Problemas 1gdl

PROBLEMA 1.- Se tiene una losa rectangular , maciza, simplemente apoyada en sus cuatro bordes de concreto 3 armado (E=230,000 kg/cm2 , γ concreto concreto = 2400kg/m ) de 20cm de espesor y de 6m de luz y 4 de ancho.  Se desea calcular el periodo de vibración de la losa ante una fuerza vertical de personas saltando sobre la misma. Para representar la losa se puede suponer  que   que está constituida por dos “vigas” de 1m de ancho. También se  puede suponer suponer que la masa asociada con la vibración es la dada por la zona central de la viga (un área rectangular de 2m x 3m  de lado centrada con la losa). a) Calcular el periodo y frecuencia natural. (4 puntos )

SOLUCIÓN 1 :

a) Nuestro modelo será: 0.2m 1m

1m

4m

 fig. c

1m 6m  fig. a

 fig. d

fig. b

Calculando las Rigideces de las vigas que poseen longitudes distintas:

K V  =

; De la figura c:

48 EI   LV 

 I V  =

100 x 20 12

3

= 66667 cm 4

3

 Rigidez = K T  = K V 1 + K V 2

48 x 250000 x66667 48 x 250000 x66667 + = 3407.42 + 11500 K T  = 3 3 600 400  De la figura b: m=

P

(( 2 x3 x 0.2) x 2400)

=

981

g

→

m = 2.936

kg − s

Calculando lo solicitado, tenemos que: K T 

ω  =

14907.5

=

2.936

m

T  =

2π 

 f  =

1

=

ω 

T 

=

2π 

→

71.256 1 0.088

→

→

ω  = 71.256

T  = 0.088s

 f  = 11.34 Hz

rad  s

cm

2

→

K T  = 14907.5

kg cm

PROBLEMA 2.- La

viga doblemente empotrada  de la figura 2 4 es de acero,  E=2 100 000 kg/cm  , I=4000 cm . La viga sola es muy flexible y para comodidad de los que transitan sobre ella se desea que tenga una frecuencia natural mayor o igual a 20  Hertz. Para reducir la vibración   se puede colocar una varilla de acero al centro de la luz . Determine el diámetro de la varilla (en los valores comerciales usados en nuestro medio) necesario  para cumplir con esta condición. El peso colocado al centro es de 2t. (5 puntos)

3m

10 m

SOLUCIÓN 2:  E  = 250000

kg cm 2

 I V  = 40000 cm 4 P = 2 t  = 2000 kg  f TOTAL ≥ 20 Hz (Condición)

P

m=

P

=

g

2000 981

= 2.039

kg − s

2

cm

 De la condición :  f TOTAL ≥ 20 Hz

ω 

=

1

K T 

≥ 20 Hz 2π  2π  m  Despejando K T  se tiene : K T  ≥ (20 x 2π ) m = (20 x 2π )  x 2.039 2

→

2

Sabemos que K T  = K VigaSola + K Varilla

K T  ≥ 32194.4

despejando :

kg

→

cm

K T [mín ] = 32194.4

K Varilla = K T  − K VigaSola

Como :  EI  2100000 x 4000 K VigaSola = 192 3 = 192  L 10003 Re emplazando : K Varilla = 32194.4 − 1612.8 Ya que : K Varilla =

 EA  L

→

despejando " A":

4 A π 

=

K VigaSola = 1612.8

K Varilla = 30581.6

Como la barra es circular :  A =  Despejando " D":  D =

→

 D π 

kg

cm K Varilla L

2100000

→

 A = 4.37cm

4

→

 D = 2.36cm

 Debido a que se debe usar un diámetro comercial y  Entonces:

cm

2

4 x 4.37 π 

 A =

kg

1”=2.54cm [Es el diámetro a usar]

1”=2.54cm > 2.36

2

kg cm

Y

PROBLEMA 3.-  Se tiene un edificio de un piso 4m

que en la dirección Y está conformado por dos  pórticos a los extremos y otros dos que están conformados por una columna y un muro de albañilería Los muros tienen 25cm de espesor   y un módulo de elasticidad de 25 000 kg/cm2.  Las columnas son de concreto armado y tienen 25cm x 2 40cm (E=250 000 kg/cm ).  Para facilitar los cálculos se puede suponer que las vigas son de rigidez infinita y las columnas están empotradas en ambos extremos.  El peso total a la altura del techo se puede considerar 96 toneladas. La altura total es de 2.4m   y la losa del techo tiene 20cm de espesor .

4m

4m

2m 8m 2m X

PLANTA

Se desea determinar el periodo de vibración en la dirección Y. (4

kg

puntos)

SOLUCIÓN 3:

Y

m2 = 0 .25 m

Columna

Viga

2m

kg cm 2 kg

2m

0 .20 m

X

.4 m * Calculando la Rigidez Total ( K T ) : K T = 8  xK Columna + 2 xK muro

- Cálculo de K Columna = K C :   K C  =

12 EI C 

como  I C  = 3 h 12 x 250000 x133333

⇒ K C  =

25 x 40

3

= 133333 cm4

12

→

( 240 − 20) 3

K C  = 37565.65

kg cm

- Cálculo de K  Muro = K  M  : K  Muro =

 E t  3

⎛  h ⎞ ⎛  h ⎞ 4 x⎜ ⎟ + 3 x⎜ ⎟ ⎝  L ⎠ ⎝  L ⎠

2500 x 25

=

3

⎛ 2.4 − 0.2 ⎞ ⎛ 2.4 − 0.2 ⎞ ⎟ + 3 x⎜ ⎟ ⎝  2  ⎠ ⎝  2  ⎠

4 x⎜

∴ K T  = 8  x37565 .65 + 2 x72472.17  T  = 2π 

m K T 

⇒ T  = 2π 

con

m=

97 .859

→

445469 .5

P g

=

→

96000 981

K T  = 445469 .5

= 97 .859

T  = 0.093 s

kg .s 2 cm

kg cm

→

kg K muro = 72472.17  cm

PROBLEMA 4.-

Se desea investigar la vibración de una  porción de la losa de un edificio F(t)  para un local comercial . Se considera que M extrayendo un paño típico formado por una  parrilla de sólo dos vigas cruzadas se puede representar adecuadamente, por lo menos para un L análisis preliminar. Sobre esta parrilla se considera un  peso trasmitido por la losa de 48t   y que se  puede concentrar en el cruce de las vigas.  Las vigas son todas de 25 x 40 cm  de sección, 6m de longitud . y E= 250,000 kg/cm². Considere que este sistema puede representarse por un sólo grado de libertad que es la deformación vertical al centro del cruce. Considere 5% de amortiguamiento. Determine: a) La frecuencia circular, la frecuencia natural y el período de este sistema. (3 puntos).  b) Sobre este piso el propietario va a realizar sesiones de aeróbicos lo que incluye muchos saltos conjuntos. Supóngase que las personas que realizan estos ejercicios lo hacen con una frecuencia natural de 2 saltos por segundo. ¿Cuál será la máxima amplificación dinámica que se produce y cuál el máximo desplazamiento al centro si se consideran 10 personas de 70 kg de peso saltando con esa frecuencia alrededor de este punto?. (2 puntos) c) ¿Cuál tendría que ser la frecuencia natural de los saltos que el entrenador debe evitar llegar para evitar la resonancia? (1 punto). d) ¿Cuál sería el máximo desplazamiento que se produciría en ese caso,.(2 puntos).

SOLUCIÓN 4:

P = 48 t   L = 6 m

F(t)

 E  = 250000

(25x40)

kg cm

2

 I V  = 133333cm

4

 β  = 5%

M

a) Calculando las frecuencias y periodos  Rigidez = K  = 2 K V  = 2 m=

P

=

g

48000 981

48  EI   L3

= 48 .93

=2

kg − s

48  x 250000 x133333 600 3

2

cm

Procediendo al calculo de lo solicitado, tenemos que:

ω  = T  =  f  =

K  m 2π 

ω  1 T 

=

=

=

14815

→

48 .93 2π 

17 .40 1

0.361

→ →

ω  = 17 .40

T  = 0.361s  f  = 2.769 Hz

rad  s

→

K  = 14815

kg cm

b) Calculando la Máxima Amplificación Dinámica Para ello haremos uso de:

1

FADmáx =

2

2 ⎡ ⎛  Ω ⎞ 2 ⎤ 2 ⎛  Ω ⎞ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + 4 β  ⎜ ⎟ ⎝ ω  ⎠ ⎢⎣ ⎝ ω  ⎠ ⎥⎦

 Identi icando los términos:  f Saltos = 2 Hz

Ω = 2π  f  → 4π  Ω ⇒ = ω 

Ω = 4π  Ω → = 0.722 ω 

17.40

1

FADmáx =

[1 − (0.722) ]

2 2

=

+ 4 x0.05 (0.722) 2

2

1

[1 − 0.229] + 4 x0.05  x0.229 2

→

2

FADmáx = 2.067

Con la uer a exitadora: F 1 = 10 x70 = 700kg  Luego : U  Estático = U máx

F 1

700

→ U  Estático = 0.047cm 14815 = U  Estático xFADmáx = 0.047 x 2.067 = 0.098 ≈ 0.10cm K 

=

→

U máx = 1mm

c) Recordando que la Resonancia se da cuando:

Ω ω 

=1

⇒

Ω = ω  = 17 .40

rad  s

∴  f ReSaltos sonacia =

Ω 2π 

=

17 .40 2π 

→

 f ReSaltos  Hz sonacia = 2.77 

c) Calculo del máximo desplazamiento bajo las condiciones anteriores : Sabemos que el Máximo en Resonancia: máximo FADRe sonacia =

1 2 β 

=

1 2 x0.05

→

máximo FADRe sonacia = 10

U Re sonacia = U  Estático xFADRe sonacia = 0.047  x10 = 0.47 cm máximo

máximo

máximo → U Re sonacia = 4.7 mm

PROBLEMA 5.-

Se tienen un sistema de un grado de libertad con 5% de amortiguamiento . Si se aplica un desplazamiento inicial a la masa y se la deja vibrar libremente en que porcentaje desciende la máxima amplitud en cada ciclo. (3 puntos) Cuantos ciclos se necesitan para que la amplitud esté por debajo de 10% de la inicial. (2 puntos) Depende este número del período del sistema (1 punto). Un sistema rígido tardaría mas o menos tiempo en alcanzar este nivel de desplazamiento. (1 punto).

SOLUCIÓN 5: a) Calculando cuanto desciende en cada ciclo:

 β  = 5%

 D. L = 2πβ  = 2π  x0.05

→

 DL = 0.314

⎛  U n  ⎞ ⎟⎟ U  ⎝  n +1  ⎠

. = Ln⎜⎜ Tambien : D L Re emplazando

e

0.314

U n+1

 Invirtiend o

U n

=

 D . L

despejando U n U n +1

→

e

=

1.369 =

U n U n +1

U n U n +1

= 0.73

 Lue o lo ue desciende cada ciclo: Cada  DesciendeCiclo = 1 − 0.73 = 0.27 

→

Cada  DesciendeCiclo = 27 %

b) ¿Cuántos ciclos se necesitan para que baje al 10% ?  Al desarrollar la expresión de la parte a) en “n” términos obtenemos:

U n +1 U n

U n

= 0.73

U n −1

= 0.73

U n −1 U n − 2

= 0.73

.....

U 2 U 1

= 0.73

“ ”

U n +1 U 1

= (0.73)

Con

n

la

condición :

U n+1 U 1

= 0.10

 Reemplazando la condición en la expresión anterior se tiene ahora:

(0.73)n = 0.10

→

n log 0.73 = log 0.10

→

n=

log 0.10 log 0.73

→

n = 7 .33ciclos " β ".

c) ¿Depende este número del periodo ? Como se puede apreciar no. Depende mas bien del amortiguamiento d) ¿Un sistema tardaría más o menos tiempo ? Un Sistema Rígido tiene periodo más corto. Por lo tanto tardaría menos tiempo.

PROBLEMA 6.- El pórtico

de la figura soporta una máquina vibratoria que ejerce una  fuerza horizontal al nivel de la viga de F(t) = 500 sen 11t kilos.   Suponiendo 4 % del amortiguamiento crítico, cuál es la amplitud de la vibración permanente. Las columnas laterales y la viga tienen una sección transversal de 25 x 40 cm. y a nivel de la viga hay una peso total de 30t. El módulo de elasticidad del material es 250,000 kg/cm². L=8m, h=4m. (5

w F(t)

h

puntos) L

SOLUCIÓN 6 : :  Nuestro modelo

F(t)

F (t ) = 500.Sen(11t )

es el que se muestra

4m

 β  = 4% P = 30t 

8m

 E  = 250000

kg cm2

; F [kg ]

Con “P” calculamos “m”:

kg − s m= = = 30.58  g 981 cm P

30000

2

Calculando la “K”:

24 EI C  1 + 6 γ 

K Pórtico = γ  =

K V  K C 

=

h

 I C  = I V  =

4 + 6 γ 

3

( I v / L) ( I c / h)

=

h

=

 L

4

= 0 .5

8

→

25 x 40 12

3

= 133333 cm 4

γ  = 0.5

 Entonces : K Pórtico = K P =

K P

ω  =

24 x 250000 x133333 1 + 6 x0.5 400

7143

=

→

30.58 

m

→

4 + 6 x0.5

3

ω  = 15.283

K P = 7143

kg cm

rad  s

1

FADmáx =

2

2 ⎡ ⎛  Ω ⎞ 2 ⎤ 2 ⎛  Ω ⎞ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + 4 β  ⎜ ⎟ ⎝ ω  ⎠ ⎢⎣ ⎝ ω  ⎠ ⎥⎦

 Identificando los términos de: F (t ) = 500.sen(11t ) = F 1. sen(Ωt ) F 1. = 500kg

⇒

Ω ω 

=

11 15.283

FADmáx =

Ω = 11

 y

Ω

→

ω  1

[1 − (0.72) ]

2 2

= 0.72 →

+ 4 x0.04 (0.72) 2

2

FADmáx = 2.06

 Luego : U  Estático =

F 1 K P

=

500 7143

→

U  Estático = 0.07cm

Finalmente : U máx = U  Estático xFADmáx = 0.07 x 2.06 = 0.144cm

→

U máx = 1.44mm