Problema Campo Electrico Johnny Osorio

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Física II PROBLEM PR OBLEM A CAM CAM PO EL ECTRICO

HAZ DE PROTONES

      ̂  

Se proyectan varios protones con una velocidad presente un campo eléctrico uniforme protones deben alcanzar un objetivo

en una región donde está

como se muestra en la figura. Los

que se encuentra a una distancia horizontal de

 

del punto

por donde los protones atraviesan el plano y entran en el campo eléctrico. Determine (a) los dos ángulos de proyección



 que logren el resultado

esperado y (b) el tiempo total de vuelo (intervalo de tiempo durante el cual el protón pasa por encima del plano en la figura para cada una de las trayectorias.

DATOS Velocidad inicial

   ⃗    ̂     |⃗ |  

Vector campo eléctrico

Magnitud del campo eléctrico

Distancia horizontal Carga del protón Masa del protón

          

SOLUCIÓN: Si tomamos como referencia el punto donde el haz de protones protones atraviesa la lámina, se puede apreciar que cada protón que compone compone el haz, describe un movimiento parabólico parabólico al atravesar la lámina, esto ocurre, porque en el eje

 



los protones se mueve con velocidad

constante igual a la velocidad inicial en   con la que se atraviesa la lámina , y en el eje



se

mueven con aceleración constante debido a la fuerza eléctrica que origina el campo eléctrico , por ser la fuerza eléctrica de mayor magnitud en comparación con la fuerza de la gravedad, podemos considerar esta última despreciable para las ecuaciones del movimiento de un protón que se plantean a continuación.



ACELERACIÓN EN EL EJE  DEL PROTÓN Si aplicamos la segunda ley de de Newton para el movimiento de un protón, es posible encontrar encontrar la



aceleración en el eje  de la siguiente forma:

 Johnny Osorio Gallego Gallego

∑    1

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Problema campo eléctrico

   ⃗     (  )  (  ) (  )  (  ) Si dos vectores son iguales, iguales, entonces son iguales componente componente a componente, luego es posible posible plantear las siguientes ecuaciones:

Como se tiene que

  

         |  |⃗ |    |⃗ |   |   

se obtiene que

 , por otro lado se obtiene que

  

expresión que se puede sustituir por la ex presión equivalente:

ECUACIONES QUE QUE DESCRIBEN DESCRIBEN EL MOVIMIENTO MOVIMIENTO PARABÓLICO DEL PROTÓN Usando la expresión encontrada anteriormente para describen

   ,

 y los desplazamientos desplazamientos en

, es posible encontrar las ecuaciones que

 y  en términos del tiempo.

     

Velocidad inicial en el eje

Velocidad inicial en el eje

   

Velocidad final en

      

Velocidad final en





Desplazamiento en

  

    

Desplazamiento en





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TIEMPO EN ALCANZAR LA ALTURA MÁXIMA Y TIEMPO TOTAL Usando las ecuaciones anteriores es posible encontrar el tiempo en el que el protón alcanza su altura máxima en el movimiento parabólico parabólico que describe, este tiempo tiempo se puede puede encontrar si

  

.

     |⃗|   |⃗ |          | ⃗|

Luego el tiempo total en alcanzar la altura máxima por la simetría de la trayectoria es dos veces el tiempo en alcanzar la altura máxima

    |⃗ | ALCANCE MÁXIMO DEL PROTÓN Para encontrar el alcance máximo máximo del protón remplazamos el tiempo total de la la trayectoria sobre



la lámina en la ecuación que permite e ncontrar el desplazamiento en .

      |⃗ |            |⃗|             |⃗| ÁNGULO INICIAL

Luego la ecuación que nos permite encontrar el ángulo inicial que debe formar la lámina y el haz de protones al atravesar la lámina es:

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  |⃗|     |⃗| ⃗  |           | Remplazando los datos iniciales en las ecuaciones anteriores, anteriores, encontramos que los dos ángulos de proyección para alcanzar alcanzar la distancia distancia máxima dada son:

                                Para encontrar los tiempos totales de vuelo de un protón para cada una de las trayectorias, remplazamos los ángulos iniciales de cada una de las trayectorias en la ecuación encontrada para el tiempo total,

    |⃗ |

           

Si

    

           

Si

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