Problema 1

Problema 1. Para la función dada determine la solución real del respectivo dominio y rango y compruebe con Geogebra: D=R E (4,∞) Problema 2. Calcular la simetría de las siguientes funciones y compruebe con Geogebra. Una función f(x) puede ser simétrica de la siguiente forma a.

Respecto al eje de coordenada (función par) F(-x)=f(x) Respecto al origen (función impar) F(-x)=-f(x) 3

2

f ( x )=3 x −x −5 x+ 16 Rta: f (−x )=3(−x)3− (−x )2−5 (−x ) +16 f (−x )=−3 x 3−x 2 +5 x+16 −f ( x ) =−3 x 3 + x 2+5 x +16 f (−x ) ≠ f ( x ) f (−x ) ≠−f ( x ) No es simétrica respecto al origen ni respecto al eje de coordenadas

b.

g ( x ) =25 x 5−12 x 4 +3 x 3+ 15 x Rta: g (−x )=25 (−x )5−12 (−x )4 +3 (−x )3 +15(−x ) g (−x )=−25( x )5−12 ( x )4 −3 ( x )3 −15 x

5

4

3

−g ( x )=−25 x +12 x +3 x −15 x g(x) ≠ g (−x) g (−x ) ≠−g(x )

No es simétrica respecto al origen ni respecto al eje de coordenadas 7 x2−16 x +1 ( ) h x = c. x 3 +12 x2 −11 x Rta h (−x )=

7 (−x )2−16 (−x ) +1 7 x 2+16 x +1 = (−x )3+ 12(−x )2−11(−x) −x 3 +12 x2 +11 x

−h ( x )=

−7 x +16 x−1 7 x −16 x +1 = 3 3 2 x + 12 x +11 x −x −−12 x 2+11 x

2

2

h ( x ) ≠ h (−x ) h (−x ) ≠−h ( x ) No es simétrica respecto al origen ni respecto al eje de coordenadas d.

l ( x )=2 x 2−16 Rta l ( x )=2(−x )2−16=2 x 2−16 2

−l ( x )=−2 x +16 l (−x )=l(x) Es simétrica respecto al eje de coordenadas en una función par

Problema 3. Determine la inversa de la función f ( x )=

f ( x )=

−3 x−5 4 x +2

−3 x−5 =y 4 x +2

−3 x−5=4 xy+ 2 y −2 y−5=4 xy+ 3 x

x=

−2 y−5 4 y +3

La inversa de f(x)=

−2 x−5 4 x+3

Problema 4. Dadas las funciones

x (¿¿ 2−x +2) y g ( x ) =( x +1) . Determine f ( x )=¿

analíticamente y compruebe con Geogebra: a.

f +g 2

2

f + g=x −x +2+ x+1=x +3

b.

g∗f

g∗f = ( x2 −x+2 ) ( x +1 )=x 3−x 2 +2 x + x 2−x +2=x 3 + x +2

c.

(f • g)(2) f ( g ( x ) )=(x+1)2−( x +1 ) +2=( x +1 )2−x +1

( f ∗g ) ( 2 )=( 2+ 1)2−2+1=8 d.

(g •f )(4) g ( f ( x ) )=( x 2−x +2 ) +1=x2 −x+3

( g∗f ) ( 4 )=(4)2−4+3=15

Problema 5. Realizar las siguientes conversiones:

a. Convertir a grados: 

11 π a grados . 3 11 π ∗180 ° 3 =660° π



7π a grados . 4

7π ∗180 ° 4 =315° π b. Convertir a radianes: 

A cuantos radianes equivale 50



°∗π 5 π = 180 ° 18

A cuantos radianes equivale 540



500

5400

°∗π =3 π 180 °

A cuantos radianes equivale 1000

10000

°∗π 50 π = 180 ° 9

Problema 6. Si un triángulo ABC a=150 m, b=170 m y c=190 m .Calcula los ángulos α, β, γ. 2

2

2

a =b +c −2 bc cos ∝ b2=a2 +c 2−2 ac cosβ

tiene

lados

2

2

2

c =a + b −2 ab cosγ

170 ¿ ¿ 190 ¿ ¿ 150 ¿ ¿ ¿2 ¿ ¿ 2 ( b + c2−a2 ) 1 =cos ¿ 2 bc

∝=cos

[

∝=cos−1

( 2538 )=48.46 °

β=cos−1

[

β=cos−1

99 ( 190 )=58.59 °

−1

]

]

[

]

[

]

a2 +c 2−b2 1502 +1902−1702 =cos−1 2 ac 2(150)(190)

γ =cos−1

[

]

γ =cos−1

[ ]

a 2+ b2−c 2 1502 +1702−1902 =cos−1 2 ab 2(150)(170) 3 =72.54 ° 10

Problema 7. Calcule el valor de Z en el siguiente triangulo, así como cada uno de los ángulos presentes.

c 12 =b2 +a2 c 1=√ b2 +a2 c 1=√ 1502+ 2002 =250 b 150 150 cos ∝1= = ∝1=cos−1 =53,13° a 250 250

( )

180=β 1 +90+∝1 β1=180−90−53.13=36,86 °

200 =299,94 cos(11,32+36,86) a 200 cos ( β 1 + β 2 )= = c c2 c2 ¿

2=¿

β 1+ β 2 + β 3 β 3=48,18 °

Problema 8. Verifique la siguiente identidad trigonométrica y compruebe con Geogebra:

Sen 4 ( x )

(

Csec 2 ( x ) + tan 2 ( x )∗Cotg2 ( x ) −( Sen 2 ( x ) +cos 2 ( x ) ) +Cotg2 ( x ) =2 Sen2 ( x)cos2 (x ) Sec 2 ( x )

)

solución

sec ( x )=

sen 4 ( x )+ cos2 ( x ) =1

tan ( x )=

sen ( x) cos ( x)

cotg ( x ) =

sen 4 ( x )

[

1 cos(x )

csec ( x )=

1 sen( x)

cos ( x) sen ( x )

]

csec 2 (x ) +cotg 2 ( x ) =2 sen 2 ( x ) cos2 ( x ) 2 sec ( x)

[

]

cos 2 ( x ) sen ( x ) + cotg 2 ( x ) =2 sen2 ( x ) cos 2( x) 2 sen ( x ) 4

sen 4 ( x ) [ 2 cotg 2 ( x ) ]=2 sen2 ( x ) cos 2 ( x ) sen 4 ( x )

[

]

2 cos2 ( x ) =2 sen2 ( x ) cos 2 ( x ) 2 sen ( x )

2 sen2 ( x ) cos 2 ( x )=2 sen2 ( x ) cos2 ( x )

Problema 9. Encuentre el valor de x que satisface la siguiente ecuación trigonométrica para ángulos entre 0°≤ x ≤ 360°:

3 cos2 ( x )+ cos ( x )−2=0

cos x=

−1 ± √ 1−( 4)(3)(−2) (2)(3)

cos x=

−1 ± √ 25 6

cos x=

−1 ± 5 6

cos x=−1,

2 3

x=π=cos−1 ( x)

En radianes

x=0.8410686=cos−1

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