distribuci bución ón de proba probabili bilidad dad de de ( .  b) 'alcular E ( ( )  y ar ( ( ) 9u se !erifica< c) =epita el e&perimento e&perimento anterior anterior con la e&cepción e&cepción de de %ue se se seleccionan seleccionan los 2  billetes al a$ar sin reposición. repo sición. alle la distribución de probabilidad de de ( . d) 'alcul cular E ( ( )  y ar ( ( ) 9u se !erifica< /. e una población población con media media 2/ y !arian$a 1- se e&trae e&trae una muestra muestra aleatoria aleatoria de 2/ obser!aciones* a) 9'u"l es la probabili probabilidad dad %ue la media muestral muestral se se encuentre encuentre entre entre 24 y 20< 20<

 b) 9u suposición se ace para responder #a)< 6. ea (1 ; (2 ;...; (6  una muestra aleatoria de tamaño 6 de una población con distribución 3eomtrica cuya función de probabilidad es: &

 1    f#&) =  ÷  ÷  4   4

& = -;1; 2...

*

'alcular: a)  1> 4 < (6

< 1 > 2

6    b) 6 1- < ∑ ( i < 1. i 1   =

0. ea (12  la media de una muestra aleatoria de 12 obser!aciones* de una !ariable aleatoria con función de distribución uniforme en el inter!alo ?-;1@ . 'alcular #apro&imadamente)  1 > 2 < (12

< 2 > 

8. En determinada ciudad 3rande 1> de las familias no tienen automó!il* 1> tiene uno* 1>6 tiene dos* 1>12 tiene tres y 1>12 tiene cuatro automó!iles. 'ada automó!il tiene cinco llantas. ea ( la !ariable aleatoria %ue representa el n,mero de llantas por familia. e toma una muestra aleatoria de 1-- familias. eterminar: a) 5a media

µ

(

 y la des!iación est"ndar

σ

(

 de la media muestral.

 b) 'alcular   ( < / . Una m"%uina !endedora de refrescos est" re3ulada de modo %ue la cantidad despacada ten3a una distribución normal con µ = 0  on$as y σ = -./  on$as. i se toman muestras de  !asos: a) 9e %u !alor e&ceder" el /A de las medias de las muestras<  b) 9Es necesario %ue se cumpla el teorema del lBmite central para responder #a)< E&pli%ue 1-. 5as cuentas de 3astos de representación de los eCecuti!os de una a3encia de  publicidad tiene una media de 7 1-- por persona y una des!iación est"ndar de 7 16 por persona. i se selecciona muestras aleatorias de 16 cuentas* a) 9or debaCo de %u !alor en dinero caer" el A de las medias muestrales<

 b) 9u proporción de las medias muestrales estar" entre 7 - y 7 11-< c) 9u suposición se debe acer para resol!er #a) y #b)< 11. e sus arci!os* un in3eniero mec"nico obser!a %ue el tiempo empleado en ensamblar cierto dispositi!o a un e%uipo est" distribuido normalmente con media µ = 22  minutos y des!iación est"ndar σ = 6  minutos. El in3eniero planea ensamblar 16 de estos dispositi!os oy. upon3a %ue el tiempo en colocar un dispositi!o es independiente del tiempo de ensamblar otro; y %ue estos ensamblaCes representan una muestra aleatoria de la e&periencia pasada. a) 9'u"l es la probabilidad %ue 2/ minutos o m"s sea el tiempo promedio por dispositi!o para este in3eniero<  b) 9'u"l es la probabilidad de emplear 2- minutos o menos en el primer ensamble< c) 'on el fin de poder lle3ar a una cita para Cu3ar 3olf* el in3eniero tiene %ue emplear un promedio de 2- minutos o menos por dispositi!o. 9'u"l es la  probabilidad de lle3ar tarde a la cita< d) El in3eniero empie$a a las 8 a.m. i en el almuer$o se demora 4- minutos* 9a %u ora es la cita para Cu3ar 3olf< 12. El n,mero de clientes por semana en cada tienda de una cadena de autoser!icios tiene una media poblacional µ = /---  clientes y una des!iación est"ndar 

σ = /--  clientes. i se selecciona una muestra aleatoria de 2/ tiendas a) 9'u"l es la probabilidad %ue la media muestral sea inferior a /-0/ clientes  por semana<  b) 9entro de %u lBmites se puede tener la certe$a %ue caer" el /A de la media muestral alrededor de la media poblacional< 1. 'ierta marca de bombillas tiene una !ida media de 2/0.1 oras y una des!iación est"ndar de 2- oras. Un pasadi$o sin !entanas de un edificio de apartamentos tiene una instalación elctrica planeada para iluminar continuamente. El  pasadi$o consiste de cuatro bombillas* pero solo una se enciende a la !e$. 'uando esta se %uema* la pró&ima bombilla se enciende autom"ticamente. Este  proceso continua asta %ue se %ueman las cuatro bombillas. 'ada semana al medio dBa* el administrador !iene y reempla$a las cuatro bombillas. 9'u"l es la  probabilidad %ue se %uemen las cuatro bombillas antes %ue lle3ue el administrador para reempla$arlas< 14. Un fabricante de radios recibe semanalmente un car3amento de 1----- pilas de 6 !oltios. ara decidir si acepta o reca$a el car3amento utili$a la si3uiente re3la de muestreo: mide la !ida ,til de 6 pilas de cada car3amento. i la media de la

muestra es de /- oras o m"s acepta e el car3amento y en caso contrario* la reca$a. a) 9'u"l es la probabilidad de aceptar un car3amento %ue tiene una !ida ,til media de 4 oras y una des!iación est"ndar de  oras<  b) 9'u"l es la probabilidad de reca$ar un car3amento %ue tiene una !ida ,til media de /-./ oras y una des!iación est"ndar de  oras< c) 9'u"l es la probabilidad de reca$ar un car3amento %ue tiene una !ida ,til media de /- oras< 9'u"l de aceptarlo< 1/. Un procesador de alimentos en!asa caf en frascos de 4-- 3. ara controlar el  proceso* se utili$a la si3uiente re3la de muestreo: se selecciona 64 frascos cada ora. i su peso medio es inferior a un !alor crBtico 5* se detiene el proceso y se reaCusta; en caso contrario* se contin,a la operación sin detener el proceso. eterminar el !alor de 5 de modo %ue aya una probabilidad de sólo -.-/ de detener el proceso cuando se est" en!asando a un promedio de 4-0./ 3 con una des!iación est"ndar de 2./ 3. 16. Un fabricante de caf instant"neo en!asa su producto en frascos de peso neto -- 3. ara controlar el proceso autom"tico de llenado* se selecciona cada ora una muestra de 6 frascos. i el peso neto medio (  de la muestra est" entre -1 y -2 3ramos* el proceso se continua* en caso contrario* se detiene y se reaCusta la m"%uina. a) 9'u"l es la probabilidad de detener un proceso %ue est" operando con una media de -1./ 3 y una des!iación est"ndar de 0./ 3< b) 9'u"l es la probabilidad de deCar %ue contin,e un proceso %ue opera con una

media de -2 3 y una des!iación est"ndar de 0./ 3< 10. En una partida 3rande de pilas elctricas* la !ida ,til de ellas est" distribuida normalmente con una media de 4-- oras. e sabe adem"s %ue el -A de las  pilas tienen una !ida ,til comprendida entre 18 y 482 oras. i se selecciona una muestra aleatoria de 1-- pilas de esta partida* 9cu"l es la probabilidad %ue la media muestral sea mayor %ue 42- oras< 18. Una partida 3rande de rodamientos tiene un di"metro medio de 2.-- pul3adas con una des!iación est"ndar de -.-2 pul3adas. a) Dbtener un inter!alo para el cual aya una probabilidad de -./ %ue el di"metro medio de una muestra aleatoria de 4-- rodamientos est incluido en l.  b) 9'u"l es la probabilidad %ue el di"metro medio de una muestra aleatoria de 1-- rodamientos sea mayor %ue 2.-- pul3adas<

1. 'alcular E ( ( )  y ar ( ( ) * sabiendo %ue: a) ( se distribuye normalmente  b)   ( < 6

= -.-228

c)   ( > 8

= -.841

d) (  corresponde a una muestra de tamaño 4. 2-. 'on referencia al problema anterior* si ay una población de /-- comprobantes de 3astos de presentación* 9cu"les serBan las respuestas a las pre3untas #a) y #b) de ese problema< 21. Un lote de 1--- caCas de cereal tiene un peso medio de 12 on$as y una des!iación est"ndar de -.6 on$as. e e&trae una muestra al a$ar de 1-- sin reposición de esta población. 'u"l es la probabilidad %ue el peso total sea: a) enor %ue 11- on$as  b) ayor %ue 11/ on$as c) Entre 11- y 11/ on$as 22. Un lote de /-- caCas de 3alletas tienen un peso medio de /.-2 F3 y una des!iación est"ndar de -. F3* se e&trae una muestra al a$ar sin reempla$o de 1-- caCas del lote. 'u"l es la probabilidad %ue ten3a un peso medio: a) Entre 4.6 y /.-- F3  b) uperior a /.1- F3 2. En un cole3io 3rande ay /-- niños matriculados en el primer 3rado. i la des!iación est"ndar del peso de los niños es de 2./ F3* 9cu"l es la probabilidad %ue el peso medio de una muestra al a$ar sin reempla$o de 1-- de estos niños y el peso medio de todos los niños difiera en m"s de -./ F3< 24. Una población est" constituida por sólo 1-- elementos. 5a población tiene una distribución normal con media - y des!iación est"ndar 8. 'alcular la  probabilidad %ue el promedio muestral basada en una muestra al a$ar de tamaño 16 sin reempla$o sea: a) enor %ue 2  b) E&ceda a 28 c) enor %ue 2/ d) 'omprendida entre  y 4

2/. eriódicamente un fabricante determina el contenido de a$ufre en un producto %uBmico y en cierto perBodo de tiempo a encontrado %ue el contenido promedio de a$ufre es -./A con des!iación est"ndar de -.-/A. 5os lotes de estos  productos se en!Ban a un cliente para %uien el contenido de a$ufre es importante y %ue por lo tanto !erifica la calidad lle!ando a cabo determinaciones de este dato en 4 muestras tomadas de cada lote. i el contenido promedio de a$ufre de las cuatro e&cede a -./A se aplica una sanción al fabricante. 9uede tener el fabricante la suficiente confian$a %ue esto no suceder"* si el proceso de fabricación permanece baCo control< 26. e encuentra %ue en cierto proceso de trituración los di"metros de las roscas se distribuyen en forma normal con media µ = 1./  cm y des!iación est"ndar  σ =

-.  cm

a) i d representa el di"metro medio calculado en muestras de tamaño 1--*

calcular la probabilidad %ue esta media muestral este comprendida entre 1.2 cm y 1.6 cm b) 9u tamaño debe tener una muestra aleatoria de di"metros de roscas para

afirmar con un 1-A de probabilidad %ue el di"metro medio sea inferior a 1.4 cm< 20. En un e&amen de car"cter nacional las calificaciones produCeron media µ = 02  y des!iación est"ndar σ = 1- . 9u tan 3rande debe ser una muestra aleatoria de candidatos de una uni!ersidad para %ue ten3an un 1-A de probabilidad %ue la calificación media sea inferior a 0-< 28. upon3a %ue la !ariable aleatoria ( se distribuye e&ponencialmente con  par"metro α = -.1 . 9'u"ntas obser!aciones se debe acer para afirmar con un /A de probabilidad %ue la media muestral sea mayor %ue 8< 2. e sabe %ue la !ida de las bombillas elctricas es una !ariable aleatoria distribuida normalmente con media desconocida µ  y des!iación est"ndar 2-1 oras. El !alor de un lote de 1--- bombillas es 1--- ( /--) µ  dólares. Un posible

comprador propone tomar una muestra aleatoria de

n

bombillas y pa3ar al

1  productor 1--- ( /--) (  dólares por el lote de 1--- bombillas. 9'u"l debe ser el

tamaño de la muestra n para %ue la probabilidad %ue el comprador no sobrepa3ue ni subpa3ue al productor en m"s de 2- dólares* sea -./< -. upon3a %ue las l"mparas fabricadas mediante un proceso tienen una !ida media µ = 2---  oras y des!iación est"ndar σ = 2/-  oras. e considera aconseCable sustituir el proceso si la !ida media puede aumentarse al menos en un 1-A. Un in3eniero desea poner a prueba un nue!o proceso admitiendo %ue la des!iación est"ndar de la distribución de !ida de las l"mparas es apro&imadamente la misma %ue para el proceso considerado al principio. 9u tamaño de muestra

debe e&aminar si %uiere %ue la probabilidad de no adoptar el nue!o proceso sea -.-1 apro&imadamente cuando con l se obtiene en efecto l"mparas con !ida media de 22/- oras< 1. ea (1  la media de una muestra de tamaño

n1

= 2 * con reempla$amiento* de la

 población finita 2;  y 0. imilarmente ( 2  es la media de una muestra de tamaño n 2

µ

(1 − ( 2

y

= 2 * con reempla$amiento* de la población finita 1; 1 y . allar  σ

2 (1 − ( 2

2. Una muestra de tamaño 2/ se toma de una población normal con media 8- y des!iación est"ndar /. Una se3unda muestra de tamaño 6 se toma de una  población normal con media 0/ y des!iación est"ndar . allar la probabilidad %ue la media de la muestra de 2/ obser!aciones e&cede a la media de la muestra de 6 obser!aciones en por lo menos .4 pero menos %ue /. . Un industrial compró la producción total de 1 año de los tubos de ima3en de G..  producidos por una f"brica determinada. 5os datos tcnicos proporcionados por los fabricantes son los si3uientes: duración media de !ida de los tubos* 28-oras; des!iación tBpica* /-- oras. i se consideran 2 muestras de tubos* una de tamaño 12- y la otra de tamaño 2--* calcular: a) 5a probabilidad %ue la duración media de !ida de la primera muestra no sea superior en m"s de 1-- oras a la duración media de !ida de la se3unda muestra.  b) 5a probabilidad %ue sea superior en m"s de 2-- oras. 4. os marcas de foco HEconómicoI y Hida EternaI tienen durabilidad #en oras) %ue son  +#14--; 2--2 )  y  +#2---; 2/-2 )  respecti!amente. i se prueba la durabilidad de 4 focos de cada marca* 9cu"l es la probabilidad %ue la !ida media de los focos de la marca HEconómicoI sea mayor %ue la !ida media de los focos de la marca Hida EternaI< /. upon3a %ue se sabe %ue los resultados de un mtodo %ue mide la dure$a de los metales si3ue una distribución normal alrededor del !alor real #es decir no ay error sistem"tico)* con des!iación est"ndar σ . El mtodo se !a a utili$ar para estimar la diferencia entre dos aleaciones J y K* es decir* para estimar µ J donde

µ −µ J

K

−µ

K

*

 son los !alores de dure$a #desconocidos) de las dos aleaciones.

5as pruebas en las aleaciones J y K dar"n resultados %ue son  +#µ J ; σ2 )  y  +#µ K ; σ2 )  respecti!amente. i n J  representa el n,mero de pruebas reali$adas con la aleación J y n K  el n,mero de pruebas reali$adas con la aleación K* 9en m"s de %u !alor ( J

−(

K

 no difiere de

µ −µ J

K

 con /A de probabilidad<

6. 'ierta marca de rodamiento de bolas tiene un peso medio de -./ on$as y una des!iación est"ndar de -.-2 on$as. e toman independientemente dos muestras al a$ar* con reposición* de cierto dBa de producción* con n1

= /--  y

n2

= 8--

'u"l es la probabilidad %ue las dos medias de las muestras difieran: a) En m"s de -.--2 on$as  b) En menos de -.--1 on$as 0. 'on referencia al eCemplo 12* si las muestras se e&traen sin reposición* 9cu"l serBa la respuesta a ese problema< 8. upon3amos %ue (1  y ( 2  son medias de dos muestras de tamaño n de una  población con !arian$a

σ

2

. etermine n de modo %ue la probabilidad %ue las

dos medias muestrales difieran en un !alor superior a -.-1

σ  sea apro&imadamente

. upon3amos %ue (1  y ( 2  son medias de dos muestras aleatorias independientes de tamaño n. 'ada una de las obser!aciones se supone normalmente distribuida con media y !arian$a com,n 2. etermine n de modo %ue (1  y ( 2  difieran en menos de 2 con /A de probabilidad 4-. Una m"%uina empa%ueta #en!uel!e y sella) porciones i3uales de cereales. i el  pa%uete no est" dereco se considera defectuoso; la m"%uina produce un 1-A de  pa%uetes defectuosos. Un lote 3rande de pa%uetes acaba de ser producido* se selecciona una muestra al a$ar de cinco pa%uetes del lote de producción. eterminar: a) 5a distribución de probabilidad para la proporción de pa%uetes defectuosos* reali$ar la 3r"fica correspondiente.  b) 'alcular E (  )  y ar (  ) * 9se cumple %ue E (  ) ar (  )

= p  y

1 =    ÷ p ( 1 − p) <  n 

c) 9'ómo est" ses3ada sta distribución muestral para  < d) allar la distribución de probabilidad para (: n,mero de pa%uetes defectuosos y reali$ar su 3r"fica. 41. En una urna ay 1- bolas* cinco de las cuales son ne3ras y cinco blancas. e e&trae una muestra al a$ar de seis* sin reposición* e!al,e la distribución por muestreo de la proporción de bolas blancas. 42. i de una 3ran población con p = 1 >   se e&trae una muestra al a$ar de 18unidades:

a) 'alcular

µ



 y

σ



 b) 'alcular la probabilidad %ue /- >18- <  < 0- >184. 'on base en datos pasados* el -A de las compras con tarCeta de crdito en una tienda muy conocida son por cantidades superiores a 7 1--. i se seleccionan muestras aleatorias de 1-- compras: a) 9%u proporción de las muestras es posible %ue ten3an entre 2-A y -A de compras mayores %ue 7 1--<  b) 9dentro de %u lBmites simtricos del porcentaCe de la población caer" el /A de los porcentaCes de la muestra< 44. el profesorado de cierta uni!ersidad* 1>6 son muCeres. i de esta población se e&trae una muestra al a$ar de 18-* calcular: a)    ≥ -.  b)  -.1 ≤  ≤ -.2/ 4/. Una población de / tiendas !a a ser muestreada con el fin de estimar la  proporción de las tiendas de la población %ue en su lBnea comercial tienen una cierta marca de tele!isor. upon3a %ue la población es* de eco* la si3uiente: Tienda

Características

J

tiene la marca de tele!isor  

K

no tiene la marca de tele!isor  

'

no tiene la marca de tele!isor  



tiene la marca de tele!isor  

E

tiene la marca de tele!isor  

e toma una muestra de dos tiendas de esta población. a) 9u proporción de las tiendas de la población tienen este tipo de tele!isor<  b) Dbten3a la distribución de muestreo de   por enumeración de todas las combinaciones posibles para la muestras. c) 9'u"l es la probabilidad   %ue la proporción de la muestra sea: i) i3ual a 1 ii) menor %ue -./-< d) 9'u"l es la probabilidad %ue la proporción de la muestra no difiera de la  proporción de la población por m"s de -.2-<

e) 'alcular la media de la distribución de muestreo de   y la des!iación est"ndar de la distribución de muestreo de  46. En una población de / arci!os* la proporción de las %ue tienen una parte incorrectamente llenada es  p = 1 > / . e !a a ele3ir una muestra aleatoria de  arci!os. 'alcular la probabilidad %ue la proporción de la muestra sea  = 1 >  40. 5a probabilidad %ue un nue!o empleado ste con la misma firma al cabo de un año es de -.4/. upon3a %ue se aplica la distribución binomial a) Dbten3a la distribución muestral de  * la proporción de siete empleados %ue est"n toda!Ba en la firma al cabo de un año.  b) 9'u"l es la probabilidad %ue la proporción de la muestra sea: i) 4>0 menor %ue >0<

ii)

c) 9'u"l es la media de la distribución muestral de  < 9'u"l es su des!iación est"ndar< 48. E 4. E /-. E /1. E /2. e /. /4. E //. E /6. E /0. E /8.