problemario de series de tiempo
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UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL ESTADO DE MÉXICO CENTRO UNIVERSITARIO UAEM VALLE DE MEXICO
PROBLEMARIO DE SERIES DE TIEMPO
AUTOR: M. EN E. EDUARDO ROSAS ROJAS Coautor: L. En E. Patricia Rojas Reyes
SEPTIEMBRE DE 2013
I
Índice Introducción ............................................ ............................................................................................. ................................................................... .................. 3 Presentación .............................................. ............................................................................................... ................................................................... .................. 4
SERIES DE TIEMPO ................................................................................................ ............................................................................................... 5 ECONOMETRÍA APLICADA DE SERIES DE TIEMPO ..................................... 5 SOLUCIÓN POR ITERACIÓN ............................................................................................... 6 PROCESO
FORZADO ...................................................................................................... 7
ITERACIÓN SIN UNA CONDICIÓN INICIAL ..................................................... .................... 7 UNA METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN ALTERNATIVA ....................................................... 10 CONDICONES DE ESTABILIDAD ESTABILIDAD ...................................................................................... 17 SISTEMAS DE OREDEN SUPERIOR .............................................. .................................................................................. .................................... 19 REGLAS PARA REVISAR LA ESTABILIDAD ES SISTEMA DE ORDEN SUPERIOR. ....... 19 SOLUCIONES PARTICULARES PARA PROCESOS DETERMINISTICOS. ........................... 20 ........................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ....................... ......... 20 CASO 1: Xt = 0............................ rt t CASO 2: EL CASO EXPONENCIAL bd = cm ........................... .......................................... ............................. ............................ ......................... ........... 22 CASO 3: TENDENCIA DETERMINÍSTICA btd = ctn ............................ .......................................... ............................ ............................ .............. 24
EJERCICIOS .................................................. ..................................................................................................... ......................................................... ...... 25 MODELOS DE SERIES DE TIEMPO ESTACIONARIAS. ESTACIONARIAS. ................................ 36 MODELOS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS ESTOCASTICOS. ........... 36 MODELOS ARMA ........................................................................... .................................................................................................. ........................ 39 PROCESO AUTORREGRESIVO (AR) ................................................................................ 40 CONDICIONES DE ESTABILIDAD. .................................................................................... 42 Proceso AR (P) .................................................... ..................................................... .......... 45 EL PROCESO MEDIA MOVIL MA (Q) (Q) .................................................... ........................... 46 Proceso ARMA (p,q) ...................................................... .................................................... . 48
EJERCICIOS .................................................. ..................................................................................................... ......................................................... ...... 50
II
Introducción El material incluido en este cuaderno de ejercicios de Series de Tiempo han sido diseñados de acuerdo al Programa de Estudios por Competencias de la materia de Series de Tiempo y con base en las necesidades de los estudiantes de Economía, quiénes deben adquirir conocimientos sobre: i) la identificación de los distintos proceso estocásticos de series de tiempo, basados en ecuaciones en diferencias, sus condiciones de estabilidad y sus distintas soluciones particulares, ii) El concepto y la operación de la estacionariedad, y iii) la identificación y formulación de procesos autorregresivos integrados de medias móviles (ARIMA). El cuaderno de ejercicios ha sido diseñado para trabajarse de manera conjunta a los Apuntes de Series de Tiempo con objeto de reforzar la teoría aprendida y ejercitar de forma empírica cada concepto. En las secciones se presentan ejercicios para la construcción de procesos estocásticos estocásticos de series de tiempo con tendencias tanto determinísticas como estocásticas y sus distintas alternativas de solución, también se presentan ejercicios para la práctica y comprensión de los distintos modelos autorrgeresivos (AR(p)), de medias móviles (MA(q)) e integrados (I(d)), así como para su identificación mediante la función de autocorrelación simple y parcial que sirve para la elaboración de los distintos correlogramas., con esta serie de ejercicios se cubren las unidades de competencia I y II. Los ejercicios propuestos son un compendio tanto de ejercicios propios como de ejercicios comprobados y calculados en el libro Enders, W (2004) (2 004) Applied Econometrics Time Series, Secon Edition, John Wiley & sons Inc, Usa . Además de los siguientes libros: “
1.
Jhonston, J. Econometric Methods, Edit. Mc Graw Hill, 3a. Edicion.
2.
Otero, J.M. (1993) Econometría, Series Temporales Y Predicción. Ed. A.C. Libros Científicos Y Técnicos, Madrid Madrid
3.
Pindyck R. Y Rubinfeld, L. (1991) Econometric Models And Econometric Forecast. Mc Graw Hill.
4.
Charemza, W Y Derek F. Deadman (1992). New Directions In Econometric Pratice: General To Specific Modelling, Cointegration And Vector Autogregresive.
5.
Greene, W. (1999) Análisis Econométrico. Prentice Hall, Tercera Edición.
6.
Mendoza, M.A. (1999) El Análisis De Multiplicadores En Los Modelos De Corrección De Error: Una Nota Metodológica. Mimeo, Maestría En Ciencias Económicas; Posgrado De La Facultad De Economía, UNAM.
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Presentación
El presente cuaderno de ejercicios de Series de Tiempo pretende apoyar los objetivos de aprendizaje y contenidos de esta asignatura presentando ejercicios resueltos en los temas a tratar.
El alumno al hacer uso frecuente de este cuaderno de ejercicios encuentra un apoyo académico, ya que los conceptos y ejemplos presentados le permitirán hacer más comprensibles e interesantes la resolución de los mismos. El principal objetivo de las series de tiempo es hacer proyecciones o pronósticos sobre una actividad futura, suponiendo estables las condiciones y variaciones registradas hasta la fecha, lo cual permite al profesionista planear y tomar decisiones a corto o largo plazo. Después, con base en esa situación ideal, que supone que los factores que influyeron en la serie en el pasado lo continuarán haciendo en el futuro, se analizan las tendencias pasadas y el comportamiento de las actividades bajo la influencia de ellas; por ejemplo, en la proyección de ventas de un producto o de un servicio de una empresa se calculan los posibles precios, la reacción del consumidor, la influencia de la competencia, etc.
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SERIES DE TIEMPO
ECONOMETRÍA APLICADA DE SERIES DE TIEMPO
De la misma manera podemos formar las segundas diferencias como el cambio en la primera diferencia:
La necesidad de una segunda diferencia raramente surge en el análisis de series de tiempo. Lo que consideraremos los métodos para series de tiempo lineales. Examinaremos solo el caso especial de una ecuación en diferencias lineal de orden “n” con coeficiente constante,. La forma de este tipo especial de Ecuación en Diferencia está dada por:
El orden de la Ecuación en Diferencias está dado por el valor de “n”.
La Ecuación es
lineal porque todos los valores de la variable dependiente están elevados a la primera potencia.
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El termino Xt es llamado “proceso forzado”
i) Función del tiempo. ii) Valores actuales y rezagados de otras variables. iii) Disturbios estocásticos.
De la apropiada elección del proceso forzado, podemos obtener una amplia variedad de modelos importantes. Un caso especial muy importante para la secuencia Xt es:
Donde βi son constantes (las cuales pueden ser cero). Y los elementos individuales de Et que no son funciones de Y t. SOLUCIÓN POR ITERACIÓN
Aunque la iteración es el método más incómodo e intensivo en tiempo, la mayoría de la gente lo encuentra muy intuitivo. Si el valor de Y es conocido en algún periodo especifico, un método directo de solución es la iteración. Hacia adelante del periodo para obtener la trayectoria de tiempo subsecuente de la secuencia entera Y, tenemos:
Dado el valor de Yo, tenemos que Y1 estara dado por:
6
Para Y3 ;
Como:
Fácilmente podemos verificar que: para todo t> 0, la iteración repetida produce:
Así: PROCESO
Por
lo
FORZADO
tanto
esta
es
la
solución
para
la
Ecuación
en
Diferencias
ITERACIÓN SIN UNA CONDICIÓN INICIAL
7
Suponga que no se le da la condición inicial para Yo. La solución interior no sería apropiada porque el valor de Yo es desconocido. No podríamos seleccionar este valor inicial de Y e iterar hacia adelante ni hacia atrás. Simplemente escogeríamos detener a t= t=0 así, suponiendo que continuamos iterando mediante sustitución de:
Por Yo, Si
Entonces Si t= t 0
Si continuamos iterando otros “M” periodos, obtenemos:
Examinamos la trayectoria emergente de esta última ecuación y veremos que: Si
También
el termino 2:
vemos
tiende a cero, mientras “M” se acerca a infinito.
que:
la
suma
infinita
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Converge a
. Lo anterior se debe a: la serie de Taylor para un fin geométrico es:
Por ello tenemos que, nuestra solución Particular queda como:.
Esta es una solución (particular) para:
Sabemos que una Solución General está compuesta por una Solución Complementaria más una Solución Particular. YG=Yc+Yp. Ahora bien, Si
y
, o lo que es igual partimos de una ecuación homogénea para
obtener la solución complementaria y, tenemos que:
o Ecuación en Diferencia Homogénea Por
iteración:
9
Si
Resulta ser la solución Complementaria
Por tanto la Solución General
Si t=0
es:
Despejando Sustituyendo en la Solución General: UNA METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN ALTERNATIVA
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Supongamos que estamos buscando la solución para la Ecuación en Diferencias de primer orden.
Solución Particular Donde “a” y “c” son las 2 constantes, como ya vimos. La Solución General
(YG) =
Solución Particular (YP) + Solución Complementaria (Y C). La desviación de la trayectoria de tiempo respecto al equilibrio. Para
la
Solución
Particular
tenemos
que:
Ecuación homogénea. Solución Complementaria
Sabemos que:
, ya que si
Resulta ser una línea resta horizontal situada en el eje
“t”.
Si
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Esto
significa
Por
lo
que
para
tanto
cada
Solución
de
prueba,
debemos
hacer
Busquemos ahora la solución particular:
Para lo cual se propone
Si:
Ya que como es constante .aunque pase el tiempo sigue siendo
Constante
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Pero qué pasa si
debemos proponer
Si:
Pero como a=-1
Como siempre si queremos despejar a “A” (la Cte. Arbitraria aprovechamos
la condición inicial:
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La estabilidad dinámica del equilibrio Como ya vimos tiempo.
, donde
genera diferentes tipos de trayectorias en el
Región
Valor de b
Valor absoluto de b
1
b>1
b>1
2
b=1
b=1
3
0
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