Problema 4

 

PROBLEMA 4.34 Happel y Jordan (1975) informaron de una función objetivo (costo) para el diseño de una columna de destilación como sigue:  f  14 720 100  P   6 560 R  30, 2PR  6 560  30 3 0, 2P 

Dónde:

0,5



19, 5n  5 000 R  23PR  5 000  23P   



23, 25 000 R  23PR  5 000  23P 

 

0,62

número de etapas teóricas relación de reflujo  R  P   porcentaje de de recuperación recuperación en la corriente del fondo. Ellos reportaron que el óptimo ocurre en  R 8 , n 5  y  P  99. ¿Es  f   convexa en este punto? n













¿Hay regiones cercanas donde  f   no es convexa? SOLUCIÓN

 y   5 000R  23PR  5000  23 23P   

Haciendo

La función de costo queda de la forma:

 f



 

14720 100  P   6560R  30, 2PR  6560  30, 2P  19, 5 n y

Primero Prim ero determinar determinar

 f  :

0,5



23, 2 y

0,62

 

 

 f / P      f  f / R    f n /    Para obtener luego la hessiana:  f   0 , 5 0 ,38 23, 2  0, 62  y  14720  30, 2 R  30, 2  19, 5n  0, 5  y  23  R  1  23  23  R  1    P   14720  30, 2



2

 f  



 19, 5n 0, 5

2

 P 



 R  1  19, 5n  0, 5   23 y

  0, 5  23

5 29 4, 875ny  52

 

1,5

2

y 1,5  R  1

 5, 46592 y

1,38

2

0 , 5

 R  1  23, 2  0, 62    23 y



 23, 2 0, 62

  R  1

  0, 38  23

2

0 , 38

 R  1

y 1,38  R  1

2

 2  f    30, 2  19, 5n  0, 5   0, 5   23 y 1,5  23, 2  0, 62  0, 38   23 y 1,38   PR 0,38   0, 62  y   R  1  5000  23P   19, 5n  0, 5   23 y 0,5  23, 2  0,  23  30, 2  112,125ny 1,5  125, 71616 y 1,38   R  1  5000  23P 

 

 

 224, 25ny 0,5  330, 832 y 0,38 

2

 f  

 Pn



 19, 5 0, 5

  23 y

0 ,5

 R  1  224, 25 y 0,5  R  1   

 f   6560  30, 2 P  19 , 5n  0 , 5  y 0 ,5  5000  23P   23, 2  0, 62  y 0 ,38  5000  23P  R   0 ,5 0 ,38  23, 2 0    65 6560  30, 2 P   19, 5n  0 , 5  y 0,, 62  y   5000  23P  2

 f    ( 4 , 875 ny 1 , 5  5, 46 46592 y 1 ,38 )( 5000  23P )2    2 R 2   f  0, 5  9 , 75 y ( 5000  23 2 3 P)   R n 

 

2

 

 

 f  n

 19,5y

0, 5

 

2

 f    0   2 n



   f   P     f    RP    f  nP  2

2

2

H 

2

Evaluando la Hessiana en  P



 f    Pn   f    Rn     f    n 

 f PR  f R  f nR 2

2

2

2

2

2

99; R

2

2



8yn



55,  tenemos:

74 12, 9  3, 2  169, 6     74 553, 7 16   12, 9 16 1 69, 6 0 

H 

Para que  f   sea convexa en el punto óptimo, se requiere que H  sea definida positiva en ese punto. Para tal caso, se requiere requiere que todos los elementos de la diagonal diagonal sean positivos, que no es el caso  P  



99  R 



8

n



55

aquí.pequeña De este vecindad modo  f no modo f esóptimo. convexa en ,  y . Por lo tanto, no es convexa en una del Una función es convexa (cóncava hacia arriba) si su segunda derivada es en cualquier parte mayor o igual que cero: 

2

 f   x 

 x

2

   0,

 f   convexa  

Tomando las primeras derivadas parciales para un sistema de ecuaciones no lineales de 3 incognitas:

 f1   P, R, n  

 f    14720  30, 2  224, 250ny 0,5  330, 832 y 0,38   R  1    P 

 f 2  P, R, n  

 f   6560  30, 2 P  19, 5n  0, 5  y 0 ,5  23, 2  0, 62  y 0 ,38   5000  23P    R

 

   f 

 f 3   P, R, n 

n

 19, 5y

0,5

 

Para calcular el punto óptimo se usará el método de Newton Raphson, para ello:

  Pk 1   Pk    f  1      1      Rk 1    Rk    J   f  2         nk 1   nk    f  3  Contruyendo el Jacobiano

  f1   P    f 2  J     P    f3   P

f1 R f 2 R f3 R

2 f  1     f  2 n     P  f  2       2 f  n   PR   f  3       2 f n     Pn

2 f RP 2 f R 2 2 f Rn

 2 f    nP   2 f      nR   2  f    n 2 