Problema 2 Colaborativo
October 7, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Problema 2: El flujo sanguíneo conduce cierto medicamento hacia el interior de un órgano de
un ser humano a una razón de 2 , y se determina que sale de él a la misma velocidad. El órgano tiene un volumen líquido de 120 . Si la concentración del ¿cuál es la medicamento en la sangre que entra en el órgano es de 0,3t,si,inicialmente concentración del medicamento en el órgano en el instante la persona no tenía ninguna muestra que indicara que había consumido el medicamento previamente?, ¿En qué tiempo, tiempo, la concentración concentración del medicamento
en el órgano será de
0,2 ?
EJER EJ ERCI CICI CIO OYS SOL OLUC UCII N
OBSERVACIONES, ANEXOS,
PLANTEADA
MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA
SOLUCION
Como planteamiento se propone tener en cuenta la siguiente ecuación
Como es un ejercicio de aplicación de ecuaciones diferenciales sobre problemas de mezclas, la situación descrita está asociada a la siguiente ecuación diferencial lineal:
`( `() = () ( () (()) ()
() = ( )
Donde se dice que
``(() = () ()
que permite encontrar la ley de Planteamiento de los datos del problema variación de la cantidad de medicamento en un instante de Razón de ingreso y salida del medicamento tiempo t.
()
2 3⁄
Los datos proporcionados son:
Volumen de líquido del órgano
Nombre
Dato inicial
Volumen inicial Concentración del medicamento en la sangre que entra Razón de entrada Razón de salida
= 120
de
Concentración del medicamento en la sangre
= 0,3/ 0.3 ⁄ 3 = 2 /
Gramos
120 3
=()2,donde /
Como desarrollo y teniendo en cuenta la ecuación inicialmente planteada. Se tiene que:
(0) = 0
medicamento en el instante t Como se tiene la ecuación diferencial que modela la situación, se reemplazan los valores conocidos:
= = 2 3 , () = 120 Así mismo se presenta
(3) 120 (2 22)) = 2(0,3) Simplificando se tiene: (2) = 0,6 120 = 0,6 2 = 72 120 120 Se hace separación de variables:
= 72 2 120
() = 0.3
Por interpretación del problema tenemos un
0
valor inicial de Dado así:
2 (), (0) = 0 `( `() = 0.6 120 Se propone Plantear los límites de integración
Integrando se obtiene:
∫ 72 2 = ∫ 120 1 |72 | 72 2 2 = 120 2 2 |72 72 22| = 120 Aplicando propiedades p ropiedades de d e los logaritmos neperianos:
+ = 72 2 = −
() = 0.6 ∫ −(−
quedaría entonces:
0.6(60 60 − )
Dado esto se propone que
() = ()
Al despejar resulta:
() = 72 − De acuerdo al valor inicial (0) = 0 0 = 36 −() ⇒ = 36 Luego, la ecuación que representa la concentración del medicamento en el órgano en el instante instante t, es:
( ) = 72 36 −
Para determinar el tiempo tiempo en el cual la concentración del medicamento en el
() = 0.3 0.3[60 [60 60 60− ]/ 3 Finalmente se desarrolla.
= 0.2/ 3 0.2 = () = 0.3[60 0.3 [60 60 60− ] = = 65.91segundos
0,2 , se () = (())
órgano será de ecuación:
utiliza la
Por lo tanto,
0,2 = 36 120− Simplificando y reacomodando términos:
72 = 36 36 − 12 − = 36
Se aplican logaritmos y se obtiene:
= = Entonces, = 60,9167
Finalmente, el tiempo encontrado fue aproximadamente de 1,91 min.
Apreciados estudiantes, recuerden que: Cada
estudiante
debe
hacer
mínimo un aporte significativo al análisis del desarrollo presentado. Moderador o líder debe consolidar el trabajo final donde se incluya aportes individuales y grupales.
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