PROBLEMA Terminado de Investigacion de Operaciones

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA INVESTIGACION DE OPERACIONES

FIGMM 2013

PROBLEMAS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES 1. Una compañía petrolera quiere conectar distintas ciudades, cuyas distancias (km) aparece en el cuadro siguiente, con tuberías que vayan directamente entre las ciudades. ¿Cuál es el mínimo de kilómetros necesarios de tubería? D

M

N

O

P

W

B

670 758 427 581 211 369

D

361 252 132 492 680

M

332 493 690 759

N

357 394 431

O

391 650

P

521

SOLUCION: Utilizando el algoritmo para hallar al árbol de mínima expansión, luego estos resultados se contrastarán con los resultados del software: ̅ ̅ { } { } Tomamos el arco que tiene menor distancia en todos lo posibles arcos formado por los 2 conjuntos. Arco de mínima distancia es ( { { { { {

̅

}

)

{ ̅

}

{ ̅

}

{ ̅

} }

̅

{

} Arco de mínima distancia es (

)

} Arco de minima distancia es (

)

} Arco de minima distancia es (

)

} Arco de minima distancia es (

)

{ } Arco de minima distancia es (

)

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Entonces tenemos como resultado un árbol de mínima expansión cuya longitud es de: L = 1687

También podemos comprobar este resultado en un programa que sigue el mismo algoritmo pero estos resultados se pueden conseguir de manera inmediata ordenando al software:

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2. Para irrigar las tierras bajas, el agua se transporta a través de una red de acueductos desde la presa hasta el valle. A continuación se muestra una red en la que los arcos representa acueductos y el número en cada arco representa el caudal máximo permitido en kilotoneladas por hora. Se desea determinar el caudal máximo de la gran presa a las tierras bajas. 80

60

Valle 100

50

70

30

50

Presa

90 80

40

a) Formúlelo como un modelo de programación lineal b) Resuelva el problema aplicando el algoritmo respectivo SOLUCION: Bueno formulamos este problema de flujo máximo como uno de programación lineal para ello primero definimos las siguientes variables:

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La solución que proporciona el LINDO 6.5 es F = 150 Ahora procederemos a resolverlo con los algoritmos aprendidos en clase: ]. Tomamos como primer paso etiquetar el primer nodo con [ Seleccionamos las ramas con mayores flujos y luego hacemos la siguiente selección: { }

Entonces las nuevas ramas del recorrido tienen los siguientes ) valores: (

{

{

{

}

}

}

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Vemos que en esta parte del problema ya no se puede avanzar por lo tanto nos quedamos con los demás el flujo máximo q pasa por la red es:

DE

A

inicio final flujo

1 1

2 3

100 80

0 30

100 50

2 2

3 4

50 60

10 0

40 60

3

4

70

20

50

3

5

40

0

40

4

5

30

0

30

4

6

80

0

80

5

4

50

50

0

5

6

90

20

70

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3. Un banco pronto empezará a conectar terminales de computadora en cada una de las sucursales, con la computadora de su oficina principal, usando líneas telefónicas especiales con dispositivos de telecomunicaciones. La línea telefónica que emana de una sucursal no necesita conectarse directamente a la oficina principal; puede conectarse indirectamente, conectándola con otra sucursal que esté conectado (directa o indirectamente) con la oficina principal. El único requerimiento es que todas las sucursales estén conectadas por alguna ruta con la oficina principal. La carga para las líneas telefónicas especiales es directamente proporcional al número de millas involucradas, en donde la distancia (en millas) entre cada par de oficinas es: DISTANCIA ENTRE PARES DE OFICINAS

Oficina Principal Sucursal 1 Sucursal 2 Sucursal 3 Sucursal 4 Sucursal 5

Principal ---160 270 115 70 190

S1 160 ---310 80 220 50

S2 270 310 ---175 120 215

S3 115 80 175 ---140 240

S4 70 220 120 140 ---100

S5 190 50 215 240 100 ----

SOLUCION: Utilizando el algoritmo para hallar al árbol de mínima expansión, luego estos resultados se contrastarán con los resultados del software:

̅ ̅ { } { } Tomamos el arco que tiene menor distancia en todos lo posibles arcos formado por los 2 conjuntos. Arco de mínima distancia es ( { {

̅

} }

̅

{ {

) } Arco de mínima distancia es (

)

} Arco de minima distancia es (

)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA INVESTIGACION DE OPERACIONES { {

̅

} }

̅

{

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} Arco de minima distancia es (

)

{ } Arco de minima distancia es (

)

Longitud del árbol de mínima Expansión L = 420 lo cual se puede comprobar con el TORA.

4. JARH tiene una gran refinería localizada en N. La gasolina refinada es enviada de allí a tanques de almacenamiento en P a través de una red de oleoductos con estaciones de bombeo en S, E, T, B y A. El oleoducto está construido en segmentos que conectan parejas de estas ciudades. A lo largo de cada segmento existe un número máximo conocido de miles de galones por hora que pueden enviarse. Estos segmentos y sus respectivas capacidades en miles de galones por hora son: De A Capacidad N S 150 S T N S B E E A

T P B B E A T P

125 130 80 60 100 75 50 90

En P se espera un aumento en la conducción en los próximos meses de verano. Antes de incrementar la tasa de producción de la refinería, la administración de JARH desea convencer el número máximo de miles de galones de gasolina por hora que pueden enviarse a través de la red de oleoductos a los tanques de almacenamiento de P.

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SOLUCION: El problema mostrado se puede representar como una red de oleoductos que los arcos representen las distancias que están de estaciones de bombeo a otra estación:

{

}

{

}

{

}

DE

A

inicio final flujo

N N

S B

150 80

20 5

130 75

S B

T E

125 100

0 20

125 80

T

P

130

0

130

E

T

50

40

10

E

A

75

0

75

A

P

90

15

75

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Solución realizada en el TORA

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5. Las eliminatorias para el mundial se acercan y la selección peruana te necesita! Tenemos un esquema del equipo con 12 posiciones, una por cada jugador (el portero es el número 1) más una para la portería contraria (que es el número 12). Para cada par de jugadores (a, b), tenemos la probabilidad, P[a, b] €(0, 1), de que un pase desde a hasta b salga bien, es decir, que no lo intercepte el equipo contrario. La matriz no es simétrica, y P[a, 12] indica la probabilidad de que a marque un gol al patear. A partir de esas probabilidades básicas, se puede calcular la probabilidad de una secuencia de pases, mediante el producto. La probabilidad de que la secuencia de pases a b c salga bien será: P[a, b]*P[b, c], y así sucesivamente. Una estrategia de juego es una secuencia de pases que empieza en nuestro portero y acaba en gol en la portería contraria. Utilice algún algoritmo eficiente que encuentre la estrategia de juego óptima, es decir, la secuencia de pases entre 1 y 12 que maximice la probabilidad de salir bien. Aplicar el algoritmo, indicando la estrategia óptima y la probabilidad asociada.

SOLUCION: Modelo de redes, formularemos como un problema de ruta corta aplicando una transformación logarítmica que convierta la probabilidad en la suma de logaritmos de probabilidades; es decir P1K = P1 x P2 x P3 x P4 x ……x Pk es la probabilidad de no ser detenido entonces

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA INVESTIGACION DE OPERACIONES Como queremos la maximización de minimización de .

FIGMM 2013 como

≤ 0 la maximización a su vez equivale a la

Transformando cada probabilidad a logarítmica Nodo 1 – 2 = 0.04576 Nodo 1 – 3 = 0.15490 Nodo 2 – 3 = 0.22185 Nodo 2 – 5 = 1.00000 Nodo 3 – 4 = 0.30103 Nodo 3 – 6 = 1.00000 Nodo 3 – 12 = 0.69897 Nodo 4 – 1 = 0.04575 Nodo 4 – 3 =0 Nodo 4 – 6 = 0.09691 Nodo 5 – 12 = 0.15490 Nodo 6 – 5 = 0.52289 Nodo 6 – 12 = 0.22185 Con el último grafo podemos usar el INVOP para determinar la ruta más corta entre el jugador 1 y la portería contraria que es el número 12.

Si -

=X

= = 0.168 sería la probabilidad más alta y el camino seria

1 – 3 – 4 – 6 – 12

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6. Un taller de tractores se encuentra atendido únicamente por un empleado. Supongamos que el cuadro de llegadas se corresponde a un proceso de Poisson, de modo que los tiempos de servicio siguen distribuciones exponenciales. Consideremos que, después de observar la evolución del taller, se estima que la tasa de llegada es de 10 vehículos por día y que el tiempo de servicio es de 1 hora. Suponiendo que el empleado arregla los tractores por estricto orden de llegadas y tomando una jornada laboral de 12 horas, se pide contestar a lo siguiente:

a) b) c) d)

Probabilidad de que al llevar el tractor a reparar no lo pueda arreglar en el momento. Número medio de tractores en espera a ser reparados, en estado estacionario Tiempo medio que debe esperar cada tractor para ser reparado. Tiempo medio que un vehículo está en el sistema.

SOLUCION: Datos:   10.vehículos/jornada   12 vehículos / jornada.



  0.833 

a) Probabilidad de que al llevar el tractor a reparar no lo pueda arreglar en el momento. Por complemento: (1- P0) (Probabilidad que sea arreglado en el momento) Siendo: P0 = (1-  ) 1- (1-  ) =  = 0.833 b) Número medio de tractores en espera a ser reparados, en estado estacionario

2 10 2   4.166 Tractores      12(12  10) c) Tiempo medio que debe esperar cada tractor para ser reparado.

 =     

d)

(

)

= 0.416 x 12 horas = 4.992 horas

Tiempo medio que un vehículo está en el sistema. Siendo: Tiempo en el sistema= tiempo de espera + tiempo de servicio

WS 

1 =  

=

= 6 horas

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7. Con rubíes y zafiros la joyería Coronas fabrica dos tipos de anillos. Un anillo tipo 1 requiere 2 rubíes, 3 zafiros y 1 hora de trabajo de un joyero. Un anillo tipo 2 requiere 3 rubíes, 2 zafiros y 2 horas de trabajo de un joyero. Cada anillo tipo 1 se vende a 400  , y cada anillo tipo 2 a 500  Se pueden vender todos los anillos producidos por Coronas. Actualmente, Coronas dispone de 100 rubíes, 120 zafiros y 70 horas de trabajo de un joyero. Se pueden comprar más rubíes a un costo de 100  el rubí. La demanda del mercado requiere una producción de por lo menos 20 anillos tipo 1, y por lo menos 25 anillos tipo 2. Coronas desea maximizar la ganancia. Resuelva este problema con la ayuda de un software, por ejemplo LINDO, y conteste a las siguientes cuestiones: a) Formularlo como uno de programación lineal. b) Estandarizar el programa lineal. c) Suponga que cada rubí cuesta 190  , en lugar de 100  . ¿Todavía compraría Coronas rubíes? ¿Cuál sería la nueva solución óptima para el problema? d) Suponga que Coronas solamente tuviera que producir 23 anillos tipo 2. ¿Cuál sería la utilidad de Coronas ahora? e) ¿Cuál es la máxima cantidad que tendría que estar dispuesto a pagar Coronas por otra hora de trabajo de un joyero? f) ¿Cuál es la máxima cantidad que tendría que estar dispuesto a pagar Coronas por otro zafiro?

SOLUCION: a) Formulando como una programación Lineal la función objetivo y las restricciones son: Definiendo las variables:

Las ganancias es la función a optimizar en este caso a maximizar.

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Entonces la cantidad de rubís q se utilizaran será 100 + de lo que dispone.

donde

representa la parte adicional

“

b) la formulación se puede estandarizar ingresando variables artificiales:

RESOLVIENDO EN PROBLEMA EN LINDO 6.5

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 19000.00 VARIABLE VALUE X1 20.000000 X2 25.000000 X3 15.000000

REDUCED COST 0.000000 0.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 100.000000 3) 10.000000 0.000000 4) 0.000000 200.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 -200.000000 NO. ITERATIONS=

5

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RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 400.000000 INFINITY 100.000000 X2 500.000000 200.000000 INFINITY X3 -100.000000 100.000000 100.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 100.000000 15.000000 INFINITY 3 120.000000 INFINITY 10.000000 4 70.000000 3.333333 0.000000 5 20.000000 0.000000 INFINITY 6 25.000000 0.000000 2.500000 c) Como los precios de rubí aumentan a 190

“

Vemos que los coeficientes de la función objetivo han variado veamos si se encuentra en su rango admisible para que la solución básica no cambie. [

]

[

]

La solución óptima no cambia dado que los coeficientes de la función objetivo se encuentran en sus rangos admisibles. d) Si tuviera que producir 23 anillos del tipo 2 entonces cuanto veremos si el restricción número 6 se encuentra en su rango admisible para que la solución óptima no cambie. [ ] [ ] por lo tanto la solución óptima sigue siendo la misma entonces la nueva función objetivo será: (

)(

)

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8. Al comenzar un año un especulador de pisos puede haber comprado o no un piso. Si lo posee tiene tres alternativas cada año: no hacer nada con el, venderlo y comprar otro, o solamente vender el piso. Si no posee un piso puede no hacer nada o comprar uno nuevo. Si un piso esta un año completo en posesión sin hacer cambios, existe un cargo por gestión de 100 dólares. En la tabla se dan los precios, en miles de dólares, estimados de compra y venta durante los próximos cuatro años. Año 1 2 3 4

Precio de compra 10 12 22 14

Precio de venta 15 16 17 15

Determinar la estrategia optima a adoptar en los próximos cuatro años, sabiendo que el especulador parte inicialmente con un piso y quiere poseer otro al finalizar el plazo. SOLUCION: Formaremos una matriz de decisión con los acontecimientos y las estaciones los acontecimientos serán: NN: No hace Nada VC: Vender y Comprar V: Solo Vender C: Solo Comprar y lógicamente las estaciones que son los 4 años respectivos. Las decisiones no necesariamente son las mismas en los siguientes años.

Tenemos como restricción que al finalizar el cuarto año el especulador termina con otro piso del que tenía inicialmente por lo tanto en el cuarto año solo tenemos que descartar la posibilidad que Vender por que se quedaría sin piso y ese dato no se encuentra como parte del problema. Usaremos esta matriz para que nos brinden datos, dibujado el grafo respectivo. ( )

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Con estos formular nuestra programación linear para maximizar la ganancia:

datos podemos

SUJETO A:

USANDO EL LINDO 6.5: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 8 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 12000.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST NN1 VC1 V1 NN2 VC2 V2 C2 NN3 VC3 V3 C3 VC4 C4 NN2V1 NN3V2

0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000

5100.000000 0.000000 0.000000 4100.000000 0.000000 0.000000 18000.000000 0.000000 4900.000000 0.000000 27000.000000 2100.000000 0.000000 6000.000000 5000.000000

Los resultados nos dicen que en el primer año deberíamos de Vender y Comprar un piso. Para el segundo año también Vender y comprar un piso, para el Tercer año solo se debe vender el piso para que al cuarto año se compre un piso. Este sería el plan a seguir para el especulador ya que así obtendrá su máxima ganancia este problema también se puede resolver mediante árbol de decisiones pero es esta ocasión decidí plantear como una programación lineal para así evitar grandes gráficos como era formar el árbol de decisiones ya que es extenso para poder dibujarlo.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Geológica Minera y Metalúrgica

CURSO

: INVESTIGACION DE OPERACIONES

TEMA

: Modelo de Redes, Programación Lineal Teoría de Decisiones

PROFESOR

: Rosales Jimmy

ALUMNOS

: Vera Marques, José Rey Reyes Ayala, Luis

FECHA

: 04/03/2013

(20100092I) (20100258D)