Problemas 4 Fenomenos

 

Problemas Tema 4

 

Ejercicio 4.1.-- Sabiendo que las leyes fenomenológicas son lineales, deducir las unidades en el S.I. de la constante de proporcionalidad proporcionalidad L de la ecuación (4.! ( 4.! para cada uno de los

procesos indicados en la Tabla 4., es decir decir,, si la "ariable # es (i! temperatur temperatura, a, (ii! can$dad de mo"imiento, (iii! concentración y (i"! potencial el%ctrico. J Las unidades de L, vendrán dadas, teniendo en cuenta (4.11) por 

Propiedad   |Propiedad| energía &

L = ∇Y

Variable Y temperatura

|Y| '

 

|d Y/dx| ' m--

L

 ter

|L| & '-- m-- s--

--

impulso materia

)g m s moles

"elocidad concentración

m s-- mol m--+

carga

culombio

dif. potencial

"ol$o

s-- mol m--4 --

ol$o m



* $

)g m-- s-- ms--

cond

m-- Ω--

 

Ejercicio 4.2.-- /na celda c0bica de 1,11 m de lado se rellena con benceno. La cara superior se man$ene a 23 y la opuesta inferior a 23. alcular la can$dad de calor que

5uye a tra"%s del benceno en una 6ora, una "e7 se 6aya alcan7ado el r%gimen estacionario (sin con"ección!. Para calcular la can$dad de calor necesitaremos conocer la conduc$"idad t%rmica del benceno y el gradiente de temperatur temperaturas as en la dirección del 5u8o que ser9 la "er$cal dT:d7, pues el calor 5uir9 de la cara superior caliente a la inferior m9s fr;a.  & ' -- --

m temperaturas  s , "alor que a falta de mayor informacióna consider consideraremos constan te en del temperatur as del e8ercicio. Si la temperatur temperatura dependearemos sólo deconstante la "er$cal 7, el eninter"alo r%gimen estacionario podemos 6acer? dT

=

T

z

dz

=

10K 0,100 m

= 100 K m

−1

@plicando (4.!, la ley de Aourier monodimensional? dQ dt

= Q = − Aκ T t  Q = −Aκ

z

T t

z



--

-- --

--

= --1,1 m  B 1,2> & '  m  s  B 11 ' m  B +C11 s =--2CD,2 & 

pues @=1,1 m , t=6=+C11s.

 

--

Ejercicio 4..!! ' y  atm de presión. $ato? di9metro molecular del nitrógeno ordinario, d = +,KB1

--1

 m.

se $ene? 

 3

=

=

=

−1 −1   (8,145  6  mo mo** )  (278 6)

8

π(0,028 "# mo*−1)

1,8'x10

−5 2 −1  m  s

1 ($,02214x102 mo  mo**−1)(,'x10−10 m)2 10125 ! m−2

=

 

Ejercicio 4.).-- La conduc$"idad el%ctrica,  del agua pura es 2,2B1 V

--C

--

--

--

 Ω  m  a 2F.

u9l es el "alor del producto iónico del agua, ' =U WMU WX La ecuación (4.4>! nos relaciona la conduc$"idad el%ctrica, , con la concentración

+u

= c(u κ

 

9+   :9−

)

por lo que podemos obtener la concentración, c, de uno de ellos (que ser9 igual a la del otro! a tra"%s de? c=

κ

−$ −1 −1  Ω m

5,5x10

(u 9 + + u :9 − ) = 7$485; mo*−1($,25 + 20,$4)x10−8 m2V−1s−1 −' −1 −4 mo* = 1,002x10  = 1,002x10 mo* L m −14

[ + ][:9− ]= c2 = (1,002x10−' )2 = 1,00x10

6 14 & '-- cm-- s--.(Solución? 4.>4 & s--! +2'

1 dQ

K2 '

dT

J= = −κ  A dt dz

dQ = −κ·A· dT dt

dz

1 11 cm Para calcular la fuer7a (gradiente de T con 7! podemos u$li7ar el 6ec6o de que al alcan7ar el estado estacionario tendremos un perEl lineal? T T

dT = T = T2 − T1

T

0

l

7

dz

z

z2 − z1

= 275 − 325 = −0.25·c!−1 200

t=grande

Sus$tuyendo en la ley de Aourier dQ dT −1 −1 −1 2 −1 −1 dt = −κ·A· dz = −(0."0#J· ·c! ·$  )(·2#c!  )(·− 0.25·c!  )= #."2#J·$

@unque 6emos me7clado unidades, nótese que todos los cm se "an, quedando unidades deldel SI. 5u8o es posi$"o, lo que indica que el calor "a del foco caliente al 1.25·10  !?

 

Ejercicio 4.12.!!$os tubos de cobre, cada uno de + m de longitud, con un di9metro interno el  

primero de .C cm y de .+ cm el segundo, se conectan en serie. Se establece una presión de 2 atm en el eBtremo abierto del tubo m9s anc6o, y del eBtremo m9s estrec6o sale aceite a una presión de  atm. Para el aceite, h = 1.4 Pa s a 2 F. a! alcule la presión en el punto en que se unen los dos tubos. b! u9ntos litros por minuto pueden obtenerse obtenerse mediante esta combinaciónX

*6=5 t!

2.( c!

1.3 c! * =1 =1 t!

3!

3!

6

4

&4nd $8 cn8ctn 2 t4@8:;$ $8 c4!98 %8:$6n :64:$? 3∂ 16 

 D = 3 8d 2

kT

1/2

∂m

kT   P 

? Dt Dt$I $I T=2 T=273. 73.15 15 !=32·103-) A ,

*= 1 t!= 101325 * 10 d=3.(·10 !

5

2 1

2 1

D=1.(2·10 ! $ =0.1(2 c! $

 8::: 8$ d8 15 9:L. ? Dt Dt$I $I T=2 T=273. 73.15 15 !=32·103-) A ,

*= 10 10 t!=  t!= 1013250 1013250 *  * 10 ! d=3.(·10

(

2 1

2 1

D=1.(2·10 ! $ =0.01(2 c! $

 

Ejercicio 4.1*.!!Suponga un sistema unidimensional que se eB$ende desde  z = 1 a z = ∂. 8n !8$-c!3! en 7=2cm "endr9 dada en función del \empo sus\tuyendo los datos en (!?

 

c(5't)=

n0

z2 − 8 1

2.K2·10−2 #Dt

=

2

−(

8− 1- 2

25 #·5.2·10

−(

 t

1K.(#·>π·5.2·10 ·t?

=

0.3(" A>πDt? 8 − 1.202·10 >! - c! 3 ? t (

=

t1- 2 (

0.3(" 8 − 1.202·10 = 0.11(#·8 −1.202·105

>? t = 10$

c(5'10)=

t

0 ∂

t1- 2 7

>@? t = 1X=3.153(·10  $

c(5'3.153(·10

7

)=

0.3(" 8 − 1.202·10 ( = (.55#·10 −5 ·8 −0.03" t

t1- 2

= (.3·10

−5 

! = 0.0(3/

c!3

=

 

Ejercicio 4.21.!! alcular la distancia cuadr9$ca media recorrida por una mol%cula de glucosa en agua a 2 F en +1 minutos. Suponer que las mol%culas de glucosa se difunden a par$r de (a! una capa depositada en el fondo del "aso y (b! un pequeo terrón suspendido en el seno del agua. u9nto $empo tardar9n las mol%culas de glucosa en recorrer una distancia de  mm y  cm desde su punto de par$da en el caso aX )

− r2

0

  c (z , t ) =  4Dt  8(πDt )  2 e 4Dt 

?

z=0 U

U

B z2  C= ∂z2·d9>z't? = ∂z2·>z't?·dz 0

E68nd >z't?  4nc6n d8 d6$t:6@4c6n

0

La probabilidad de encontrar un mol de a70car entre 7 y 7Vd7 en el instante t ser9?

d9>z't? =

dn>z't?

=

&>z't?·A·dz

=

1

2

z

8− #Dt ·dz

(πDt)1- 2 n0 n0 *: t: d  9:@@66dd $8 948d8 8$c:6@6: c!I >z't? = 1 8− z2 d9>z't? = >z't?·dz

#Dt

(πDt)1- 2

 

 A$;' 8 %: !8d6 d8 z2 $8:GI U 2

1

U 2

2

= ∂z0 ·>z't?·dz =  

1

2

z

·

− #Dt

  (∂Dt1)- 2 ∂0z ·8

= ·dz  

1- 2

(∂Dt)

2∂1- 2   23 1

3-2

= 2Dt

#Dt Y 9: tnt <

z2  >= 2Dt = 2·0.(73·10−K !2·$−1·1."·103 $ = 2.#23·10−( !2

Y  :;z d8  d6$tnc6 c4d:Gt6c !8d6I

z:!$ = ()1- 2  = 1.5(·10−3 ! u9nto $empo tardar9n las mol%culas de glucosa en recorrer una distancia de  mm y  cm desde su punto de par$da en el caso aX

−3

2



t=

2D

2

z :!$

z:!$ = 10  !

= 2D

−2 :!$

t = 7#3$ t = 7#2K#$ = 20.(M

 

@? U

r

B : 2  C= : 2>:'t?d:  ∂0

*:@@66dd d8 8ncnt:: 4n ! 8nt:8 :  :+d: 8n 6n$tnt8 tI d9>:'t? = dn>:'t?

Q48dnd  4nc6n d8 c>:'t?#π: 2d: 

n0

d9>:'t? = dn>:'t? n0

=

c>:'t?d

= n0

n0

U 2

B :  C= ∂:

0

:  8

U

>:?d: = ∂: 

2

−:

2

"(πDt)

2 #Dt

−: 

>:'t? =

2

d9>:'t? = >:'t?d:  #Dt

1 3 2

Y 9: tnt r 2  >= >= 7.268·10  7.268·10−6  m2 Y  :;z d8  d6$tnc6 c4d:Gt6c !8d6I <

2 1- 2 : ::!$   = 2.70·10−3 ! !$ = ()

d6$t:6@4c6n d6$t:6@4c6 n c!I #: 2

d: 

U # −: 

:  d: = 32 ∂ 2   2π >Dt? 2π >Dt? 0 8 12

0

= #π:  8 3

2

2

2

1

2

#Dt

d:  = (Dt

2π1- 2 (Dt)3 - 2

−:  2

8

#Dt

 

Ejer Ejercici cicio o 4.22. 4.22.!! !! 1CCGG1

--+

--

 &'

NA = C,1 GG1+ mol-- o

=1  = D+,2 ' --+ η = 1,1 P = B1   Pa s --  -- D = C,DGG1  m  s --  = C+111 g mol T

--

r

+

= ,++2 g mL  = ,++2GG1  g L

−23

--

 L2K3'15 = 3'11L10−K !  S8 = 1'3"0((L10 : S8 −3 −11 −1 1    (π L1L10  L('KL10 = 31'1R