Problemario de Calculo

 

Prof. Jorge Luis Rosas Mendoza

Enero 2008

INSTITUTO POLITECNICO  NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

PROBLEMARIO DE LA ASIGNATURA DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

PROFESOR M EN C JORGE LUIS ROSAS MENDOZA MENDOZA

ENERO DEL 2008

1

 

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 Ejercicios Funciones

Funciones reales de una variable real. 1. 

2.  3.  4. 

5. 

6. 

7.  8. 

Definiciones de función, dominio, rango y gráfica Operaciones con funciones. Determinar el el dominio natural de la la función.

9. 

10.  

11.  

12.  

13.   14.  

15.  

2

 

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16.  

17.  

18.  

19.  

20.  

21.  

22.  

23.  

24.  

25.  

26.  

27.  

28.   Para

determinar a) 

 b) 

c) 

29.   Para

, determinar a) 

3

 

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 b) 

c) 

30.   Para

Determine y simplifique

31.   Para

Determine y simplifique

32.   Para

Determine cada valor

a)   b)  c) 

33.   Para

, encuentre cada valor

a)   b)  c) 

34.   Para

35.   Para

Determine y simplifique

Determine y simplifique

36.   Determinar una función f  que  que tenga las siguientes propiedades: su dominio es [–2, 2], y  f (0)= (0)= f (– 2) =  f (2) = 0. 37.   Determinar una función  f  que  que tenga las siguientes propiedades: su dominio es R,  f (3) = 0,  f (– 2) = 0 y  f (0) = – 36 Encuentra la expresión para la función cuya gráfica es la curva dada. 38.   El segmento rectilíneo rectilíneo que une los puntos (–2, 1) y (4, –6) 39.   La mitad inferior de la parábola  x + (  yy – 1)2 = 4. Determine si la curva es la grafica de una función de x. Si lo es, dé el dominio y la imagen de la función.

4

 

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40.  

41.  

42.  

43.  

5

 

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¿Cuáles de las relaciones siguientes determinan una función  f   con fórmula sean, determine

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? Para aquellas que lo

. Sugerencia: Despeje a  y en términos de  x y observe que la definición requiere un solo

valor de y para cada x. 44.   45.  

46.  

47.  

48.   49.  

50.   51.   La grafica que se muestra da el peso de cierta persona como función de la edad. Describa con palabras la manera en que varía el peso de esta persona persona a lo largo del tiempo ¿Qué piensa el llector ector que sucedió cuando esta persona tenia 30 años?

52.   La grafica que se muestra da la distancia a la que se encuentra un vendedor de su casa como función del tiempo en cierto día. Describa con palabras lo que la grafica indica respecto al recorrido del vendedor en este día.

6

 

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53.   Usted pone algunos cubos de hielo en un vaso, lo llena con agua fría y lo deja sobre una mesa. Describa como cambia la temperatura del agua a medida que pasa el tiempo. A continuación, trace una grafica aproximada de la temperatura del agua como función del tiempo transcurrido. 54.   Trace una grafica aproximada de la temperatura exterior como función de la época, durante un día típico de primavera. 55.   El propietario de una casa corta el césped cada miércoles por la tarde. Trace una grafica aproximada de la altura del césped como función del tiempo durante un periodo de cuatro semanas. 56.   En la tabla, se muestra la población P (en miles) de San José, California, desde 1984 hasta 1994. (Se dan las estimaciones correspondientes correspondientes a la mitad del año.) t P

1984 695

1986 716

1988 733

1990 782

1992 800

1994 817

(a)  Dibuje una gráfica de P como función del tiempo. (b)  Use la gráfica para estimar la población de 1991. 57.   El 18 de marzo de 1996, en Atlanta, Georgia, se registraron las lecturas T de la temperatura, cada dos horas, desde la media noche hasta medio día. El tiempo t se midió en horas a partir de la media noche.

T T

0 58

2 57

4 53

6 50

8 51

10 57

12 61

(a) las la lecturas unalagráfica aproximada deA.M. T como función de t . (b)   Use Utilice gráficapara paratrazar estimar temperatura a las 11

7

 

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 Ejercicios Operaciones Algebraicas

Determine : a)

b)

d)

c) e)

g)

f)

h) y calcule sus dominios.

1.  2.  3.  4.  5.  6.  7. 

 Respuesta::  Respuesta

8.  9.  10.   11.   12.   13.   Supóngase que G es una función y  x es un número tal que

, ¿Cuál es el valor de

15 veces. Exprese la función F ( x)  x) en la forma

.

14.  

8

 

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15.  

16.   17.  

18.   Sea

Demuestre que

, siempre y cuando

19.   Sea

Demuestre que

, siempre y cuando

.y

20.   Sea

Demuestre que

, siempre y cuando

.y

9

 

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Enero 2008  Ejercicios Operaciones gráficas

Trace las gráficas de  f   para los tres valores de c en un mismo sistema coordenado (utilice desplazamientos verticales,, desplazamientos horizontales, ampliaciones o reducciones y reflexiones) verticales reflexiones).. 1.  2.  3. 

; c=0, c=1, c=-3. ; c=0, c=-1, c=2. ; c=0, c=1, c=-2.

4. 

c= -1, c= -2, c=1.

5. 

; c=1, c= 2, c= -1.

6. 

; c= -1, c=3, c=1.

7. 

; c=0, c=3, c=1.

8. 

; c=0, c=-4, c=2.

9.  10.  

; c=0, c=2, c=-1. ; c=0, c=4, c=-2.

11.  

; c=0, c=4, c=-2

12.  

; c=0, c=-2, c=3.

13.  

; c=1, c=2, c=3.

14.  

; c=0, c=4, c=-3.

15.   16.   17.   18.   19.   20.   21.   22.   23.   24.   25.  

; c=0, c=5, c=-2. ; c=0, c=5, c=-2. ; ; c=-1, c=2, c=3. ; ; c=-1, c=2, c =2, c=3. c= 3. ; ; c=-1, c=2, c=3. ; ; c=-1, c=2, c=3. ; ; c=1, c=-2, c=3. ; c=0, c=2, c=-1. ; c=0, c=-2, c=1. ; c=0, c=2, c=-1. ; c=1, c=2, c=-1.

26.  

c= -1, c= -2, c=1.

27.  

; c=1, c= 2, c= -1.

10

 

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Bosqueje las gráficas de las siguientes funciones 28.  

29.  

30.  

31.  

32.  

33.  

34.  

35.  

11

 

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Enero 2008  Ejercicios  Aplicación de d e Funcion Funciones es

1) 

(Superficie de un cilindro en función del radio ) Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal sin 3 tapa que tenga una capacidad de 1 m . Exprese el área de la superficie como una función del radio del cilindro.

2) 

( Área  Área de un rectángulo en función de un lado ) Un rectángulo tiene un perímetro de 20 m. Exprese el área del rectángulo como función de la longitud de uno de sus lados.

3) 

(Costo de las paredes de un edificio ) Un edificio de oficinas está construido sobre un área de 46 m 2. El  plano del de l piso ssee muestra en la figura. fig ura. Suponiendo Supo niendo que q ue el costo c osto de las pared paredes es es d dee $100 $1000 0 pesos el metro lineal, exprese el costo C  de   de las paredes como una función del ancho  x . (Desprecie la porción de pared sobre las puertas).

4) 

(Caja sin tapa) Se desea construir una caja caja sin tapa a partir de una hoja de ca cartón rtón rectangular que tiene 2 dimensiones 15cm X 20cm. Para ello se recortarán cuatro cuadrados idénticos de área x , uno en cada esquina y se doblarán hacia arriba los lados resultantes. Exprese el volumen V de la caja como una función de x. x |

?

|x

30

20

5) 

(Costopor Unkilómetro taxista cobra 5 pesos por el primer kilómetro (o fracción kilómetro) y2 de viaje en taxi) de  pesos cada décimo (o fracción) siguiente. Expresa el costo, C, de undeviaje como una función de la distancia x, recorrida en kilómetros, kilómetros, para 0 < x < 2, y traza la gráfica de esa función.

6) 

( El  El primero Problema de la Ventana ) Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado  por un semicírculo. sem icírculo. Si el p perímetro erímetro de la ventana es de 30 pies, exprese el área A de ella como ffunción unción d del el ancho x de la misma.

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7) 

( Distancia  Distancia recorrida por un globo )Un globo de aire caliente se suelta a la 1 P.M. y se eleva verticalmente a razón de 2m/s. Un punto de observación esta situado situado a 20m del punto en el suelo que se encuentra ubicado directamente directamente aba abajo jo del globo. globo. Sea t  el   el tiempo en segundos transcurridos a partir de la 1 P.M. . Exprese la distancia d   del globo al punto de observación como una función de t .

8) 

(Tiradero de basura ) Un tiradero de basura de forma rectangular tiene 400 Km 2  y va a ser cercado. Exprese el costo de la cerca en función de uno de sus lados  x., si el precio es de $4.00 dólares el metro lineal de cerca,

9) 

( El  El Problema del Libro ) Las páginas de un libro deben tener cada una 600 cm 2 de área con márgenes de 2 cm. abajo y a los lados y 3 cm. arriba. Exprese el área impresa en función de uno de sus lados.

10) 

(Volumen de un cubo ) Exprese el volumen V de un cubo como una función del área total de su superficie.

11) 

( Perímetro  Perímetro de un rectángulo ) Un rectángulo tiene un área de 16 m 2. Exprese su perímetro como función de la longitud de uno de sus lados.

12) 

( El  El equilibrista ) La figura muestra las instalaciones de un equilibrista en el alambre. La distancia entre los postes es de 16m, pero aun no se ha determinado la altura del punto de amarre P. a) Exprese la longitud L como una función de la altura x del punto P.  b)  b)Determine Determine la altura del punto de amarre P suponiendo que el alambre o cuerda tiene una longitud de 24m.

13) 

( Remar  Remar o caminar  cam inar  )  ) Un hombre se encuentra en un bote a 2 kilómetros del punto mas cercano A de la costa, que es recta, y desea llevar a una casa que se encuentra en un punto B de la citada costa, a 6 kilómetros de A. El hombre piensa en remar hasta hasta un punto P entre A y B que se encuentra a x millas de la casa y luego caminar el resto. resto. Suponiendo que puede remar a una velocidad velocidad de 3 km/h por hora y caminar 5 km/h, exprese el tiempo total T que le tomará llegar a la casa, como una función de  x.

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14) 

(Costo de la pintura de un depósito rectangular ) Se desea desea pintar un depósito rrectangular ectangular de base 3 cuadrada, abierto por arriba. Debe tener 125 M  de capacidad. Si el costo de las caras laterales es de $2.00  pesos por metro m etro cuadra cuadrado, do, y el del fondo f ondo es de $4.00 por po r metro cuad cuadrado, rado, Expre Exprese se el costo en función del lado,  x, de ssu u base.

15) 

( El  El Problema del Triángulo )  Sea dado un punto (x0  ,  yo) )  que se halla en el primer cuadrante en un sistema de coordenadas rectangulares. Trazar por este punto una recta de manera que forme un triángulo con las direcciones positivas de los ejes de coordenadas. Hallar una expresión para el área del triángulo.

16) 

( El  El incendio ) Un incendio comienza en un campo abierto y seco, y se extiende en forma de círculo. El radio de tal círculo aumenta a razón de 6m/min. Exprese el área con fuego como una razón del tiempo t.

17) 

( La  La onda ) Se deja caer una piedra en un lago, que crea una onda circular que viaja hacia fuera a una velocidad de 60 cm/s. Exprese el radio r  de  de este circulo como función del tiempo t  (en  (en segundos). Si A es el área de este circulo como función del radio, encuentre A o r  e   e interprétala.

18) 

( Área  Área de un triángulo trián gulo equilátero e quilátero ) Exprese el área del triángulo equiláte equilátero ro como función de la longitud de uno de sus lados.

19) 

( Longitud  Longitud y diagonal diago nal de un cuadrado cua drado ) Exprese la longitud del lado de un cuadrado como una función de la longitud d  de  de la diagonal. Luego, exprese el área como una función de la longitud de la diagonal.

20) 

( El  El problema pro blema del alambre ala mbre ). Se tiene un alambre de 100cm de largo. Se corta en dos partes para construir con uno de los trozo de alambre un cuadrado y con el otro un circulo. Exprese la suma de las áreas del cuadrado y del círculo como una función de  x.

21) 

( El  El Segundo Problema de la Ventana )  Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con una triángulo equilátero. El área de la ventana es de 6 metros cuadrados. Exprese el perímetro de la ventana como una función de uno de sus lados, x.

22) 

( El  El potrer  p otrer o) o) Se dispone de 400 m de alambrado para cercar un potrero rectangular. Expresar el área del  potrero en función fu nción de u uno no de sus lad lados os ( x).

23) 

( La  La torre y el avión a vión ) En la figura se muestran las posiciones relativas relativas de una avión y una torre de control de 20 metros de alto. El principio de la pis pista ta se encuentra a una distanci distanciaa de 300 metros de la base de la torre, sobre la perpendic perpendicular. ular. Exprese la distancia  x que el avión ha recorrido sobre la pista.

24) 

 El Problema del Cable más Corto ) Dos postes con longitudes de 6 y 8 metros respectivamente se ( El colocan verticalmente sobre el piso con sus bases separadas una distancia de 10 metros. Exprese la longitud de un cable que pueda ir desde la punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo entre los  postes y luego lueg o hasta la pu punta nta del otro p poste. oste.

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25) 

( El  El Problema Prob lema del Yate y el Vapor)  Un yate se mueve en línea recta hacia el punto donde se encuentra un vapor con una velocidad de 60 km/h. En el momento en que la distancia entre ambos es de 4 km, el vapor se empieza a mover en dirección perpendic perpendicular ular a la del yate con una velocidad de 25 km/h. Determinar la distancia entre las embarcaciones después de t horas en que el vapor se empieza a mover.

26) 

( El  El Problema Prob lema de la Escalera)  Una cerca de 8 pies de altura colocada al nivel del piso corre paralela a un edificio alto. La cerca se encuentra a un pie del edificio. Exprese la longitud de la escalera que puede colocarse en el suelo y recargarse en el edificio por encima de la cerca como una función de  x.

27) 

(Superficie y volumen de un cubo) Exprese el área superficial de un cubo como función de su volumen.

28) 

(Segundo problema de la caja) Una caja rectangular abierta, con volumen de 2m , tiene una base cuadrada. Exprese el área superficial de la caja como función de la longitud de uno de los lados de la  base.

29) 

( Problema ) Una pieza larga y rectangular de lámina de 50 cm. de ancho va a convertirse en  Problema del agua Canalón Ca nalón un canal para doblando hacia arriba dos de sus lados hasta formar ángulos de 120º con la base. Exprese el volumen del canalón

30) 

( El  El Problema Proble ma del Vaso Cónico Có nico ) Un vaso cónico de papel tiene capacidad de 100 cm . Expresar el área de la cantidad de papel que se usa para fabricarlo como una función del radio. 

31) 

( La  La tienda de campaña )Se desea construir una tienda de campaña con forma de pirámide de base cuadrada. Un poste de metal colocado en el centro será el soporte de la tienda. Se cuenta don  s  pie cuadrados de lona para los cuatro lados del albergue y  x  es la longitud de la base. Demuestre que el

3

3

volumen V de la tienda es

32) 

( El  El Problema del Correo ) Un paquete puede enviarse por correo ordinario solamente si la suma de su altura y el perímetro de su base es menor que dos metros y medio. Exprese el volumen de una caja que  puede enviarse env iarse por corr correo eo si la base de d e la caja es cuadrada. cua drada.

33) 

( El  El cilindro y el cono c ono ) Un cilindro circular recto de radio r   y altura h  esta inscrito en un cono de altura 12 y radio de base 4, como se ilustra en la figura. a)  Exprese h como una función de r (sugerencia: us usee triángulos semejantes.) semejantes.)

 b) Exprese el volumen vo lumen V de dell cilindro como com o una funció función n de r.

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34) 

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( El  El Problema del Triángulo Isósceles ) Hallar una expresión para el área de un triángulo isósceles de  perímetro  p = 40 cm.

 Ejercicios  Ejercicios  Propiedadess de las funciones  Propiedade fun ciones

I.a)   b)  c)  d)  e) 

Determine si f  es  es par, impar o ninguna de las dos. Trace un bosquejo de la gráfica de la función. Determine si f  es  es monótona. Determine si f  es  es biunívoca o no. Explique. Si la función no es biunívoca de los intervalos más grandes donde es biunívoca.

1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8) 

9) 

10)  11)  12) 

13) 

16

 

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14)  15)  16)  17)  II.-

Establezca si cada una de las funciones es par o impar o bien, ninguna de las dos. Demuestre sus afirmaciones.

18)  La suma de dos funciones impares es impar. 19)  No todo polinomio po linomio de g grado rado impar es e s una función funció n impar. 20)  La suma de dos funciones pares es par. 21)  El producto de dos funciones impares es impar. 22)  La suma de dos funciones impares es impar. 23)  El producto de dos funciones pares es par. 24)  El producto de una función impar y una par es impar . 25)  No todo polinomio po linomio de g grado rado par es una u na función par. III.-

Sea F cualquier función cuyo dominio contiene a –x siempre que contenga a z. Demuestre que

26)  27)  28)  F siempre puede expresarse como la suma de una función par y una función impar. III.-

Determine si la función dada tiene inversa en todo su dominio. Si no tiene inversa en todo su dominio, dé un dominio en el que la función tenga inversa. Calcule la función inversa. Determine el dominio y la imagen de la función inversa. Grafique las dos funciones en un mismo plano.

29)  30)  31)  32)  33)  34)  35)  36)  37) 

17

 

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38)  39)  40)  41)  42)  43)  44)  45) 

46)  47)  48) 

IV.- Determinar si la la f unción dada es periódica y calcul calculee el periodo. 49) 

50) 

51) 

18

 

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Límites Métodos para calcular límites  Ejercicios Técnicas para determinar límites

Trace la gráfica de la función  f  definida  definida por partes y determine los límites si es que existen.

I.a)

b)

c)

1) 

2) 

3) 

4) 

II.-

Utilice simplificaciones simplificacion es algebraicas algebraica s como ayuda para evaluar el límite, si es que existe.

5) 

6) 

7) 

8) 

9) 

10) 

11) 

19

 

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12) 

13) 

14) 

15) 

16) 

17) 

18) 

19) 

20) 

21) 

22) 

23) 

24) 

25) 

26) 

20

 

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27) 

28) 

29) 

30) 

31) 

32) 

33) 

34) 

35)  Si 36)  Si

hallar hallar

37)  Si

hallar

38)  Si

hallar

39)  Trace la gráfica de un ejemplo de una función f  que  que satisfaga todas las condiciones dadas. a)

b)

c)

d)

f)

¿Hay un número a tal que

exista? Si es así, determina los valores

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Funciones continuas Funciones seccionalmente continuas   Ejercicios Continuidad

I.-Demuestree que la función f  es I.-Demuestr  es continua en el número a dado. 1. 

,

2. 

a = 4 , a = -1

3. 

4. 

, a = 3

5. 

6. 

7. 

8. 

II.- Demuestre que f  es  es continua en el intervalo indicado. 9. 

10.   11.   12.  

13.  

en [-1, 3].

14.   en [-2, 5]

22

 

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15.   en [-3, 3] 16.   en [-4, 3] III.- Encuentre todos los números en los que la función f  es  es continua 17.  

18.  

19.  

20.  

21.  

22.  

23.  

24.  

25.  

26.  

27.  

28.  

23

 

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IV.- Describa el tipo de discontinuidad discontinuidad que tienen las siguientes funciones y si la discontinuidad es removible define una nueva función que sea continua. 29.  

30.  

31.  

32.  

33.  

34.  

35.  

=

36.  

37.  

38.  

39.  

40.   Encuentre un valor de c para el cual  f  sea  sea continua en todo !.

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41.   Dar una función necesaria y suficiente sobre A y B para que la función sea continua en  x=2 pero discontinua en x=1.

42.   Encuentre un valor de c para el cual  f  sea  sea continua en todo !. 43.   Encuentre un valor de c y d  para  para los que  f  sea  sea continua en [-3,3].

44.   Encuentre el valor de c, para que f  sea  sea continua en [-2 3].

45.   Determinar los valores de c para que  f  sea  sea continua en todo !.

46.  

47.   Determinar los valores de a para que f  sea  sea continua en todo !.

48.   Encuentre un valor de a y b para los que  f  sea  sea continua en todo !.

49.   ¿Es continua f  en  en 3? Justifique su respuesta.

50.   ¿Es continua f  en  en 3? Justifique su respuesta.

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51.   ¿Es continua f  en  en –1? Justifique su respuesta

52.   ¿Es continua f  en  en 2? Justifique su respuesta.

53.   Sean Determine si las funciones compuestas f o g y g o f  son  son continuas en x=0. 54.   Un vendedor tiene un salario básico de $10,000.00 y recibe $1000.00 por cada $50,000 de las ventas que excedan $100,000.00. Trace la gráfica que muestre su ingreso como función de las ventas. Discuta la discontinuidad de la función. 55.   La cuota de un estacionamiento para automóviles es de $10.00 por la primera media hora y $5.00 por cada media hora o fracción adicional. Hasta un máximo de $50.00. Encuentre una función f que relacione cuota con de el tiempo que se deja un automóvil en el estacionamiento. Trace la gráfica de f y discuta la la continuidad f.

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La derivada La derivada como razón de cambio Interpretación geométrica Propiedades de la derivada. Derivada de las operaciones elementales. Incrementos y diferencias Regla de la cadena y función inversa Derivación implícita Derivadas de orden superior  Ejercicios  Derivada usando u sando la definición d efinición

I.- Calcular llaa pendiente de la recta tangente a la gráfica gráfica de la función función en el punto dado. 1.  2.  3.  4.  II.-

Calcular el dominio de

.

Trace la gráfica de f   y y f   ‘. ‘.

5. 

6. 

7. 

8. 

9.  10.   11.  

III.- Cada límite repr representa esenta la derivada de una funci función ón en un número c. Determinar f  (  (  xx) y c.

12.  

27

 

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13.  

14.  

15.   16.   Calcular A y B suponiendo que la función

es diferenciable en x=1. 17.   Sea g  la  la función definida por

Demostrar que g es diferenciable diferenciable en  x=c. ¿Cuál es su derivada

?

IV.- Dar un ejemplo de una función f , definida para todos los reales, que verifique las siguientes condiciones. condiciones. 18.  

 para todo

19.  

;

existe para todo

20.  

no existe. ;

no existe.

;

21.  

 para

;

para

;

22.   Sea a) Demostrar que f  es  es continua en x=0 y discontinuas en cualquier  b) ¿Pueden se ser  r   f  f  una  una función diferenciable diferenciable en un valor x donde c) Demostrar que f  no  no es diferenciable en x=0.

. ?

23.   Sea a) Demostrar que g eess una función ontinua ontinua en x=0 y discontinuas en cualquier  b) ¿Pueden se serr g una función func ión diferenciable diferenc iable en un valor v alor x dond dondee c) Demostrar que g  es  es diferenciable en x=0 y calcular

.

? Explicarlo.

.

28

 

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24.   Sea a) Demostrar que f es una función continua continua en x=0.  b) Demostrar qu quee f  no  no es diferenciable en x=0.

25.   Sea

a) Demostrar que g eess una función continua continua en x=0.  b) Demostrar q que ue g  es  es diferenciable en x=0 y calcular

.

26.   Sea

a) ¿Es continua la función? Si no es continua, indique el tipo de discontinuidad que tiene.  b) ¿Es derivable la función en: en : x = -3, x = -1, x = 0, x = 1, x = 3? a) ¿Es deri derivable vable la función?

27.   Sea

a) Es la función cont continua? inua?  b) ¿Es la funció función n derivable? 28.   Sea

con dominio

.

a) ¿Es conti continua nua la función?  b) ¿Es derivab derivable le la función?

29

 

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30

 

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Enero 2008  Ejercicios  Reglas de derivación de rivación

I:- Calcular la derivada de las siguientes funciones 1.  2.  3.  4. 

5.  6.  7. 

8. 

9.  10.   11.   12.   13.  

II.- Hallar una fórmul fórmulaa para derivada n-ésima. 14.  

15.   16.   17.  

a, b y c constantes n entero positivo, a,b constantes

III.- Calcular y’. 18.   19.

 

20.   21.  

31

 

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22.   Hallar los coeficientes A, B, C, D de tal modo que la curva tangente a la recta

en el punto (1,0) y tangente a la recta

23.   Determinar los coeficientes coeficientes A, B y C de tal modo que la curva  punto (1,3) y sea tangen tangente te a la recta

sea en el punto (2,9).

pase por el

en el punto (2,0).

24.   Hallar el o los valores de x para los que la tangente a la gráfica de la función cuadrática es una recta horizontal. 25.   Hallar condiciones en A,B,C y D que garanticen que la gráfica del polinomio cúbico tenga: a)

Exactamente dos tangentes horizontales.

 b)

Exactamen Exactamente te una tange tangente nte horizontal. horizon tal.

c)

Ninguna tangente horizontal.

26.   Demostrar la regla del producto 27.   Demostrar la regla del cociente. 28.   Hallar A y B para que la derivada sea continua para todo  x real.

29.   Hallar A y B para que la derivada sea continua para todo  x real.

30.   Sea

, donde n es un entero positivo.

a)

Hallar

Para k=n.

 b)

Hallar

Para kn.

31.   Dada la función polinomial a)

Hallar

 b)

¿Cuál es

32.   Si

para k>0?

Demostrar que

32

 

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33.  

34.   Comprobar la identidad

35.   Una función L tiene la propiedad de que

para toda

36.   Sean  f   y  g   funciones diferenciabl diferenciables es tales que . Hallar

. Calcular la derivada de

y

, y sea

.

37.   Sean  f y  g   funciones diferenciables diferenciable s tales que . Hallar

y

, y sea

.

38.   Sea f  una  una función diferenciable. diferenciable. Utilizar la regla de la cadena para demostrar que: a) Si f  es  es par, entonces f ’ es impar.  b)

Si f  es  es impar, entonces  f ’ es par.

39.   Sea a)

Demostrar que f  es  es diferenciable en x=0 y dar

.

para todo  x.

 b)

Determinar

c)

Demostrar que

d)

Dibujar las gráficas de

no existe. y

.

40.   Sea

a)

Demostrar que tanto

como

 b)

Determinar

para todo  x.

c)

Demostrar que Demostrar

d)

Dibujar las gráficas de

y

existen y dar sus valores.

no existe. ,

.y

.

33

 

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Rapidez de variación Razones de cambios relacionadas. Para resolver los problemas de variación relacionad relacionadaa posemos seguir los siguientes pasos: 1)  Dibujar una diagrama, cuando sea pertinente, e indicar las cantidades que varían. 2)  Especificar en forma matemática la tasa de variación que se está buscando y recopilar toda la información dada 3)  Hallar una ecuación que implique la variable cuya tasa de variación se debe hallar. 4)  Diferenciar respecto respecto a t la ecuación hallada en el paso 3). 5)  Enunciar la respuesta final de forma coherente, especificando las unidades empleadas. 1)  Una escalera de 10 metros está apoyada contra contra la pared de un edificio. La base de la escalera re resbala sbala alejándose de la pared a razón de 2m/s. ¿Con qué rapidez desciende el extremo superior de la escalera cuando se encuentra a 6 metros del piso?  Respuesta::  Respuesta

En el instan instante te en el que

y=6 la escaler escalera a resbala ve verticalmente rticalmente a razón de

2)  Una persona comienza a correr a partir partir de un punto A hacia el este, a una velocidad de 3 m/s. Un minuto después, otra persona sale corriendo desde A hacia el norte a 2 m/s. ¿Cuál es la rapidez de variación de la distancia entre las personas un minuto más tarde?

cuando

3)  A las 10:00 horas el barco A se encuentra a 25 kilómetros al sur del barco B. Suponiendo que A navega hacia el oeste a razón de 12km/h, y que B navega hacia el sur a 16km/h ¿cuál es la rapidez de variación de la distancia entre los barcos a las 11:00?.  Nota: Observe Observ e que 4)  Un vaso de papel en forma de cono con con un diámetro de 10 centímetros centímetros y una profundidad de 10 centímetros está lleno de agua. El vaso pierde agua por abajo a razón de 2 centímetros cúbicos por minuto. ¿A qué velocidad está bajando el nivel del agua en el instante en el cual tiene exactamente 5 centímetros de profundidad.  Respuesta:

5)  Cuando un disco metálico circular se calienta, su diámetro aumenta a razón 0.01 cm/min. ¿cuál es la rapidez de cambio del área de uno de sus lados, cuando el diámetro es de 15 cm?. 6)  Un hombre que está en un muelle tira de una cuerda atada a la proa de un bote que se halla 30 cm sobre el nivel del agua. La cuerda pasa sobre una polea simple que se encuentra en el muelle a 2 m del agua (véase la figura). Si tira de la cuerda a razón de 1 m/s, ¿con qué rapidez se acerca el bote al muelle en el momento en que la proa está a 6 m del punto sobre el agua que se encuentra directamente abajo de la  polea.

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7)  Un globo de aire caliente se eleva en forma vertical y una cuerda atada a la base del globo se va soltando a razón de 1.5 m/s. El torno desde el cual se suelta la cuerda está a 6 m de la plataforma de abordaje. ¿Si se han soltado 150 m de cuerda, con qué rapidez asciende el globo?

8)  Un globo esférico se está expandiendo. Si su radio crece a razón de 1 centímetro por cada 30 segundos. ¿con qué rapidez crece el volumen cuando el radio es de 5 centímetros.+ centímetros.+ 9)  Una partícula se mueve en el sentido de las manecillas del reloj en una órbita circular dada por . Cuando la partícula pasa por el punto

, su ordenada disminuye a razón de 2

unidades por segundo. ¿Con qué rapidez varía su abscisa? 10)  Un depósito para agua con sección vertical transversal en forma de triángulo equilátero se llena a razón de 1 metro cúbico por minuto. Suponiendo que la longitud del depósito es de 3 metros. ¿con qué rapidez sube el nivel del agua en el momento en el cual ésta alcanza una profundidad de 2 metros. 11)  Dos aviones uno rumbo al oeste y el otro al este, se aproximan uno a otro siguiendo dos trayectorias  paralelas que distan d istan 80 metros. Sabiendo que ambos aviones vuelan a una v velocidad elocidad de 80 800km 0km po porr hora hora,, ¿con qué rapidez está disminuyendo la distancia entre ambos cuando distan entre sì 100 kilómetros. 12)  Un vaso de papel tiene forma de cono, de 10 centímetros de alto y 5 centímetros de radio en la base. Se suministra agua a razón de 2 centímetros cúbicos por minuto. ¿cuál es la rapidez de cambio del nivel del agua cuando tiene exactamente 5 centímetros de profundidad.

13) por globo a 500 metros está de un observador y se eleva verticalmente laisual velocidad de 140 metros   Unminuto. min uto.despega ¿Con qué v velocidad elocidad crec creciendo iendo el e l ángulo de inclin inclinación ación d dee laa v visual de dell observado observador r en el instante en el cual es globo está exactamente a 500 metros del suelo?  Respuesta: El ángulo de visión crece a razón de 0.14 radianes por segundo es decir aproximadamente 8 grados. 14)  Una escalera de 15 metros de largo está apoyada contra un edificio. Si la base de la escalera se separa de la pared a razón de 0.2 metros por segundo, ¿ con qué velocidad está cambiando el ángulo formado por la escalera y el suelo en el instante en el cual el otro extremo de ésta se encuentra a 10 metros del suelo?.  Respuesta: En el instante en el que el extremo de la escalera está apoyada a 10 mtros. Del cuelo, el ángulo formado por el otro extremo y el suelo, disminuye a razón de 0.02 rad. por seg.

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Valores extremos y gráficas Máximos y mínimos Criterio de la primera derivada Concavidad y criterio de la segunda derivada Gráficas con elementos de derivación  Ejercicios  Máximos Mínimos M ínimos y Con Concavidade cavidadess

I.- Calcule los valores valores m máximos áximos y mínimos absolutos de f  sobre  sobre el intervalo dado. 1. 

2. 

3. 

4. 

5.  6. 

[-1,3]

7.  8. 

9. 

[-4, 5]

10.   11.   12.  

[-1,8]

13.   II.- Calcule los máximos y mínimos locales de f . Describa los intervalos en los que  f  es  es creciente o decreciente y trace la gráfica de f .

14.   15.  

16.  

36

 

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17.  

18.  

19.   20.   21.  

22.  

23.  

24.   III.- Halla Halla los intervalos en los que  f  es  es creciente, o decreciente. Halla los valores máximos o mínimos de  f . Halla los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. Bosqueje la gráfica de la función. 25.  

26.  

27.  

28.  

29.  

30.   31.   32.   33.  

37

 

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34.   35.   36.  

37.  

38.  

39.   40.   41.  

42.   43.   44.   45.   46.   47.  

48.   49.  

IV.- a.  b.  c.d.e.-

Halle las asíntotas verticales y las horizontales. Halle los intervalos de crecimiento o decrecimiento. decrecimiento. Halle los valores máxi máximos mos y mínimos locales. Halle los inter intervalos valos de concavidad y los puntos de infl inflexión. exión. Bosqueje la la gráfica de la función.

50.  

38

 

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51.   52.  

53.  

54.  

55.  

56.   57.   VI.- Trace la gráfica de una función continua  f  que  que satisfaga todas las condiciones dadas. 58.   si si si si

.

59.  

si si si

o si

si

o si

 Aplicaciones de máximos máx imos y mínimos  Ejercicios  Aplicacioness de máximos  Aplicacione máximo s y mínimos

1)  Halle el rectángulo de área más grande que se puede inscribir en un triángulo equilátero de lado L si un lado del rectángulo se encuentra sobre la base del triángulo.

39

 

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2)  Un trozo de alambre de 1m de largo se corta en dos partes. Una se dobla para formar un cuadrado y la otra para formar un triángulo equilátero. ¿Cómo debe cortarse el alambre de modo que el área total encerrada sea (a) máxima y (b) mínima? 3)  Por experiencia, el gerente de un complejo de apartamentos de 100 unidades sabe que se ocuparán todos si la renta es de 400 dólares al mes. Una investigación investigación del mercado sugiere que, en promedio, quedará una unidad adicional vacía por cada incremento de 5 dólares en la renta. ¿Cuánto debe cargar el gerente por renta para maximizar el ingreso?. 4)  Demuestre que de todos los rectángulos con área dada, el que tiene perímetro menor es el cuadrado. 5)  Un yate se mueve en línea recta hacia el punto donde se encuentra un vapor con una velocidad de 60 km/h. En el momento en que la distancia entre ambos es de 4km, el vapor se empieza a mover en dirección perpendicular a la del yate yate con una velocidad velocidad de 25 km/h. Determinar el moment momento o en que las embarcaciones se encuentran a la mínima distancia.

6)  Se va a construir una vía de ferrocarril de un pueblo A a un pueblo C, que cambiará su dirección t grados hacia C, en un punto B. Debido a las montañas que hay entre A y C el punto B de la curva debe estar por lo menos 20 Km al este de A. El costo de la construcción es de 500,000 pesos por kilómetro entre A y B, y de 1000000por kilómetro entre B y C calcule el ángulo t para el cual el costo de la construcción es mínimo.

7)  (El problema de la escalera) Una Cerca de 8 pies de altura colocada al nivel del piso corre paralela paralela a un edificio alto. La cerca se encuentra a un pies del edificio. Encuentre la longitud de la escalera más corta que puede colocarse en el suelo y recargarse en el edificio por encima de la cerca. 8)  ( El  El problema de la ventana ) Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un triangulo equilátero. El área de la ventana es de 3.4 metros cuadrados. Encuentre las dimensiones del rectángulo  para el cual el perímetro p erímetro de la ventana sea mínimo. 9)  Dos pasillos de 3m y 4m de ancho se encuentran formando un ángulo recto evalùe la longitud de la barra rígida más larga que puede transportarse transportarse horizontalmente dando vuelta a la esquina, (Desprecie el grosor de la barra). 10)  Sea dado un punto (x 0, y0) que se halla en el primer cuadrante en un sistema de coordenadas rectangulares. Trazar por este punto una recta de manera que forme un triangulo de área mínima con las direcciones positivas positivas de los ejes de coordenadas. 11) por cultivador californiano plantaque 200siembre naranjospor poracre, acre,elelcultivador rendimiento promedio es de 300menos naranjas   Si un árbol. Por cada árbol adicional obtendrá 15 naranjas por árbol. ¿Cuántos árboles por acre darán la mejor cosecha? 12)  Calcule las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que se puede inscribir en un cono de radio a y altura h. 13)  Un hombre se encuentra en un bote a 2 kilómetros del punto mas cercano A de la costa, que es recta, y desea llevar a una casa que se encuentra en un punto B de la citada costa, a 6 kilómetros de A. El hombre  puede remar rema r a una veloc velocidad idad de 3 km/h y caminar 5 km/h. a) ¿Qué debe hacer para llegar a su casa en el menor tiempo posible.  b) Que debe hacer si el ho hombre mbre tiene un unaa lancha de motor que puede p uede viajar a 15km/h. 14)  Girando un rectángulo de perímetro p alrededor de uno de sus lados, se genera un cilindro circular recto. Calcule las dimensiones del rectángulo que producen el cilindro de mayor volumen. 15)  Se desea construir una tienda de campaña con forma de pirámide de base cuadrada. Un poste de metal colocado en el centro será el soporte de la tienda. Se cuenta con S pies cuadrados para los cuatro lados de

40

 

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la tienda y x es la longitud de la base. Demuestre que el volumen de la tienda es

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y

determine el valor de x para el que el volumen es máximo. 16)  Una cartelera rectangular de 20 pie de altura está instalada arriba de un edificio de manera que su orilla inferior está 60 pie arriba del nivel de los ojos de un observador. ¿A qué distancia del edificio se debe colocar el observador para que el ángulo t   entre entre las rectas que van de sus ojos a la orilla de arriba y a la de debajo de la cartelera sea máxima? (Este ángulo es con el que se obtendrá una mejor vista del cartel)

41

 

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Funciones exponenciales y logarítmicas Derivadas de funciones logarítmicas Derivadas de funciones exponenciales Derivada de las funciones inversas

Calcula la derivada de la función 1.

23.

2. 24. 3. 4. 5.

6.

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

42

 

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41. Demostrar la propiedad si a y b son cualesquiera números reales positivos, en tanto que  x  y  y son números reales. (a)

(b)

(c)

(d)

(e)

42. Encontrar la segunda derivada de la siguiente función: 43. Si

,

,y

44. Considere

. Determinar la segunda derivada de

.

para a fija a>0 y a!0 demuestre que ƒ tiene una función inversa

y encuentre una fórmula para 45. Para a>1 fija, sea f ( x  x)= 46. Sea

con

.

en [0, .

) Demuestre que f (  xx) alcanza su máximo en x0= Demuestre que para cualquier u fija:

alcanza su máximo en x0 = u 47. Determinar y’ en 48. Para a) Trazar la gráfica  b) Determinar los extremos relativos r elativos de  f . c) Determinar los intervalos de crecimiento. d) Determinar los intervalos de decrecimiento. e) Determinar los intervalos de concavidad. f) Determinar los puntos de inflexión. 49. Sea

demostrar que f (b + c) + f (b – c) = 2 f (b) f  (c).  (c).

50. Demostrar la propiedad si a y b son cualesquiera dos números reales positivos diferentes de 1, en tanto que x y y  son números reales. (a)

(b)

(c)

(d) 51. Despeje x de las siguientes ecuaciones. a)

b)

c)

52. Deducir la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica y = 2 x en el punto en el que x = 2. 53. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en los puntos dados. (a)

en

(b)

54. Explicar porqué conociendo los valores de calculadora, , , , ,

en y , se puede obtener, sin emplear pero no . 43

 

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55. La única solución de la ecuación

es  x = 1. Explica porque está es una solución y

 porque no existen otras. o tras.

Funciones trigonométricas Límites de las funciones trigonométricas Derivadas de las funciones trigonométricas Funciones trigonométricas inversas

Composición de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas t rigonométricas inversas inversas.. Halla el valor exacto de cada expresión sin usar calculadora 1. 

9. 

2. 

10. 

3. 

11. 

4.  sen(arctan 2) 5.  6.  7.  8. 

16.  17.  18.  19.  20. 

12. 

21. 

13.  14.  15. 

Hallar la expresión algebraica determinada por la expresión dada 22.  28.  23.  29.  24.  25.  26.  27. 

33.  34.  35. 

30.  31.  32. 

Verifica que las identidades son válidas 36. 

39. 

37.  38. 

40. 

44

 

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41. 

45. 

42. 

46. 

43.  44. 

45

 

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Derivadas Hallar la derivada de la función 47.  48.  49.  50.  51.  52.  53.  54.  55.  56.  57.  58.  59.  60.  61.  62.  63.  64.  65.  66.  67.  68. Obtener ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de  y  = sen  – 1(  xx  – 1) en el  punto

46

 

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69. Despeje x de la ecuación: 70. Encuentre el punto de intersección de las gráficas de:

y

.

71. Obtener las ecuaciones de la recta tangente y normal a la gráfica de la ecuación en  – 1

72. Hallar los puntos  de la gráfica de  y = tan 2 x en los que la recta tangente es paralela a la recta 13 y – 2 x + 5 = 0 73. Hallar los intervalos en los que la gráfica de  y  = tan – 1 x  tiene concavidad hacia arriba y concavidad hacia abajo  74. Dados los puntos A(3, 1) y B(6, 4) en un sistema de coordenadas rectangulares, encontrar la abscisa del punto P sobre el eje x para la que el ángulo APB toma su valor. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación en el punto dado. 75.  76. arctan( xy) = arcsen ( x + y)

(0,0)

77.  78. 

(1, 0)

79. De un rectángulo de lados a y b se va a recortar un triángulo de base a y altura b. ¿Cómo se debe cortar el rectángulo para obtener el mayor ángulo " posible? 80. Un observador está parado a 300 pies del punto en el que se suelta un globo. El globo se eleva a una velocidad de

¿Qué tan rápido aumenta el ángulo de elevación desde la mira

del observador cuando el globo se halla a 100 pies de altura? 81. Un avión vuela horizontalmente a una altura de 4400m alejándose respecto de un observador. Cuando el ángulo de elevación es

, el ángulo decrece a razón de 0.05

. ¿Cuál es la

rapidez del avión en ese instante? "

82.  La altura oblicua del cono que se muestra en la fig. es 3m. ¿Cuál debe ser el ángulo  para maximizar el volumen del cono?

47

 

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83.  Una pintura de 50cm de altura está colgada en una pared de modo que su parte inferior está a 180 cm del piso, como se muestra en la figura:

Un observador se encuentra a b pies de la pared y el nivel de sus ojos de pie es de 60cm. a) Exprese ! en función de b.  b) Calcule ! si b = 4 cm 84.  Una escalera de 12 m de longitud se recarga sobre una pared vertical. Si la base de la escalera resbala horizontalmente alejándose de la pared de modo que su parte superior se desliza hacia abajo a 3 m/s, ¿qué tan rápido está cambiando la medida del ángulo formado  por la escalera y el suelo sue lo cuando la base de la escalera es calera está a 8 metros de la pa pared? red? 85. Hallar el ángulo

86. ¿Dónde debe elegirse el punto P sobre el segmento rectilíneo AB, de modo que se maximice el ángulo "?

87. En una galería de arte, una pintura tiene la altura h y está colgada de modo que su borde inferior queda a una distancia d arriba del ojo del observador. ¿Cuán lejos de la pared debe pararse un observador para tener la mejor vista? (En otra palabras, ¿dónde debe situarse el observador a fin de que se maximice el 48

 

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ángulo " subtendido en su ojo por la pintura?

88. Estás en un salón de clases, sentado junto a una pared, mirando la pizarra que se encuentra al frente. Esta mide 12 pies de largo y empieza a tres pies de la pared que esta junto a ti. (a) Demuestra que tú ángulo de visión es si estas a  x  pies de la  pared de enfrente. (b) Deseas colocar tu silla junto a la pared,  para ampliar al máximo tu ángulo de visión . ¿A qué distancia del frente del salón debes sentarte? 89. ¿Qué valor maximiza el ángulo " de la ilustración? ¿Cuál es la magnitud de " en ese punto? Empieza por mostrar que

Funciones hiperbólicas

Demostrar que las siguientes identidades son válidas. 1.  2. 

7.  8. 

3. 

9. 

4. 

10. 

5.  6.  11.   Determinar el valor de cosh x, tanh x, ctgh x, sech x y csch x si

49

 

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Calcular las siguientes derivadas 12.   13.   14.   15.   16.   17.   18.   19.   20.   21.   22.   23.   24.   25.   26.   27.   28.   29.   30.  

50

 

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31.   Una línea telefónica cuelga entre dos postes separados uno de otro a 14m en forma de

catenaria

donde x y y están en metros.

(a) Encontrar la pendiente de la curva que toca al poste derecho. (b) Encontrar el ángulo entre la línea y el poste. 32.   Demostrar que cualquier función de la forma  y = Asenh

mx + Bcosh mx satisface la ecuación

diferencial 33.   Para y = Asenh mx + Bcosh mx encontrar y = y( x  x) tal que y’’= 9 y, y(0) = – 4 y y’(0) = 6. 34.   Si x = ln(sec" + tan "), demostrar que sec" = cosh x. 35.   Evaluar 36.   ¿En qué punto de la curva y = cosh x la tangente tiene pendiente 1?  x 37.   Hallar y’ si senh xy = ye   2 38.   Hallar y’ suponiendo que x tanh y = ln y  39.   Mostrar la igualdad 40.   Mostrar la igualdad 41.   Determinar 42.   Simplifica usando las definiciones de las funciones hiperbólicas.

43.   Demostrar

Determinar la derivada de: 1.  2.  3.  4.  5.  6. 

9.  10.  11.  12.  13. 

7.  8. 

51

 

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Enero 2008

La integral Integral definida y área bajo una gráfica Integral definida y sus propiedades Teorema fundamental del cálculo Integral indefinida y cambio de variable

Técnicas de integración Integrales inmediatas Integración por sustitución trigonométrica Integración por partes Integración por fracciones parciales

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

52

 

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Enero 2008

12. 

13.  14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20.  21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26.  27. 

28.  29. 

53

 

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30.  31. 

32. 

33. 

34. 

35. 

36. 

37. 

38. 

39. 

40. 

41.  42. 

43. 

44. 

45. 

54

 

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46. 

47.  48.  49. 

50. 

51. 

52.  53.  54.  55. 

56. 

57. 

58. 

59. 

60. 

61. 

62. 

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63. 

64. 

65. 

66. 

67.  68.  69. 

70. 

71. 

72.  73. 

74. 

75. 

76. 

77. 

78. 

56

 

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79. 

80. 

81. 

82. 

83. 

84. 

85. 

86. 

87. 

88. 

89. 

90.  91. 

92. 

93. 

57

 

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94. 

95.  96. 

97. 

98. 

99. 

100. 

101. 

102. 

103.  104. 

105. 

106. 

107. 

108. 

109. 

110. 

58

 

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111. 

112. 

113. 

114. 

115. 

116. 

117. 

118. 

119. 

120. 

121. 

122.  123. 

124. 

125. 

126. 

59

 

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127. 

128. 

129.  130. 

131. 

132. 

133. 

134. 

135.  136. 

137. 

138. 

139. 

140. 

141. 

142. 

60

 

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143. 

144. 

145. 

146. 

147. 

148. 

149. 

150. 

151.  152. 

153. 

154. 

155.  156.  157. 

61

 

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Enero 2008

Integrales de funciones exponenciales y logarítmicas 

25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 56.  57. 

62

 

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58.  59.  60.  61.  62.  63.  64.  65. 

66.

 

67. 

90.  91.  92.  93.  94.  95.  96.  Integrales de las funciones trigonométricas

63

 

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Enero 2008

Integrales de las funciones inversas trigonométricas

97. 

98.  99. 

100.  101.  102. 

103. 

104. 

105. 

106.  107.  108. 

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109. 

110.  111. 

65

 

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14. 

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35. 

15.  16.  17.  18.  19.  20.  21.  22. 

23.  24.  25. 

26. 

27.  28.  29. 

30.  31.  32.  33.  34. 

66

 

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 Áreas y volúmenes  Áreas en dos dimensiones dimens iones

Área por Integral Determinar el área de la región limitada por f  (  ( x  x) y el eje x  1.  15.  2.  3. 

[0, 4] [0, 3]

16. 

4. 

[0, 3]

5. 

[0, 2]

6. 

[0, 3]

7. 

[0, 5]

8. 

[– a, a]

9. 

[– 2, 1]

10. 

[– 2, 2]

17.  18.  19.  20. 

[1, e]

21.  [1, 2] 22.  yy = sen x  [0, #] 23.  yy = 1 + cos x  [0, 3#]

11. 

24. 

12. 

25. 

13. 

26. 

14.  , [-3, 3] 27. Determinar el área del triángulo formado por (1, 1), (2, 4), (3, 2)

[0, 1]

Área entre Curvas Calcular el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas 28. 

29. 

31. 

30. 

67

 

Prof. Jorge Luis Rosas Mendoza 78. 

y=0

79. 

,

80. 

,

en [– 2, 3] en [–3, 1]

81.  [– 2, 2]

,

82. 

en

,

en [– 2, 3]

83. y  y = sen x, y = cos x en [0, 84.  85. 

,

en [0,

]

,

87. 

,

88. 

,

89. 

en [– 1, 2] ,

90. 

,

en

91. 

,

en

92. 

,

93. 

,

94. 

, x = 2

,

95. 

,

96. 

, y = x 

97. 

,

98. 

,

100. 

]

, x = 2

,

86. 

99. 

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en para  y  en

, ,  x  = 0 en

69

 

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Enero 2008

101.  Calcular el área de la región acotada

113.  (a)Hallar el número a tal que la recta  x  = a biseque el área bajo de la curva

, el eje  x, el

 por la curva eje y y la recta x = 4. 102.  Las graficas de

y

se cortan 4 veces, limitando 2 regiones de la misma área. Calcular el área de estas regiones. 103.  Calcular el área de la región limitada  por la curva  y  = e x, los ejes coordenados y la recta  x = 2. 104.  Calcular el área de la región limitada  por la curva  y  = e x, y la recta que pasa  por los puntos (0, 1) y (1, e). 105.  Calcular el área de la región limitada  por la gráfica g ráfica de  y = 5 x y las rectas  x = 1 y y =1. 106.  Calcular el área de la región acotada  por las gráficas de curva y = e x y y = 2 x, y la recta  x = 2. 107.  Calcular el área de la región limitada  por las gráficas de , y la recta . 108.  Determinar el área de la región , el eje  x,

acotada por la curva el eje y y la recta x = 2. 109.  Calcular el área determinada por

en [1,4]. (b) Encontrar el número b tal que la recta  y = b biseque el área mencionada en (a). 114.  Hallar los valores de c tales que el área de la región encerrada por las  parábolas  y =  x2 – c2 y  y = c2 –   xx 2  sea 576. 115.  Suponga que 0 < c <

valores de c, el área de la región encerrada por las curvas  y  = cos  x,  y  = cos (  xx – c) y  x = 0 es igual al área de la región encerrada por las curvas y = cos ( x   – c), y ? 116.  Hallar el área de la región en el 1er, cuadrante que está acotada por la izquierda por el eje y, abajo por la curva , por arriba a la izquierda por la curva y por arriba a la derecha por la recta x = 3 – y. 117.  Hallar el área de la región en el 1er. cuadrante que está acotada por la izquierda por el eje  y,  por abajo por la recta

, por arriba a la izquierda por

la curva de la

la

región catenaria

, el eje x, el eje y y la recta x 

= 6ln6. 110.  Determinar el área del triángulo con los vértices (a) (0, 0), (2, 1), (–1,6); (b) (0, 5), (2,–2), (5, 1) 111.  Hallar el área de la región limitada  por la parábola  y =  x2, la recta tangente a esta parábola en (1, 1) y el eje  x. 112.  Encontrar el número b tal que la recta  y  = b divida la región limitada por las curvas  y  =  x2  y  y = 4 en dos regiones de áreas iguales.

. ¿Para qué

y por arriba a la

derecha por la curva 118.  Hallar el área de la región entre la curva y la recta  y  = – 1 integrando con respecto a (a) eje  x, (b) eje y. 119.  Sea R la región acotada por las graficas de x – 2 y = 0, x – 2 y – 4 = 0,  y = 3,  y = 0. Calcule su área usando (a) integración, y (b) una fórmula de geometría. Volúmenes de revolución Volúmenes de figuras geométricas conocidas  Áreas de superficies de revolución

70

 

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1.  Sea Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la región acotada por la grafica de , el eje x, y alrededor del eje x.

4.  Hallar el volumen del sólido generado al girar la región entre la parábola y la recta alrededor de la recta .

2.  Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por y las rectas y alrededor de la recta .

3.  La región acotada por le eje

y las

graficas y gira alrededor del eje y. Calcular el volumen del sólido. Calcular el volumen del sólido generado al girar R alrededor del eje indicado. Trazar un rectángulo típico así como el disco o la arandela que genera. 6.  , , alrededor del 5.  , , alrededor del eje x.

eje x.

71

 

Prof. Jorge Luis Rosas Mendoza 7. 

Enero 2008

alrededor de 9. 

8. 

alrededor del eje x.

alrededor del eje y.

10. La

región

acotada por la curva y la recta gira alrededor del eje para generar un sólido. Hallar el volumen del sólido.

12. Calcular el volumen del sólido generado si la región R encerrada por las curvas y la recta

se hace girar alrededor de .

11. Se hace girar la región R encerrada por las curvas y entorno al eje . Hallar el volumen del sólido resultante.

72

 

Prof. Jorge Luis Rosas Mendoza 13. Calcular el volumen del sólido generado si la región R encerrada por las curvas y se hace girar alrededor de la recta .

Enero 2008 16. La región en el primer cuadrante acotada  por las gráficas de

y

gira alrededor del eje . Calcular el volumen del sólido resultante.

17. La región encerrada por la parábola , el eje , y la recta gira 14. Calcular el volumen del sólido generado si la región R encerrada por las curvas y se hace girar alrededor de la recta .

15. La región acotada por la parábola y la recta en el primer cuadrante gira alrededor del eje para generar un sólido. Hallar el volumen del sólido.

alrededor de la recta

para generar

un sólido. Hallar el volumen del sólido.

18. La región encerrada por , , ; gira alrededor del eje y, calcular el volumen del sólido resultante.

73

 

Prof. Jorge Luis Rosas Mendoza 101.   y = x2 + 1, x = 0, x = 2 y y = 0; recta x 

Enero 2008 105.   x = 4+6 y – 2 y2 y  x = – 4; recta x = -4. 106.  2 y = x + 4, y = x y x = 0; eje x 

=3 102.   y = x2 + 1, x = 0, x = 2 y y = 0; recta x 

107.  2 y = x + 4, y = x y x = 0; el eje y  108.  2 y = x + 4, y = x y x = 0; recta x = 4;

= –1. 103.   x = y – y3 y el eje y; recta y = 1.

109.  2 y = x + 4, y = x y x = 0; recta y = 8.

104.   y = 2 x – x2 y y= x; recta x =1. 110.  Al girar alrededor del eje  x la región limitada por la curva , el eje x, el eje  y y la recta  x = c (c>0), se generó un sólido de revolución. ¿Para qué valor de c el volumen del sólido será de unidades cúbicas? 111.  Obtener el volumen del sólido de revolución generado cuando la región acotada por la curva

, el eje x y la recta x = 1se gira alrededor del eje x.

112.  Calcular el volumen del sólido de revolución generado cuando la región limitada por el eje x, la curva

y las rectas x = 1 y x = 4se gira alrededor del eje x.

113.  Calcular el volumen del sólido generado al girar la región limitada por las gráficas de las curvas y = e x y y = 2 x, y la recta x = 2, alrededor del eje x. 114.  Calcular el volumen del sólido generado al girar la región limitada por las gráficas de , y la recta . 115.  Calcular el volumen del sólido de revolución generado si la región determinada por la catenaria

, el eje x, el eje y y la recta x = 6ln6, gira alrededor del eje x.

116.  Obtener el volumen del sólido de revolución generado cuando la región limitada por la curva , el eje x, y las rectas x = 0 y x = ln 2, se gira alrededor del eje  x. 117.  Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por  yx  yx2 = 1,  y = 1 y y = 4 alrededor de la recta y = 5. 118.  Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las graficas de  y2 =  x,  x = 0, y = –1 y y = 1 gira alrededor de la recta y = 2. 119.  Hallar el volumen del sólido obtenido al girar la región limitada por  y = 4 x –  x2,  y = 8 x – 2

2 ; en torno de x = –2 120.  x Hallar el volumen del sólido obtenido al girar la región limitada por  y  =  x2,  x  =  y2; en torno de y = –1 121.  Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por  y = x2 + 1, x = 0, x = 2 y y=0; (a)  alrededor de la recta x = 3; (b) alrededor de la recta x = –1. 122.  Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por  y = 4 – x2 y y=0; (b)  alrededor de la recta x = 2, (b)alrededor de la recta x = –2 123.  Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por y las rectas  y  = 2, y x = 0 alrededor de: a) La recta y = 2 b) La recta x = 4

76

 

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124.  Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las rectas  y = 2 x,  y = 0 y x = 1 alrededor de: a) x = 1 b) x = 2 125.  Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por  x = y3,  x = 8 y y = 0 alrededor de la recta x = 8. 126.  Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por  x = y – y 3 y el eje  y  alrededor de la recta y = 1. 2

127.  Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por  y = 2 x – x  y  y= x, alrededor de la recta x =1. 128.  Hallar el volumen del sólido generado al girar la región  y = x4 y y = 1 alrededor y=1 129.  Hallar el volumen del sólido generado al girar la región  y = x2 y y = 4 alrededor de: (a) y = 4, (b) y = 5, (c) x = 2 130.  Obtener el volumen del sólido obtenido al girar la región triangular acotada por las rectas 2 y = x + 4, y = x y x = 0 alrededor de: (c)  el eje x; (b) el eje y; (c) la recta x = 4; (d) la recta y = 8. 131.  Obtener el volumen del sólido obtenido al girar la región en el primer cuadrante acotada  por  y = x3 y y = 4 x alrededor de: (a) el eje x; (b) la recta x = 8. Obtener una fórmula para el volumen del sólido inclinado usando una integral definida. 132.  Un cono circular recto de altura h y radio de la base r. 133.  Una esfera de radio r. 134.  Un cono circular recto troncado de altura h, radio de la base inferior R y radio de la base superior r. 135.  Un segmento esférico de altura h y radio de la esfera r. Representar la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y luego plantee la integral o las integrales que se necesitan para calcular el volumen del sólido que se obtienen al girar R alrededor de la recta indicada. Use todos los métodos posibles en cada ejercicio. 136.  , , eje x  137. 

, recta

138. 

, recta

139. 

,

140. 

,

141.  142.  143. 

, recta , recta , recta

,

, recta , 

, recta x = – 3

77

 

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Enero 2008

Formas indeterminadas Integrales impropias

Determinar si la integral converge o diverge, si converge calcule su valor. 1. 

7. 

13. 

2.  3. 

4.  5. 

6. 

12. 

8. 

9. 

14.  15. 

10.  11. 

Determinar  si la integral converge o diverge y, si converge calcule su valor. 16. 

20. 

17. 

21. 

18. 

19. 

24.  25.  26. 

22.  23. 

Determinar si la integral converge o diverge, si converge calcule su valor. 27. 

30. 

33. 

28. 

31. 

34. 

29. 

32. 

35. 

78

 

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Enero 2008

Determine si las integrales dadas convergen o divergen. 36. 

45. 

54. 

46.  55. 

37.  47.  38. 

39. 

56.  48.  57.  49.  58. 

40.  50.  41. 

51. 

42. 

59.  60. 

52.  61. 

43.  44. 

53. 

Hallar los valores de p para los que la integral converge. 62. 

63. 

64. 

66.  67. 

65. 

Calcular el valor de la constante C para el cual converge la integral 68.  69. 

79

 

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70. Demostrar    Aproximación de Taylor Tay lor y series de potencias Series numéricas. La serie binomial y algunas otras series Polinomios de Taylor El teorema del residuo y las series de Taylor Series de potencias y radio de convergencia

Series de Taylor y de MacLaurin Determinar la serie de Taylor de cada función en el punto indicado 1.   f ( x  x) = ln x en a = 2 6.  2. 

a =1

3. 

en a = 2

4.  5. 

en a = 3 en a = 2

en a = 4

7. 

en

8. 

en

Determinar la serie de MacLaurin 9.  10.  11.  12.  13.  14.  15.  16.  17.  Determinar si la sucesión converge o diverge; si converge calcule el límite. 6.  1.  15.  11.  7.  2.  16.  12.  8.  3.  17.  13.  4.  9.  14.  18.  10.  5.  80

 

Prof. Jorge Luis Rosas Mendoza 19.  20. 

27. 

Enero 2008 35. 

44. 

36. 

45. 

28.  37. 

21. 

46. 

29.  22.  23.  24. 

30.  31.  32. 

25.  26. 

33. 

38. 

47. 

39. 

48. 

40. 

49. 

41.  42.  43. 

34. 

Series Hallar una fórmula para la n-ésima suma parcial de cada serie y úsela para hallar la suma de la serie sí ésta converge. 1. 

7. 

2. 

8. 

3. 

9. 

4. 

10. 

5. 

11. 

6. 

12.  81

 

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Enero 2008

Determinar si las siguientes series convergen o divergen, si converge calcule su valor. 19.  13.  16.  14. 

20. 

17. 

15. 

18. 

Expresa cada número como razón de enteros. 23. 0.234234234… 21.  24. 1.24123123123.... 22. 17.0.234234234.....

25. 5.22222… 26. 1.212121…

Hallar los valores de x para los cuales la serie geométrica converge. converge. Calcule la suma 27. 

29. 

31. 

28. 

30. 

32. 

33. Si la n-ésima suma parcial de la serie

  es 

Determinar An

y

Aplicar el criterio del n-ésimo término a cada serie y comentar el resultado. 34.  35. 

39. 

40. 

43. 

48. 

44. 

49.  50. 

36. 

41. 

37. 

45.  51.  46. 

42.  38. 

47. 

Criterios de convergenc convergencia ia Usar el criterio de convergencia apropiado para determinar si las series convergen o divergen. 82

 

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Determinar si las series Convergen Absolutamente, Condicionalmente o Divergen. 15. 

1. 

28. 

16. 

2. 

29. 

17. 

3. 

30. 

18. 

4. 

31.  19. 

5. 

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20. 

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7.  8. 

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35.  36.  37. 

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38. 

26. 

13. 

39. 

27.  14. 

Serie de potencias Hallar el radio e intervalo de convergencia de cada serie. 1. 

3. 

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