PROBLEMA%20de%20Campo%20el%C3%A9ctricos

Electromagnetismo

Leonel Morales Venegas

INACAP 

Guía de Ejercicios de ley de Coulomb y Campo Eléctrico 1) Cuatro cargas positivas de 10 nC se ubican en el plano z = z = 0 en las esquinas de un cuadrado de  8 cm de lado. Una quinta carga positiva se sitúa en un punto ubicado a  8 cm de distancia de las demás. Calcular la magnitud de la fuerza total sobre esta quinta carga para RESP:

=

0.

-4

4 x 10 N

2) Dos cargas puntuales de Q 1 coulombs cada una se encuentran en (0,0, 1) y (0,0,- 1) . Determinar la disposición de las posibles posiciones de una tercera carga Q2 donde Q2 puede tener cualquier valor positivo o negativo, de tal forma que el campo total E = 0 en el punto (0,1,0). ¿Cuál es la disposición si las dos cargas originales son Q 1 y –Q1? RESP:

1± 2 21/ 4 Raíz(|  Raíz(| Q2|/ Q1) b) y =1 , z = ± 21/ 4 RAIZ(|  RAIZ(| Q2| /Q /Q1) a) y = 1± 

3) Cuatro cargas puntuales de 50 nC cada una se ubican en el espacio libre en los puntos puntos A(1,0, A(1,0,0), 0), B(-  1,0, 1,0,0), 0), C(0,1,0) C(0,1,0) y D(0,-1,0). D(0,-1,0). Encontrar la fuerza total sobre la carga que está en A. RESP:

-9

21,5 x 10 N

4) Ocho cargas puntuales idénticas de Q C se ubican en las esquinas de un cubo de arista a, con una carga en el origen y las tres cargas más cercanas en (a,0,0), (0,a,0) y (0,0,a). Encontrar la expresión de la fuerza vectorial total sobre la carga en el punto P(a, a, a), suponiendo que están en el espacio libre. RESP:

| F| = | = 3.29 q2/ (4 (4π 

0 a2).

5) Una carga puntual Q 1 = 25nC está en el punto P 1(4, -2,7) y una carga  Q 2  4, -2). a) Si  = 2 = 60nC está en P 2  2(-3,   b) ¿En qué punto sobre el eje y  E x  x  = 0?  RESP:

0.encontrar  E  en

el punto P 3  2, 3) 3(1,  

a) 4,58aX-0,15aY+5,51aZ b) -6,89 o -22,11

6) Tres cargas puntuales de 5 x 10 -9  C están sobre el eje x en x = - 1,0,1 en el  espacio libre. a) Encontrar  E  en x = 5. b) Determinar el valor y ubicación de  una única carga puntual equivalente que produciría el mismo campo a  grandes distancias. C) Determinar  E en x = 5 utilizando la aproximación de b). RESP:

m. b) x=0 c) E(x = 5) = 5,4 ax V/ m a) E(x = 5) = 5,8 ax V/ m.

7) Una carga puntual de 2 C está en el espacio libre en A(4, 3, 5). Encontrar  E  , E  y E Z  Z  en el punto P(8, 12,2) RESP:

159,7a +27,4a -49,4aZ 

8) Un dispositivo para medir cargas consiste de dos pequeñas pequeñas esferas aisladas  de radio a, una de las cuales está fija. La otra se puede desplazar a lo largo 

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del eje x y está sujeta a una fuerza restrictiva kx, donde k es la constante del  resorte. Las esferas sin carga tienen su centro en x = 0 y x = d; la última está  fija. Si las esfera tienen cargas iguales y opuestas de Q coulombs, obtener la  expresión para obtener Q en función de x. Determinar la máxima carga que  puede medirse en términos de  0 , k y d, y obtener la separación de las  esferas. ¿Qué pasa si se aplica una carga mayor?  RESP:

a) Q = 2(d  x)RAIZ( π 

0  kx) b) Qmax = movimiento posible, así que nada sucede −

4a RAIZ(π 

0 k (d 

−

2a)) c) No hay otro

9) Una carga puntual de 100 nC está en A(-1,1,3) en e1 espacio libre. a) Encontrar la ubicación de todos los puntos P(x, y, z) en los que  E x  = 500  V/m. b) Encontrar y 1 si P(-2, y 1, 3) se encuentra en dicho lugar. RESP:

2

2

2 1,5

a) (X+1)=0,56[(x+1) +(y-1) +(Z-3) ]

b) 1,69 o 0,31

10) Una carga de prueba positiva se utiliza para obtener el campo que produce  una carga puntual positiva Q en P(a, b, c). Si la carga de prueba se coloca en  el origen, la fuerza sobre ella se presenta en la dirección 0,5 a x -0,5 Raíz(3)a y,  y cuando la carga de prueba se desplaza al punto (1,0,0), la fuerza está en la  dirección 0,6 a x  0,8 ay  .  Encontrar a, b y c. –

RESP:

P(a, b, c) = ( 3,344; 5,793; 0) −

11) Una carga Q 0  que está en el origen genera un campo cuyo valor  E Z  = 1 kV/m  en el punto P(-2, 1, -1). a) Encontrar Q 0 . Encontrar  E  en  M (1, 6, 5) en b) coordenadas cartesianas; c) coordenadas cilíndricas; d) coordenadas  esféricas. RESP: a) -1,63 C b) -30,11aX-180,63aY-150,53aZ c) -183,12a -150,53aZ d) -237,1 ar 12) En una determinada región del espacio hay electrones moviéndose  aleatoriamente. En cualquier intervalo de 1 s, la probabilidad de encontrar un  electrón en una subregión de volumen 10 -15  m 3  es 0,27. ¿Qué densidad  volumétrica de carga debe asignársele a esa subregión para dicho intervalo?  RESP: ρv =

43.3 μC/ m3

−

13) Una densidad volumétrica de carga uniforme de 0,2 C/m 3  está en una concha  esférica que se extiende de r = 3 cm a r = 5 cm, Si , v  = 0 en cualquier otra  parte, encontrar: a) la carga total presente en la concha, y b) el valor de r  1 si la  mitad de la carga total está en la región 3 cm < r < r 1. RESP:

a) 82,1 pC b) 4,24 cm

14) En un sistema de coordenadas cilíndricas la densidad de carga varía en  función del radio de acuerdo con  ρv  =  ρ0  /( ρ2  + a 2 )2  C/m 3 . ¿a que distancia del  eje z se encuentra la mitad de la carga total?  RESP: ρ

= a.

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15) Un volumen esférico de 2 m de radio tiene una densidad volumétrica de  15  carga de 10  C/m3. a) ¿Cuál es la carga total encerrada en el volumen  esférico? b) Suponer que una región de gran tamaño contiene una de estas  pequeñas esferas en cada esquina de un enrejado cúbico de 3 mm de lado y  que no hay cargas entre las esferas, ¿Cuál es la densidad volumétrica de  carga en dicha región?  RESP:

-2

6

3

a)3,35 x 10 C b) 10 x 10 C/m

16) Una densidad de carga está dada por  ρv  =  ρ0  r/a C/m 3  en una región del  espacio Libre donde  ρ0  y a son constantes. Encontrar la carga total dentro: a) la esfera, r a; b) el cono, r a, 0 0,1 ; c ) la región, r a, 0 0,1 , 0  0,2  RESP:

a) Qa = πρ0a3 b) Qb = 0,024πρ0a3 c) Qc = 0,0024πρ0a3

17) Una carga Lineal uniforme de 16 nC/m se ubica a lo largo de la línea definida  par y = -2, z = 5. Si  = 0  a) encontrar  E  en P (1,2,3) .b ) Encontrar  E  en ese  punto sobre el plano z = 0 donde la dirección de  E  está dada por (1/3) a y  -  (2/3)a Z.  RESP:

a) 57,5aY-28,8aZ V/m b) 23aY-46aZ

18) Una carga lineal uniforme e infinita  ρL = 2 nC/m se ubica a lo largo del eje x en  el espacio libre a la vez que cargas puntuales de 8 nC se localizan en (0,0,1) y  (0,0,-1). a) Encontrar  E  en (2,3,-4). b) ¿a qué valor se debe modificar, ρL para  provocar que  E sea cero en (0,0,3)?  RESP:

a) Etot = 2,0 ax + 7,3 ay  9,4 az V/ m b) ρL = 3.75 nC/ m –

−

19) Una carga lineal uniforme de 2 C/m esta sobre el eje z. Encontrar  E  en el  punto P(1, 2, 3) en coordenadas cartesianas si la carga está entre:  a)-

> d. Determinar las expresiones de la fuerza vectorial en un punto de carga utilizando coordenadas cartesianas: a) en (0,0,z); b) en (0,y,0) RESP:

a) F(0,0,z) = qQd / 4π 

3

z az N b) F(0,y,0) = -qQd / 4π 

3

y az N

27) Dado el campo electrice  E  = (4x  2y)a x,  - (2x + 4y) a y,  encontrar: a) la  ecuación de la línea que pasa por el punto P(2, 3, -4); b) un vector unitario que  especifique la dirección de  E en Q(3, -2,5). –

RESP:

2

2

a) y -x =4xy-19 b) 0,99aX+0,12aY

28) Un campo está definido por E = 2zx2 ax + 2z(x2 + 1)az. Encontrar la ecuación de lo línea que pasa por el punto (1,3,-1) 2 2 RESP: z = x + 2ln(x). 29)Si  E  = 20e -5y (cos5x  a x  - sen5x  a y),   encontrar: a) | E | en P (  /6; 0,1; 2); b) un  vector unitario en la dirección de  E  en P; c) la ecuación de la línea que pasa  por P. RESP:

a) 12,2 b) -0,87aX-0,50aY c) y=(1/5)ln(cos(5x))+0,13

30) Para campos que no cambian con respecto a z en coordenadas cilíndricas, las  ecuaciones de las líneas se obtienen resolviendo la ecuación diferencial 

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E  /E  = d  /(  d  ). Encontrar la ecuación de la línea que pasa por el punto  (2,30°,0) y por el campo  E = cos 2  a  - sen 2  a  . 2 RESP: ρ = 2 Raíz( 3)/ sin 2 .