Problemas 1

 

Problemas de Dinámica Estructural Programa de Maestría y Doctorado en Ingeniería - UNAM

Prof. Dr. Ernesto Heredia Zavoni Septiembre 2018

1.  Considere el modelo estructural de un grado de libertad que se muestra en la figura. La viga en voladizo es de concreto con módulo de elasticidad E=3x10 5 Kg/cm2, sección transversal rectangular con momento de inercia I=0.0243 m4, y longitud L=2.5 m. El resorte representa el aporte a la rigidez del sistema de un elemento estructural a base de un perfil de acero con módulo de elasticidad 2.1x10 6  Kg/cm2, sección transversal de área 14 cm2, y altura H=4m. El sistema tiene un peso de 3 toneladas: a.  Calcular el periodo natural de vibración del sistema  b.  ¿Sería razonable o apropiado considerar que para efectos del cálculo del  periodo natural del sistema la viga no aporta rigidez? M EI k 

H=4m

L=2.5m

  2.  Encontrar las frecuencias y formas modales del sistema mostrado en la figura 2-1. m

m

m

m

 

Figura 2-1

 

Figura2-2

Comparar resultados si es que se decide modificar las rigideces del segundo entrepiso tallos como se muestra en la figura 2-2

 

  3.  El sistema estructural que se muestra en la figura tiene masas y . Se considera que las trabes son elementos rígidos y que las columnas son axialmente rígidas. La rigidez lateral de cada columna se indica en la figura. Encontrar las frecuencias y formas modales del sistema estructural. m2

k  m1 2k  k 

k 

  4.  Encontrar las frecuencias y formas modales del sistema estructural mostrado; las trabes se consideran como elementos rígidos y las columnas como elementos axialmente rígidos.

3m

h

 EI  2m 9EI   EI 

h m 4EI 

 EI 

 EI 

h

 

5.  El sistema mostrado se somete a un desplazamiento inicial =5cm y velocidad inicial nula. Si la viga tiene rigidez a flexión de 20,000 N/m y 500 Kg de masa, calcular el desplazamiento y la velocidad del sistema en el tiempo t=1 s. Considere que la rigidez del resorte es el 25% de la rigidez de la viga.

 

EI k  M L

 

6.  Encuentre la frecuencia natural de vibración de los cuatro sistemas mostrados en la figura : EI

m

EI

L/2

 

M

L

L/2

 

EI m

EI

k 

k 

k 

M L/2

 

L

L/2

 

7.  Encontrar las frecuencias y formas modales del sistema estructural que se muestra en la figura 2.1. La rigidez lateral de cada columna es k . m

2k  m

2k

2k  m

k 

m

k 

2k

 

 

Figura 2.1

 

  Si se modifican los apoyos en la base de la estructura, tal como se muestra en la figura 2.2, encontrar las nuevas frecuencias y formas modales.

Figura 2.2

8.  Se observa que un sistema estructural en vibración libre describe 10 ciclos de respuesta en 10 segundos. Si se sabe que la estructura tiene un peso de 2 toneladas, calcular su rigidez. 9.  El marco que se muestra en la figura está formado por dos columnas de momento de inercia  I c  y módulo de elasticidad  E  , y una trabe de momento de inercia  I b  y módulo de elasticidad  E  . El sistema está sometido a una fuerza dinámica horizontal  F (t )   tal como se muestra en la figura. Suponiendo una masa concentrada m   en la trabe y que las columnas y trabe son elementos axialmente rígidos, se pide: a.  Encontrar la frecuencia natural del sistema si

 I b   I c    



 

 b. Comparar la frecuencia con la  I del  caso elemento rígido (rigidez aobtenida flexión infinita, ). en que la trabe es un b

 EI b

h

 F(t)  EI c

 EI c

2h

 

 

 Nota: coeficientes de rigidez para trabes 6EI/L2 4EI/L

 

6EI/L2

2EI/L

Δ=1

θ=1

12EI/L3 6EI/L2

6EI/L2

3

L

L

  10. En la figura se muestra un marco transversal de de una construcción. La cubierta puede puede idealizarse como un diafragma rígido con un peso concentrado de 8500 kg. Las columnas son de concreto de módulo de elasticidad  E c=113,000 kg/cm2, tienen una sección transversal de 15 cm × 15 cm, y se consideran axialmente rígidas. Las diagonales son cables de acero con módulo de elasticidad  E a=2.1×106  kg/cm2  y de sección circular de 1.0 pulgada de diámetro.

3m

6m

a)  Calcule la frecuencia natural del sistema. Se supone que los cables no tienen rigidez axial en compresión y sólo contribuyen a la rigidez lateral del marco cuando trabajan en tensión.  b)  Si el marco se desplaza lateralmente 2.0 cm y la estructura se deja vibrar libremente partiendo del reposo, calcular su desplazamiento, velocidad y aceleración al cabo de 2s.

12EI/L