Problema Resuelto Relativo

Física I

Ingeniería Química - Ingeniería en Alimentos Lic. Análisis Químicos y Bromatológicos MOVIMIENTO RELATIVO.

PROBLEMA 1 :

Una mujer puede remar un bote a razón de 4 km/h con respecto a la corriente. Si está cruzando un río de 4 km de ancho donde la corriente es de 2 km/h: a)  ¿Hacia qué dirección deberá llevar su bote si quiere llegar a un punto directamente opuesto a su punto de arranque? b) ¿Cuánto tiempo le tomará cruzar el río? c) ¿Cuánto tarda en arribar a la otra orilla si rema perpendicularmente a la corriente? d) ¿Qué distancia del punto ubicado exactamente enfrente del de partida desembarca? e) ¿Cuánto tiempo le tomará remar 2 km río abajo y luego regresar a su punto de arranque? A partir de la lectura del problema identificamos los datos del mismo.

Vbc = 4 km/h

Velocidad del bote con respecto a la corriente: Es la velocidad que puede desarrollar el bote en aguas quietas, es decir como si no hubiese

Vct = 2 km/h

Velocidad de la corriente con respecto a la tierra: Es la que medirá un observador situado en la orilla, por eso la referimos r eferimos a la tierra

x = 4 km

a) ¿Hacia que dirección deberá llevar el bote para llegar a una punto directamente opuesto al de arranque? En primer lugar graficamos la situación:

Si queremos llegar a un punto directamente opuesto al de partida, debemos dirigir el bote contra la corriente; el vector Vbt (velocidad del bote respecto a la tierra) sea el vector resultante que medirá un observador situado en la orilla y el ángulo α  nos determinará la dirección que debemos tomar con respecto a una línea imaginaria entre A y B. Podemos ver que el problema se reduce a resolver un triángulo rectángulo, donde a partir de los datos: http://moodle.aulavirtual-exactas.dyndns.org

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senα  =

V ct  V bc

⇒ α  = arcsen

2 4

= 30°

El bote debe desviarse 30º respecto a línea imaginaria AB

b) ¿Cuánto tiempo le tomará cruzar el río?: Dado que la velocidad es constante, el problema se reduce a un movimiento rectilíneo uniforme:  x = V bt  × t  ⇒ t  =

 x V bt 

  (I)

Primeramente debemos calcular Vbt. A partir del gráfico del punto a) vemos que:

cosα =

V bt  V bc

⇒V bt  = V bc × cosα = 4 kmh × cos30° ⇒V bt  = 3.46kmh

Reemplazando el resultado en (I): t  =

4km 3.46 km

⇒ t  = 1.15h h

c) ¿Cuánto tarda en llegar a la otra orilla si rema perpendicularmente a la corriente? Grafiquemos la situación:

Si rema perpendicular a la corriente, la misma lo arrastra y la velocidad resultante, determinada por un observador terrestre es Vbt. Para calcular el tiempo requerido para cruzar a la otra orilla, podemos relacionar la distancia x= 4 km con la velocidad Vbc  o la distancia entre A y C con la velocidad Vbt. Dado que conocemos la distancia x y Vbc, calculamos el tiempo a partir de estos datos: t  =

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 x V bc

=

4km 4 km

⇒ t  = 1h

h

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d) ¿A qué distancia del punto ubicado exactamente enfrente al de partida desembarca? Observando la gráfica del punto anterior, vemos que desembarca en el punto C. Por semejanza de triángulos podemos escribir:

tg β  =

V c V bc

=

d   x

⇒ d  =  x ×

V c V bc

2 km =

4km ×

4 km

h ⇒ d  = 2km h

e) ¿Cuánto tiempo le toma remar 2 km río abajo y luego regresar al punto de partida? Al remar 2km a favor de la corriente la velocidad del bote planteada en forma vectorial viene dada por:

V bc

= V bt  )1 − V ct 

⇒ V bt  )1

= V bc + V ct   = 4 km

Vbc

h

+

2 km ⇒ V  bt  )1 h

6 km

=

Vct

Vbt

Cuando rema contra la corriente la velocidad del bote será:

V bc

= V bt  ) 2 − ( −V ct  )

⇒ V bt  ) 2

= V bc + ( −V ct  )  = 4 km

V  bt  ) 2

=

2 km

h

+ (−2 km

h

)⇒

h

Vbc Vct Vbt

El tiempo total viene dado por: t  = t 1

+ t 2  

(II)

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h

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Donde t1 es el tiempo que tarda para recorrer la distancia c , de 2 km a favor de la corriente y t2 es el tiempo que tarda en recorrer la misma distancia c , 2 km en contra de la corriente. A partir de (I) y de (II):

t  =

c V bt  )1

+

c V bt  ) 2

=

2km 6 km h

+

2km ⇒ t  = 1.33h km 2 h

PROBLEMA 2 :

Un avión ligero alcanza una velocidad en el aire de 480 km/h (VAV). El piloto se dispone a salir a un destino situado a 810 km al norte, pero descubre que el avión debe enfilar en la dirección N 21°E para volar hacia allí directamente. El avión llega en 1.9 horas. ¿Cuál es el vector velocidad del viento?. A partir de la lectura del problema identificamos las datos del mismo. VAV = 480 km/h (Velocidad del avión respecto al viento) d = 810 km α = N 21° E t = 1.9 h El problema nos pide calcular la velocidad del viento (modulo y dirección) En primer lugar, grafiquemos la situación:

La VAV  es la velocidad que desarrolla el avión independientemente del viento. Sobre el eje NS esta orientado el vector VAT que es la velocidad del avión de acuerdo a un observador terrestre.

Antes de cualquier cálculo debemos ubicar en el gráfico el vector VVT (Velocidad del viento con respecto a la tierra). Nuestra primera suposición será que el viento este orientado de Este a Oeste. Si el gráfico fuese correcto debe cumplirse que:

[V  AV  × cos α  = V  AT  ]  (I) http://moodle.aulavirtual-exactas.dyndns.org

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Podemos calcular la velocidad del avión respecto a la tierra, ya que conocemos la distancia recorrida (810 km) y el tiempo empleado (1.9 h): V  AT 

=

d  t 

=

810km 1 .9 h

Ahora: V  AV 

⇒ V  AT 

× cos α  =

=

426.3 km

h

480 km × cos 21° ⇒ V  AT  = 448.11 km h h

Como no se cumple la condición (I) el planteo no es correcto. Si comparamos la velocidad real del avión con respecto a la tierra calculada a partir de los datos, con la calculada como la proyección de la velocidad del avión con respecto al viento vemos que: VAT < VAV (proyectada) Si llevamos esto a una gráfica podemos ver que el vector velocidad del viento tiene dirección Sur-Oeste:

De la correcta interpretación gráfica del problema podemos realizar el cálculo analítico. Expresemos vectorialmente la suma de las velocidades:

V  AV 

= V  AT  − V VT 

V VT 

= V  AT  − V  AV 

Utilizando el teorema del coseno, el módulo de la velocidad viene dado por:

V VT 

=

V  AT 

2

2

+ V  AV  − 2 × V  AT  × V  AV  × cos α 

Reemplazando los datos tenemos: http://moodle.aulavirtual-exactas.dyndns.org

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V VT 

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=

(426.3 km h ) + (480 km h ) 2

2

V VT 

− 2 × 426.3 km

= 173 .4 km

h

× 480 km

h

× cos 21 °

h

Ya conociendo el módulo del vector velocidad del viento, ahora tenemos que determinar la dirección:

V  AV  sen β 

=

V V  senα 

⇒ sen β  =

V  AV  V V 

×

senα  ⇒

  480    β  = arcsen × sen21°  ⇒  β  = 82.76°  173.4   La dirección será entonces: S 82.76° O o bien O 7,2 ° S

OTRA FORMA DE PLANTEARLO Trabajando con las componentes de los vectores N

VAVY VA 69°

VAVX

O

E

S

Expresemos vectorialmente la suma de las velocidades:

V  AV  V VT 

= V VTx + V VTy

V VT 

= V  AT  − V  AV 

= V  AT  − V VT 

Donde http://moodle.aulavirtual-exactas.dyndns.org

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V VTX 

= V  ATX  − V  AVX 

V VTY 

= V  ATy − V  AVy

V VTX 

=

0 − 480km / h × cos 69° = −172km / h

V VTY 

=

426,3km / h − 480km / h × sen69° = −21,8km / h

Ubicamos las componentes del vector V VT en un eje de coordenadas

N

VVTX VV

O

VVTY

E

S

Usando el teorema de Pitágoras hallamos el modulo de la velocidad del viento

(V 

2 VTX 

2

)

+ V VTy =

((−174km / h)

2

+ ( −21,8km / h)

2

) = 174km / h

La dirección estará dada por el ángulo que forma la velocidad del viento con el eje x negativo

α

 = arctg

V VTY  V VTX 

=  7,2°

La dirección de la velocidad del viento será entonces O 7,2° 

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