Problema Rio

 

Problema 1 Erma McZeal está a cargo del control de calidad del suministro de agua para la ciudad de Chicago. Actualmente funcionan tres estaciones de prueba que están localizadas en el lago Michigan. Si mediante (x! x"# expresamos las coordenadas en $il%metros! las tres ubicaciones existentes quedaran distribuidas en la siguiente forma& • • •

estaci%n & x'"! x"' estaci%n "& x')! x"') estaci%n *& x'! x"'*

+a tarea de Erma consiste en ubicar una nue,a estaci%n de manera que la distancia total de la nue,a estaci%n a las otras tres -a existentes se minimice. Suponga que! por causa de la ubicaci%n de los canales existentes! la distancia se tiene tie ne que medir medir en tra-ect tra-ectoria orias s rectang rectangula ulares. res. En otras otras pal palabra abras! s! si la nue,a nue,a estaci%n se ubica en (x'*! x" '#! estará a una distancia de / *0" / 1 /  0 /! o sea 2('1 )# unidades de la estaci%n 3 - as4 sucesi,amente. Sean (x! x"# las coorden coo rdenadas adas de la nue,a nue,a estaci estaci%n. %n. 5ormule 5ormule un modelo modelo de progra programaci maci%n %n por  metas para resol,er el problema de Erma.  MIN = P∗(U   1 1 + V  1 )+ Q∗(U  2  2 + V   2)+ R∗( U  3  3 + V   3 3 ); !S.A.;

@|( X − 2 )|+ @|( Y − 10)|+ U  1− V   1= 0 ; @|( X − 6 )|+ @|( Y − 6 )|+ U  2 − V  2 = 0 ; @|( X − 1 )|+ @|( Y − 3)|+ U  3− V  3  3 = 0 ;  P=1 ; Q=1 ; R=1 ;

 

6eniendo 6e niendo como coordenadas finales x'" - -').

 

Problema 2 7na empresa fabrica dos productos. Cada uno de ellos tiene que ser elaborado utilizando utili zando dos máquinas! cada una de las cuales tiene " minutos de capacidad capacidad disponible todos los d4as. Cada unidad del producto  requiere " minutos en la maquina  - " minutos en la maquina ". Cada unidad del producto " requiere " minutos la maquina  - " minutos en la ". metas& Al buscar la mezcla de productosendiaria! la gerencia desea alcanzar lasmaquina siguientes • • •

+a producci%n total con8unta de " unidades +a fabricaci%n de 9 unidades del producto " +a fabricaci%n de  unidades del producto 

Suponga que la gerencia deseara minimizar el faltante para el logro de cada una de estas metas - que las ponderaciones de prioridad predeterminadas :! :"! :* fueran asignadas a las tres metas! respecti,amente. 5ormule esta situaci%n como un modelo de programaci%n por metas. ;rogramaci%n opcional  MIN =1∗U   1 1 + 2∗U  2  2 + 3∗U  3  3 ; !S.A.;

∗ X   11+ 12∗ X 2≤240 ;

20

12∗ X 1 + 20∗ X  2≤240 ; 1 + X  2 + U   1 1 −V  1  1 = 12 ;  X   1

 X   2 2 + U   1 1 −V   1=9 ;  X   1 1 + U   3 3 −V   3=10 ;  X   1 1 ≥0 ; X   2 2 ≥0 ; U 1 ≥0 ; V  1 ≥0 ; U  2  2 ≥0 ; V  2  2 ≥0 ; U  3  3 ≥ 0 ; V   3 ≥0 ;

 

;rogramaci%n optima 1 + V   1 1 + U  2  2 + V   2 + U  3  3 + V   3 ;  MIN =U   1

!S.A.; 20∗ X   1 1+ 12∗ X  2≤240 ;

∗ X 1 + 20∗ X 2≤240 ;

12

 X  1 + X 2 + U  1− V  1  1 = 12 ;  X   1 1 + U   2 2 −V   2=10 ;  X   2 2 + U   3 3 −V   3 =9 ;  1

 X 

0

≥

 2

; X 

0

≥

1

; U 

0

≥

1

; V 

0

≥

 2

; U 

0

≥

 2

; V 

0

≥

 3

; U 

0

≥

 3

; V 

0

≥

;

 

Como se puede obser,ar la programaci%n %ptima obtiene ma-or resultado -a que las metas no tienen ponderaci%n! en otras palabras! las tres metas tienen el mismo ,alor para cumplirse. Sin embargo la programaci%n opcional destaca ponderaciones por ob8eti,os.

 

Problema 3 6 horas. El n=mero total de horas de traba8o disponibles por periodo es de *!".  Aunque el tiempo ocioso - las horas extraordinarias de traba8o son opciones opcio nes aceptables! 6C5C 6C5C desea que el n=mero total de horas de traba8o traba8o se aproxime lo más posible a *!". Se utiliza una pieza de madera para fabricar una mesa - media pieza para una silla3 durante un periodo determinado se dispone de * piezas de madera - no es posible comprar más. 6C5C desea utilizar lo más posible de esta reser,a de madera durante cada periodo. 6C5C fabrica mesas sobre pedido - se ha comprometido a pro,eer " mesas en un periodo dado. Cualquier mesa adicional que produ8era tendr4a que mantenerse en in,entario! - la compa?4a desea minimizar el n=mero de mesas que mantenga +a demanda de sillas en esin,entario. incierta! pero se estima que será de entre " ">. +a compa?4a desea fabricar sillas aproximándose lo más posible a estas cifras.

 Min= v 1 + u 2 + v 3 + u 4 + v 4 ; !s.a.; 10∗ x 1 + 5∗ x 2− v 1 ≤3200 ;

∗ x 1+ .5∗ x 2+ u 2 ≥300 ;

1

 x 1− v 3≤200 ;  x 2 + u 4 ≥200 ;  x 2 −v 4 ≤250 ;  X   1 1 ≥0 ; X   2 2 ≥0 ; U 1 ≥0 ; V  1 ≥0 ; U  2  2 ≥0 ; V  2  2 ≥0 ; U   3 3 ≥ 0 ; V   3 ≥ 0 ; U   4 4 ≥0 ; V   4 4 ≥0 ;

 

Problema 4 Considere el siguiente programa por metas:  MIN = P 1∗U  2  2 + P 2∗V   1+ P 3∗U  3  3 ; !S.A.;  X   1 1 + X  2 + U   1 1 −V   1=80 ;

 X  1 + U  2− V   2= 100 ; 2 + U   3 3 ≥ 45 ;  X   2

 X   1 1 ≥0 ; X   2 2 ≥0 ; U 1 ≥0 ; V  1 ≥0 ; U  2  2 ≥0 ; V  2  2 ≥0 ; U  3  3 ≥ 0 ;

a# @Se ha alcanzado alcanzado la la meta correspond correspondiente iente a la la primera primera prioridad prioridad Bo se alcanza la prioridad  -a que le faltan )> para lograr el ob8eti,o de .

 

b#  que que podemos podemos decir de la segunda segunda - tercera prioridades prioridades Bota& en caso de que exista una cantidad faltante o excedente para el logro prec precis iso o de la las s meta metas! s! in indi diqu que e los mont montos os nume numeri rico cos s re real ales es de esas sas discrepancias. Si se alcanzan alcanzan las " prioridades! prioridades! -a que en la segunda prioridad menciona menciona 1+

2=80

35

45

80

que  x  x  - como resultado resultado tenemos  - en la tercera + = priori pri oridad dad  x 2 =45   donde se cumple obser,a en el resultado que si se cumple.