Problemario Para El TercerParcial

1 PROBLEMARIO PARA EL TERCER EXAMEN PARCIAL DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONJUNTA 1. En cierto supermercado hay una caja de salida común y una caja rápida. Represente con X1 el número de clientes que están esperando en la caja común, en un momento particular del día, y con X2, el número de clientes en la caja rápida, al mismo tiempo. Suponga que la fpm conjunta de X1 y X2 es como se indica en la tabla siguiente: x2 0

1

2

0

0.08

0.07

0.04

0.00

1

0.06

0.15

0.05

0.04

2

0.05

0.04

0.10

0.06

3

0.00

0.03

0.04

0.07

4

0.00

0.01

0.05

0.06

x1

3

a. ¿Cuál es P(X1 = 1; X2 = 1), esto es, la probabilidad de que haya exactamente un cliente en cada línea de espera? b. ¿cuál es P(X1 = X2), esto es, la probabilidad de que el número de clientes de las dos líneas de espera sean iguales? c. Represente con A el evento en que haya por lo menos dos clientes más en una línea de espera que en la otra. Exprese A en términos de X1 y X2 y calcule la probabilidad de este evento. d. ¿Cuál es la probabilidad de que el número total de clientes de las dos líneas de espera sea exactamente cuatro? ¿Por lo menos cuatro? e. Determine la fpm marginal de X1 y después calcule el número esperado de clientes en la línea de la caja común. f. Determine la fpm marginal de X2. g. Por inspección de las probabilidades P(X1 = 4), P(X2 = 0) y P(X 1= 4, X2 = 0), ¿son X1 y X2 variables aleatorias independientes? Explique su respuesta. 2. Cuando un automóvil es detenido por una patrulla, se revisa el desgaste de cada neumático y cada faro delantero, para ver si está correctamente alineado. Representemos con X el número de faros delanteros que necesitan ajuste y con Y el número de neumáticos defectuosos. a. Si X y Y son independientes con px(0) = 0.5, px(1) = 0.3, px(2) = 0.2 y py(0) = 0.6, py(1) = 0.1, py(2) = py(3) = =.05 py(4) = 0.2, presente la fpm conjunta de (X, Y) en una tabla de probabilidad conjunta. b. Calcule P(X ≤ 1 y Y ≤ 1) de la tabla de probabilidad conjunta y verifique que sea igual al producto de P(X ≤ 1) · P(Y ≤ 1). c. ¿Cuál es P(X + Y = 0) (la probabilidad de no violaciones)? d. Calcule P(X + Y ≤ 1). 3. Sea la distribución de probabilidad conjunta dada en la siguiente tabla, donde X = la edad de un niño y Y = su estatura en m.

2

y 1.20 1.25 1.30 1.35

x 9 0.04 0.11 0.1 a

8 0.1 0.05 0 0

10 0 0.2 0.15 0.05

11 0 0 0.1 0.1

a. Calcule P(X = 9, Y = 1.35) = a b. Halle el coeficiente de correlación XY . 4. Sea X el número de veces que falla cierta máquina de control numérico: 1, 2 o 3 veces en un día dado. Sea Y el número de veces que se llama a un técnico para una emergencia. Su distribución de probabilidad conjunta está dada como: p(x, y) y

x

1

2

3

1

0.05

0.05

0.10

2

0.05

0.10

0.35

3

0

0.20

0.10

a. Evalúe la distribución marginal de X. b. Evalúe la distribución marginal de Y. c. Encuentre P(Y = 3 / X = 2). 5. Sea la siguiente función de probabilidad conjunta de X y Y : a. Encuentre las distribuciones marginales de X y Y. b. Encuentre la distribución de probabilidad condicional para Y/ X = 4 c. Calcule P(Y ≤ 3 / X = 4) x Y

2

3

3.5

4

5

2

3 35

2 35

1 35

0

0

3

1 35

10 35

2 35

1 35

0

3.5

0

1 35

5 35

1 35

1 35

4

0

0

0

3 35

2 35

5

0

0

0

1 35

1 35

6. Sea la función de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X y Y, dada en la siguiente tabla: x y

2

5

8

0.4

0.15

0.12

0.03

0.8

0.05

0.30

0.35

a. Calcule P(Y = 0.8 / X = 5) b. Calcule E (Y / X = 8) c. Calcule la covarianza y el coeficiente de correlación.

3 7.

Sean X y Y la duración de la vida en años de dos componentes en un sistema electrónico. Si la función de densidad conjunta de estas variables es:

 e ( x y )  0

x  0, y  0 de otro modo

f ( x, y )  

a. Demuestre que f(x, y) es una fdp conjunta legítima. b. Encuentre P(X < 1, Y < 2) c. Encuentre P(0 < X < 1 / Y = 2) 8. Sea X el tiempo de reacción, en segundos, a cierto estimulante y Y la temperatura ( ºF ) a la que cierta reacción comienza a suceder. Suponga que las dos variables aleatorias X y Y tienen la siguiente fdp conjunta:

0  x  1. 0  y  1 en cualquier otro caso

 4 xy,  0

f ( x, y )  

P (0  X 

1

y 1 Y 

1

2 4 2 a. Encuentre b. P(X < Y) c. Determine si las va X y Y son independientes.

9. Sea X el diámetro de un cable eléctrico blindado y Y el diámetro del molde cerámico que e tiene el cable. X y Y tienen una escala tal que están entre 0 y 1. Suponga que X y Y tienen una fdp conjunta:

 1  , f ( x, y )   y  0 

0  x  y 1 de cualquier otra forma

a. Encuentre P(X + Y > ½ ). b. Calcule la covarianza y el coeficiente de correlación. 10.

La cantidad de queroseno, en miles de litros, en un tanque al principio de cualquier día es una cantidad aleatoria Y, de la que una cantidad aleatoria X se vende durante el día. Suponga que el tanque no se reabastece durante el día por lo que x ≤ y, y suponga que la fdp conjunta de estas variables es

 2,  0

f ( x, y )  

0  x  y, 0  y  1 de otra manera

a. Determine si X y Y son independientes. b. Encuentre P(¼< X < ½ / Y = ¾ ). 11.

La función de densidad conjunta de las variables aleatorias X y Y es:

 6 x,  0

f ( x, y )  

0  x  1, 0  y  1  x en cualquier otro caso

a. Muestre que X y Y no son independientes. b. Encuentre P(X > 0.3 / Y = 0.5)

4 12.Considere la siguiente fdp conjunta de las variables aleatorias X y Y:

 3x  y ,  f ( x, y )   9  0

1  x  3, 1  y  2 en cualquier otro caso

a. Encuentre las distribuciones marginales de X y Y. b. ¿Son independientes X y Y? c. Encuentre P(X > 2). 13.Se miden la tensión superficial y la acidez de un producto químico. Estas variables se codifican de modo tal que la tensión superficial se mide en una escala 0 ≤ X1 ≤ 2, y la acidez se mide en una escala 2 ≤ X2 ≤ 4. La función de densidad de probabilidad de X1 y X2 está dada por

 k (6  x1  x 2 ) 0 

f ( x1 , x 2 )   a. b. c. d. e.

0  x1  2, 2  x 2  4 en otro caso

Encuentre el valor de k. Calcule P(X1 < 1, X2 < 3) Calcule P(X1 + X2 ≤ 4) Encuentre P(X1 < 1.5) Encuentre las densidades marginales de X1 y X2.

14.Un instructor ha aplicado un breve cuestionario que consta de dos partes. Para un estudiante seleccionado al azar, sea X = número de aciertos en la primera parte, Y = número de aciertos en la segunda parte y suponga que la fpm conjunta de X y Y está dada en la tabla siguiente p(x,y) 0 5 10

x

y 5 0.06 0.15 0.15

0 0.02 0.04 0.01

10 0.02 0.20 0.14

15 0.10 0.10 0.01

a. Si la calificación registrada en el libro de calificaciones es el número total de aciertos obtenidos en las dos partes, ¿cuál es la calificación registrada esperada E(X + Y)? b. Calcule la covarianza para X y Y c. Calcule el coeficiente de correlación . LAS ESTADISTICAS Y SUS DISTRIBUCIONES 1. Hay dos semáforos en mi camino hacia el trabajo. Suponga que X1 es el número de semáforos en los debo detenerme y que la distribución de X1 es como sigue: x1 p(x1)  = 1.1

0

1

2

0.2

0.5

0.3

2 = 0.49

Sea X2 el número de semáforos en los que debo detenerme al regresar a casa; X2 tiene la misma distribución que X1, de modo que X1, X2 es una muestra aleatoria de tamaño n = 2.

5 a. Sea To = X1 + X2 y determine la distribución de probabilidad de To. b. Calcule To. ¿Cómo se relaciona con , la media poblacional? c. Calcule 2To. ¿Cómo se relaciona con 2, la varianza poblacional? 2. Una compañía mantiene tres oficinas en cierta región, cada una manejada por dos empleados. La información de salarios anuales (miles de dólares) es la siguiente: Oficina Empleado Salario

1 1 1 2 19.7 23.6

2 2 3 4 20.2 23.6

3 5 15.8

3 6 19.7

a. Suponga que dos empleados se seleccionan al azar de entre los seis (sin reemplazo). Determine la distribución muestral del salario medio muestral X . b. Suponga que una de las tres oficinas se selecciona al azar y denote por X1 y X2 los salarios de los dos empleados. Determine la distribución muestral de X . c. ¿Cómo se compara E( X ) de los incisos (a) y (b) con el salario medio poblacional ? 3. Se sabe que 80% de todas las unidades del disco A, de marca X, trabajan de manera satisfactoria durante el período de garantía (son éxitos). Suponga que n = 10 unidades de disco se seleccionan al azar y sea X = número de éxitos en la muestra. La estadística X /n es la proporción muestral (fracción) de éxitos. Obtenga la distribución muestral de esta estadística. [Sugerencia: un posible valor de X /n = 0.3, correspondiente a X = 3. ¿Cuál es la probabilidad de este valor (que clase de variable aleatoria es X)?. 4. Sea X el número de paquetes que envía por correo un cliente seleccionado al azar, en cierta oficina de envíos. Suponga que la distribución de X es como sigue: x

1

2

3

4

p(x)

0.4

0.3

0.2

0.1

a. Considere una muestra aleatoria de tamaño n = 2 (dos clientes) y sea X el número medio muestral de paquetes enviados. Obtenga la distribución de probabilidad de X . b. Consulte el inciso (a) y calcule P( X ≤ 2.5). c. Otra vez considere una muestra aleatoria de tamaño n = 2, pero ahora obtenga la distribución de R, el rango muestral (diferencia entre los valores máximo y mínimo de la muestra). [Sugerencia: Calcule el valor de R para cada resultado y utilice las probabilidades del inciso (a).  d. Si se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n = 4, ¿cuál es P( X ≤ 1.5) [Sugerencia: no deben tener una lista de todos los resultados posibles, sino sólo para los que x ≤ 1.5. DISTRIBUCION DE LA MEDIA MUESTRAL TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL 1. Represente con X1, X2,…, X100 los pesos netos reales de 100 bolsas de 50 libras de fertilizante, seleccionadas al azar. a. Si el peso especificado de cada bolsa es 50 y la varianza 1, calcule P(49.75 ≤ X ≤ 50.25) (aproximadamente) empleando el TLC. b. Si el peso esperado es de 49.8 lb, en lugar de 50, de modo que en promedio las bolsas tienen menos peso, calcule P(49.75 ≤ X ≤ 50.25).

6 2. La duración de cierto tipo de batería está normalmente distribuida con valor medio de 8 horas y desviación estándar de 1 hora. Hay cuatro baterías en un paquete. ¿Cuál es el valor de duración, de tal modo que la duración total de todas las baterías de un paquete exceda ese valor en 5% de todos los paquetes? 3. La resistencia a la ruptura de un remache tiene un valor medio de 10 000 lb/ pulg 2 y una desviación estándar de 500 lb /pulg2. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia media a la ruptura de una muestra aleatoria de 40 remaches, esté entre 9 900 y 10 200? b. Si el tamaño muestral hubiera sido de 15, en lugar de 40 ¿podría calcularse la probabilidad pedida en el inciso (a) a partir de la información dada? 4. Suponga que la densidad del sedimento (g/cm) de un especímen seleccionado al azar, en cierta región, está normalmente distribuida con media 2.65 y desviación estándar 0.85 (sugerida en “Modeling Sediment and Water Column Interactions for Hydrophobic Pollutants”, Water Research, 1984, pp 1169 – 1174). a. Si se selecciona una muestra aleatoria de 25 especímenes, ¿cuál es la probabilidad de que la densidad promedio de sedimento muestral sea a lo sumo 3.00? y ¿entre 2.65 y 3.00? b. ¿Qué tan grande se requeriría un tamaño muestral para asegurar que la primera probabilidad del inciso (a) sea por lo menos 0.99? 5. La primera tarea en un curso introductoria de programación por computadora implica correr un breve programa. Si la experiencia indica que 40% de todos los estudiantes principiantes no cometerán errores de programación, calcule la probabilidad (aproximada) de que en un grupo de 50 estudiantes: a. Por lo menos 25 no cometan errores. (Sugerencia: aproximación normal a la binomial) b. Entre 15 y 25 incluso, no cometan errores. 6. El número de infracciones por estacionamiento en cierta ciudad, en cualquier día hábil, tiene una distribución de Poisson con parámetro  = 50. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que: a. entre 35 y 70 infracciones se expidan en un día en particular? (Sugerencia: cuando  es grande, una va de Poisson tiene aproximadamente una distribución normal). b. El número total de infracciones expedidas durante una semana de 5 días este entre 225 y 275? 7. Se fabrica cierto tipo de hilo con una resistencia a la tracción media de 78.3 kilogramos y una desviación estándar de 5.6 kilogramos. ¿Cómo cambia la varianza de la media muestral cuando el tamaño de la muestra a. aumenta de 64 a 196? b. disminuye de 784 a 49? 8. Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente de forma normal, con una media de 174.5 cm y una desviación estándar de 6.9 cm. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 de esta población y las medias se registran al décimo de centímetro mas cercano, determine: a. la media y la desviación estándar de la distribución muestral de X , b. el número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros inclusive. c. el número de medias muestrales que caen por debajo de 172.0 cm. 9. Si cierta máquina fabrica resistores eléctricos que tienen una resistencia media de 40  y una desviación estándar de 2 , ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 36 de estos resistores tenga una resistencia combinada de más de 1458 ? 10.Unos biólogos especialistas en botánica aseguran que el número de semillas por limón, en cierta variedad de limones agrios de Veracruz, sigue una distribución de Poisson con

7 parámetro  = 5. Use el teorema del límite central para determinar la probabilidad de que el número promedio de semillas por limón sea menor a 5.5 en una muestra aleatoria de 125 limones de dicha variedad. ESTIMACION PUNTUAL 1.

Se dan siguientes datos de resistencia a la flexión (en MPa) de vigas de concreto de cierto tipo 5.9 7.2 7.3 6.3 8.1 6.8 7.0 7.6 6.8 6.5 7.0 6.3 7.9 9.0 8.2 8.7 7.8 9.7 7.4 7.7 9.7 7.8 7.7 11.6 11.3 11.8 10.7 a. Calcule un estimado puntual del valor medio de resistencia para la población conceptual de todas las vigas fabricadas de esta forma y diga que estimador usó. (Sugerencia:  xi = 219.8). b. Calcule un estimador puntual del valor de la resistencia que separa al 50% más débil de las vigas, del 50% más fuerte y diga que estimador usó c. Calcule e interprete un estimado puntual de la desviación estándar poblacional . ¿Qué estimador usó? (Sugerencia:  xi2 = 1860.94). d. Calcule un estimado puntual de la proporción de las vigas cuya resistencia a la flexión es mayor que 10 MPa. (Sugerencia: imagine que una observación es un “éxito” si es mayor de 10). e. Calcule un estimado puntual del coeficiente poblacional de variación,  /  y diga que estimador usó. 2. La muestra de 20 estudiantes, quienes recientemente tomaron un curso de estadística elemental, dio la siguiente información sobre la marca de calculadora que tenían (T = Texas Instruments, H = Hewlett- Packard, C = Casio, S = Sharp): T T H T C T T S C H S S T H C T T T H T a. Estime la verdadera proporción de todos los estudiantes que tengan calculadora Texas Instruments. b. Algunas calculadoras fabricadas por Hewlett-Packard utilizan lógica polaca inversa (ningún otro fabricante produce calculadoras de ese tipo). Tres de cuatro calculadoras HP en la muestra fueron de ese tipo. Estime la proporción de todos los estudiantes que poseen calculadora sin lógica polaca inversa. 3. Examine la siguiente muestra de observaciones de espesor de pintura de baja viscosidad (“ Achieving a Target Value of Manufacturing Process: A Case Study”, J. of Quality Technology, 1992, pp 22 – 26): 0.83 1.48

0.88 1.49

0.88 1.59

1.04 1.62

1.09 1.65

1.12 1.71

1.29 1.76

1.31 1.83

Suponga que la distribución de espesores de pintura es normal (una gráfica de probabilidad normal respalda esta hipótesis). a. Calcule un estimado puntual del valor promedio del espesor de pintura y diga que estimador usó. b. Calcule un estimado puntual de la mediana de la distribución de espesores de pintura y diga que estimador usó. c. Calcule un estimado puntual del valor que separa 10% de los valores más altos de espesores, del restante 90%, y diga que estimador usó. [Sugerencia: exprese lo que trata de estimar en términos de μ y de σ.] d. Estime P(X < 1.5), es decir la proporción de todos los valores de espesor menores que 1.5. [Sugerencia: si conociera los valores de μ y σ, podría calcular esta probabilidad. Estos valores no están disponibles pero se pueden estimar.]

8 e. ¿Cuál es el error estándar estimado del estimador que usó en el inciso (b)? 4. El artículo de donde se tomaron los datos del ejercicio 1 también mostraba las siguientes observaciones de resistencia de los cilindros: 6.1 7.8

5.8 8.1

7.8 7.4

7.1 8.5

7.2 8.9

9.2 9.8

6.6 9.7

8.3 14.1

7.0 12.6

8.3 11.2

Antes de obtener datos, se representan las resistencias de las vigas por X1,…, Xm y las de los cilindros por Y1,…, Yn. Suponga que las Xi forman una muestra aleatoria de la distribución con media μ1 y desviación estándar σ1, y las Yi forman una muestra aleatoria, independiente de las Xi, de otra distribución cuya media es μ2 y desviación estándar σ2. a. Aplique las reglas del valor esperado para demostrar que X  Y es un estimador insesgado de μ1 – μ2 . Calcule el estimado para los datos. b. Aplique las reglas de la varianza y la desviación estándar (error estándar) del estimador del inciso a), y a continuación calcule el error estándar estimado. c. Calcule un estimado puntual de la relación σ1 /σ2 de las dos desviaciones estándar. d. Suponga que se seleccionan una sola viga y un solo cilindro. Calcule un estimado puntual de la varianza de la diferencia X – Y entre la resistencia de las vigas y la de los cilindros. INTERVALOS DE CONFIANZA 1. Se desea un intervalo de confianza para el promedio verdadero de la pérdida de carga μ (watts) para cierto tipo de motor de inducción, cuando la corriente de línea se mantiene a 10 ampers para una velocidad de 1500 rpm. Suponga que la pérdida de carga está normalmente distribuida con σ = 3.0. a. Calcule un IC de 95% para μ cuando n = 25 y x = 58.3 b. Calcule un IC de 95% para μ cuando n = 100 y x = 58.3 c. Calcule un IC de 99% para μ cuando n = 25 y x = 58.3 d. Calcule un IC de 82% para μ cuando n = 25 y x = 58.3 e. ¿Qué tan grande debe ser n si la longitud del intervalo de 99% para μ debe ser 1.0? 2. Suponga que la porosidad al helio (en porcentaje) de muestras de carbón, tomadas de cualquier veta en particular, está normalmente distribuida con una desviación estándar verdadera de 0.75. a. Calcule un IC de 95% para el verdadero promedio de la porosidad de cierta veta, si el promedio de porosidad de 20 especimenes de la veta fue 4.85. b. Calcule un IC de 98% para el verdadero promedio de la porosidad de otra veta, basado en 16 especímenes con un promedio de porosidad muestral de 4.56. c. ¿Qué tan grande debe ser el tamaño muestral si la longitud del intervalo de 95% es de 0.40? 3. Con base en pruebas detalladas, se sabe que el límite elástico (punto de cedencia) de determinado tipo de varilla de acero de refuerzo tiene una distribución normal con σ = 100. Se ha modificado un poco la composición del acero, pero se cree que la modificación no ha afectado ni la normalidad ni el valor de σ. a. Suponiendo que así sea, si una muestra de 25 varillas modificadas dio como resultado un punto de cedencia con promedio muestral de 8469 lb., calcule un intervalo de confianza de 90% para el punto real promedio de cedencia de la varilla modificada. b. ¿Cómo modificaría el intervalo del inciso a) para obtener un nivel de confianza de 92%? Intervalos de confianza con muestras grandes para la media y la proporción de una población

9 1. Una muestra aleatoria de 110 relámpagos, en cierta región, tuvieron una duración de eco de radar promedio muestral de 0.81s (“Lightning Strikes to an Airplane in a Thunderstorm”, J. of Aircraft, 1984, pp. 607 – 611). Calcule un intervalo de confianza de 99% para el verdadero promedio de duración de eco µ e interprete el intervalo resultante. 2. El artículo “Extravisual Damage Detection Defining the Estandar Normal Tree” (PhotogrammetricEngr. And Remote Sensing. 1981, pp. 512 – 522) analiza el uso de fotografía infrarroja en color para la identificación de árboles normales en bosques de pinos de Oregon (abeto Douglas). Entre los datos reportados había resúmenes estadísticos para medidas densitométricas ópticas analíticas de filtro verde en muestras de árboles sanos y enfermos. Para una muestra de 69 árboles sanos, el promedio muestral de densidad de capa de tinte fue 1.028 y la desviación estándar muestral 163. c. Calcule un intervalo de confianza de 95% para el verdadero promedio de densidad de capa de tinte µ para todos estos árboles. d. Suponga que los investigadores habían hecho una estimación de 0.16 para el valor de s antes de reunir los datos. ¿Qué tamaño de muestra sería necesario para obtener un ancho de intervalo de 0.05 con un nivel de confianza de 95%? 3. El artículo “Evaluating Tunnel Kiln Performance”( Amer. Ceramic Soc. Bull., agosto de 1997, pp. 59 – 63) contiene la siguiente información resumida de resistencia a la fractura, en MPa, de n = 169 barras de cerámica quemadas en determinado horno: x  89.10 , s = 3.73. a. Calcule un intervalo de confianza bilateral de la resistencia real promedio a la fractura con un nivel de confianza del 95%. ¿Parece que se ha estimado con precisión esa resistencia? b. Suponga que los investigadores creían a priori, que la desviación estándar de la población era 4 MPa. Con ésta hipótesis, ¿de que tamaño se hubiera requerido una muestra para estimar µ con 0.5 MPa de precisión y 95% de confianza? 4. En una prueba de dureza Brinell se mide el diámetro de la penetración originada al oprimir una bola de acero endurecido contra un material, bajo una carga patrón de prueba. Suponga que se determina la dureza Brinell en cada espécimen de una muestra de tamaño 50, lo cual da por resultado un promedio muestral de 64.3 y una desviación estándar de 6.0. Calcule una cota inferior de confianza de 99% para la dureza Brinell real en especímenes de este material. 5. El artículo “Ultimate Load Capacities of Expansion Anchor Bolts” (J. of Energy Engr., 1993, pp. 139 – 158) reporta el resumen de los siguientes datos, sobre resistencia al corte, para una muestra de pernos de anclaje de 3/8 pulg: n = 78, x  4.25 kip y s = 1.30. Calcule una cota inferior de confianza utilizando un nivel de 90% de confianza para la resistencia promedio real al corte.

6. Se seleccionó una muestra aleatoria de 487 mujeres no fumadoras de peso normal (índice de masa corporal entre 19.8 y 26.0) que dieron a luz en un gran centro médico metropolitano (“The Effects of Cigarette Smoking and Gestational Weigth Change of Birth Outcomes in Obese and Normal Weigth Women”, Amer. J. of Public Health, 1997, pp. 591 -596). Se determinó que en el 7.2% de esos nacimientos resultaron niños de bajo peso al nacer, con menos de 2500g. Calcule una cota superior de confianza de 99% para la proporción de nacimientos que dan como resultado niños de bajo peso al nacer. 7. El artículo “An Evaluation of Football Helmets Under Impact Conditions” (Amer. J. Sports Medicine, 1994, pp. 233 -237) reporta que cuando se sometió a cada casco de fútbol, de una muestral aleatoria de 37 del tipo de suspensión, a cierta prueba de impacto, 24 mostraron daños. Sea p la proporción de todos los cascos de este tipo que muestran daños al probarse de la manera descrita.

10 a. Calcule un intervalo de confianza de 99% para p. b. ¿Qué tamaño de muestra se requeriría para que el ancho de un intervalo de confianza del 99% fuera 0.10 a lo sumo, independientemente de pˆ ?

8. Una prueba de 56muestras de algodón para investigación resultó en un porcentaje de alargamiento promedio muestral de 8.17 y una desviación estándar muestral de 1.42 (“An Apparent Relation Between the Spiral Angle , the Percent Elongation E1 , and Dimensions of the Cotton Fiber”, Textile Research J., 1978, pp. 407 – 410). Calcule un intervalo de confianza con muestras grandes de 95% para el verdadero promedio del porcentaje de alargamiento . ¿Qué suposiciones se hacen acerca de la distribución del porcentaje de alargamiento? Intervalos basados en una población con distribución normal 1. Una muestra aleatoria de 8 especimenes de prueba, de cierto tipo de fibra de vidrio E, produjeron un límite elástico al corte interfacial promedio muestral de 30.2 y una desviación estándar muestral de 3.1 (On Interfacial Failure in Notched Unidireccional Glass/Epoxy Composites”J. Composite Materials, 1985, pp. 276 – 286). Si se supone que el límite elástico de corte interfacial está normalmente distribuido, calcule un intervalo de confianza de 95% para el verdadero promedio de esfuerzo (como lo hicieron los autores de este artículo) 2. El artículo “Measuring and Understanding the Aging of Kraft Insulating Paper in Power Transformers” (IEEE Electrical Insul. Mag., 1996, pp. 28 – 34) contenía las siguientes informaciones sobre el grado de polimerización de muestras de papel donde la viscosidad multiplicada por la concentración caía entre determinados límites intermedios. 418 448

421 453

421 454

422 463

425 465

427

431

434

437

439

446

447

a. Trace un diagrama de caja de los datos y comente sus propiedades de interés. b. ¿Es factible que estas observaciones muestrales se hayan seleccionado de una distribución normal? c. Calcule un intervalo de confianza bilateral de 95% para el grado de polimerización promedio real (como lo hicieron los autores de este artículo). ¿Parece indicar ese intervalo que 440 es un valor factible del grado promedio real de polimerización? ¿Y 450? 3. Con una muestra de 14 especimenes de uniones de cierto tipo, se obtuvo una resistencia proporcional límite media muestral de 8.48 MPa y desviación estándar muestral de 0.79 MPa (“Caracterization of Bearing Strength Factors in Pegged Timber Connections”, J. of Structural Engr., 1997, pp. 326 – 332). a. Calcule e interprete una cota inferior de 95% de confianza para el esfuerzo límite promedio proporcional real de todas estas uniones. ¿Qué hipótesis, si es que formuló alguna, necesito acerca de la distribución del esfuerzo límite proporcional? b. Calcule e interprete una cota inferior de predicción del esfuerzo proporcional límite de una sola unión de ese tipo. 4. Una muestra de 26 trabajadores de cierta plataforma marina tomaron parte en un simulacro de evacuación (para casos de emergencia) y se obtuvieron los datos adjuntos de tiempo (segundos) para terminar el desalojo. 389 356 359 363 375 424 325 394 402 373 373 370 364 366 364 325 339 393 392 369 374 359 356 403 334 397 El promedio y la desviación estándar muestrales son 370.69 y 24.36 respectivamente.

11 a. Calcule una cota superior de confianza para el tiempo promedio poblacional de escape, con un nivel de confianza de 95%. b. Calcule una cota superior de predicción para el tiempo de escape de un solo trabajador más, con un nivel de predicción de 95%. ¿Cómo se compara esta cota con la de confianza del inciso (a)? c. Suponga que se escogen dos trabajadores más para participar en el ejercicio simulado de escape. Represente sus tiempos de escape por X27 y X28, y sea X nuevo el promedio de esos dos valores. Modifique la fórmula de un intervalo de predicción para un solo valor de x, para obtener el intervalo de predicción para X nuevo y calcule un intervalo bilateral de 95% basado en los datos de tiempo de escape. 5. Se seleccionó una muestra de 25 piezas de material laminado utilizado en la fabricación de tarjetas de circuito y se determinó la cantidad de deformación para cada pieza bajo ciertas condiciones, en pulgadas; se obtuvo una deformación promedio muestral de 0.0635 y una desviación estándar muestral de 0.0065. a. Calcule un pronóstico de la cantidad de deformación de una sola pieza de laminado, de forma que muestre información sobre la precisión y la fiabilidad. b. Calcule un intervalo con el cual se pueda tener gran confianza de al menos el 95% de todas las piezas de laminado tengan deformaciones entre los dos límites de intervalo. Intervalos de confianza para la varianza y la desviación estándar de una población normal 1. Se determinó la cantidad de expansión lateral (mils) para una muestra de n = 9 soldaduras de arco de metal y gas accionado por pulsos, empleados en tanque contenedores de gas licuado natural en barcos. La desviación estándar muestral resultante fue s = 2.81 mils. Suponiendo normalidad, determine un intervalo de confianza de 95% para 2 y . 2. Se hicieron las siguientes observaciones de resistencia a la fractura de placas de base 18% de acero maragizado al níquel [“Fracture Testing of Weldments”, ASTM Special Publ. No. 381, 1965, pp 328 – 356 (en ksi , dadas en orden creciente): 69.5 71.9 72.6 73.1 73.3 73.5 75.5 75.7 75.8 76.1 76.2 76.2 77.0 77.9 78.1 79.6 79.7 79.9 80.1 82.2 83.7 93.7 Calcule un intervalo de confianza de 99% para la desviación estándar de la distribución de la resistencia a la fractura. ¿Es válido este intervalo, cualquiera que sea la naturaleza de la distribución? Explique. 3. Los resultados de un análisis de turbiedad Wagner de 15 muestras de arena patrón de prueba Ottawa fueron (en microampers): 26.7 27.3

25.8 26.9

24.0 27.3

24.9 24.8

26.4 23.6

25.9

24.4

21.7

24.1

25.9

a. ¿Es posible que se haya seleccionado esta muestra de una población con distribución normal? b. Calcule una cota superior de confianza con nivel de 95% para la desviación estándar poblacional de turbiedad. 4. El tiempo de reacción (TR) para un estímulo es el período que comienza con la presentación de un estímulo y termina con el primer movimiento discernible de cierto tipo. El artículo “Relationship of Reaction Time and Movement Time in a Gross Motor Skill” (Perceptual and Motor Skills, 1973, pp. 453 – 454) reporta que el TR promedio muestral para 16 nadadores experimentados, al arranque con un disparo, fue de 0.214 s y la desviación estándar muestral fue 0.036 s.

12 a. Planteada cualquier suposición necesaria, determine un intervalo de confianza de 90% para el verdadero promedio de tiempo de reacción de todos los nadadores experimentados. b. Calcule una cota superior de confianza de 90% para la desviación estándar de la distribución de tiempos de reacción. c. Pronostique el tiempo de reacción para otro individuo, en una forma que muestre información sobre la precisión y fiabilidad. PRUEBAS DE HIPÓTESIS Pruebas de hipótesis basadas en una sola muestra 1. Para los siguientes pares de afirmaciones, indique cuál no cumple con las reglas para establecer hipótesis y por qué (los subíndices 1 y 2 distinguen entre cantidades para dos poblaciones o muestras diferentes). a.

H 0 :   100, H a :   100

b.

H 0 :   20, H a :   20

c.

H 0 : p  25, H a : p  0.25

d.

H 0 : 1   2  25, H a : 1   2  100

e.

H 0 : S12  S22 , H a : S12  S22

f.

H 0 :   120, H a :   150

g.

H 0 :  1 /  2  1, H a :  1 /  2  1

h.

H 0 : p1  p 2  1, H a : p1  p 2  1

1. Denotemos por  el verdadero nivel de radiactividad (picocuries por litro). El valor 5 pCi/L se considera la línea divisoria entre agua segura y no segura. ¿Recomendaría probar H0:  = 5 contra Ha:  > 5 o H0:  = 5 contra Ha:  < 5? Explique su razonamiento. (Sugerencia: Considere la consecuencia de los errores tipo I y tipo II para cada posibilidad.) 2. Se toman muestras de agua utilizada para enfriamiento, mientras se descarga de una planta eléctrica en un río. Se ha determinado que la temperatura media de agua descargada sea a lo sumo de 150ºF, así no habrá efectos negativos en el ecosistema del río. Para investigar si la planta cumple con los reglamentos que prohíben una temperatura media del agua descargada arriba de 150ºF, se toman 50 muestras en horas seleccionadas al azar y se registra la temperatura de cada una. Los datos resultantes se utilizarán para probar las hipótesis H0: µ = 150ºF contra Ha: µ > 150ºF. En el contexto de esta situación, describa los errores de tipo I y tipo II. ¿Cuál tipo de error considera sea más grave, explique. 3. Una mezcla de ceniza pulverizada de combustible y cemento Portland para techar debe tener una resistencia a la compresión de más de 1 300 kN/m 2. La mezcla no se utilizará a menos que una evidencia experimental indique de manera concluyente que se ha cumplido la especificación de resistencia. Supongamos que la resistencia a la compresión para especímenes de ésta mezcla está distribuida normalmente con = 60. Representemos con  el verdadero promedio de resistencia a la compresión. a. ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa adecuadas? b. Representemos con  X el promedio muestral de resistencia a la compresión para n = 20 especímenes seleccionados al azar. Considere el procedimiento de prueba

13 utilizando el estadístico  X y la región de rechazo  x  1331. 26. ¿Cuál es la distribución de probabilidad del estadístico de prueba cuando H0 es verdadera? ¿Cuál es la probabilidad de un error de tipo I para el procedimiento de prueba? c. ¿Cuál es la distribución de probabilidad del estadístico de prueba cuando  = 1350? Mediante el procedimiento de prueba utilizado en la parte (b), ¿cuál es la probabilidad de que la mezcla se considere no satisfactoria cuando  = 1350 (un error tipo II)? d. ¿Cómo cambiaría el procedimiento de prueba de la parte (b) para obtener una prueba con nivel de significancia 0.05? ¿Qué impacto tendría este cambio en la probabilidad del error de la parte (c)? e. Considere el estadístico de prueba estandarizado Z  ( X  1300) /( / n )  ( X  1300) /13.42. ¿Cuáles son los valores de Z correspondientes a la región de rechazo de la parte (b)? 11. Se ha propuesto un nuevo diseño para el sistema de frenado de cierto tipo de automóvil. Si se sabe que para el sistema actual el verdadero promedio de distancia de frenado a 40 millas por hora (mph), bajo condiciones especificadas, es 120 pies. Se propone que el nuevo diseño se ponga en práctica sólo si los datos muestrales indican de manera contundente una reducción en el verdadero promedio de distancia de frenado para el nuevo diseño. a. Defina el parámetro de interés y establezca las hipótesis pertinentes. b. Suponga que la distancia de frenado para el nuevo sistema está normalmente distribuida con  = 10. Represente con  X el promedio muestral de distancia de frenado de una muestra aleatoria de 36 observaciones. ¿Cuál de las siguientes regiones de rechazo es apropiada: R1 = { x :  x  124.80}, R2 = { x :  x  115.20}, R3 = { x :  x  125.13 o  x  114.87}? c. ¿Cuál es el nivel de significancia más adecuado para la región del inciso (b)? ¿Cómo cambiaría la región para obtener una prueba con  = 0.001? d. ¿Cuál es la probabilidad de que el nuevo diseño se ponga en práctica cuando su verdadero promedio de distancia de frenado es en realidad 115 pies y la región apropiada del inciso (b) sea utilizada? e. Sea Z  ( X  120) /( / n ) . ¿Cuál es el nivel de significancia para la región de rechazo {z: z  - 2.33}? ¿Y para la región {z: z  - 2.88}?

Procedimientos de prueba para la media poblacional 1. Considere que el estadístico de prueba Z tenga distribución normal estándar cuando H0 es verdadera. Proporcione el nivel de significancia para cada una de las siguientes situaciones: a. Ha:  > 0, región de rechazo z  1.88. b. Ha:  < 0, región de rechazo z  -2.75 c. Ha:   0, región de rechazo z  2.88 o z  - 2.88. . Considere que el estadístico de prueba T tenga una distribución t cuando H0 es verdadera. Proporcione el nivel de significancia para cada una de las siguientes situaciones: . Ha:  > 0, grados de libertad = 15, región de rechazo t  3.733. b. Ha:  < 0, n = 24, región de rechazo t  -2.500. c. Ha:   0, n = 31, región de rechazo t  1.697 o t  - 1.697.

14 3. Se sabe que el tiempo de secado de cierto tipo de pintura, bajo condiciones específicas de prueba, está normalmente distribuido con valor medio de 75 minutos y desviación estándar de 9. Unos químicos han propuesto que se diseñe un nuevo aditivo para reducir el tiempo de secado. Se cree que los tiempos de secado seguirán normalmente distribuidos con  = 9. Debido al gasto asociado con el aditivo, la evidencia debe sugerir de forma contundente una mejoría en el tiempo promedio de secado antes que se adopte tal conclusión. Las hipótesis H0:  = 75 contra Ha < 75 deben probarse usando una muestra aleatoria de n = 25 observaciones. a. ¿Cuántas desviaciones estándar (de X ) abajo del valor nulo está x = 72.3? b. Si x = 72.3, ¿cuál es la conclusión al usar  = 0.01? c. ¿Cuál es  para el procedimiento de prueba que rechaza H0 cuando z  - 2.88? d. Para el procedimiento de prueba del inciso (c), ¿cuál es  (70)? e. Si se utiliza el procedimiento de prueba del inciso (c), ¿cuál n es necesaria para asegurar que  (70) = 0.01? f. Si se utiliza una prueba de nivel 0.01 con n = 100, ¿cuál es la probabilidad de cometer un error tipo I cuando  = 76? 6. Se supone que el diámetro promedio verdadero de cojinetes de bolas de cierto tipo es 0.5 pulg. Se llevará a cabo una prueba t con una sola muestra para ver si este es el caso. ¿Qué conclusión es apropiada en cada una de las siguientes situaciones? a. n  13, t  1.6,   0.05 b. n  13, t  1.6,   0.05

c. n  25, t  2.6,   0.01 d. n  25, t  3.9

7. El porcentaje deseado de SiO2 en cierto tipo de cemento aluminoso es 5.5. Para probar si el verdadero promedio de porcentaje es 5.5 en una planta de producción en particular, se analizaron 16 muestras obtenidas de manera independiente. Suponga que el porcentaje de SiO2 en una muestra está normalmente distribuido con  = 0.3 y que x  5.25 a. ¿Esto indica de manera concluyente que el verdadero promedio de porcentaje difiere de 5.5? b. Si el verdadero promedio de porcentaje es µ = 5.6 y se utiliza una prueba de nivel  = 0.01 con base en n = 16 ¿cuál es la probabilidad de detectar esta desviación desde Ho? c. ¿Cuál valor de n se requiere para satisfacer  = 0.01 y (5.6) = 0.01? 7. Una prueba de impacto de muesca en V de Charpy es la base para estudiar muchos criterios de resistencia del material. Esta prueba se aplicó a 42 especímenes de cierta aleación a 110°F. La cantidad de promedio muestral de expansión lateral transversal se calculó como 73.1 milésimas de pulgada y la desviación estándar muestral fue s = 5.9 milésimas de pulgada. A fin de que el material sea adecuado para una aplicación particular, la cantidad de promedio real de expansión debe ser menor que 75 milésimas de pulgada. No se usará la aleación a menos que la muestra se obtenga una evidencia firme de que se satisface este criterio. Pruebe las hipótesis pertinentes con  = 0.01 para decidir si es adecuada la aleación.

15 8. Después de una cantidad fija de millas se determinó el desgaste de flecha (0.0001 pulg) para cada una de n = 8 máquinas de combustión interna que tienen cobre y plomo como material antifricción y se obtiene como resultado ´x =3.72 y s = 1.25. a. Suponiendo que la distribución del desgaste de flecha es normal con media , use la prueba t al nivel 0.05 para probar H0:  = 3.5, Ha:  > 3.5. b. Con  = 1.25, ¿ cuál es la probabilidad de error tipo II (’) de la prueba para la alternativa ’ = 4.00? 9. Se seleccionó una muestra de 12 detectores de radón de cierto tipo y cada uno se expuso a 100 pCi/L de radón. Las lecturas resultantes fueron como sigue: 105.6 92.4

90.9

91.2

96.9

96.5

91.3

100.1

105.0

99.6

107.7

103.3

a. ¿Estos datos indican que la lectura media poblacional en estas condiciones difiere

de 100? Exprese y pruebe las hipótesis apropiadas con  = 0.05. b. Suponga que antes del experimento se asumió un valor de  = 7.5. ¿Cuántas determinaciones habrían sido apropiadas para obtener  = 0.10 para la alternativa  = 95?