Problema de Aplicación de Derivadas

 

Problema de Aplicación de Derivadas: En una planta de arena y grava, la arena cae de una cinta transportadora creando un montículo de forma cónica, a razón de 10 pies cúbicos por minuto. El diámetro de la base del montículo es de aproximadamente tres veces la altura.¿ A que ritmo cambia la altura del montón cuando su altura es de 15 pies. En este ejercicio te mostrare detalladamente la importancia de la derivada en una función. Tenemos que: dV/dt = 10 ³/ min d = 3h r = d/2 = 3/2h dh/dt= 15  Volumen cono= 1/3 π r² h V= 3/4 h³π Como V(t)= 10t

∛ (40t/3π) (40t/3π) = h(t) Tenemos que hallar t para cuando h(t) = 15 15 = ∛ (40t/3π) (40t/3π) t= 2025π /8

Derivando: h´(t) = (40t/3π) ^-2/3 * 40/9π Evaluando en el punto: h´(2025π /8) = (40(2025π /8)/3π) ^-2/3 * 40/9π = (3375) ^-2/3 * 40/9π = 40/9π(∛ 3375²) 3375²) = 40/9π(225) = 8/(405π) m/seg

R: dh/dt = 8/(405π) m/seg, es decir que la razón de cambio cuando la altura es 15 es de 8/(405π) m/seg.