Problem A A A A Sssssss Sssssssss

 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

1 

 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

2 

 

150 PROBLEMAS DE TEORIA DE CIRCUITOS EXÁMENES RESUELTOS RESUELTOS Y PROBLEMAS ADICIONALES.

César Fernández Peris M.Asunción Vicente Ripoll

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

3 

 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

4 

 

INDICE Prefacio ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................. ..............................pág.3 .......pág.3 Problemas resueltos de exámenes.......................................................................pág.5 Tema 1:Análisis de Circuitos en DC.................................................................pág.7 Tema 2:Análisis Transitorio............................... Transitorio..................................................... ............................................. .............................pág.37 ......pág.37 Tema 3:Análisis en Régimen Estacionario Senoidal.......................................pág.97 Tema 4:Resonancia.......................... 4:Resonancia................................................. ............................................. ............................................ .......................pág.149 .pág.149 Tema 5:Acoplamiento magnético....................................................................pág.181 Problemas propuestos... propuestos......................... ............................................. ............................................. .........................................pá ...................pág.209 g.209  Tema 1:Análisis de Circuitos en DC..............................................................pág.211  Tema 2:Análisis Transitorio............................... Transitorio..................................................... ............................................. ...........................pág.225 ....pág.225  Tema 3:Análisis en Régimen Estacionario Senoidal...................................pág.231  Tema 4:Resonancia.......................... 4:Resonancia................................................. ............................................. ............................................ .......................pág.237 .pág.237  Tema 5:Acoplamiento magnético....................................................................pág.241 Soluciones a los problemas propuestos........................................... propuestos...............................................................pá ....................pág.245 g.245

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5 

 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

6 

 

PREFACIO El presente libro de problemas ha sido elaborado con la intención de servir de complemento a las clases recibidas. Está enfocado fundamentalmente a la asignatura ‘Teoría de Circuitos y Sistemas’ de segundo curso de Ingeniería Industrial, pero es también perfectamente válido para cualquier asignatura introductoria a la teoría de circuitos. El objetivo es el estudio autónomo del alumno, y para ello el libro incluye ejercicios resueltos paso a paso, que enseñan de un modo práctico las principales técnicas y  procedimientos a emplear en el análisis de circuitos de todo tipo. También se ofrece un conjunto de ejercicios propuestos que han de servir para la l a ejercitación de los conceptos  previamente aprendidos. Como método de comprobación, en el último capítulo se ofrece el resultado correcto de todos estos ejercicios propuestos Todos los problemas resueltos provienen de exámenes realizados en la asignatura  previamente mencionada en la Universidad Miguel Hernández desde el curso 19981999 hasta el curso 2003-2004 y, por tanto, se ciñen completamente al temario de la asignatura. Tanto los problemas resueltos como los problemas planteados se estructuran en los siguientes bloques temáticos:

• 

 Análisis de circuitos en corriente continua .

El dominio de las técnicas de análisis de circuitos en DC es fundamental para la comprensión del resto de temas que engloba la asignatura. En este apartado se presenta una amplia colección de problemas que recopilan múltiples ejemplos prácticos de todas estas técnicas de análisis: leyes de nodos y mallas, y los teoremas de Thévenin y de máxima transferencia de potencia. Antes de estudiar cualquier otro bloque temático es necesario que el alumno haya practicado con estos métodos y se maneje con soltura en el análisis DC de cualquier configuración de circuito eléctrico.

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7 

 

• 

Este apartado recopila ejercicios de análisis en regimen transitorio de primer y segundo orden. En este tipo de problemas aparecen ecuaciones diferenciales lineales, siendo ésta la principal dificultad a la que se enfrentan los alumnos puesto que han de conocer previamente los métodos de resolución de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, también es posible enfrentarse a este tipo de problemas hacien haciendo do uso del método ddee análisis “paso  por paso”, que permite resolver circuitos en regimen transitorio sin necesidad de  plantear la ecuación diferencial. De esta manera, dentro de los problemas resueltos, existen soluciones realizadas mediante la reducción del circuito y el  planteamiento de su ecuación diferencial y otras que siguen el método de análisis “paso por paso”. Así el alum alumno no puede entrenarse con con ambas técnicas.

• 

 Análisis en régimen estacionario senoidal .

• 

 Resonancia .

• 

 Acoplamiento magnético.

 Análisis transitorio .

En este bloque temático se recogen diversos problemas relativos al análisis de circuitos en AC. Las técnicas de análisis que se utilizan son las mismas que en DC pero con la dificultad que ahora los valores de las magnitudes eléctricas pertenecen al dominio de los números complejos, complicando ligeramente la resolución de las ecuaciones del circuito. El alumno dispone de numerosos ejemplos resueltos siguiendo siempre los mismos pasos con el fin de sistematizar el análisis de los circuitos en regimen AC.

En este apartado se presentan problemas referentes a este caso  particular de análisis en frecuencia. Otros aspectos relativos a la respuesta en frecuencia de circuitos no son contemplados en esta asignatura y por tanto tampoco han sido incluidos en el presente libro de problemas. 

Este último bloque recoge algunos ejemplos de circuitos eléctricos donde existe acoplamiento magnético. Se presentan  problemas generales con bobinas acopladas magnéticamente y con el caso  particular del transformador transformador ideal. 

En conjunto, esta colección de problemas pretende ser una herramienta práctica para el estudio de la asignatura de Teoría de Circuitos puesto que permite el entrenamiento del alumno con el planteamiento y resolución de diversos problemas tipo de cada bloque temático.

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8 

 

PROB PRO B L EMAS RESU RESUEL ELTOS TOS DE EXÁMENE EXÁ MENES S cursos 1998-99 : 2003-04

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9 

 

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10 

 

TEMA TE MA 1:  ANÁ  A NÁL L ISIS DE CIRCUITOS EN DC

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11 

 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

12 

 

Febrero 1999 PROBLEMA 1: Sobre un circuito desconocido, que sólo contiene resistencias y fuentes de tensión continua hacemos los siguientes experimentos: un voltímetro entre do doss de sus terminales y observamos que hay •  Conectamos un una diferencia de tensión de 12V. •  Conectamos una resistencia de 4Ω  entre esos mismos terminales y comprobamos que disipa una potencia de 16W. ¿Qué potencia disiparía una resistencia de 2Ω  conectada entre los mencionados terminales? Razónese la respuesta.

SOLUCIÓN 1:

Cualquier terminales:circuito puede ser representado por su equivalente Thévenin entre ambos R TTHH 

R TH TH 

+ VTH 

+

VTH 

12V

 

-

+

I

 

-

4Ω (consume 16W)  16W) 

- 

Los 12V a circuito abierto se corresponden directamente con VTH: VTH = 12V La intensidad que recorre el circuito se deduce a partir de la información de  potencia: 16W = I2*4Ω; I2 = 4A; I = 2A Y R TTHH se obtiene a partir de esa intensidad: I = VTH/(R TTHH+4Ω); R TTHH + 4Ω = 6Ω;

R TH TH = 2Ω 

Conocido el equivalente completo se puede obtener el dato pedido: 2Ω 

+

 

-

12V

Con la resistencia de 2Ω: 2Ω (W?)

I = 12V/4Ω = 3A

P = I2*2Ω = 18W   150 Problemas de Teoría de Circuitos

13 

 

Junio 1999 PROBLEMA 2: Sobre el circuito de la figura: 2k  A 

3I0  +

 

3V

-

I0  4k

2k

B

2mA

Se pide: •  Obtener el equivalente Thevenin del circuito entre los terminales A y B •  Sobre el circuito anterior se añade una resistencia entre los terminales A y B. ¿Qué valor debe tener esa resistencia si queremos que consuma la máxima potencia  posible?

SOLUCIÓN 2: Obtención del equivalente Thevenin: VTH   I N •  Se calculará en primer lugar la tensión de circuito abierto VCA: VTH = VCA

I N  = I CC R TH = 

Sin resolver completamente el circuito, podemos

2k 3I0  +

 

2k

I0  4k

ver que más VAB laserá igual los 3Vendelalaresistencia fuente de tensión caída de atensión de 2k. Como por esta resistencia circulan los 2mA de la fuente de intensidad, tendremos: VCA = 3V + 2mA*2k Ω = 7V

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-

2k 3I0  +

De nuevo sin resolver el circuito podemos ver que ICC  será igual a los 2mA de la fuente de intensidad más la intensidad que circule por la resistencia de 2k. Como esta resistencia se encuentra en paralelo con la fuente de tensión de 3V, entre sus terminales habrá 3V. Por tanto, ICC = 2mA + 3V/2k = 3,5mA

+ VCA 

2mA

•  A continuación se calculará la intensidad de cortocircuito ICC:

3V

-

 

3V

ICC 

-

I0  4k

2k

2mA

14 

 

El equivalente será:

2k

VTH = VCA = 7V I N = I CC = 4.5mA   VTH 7V R TH =  I N  = 3.5mA = 2k Ω

+

 

7V

-

2k

•  Según el teorema de máxima transferencia de  potencia, para lograr un consumo máximo de  potencia la resistencia de carga debe tener el mismo valor que la resistencia Thevenin:

+

 

-

7V

R L = 2k

R L = 2k Ω 

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15 

 

Septiembre 1999 PROBLEMA 3: Dado el circuito de la figura: 160i   20Ω 

c

 

1

4A

60Ω 

a

+-

80Ω 

40Ω 

i1

d

 b

Se pide:

•  Obtener el equivalente Thevenin del circuito entre los terminales a y b •  Obtener el equivalente Thevenin del circuito entre los terminales c y d SOLUCIÓN 3: Como primer paso se hace una transformación de fuente, con lo que el circuito queda: 160i1 

20Ω 

c

a

 

+-

60Ω 

80Ω 

40Ω 

i1 +

 

240V

-

d

 b

Primer equivalente Théven Thévenin: in: calculamos la tensión a circuito circuito abierto y la intensidad de cortocircuito entre a y b. +

i2 

i2 

i1 

VCA  -

ICC 

Tensión a circuito abierto: se resuelve por mallas, -240 + I2*60 + I2*20+160*I1+(I2-I1)*80=0 (I1-I2)*80+I1*40=0 Intensidad de cortocircuito: toda la corriente

I2=1125mA I1=750mA VCA = 30V

I2=3A ICC = 3A

circula el cortocircuito: -240+Ipor 2*60+I 2*20+160*0=0   150 Problemas de Teoría de Circuitos

16 

 

Primer equivalente Thévenin 10Ω 

VTH = VCA = 30V

+

 

30V

-

R TH = VCA/ICC = 10Ω 

Segundo equivalente Thévenin: calculamos calculamos la tensión a circuito abierto y la intensidad de cortocircuito entre c y d. + VCA  - 

i2 

i1 

Tensión a circuito abierto: se resuelve por mallas -240 + I2*60 + I2*20+160*I1+(I2-I1)*80=0 (I1-I2)*80+I1*40=0 I2=1125mA I1=750mA

 

 

VCA = 172.5V i2  ICC 

Intensidad de cortocircuito: la parte derecha del circuito no aporta corriente, nos fijamos sólo en la malla de la izquierda: I2=240/60 I2=4A ICC = 4A

Segundo equivalente Thévenin 43.125Ω 

VTH = VCA = 172.5V R TTHH = VCA/ICC = 43.125Ω 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

+

 

172.5V

-

17 

 

Diciembre 1999 PROBLEMA 4: Calcular el equivalente Thevenin del circuito de la figura entre los terminales A y B: 4k A

+ VX  −  4k +

 

6k

12V

-

 _ 0.5VX  +  B

SOLUCIÓN 4: Para la obtención del equivalente Thévenin se calculan la tensión de circuito abierto y la intensidad de cortocircuito: V 1 

4k + VX − 

VCA: por análisis de nodos

+

4k +

 

6K

12V

-

 _ 0.5VX 

VCA 

- 

+

+ VX  − 

I 2 

I 3 

4k +

 

6k

12V

-

Se obtiene V1 = VCA = 36/13 V

ICC: por análisis de nodos:

4k I1 

12 − V1 − 0.5Vx − V1 − V1 + + =0   4 ⋅ 103 4 ⋅ 103 6 ⋅ 103 Vx = 12 − V1

ICC 

 _ 0.5VX  +

ICC = I1 + I 2 + I3 − 0.5VX 12 +0  + ICC = 3 4 ⋅ 10 4 ⋅ 103 VX = 12V Se obtiene ICC = 3/2 mA 24/13k

Por tanto:

VTH = VCA = 36/13 V R TH = VCA/ICC = 24/13 k Ω 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

+

36/13V

 

-

18 

 

Febrero 2000 PROBLEMA 5:

En la figura, el cuadrado representa una combinación cualquiera de fuentes de tensión e intensidad y resistencias. Se conocen los siguientes datos: •  Si la resistencia R es de 0,5Ω la intensidad intensidad i es de 5A •  Si la resistencia R es de 2,5Ω la intensidad i es de 3A Se pide calcular el valor de la intensidad i si la resistencia R es de 5Ω  3Ω 

fuentes y resistencias

5Ω 

R

SOLUCIÓN 5: Se sustituye el conjunto de fuentes y resistencias más las resistencias de 3 Ω y 5Ω por su equivalente Thévenin: 3Ω 

fuentes y resistencias

Rth

5Ω 

R

+

 

-

Vth

R

i

Sobre el equivalente Thévenin se cumplirá: i =

VTH   R TH + R 

Con lo cual se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones ecuaciones:: 5=

VTH R TH + 0.5

 

VTH = 15V   R TH = 2.5Ω

VTH 3 = R TH + 2.5     150 Problemas de Teoría de Circuitos

19 

 

Conocidos VTH y R TH TH se puede obtener el valor pedido:

i=

VTH 15  = = 2A   R TH + R  2.5 + 5

 NOTA: el problema también se puede resolver sustituyendo por su equivalente Thévenin sólo la parte correspondiente al bloque desconocido.

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20 

 

Junio 2000 PROBLEMA 6:  En el circuito de la figura, fi gura, todos los elementos son conocidos salvo salvo la resistencia R. R 7Ω  1Ω 

2Ω  + VX  −  3Ω 

+

 

440V

+

 

0.5 Vx

220V

-

-

Se pide: •  Valor de R que hace que la potencia consumida por la resistencia sea la máxima  posible. •  ¿Cuál es esa potencia?

SOLUCIÓN 6:  Se obtiene el equivalente Thévenin del circuito entre los extremos de la resistencia (terminales A y B): Tensión de circuito abierto (por nodos)

A

+

440V

VCA 

B

7Ω 

V2 

Intensidad de cortocircuito (por nodos) ICC 

A

2Ω 

1Ω 

2Ω 

+ VX  − 

 

-

440V

I 1 

V 1 

1Ω 

+ VX  −  3Ω 

+

440V

7Ω 

440V V1 

B

+

 

I2  3Ω 

0.5 Vx

220V

-

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

+

 

-

440V

+

 

0.5 Vx

220V

-

21 

 

Tensión de circuito abierto (por nodos)

Intensidad de cortocircuito (por nodos) V1 − 440 V1 − 440 V1 − 220 + + =0 2 1 3 ... resolviendo ... V1 = 400V

V − 440 V1 − V2 V1 − 220 1→ 1 + + =0 2 1 3 V − 440 V2 − V1 2→ 2 + + 0.5VX = 0 7 1

1→

VX = 440 − V1 ... resolviendo ... V1 = 299.2 V2 = 255.2 VCA = 440 − V2 = 184.8V

I CC = I1 + I 2 + 0.5VX 440 − 400 + 0.5(440 − 400) = 60A I CC = 0 + 1

Con lo que el equivalente Thévenin queda: 3.08Ω 

•  VTH = VCA = 184.8V •  R TTHH = VCA/ICC = 3.08Ω 

A +

 

184.8V

-

B

Por lo tanto:

•  Resistencia que absorbe máxima potencia: R=3.08Ω  •  Intensidad: I = V/R = 184.8/6.16 = 30A •  Potencia consumida: P = I2⋅R = 900⋅3.08 = 2772W 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

3.08Ω 

+

 

-

184.8V

R = 3.08Ω  I = 30A

22 

 

Septiembre 2000 PROBLEMA 7: Dado el circuito de la figura: 10Ω 

1.8k Ω  A

+

 

10V

-

900Ω 

+  _  

100Ω 

103⋅IB  225Ω 

IB 

B

Se pide obtener su equivalente Thevenin y su equivalente Norton entre los terminales A y B.

SOLUCIÓN 7: Dado que hay fuentes dependientes, se obtendrá el equivalente Thévenin mediante el cálculo de la tensión de circuito abierto e intensidad de cortocircuito:

10Ω 

V1 

1.8k Ω 

V 2 

A +

 

-

10V

900Ω 

100Ω 

+  _  

IB 

103⋅IB  225Ω  B

Tensión de circuito abierto: Se aplica análisis de nodos en la parte izquierda del circuito: V1 − 10 V1 V1 + + = 0 → V1 = 9V   10 900 100 Con V1 se pueden hallar IB y V2:

IB =

V1 = 90mA   → V2 = 103 IB = 90V 100

Y la tensión de circuito abierto se obtiene mediante un divisor de tensión: 225 VCA = VAB = 90  = 10 V 1800 + 225

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

23 

 

Intensidad de cortocircuito: 10Ω 

10V

+

 

900Ω 

-

1.8k Ω 

V2 

V1 

+  _  

100Ω 

103⋅IB  225Ω 

ICC 

IB 

Se aplica análisis de nodos en la parte izquierda del circuito: V1 − 10 V1 V1 + + = 0 → V1 = 9V   10 900 100 Con V1 se pueden hallar IB y V2: IB =

V1 = 90mA   → V2 = 10 3 I B = 90V   100

Y la intensidad deΩcortocircuito se obtienealdirectamente considerando que por la resistencia de 225  no circula intensidad estar en paralelo con un cortocircuito: 90 I CC =   = 50mA   1800 Por lo tanto, los equivalentes quedan: R TH TH A

A +

 

IN 

VTH 

-

B

R N  B

VTH = VCA = 10V I N = ICC = 50mA V R TH = R  N = CA = 200Ω ICC

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

24 

 

Febrero 2001 PROBLEMA 8: Dado el circuito de la figura, se pide: Calcular la el potencia equivalente entredelos puntos A y B.entre los puntos ••   Calcular queThévenin disiparía del unacircuito r esistencia resistencia 60k  Ω colocada A y B. 200k

200k A

+ 30μA

600k

VX   _  

100k

+  _  

100VX  100k

100k B

SOLUCIÓN 8:

•  Cálculo del equivalente Thévenin: Dado que existen fuentes dependientes e independientes, se calcularán la tensión de circuito abierto y la intensidad de cortocircuito. Tensión de circuito abierto VCA: 200k

30μA

600k

200k

+

iX 

VX 

100k

 _  

+ +  _  

100VX  100k

100k

VCA   _  

La intensidad iX que pasa por la resistencia de 100k se obtiene mediante un divisor de intensidad: 600k  i X = 30μA ⋅   = 20μA   600k + 300k  Por tanto la tensión VX en esa resistencia r esistencia será: VX = 20μA  ⋅ 100K  = 2V   La tensión VCA se obtiene por divisor de tensión una vez conocido VX: 50k  100k // 100k  VCA = 100 ⋅ VX ⋅   = 200 ⋅ = 40V   250k  200k + (100k // 100k )

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

25 

 

Intensidad de cortocircuito ICC: 200k

30μA

600k

200k

+

iX 

VX 

100k

+

100VX  100k

100k

ICC 

 _  

 _  

VX e iX se obtienen igual que antes llegando al mismo resultado: i X = 20μA  ; VX = 2V   ICC se obtiene teniendo en cuenta que por las resistencias de 100K no circula intensidad al estar en paralelo con un cortocircuito: 100 ⋅ VX 200   = = 1mA   I CC = 200K  200 K  Con lo que el equivalente Thevenin queda: 40K

A

VTH = VCA = 40V V   40 R TH = CA = = 40k Ω I CC 0.001

+

 

40V

-

•  Si se coloca una resistencia de 60k entre A y B: 40k i  +

 

40V

-

A 60k

La intensidad que circulará por la resistencia será: 40V i =   = 0.4mA   100k  Y la potencia consumida:

P = i 2 ⋅ R  =  (0.4 ⋅ 10−3 )2 ⋅ 60 ⋅ 103 = 9.6mW  

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

26 

 

Febrero 2002 PROBLEMA 9: Dado el circuito de la figura, se pide: •  el valor de las fuentes de tensión V1 y Vg en el circuito, sabiendo que Vo = 5V. •  el valor de la resistencia de carga R L  a situar entre los terminales A y B para para que consuma máxima potencia. ¿Cuál es el valor de la potencia consumida por R L? I1  +

60Ω  +

 

Vg

-

+ 25I1 

260Ω 

20Ω 

V1

A

I2  80Ω  40I2 

40Ω 

Vo

10Ω 

-

- 

B 

SOLUCIÓN 9:

•  Valor de las fuentes de tensión V1 y Vg en el circuito, sabiendo que Vo = 5V?  Para hallar el valor de la fuente de tensión Vg y la tensión en el nodo V1, se resolverá el circuito de izquierda a derecha: Se aplica análisis de nodos en el siguiente subcircuito, situando la tierra en el nodo B: VO  + 40I2 

40Ω 

 Nodos en VO: A

IB + IA + 40I2 = 0

IA 

IB  10Ω 

-

B 

VO − 0 VO − 0 + + 40I 2 = 0   40 10

si VO = 5V, entonces I2 = - 0.015625 A I2 es la corriente que circula por la resistencia de 80 Ω, por tanto para hallar la tensión en V1 se aplica la ley de Ohm a la resistencia de 80 Ω:

V1 = I2 · 80 = -1.25 V 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

27 

 

Ahora se hallará el valor de I 1, aplicando nodos en el siguiente subcircuito:   Nodos en V1:

V1 = -1.25V

+ 20Ω  I x 

25I1 

I2 + Ix + 25I1 = 0

I 2 

V1 − 0 V1 − 0 + + 25I1 = 0   80 20

80Ω 

V1 - 

si V1 = -1.25V, entonces I1 = 0.003125 A Y por último en la malla de la derecha se obtiene el valor de Vg: I1 

Vg = I1 · (60 +260)

60Ω  +

 

-

Vg

si I1 = 0.003125 A, entonces 

260Ω 

Vg = 1V 

•  Valor de la resistencia de carga R L  a situar entre los terminales A y B para que consuma máxima potencia. ¿Cuál es el valor de la potencia consumida por R L?

Por el teorema de máxima transferencia de potencia, la resistencia de carga R L  que consumirá máxima potencia en la resistencia de Thevenin vista desde los terminales A y B. VTH   I N Ya sabemos VTH: VTH = VO =5  =5V, V, falta hallar I N  N: R TH  =

Por lo tanto, se ha de calcular R TH TH :

+ 40I2 

40Ω 

La I N es la corriente entre A y B en cortocircuito, por tanto:

A IN 

10Ω 

-

I N = -40·I2 = -40 · (-0.015625)=0.625 A

B 

R TH =

VTH 5 = = 8Ω → R L   = 8Ω   I N 0.625

Y la potencia consumida:

P=

VTH 2 4R TH

= 

52 4⋅8

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

=

25

= 0.78125W  

32

28 

 

Junio 2002 PROBLEMA 10:  Calculad el valor de la tensión Vo en el circuito siguiente: +  Vx

− 

R 4 

2k Ω 

R 2 

1k Ω 

1mA

I1  2Vx

+ 

1k Ω 

I2 

R 5 

R 6 

1k Ω 

1k Ω 

2k Ω 

R 3 

Vo

R 1 

− 

I3  4mA

SOLUCIÓN 10:  Para hallar la tensión Vo, primero se calculará el valor de la corriente que circula por la resistencia R 1. Para ello, se resolverá el circuito utilizando la ley de mallas, y utilizando el sistema de unidades V, mA, k Ω: +  Vx

− 

R 4 

R 2 

I2 

i3 

1mA

+ VY  - 

i4 

R 1 

Vo 

malla 1: malla 2: malla 3: malla 4:

i1 = 2VX  i2 = 4mA 2i3 + 1(i3-i1) + VY = 0 1i4 + 1i4 + VY + 1(i4-i2) = 0

R 6 

R 5 

Además, se cumplen las relaciones: 2Vx

I1 

i1 

R 3 

i2 

I3 

4mA

VX = - i4· 1 i3+i4 = I2 = 1

7 Resolviendo las ecuacione ecuacioness anteriores, se obtiene i 4   = mA   4 Por tanto: 7 Vo = -R 1 ·i4 = − V   4

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

29 

 

También es posible posible hallar Vo utilizando la ley de nodos: +  Vx

V4

− 

I 2 

i2  1mA

V1

V3

V2

i2 + i1 + I1= 0 I2 + i3 = i1 + i4  i +I =i i45 = i23 + I52 

i4 

I 1  2Vx

Vo 

i5  i1 

 Nodo V1:  Nodo V2:  Nodo V3:  Nodo V4:

I 3 

i3 

4mA

0V

 Nodo V1: i2 + i1 + I1= 0 I1 = 2Vx = 2 (-R 4 · i5) = 2

V4  − V3   2

→ 

V 4 − V3 V 4 − V1 V 2 − V1 + +2 = 0  2 2 1

 Nodo V2: I2 + i3 = i1 + i4 

→ 

1+

0 − V 2 V  2 − V1 V 2 − V3 = +   2 1 1

 Nodo V3: i4 + I3 = i5

→ 

 Nodo V4: i5 = i2 + I2

→ 

V3 − V 4 V 2 − V3   +4=   2 1 V3 − V 4 V 4 − V1 2 = 2 +1 

Resolviendo el sistema anterior de 4 ecuaciones, se obtiene que 13 1 V  y V 4  = − V , 4 4  por tanto: 13 1 + V3 − V 4 4 4 14 7 i5 = =  = = mA   2 2 8 4 V3  =

R 4  V4

i5 

+ Vo R 1  -  V3

7 Vo = -R 1 ·i5 = − 4 V     150 Problemas de Teoría de Circuitos

30 

 

Junio 2003 PROBLEMA 11: 

Para el circuito de la figura, obtened los circuitos equivalentes de Norton y de Thévenin entre los terminales A-B:  Datos: k = 0.05 Vg = 10V R1 = 5Ω   p = 100 R2 = 0.5Ω  R 1 

Vg 

+

 

IX 

+  _  

-

kV1 

  A

+

pIX 

V1 

R 2  -

B 

SOLUCIÓN 11: 

•  Cálculo de la corriente de Norton, I N: I N = (IAB)cortocircuito  R 1 

+

 

-

Vg 

IX 

+  _  

kV1 

  A

+

pIX 

V1 

R 2  -

IN  B 

Si se cortocircuitan los terminales A-B, la resistencia R 2 queda también cortocircuitada,  por tanto V1 = 0, y la fuente de tensión kV1 también se anula. De esta forma, la corriente de Norton es igua iguall a la corriente ddee la fuente pI pIX  pero en sentido opuesto: V 10 I N = − pI X = − p   g = −100 = −200A   R 1 5

•  Cálculo de la resistencia de No Norton rton (de Thévenin), R  N = R TTHH: Para calcular la resistencia de Thévenin se utilizará el método test, para ello se anulan las fuentes independientes del circuito y se coloca una fuente test entre los terminales AB, en este caso, se utiliza una fuente de corriente como fuente test:

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

31 

 

R 1  IX 

+  _  

kV1 

  +

+

pIX  I2 

Vtest 

V1 

R 2 

I   - 

test

-

Del circuito anterior, se deduce que: V1 = Vtest 0 − kV1 − kVtest   Ix = = R 1 R 1 y aplicando análisis de nodos en el nodo Vtest:  pIX +  I2 = I test   Sustituyendo el valor de la corriente IX en esta última ecuación:  p

 ⎞ 1 − kVtest + Vtest = I → ⎛  ⎜⎜ p − k  + 1 ⎟⎟Vtest = I test → R TH = Vtest = test R 1 R 2 I test  p − k  + 1 ⎝  R 1 R 2 ⎠ R 1

R TH =

1 Vtest = k 1 1 = =1 0.05 1 − I test  p − + 100 + 5 0.5 R 1 R 2

R 2

 

Y por último, a partir de los valores ddee R TH e I N, se obtiene la VTH : I N = −200A R TH = 1Ω   VTH = I N ·R TH = −200V R TH TH  A

A +

 

I N 

VTH 

R  N 

-

B

THEVENIN   150 Problemas de Teoría de Circuitos

B

NORTON

32 

 

Septiembre 2003 PROBLEMA 12:  Sobre el circuito de la figura: Vx 

R 1 

 

+ -

4Ω  R 2 

R 3  4Ω 

4Ω  + Vx  - 

R 4  4Ω  100V

+

 

-

V1 

A

+

 

V2 

R

-

20V B

Encuentra el de R que permite que el circuito •  suministre la valor máxima potencia a los terminales A y que B. se muestra en la figura •  Determina la máxima potencia administrada a R •  ¿Qué porcentaje de la potencia total generada por las fuentes se suministra a la resistencia de carga R?

SOLUCIÓN 12: 

•  Encuentra el valor de R que permite que el circuito que se muestra en la figura suministre la máxima potencia a los terminales A y B. Por el teorema de máxima transferencia de potencia se ha de cumplir que R=R TTHH, por tanto se debe calcular la resistencia de Thévenin entre los terminales A-B, para ello se aplica el método test, anulando las fuentes inde independientes pendientes del circuito y coloc colocando ando una fuente test entre los terminales A-B, en este caso, se utiliza una fuente de tensión como fuente test: V 1 R TH =   test =   I test I test Y se obtiene el valor de I test  analizando el circuito ppor or mallas: Malla 1 →  − VX = 4I1 + 4(I1  + I test ) + 4(I1 − I 2 )   Malla 2 →  0 = 4(I 2 − I1 ) +  4(I 2 + I test )   Malla 3 →  1 = 4(I1 + I test )  + 4(I 2 + I test )   y además →  VX = 4  (I 2 + I test )     150 Problemas de Teoría de Circuitos

33 

 

Vx 

R 1 

 

+-

I1 

R 3  4Ω 

4Ω  + Vx  - 

R 4  4Ω 

I2 

4Ω  R 2 

A

Itest 

Itest 

+ -

Vtest =1V

 

B

1 Resolviendo el sistema anterior de 4 ecuaciones, se obtiene que I test   = A , por tanto: 2 R TH =

Vtest 1 = = 2Ω  →  I test I test

R = R TTHH = 2Ω 

También posible hallar el valor R TH calculando la tensión en circuito abierto (VTH  = 60V) y es la corriente de Norton ( I Nde (I  =30A), siendo R TH TH = VTH / I N.  Cálculo de VTH: Vx 

R 1 

 

+ -

R 3  4Ω 

100V

+

4Ω 

V1 

-

 

A

4Ω  + Vx  - 

R 4  I 2 

4Ω  R 2 

I 1 

+

 

V2 

-

20V B

Utilizando la ley de mallas, Malla 1 →  − VX = 4I1 + 4  I1 + 4(I1 − I 2 )   Malla 2 →  100 − 20 = 4 (I 2 − I1 ) + 4I 2   y además →  VX  = 4I 2  

....resolviendo: I1 = 0A y I2 = 10A

Luego, VTH = 20 + VX + 4 I1 = 20 + 10·4 = 60V  

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

34 

 

Cálculo de I N : Vx 

R 1 

 

+-

4Ω 

4Ω  + Vx  - 

R    4

I2  100V

+

 

4Ω 

V1 

-

4Ω  R 2 

I1 

R 3 

+

 

A

IN 

IN 

V2 

-

20V B

Utilizando la ley de mallas, Malla 1 →  − VX = 4I1 + 4(I1 − I N ) + 4(I1 − I 2 )   Malla 2 →  100 − 20 = 4(I 2 − I1 ) +  4(I 2 − I N )   Malla 3 →  20 = 4(I N − I2 ) +  4(I N − I1 )  

....resolviendo: I N = 30A

y además →  VX = 4  (I2 − I N )  

•  Determina la máxima potencia administrada a R: 2Ω 

+

 

-

60V

R=2Ω 

VTH 2 602 P= = = 450W   4R TH 4·2

P = 450W

•  ¿Qué porcentaje de la potencia total generada por las fuentes se suministra a la resistencia de carga R? Para responder a esta pregunta hay que averiguar la potencia que generan o consumen las fuentes con el circuito original cargado con R = 2 Ω. Por lo tanto, se debe analizar el siguiente circuito:

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

35 

 

Vx 

R 1 

 

+-

R 3  4Ω 

100V

+

4Ω 

 

V1 

-

A

4Ω  + Vx  - 

R 4  I1 

4Ω  R 2 

I 3 

+

 

V2 

I2 

R TTHH = 2Ω 

-

20V B

Utilizando la ley de mallas, Malla 1 →  Malla 2 →  Malla 3 →  y además → 

100 − 20 = 4(I1 + I3 )  + 4(I1 − I 2 )   20 = 4(I2 − I1 ) + 4(I 2 + I3 ) + 2I 2   VX = 4(I3 + I1 )  + 4(I3 + I2 ) + 4I3   VX = 4  (I1 − I 2 )   ....resolviendo: I1 = 22.5A, I2 = 15A, I3 = -10A.

Cálculo de la potencia en las resistencias (elementos PASIVOS): PR TH = I 2 2 ·R TH = 152 ·2 = 450W PR 1 = I32 ·R 1 = 102 ·4 = 400W PR 2 = (I 2 + I3 )2 ·R 2 = (15 − 10)2 ·4 = 100W   PR 3 = (I1 + I3 )2 ·R 2 = (22.5 − 10)2 ·4 = 625W PR 4 = (I1 − I 2 )2 ·R 2 = (22.5 − 15) 2 ·4 = 225W Cálculo de la potencia en las fuentes, según el criterio de signos pasivo:

-22.5A

+

 

V1 

P100V = V1·(-I1) = 100 · -22.5 = -2250 W →  fuente ACTIVA

-

100V

I1 I2 

7.5A +

 

V2 

P20V = V2·(I1-I2) = 20 · 7.5 = 150 W →  fuente PASIVA

-

20V

VX   

+ -

PVx = VX·I3 = 30 · 10 = 300 W →  fuente PASIVA I3 = -10A

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

36 

 

Sólo hay una fuente que produce potencia, V1, por tanto el total de potencia potencia generada generada es 2250W y la potencia consumida por R TTHH es 450W, y con estos ddos os valores se calcula el  porcentaje pedido: pedido:

%P suministrada a la carga = 100 · 450 / 2250 = 20% 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

37 

 

Junio 2004 PROBLEMA 13:  Calculad el valor de la tensión V0 en el circuito siguiente: 12V

1k

2k

+ -  Vg 

+ 

2000IX 

+ IX 

2k

2k

5k

V0 -

SOLUCIÓN 13: 

Es posible simplificar el cálculo de V0 en el circuito anterior, obteniendo el equivalente Thévenin del circuito a la derecha de las resistencias de 2k y 5k. Por tanto, a continuación se realiza el cálculo de dicho circuito equivalente:  NOTA: Se utiliza el sistema sistema de unidade unidadess :V, mA, k Ω, así que Vg = 2IX con IX en mA. VTH: Tensión de circuito abierto Por mallas:

12V

1k

+ -  + 

+

2IX  IX 

2k IY 

2k

VTH

Vg = 2(I Y + I X ) + I Y

- 

− 12==2I2I X + 2(I X + IY )   V g X

IX 

→IX = -3mA

VTH = 2k · IX = 2· -3 = -6V  I N: Corriente en cortocircuito 12V

1k

+ -  + 

2IX  2k

IX 

2k

IN 

Al cortocircuitar los terminales, la corriente IX se anula, y por tanto la fuente Vgsiguiente:  también y el circuito anterior se reduce al

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

38 

 

2k

1k

+

IN 

y la resistencia Thévenin:

 

La resistencia equivalente al conjunto de las 2 resistencias en paralelo de 1k y 2k es k , por 3 tanto: − 12 IN =   = -18mA  2 3

12V

-

R TTHH = VTH =   − 6 = 1 = 0.33k Ω  − 18 3 I N

Se sustituye el equivalente Thévenin en el circuito original y se halla V0  fácilmente mediante un divisor de tensión: 0.33k

+

 

-6V

-

2k

V 0 

V0 = −6 5k

= −1145 =  -4.09V  15 5+ +2 3

THEVENIN 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

39 

 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

40 

 

TEMA TE MA 2:  ANÁ  A NÁL L ISIS TRA TRANSITORIO NSITORIO

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

41 

 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

42 

 

Febrero 1999 PROBLEMA 14:

En el circuito de la figura se desconocen los valores de C y R. Se pide obtener razonadamente los mencionad mencionados os valores a partir de la curva de comportamiento comportamiento descrita en la figura. 7 3k Ω 

12mA

1k Ω 

6 C

1k Ω 

R

+

   )   s   o    i    t    l   o   v    (   c    V

Vc

-

5 4 3 2 1 0

8

16 24 32 40 tiempo (segundos)

48

SOLUCIÓN 14:  En primer lugar obtenemos el equivalente Norton del circuito sin el condensador ni la resistencia: 3k Ω 

12mA

1k Ω 

6mA

1k Ω 

2k Ω 

Añadimos ahora, sobre el equivalente, resistencia y condensador: + 6mA

C 2k Ω 

R

6mA

2k Ω 

R

V (t=∞) -

Para t = ∞ el condensador se comporta como un circuito abierto; por tanto: V(t=∞) = 6mA*(2k Ω*R)/( 2k Ω+R) = 6V   150 Problemas de Teoría de Circuitos

(valor en régimen permanente)

43 

 

...de donde se puede despejar el valor de R: R = 2k Ω  Para obtener el valor de C calculamos primero el equivalente paralelo de las dos resistencias: 6mA

C 1k Ω 

... y utilizamos la pendiente en el origen dibujada en el gráfico: En un circuito RC la constante de tiempo τ es igual al producto RC y se muestra en el gráfico como el instante en que la pendiente en el origen corta a la asíntota del valor final de la tensión. Por tanto:

τ = RC = 1k Ω*C = 8s;

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

C = 8mF

44 

 

Junio 1999 PROBLEMA 15:  En el circuito de la figura el interruptor ha estado en la posición izquierda desde t = -∞  hasta t = 0, y en t = 0 pasa bruscamente a la posición de la derecha. 2k

3k

A 50μF +

 

12V

6k

-

50k B

Se pide:

•  Obtener el valor de la tensión VAB para t>0 •  ¿Cuál es la constante de tiempo del sistema para t>0? ¿Cuál sería el valor de la resistencia extra a colocar entre A y B para que esa constante de tiempo se reduzca a la mitad?

SOLUCIÓN 15: 

•  Obtener el valor de la tensión VAB para t>0 2k

3k

+ Vc(0) +

 

12V

-

6k

 _  

Condiciones iniciales: tensión del condensadorr en t=0. Consideramos que el condensado circuito se encuentra en régimen  permanente y sustituimos el condensador condensador  por un circuito abierto: abierto: Aplicando divisor de tensión: Vc(0) = 12V*6k(3k+6k) = 8V

50μF 50k

Circuito para t>0: el interruptor pasa a la  posición derecha. derecha. Las ecuaciones ecuaciones del circuito serán: Resistencia: I = -V/R Condensador: Condensado r: I = C*dV/dt

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

45 

 

50*10-6*dV/dt + V/50*103 = 0

Dando valores e igualando queda: O, lo que es lo mismo:

dV(t)/dt + 0.4V(t) = 0

Resolución de la ecuación: Planteamos una solución estándar: V = K 1 + K 2*e-t/τ 

dV/dt = -K 2/τ*e-t/τ 

Y sustituimos en la ecuación de nuestro circuito: -K 2/τ*e-t/τ + 0,4* K 1 + 0,4*K 2*e-t/τ = 0 Igualando términos libres se obtiene: K 1 = 0 -t/τ Igualando términos en e   se obtiene: -K 2/τ + 0,4*K 2 = 0; K 2/τ  = 0,4*K 2; τ = 2.5 Sólo resta obtener el valor de K2 haciendo cumplir las condiciones iniciales que conocemos: V(0) = K 1 + K 2*e0  = K 1 + K 2 = 8V;

K 2 = 8

Por tanto, la tensión t ensión pedida es

VAB (t) = 8*e-0.4t V Lo cual representa un típico proceso de descarga de un condensador:

   )    V    (     B    A    U

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 t (s)

•  ¿Cuál es la constante de tiempo del sistema para t>0? ¿Cuál sería el valor de la resistencia extra a colocar entre A y B para que esa constante de tiempo se reduzca a la mitad? La constante de tiempo de un circuito RC es:

τ = R*C = 50k Ω*50μF = 2.5s  

Si deseamos reducir a la mitad la constante de tiempo, deberemos reducir a la mitad el valor de la resistencia: Rnueva = R/2 Como vamos a colocar una resistencia en paralelo: Rnueva = R//Rañadida = R*Rañadida/(R+Rañadida) Igualando ambas expresiones se llega a la conclusión:    150 Problemas de Teoría de Circuitos

Rañadida = R = 50k Ω   46 

 

Septiembre 1999 PROBLEMA 16: En el circuito de la figura fi gura la corriente que circula por la bobina en t = 0 es de iL = 10A. •  Determinar la expresión de la corriente iL y de la tensión vL, ambas para t>0. •  Representar gráficamente de forma aproximada estas funciones 15Ω 

+ 10A

5Ω 

16mH

vL 

iL

 _  

SOLUCIÓN 16: Se plantean las ecuaciones del circuito por mallas: 15Ω 

Malla 1: I1 = 10A Malla 2: (I2-I1)*5 + I2*15 + 16*10-3*dI2/dt=0

+ 10A

5Ω  I 1 

16mH

vL 

iL 

 _  

I 2 

-16*10-3*dIL/dt+20*IL=50

Se propone la solución estándar pa para ra la ecuación diferencial: IL = K 1 + K 2*e-t/τ  Sustituyendo: -16*10-3*K 2/τ*e-t/τ+20*K 1+20*K 2*e-t/τ=0 Igualando términos: 20K 1 = 50 -16*10-3*K 2/τ+20*K 2=0

K 1 = 2.5 1/1250 50 τ = 1/12

Aplicando las condiciones iniciales: K 2 = 7.5 IL(0) = 10 = 2.5 + K 2 

IL = 2.5+7.5*e-1250tA  La tensión se obtiene a través de la ecuación de comportamiento de la bobina: VL = L*dIL/dt VL = 16*10-3*(-9375)*e-1250t  VL =-150*e-1250tV    150 Problemas de Teoría de Circuitos

47 

 

10 9 8    )    A    (    d   a    d    i   s   n   e    t   n    i

7

IL = 2.5+7.5*e-1250tA 

6 5 4 3 2

0

0.5

1

1.5

2 2.5 ti tiempo empo (sg)

3

3.5

4

4.5 -3

x 10

0

VL =-150*e-1250tV 

-50    )    V    (   n   o    i   s   n   e    t

-100

-150 0

0. 5

1

1. 5

2 2.5 tiempo (sg)

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

3

3. 5

4

4. 5 x 10

-3

48 

 

Septiembre 1999 PROBLEMA 17: Los circuitos 1, 2 y 3 parten de las mismas condiciones iniciales. iniciales. Indique a qué circuito corresponde cada una de las curvas de comportamiento representadas para VC y  justifíquense las respuestas res puestas

  e    d   u    t    i    l   p   m    A

Step Response

StepResponse

StepResponse 2

2

2

1.5

1.5

1.5

1

1   e    d   u    t    i    l   p   m    A

0.5

1   e    d   u    t    i    l   p   m    A

0.5

0.5

0

0

0

-0.5

-0.5

-0.5

-1 0

5

10

15

-1 0

20

5

10

respuesta 1 L

2R

15

20

-1 0

5

10

C

respuesta 2 + vC

L

R

15

C

respuesta 3 + vC

4R

L

C

circuito B

+ vC  _

 _

 _

circuito A

20

Time (sec.)

Time (sec.)

Time (sec.)

circuito C

SOLUCIÓN 17:

Planteamos la ecuación de VC para unos valores genéricos de R, L y C: VC

1

+ ⋅ ∫ VC ⋅ dt + C ⋅

dVC

=0

2 ddt V 1R  dVLC 1 ⋅ + ⋅ VC + C ⋅ 2 C = 0 R  dt L dt 2 d VC 1 dVC 1 + ⋅ + ⋅V = 0 RC dt LC C dt 2

Si expresamos la ecuación en el formato estándar: d 2 VC dVC 2 + ξω ⋅ + ω2n ⋅ VC = 0 n 2 dt dt

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

49 

 

Podemos obtener el valor del coeficiente de amortiguamiento ξ en función de R,L,C:

ω2n =

1 LC

2ξωn =

1 RC

ξ = 2R LC Luego cuanto mayor sea R menor será el coeficiente de amortiguamiento. A la vista de las gráficas, puede verse como:

ξrespuesta1 < ξrespuesta2 < ξrespuesta3  Por tanto:

el circuito B corresponde a la respuesta 3 el circuito A corresponde a la respuesta 2 el circuito C corresponde a la respuesta 1 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

50 

 

Diciembre 1999 PROBLEMA 18: En el circuito de la figura, f igura, el interruptor lleva mucho tiempo abierto y se cierra en el instante t = 0. Se pide calcular el tiempo t iempo que tardará la tensión VAB en alcanzar 0V. 10Ω  A 10Ω  +

 

25V

-

0,5H 5V

B

10Ω 

+ - 

SOLUCIÓN 18: Se calculará en primer lugar la expresión para la corriente que circula por la bobina iL(t): 10Ω 

Condiciones iniciales: iL(t=0−) El interruptor está abierto y la bobina es un cortocircuito (régimen permanente)

A 10Ω  +

 

25V

-

iL(t=0−) 5V

iL(t=0−) = 30V/30Ω = 1A

B

10Ω 

+ - 

Circuito para t≥0: El interruptor está cerrado

10Ω  A

+

 

25V

-

10Ω 

20 ⋅ i L ( t ) + 0,5 ⋅

iL(t)

i L (0) = 1A

0,5H 5V + - 

10Ω 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

di L ( t ) = 5V   dt

Resolviendo para iL(t) se obtiene: B

i L ( t ) = 0,25  + 0,75 ⋅ e −40 t  

51 

 

El dato pedido es VAB: v AB ( t ) = 10 ⋅ i L ( t ) + 0,5 ⋅

di L ( t ) = 2,5 + 7, 5 ⋅ e −40 t + 0,5 ⋅ (− 30 ⋅ e −40 t ) = 2,5 − 7,5 ⋅ e − 40 t   dt

Buscamos el instante en que V AB se iguala a cero: v AB ( t ) = 2,5 −  7,5 ⋅ e −40 t = 0   → 

t = 27.5ms

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

52 

 

Febrero 2000 PROBLEMA 19:

En el circuito de la figura, f igura, el interruptor lleva mucho tiempo cerrado y se abre en el instante t = 0. Se pide obtener la expresión de la intensidad i(t) para t > 0. 2k Ω 

2,5k Ω 

+

 

8V

2mF

0,5k Ω 

2,5k Ω 

-

i(t)

SOLUCIÓN 19: Resolvemos en primer lugar para la tensión en el condensador. a) Valor inicial: valor estabilizado antes de abrir el interruptor: 2,5k Ω 

2k Ω 

+

− 

Vc(0) +

 

8V

2,5k Ω 

-

Por divisor de tensión: 2.5 VC (0) = 8 ⋅   = 4V 2.5 + 2.5

0,5k Ω 

it

 b) Valor en t = ∞: valor estabilizado una vez abierto el interruptor: 2k Ω 

2,5K Ω 

+

− 

Vc ∞ +

 

8V

0,5k Ω 

2,5k Ω 

-

VC (∞  ) = 0

it

c) Constante de tiempo: representamos el circuito para t>0 (interruptor abierto) y agrupamos resistencias: 2k Ω 

+ 2,5k Ω 

2mF

2mF

Vc(t)

−  0,5k Ω 

it

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

τ = RC = 5 ⋅  10 3 ⋅ 2 ⋅ 10 −3 = 10s

5k Ω 

it

53 

 

Con lo que la expresión para la tensión en el condensador condensador queda:  

VC ( t ) = VC (∞) + (VC (0) − VC (∞) ) ⋅ e

−

t

τ

= 4 ⋅ e −0,1t

La intensidad pedida se obtiene a partir de la tensión en el condensador: 3

i(t)= -VC / (5·10  ) = -0.8·e

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

-0.1t

 mA 

54 

 

Junio 2000 PROBLEMA 20:

En el circuito de la figura, la tensión VC del condensador vale –4V en t = 0: 6Ω 

R +

+

 

7.5V

-

10A

8Ω 

3Ω 

5mF

VC 

7.5V + 

Se pide:

•  Si R = 2Ω, calcular el tiempo que tardará la tensión VC en el condensador condensador en

alcanzar +4V •  ¿Qué valor debería haber tenido R para que ese tiempo hubiera sido la mitad?

SOLUCIÓN 20:

Para facilitar los cálculos, se obtiene el equivalente Thévenin para todo el circuito salvo el condensador y la resistencia R (entre los terminales A y B): 6Ω 

+

 

7.5V

-

A 10A

8Ω 

3Ω  7.5V

B

+ 

Dado que no existen fuentes dependientes, puede obtenerse el Thévenin a partir de la resistencia equivalente y de la tensión de circuito abierto: tensión de circuito abierto

resistencia equivalente 6Ω 

6Ω 

A

3Ω 

+

8Ω 

 

-

7.5V

A

8Ω 

3Ω 

10A

7.5V B

R EQ = 6Ω // 3Ω // 8Ω = 1.6Ω    150 Problemas de Teoría de Circuitos

+ 

B

Por nodos, VAB = 12V

55

150 Problemas de Teoría de Circuitos

55 

 

El equivalente y el circuito completo serán, por tanto: 1.6Ω 

1.6Ω 

R

A

+ 5mF

+

 

12V

+

 

12V

VC 

-

-

B

Sobre el circuito de la derecha podemos obtener la expresión de VC(t): VC(0) = -4V •  Valor inicial: VC(∞) = 12V •  Valor final: •  Constante de tiempo: τ = R EEQQ⋅C = (1.6+R)⋅5⋅10-3 

 

VC ( t ) = VC (∞) − (VC (∞) − VC (0) ) ⋅ e

−

t

τ

= 12 − 16 ⋅ e

−

t (1.6 + R )⋅5⋅10− 3

Si R = 2Ω, el tiempo en alcanzar 4V se puede despejar de la expresión anterior: 4 = 12 − 16 ⋅ e  

−

t 3.6⋅5⋅10 −3

→ t = 12.5ms

t = 12.5ms Para que ese tiempo se reduzca a la mitad, debe reducirse a la mitad la constante de tiempo:

τ nueva

3.6 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 = → (1.6 + R nueva ) ⋅ 5 ⋅10 = 2 2

τ

−3

R nueva nueva = 0.2Ω

 

→ R nueva = 0.2Ω

150 Problemas de Teoría de Circuitos

56 

 

Septiembre 2000 PROBLEMA 21: En el circuito de la figura, f igura, el interruptor lleva mucho tiempo abierto y se cierra en el instante t = 0. iL 

48mH +

vL 

−  2,4k Ω 

6k Ω 

+

 

25V

4k Ω 

-

+

 

4V

-

Se pide: •  expresión de la intensidad en la bobina iL(t) para t>0. •  Expresión de la tensión en la bobina vL(t) para t>0

•  Representar aproximadamente ambas funciones SOLUCIÓN 21: a) Obtención de las condiciones iniciales: se busca la intensidad en la bobina en t = 0 La intensidad en la bobina en t = 0 + será igual a la intensidad en t=0-; en ese instante nos encontramos en régimen permanente y  por tanto la bobina equivale a un cortocircuito: cortocircuito: i L ( 0) =

−4   = −0.625mA 4000 + 2400

i 0

2,4k Ω 

4k Ω 

+

 

-

 b) Comportamiento para para t > 0: se busca el equivalente Thé Thévenin venin del circuito en entre tre los extremos de la bobina, a los que llamamos A y B: A

B 2,4k Ω 

6k Ω 

+

 

-

 

25V

4k Ω 

+

 

-

4V

Tensión de circuito abierto: VA = 10V (divisor de tensión) t ensión) VB = 4V VAB = 10-4 = 6V Resistencia equivalente: R EQ EQ = 4//6 + 2.4 = 4.8k Ω 

4V

150 Problemas de Teoría de Circuitos

57 

 

Por tanto, el equivalente Thevenin y el circuito equivalente una vez colocada la bobina quedan: 4.8k Ω 

4.8k Ω 

iL

48mH

+ vL  + -

 

+

6V

 

6V

-

Sobre el circuito equivalente es fácil calcular iL y vL: t

− e  τ

i L ( t ) = i L (∞) + [i L (0) − i L (∞)]

Donde los datos que nos hacen falta son: L 6 i L (0) = −0.625mA; i L (∞) =   = 1.25mA; τ = = 10 −5   R  4800 Con lo que la expresión de la intensidad queda: 5

i L (t) = 1.25 − 1.875e −10 tmA   Se nos pide también la expresión de la tensión en la bobina, que será: 5 5 di ( t ) v L ( t ) = L ⋅ L = 48 ⋅ 10 −3 ⋅ 1.875 ⋅ 10 −3 ⋅ 10 5 ⋅ e −10 t = 9e −10 t V   dt 5 v L (t) = 9e−10 t V   Una representación aproximada de ambas funciones sería la siguiente: iL(t)

vL(t)

t

t

Donde se aprecia que iL(t) no presenta saltos bruscos pero vL(t) si presenta una discontinuidad en t = 0.

 

150 Problemas de Teoría de Circuitos

58 

 

Diciembre 2000 PROBLEMA 22: En el circuito de la figura, fi gura, el interruptor ha permanecido cerrado durante mucho tiempo, y se abre en el instante t = 0. Se pide dimensionar el condensador C de modo que la tensión vC(t) en el mismo tome valor cero en el instante t = 12ms. t=0

2 k Ω 

4 k Ω  C

18mA

4 k Ω 

3 k Ω 

+ vC(t)  _

-

6V

+

SOLUCIÓN 22: En primer lugar se obtiene la tensión en el condensado condensadorr en el instante cero, suponiendo que éste se comporta en régimen permanente (antes de mover el interruptor) como un circuito abierto: 4 k Ω 

2 k Ω 

18mA

4 k Ω 

+ vC(0)  _  

3 k Ω 

-

6V

+

Del análisis del circuito anterior se obtiene vC(0) = 14V. A continuación planteamos la ecuación diferencial del circuito para t>0 (una vez abierto el interruptor): 4 k Ω  C

+ vC(t)  _  

-

6V

+

Al tratarse de un circuito sencillo es inmediato obtener la ecuación diferencial: dv c ( t ) 6 1 + = −   v ( t ) c 3 3 dt 4 ⋅ 10 ⋅ C 4 ⋅ 10 ⋅ C La solución de esta ecuación con la condición inicial vC(0) = 14V queda: v c ( t ) =− 6 +  20 ⋅ e  

−

t 4⋅103 ⋅C

 

150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

Se debe cumplir que vC(12⋅10-3) = 0V: v c (12 ⋅ 10− 3 ) =− 6 +  20 ⋅ e

 

−

12⋅10 −3 4 ⋅10 3 ⋅ C

= 0 →   C = 2.5μF

59 

150 Problemas de Teoría de Circuitos

60 

 

Febrero 2001 PROBLEMA 23: En el circuito representado, el interruptor ha permanecido abierto durante mucho tiempo. En el instante t = 0 el interruptor se cierra y se observa la evolución de i(t). Se miden los siguientes valores: •  En el instante t = 12ms se toma una primera medida, en la que i(t) i( t) vale 7mA. •  Una vez se ha estabilizado i(t) se toma otra medida, en la que i(t) vale 10mA. 100Ω 

200Ω  i(t)

V

+

 

100Ω 

-

L

Se pide determinar el valor de la fuente de tensión V y de la bobina L.

SOLUCIÓN 23: Cálculo de condiciones iniciales para t = 0 Si el interruptor ha estado abierto durante mucho tiempo, la intensidad en la bobina será cero. i(0 ) = 0   Planteamiento de la ecuación diferencial para t>0 Se debe simplificar el circuito hasta la forma estándar de un circuito RL. Para ello se  puede hacer el el equivalente The Thevenin venin de todo eell circuito salvo la bob bobina ina (calculando VCA  y R EQ) o bien se pueden hacer transformaciones sucesivas de fuentes. En cualquier caso, el resultado al que se llega es el siguiente: 100Ω 

+

 

-

V

200Ω 

250Ω 

100Ω 

+

 

-

El circuito RL sobre el que hay que trabajar es, pues: 250Ω  i(t) +

 

-

 

V/2

L

V/2

150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

La expresión para i(t) en este circuito estándar es conocida: R  250 − t ⋅  − t⋅ V V i( t ) = + K ⋅ e L = + K ⋅ e L   R  500 El valor de K se obtiene a partir de las condiciones iniciales: V V i(0) = 0 = 500 +  K  → K  = − 500   Con lo que la expresión para la intensidad queda: 250   − t ⋅  ⎞ V ⎛  ⎜ 1 − e L ⎟⎟ i( t ) = ⎜ 500 ⎝   ⎠ A partir de esta expresión obtenemos los valores de V y de L: V V = 5V (1 + 0) → 500   250 − 0.012  ⎞ 5 ⎛  L ⎟⎟ → L = 2.5H ⎜⎜1 − e i(0.012) = 7 mA = 500 ⎝   ⎠

i(∞) = 10mA =

 

61 

150 Problemas de Teoría de Circuitos

62 

 

Junio 2001 PROBLEMA 24:

En el circuito de la figura, el interruptor ha permanecido abierto durante mucho tiempo, y se cierra en el instante t = 0. Se pide obtener la expresión de vAB(t) para t > 0. A

t=0 2.6Ω 

4Ω  6Ω 

20mF +

 

-

20V

+

 

12V

-

B

SOLUCIÓN 24: Se solucionará para la tensión en el condensador y a partir de ella se obtendrá el dato  pedido. Buscamos la tensión en el condensador en t = 0-  y en t = ∞; en ambos casos consideramos el condensador como un circuito abierto dado que estamos en régimen  permanente: A

4Ω 

A

2.6Ω 

2.6Ω 

4Ω  6Ω 

+

 

-

20V

+ Vc (t=0)  _  

+

B

 

-

20V

+

 

12V

-

Se obtiene: VC(0) = 20V VC(∞) = 16.8V (mediante divisor de tensión, por ejemplo)

 

+ Vc (t=∞)  _   B

150 Problemas de Teoría de Circuitos

63 

 

Falta por conocer la constante de tiempo, para ello se simplifica el circuito para t>0 hasta la forma estándar de un circuito RC. Mediante transformaciones de fuentes se llega a: 5Ω  20mF +

16.8V

-

 

Con lo que la constante de tiempo será: τ = RC = 0.1 seg La expresión de la tensión en el condensador quedará: -10t VC (t) = 16.8 + (20 - 16.8)e V = 16.8 + 3.2e-10t V     Para hallar la tensión pedida primero obtenemos la intensidad en el condensad condensador: or: dV ( t ) IC (t) =   C  = - 0.64e-10t A   dt La tensión pedida será la tensión en la resistencia más la tensión en el condensador:

VAB (t) = R ·IC ( t ) + VC ( t ) = 16.8 + 1.54e−10t V  

 

150 Problemas de Teoría de Circuitos

64 

 

Septiembre 2001 PROBLEMA 25:

Obtener la expresión de la tensión v(t) del condensador en el circuito de la figura: Dato v(0) = 0V. 10V

4Ω 

+

 

20V

6Ω 

-

2Ω 

+ - 

+ v(t) -

2Ω 

2A

10mF

SOLUCIÓN 25: Mediante sucesivas transformaciones transformaciones de fuentes se obtiene el siguiente circuito equivalente: 6,4Ω   _ 2V v(t) +  +  -

10mF

Obtendremos de tiempo: la expresión de v(t) a partir del valor inicial, el valor final y la constante •  Valor inicial: v(0) = 00V V •  Valor final: v(∞) = 2V •  Cte. de tiempo: τ = RC = 0,064seg

−

t

v(t ) = v(∞ ) − [v(∞ ) − v(0)]⋅ e  = 2 ⋅ (1 − e −15,625 ⋅t )V

 

τ

150 Problemas de Teoría de Circuitos

65 

 

Diciembre 2001 PROBLEMA 26:

En el circuito de la figura, el interruptor ha permanecido abierto durante mucho tiempo, y se cierra en el instante t = 0. Con ayuda de un osciloscopio se registra la tensión V AB y se obtiene la gráfica que se muestra en la figura. Se pide obtener los valores de R y de C   en el circuito. t=0

2 k Ω 

10mA

VAB (V)

A

3k Ω 

R

R

C C

+ VAB(t)  _

20

0

B

0 6 

t

SOLUCIÓN 26: Simplificaremos el circuito paso a paso comenzando por una transformación de fuentes y los equivalentes serie y paralelo de los condensadores y las resistencias t=0 respectivamente: 2 k Ω  3 k Ω  A 

+ -

30V

R/2

+ VAB(t)  _  

C/2

B 

A continuación se calcula el equivalente serie de las resistencias y se hace una nueva t=0 transformación de fuentes: A 

6mA

C/2 5 k Ω 

R/2

+ VAB(t)  _   B 

Sobre este circuito ya es posible calcular los valores de R y C. En primer lugar vemos a  partir de la curva del enunciado cómo el valor final de la tensión (régimen permanente) es de 20V; en régimen permanente el condensador será un circuito abierto:

 

150 Problemas de Teoría de Circuitos

66 

 

A  6mA

5k Ω 

R/2

+ 20V  _   B 

Sobre este circuito se calcula el valor de R: 5 ⋅ 103 ⋅ R  2 = 5000R  R eq = 3 5 ⋅ 10 + R  2 10000 + R  5000 R  = 20 ⇒ I ⋅ R eq = 20V ⇒ 6 ⋅ 10−3 ⋅ 10000 + R 

  R = 20k Ω 

Una vez calculado R, se obtiene el valor de C teniendo en cuenta que, según la respuesta mostrada en el gráfico, la constante de tiempo es de 6ms: C 5000R  C ⋅ ⇒ 2 10000 + R  2

τ = 6  ⋅10−3 = R eq ⋅ =

 

 C = 3.6mF

150 Problemas de Teoría de Circuitos

67 

 

Febrero 2002 PROBLEMA 27: En el circuito de la figura, el interruptor ha estado en la posición 1 desde t = -∞ hasta t = 0 y en t = 0 pasa bruscamente a la posición 2. •  obtened el valor de la tensión VAB(t) para t > 0. •  calculad el tiempo que tardará el condensador en alcanzar la tensión de 12V. ¿cuál sería el valor de la resistencia extra a co colocar locar entre A y B para qu quee alcanzara esos 12V en la mitad de tiempo? 1k

2k

1 2 A 50μF

+

 

24V

2k

-

50k B

SOLUCIÓN 27:

•  ¿Valor de la tensión VAB(t) para t>0.? El circuito anterior es un circuito de primer orden. La tensión VAB(t) es la tensión en el condensador VC(t). Transitorio en t = 0: VC ( t ) = VCfinal + (VCinicial   − VCfinal ) ⋅ e − t / τ ; τ = R eq ·C   Vamos a hallar los parámetros: VCfinal, VCinicial y R eq Circ Ci rcui uito to pa para ra t0: VC ( t ) = 16·e −0.4 t V   12 = 16·e −0.4 t M

t = 0.719s

•  ¿Cuál sería el valor de la resistencia resistencia extra a colocar colocar a colocar entre A y B para que alcanzara esos 12V en la mitad de tiempo? t ' = t / 2 =  0.719 / 2 = 0.395s   50μF 50K

 

R

150 Problemas de Teoría de Circuitos

69 

 

Vamos a hallar la nueva constante de tiempo: 12 = 16 ⋅  e − τ'⋅0.359 τ' = 0.8 1 τ' = = 0.8 → R eq = 25000 Ω = 25k Ω R eq ⋅ C

Si Re q = R // 50k Ω =

 

R ⋅ 50 = 25k Ω , entonces R + 50

R =50 k Ω 

150 Problemas de Teoría de Circuitos

70 

 

Junio 2002 PROBLEMA 28: En el circuito de la figura, el interruptor ha estado abierto desde t = -∞ hasta t = 0 y en t = 0 se cierra. •  obtened el valor de la tensión en el condensador C1 para t>0. condensador or en alcanzar la tensión de -1V. •  calculad el tiempo que tardará el condensad •  si duplicamos el valor de la resistencia R 2 , ¿cuál será ahora el valor final de tensión alcanzado por el condensador? ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar la tensión de  –1V? 3k Ω 

+

 

R 1 

V1  I1 

+  _  

-

10 V

2⋅VC(t) 

0.5⋅I1 

C1  1k Ω 

R 2  1F

SOLUCIÓN 28:

•  valor de la tensión en el condensador C1 para t>0? El circuito anterior es un circuito de primer orden. Transitorio en t = 0: VC ( t ) = VCfinal + (VCinicial   − VCfinal ) ⋅ e − t / τ ; τ = R eq ·C   Vamos a hallar los parámetros: VCfinal, VCinicial y R eq: Circuito para t0: 3k Ω 

+

 

VR2 

R 1 

V1  I1 

+  _  

-

2⋅VC(t) 

0.5⋅I1 

1k Ω 

C es un circuito abierto en DC

R 2 

10 V 0V

VCfinal = VC (∞) =VR2  En la malla de la izquierda: I1 =

V1 − 2VC V1 − 2VR 2 =   3 3

Y en la derecha: 0 − VR 2 = 1 ⋅ 0.5 ⋅ I1 VR 2 = −0.5 ⋅ I1 V − 2V R 2 VR 2 = −0.5 ⋅ 1   3 M

5 VR 2 = − = −2.5V 2 VCfinal Cfinal  = VC (∞) =VR2= -2.5V Para calcular la R eq fuente independiente independiente V1 del eq utilizamos el método test: anulamos la fuente circuito anterior (la sustituimos por un cortocircuito), añadimos una fuente de tensión de 1V (fuente test) y hallamos el valor de la l a corriente test (Itest) V 1   R eq =   test = I test I test

3k Ω 

+

 

-

10 V

V1 

VR2 

R 1 

I1 

+  _  

2⋅VC(t) 

0.5⋅I1 

1k Ω 

R 2 

Vtest=1V -  +

I x  0V

Ahora VR2 = Vtest =1V, I1 = 0 −  2VC = − 2 mA . 3 3  

Itest 

150 Problemas de Teoría de Circuitos

72 

 

Aplicamos la ley de nodos en el subcircuito de la izquierda: Vtest 0.5I1 + I X = I test = R eq ⎛  2 ⎞ V − 0 = Vtest 0.5⎜ − ⎟ + test 1 R eq ⎝  3 ⎠ 1 1 ⎛  2 ⎞ ⎜− ⎟ +1 = R eq 2 ⎝  3 ⎠ 3 R eq = k Ω = 1500Ω 2

 

Sustituimos los valores de VCfinal, VCinicial y R eq eq en la expresión de la tensión en el condensador:  

− t / 1500

V ( t ) = −2.5 + (0 − (− 2.5)) ⋅ e  C

; τ = R eq ·C = 1500·1 = 1500  

VC (t) = −2.5 ⋅ (1 − e −t/1500 ) V  

•  tiempo que tardará el condensador en alcanzar la tensión de -1V? VC ( t ) = −2.5 ⋅ (1 − e − t / 1500 )

− 1 = −2.5 ⋅ (1 − e − t / 1500 )   M

t = 766s  

•  si duplicamos el valor de la resistencia R 2 , ¿cuál será ahora el valor final de tensión alcanzado por el condensador? ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar la tensión de  –1V? Si R 2 = 2k Ω, la tensión final en el condensador cam cambiará: biará: 3k Ω 

+

 

-

10 V

V1 

VR2 

R 1 

I1 

+  _  

2⋅VC(t) 

0.5⋅I1 

2k Ω 

R 2 

C es un circuito abierto en DC

0V

 

150 Problemas de Teoría de Circuitos

73 

 

En la malla de la izquierda: V1 − 2VC V1 − 2VR 2 =   3 3

I1 = Y en la derecha:

0 − VR 2 = 2 ⋅ 0.5 ⋅ I1 VR 2 = −I1 2V − 10 VR 2 = R 1   3 M

VR 2 = 10V

VCfinal = VC (∞) =VR2= 10V  La R eq eq también tendrá otro valor: V 1 R eq =   test =   I test I test

3k Ω 

+

 

VR2 

R 1 

V1  I1 

+  _  

-

10 V

2⋅VC(t) 

0.5⋅I1 

2k Ω 

R 2 

Vtest=1V -  +

I x  0V

Como antes, I1 =

0 − 2VC 2   = − mA . 3 3

Aplicamos la ley de nodos en el subcircuito de la izquierda:

0.5I1 + I X = I test =

Vtest R eq

⎛  2 ⎞ V − 0 = Vtest 0.5⎜ − ⎟ + test 2 R eq   ⎝  3 ⎠ 1 ⎛  2 ⎞ 1 1 ⎜− ⎟ + = 2 ⎝  3 ⎠ 2 R eq R eq = 6k Ω = 6000Ω

 

Itest 

150 Problemas de Teoría de Circuitos

74 

 

Sustituimos los valores de VCfinal, VCinicial y R eq eq en la expresión de la tensión en el condensador: VC ( t ) = −10 + (0 − (− 10)) ⋅ e − t / 6000 ; τ = R eq ·C = 6000·1 = 6000 VC ( t ) = −10 ⋅ (1 − e − t / 6000 ) V

 

Con R 2 = 2k Ω, el condensador tardará en alcanzar la tensión de -1V un tiempo algo menor: VC ( t ) = −10 ⋅ (1 − e− t / 1500 )

− 1 = −10 ⋅ (1 − e − t / 1500 )   M

t = 632s  

 

150 Problemas de Teoría de Circuitos

75 

 

Septiembre 2002 PROBLEMA 29: En el circuito siguiente, el valor de la tensión en los extremos de la resistencia R4 y la potencia •  Calculad que consume. •  Si se sustituye la resistencia R4 por una capacidad, hallad la tensión final que alcanzará este elemento. ¿Cuál ha de ser el valor de la capacidad para que alcance en sus extremos una tensión de 1V en 2 segundos? (Suponed que la capacidad se halla inicialmente descargada, VC(0) = 0) V1  - +

2mA

10 V

R 3 

I1 

5k Ω  5k Ω 

R 1 

5k Ω 

R 2 

+ 10k Ω  R 4  VO - 

SOLUCIÓN 29:

•  Calculad el valor de la tensión en los extremos de la resistencia R4 y la potencia que consume. SOLUCION A: Un posible solución consiste en resolver el circuito mediante el análisis de nodos: V1   Nodo Vx: - + 0 − VX 10 V i1 = i 2 + 2 →   = i2 + 2   5 i2  VX 

2mA

I1 

VY 

i3 

VZ 

R 3  5k Ω 

5k Ω 

R 1 

5k Ω 

i1  i4 

R 2 

+

i5 

 Nodo VY: 2 = i 4 + i3 → 2 =

10k Ω  R 4  VO - 

 Nodo VZ: i2 + i3 = i5 → i2 + Además se cumple:

 

VY − 0 VY − VZ +   5 5

VY − VZ VZ − 0   = 5 10 VZ – VX = 10

150 Problemas de Teoría de Circuitos

76 

 

La tensión que se nos pide es Vo, denominada VZ en el sistema de ecuaciones anterior, que si resolvemos correctamente da como resultado VZ = 2.5V. Por tanto:

Vo = 2.5V  y la corriente por la resistencia valdrá 0.25 mA, por lo que la potencia consumida será:

P = V*I = 2.5 * 0.25 = 0.625 mW. 

SOLUCIÓN B: También es posible hallar la tensión Vo utilizando el teorema de Thevenin. Vamos a calcular el equivalente Thevenin del circuito visto desde los terminales de la resistencia R 4: V1  - +

2mA

10 V

R 3 

I1 

5k Ω  5k Ω 

5k Ω 

R 1 

A

R 2 

B Cálculo de R tthh: Anulamos las fuentes independientes (sustituyendo la fuente de corriente por un circuito abierto y la fuente de tensión por un cortocircuito) y el circuito resistivo que queda es el siguiente: R thth= R 1 // (R 3 + R 2) = 5 // 10 = =3.3k Ω 

R 3  5k Ω  5k Ω 

R 1 

5k Ω 

A

R 2 

B

 

5·10 10 = 5 + 10 3

150 Problemas de Teoría de Circuitos

77 

 

Cálculo de Vth:

 Nodo Vx:

V1  - +

i1 = i 2 + 2 →  

10 V

i2  VX 

3    iR  3

I1  VY 

2mA

VZ 

5k Ω  5k Ω 

5k Ω 

R 1 

A

0 − VX = i2 + 2   5

 Nodo VY: V − 0 VY − VZ 2 = i 4 + i3 → 2 = Y +   5 5

R 2 

i1  i4 

B

 Nodo VZ: i 2 + i3 = 0 →   i 2 + Además se cumple:

VY − VZ = 0  5

VZ – VX = 10

Si resolvemos correctamente el sistema de ecuaciones anterior, se obtiene VZ = 3.3V. Por tanto Vth = 3.3V.  Conocido el equivalente completo se puede obtener el dato pedido: Con la resistencia de 10k Ω:

3.3k Ω 

+ - 

I = 3.3V/13.3k Ω = 0.25mA 3.3V

10k Ω 

Vo = I · 10k Ω = 2.5V  P = V*I = 2.5 * 0.25 = 0.625 mW 

•  Si se sustituye la resistencia R4 por una capacidad, hallad la tensión final que alcanzará este elemento. ¿Cuál ha de ser el valor de la capacidad para que alcance enque suslaextremos unasetensión de 1V en 2 segundos? (Suponed capacidad halla inicialmente descargada, VC(0) = 0) Utilizando el equivalente Thevenin calculado en el apartado anterior, vemos que la tensión final alcanzada por el condensador será la tensión de Thevenin de 3.3V. La expresión del transitorio de la tensión en el condensador será : VC ( t ) = VCfinal + (VCinicial − VCfinal ) ⋅ e− t / τ ; τ = R eq ·C = 3333C VC ( t ) = 3.3 + (0 − 3.3) ⋅ e

− t / 3333C

= 3.3·(1 − ⋅e

− t / 3333C

)

 

Si queremos que el condensador alcance una tensión de 1V en 2 segundos, sustituimos estos valores en la expresión de la tensión en el condensad condensador: or: VC ( t ) = 3.3·( 1  − ⋅e −2 / 3333C ) = 1 →   

C=0.0017F=1.7mF

150 Problemas de Teoría de Circuitos

78 

 

Diciembre 2002 PROBLEMA 30:

En el circuito siguiente, t = 3s 200μF •  C V2  R 2  R 1  R 4  C1  a - +  l 3k Ω  3k Ω  2k Ω  + 24V K2 V3  + c V1  R 3  V (t)  _ t=0 2000 iA  0   iA  u 6V 6k Ω  K1 l a d el valor de la tensión t ensión V0(t), sabiendo que el interruptor K1 se cierra en t = 0 y el interruptor K2 se abre en t = 3s. •  Dibujad la gráfica de la tensión V0(t). +

SOLUCIÓN 30: Se trata de un circuito RC de primer pri mer orden. Intervalos de tiempo a estudiar: t < 0 → K1 abierto y K2 cerrado

1er  Transitorio

0 ≤ t < 3 → K1 cerrado y K2 cerrado 3 ≤ t < ∞ → K1 cerrado y K2 abierto

2º Transitorio

1er  Transitorio: Cambio en t = 0, interruptor K1 se cierra. Hallaremos primero la tensión VC en extremos del C, y luego obtendremos la tensión V0(t). VC (t) = VCfinal + (V Cinicial - VCfinal )e-t/τ τ  ; τ  =R eeqq·C

 

150 Problemas de Teoría de Circuitos

79 

 

Circuito para t=0, a partir del circuito para t > 0 y el dato de la tensión en el condensador : V0(t) es la tensión del divisor de tensión: V0 ( t ) = VC ( t )· y obviamente: I0 (t ) =

48 = ... = 60e − 25 t V   32 + 48

V0 ( t ) = ... = e − 25 t mA   60

Por tanto, los valores de V0(t) e I0(t) para todo el intervalo temporal son:

⎧0 t < 0 V0 = ⎨ − 25t ⎩60e V t ≥ 0

⎧0 t < 0 I 0 = ⎨ −25t   ≥ e mA t 0 ⎩

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

91 

 

Para realizar la representación gráfica, se detalla el resultado anterior: 

⎧0 t < 0 ⎪60V t = 0+ ⎪ V0 = ⎨ − 25 t ⎪60e V t > 0 ⎪⎩0 t → ∞

⎧0 t < 0 ⎪1mA t = 0+ ⎪ I0 = ⎨ − 25t   > e mA t 0 ⎪ ⎪⎩0 t → ∞

En los gráficos siguientes es posible apreciar el cambio brusco de corriente y tensión que se produce en t=0.

I0(mA)

1

t (s)

V0(V)

60

t (s)

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

92 

 

Septiembre 2003 PROBLEMA 33: En el circuito de la figura se desconocen los valores de R 1, R 2, Vg y C. Inicialmente los interruptores S1interruptor   y S2 se encuentran abiertos. EnSt1.= 0 se cierra S 1. Al cabo de 40 segundos se cierra el S2 y se abre de nuevo Se pide obtener razonadamente razonadamente los mencio mencionados nados va valores lores a partir partir de la curva de comportamiento de la tensión en extremos del condensado condensadorr descrita en la figura. S1  3k Ω 

S2 

1k Ω 

R 2 

+ 12mA

C 1k Ω 

R 1 

Vc -

+

 

-

Vg 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

93 

 

SOLUCIÓN 33:

En el gráfico se aprecian los dos transitorios que ocurren en el circuito durante el intervalo de tiempo considerado: durante el primer transitorio el condensador se carga  pasando a valer valer su tensión de 0 a 6V, y en el segundo transitorio transitorio se descarga hasta 2V. 1º transitorio: carga del C de 0 a 6V (S1  se cierra en t = 0, t∈[0 ,40s]) Del gráfico se deduce que VCinicial = 0 y VCfinal = 6V, y con el dato del valor de VCfinal se calcula el valor de R 1. 3k Ω 

S1 

1k Ω 

+ C

12mA

1k Ω 

R 1 

Vc -

Se simplifica el circuito anterior hallando el circuito equivalente Thévenin entre los terminales de R 1. La R TTHH es igual al equivalente serie de las dos resistencias de 1k Ω, es decir, R TH TH = 2 k Ω. Y VTH se obtiene fácilmente utilizando la ley de Ohm sobre una de las resistencias de 1k Ω, siendo VTH = 12V. De forma que el circuito anterior se reduce a: 2k Ω 

VCfinal  S1  + C

+

 

12V

-

Vc

R 1 

Sabiendo queVCfinal = 6V, se obtiene R 1  R  VCfinal = 12 1 → R 1 = 2k Ω  2 + R 1

-

El valor de la capacidad del condensador se obtiene a partir del dato de la constante de tiempo del transitorio ( τ =RC) que se deduce a su vez del gráfico: el valor de τ es el instante en que la pendiente en el origen corta a la asíntota del valor final de la tensión, luego τ = 8s. S1 

2k Ω 

1k Ω  + C

+

 

-

12V 2k Ω 

R 1 

Vc

S1  +

2k paralelo 2k = 1k

C +

 

12V

Vc

-

-

-

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

94 

 

τ = RC = 8s   →  C = 8mF τ = 1·103 ·C = 8 2º transitorio: descarga del C de 6 a 2V (S ( S1  se aabre bre y S2 se cierra en t = 40, t∈[40 ,∞]) S2 

Del gráfico se deduce que VCfinal = 2V, por tanto R 2 

Vg = VCfinal = 2V

+ C Vc -

+

 

Vg 

-

El valor de τ para este transitorio es también el instante en que la pendiente en el origen corta a la asíntota del del valor final de la tensión tensión,, luego para este 2º transitorio transitorio τ = 8s. (en el gráfico 48s, pero como el intervalo considerado comienza en 40s, 48-40 = 8s) y con el dato de τ = 8s se halla el valor de R 2:

τ = R 2 C = 8s   τ = R 2 ·8·10 −3 = 8 → 

R 2 = 1k Ω 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

95 

 

Diciembre 2003 PROBLEMA 34:

En el circuitopor de fuentes la figura,que lasno corrientes en lasyinductancias L 1y de L2 han establecidas apareceniniciales en la figura tienen un valor 8Aysido 4A respectivamente. El interruptor se abre en el instante t = 0, anteriormente a ese instante lleva cerrado mucho tiempo. •  Encontrad i1(t), i2(t) e i3(t) para t≥0. R 2 

L1  i1(0-) = 8A

i1 

L2 

i2  t = 0 R 1 

R 3 

i3 

R 4 

i2(0-) = 4A

Datos: R 1=40Ω  R 2=4Ω 

L1=5H L2=20H

R 3=15Ω  R 4=10Ω 

SOLUCIÓN 34:

La clave para encontrar las corrientes i1(t), i2(t) e i3(t) es conocer el voltaje v(t). R 2 

L1  i1(0-) = 8A

i1 

L2 

i2  t = 0

+ v(t)

R 1 

R 3 

i3 

R 4 

-

i2(0-) = 4A

Este voltaje se puede determinar fácilmente si se reduce el circuito anterior al equivalente siguiente: + i 12A 

4H

v(t)

8Ω 

- 

donde las inductancias en paralelo se han simplificado a una inductancia equivalente de 4H con una corriente inicial de 12A, y el conjunto de resistencias se reduce a una sola

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

96 

 

resistencia de 8Ω. Así el valor inicial de i(t) es de 12A, y la constante de tiempo es L 4 τ= = = 0.5s . R eq 8 Por lo tanto: i( t ) = i final + (i inicial − i final ) ⋅ e − t / τ ;   i( t ) = 0 + (12 − 0) ⋅  e − t / 0.5 = 12·e −2 t A; t ≥ 0   Ahora v(t) no es más que el producto 8·i(t): v( t ) = 8·i( t ) = 8·12·e −2 t = 96·e −2 t V; t ≥ 0 +   En el circuito se aprecia que v(t) = 0 en t = 0 - (debido al cortocircuito que forma el interruptor al estar cerrado), de manera que la expresión para v(t) es válida para t ≥ 0+. Con el dato de v(t) ya se pueden obtener las corrientes i1(t), i2(t) e i3(t): 1t i1 = 96e − 2 x dx − 8 = 1.6 − 9.6e −2 t A t ≥ 0; 50

∫

t i 2 = 1 96e −2 x dx − 4 = −1.6 − 2.4e −2 t A t ≥ 0;   20 0 v( t ) 6 i3 = = 5.76e −2 t A t ≥ 0 + ; 10 10

∫

Las expresiones para las corrientes i1(t) e i2(t) son válidas para t ≥ 0, mientras que la expresión para la corriente i3(t) es sólo válida para t ≥ 0+.

i1(t) = 1.6-9.6e-2tA i2(t) = -1.6-2.4e-2tA i3(t) = 5.76e-2tA 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

97 

 

Febrero 2004 PROBLEMA 35: En el circuito de la figura, el interruptor ha estado en la posición 1 durante mucho tiempo y, tensión en el instante = 0, cambia a la posición 2, calculad: •  la inicialten el se condensador •  la tensión final en el condensador constante de tiempo para t>0 •  la constante •  el tiempo que debe transcurrir para que el voltaje del condensador caiga a cero después de cambiar el interruptor a la posición 2.

3.5k Ω 

1.25k Ω  2

1 +

 

60V

-

0.05μF 11.5k Ω 

6.75k Ω 

8mA

SOLUCIÓN 35:

El circuito anterior es un circuito de primer orden, VC ( t ) = VCfinal + (VCinicial   − VCfinal ) ⋅ e − t / τ ; τ = R eq ·C   Circuito para t < 0: Puesto que C en DC es un abierto , utilizando utili zando la expresión del divisor de tensión se obtiene VCinicial. 3.5k Ω 

11.5 VCinicial = 60   = 46V   11.5 + 3.5

VCinicial  1 +

 

-

60V

0.05μF 11.5k Ω 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

98 

 

Circuito para t > 0: 1.25k Ω 

VCfinal se obtiene utilizando la ley de Ohm sobre la resistencia de 6.75k, 

VCfinal 

0 - VCfinal = 8 · 6.75 0.05μF

8mA 6.75k Ω 

VCfinal = -54V

Y la R e : R eq eq = 1.25 + 6.75 = 8k Ω  Por tanto, la constante de tiempo:

τ = R eq eq·C = 400 μs

Con todos los datos calculados ya es posible obtener la expresión de VC(t): VC ( t ) = VCfinal + (VCinicial − VCfinal ) ⋅ e − t / τ ; τ = R eq ·C VC ( t ) = −54 + 100 ⋅ e −2500 t V

 

Para hallar el tiempo pedido, se despeja t de la siguiente expresión: 0 = −54 + 100 ⋅ e −2500t V  

t = 246μs

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

99 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

TEMA TE MA 3:  ANÁ  A NÁL L ISIS EN REGIMEN ESTACIONARIO SENOIDAL

100 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

101 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

102 

 

Febrero 1999 PROBLEMA 36:

En el circuito de laque figura se representa conectada a tres cargas. Los datos conocemos son: una fuente de tensión senoidal conectada •  Frecuencia de la fuente de tensión: f = 50Hz •  Intensidad suministrada por la fuente: I = 5A eficaces •  Potencia en la resistencia R 1: P1 = 80W •  Potencia en la impedancia Z2: S2 = 75VA, factor de potencia = 0,8 inductivo •  Impedancia Z3: Z3 = 4 + j10 Ω  I R 1 

Z2  

+

 

-

Se pide: •  Valor del condensador que, conectado en paralelo con las tres cargas, haga que el factor de potencia total aumente hasta ser igual a 0,9 inductivo. •  Valor de la intensidad que suministra la fuente en esas condiciones.

SOLUCIÓN 36: SOLUCIÓN A: Calculamos las potencias activa y reactiva consumidas por el conjunto de las tres cargas: R 1: P = 80W Q=0 Z1: P = S*cosϕ = 75VA*0,8 75VA*0,8 = 60W 60W S2 = P2+Q2; Q = √(752-602) = 45VAR Z2: P = I2*R = 52*4 = 100W Q = I2*Z = 52*10 = 250VAR Las potencias activa y reactiva totales serán: Ptotal = 80 + 60 + 100 = 240W Qtotal = 45 + 250 = 295VAR

Q = 295VAR

P = 240W

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

103 

 

La potencia aparente será, por tanto, S = √(P2+Q2) = √(2402+2952) = 380,3VA Y la tensión de la red se puede obtener de S = U*I; U = S/I = 380,3/5 = 76V (eficaces)  Nos interesa reducir reducir la potencia reactiva absorbida has hasta ta hacer que el fa factor ctor de potencia tenga un valor de 0,9 inductivo: Qc

ϕ = arccos(0.9) = 25,8º (295VAR-Qc) = 240W*tg(25,8) = 116VAR

295VAR - Qc

ϕ 

Qc = 295VAR – 116VAR = 179VAR

P = 240W Una vez conocido Qc podemos determinar el valor del condensador: Qc = V2*ωC = V2*2πfC; 179VAR = 762*2π*50Hz*C; C = 99μF   Y el valor de la nueva intensidad se obtiene de S = U*I donde S = √(2402+1162) = 266,6VA I = S/U = 266,6/76; I = 3,5A (eficaces)   SOLUCIÓN B: El problema también se puede solucionar obteniendo la impedancia equivalente R EEQQ = R 1+Z2+Z3: Las fórmulas que emplearemos serán:

P = I2*R

R 1:

R 1 = P1/I2 = 80/52 =3,2Ω  X1 = 0

Z2:

R 2 = P2/I2 = 75*0,8/52 = 60/52 = 2,4Ω  X2 = Q2/I2 = √(S22-P22)/I2 = √(752-602)/52 = 1,8Ω 

Z3:

R 3 = 4Ω  X3 = 10Ω 

Q = I2*X

R EEQQ = 3,2 + 2,4 + 4 = 9,6 Ω  XEQ = 1,8 + 10 = 11,8Ω  ZEQ = 9,6 + 11,8j Ω 

Por tanto

Ahora podemos hallar la tensión de la red como ⏐V ⏐= ⏐I⏐*⏐Z⏐: 2

2

V = 5*√(9,6 +11,8 ) = 5*15,2 = 76V (eficaces)

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

104 

 

 Nos interesa que el paralelo entre la im impedancia pedancia equivalente equivalente obtenida an antes tes y el condensador produzca un factor de potencia de 0,9 inductivo. Esto es, el ángulo de la impedancia debe ser arccos(0,9). Llamaremos XC a la reactancia del condensado condensador: r:

ZC = -jXC 

ZTOT = (ZEQ*ZC)/(ZEQ+ZC) = (9,6 + 11,8j)(-XC j) / (9,6 + (11,8-XC)j) ZTOT = (-9,6XC j + 11,8XC) / (9,6 + (11,8-XC)j) Se multiplican numerador y denominador por el conjugado del denominador: ZTOT = (-9,6XC j + 11,8XC)*(9,6 - (11,8-XC)j) / (9,62 + (11,8-XC)2) ... operando y agrupando términos queda ZTOT = (9,6XC2 + (11,8XC2-231XC)j) / (9,62 + (11,8-XC)2) Debemos hacer que el ángulo de la impedancia sea arccos(0,9) = 25,8º

2

0,48; (11,8XC –231) /9,6XC = 0,48;

XC = 32,1Ω   Una vez conocido XC, se obtiene C a partir de: C = 1/XC*2π*50 = 1/32,1*100π 

XC = 1/ϖC = 1/2πfC

C = 99μF

Sólo resta obtener la intensidad que recorre la red en esta situación Usaremos la misma fórmula vista anteriormente: ⏐V ⏐= ⏐I⏐*⏐Z⏐; ⏐I ⏐= ⏐V⏐/⏐Z⏐  Sustituyendo el valor obtenido para X C en la ecuación de ZTOT: ZTOT = (9,6XC2 + (11,8XC2-231XC)j) / (9,62 + (11,8-XC)2) = 19,6 + 9,4j I = 76 / √(19,62+9,42) = 76 /21,7

X

25.8º R

Im(ZTOT) / Re(ZTOT) = tg(25,8º) = 0,48 2 C  = ) / 9,6X (11,8XCC –-231X 11,8X 231 =C4,6X C;

Z

I = 3,5A (eficaces)

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

105 

 

Junio 1999 PROBLEMA 37: Una instalación conectada a la red eléctrica puede representarse mediante la impedancia Z, de la que conocemos los siguientes datos:   Potencia consumida: ••  Factor de potencia:

P = 820 KW fp = 0.8 (inductivo)

INSTALACIÓN RED ELÉCTRICA 

Z

Suponiendo que la red eléctrica suministra una tensión de 380V eficaces a 50Hz, se  pide:

•  Calcular el valor eficaz de la intensidad I  solicitada a la red eléctrica por la instalación. •  Para aumentar el factor de potencia de la instalación, se conecta un condensador en paralelo con Z. Calcular el valor que debería tener dicho condensador para elevar el factor de potencia a 0.95 inductivo. •  Una vez añadido el condensador, calcular de nuevo el valor eficaz de la intensidad solicitada a la red eléctrica por la instalación y determinar el  porcentaje de ahorro ahorro en intensidad logrado.

SOLUCIÓN 37: Cálculo de la intensidad: P = S*fp;

S = 820KW/.8 = 1025 KVA

S = Vef*Ief; Ief = S/Vef = 1025/380 = 2697A = 2,697KA 

Ajuste del factor de potencia:

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

106 

 

Se añade un condensador en paralelo para reducir la l a potencia reactiva manteniendo invariable la potencia real. Los triángulos de potencias antes y después de añadir el condensador ayudan a ver cuál es la potencia reactiva que debe aportar el condensador (Qc) S = √(P2+Q2);

Q = √(S2-P2) = √(10252-8202) = 615KVAR QC  615KVAR

cos(φ) =0.8 820KW

cos(φ) =0.95

615KVAR - QC 

820KW

Gráficamente:

φ = arccos(0.95) = 118.195º; 8.195º; tg(18.195) =0.329 = (6 (615K-Qc)/820K 15K-Qc)/820K Qc = 615K - 0.329*820K = 345.5KVAR El valor del condensador se obtiene obtiene a partir de la fórmula: Qc = Vef 2/Xc = Vef 2*ωC

ω = 2πf = 100π rad/s C = Qc/( Vef 2*ω) = 345.5K/(3802*100π) = 7.61mF   Nuevo valor para la intensidad: S = √(P2+Q2) = √(820K 2+(615K-345.5K)2) = 863 KVA S = Vef*Ief; Ief  =  = S/Vef = 863/380 = 2271A = 2,271KA  El porcentaje de ahorro es, por tanto:

(2697-2271)/2697 (2697-2271)/2697*100 *100 = 15.8% 

 NOTA: el problema también también puede ser resuelto resuelto planteando triángulos de impedancias impedancias en lugar de triángulos tri ángulos de potencias.

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

107 

 

Septiembre 1999 PROBLEMA 38: El esquema muestra una fábrica conectada a la red eléctrica. El consumo eléctrico total de la fábrica representa como unason: resistencia de calefacción en paralelo con un motor eléctrico. Lossedatos que conocemos •  Tensión de la red: 380V eficaces •  Potencia consumida por la resistencia: 300KW •  Potencia consumida por el motor: 200KW (factor de potencia = 0.8 iinductivo) nductivo)

I 380Vef +

 

-

RED ELÉCTRICA

R calefacción calefacción 

Zmotor 

FÁBRICA

Se pide: •  Calcular las potencias real, reactiva y aparente tanto en la resistencia como en el motor. Indicar unidades. •  Calcular el factor de carga de la fábrica en conjunto (resistencia + motor). •  Determinar el valor de R y el valor complejo de Z, especificando las unidades. •  Calcular la intensidad I que consume la fábrica. •  Si eliminamos la resistencia de calefacción, ¿qué efecto se producirá sobre las  potencias activa y reactiva consu consumidas midas por el motor? Justificar

SOLUCIÓN 38:

Resistencia: sólo consume potencia real:

P = 300KW  Q = 0VAR   ⏐S⏐ = 300KVA 

Motor: consume potencia real y reactiva:

P = 200KW ⏐S⏐ = P/cosϕ = 250KVA  Q = √(S2-P2) = 150KVAR  

Para obtener el factor de carga del conjunto, sumamos potencias reales y reactivas:

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

Ptot = 200+300 = 500KW Qtot = 0+120 = 150KVAR tgϕ = Q/P ⇒ ϕ = 16.7º cosϕ = 0.96 Valor de R: a partir de la tensión y la potencia consumida: P = Vef 2/R

⇒ 

R = 0.48Ω 

Valor de Z: a partir de la tensión y las potencias:

⏐S⏐=Vef 2/⏐Z⏐  ∠Z = ∠S ⇒ 

⇒  ⏐Z⏐ = 0.58Ω  ∠Z = arccos(0.8) = 36.87º

Z = 0.58∠36.87ºΩ = 0.46+j0.35Ω  Intensidad consumida por la fábrica: a partir de la potencia aparente total:

⏐Stot⏐=√(Ptot2+Qtot2) = 522KVA  = 1.37KA   ⏐Stot⏐=Vef Ief   ⇒  Ief  = Si se elimina la l a resistencia de calefacción, no se producirá ningún efecto sobre las  potencias real y reactiva reactiva consumidas consumidas por el motor, da dado do que seguirá conectado a la misma tensión (380Vef )

108 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

109 

 

Diciembre 1999 PROBLEMA 39: La figura representa un motor eléctrico conectado a una fuente de tensión alterna. R LÍNEA LÍNEA 

+

 

-

IEF 

220VEF (50Hz)

ZMOTOR  

MOTOR

FUENTE

En estas condiciones, la potencia disipada en la línea de transmisión es de 250W, y la  potencia real absorbida absorbida por el motor es de 5KW con fac factor tor de potencia = 0.8 inductivo. Se pide:   Intensidad eficaz IEF por la línea  = R MOTOR   + jXMOTOR     Valor de la impedancia del motor ZMOTOR  = MOTOR  +  

Se coloca un condensador de 250μF en paralelo con el motor. En estas nuevas condiciones, se pide:   Factor de potencia del conjunto motor + condensador   Intensidad eficaz IEF por la línea 



SOLUCIÓN 39:

En el motor:

P = 5KW P 5 ⋅ 10 3 | S |= = = 6,25KVA cos ϕ 0.8 Q =| S | ⋅senϕ = 6,25 ⋅ 10 3 ⋅ sen(arccos(0.8)) = 3,75KVAR 

En el conjunto motor + resistencia de línea: | S |= P 2 + Q 2 = (5 ⋅ 10 3 + 250) 2 + 3,75 2 = 6,45KVA Por tanto, la intensidad i ntensidad pedida será:

I EF

| S | 6,45 ⋅ 10 3 = =  = 29,32A VEF 220

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

110 

 

y la impedancia del motor: P 5 ⋅ 10 3 R  = 2 = = 5,82Ω I EF 29,32 2 X=

Q 2 EF

=

3,75 ⋅ 10 3 2

= 4,36Ω

I 29,32 Z = 5,82   + j4,36Ω

Si se añade un condensado condensadorr de 250 μF en paralelo, la impedancia equivalente será: 1 1 Z COND = = = −12,73 j  jωC  j ⋅ 100π ⋅ 250 ⋅ 10 −6 ⋅Z Z (5,82 +  j4,36) ⋅ (− 12,73 j) Z EQ = MOTOR  COND = = 9,07 + 0.32 j = 9,08 ⋅ e 0,035 j Z MOTOR  + Z COND 5,82 − 8,37 j Por tanto, el factor de potencia pedido es:

fp = cos(0,035) = 0,99 

Para calcular la impedancia total necesitamos conoc conocer er la rresistencia esistencia de la línea: P 250 = = 0,29Ω R LINEA = LINEA I 2EF 29,32 2 Z TOTAL = R LINEA + Z MOTOR + COND = 0,29 + 9,07 + 0.32    j = 9,36 + 0,32 j = 9,37 ⋅ e −0,034 j La intensidad en esta nueva situación se puede calcular como:

I EF =

VEF 220  = = 23.48A | Z | 9,37

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

111 

 

Febrero 2000 PROBLEMA 40: El esquema representa un motor eléctrico y una carga resistiva conectados a una red de 220V eficaces a 50 Hz. Se conocen los siguientes datos: iT  + iR   iM  Motor: potencia aparente: S = 4KVA 220Vef factor de potencia: cos(ϕ) = 0.6 R M (50Hz) R: potencia media: P = 2KW  _

Se pide: •  Calcular la intensidad en el motor (i M), en la resistencia (iR ) y total (iT); todas ellas en módulo. •  Calcular el valor del condensador que sería necesario conectar en paralelo con las cargas para lograr subir el factor de potencia del conjunto hasta 0.98 inductivo. •  Con el condensador conectado, volver a calcular las intensidades del primer apartado. •  Justificar el cambio en la intensidad total.

SOLUCIÓN 40: En primer lugar calculamos potencias real, reactiva y aparente para cada elemento y  para el conjunto: Resistencia: PR  = 2KW QR  =  = 0 SR  = 2KVA

Motor PM = SM⋅cos(ϕ) = 2.4KW QM = √(SM2-PM2) = 3.2KVAR SM = 4KVA

Total PT = PR +P +PM = 4.4KW QT = QR +Q +QM = 3.2KVAR ST = √(PT2+QT2) = 5,44KVA

Con estos datos hallamos las intensidades: S i R  =   R  = 9.1A V

S i M =   M = 18.2A V

S i T =   T = 24.7A V

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

112 

 

Para el cálculo del condensador necesario se plantean los triángulos de potencias sin y con condensador:

ϕFIN 

QINI = 3.2KVAR

ϕINI 

QFIN 

PFIN = 4.4KW

PINI = 4.4KW

ϕFIN = acos(.98) = 0.2rad QFIN = 4400⋅tg(ϕFIN) = 893VAR

Por tanto el condensado condensadorr debe aportar:

QC = 893 - 3200 = - 2307VAR

QC = -V2⋅ω⋅C ⇒

Y su valor debe ser:

C = 152μF 

 

La única intensidad que varía es la total: 2

2

i T = S T = PT  + Q T = 4490 = 20.4A V V 220 La reducción de la intensidad total se debe a la reducción de potencia reactiva consumida por el circuito.

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

113 

 

Junio 2000 PROBLEMA 41: El siguiente circuito representa un conjunto de cargas conectadas a una red de 220V eficaces a 50Hz:

i

A Z2 

+

 

-

220Vef 50Hz

•  Z1 = 30 + 40j •  Z2: consume 2 KW con f.p.= 0.8

Z1 

R

Los datos que se conocen para cada una de las cargas son los siguientes:

inductivo •  R: consume 1 KW •  L: consume 0.5 KVAR

L B

Se pide:

•  •  •  • 

Potencias activa, reactiva y aparente consumidas por cada una de las cargas Factor de potencia del conjunto de cargas Intensidad i solicitada a la red (valor eficaz) Valor del condensador a colocar entre los terminales A y B para reducir esa intensidad un 10% •   Nuevo factor de potencia potencia para el conjunto conjunto de las ccargas argas (incluyendo el condensador)

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

114 

 

SOLUCIÓN 41: Potencias en cada una de las cargas:

 Z 1

=

Im eda danc ncia ia = 30 2 + 40 2 = 50Ω

 R 2 + X 2

220  I  Z 1 = = = 4.4 Aef   Z  50 V 

S  Z 1 = I   Z  = 4.4

⋅ 50 = 968VA P Z 1 = I 2 R = 4.4 2 ⋅ 30 = 581W  Q Z 1 = I 2 X  = 4.4 2 ⋅ 40 = 774VAR 2

2

Impedancia PZ 2 = 2000 W P 2000 S Z2 = = = 2500VA f  p . . 0.8 Q Z 2 = S 2 − P 2 = 1500VAR 

Resistencia R

Bobina L

PR  ==1000 Q 0 W R  S R  = 1000VA

P L = 0 Q L = 500VAR S  L

= 500VA

Factor de potencia del conjunto: a partir de la suma de potencias PTOT = 581 + 2000 + 1000 = 3581W Q TOT = 774 + 1500 + 500 = 2774VAR  S TOT = P 2 + Q 2 = 4530VA

f.p. =  P = 0.79 inductivo   S Intensidad solicitada a la red:

I=

S 4530 =  = 20.6A ef  V 220

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

Condensador para reducir reducir la intensidad un 10%: se calcula la Q que debe aportar el condensador I nueva = 18.54A ef  =

S nueva V

→ Snueva = 4079VA

Q nueva = S 2nueva − P 2 = 1953VAR  Q cond = Q nueva − Q = −821VAR  V2 C = 54μF = − V 2 ωC → Q cond = X  Nuevo factor de potencia potencia del conju conjunto: nto: a  a partir del total de potencias P 3581 f.p. =  = = 0.88 inductivo Snueva 4079

115 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

116 

 

Septiembre 2000 PROBLEMA 42: A una red de 250V eficaces a 50 Hz se conectan en paralelo las siguientes cargas:

•  Una resistencia de calefacción R C que consume una potencia de 1KW •  Un motor eléctrico ZM que consume una potencia aparente de 3KVA con un factor de potencia inductivo cos(ϕ)=0.8 •  Un equipo electrónico que representa una carga ZE = 40 + j30 Ω  + 250Vef (50Hz)

R C 

ZM 

ZE 

Se pide: •  Calcular las potencias real, reactiva y aparente en cada una de las tres cargas y en total •  Calcular el factor de potencia del conjunto de las tres cargas •  Valor del condensador que debería colocarse en paralelo para conseguir un factor de potencia total de 0.95 inductivo

SOLUCIÓN 42: Potencias en cada una de las cargas: R C : P = 1KW

Q =0

S = 1KVA

Z M : S = 3KVA P = S ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ 0.8 = 2.4KW V 250 = = 5A EF ZE : I = 2 2 Z 40 + 30 S = I 2 ⋅ Z = 1.25KVA P = I 2 ⋅ R  = 1KW  

Q = S 2 − P 2 = 1.8KVAR 

Q = I 2 ⋅ X = 750VAR 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

117 

 

La suma total de potencias será: PTOT = 1KW + 2.4KW + 1KW = 4.4KW Q TOT = 0 + 1.8KVAR + 750VAR = 2.55KVAR   S

TOT

2 TOT

= P

+Q

2 TOT

= 5.08KVA QCOND 

S

S

Q

cosϕ=0.86

cosϕ=0.95

 

QNUEVA

P

P

El factor de potencia del conjunto será: P f.p. = TOT = 0.86 inductivo ( porque Q > 0)   S TOT Para llevar el factor de potencia a 0.95 inductivo será necesario aportar Q: Q NUEVA = P ⋅ tg (a cos(0.95)) = 1.45KVAR    Q NUEVA = Q + Q COND → Q COND = Q NUEVA − Q = 1.45 − 2.55 = −1.1KVAR  El condensador capaz de aportar esa potencia será:

Q COND

Q V2 V2 1100 = = → C = − COND = −1 X V 2 ω 250 2 ⋅ 100π ωC

C = 56μF

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

118 

 

Diciembre 2000 PROBLEMA 43:

Sea una instalación conectada a una red de 220V eficaces a 50Hz, que consume 15A 15A ef 220V ef (50 Hz)

+

 

R

-

Z

INSTALACIÓN

eficaces: Se pide:

•  Potencias real, reactiva y aparente en las cargas R y Z (especificar unidades). •  Condensador que sería necesario conectar en paralelo con las cargas para llevar el factor de potencia de la instalación a 0.97 inductivo. •  Intensidad consumida por la instalación una vez conectado el condensador. Dato: la carga Z consume una potencia de 2KW con factor de potencia 0.8 inductivo.

SOLUCIÓN 43:

Potencias en la carga Z: PZ =2KW P P S Z = Z = Z = 2.5KVA   cos ϕ 0.8 Q Z = S 2Z − PZ2 = 1.5KVAR  Potencia aparente ofrecida por la fuente: S F = VEF ⋅ I EF  = 220 ⋅ 15 = 3.3KVA   Potencias en la carga R: Q = 0 y P se obtiene del balance de potencias:

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

119 

 

S F = S CARGA = (PR  + PZ ) 2 + (Q R  + Q Z ) 2 3300 = (PR  + 2000) 2 + (0 + 1500) 2 Q R  = 0 S R  = 939VA

→ PR  = 939W  

Para dimensionar el condensador calculamos la potencia reactiva que debe aportar: P = 3030VA S NUEVA = 0.97 Q NUEVA = 3030 2 − 2939 2 = 737VAR    Q COND = Q NUEVA − Q = −763VAR  Q COND = −VEF2 ⋅ ω ⋅ C = −220 2 ⋅ 100 ⋅ π ⋅ C → C = 50.2μF La nueva intensidad se obtiene a partir de la potencia aparente total

I EF =

S 3030  = = 13.8A EF   VEF 220

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

120 

 

Febrero 2001 PROBLEMA 44:

La figura representa dos motores eléctricos conectados en paralelo a una red de 220V eficaces a 50Hz. Se conocen los siguientes datos: i i1  i2  + Motor 1: 220Vef •  intensidad consumida: |i1| = 40A M2  M1  (50Hz) eficaces •  factor de potencia: cosϕ1= 0.9  _ inductivo Motor 2: •  intensidad consumida: |i2| = 30A eficaces •  factor de potencia: cosϕ2= 0.8 inductivo Se •  pide: Potencias real, reactiva y aparente en cada uno de los dos motores y en total. •  Módulo de la intensidad i solicitada a la red. •  Factor de potencia total para el conjunto de los dos motores Condensadorr a colocar en paralelo con los dos motores para elevar el factor de •  Condensado  potencia del conjunto conjunto hasta 0.97 inductivo. •  Módulo de las intensidades i, i1 e i2 en esta nueva situación.

SOLUCIÓN 44:

Potencias motor 1: S1 = V ef  ⋅ i1 ef  = 220 ⋅ 40 = 8800VA P1 = S1 ⋅ cos ϕ1 = 8800 ⋅ 0.9 = 7920W   Q1 = S12 − P12 = 3836VAR  Potencias motor 2: S 2 = V ef  ⋅ i 2

= 220 ⋅ 30 = 6600VA P2 = S 2 ⋅ cos ϕ 2 = 6600 ⋅ 0.8 = 5280 W   2 2

ef 

2 2

Q = S − P = 3960VAR  2

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

121 

 

Potencias totales: PT = P1 + P2 = 13200W Q T = Q1 + Q 2 = 7796VAR    S T = PT2 + Q T2 = 15330VA Intensidad solicitada a la red: S T = V ef  ⋅ i ef  = 220 ⋅ i ef   = 15330VA → i ef  = 69.7A   Factor de potencia total: fp = cos ϕ =

PT 13200 = = 0.86 (inductivo porque QT>0) ST 15330

Condensador necesario: Conectando un condensador condensador en paralelo el funcionamiento de los motores no se verá afectado por seguir conectados a 220V. Por tanto, para los motores consideraremos las  potencias real y reactiva reactiva calculadas calculadas anteriormente y añ añadiremos adiremos la potencia reactiva cedida por el condensador: sin condensador condensador

con condensador Q=7796VAR

ϕ’

Q’=7796VAR+QC 

P’=13200W

P=13200W

Q′ = P ′ ⋅ tgϕ' = 13200 ⋅ tg(a cos(0.97)) = 3308VAR  Q C = Q′ − 7796 = −4488VAR    Q C = −V 2 ⋅ ω ⋅ C = −220 2 ⋅ 100π ⋅ C → C = 295μF Intensidades en la nueva situación: i1 e i2 no varían ya que los motores se encuentran en la misma situación anterior (conectados a 220V). Lo que sí varía es la intensidad total, que disminuye debido a la reducción de la potencia aparente: S′T = PT′ 2 + Q ′T2 = 13608VA  

′

S′T = V ef  ⋅ i ′ ef  = 220 ⋅ i

ef 

= 13608VA → i ′ ef  = 61.8A

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

122 

 

Junio 2001 PROBLEMA 45:

Del circuito de la figura se conocen los siguientes datos: •  V = 220V eficaces a 50Hz •  |i1| = 2A eficaces, i1 retrasada 10º respecto de V •  |i2| = 4A eficaces, i2 retrasada 40º respecto de V i

+ V

R 2 

R 1 

i2 

i1  L1 

L2 

 _  

Se pide: •  Determinar R 1, L1, R 2, L2  •  Calcular el condensador que sería necesario conectar en paralelo para llevar el factor de potencia del conjunto a 0.95 inductivo. •  Calcular el ahorro porcentual en la intensidad i  que se produce al conectar el mencionado condensado condensador. r.

SOLUCIÓN 45: Expresando mediante fasores los datos ofrecidos: V = 220∠0 I1 = 2∠-10 I2 = 4∠-40 Se debe cumplir: V = I1*(R1+jwL1) V = I2*(R2+jwL2) Igualando partes reales e imaginarias se obtienen los siguientes valores: R1 = 108.3Ω  R2 = 42.1Ω  L1 = 0.061H L2 = 0.11H

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

Buscamos las potencias consumidas en cada elemento: P1 = I12*R1 = 433.2W Q1 = I12*X1 = I12*jwL1 = 76.4 VAR P2 = I22*R2 = 673.6W Q2 = I22*X2 = I22*jwL2 = 564.8 VAR Las potencias totales serán: PTOT = P1+P2 = 1106.8W QTOT = Q1 + Q2 = 641.2 VAR La potencia aparente total: STOT = √(PTOT2+QTOT2) = 1279 VA Para llevar el factor de potencia del conjunto a 0.95 inductivo deberá ser: SNUEVA = PTOT/0.95 = 1165 VA QNUEVA = √(SNUEVA2-PTOT2) = 363.8 VAR Con lo que la potencia reactiva en el condensador debe ser –277.4 VAR La potencia reactiva en un condensad condensador or vale: 2 QC = -C*Vef  *w Por lo que se obtiene un valor para el condensado condensadorr de 18.24μF La intensidad consumida inicialmente será: Iini = STOT/Vef = 5.81 A La intensidad tras añadir el condensador condensador será: Inueva = SNUEVA/Vef = 5.29 A Lo que supone un ahorro porcentual del 8.9%.

123 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

124 

 

Septiembre 2001 PROBLEMA 46:

Del circuito de la figura se conocen los siguientes datos: •  Carga Z1: consume 500W con factor de potencia 0.8 inductivo. •  Carga Z2: consume 600VA con f. de potencia 0.85 inductivo. 220Vef (50Hz)

Se pide: l as cargas. •  Factor de potencia del conjunto de las •  Condensado Condensadorr a conectar en paralelo para llevar el factor de  potencia a 0.95 0.95 inductivo. •  Módulo de las intensidades i, iA e iB antes y después de conectar el condensador (expresar en valor eficaz).

i

iA 

iB 

20Ω  Z1 

+

 

-

32mH Z2 

car as

SOLUCIÓN 46: Para obtener el factor de potencia del conjunto de las cargas, se calcularán las potencias reales y reactivas en cada carga: Z1, Z2, y el conjunto R+L (de ahora en adelante lo llamaremos Z3): P Z1 : P1 = 500W; S1 = 1 = 625VA; Q1 = S12 − P12 = 375VAR  cos ϕ1 Z 2 : S 2 = 600VA; P2 = S 2 ⋅ cos ϕ 2 = 510W; Q 2 = S 22 − P22 = 316VAR  Z 3 = R +  jωL = 20 + 10 jΩ = 22,36∠0,46Ω Vef 2 = 2164VA; P3 = S3 ⋅ cos ϕ 3 = 1935W; Q 3 = S32 − P32 = 968VAR  S3 = Z 3

A partir de los datos anteriores, calculamos las potencias totales y el factor de potencia 2 Ptot = P1 + P2 + P3 = 2945W; Q tot = Q1 + Q 2 + Q 3 = 1659VAR ; S tot = Ptot2 + Q tot = 3380VA P cos ϕ tot = tot = 0,87 S tot del conjunto:

Buscamos ahora el condensador a conectar en paralelo para elevar el factor de potencia a 0,95 inductivo. Teniendo en cuenta que el condensad condensador or sólo aporta potencia reactiva, calculamos la potencia reactiva total en la nueva situación: Ptot 2945 S = = = 3100VA   ; Q = S 2 − P 2 = 968VAR  nueva nueva nueva nueva cos ϕ nuevo 0,95

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

Ahora calculamos cuál es el aporte de reactiva que debe hacer el condensado condensadorr y, por tanto, cuál debe ser el valor de ese condensador: Q nueva = Q tot + Q cond ⇒ Q cond = Q nueva − Q tot = −691VAR  Q cond = −Vef 2 ⋅ ω ⋅ C ⇒ C = 45,4μF Cálculo de las intensidades antes de conectar el condensad condensador: or: S tot = 15,36A Vef  S i A ef  = 3 = 9,83A Vef  i ef  =

(P1 + P2 )2 + (Q1 + Q 2 )2 S1+ 2 i B ef  = = = 5,56A Vef  Vef  La única intensidad que varía al conectar el condensador es la intensidad total: i nueva

ef 

= S  Vnueva = 14,09A ef 

125 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

126 

 

Diciembre 2001 PROBLEMA 47: La figura representa un conjunto de cargas conectadas a una red de 220V eficaces a 50Hz. Los datos que se conocen para cada una de las cargas se indican a continuación:

•  Carga Z1: consume 6 KW con factor de potencia 0.8 inductivo. •  Carga Z2: consume 1.4 KVA con factor de potencia 0.9 capacitivo. •  Carga Z3: Z3 = 4 + 3j K Ω  i +

a

220V ef (50 Hz)

Z1 

Z2 

Z3 

b

 _  

1:10 CONJUNTO DE CARGAS

Se pide: •  Factor de potencia del conjunto de cargas. •  Condensador a colocar entre a y b para elevar el factor de potencia del conjunto a 0.95 inductivo. condensador. •  Intensidad i pedida a la red antes y después de conectar el condensador.

SOLUCIÓN 47:

Como primer paso se refleja la carga Z3 en el primario: i

+ 220V ef (50 Hz)  _  

a Z1 

Z2 

Z’3 

b

CONJUNTO DE CARGAS

Z′3 = a 2 ⋅ Z 3 = 0.12 ⋅ Z 3 = 40 + 30 jΩ  

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

127 

 

A continuación se calculan las potencias real y reactiva en cada carga: Carga Z1: P1 = 6KW P S1 = 1 = 7.5KVA cos ϕ1

 

Q1 = S12 − P12 = 4.5KVAR  Carga Z2: S 2 = 1.4KVA P2 = S 2 ⋅ cos ϕ 2 = 1.26KW

 

Q 2 = − S 22 − P22 = −0.61KVAR  (c arg a capacitiva) Carga Z3: Z′3 = 40 2 + 30 2 = 50Ω 30 ⎞ ϕ Z = a tan⎛  ⎜ ⎟ = 36.87º ⇒ cos ϕ3 = 0.8 ⎝ 40 ⎠ 3

i3 =

V 220 = = 4.4A ef  (int ensidad en Z′3 )   Z′3 50

S3 = V ⋅ i 3 = 968VA P3 = S3 ⋅ cos ϕ3 = 774.4 Q 3 = S 32 − P32 = 580.8VAR  Para obtener el factor de potencia del conjunto se calculan las potencias totales real y reactiva: Ptot = P1 + P2 + P3 = 8034.4W Q tot = Q1 + Q 2 + Q 3 = 4470.8VAR  2   = 9194.5VA S tot = Ptot2 + Q tot P cos ϕ tot = tot = 0.874 inductivo S tot A continuación se calcula el condensador que permite obtener un factor de potencia de 0.95 teniendo en cuenta que debe aportar la potencia reactiva necesaria: S deseada =

Ptot cos ϕ deseado

=

8034 = 8457.3VA 0.95

2 − Ptot2 = 2641VAR  Q deseada = S deseada Q C = Q deseada − Q tot = −1829.8VAR 

Q C = −Vef 2 ⋅ ω ⋅ C ⇒ C = 120μF

 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

Las intensidades antes y después de colocar el condensador serán: i antes = i despues

Santes 9194.5 = = 41.79A ef  V 220   S despues 8457.3 = = = 38.44A ef  V 220

Se puede comprobar como la intensidad consumida disminuye.

128 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

129 

 

Septiembre 2002 PROBLEMA 48: En el circuito de la figura: C1 = 1F, L1 = 1H, R 1 = R 2 = R 3 = 1Ω, ω =1 rad/s, I1 (t) = 4 · cos (ω · t) Aeff , V1 (t) = 12 · cos (ω · t) Veff , I2(t) = 2·Ix(t).

•  obtened el valor de la tensión VO. •  calculad las potencias medias y reactivas de cada elemento y completad la tabla  propuesta.

P

Q

C1   L1   C1 

∼ 

I1(t)

V1(t) R 2 

R 1 

R 2  

Ix

I2(t)

L1 

R 1  

R 3 

R 3   Vo

V1   I1  I2 

SOLUCIÓN 48: Para obtener el valor de la tensión Vo vamos a resolver el circuito mediante el análisis  por mallas: C1 

i4 

∼ 

L1 

i1 

i3 

I1(t)

R 2 

R 1  I2(t)

V1(t)

Malla 3: ˆi 3  = 4   Malla 4: ˆi 4 ·(− j) + (ˆi  4 + ˆi1 )·1 = 12  

Ix

i2 

R 3 

Z C = − j Z L  =  j Z R  = 1   Malla 1: ˆi1 = 2 ⋅ ˆI X  = 2 ⋅ (ˆi 2 + ˆi3 )   Malla 2: (ˆi 2 − ˆi1 )· j + (ˆi 2  + ˆi 3 )·1 + ˆi 2 ·1 = 0  

Vo

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

130 

 

Si resolvemos el sistema anterior, se obtiene: ˆi = 1.6 + 4.8 j 1 ˆi = −3.2 + 2.4 j 2

ˆi 3 = 4 ˆi 4 = 7.6 + 2.8 j

 

El dato pedido es: Vˆo = R 3 ·ˆi 2 = 1·(−3.2 + 2.4 j) = −3.2 + 2.4 j   Vo = 4Veff  φ Vo = 143.13º Vamos a calcular las potencias medias y reactivas de cada elemento:

C P=0   Q = - I eff 2 ·X = -  ˆi 4 ·1 = −65.61VA 2

L P=0   Q = I eff 2 ·X =  ˆi1  − ˆi 2 ·1 = 28.8VA 2

R1 2

P = I eff 2 ·R =  ˆi 4 + ˆi1 ·1 = 142.4W Q=0

 

R2 2

P=I

2

·R =  ˆi + ˆi

eff 

3

Q=0

·1 = 6.4W  

2

R3 P = I eff 

2

2 ˆ ·R =  i 2 ·1 = 16W

Q=0

 

V1 VV1 = 12   I V1 = ˆi4 − ˆi3 S = P +  jQ = V·I* = 12·(ˆi3 − ˆi4 )* = −43.2 +  j33.6  

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

I1 VI1 = -12.8 - 2.4j   I I1 = 4 S = P +  jQ = V·I* = (-12.8 - 2.4j)·4 = −51.2 −  j9.6   Ig VI 2 = −(6.8 + 12.4j)   ˆ ˆ ˆ I I 2 = 2 ⋅ I X = 2 ⋅ (i2 + i3 ) = 1.6 + 4.8 j S = P +  jQ = V·I* = −(6.8 + 12.4j)·(1.6 + 4.8 j)* = −70.4 +  j12.8   P Q C1  0 -65.1 L1  0 28.8 R 1  142.4 0 0 R 2  6.4 R 3  16 0 V1  -43.2 33.6 I1  -51.2 -9.6 I2  -70.4 12.8

131 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

132 

 

Febrero 2003 PROBLEMA 49:

Sobre un circuito desconocido, que sólo contiene elementos pasivos (resistencias, condensadores y bobinas) y fuentes de tensión de alterna de frecuencia ω =  =100 100 rad/s se realizaron las siguientes medidas: •  Conectando un osciloscopio entre dos de los terminales del circuito, se observó una tensión como la mostrada en la siguiente gráfica: 3 2.828

2

1

   )    f    f   e    V    (      V

0

-1

-2

-2.828 -3

0

0. 02

0. 04

0.06

0. 08

0. 1 tiempo (s)

0. 12

0. 14

0. 16

0. 18

0. 2

•  Conectando una carga (compuesta por una resistencia de 1Ω en serie con una  bobina de 10mH) 10mH) entre esos dos mismos terminales, se midió con el osciloscopio la corriente a través de la carga, tal como se muestra en la siguiente gráfica: 1

0.8

0.6

0.4

0.2    )    f    f   e    A    (    I

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

0

0. 02

0. 04

0. 06

0. 08

0.1 tiempo (s)

0. 12

0. 14

0. 16

0. 18

0 .2

¿Qué potencia media consumirá una carga (compuesta por una resistencia de 2 Ω en serie con una bobina de 20mH) conectada entre los mencionados terminales? Razónese la respuesta.

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

133 

 

SOLUCIÓN 49: Cualquier circuito puede ser representado por su equivalente Thevenin entre 2 de sus terminales: ZTH 

ZTH 

A +

 

VTH 

+

 

-

Z

VTH 

-

I

La tensión del primer gráfico se corresponde directamente con la V TH  y la segunda gráfica se refiere a la corriente que circula por el circuito al colocar una carga entre los terminales A-B. Cálculo de VTH: En el primer gráfico se observa que la amplitud de la señal es 2.828 Veff , por tanto: VTH ( t ) = 2.828 cos(100t + φ)   también se obtiene del gráfico que para t = 0, V TH  = 2 Veff  ,   , lo que permite deducir el valor de la fase:

 

π

2 = 2.828 cos φ → cos φ = 0.7072 → φ = 45º = rad   2 Por lo tanto, la tensión de Thevenin en el dominio temporal es:   π VTH (t ) = 2.828 cos(100t + ) Veff    4 y como fasor: π π Vˆ TH = 2.828(cos   +  jsin ) = 2 +  j2   4 4 Cálculo de I: En el primer gráfico se observa que la amplitud de la señal es 1 Aeff , por tanto: I( t ) = cos(   100t + φ)   también se obtiene del gráfico que para t = 0, I = 1 A eff  , , lo que permite deducir el valor

de la fase:   150 Problemas de Teoría de Circuitos

134 

 

1 = cos φ →   φ = 0º = 0rad   Por lo tanto, la corriente corriente por el circuito con la carga en el dominio tem temporal poral es: I( t ) = cos(100t ) A eff    y como fasor: ˆI = 1(cos 0 +  jsin 0) = 1  

A partir del dato de la corriente que circula por el circuito al colocar una carga compuesta por una resistencia de 1 Ω  en serie erie co conn un una bo bobi bina na de 10 10mH ( ˆI = 1 ), se deduce el valor de la impedancia de Thevenin ZTH del circuito: ZTH 

Z1 = resistencia de 1Ω en serie con bobina de 10mH +

 

VTH 

-

Z1  I

Z1 = R +  jωL = 1  +  j·100·10·10−3 = 1 +  j  

Ecuación de malla: Vˆ TH = ˆI·ZTH + ˆI·Z1   Vˆ TH − ˆI·Z1 2 + 2 j − 1·(1 +  j) ZTH = = = 1 +  j ˆI 1 Ahora ya conocemos el circuito cir cuito equivalente Thevenin del circuito “desconocido”, por lo que se puede calcular el dato que pedía el enunciado, esto es, la potencia media consumida por una carga compuesta por una resistencia de 2Ω en serie con una bobina de 20mH (Z2): ZTH 

+

 

-

VTH 

Z2  I2 

Z2 = R +  jωL = 2  +  j·100·20·10−3 = 2 +  j2   Vˆ TH = ˆI 2 ·ZTH + ˆI 2 ·Z1   ˆ ˆI 2 = VTH = 2 + 2 j = 2(1 +  j) = 2 A eff  ZTH + Z1 1 +  j + 2 + 2 j 3(i +  j) 3 2

2 8 ⎡2⎤ La potencia media consumida por la carga Z2: P = ˆI 2 ·Re al{Z2 } = ⎢ ⎥ ·2 = W   9 ⎣3⎦

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

135 

 

Febrero 2003 PROBLEMA 50:

En el circuito de la figura: •  Obtened el valor de la impedancia de carga Z L para obtener una transferencia de  potencia máxima. En estas condiciones, calculad el valor de la potencia media y la potencia reactiva de la carga ZL. •  Con el circuito cargado con la impedancia ZL, hallad la potencia media y reactiva de las fuentes de circuito, razona razonadd si ac actúan túan como componentes activos o pasivos. V1=24 cos(100t) Veff   V1 

2VA 

5mF -

+ - 

+

 

VA

20mH

2Ω 

ZL

+ 

SOLUCIÓN 50:

•  Obtened el valor de la impedancia de carga Z L para obtener una transferencia de  potencia máxima. condiciones, calculad el valor de la potencia media y la potencia reactivaEndeestas la carga ZL.  Por el teorema de máxima transferencia de potencia, Z L  = Z TH * . Vamos a calcular el valor de ZTH: Z TH  =

VTH   I N

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

136 

 

Cálculo de VTH: V1 

-2j

+ - 

VX  -

A’

VA + 

ZR  = 2

2VA  + 

2

2j

1 1 = = −2 j  jωC  j·100·5·10− 3   ZL =  jωL =  j·100·20·10− 3 = 2 j ZC =

 )

i1  B’ 

V1 = 24

Si colocamos la referencia a masa en el nodo B’, la tensión de Thevenin será:  )

 )  )    ) ) VTH = (VA ' − VB' )abierto = VA ' − 0 = Vˆ X + 2VA  

donde

 ) V = ˆi ·2 j X 1 ˆVA = ˆi1·2  

El valor de la corriente ˆi1  lo obtenemos a partir de la ecua ecuación ción de malla:

− Vˆ 1 = ˆi1 ·( 2 + 2 j − 2 j) − 24 = ˆi1 · 2   ˆi1 = − 12  por tanto:  ) VX = iˆ1·2 j = −12·2 j = −24 j   ˆVA = iˆ1·2 = −12·2 = −24 VˆTH = Vˆ X + 2Vˆ A = −24  j + 2·(−24) = −24(2 +  j)Veff   

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

137 

 

Cálculo de I N: V1 

-2j

+ - 

VX 

-+

VA

  I N 

2j

i2 

2

2VA 

I N 

+ 

I N =  (I A ' − I B' )cortocircuito  

Aplicando análisis de mallas: − 24 = (2 − 2 j)·ˆi2 + 2 j·(ˆi2 − ˆI N )   ˆ ˆ ˆ 2VA = 2 j·(I N − i2 ) y utilizando la ecuación de control de la fuente de tensión dependiente de tensión: ˆ ˆ A , tenemos V  = i2 ·2 de corriente Norton: el sistema de ecuaciones que nos permitirá hallar el valor de la

− 24 = (2 − 2 j)·ˆi2 + 2 j·(ˆi2 − ˆI N )⎫⎪ ..... → ˆI N = −6(1 + 3 j)A eff    ⎬ ⎪⎭ 4ˆi2 = 2 j·(ˆI N − ˆi2 )

La impedancia de Thevenin será: ZTH = y el valor de la impedancia i mpedancia de carga:

(2  j) VTH − 24(2 +  j) =   = 4 + = 2 − 2j   (1 + 3 j) I N − 6(1 + 3 j)

Z L= ZTH * = 2+2j

El valor de la potencia media y la potencia reactiva de la carga Z L los calculamos utilizando el circuito equivalente de Thevenin:  ) ZTH 

VTH 

+

 

-

I1 

ˆI = ZL 

VTH

Z TH + Z L

=

− 24(2 +  j) = −6(2 +  j)A eff  2 − 2 j + 2 + 2 j

2 ˆ = PZ I ·Re{Z L } = 180·2 = 360W L

2

Q ZL = ˆI ·Im{Z L } = 180·2 = 360VAR 

PZL = 360W QZL = 360VAR

 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

138 

 

•  Con el circuito cargado con la impedancia ZL, hallad la potencia media y

reactiva de las fuentes de circuito, razona razonadd si ac actúan túan como componentes activos o pasivos. V1 

-2j

+ - 

VX 

2VA  -+

 

VA

ZL = 2+2j

2j

2

i1 

+ 

i2 

Vamos a calcular las corrientes por las fuentes del circuito mediante el análisis de mallas para así hallar la potencia media y reactiva de cada fuente. Ecuaciones de malla:

− 24 = (2 − 2 j)·ˆi1 + 2 j·(ˆi1 − ˆi 2 )

 

2Vˆ A = 2 j·(ˆi 2 − ˆi1 ) + ˆi 2 ·(2 + 2 j) y utilizando la ecuación de control de la fuente de tensión dependiente de tensión: Vˆ A   = ˆi1 ·2 , obtenemos: ˆi = −(6 + 12 j) 1   ˆi = −(12 + 6 j) 2 Potencias en las fuentes (utilizando el criterio de signos pasivo):

Sr = Vˆ ·ˆI * = 24·(−6 − 12 j) * = 24·(−6 + 12 j) = −144 + 288 j P = −144W → fuente ACTIVA   Q = 288VAR 

24 + -  i1 

2VA 

r

+

i2  -i2 

S = Vˆ ·ˆI * = 2·Vˆ A ·(−ˆi 2 ) * = 2·2·ˆi1 ·(12 − 6 j) = −4·(−6 − 12 j)·(12 − 6 j) = −576 − 432 j P = −576W → fuente ACTIVA Q = −432VAR   

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

139 

 

Junio 2003 PROBLEMA 51:

En el siguiente circuito: R 2 

Ig 

C 1  R 1 

+ L1 

R 3 

Vo(t)

a) Calculad la tensión Vo(t).  b) Calculad las potencias potencias medias consumidas consumidas o generad generadas as por cada componente. componente. Datos: Ig = 322· Ω cos R 1 =   (200·t) R 2 =mA 6Ω  C1 = 12.5mF L1 = 2mH

R 3 = 5Ω 

SOLUCIÓN 51: a)Cálculo de la tensión Vo(t): Se utilizara el sistema de unidades ( V, A, Ω), antes de analizar el circuito, pasamos todas las variables a fasores: f asores: I g = 3 · cos (200·t) mA → ˆI g = 3·10 −3 e j0 = 3·10 −3 ω = 200rad / s Z1 = 22 Z2 = 6   Z3 = 5 Z L =  jωL =  j·200·2·10 −3 = 0.4 j 1 1 ZC = = = −0.4 j  jωC  j·12.5·10 −3 ·200

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

140 

 

Agrupamos las impedancias en paralelo para simplificar el análisis: Z eq = Z C // Z L // Z 3 = Z 3 = 5   Z ·Z Z C // Z L = C L = ∞ → circuito abierto ZC + Z L Circuito resultante: R 1 

R 2 

+

+ Ig 

+

R 3  Vo

R 1 

R 2 

transformación de fuentes

-

 

Vg 

-

R 3  Vo

Vˆg = ˆIg ·Z1 = 3·10−3 ·22 = 66·10−3 V   Vo es la tensión en el divisor de tensión : −3 ˆg V 66 · 10   Vˆ o = Z3 = 5 = 10·10 −3 = 0.01V = 10mV Z1 + Z 2 + Z 3 22 + 6 + 5   Vˆ o = 0.01 →   Vo (t) = 0.01cos(200t)V

 b) Cálculo de las potencias potencias medias consumidas consumidas o generada generadass por cada componente: componente: A

 Nodos en A:

R 2  +

Ig  I1 

R 1 

I2 

R 3  Vo -

ˆIg + ˆI1 + ˆI 2 = 0 − Vˆ A − Vˆ A −3 3·10 + =0 + 22 6 + 5   Vˆ A = 22·10−3 V ˆI1 = −10− 3 A ˆI 2 = −2·10− 3 A

-

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

Potencias medias en cada componente: P ( C) = 0 P ( L) = 0 1ˆ 2 1 I1 ·R 1 = ·(10 −3 ) 2 ·22 = 11·10 −6 W = 11μW 2 2 2   P(R 2 ) = 1 ˆI 2 ·R 2 = 1 ·(2·10 −3 ) 2 ·6 = 12·10 −6 W = 12μW 2 2 1ˆ 2 1 P(R 3 ) = I 3 ·R 3 = ·(2·10 −3 ) 2 ·5 = 10·10 −6 W = 10μW 2 2 1 1 P(I g ) = Re{− Vˆ A ·ˆI g * } =   Re{− 22·10 −3 ·3·10 −3 } = −33·10 −6 W 2 2

P(R 1 ) =

141 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

142 

 

Septiembre 2003 PROBLEMA 52: Las tres cargas en el circuito de la figura se pueden describir de la siguiente manera: la carga Z1 absorbe una potencia media de 8kW con un factor de potencia inductivo de 0.8. La carga Z2 absorbe 20kVA con un factor de potencia capacitivo de 0.6. La carga Z3 es un impedancia de 2.5+5j Ω. Obtener la expresión para v s(t) en estado estacionario si la frecuencia de la fuente es de 60 Hz.

0.05Ω  + vs  (60 Hz)  _  

 j0.50Ω 

+ 250∠0°  Veff    _

Z2 

Z1 

Z3 

SOLUCIÓN 52:

A partir de los datos del enunciado es posible calcular el valor de cada una de las impedancias, conocidas conocidas éstas, ya se obtiene fácilmente expresión para vs(t). Carga Z1: P fp==8kW 0.8 P 8000 S= = = 10000VA fp 0.8 2

Q = S − P 2 = 10000 2 − 8000 2 = 6000VAR  S 10000 = = 40Aeff  Veff  250 P 8000 P = Ieff 2 ·R  → R  = = =5 Ieff 2 40 2 Q 6000 Q = Ieff 2 ·X → X = = 2 = 3.75 2 Ieff  40 Ieff  =

 

Z1 = 5 + 3.75j Ω 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

143 

 

Carga Z2: S = 20kVA fp = 0.6 capacitivo P = S ·fp = 20000·0.6 = 12000W 2

Q = S − P 2 = 20000 2 − 12000 2 = −16000VAR   S 20000 = = 80Aeff  Veff  250 P 12000 P = Ieff 2 ·R  → R  = = = 1.875 Ieff 2 80 2 Q − 16000 Q = Ieff 2 ·X → X = = = −2.5 Ieff 2 80 2 Ieff  =

Z2 = 1.875 -2.5j Ω 

Z2 = 2.5 + 5j Ω 

Y Z3 es conocida, 

La impedancia equivalente al conjunto de Z 1, Z2 y Z3 en paralelo: 1 1 1 1 1 1 1 = + + = + + → Z eq = 2.5Ω   Z eq Z1 Z 2 Z 3 5 + 3.75 j 1.875 − 2.5 j 2.5 + 5 j

0.05Ω  

+ vs  (60 Hz)  _  

is 

 j0.50Ω 

+ 250∠0°  Veff    _  

Zeq 

250Veff  = 100Aeff    2.5 v s = 250Veff  + (0.05 + 0.5 j)·100Aeff  = 255 +  j50 = 259.86∠11.09º Veff 

is =

vs(t)=√2·259.86·cos(120πt+11.09º)

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

144 

 

Diciembre 2003 PROBLEMA 53: En el circuito siguiente,

0.1VX 

I1 

5Ω 

5Ω 

C1  +

100∠0º Veff  

+

 

-

Vg 

-j5Ω   j5Ω 

VX

R

-

Calculad la el potencia valor de la resistencia R para aque •   Calculad media suministrada R consuma máxima potencia •  Si R se sustituye por una impedancia Z, ¿cuál es la máxima potencia media que se puede suministrar a Z? •  ¿Qué porcentaje de la potencia generada en el circuito se suministra a la carga Z en caso de máxima potencia?

SOLUCIÓN 53:

•  Calculad el valor de la resistencia R para que consuma máxima potencia.  Según el teorema de máxima transferencia de potencia, el valor de la resistencia R que consume máxima potencia es igual al módulo de la impedancia de Thévenin vista desde los terminales de R: R Máxima Máxima Potencia = // ZTH // Por lo tanto, se ha de obtener el valor de la ZTH vista desde los terminales de R. Como el circuito dispone de una fuente dependiente, ZTH debe obtenerse aplicando el método test o bien hallando VTH e I N.

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

145 

 

Cálculo de VTH: 0.1VX  I1  Vx

5Ω 

C1 

100 100∠0º Veff  

 

 j5Ω 

Vg 

VTH = 80 +60j

A

-j5Ω 

+ +

Analizando por nodos: VTH = (VAB) circuito abierto

5Ω 

VTH

VX

-

B 

-

Cálculo de I N: 0.1VX 

I1 

5Ω  I2 

5Ω 

+

 

Vg 

-

I1 

I N = (IAB) cortocircuito

C1  +

100∠0º Veff  

Analizando por mallas: -j5Ω 

 j5Ω 

VX

I N 

IN 

-

Z TH =

VTH 80 + 60 j = 4 − 2 j   =   I N 10 + 20 j

R Máxima Máxima Potencia = // ZTH // = 4.47 Ω 

I N = 10 +20j

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

146 

 

•  Calculad la potencia media suministrada a R ZTH 

VTH

I= VTH 

+

 

-

80 + 60 j

= 7.36 + 8.82 j  

Z TH + R  4 − 2 j + 4.47 2 PR  = I · R  = ... = 590.17W  

R

I

=

•  Si R se sustituye por una impedancia Z, ¿cuál es la máxima potencia media que se puede suministrar a Z?  ZTH 

VTH 

+

 

-

Z = Z TH * = 4 + 2 j   VTH 80 + 60 j 80 + 60 j I= = = 10 − 7.5 j = Z TH + Z 4 − 2 j + 4 + 2 j 8

Z

I

2

P = I · R  = ... = 625W R 

 

•  ¿Qué porcentaje de la potencia generada en el circuito se suministra a la carga Z en caso de máxima potencia?  Para responder a esta pregunta hay que realizar un balance de potencias en el circuito cargado con Z = 4+2j, es decir, calcu calcular lar las potencias de todos los elementos, para así conocer el total de potencia generada y el consumido por Z.

0.1VX 

100

R 2  5Ω  VX  I2 

100∠0º Veff  

+

 

-

Resolviendo por nodos:

R 1  5Ω 

+

Vg  VX -

Ig 

I1  C1 

VX = 50 +25j VA = 25+50j 

VA 

-j5Ω   j5Ω  I3 

Z = 4+2j

I4 

Ig = 5+2.5j I1 = 10-5j I2 = -5-5j I3 = 5-10j I4 = 10+7.5j

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

147 

 

Potencias: Fuente de 1100 00 V: S = -1500-250j VA Fuente dependiente: dependiente: S= 93.75 93.75-437.5j -437.5j VA R 1: P = 156.25 W R 2: P = 625 W Z: Q S == 625 L: 625j+312.5j VAR VA C: Q = -250j VAR La potencia generada total son 1500W, y la consumida por Z, 625W, por lo tanto el  porcentaje de la potencia generada en el circuito que se suministra a la carga Z en caso de máxima potencia es PZ Pgenerada

=

625 =  41.67%  1500

Además, el balance de potencias es correcto, pues se cumple que

∑ P  = 0  y ∑ Q  = 0 .

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

148 

 

Febrero 2004 PROBLEMA 54: El dueño de una fábrica quiere disminuir el consumo eléctrico y para ello contrata a una empresa de ingeniería ingeniería eléctrica para que estudie su caso. Su fábrica tiene una carga eléctrica de 1200 kW con un factor de potencia potencia inductivo de 0.8., así que los ing ingenieros enieros le colocan en la fábrica una carga adicio adicional nal con un factor de potencia potencia variable que añadirá 240kW a la carga de potencia real de la fábrica. El factor de potencia de la nueva carga se ajustará hasta que el factor de potencia global de la fábrica sea de 0.96 inductivo.

•  ¿Cuál es el factor de potencia de la carga adicional? •  Si el voltaje eficaz en la entrada de la fábrica es de 2500V, ¿cuál es el valor eficaz de la corriente que entra a la fábrica antes de añadir la carga con un factor de potencia variable? f ábrica después de añadir la •  ¿Cuál es el valor eficaz de la corriente que entra a la fábrica carga con un factor de potencia variable?

•  ¿Qué ha ocurrido con el consumo eléctrico?

SOLUCIÓN 54:

•  ¿Cuál es el factor de potencia de la carga adicional? Los datos del enunciado referentes a las potencias de las cargas son: Carga inicial, Z: PZ = 1200kW fpZ = 0.8 inductivo Carga adicional, Z’: PZ’ = 240kW fpZ’ = ? Conjunto de las dos cargas: fpglobal = 0.96 inductivo

A partir de los datos se pueden calcular los valores de las reactivas (Q) y aparentes (/S/) anteriores, de cada carga y con estos valores se hallará el potencias valor del factor de

 potencia de la carga carga adicional.   150 Problemas de Teoría de Circuitos

149 

 

Carga inicial, Z: PZ = 1200kW fpZ = 0.8 inductivo

/S/Z =

PZ 1200k  = = 1500kVA fp Z 0.8

 

Q Z = / S / Z 2 − PZ 2 = 1500k 2 − 1200k 2 = 900kVAR 

Conjunto de las dos cargas: Pglobal = PZ + PZ’ = 1200kW + 240kW = 1440kW Qglobal = QZ + QZ’ = 900kVAR + QZ’ fpglobal = 0.96 inductivo / S / global =

Pglobal 1440k  = = 1500kVA fp global 0.96

 

Qglobal = / S / global2 − Pglobal 2 = 1500k 2 − 1440k 2 = 420kVAR  Qglobal = QZ + QZ’ = 900kVAR + QZ’ = 420kVAR → QZ’ = -480 kVAR

Carga adicional, Z’: QZ’ = -480 kVAR / S / Z' = PZ 2 + Q2Z = 240   k 2 + (−480k ) 2 = 535.65kVA   PZ' 240 Z' fp = / S Z' /  = 536.65 = 0.4472 capacitivo  

•  Si el voltaje eficaz en la entrada de la fábrica es de 2500V, ¿cuál es el valor eficaz de la corriente que entra a la fábrica antes de añadir la carga con un factor de potencia variable? / S / = Veff ·I eff  (Ieff  )  )antes =  600A / S / antes = / S / Z = 1500kVA / S / antes 1500kVA = = 0.6kA = 600A (I eff  ) antes = Veff  2500V

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

150 

 

•  ¿Cuál es el valor eficaz de la corriente que entra a la fábrica f ábrica después de añadir la carga con un factor de potencia variable? / S / = Veff ·I eff 

(Ieff  )  )despues = 600A  

/ S / despues = / S / global = 1500kVA / S / despues 1500kVA (I eff  ) despues = = = 0.6kA = 600A Veff  2500V

•  ¿Qué ha ocurrido con el consumo eléctrico? No se ha conseguido el ahorro de corriente deseado.

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

151 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

TEMA TE MA 4: RESONANCIA

152 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

153 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

154 

 

Febrero 1999 PROBLEMA 55: En el circuito de la figura se desconocen los valores de C y Eg, donde Eg representa una fuente de tensión senoidal de frecuencia variable. A una determinada frecuencia se miden los siguientes valores: •  I1 = 2mA eficaces •  I2 = 2mA eficaces •  V = 4V eficaces I1  100k Ω 

I2 

10mH

C

+ +

 

Eg

-

V  _  

100k Ω 

50k Ω 

En esas condiciones se pide: •  Calcular el valor eficaz de Eg y el valor del condensador C. •  ¿Cómo variará I1  al aumentar la frecuencia? ¿Cómo lo hará I 2?. Razonar la respuesta. 

SOLUCIÓN 55: Se presenta un circuito resonante paralelo (L y C en paralelo). Cuando las intensidades que circulan por ambos elementos son iguales nos encontramos en situación de resonancia. En estas condiciones, pueden sustituirse L y C por un circuito abierto, con lo que tenemos: Sobre este circuito se obtiene Eg de forma sencilla, por ejemplo aplicando la fórmula del divisor de tensión:

100k Ω  + +

 

-

Eg

V  _  

V = Eg*100k/(100k+100k) = Eg/2 100k Ω 

50k Ω 

Eg = 2*V = 8V (eficaces)

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

155 

 

Falta determinar el valor de C: si nos fijamos en el circuito en el que se han eliminado L y C, vemos que por la resistencia de 50k no circula corriente y por tanto no cae tensión en ella. De este modo, circuito = 4V. la tensión en la bobina y el condensador será igual a la V indicada en el En la bobina:

V = I·ω0·L;

ω0 = V/(I·L) = 4V/2mA*10mH = 2*105 rad/s

Y en el condensador: condensador: V = I/(ω0·C); C = I/(V·ω0) = 2mA/4V*2*105rad/s = 2,5nF  En resonancia, las corrientes en la bobina y el condensador son máximas (y desfasadas 180º). Cualquier variación de la frecuencia (aumento o disminución) hace que las intensidades se reduzcan

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

156 

 

Junio 1999 PROBLEMA 56: En el circuito de la figura fi gura la fuente de tensión es senoidal y de frecuencia variable: 1k

4k 5μF

110V ef

+

8k

 

-

0,2H

4k

Se pide:

•  Utilizando el equivalente Norton adecuado, reducir el circuito a un circuito resonante paralelo

•  Obtener circuito frecuencia de resonancia, ancho de banda y factor de calidad del •  Se ajusta la frecuencia de la fuente hasta hacerla coincidir con la frecuencia de resonancia. En estas condiciones, calcular la intensidad que circula por la resistencia de 8k.

SOLUCIÓN 56:

El equivalente Norton que se pide es el que permite representar a todos los componentes del circuito salvo el condensador y la bobina respecto de los terminales de éstos (A y B): 1k

4k A

110V ef

+

 

-

4k

8k B

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

157 

 

Cálculo de la tensión a circuito abierto: I = 110V / (1k+(8k//(4k+4k)) I = 110V / (1k+ ( 1k+ 4k) = 22mA

I 110V ef

1k

+

I1

4k + VCA   _  

8k

 

-

4k

I1 = I/2 = 11mA (divisor de intensidad) VCA = I1*4K = 44V

Cálculo de la intensidad de cortocircuito: La resistencia de 4k se puede eliminar por encontrarse en paralelo con un cortocircuito

I 110V ef

1k

+

 

-

I1

4k

ICC 

8k

I = 110V/(1k+(8k//4k) = 110V/(11/3)k I1 = ICC = I*8k/(4k+8k) (div. intensidad) ICC = 20mA

R NORTON NORTON = VCA/ICC = 2,2k Ω  

INORTON = Icc = 20mA   Con lo que el equivalente queda:

20mA

Y el circuito completo:

20mA

2,2k

5 F 2,2k

0,2H

Sobre el RLC paralelo, basta aplicar las fórmulas para obtener los valores pedidos:

•  Frecuencia de resonancia:

ω0 = 1/√LC = 1/√(0.2*5*10-6) = 1000 rad/s  

•  Ancho de banda:

AB = 1/RC = 1/(2.2*103*5*10-6) = 90.9 rad/s  

•  Factor de calidad:

Q = ω0/AB = 1000/90.9 = 11  

4k

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

158 

 

A la frecuencia de resonancia, una bobina y un condensador en paralelo pueden sustituirse por un circuito abierto. Por tanto, la intensidad que circula por la resistencia de 8K puede ser obtenida directamente: I

I = 110V / (1k+(8k//(4k+4k)) I = 110V / (1k+ ( 1k+ 4k) = 22mA

110V ef

+

 

-

I1 = I/2 = 11mA 

(divisor de intensidad)

1k

4k

8k

I1

4k

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

159 

 

Diciembre 1999 PROBLEMA 57:

En el circuito de la figura f igura la fuente de tensión es senoidal y de frecuencia variable. La gráfica representa los valores que toma la tensión VAB en función de la frecuencia. +

VAB 

− 

VAB 

10mH 100k Ω 

+

 

8VEF 

-

VMAX 

2.5nF

100k Ω 

25k Ω 

ω0 

ω 

Se pide:   Determinar el valor de VMAX    Determinar el ancho de banda del circuito 



SOLUCIÓN 57: VMAX es la tensión a la frecuencia de resonancia. En resonancia se puede sustituir el conjunto  bobina + condensador condensador en pparalelo aralelo por un circuito abierto.

+

100k Ω 

Aplicando un divisor de tensión: 100k Ω VMAX = 8V ⋅   = 4V   200k Ω

VAB 

+

 

-

8VEF 

100k Ω 

25k Ω 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

160 

 

El equivalente Norton para todos los elementos salvo la bobina y el condensador nos da: I N=0.053mA R  N=75k Ω 

+

VAB  10mH 2.5nF

Añadiendo bobina y condensador obtenemos un circuito resonante serie estándar. La expresión para el ancho de banda es:

AB=

rad 1 1 5333 =  3   −9 = s RC 75 ⋅ 10 ⋅ 2,5 ⋅ 10

75K Ω 

0.053mA

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

161 

 

Febrero 2000 PROBLEMA 58: En el circuito de la figura, la fuente de tensión es senoidal y de frecuencia variable. Se  pide: •  calcular frecuencia de resonancia, ancho de banda y factor de calidad del circuito. •  representar aproximadamente el comportamiento de la tensión V en función de la frecuencia, especificando cuál es el valor máximo que alcanza y a qué frecuencia se produce. 10k

1k +

220V ef

4μF +

10mH

10k

 

-

4k

V  _  

SOLUCIÓN 58: Se busca el equivalente Norton de todo el circuito salvo la bobina y el condensador: 10k

220V ef

1k I N 

+

10k

 

-

R  N 

4k

10k

•  I N: se obtiene como la intensidad de cortocircuito: Por cualquier método de análisis, se llega a:

220V ef

+

10k

 

-

I N = ICC = 18.33mA

1k

4k

•  R  N se obtiene como la resistencia equivalente: 10k

1k

10k

1k

4k

5k

4k

6k

4k

R  N = R EQ = 2.4k

ICC 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

162 

 

Por tanto, trabajaremos sobre el siguiente circuito: 18.33

4μF 2.4k

+ 10mH

ω0

=  

V

1 = 5000rad/s LC

ω

1 AB =   = 104.2rad/s RC

Q =   0 = 48 AB Para la gráfica de V nos fijaremos en estos puntos:

•  VMAX: para ω=ω0 

L y C se anulan: V MAX = I⋅R = 44V

•  VMAX/√2: para los límites del ancho de banda ω1=ω0-AB/2=4948rad/s ω2=ω0+AB/2=5052rad/s V = 44/√2 = 31V  V 44 31

4948 5000 5052

ω 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

163 

 

Junio 2000 PROBLEMA 59: En el circuito de la figura, la fuente de tensión es senoidal y de frecuencia variable. 3Ω  A 20V ef

5mH

+

 

-

6Ω  0.5μF 1Ω 

iL 

iR  

B 

Se pide: frecuencia de resonancia, ancho de banda y factor de calidad del circuito ••   calcular calcular el valor de las intensidades iR  e  e iL a la frecuencia de resonancia •  determinar el valor de la resistencia extra que debería colocarse entre A y B para duplicar el factor de calidad del circuito

SOLUCIÓN 59: Como primer paso se aíslan bobina y condensador y se obtiene el equivalente Thévenin 3Ω   para el resto del circuito circuito A

20V ef

+

 

-

6Ω  1Ω  B 

Dado que no existen fuentes dependientes, puede obtenerse el Thévenin a partir de la resistencia equivalente y de la tensión de circuito abierto: Resistencia equivalente: se obtiene sustituyendo al fuente de tensión por un cortocircuito: R EQ = (3Ω + 1Ω ) // 6Ω  = 2.4Ω

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

164 

 

Tensión de circuito abierto: se obtiene mediante un divisor de tensión: 6 VAB = 20 ⋅   = 12V 6 + 3 +1 El Thévenin y el circuito completo quedan: 2.4Ω  A 2.4Ω 

5mH A

+

 

12V ef

+

 

12V

-

-

0.5μF

B B 

Se obtiene un circuito resonante serie, basta aplicar las fórmulas: 1 Frecuencia de resonancia: ω 0 =  LC = 20000rad/s

R  AB =   = 480rad/s L

Ancho de banda:

Q=

Factor de calidad:

ω0

AB

= 41.67

Para el cálculo de las intensidades se tiene en cuenta que llaa bobina y el condensador, condensador, en resonancia, se comportan como un cortocircuito: 3Ω  A 20V ef

+

 

-

6Ω  1Ω 

iL 

iR  

B 

Por tanto por la resistencia no circulará intensidad (está en paralelo con un cortocircuito): i R  = 0 20V = 5A i = L 4Ω

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

165 

 

Buscamos ahora la resistencia que duplica el ancho de banda del circuito: 3Ω  A 20V ef

5mH

+

 

-

6Ω 

R

0.5μF 1Ω  B 

 Necesitamos volver volver a calcular la resis resistencia tencia equivalente: equivalente: R EQ ( nueva) = (3Ω + 1Ω ) // 6Ω // R  = 2.4Ω // R  De acuerdo con las fórmulas utilizadas anteriormente:

ω0

Q nuevo = 41.7 ⋅ 2 = 83.4 = AB nuevo → AB nuevo = 240rad / s R  AB nuevo = 240rad / s = nueva → R nueva = 1.2Ω L R nueva = 1.2Ω = 2.4 // R  → R  = 2.4Ω Por tanto se debe colocar una resistencia de

2.4 Ω 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

166 

 

Septiembre 2000 PROBLEMA 60: En el circuito de la figura, la fuente de tensión es senoidal y de frecuencia variable: 100k Ω 

2Ω  +

 

50Vef

0.2μF 25k Ω 

-

8mH

iR   Se pide:   ••  •  • 

Frecuencia de resonancia Equivalente paralelo para la bobina real Ancho de banda y factor de calidad del circuito Intensidad iR  que  que circula por la resistencia de 25k Ω a la frecuencia de resonancia

SOLUCIÓN 60: Frecuencia de resonancia: 1 1 =   −3 = 25000rad/s   ω0 = 6 − LC 8 ⋅ 10 ⋅ 0.2 ⋅ 10

Equivalente paralelo para la bobina real: utilizamos el factor de calidad de la bobina QL:

ω0 L

25 ⋅ 10 3 ⋅ 8 ⋅ 10 −3 QL = = = 100 R  2 L 2 = L1 = 8mH   R 2 = Q 2L ⋅ R 1 = 20k Ω

R 1  L1 

R 2 

L2 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

167 

 

Una vez hecho el equivalente paralelo de la bobina el aspecto del circuito es el siguiente: 100k Ω 

+

50Vef

8mH

20k Ω 

-

25k Ω  0.2μF

 

iR  

Basta con hacer una transformación de fuentes para obtener un circuito resonante  paralelo estándar: 0.5mAef 100k Ω 

20k Ω 

8mH

0.2μF

0.2μF

0.5mAef 25k Ω 

10k Ω 

8mH

iR  

Sobre el circuito resonante estándar podemos aplicar directamente las fórmulas: 1 1 = 4 = 500rad/s RC 10 ⋅ 0.2 ⋅ 10 −6   ω0 25000 Q= = = 50 AB 500

AB =

Para obtener la intensidad por la resistencia de 25k Ω se debe tener en cuenta que, a la frecuencia de resonancia, el conjunto de bobina y condensador condensador en paralelo se comportan como un circuito abierto: 0.5mAef 100k Ω 

20k Ω 

25k Ω 

iR  

Por tanto, iR  se  se obtiene mediante un divisor de intensidad:

i R  = 0.5 ⋅

16.67 100 // 20   = 0.5 ⋅ = 0.2mA EF   41.67 100 // 20 + 25

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

168 

 

Diciembre 2000 PROBLEMA 61: En el circuito de la figura la fuente de tensión es senoidal y de frecuencia variable. Se  pide calcular los valores valores que han de de tomar R, L y C ppara ara que el circuito cumpla: 4 •  Frecuencia de resonancia: ω0 = 10  rad/s •  Ancho de banda: AB = 102 rad/s •  Tensión en el condensador a la frecuencia f recuencia de resonancia: VC = 4V ef 6 k Ω 

12V ef

+

 

L

R

-

C

+ VC   _

8 k Ω 

SOLUCIÓN 61: Se trata de un circuito resonante paralelo. A la frecuencia de resonancia, el conjunto LC se comporta como un circuito abierto: k Ω 

+

 

12V ef

+ VC   _

R

-

8 k Ω 

Aplicando un divisor de tensión: R  VC = 12 ⋅ = 4VEF 6 ⋅ 10 3 + R 

→ R  = 3 ⋅ 10 3 Ω = 3K Ω  

Para determinar los valores de L y C se trabaja sobre el circuito resonante paralelo estándar, que se obtiene calculando el equivalente Norton del circuito desde los terminales de L y C: 6 K Ω 

0.4mA

+

  12V ef

-

3K Ω 

C

0.4mA 10K Ω 

10K Ω 

L

8 K Ω 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

Una vez sobre el circuito estándar, basta aplicar las fórmulas: 1 1 = → C = 10− 6 F 3 RC 10 ⋅ 10 ⋅ C   1 1 4 −2 ω0 = 10 = LC = L ⋅ 10− 6 → L = 10 H = 10mH AB = 102 =

169 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

170 

 

Febrero 2001 PROBLEMA 62:

Considérese el circuito resonante de la figura: fi gura: 600Ω 

10Ω  +

 

30Vef

-

2μF

400Ω 

+ VC   _  

20mH

Se pide:

•  •  •  • 

Frecuencia de resonancia del circuito. Ancho de banda. Factor de calidad de la bobina y del circuito. Tensión vC en el condensador a la frecuencia de resonancia.

SOLUCIÓN 62: Se trata de un circuito resonante paralelo real. En primer lugar, se llevará el circuito al formato estándar mediante transformación de fuentes (también podría hacerse un equivalente Norton): 600Ω  +

 

-

30Vef

400Ω 

50mA

Por tanto, el circuito estándar que se obtiene es el siguiente:

240Ω 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

171 

 

10Ω  50mA

+ 2μF

240Ω 

VC   _  

20mH

Frecuencia de resonancia:

=

ω0

1 1 =   −3 = 5000rad/s   6 − LC 20 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 10

Factor de calidad de la bobina:

ω0 L 5000 ⋅ 20 ⋅10 −3 QL = =   = 10   R 

10

A continuación se debe hacer el equivalente paralelo de la bobina real: L′ = L = 20mH   R ′ = Q 2L ⋅ R  = 1k Ω

50mA

240Ω 

1K Ω 

20mH

2μF

+ vC   _  

El circuito resultante se muestra a continuación: Ancho de banda: β=

1 1 =   = 2584rad/s   RC 193.5 ⋅ 2 ⋅ 10 −6

Factor de calidad del circuito:

Q=

ω0 5000 =  = 1.94   β 2584

50mA

193.5Ω 

20mH

2μF

+ v C   _  

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

172 

 

Tensión en el condensador a frecuencia de resonancia: A frecuencia de resonancia, la bobina y el condensador se anulan y en un circuito resonante paralelo, el conjunto equivale a un circuito abierto: + 50mA

193.5Ω 

VC   _  

VC = i ⋅ R  =  50  ⋅ 10 −3 ⋅ 193.5 = 9.7V   Junio 2001 PROBLEMA 63:

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

173 

 

Considérese el circuito resonante de la figura: fi gura: 1k Ω 

+

 

10mH

16μF

100Vef

1,5k Ω 

-

20Ω 

2,4k Ω 

20Ω 

10Ω 

10 : 1

Se pide: •  Frecuencia de resonancia, ancho de banda y factor de calidad del circuito •  Potencia entregada por la fuente de tensión a la frecuencia de resonancia •  Valor que debería tener la relación de transformación para reducir el ancho de  banda a la mitad mitad

SOLUCIÓN 63: En primer lugar se simplifican en la medida de lo posible tanto la parte derecha como la  parte izquierda0.6k  delΩ circuito, circuito, llegándose a: 10mH 16μF

60Vef

+

 

2,4k Ω 

-

12Ω  10 : 1

A continuación se refleja el secundario en el primario multiplicando la impedancia por la relación de transformación al cuadrado: 0.6k Ω 

+

 

16μF

10mH

60Vef

2,4k Ω 

-

1.2k Ω 

Este circuito es fácilmente simplificable a un RLC serie mediante agrupación de resistencias: 1.4k Ω 

+

 

16μF

10mH

60Vef

-

Sobre este circuito basta aplicar las fórmulas:

w0 = 1/ (LC) = 2500 rad/s

w   1/√(LC) 2500 rad/s  β = R/L = 140krad/s  Q = w0/β = 0.0178    150 Problemas de Teoría de Circuitos

174 

 

Para obtener la potencia de la fuente de tensión debemos simplificar el circuito en el mismo modo que antes pero sin hacer desaparecer la fuente de 100V. 1k Ω 

+

  100Vef

-

16μF

10mH

1,5k Ω 

0.8k Ω 

Sobre ese circuito sustituimos L y C en resonancia por un cortocircuito. El resultado queda: 1k Ω 

+

 

100Vef

-

1,5k Ω 

0.8k Ω 

Es fácil calcular la intensidad que circula por la ffuente, uente, obteniéndose: I = 65.8 mA ef La potencia será, por tanto:

P =Ief*Vef = 6.58W Para que el ancho de banda se redujera a la mitad, la resistencia equivalente debería ser también la mitad, esto es R EEQQ = 0.7k Ω  De acuerdo con las agrupaciones de resistencias hechas anteriormente: R EEQQ  = 0.6K Ω + 2.4K Ω//R REFLEJADA REFLEJADA  De donde se deduce R REFLEJADA REFLEJADA = 0.104K Ω  La impedancia reflejada será la del secundario multiplicada por la relación de transformación al cuadrado: 104Ω = 12Ω*a2  Se deduce que la relación de transformación pedida es:

a = 2.94 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

175 

 

Septiembre 2001 PROBLEMA 64:

En el circuito de la figura, la l a fuente de tensión es senoidal y de frecuencia variable.

3Ω 

+

Se pide: •  Frecuencia de resonancia, ancho de  banda y factor de calidad del circuito. •  Potencia consumida por la resistencia de 5Ω a la frecuencia de resonancia. •  Valor que debería tener la resistencia de 5Ω para duplicar el factor de calidad.

 

12Vef

-

2mH

20μF

10Ω 

6Ω 

5Ω 

6Ω 

SOLUCIÓN 64: Mediante agrupación de resistencias y transformaciones de fuentes se llega al circuito RLC serie que se muestra a continuación (se indica el último paso efectuado): 2mH

+

 

20μF

7,5Vef

2mH

5Ω 

-

+

 

20μF

7,5Vef

-

8,75Ω 

3,75Ω 

A partir de este circuito, por aplicación directa de las fórmulas: ω0

=

ω R  1 = 5000rad/s ; β =  = 4375rad/s ; Q = 0 = 1,14 L β LC

Para duplicar el factor de calidad será necesario reducir el ancho de banda a la mitad (ω0  no varía): Q′ =

ω0 β′

Q′ = 2Q ⇒ β′ = β 2

Y para ello habrá que reducir la resistencia equivalente a la mitad (L no varía): eq

β = R 

β = β 2 ⇒ R eq = R eq 2

L

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

176 

 

A continuación se muestra el circuito antes de hacer la última agrupación de resistencias y con la resistencia de 5Ω sustituida por la resistencia R buscada:

2mH

+

 

20μF

7,5Vef

R

-

3,75Ω 

Es inmediato obtener la resistencia r esistencia buscada a partir de la rresistencia esistencia equivalente: R ′eq = 3,75 + R  =

8,75 ⇒ R  =  = 0,625Ω 2

Para el cálculo de la potencia consumida por la resistencia de 5Ω a frecuencia de resonancia, sustituimos la bobina y el condensador condensador por un cortocircuito: +

 

7,5Vef

5Ω 

-

3,75Ω 

La intensidad que circula por la resistencia de 5Ω será: i=

7,5   = 0,857A 3,75 + 5

Y por tanto, la potencia consumida en la misma:

P = i 2  ⋅ R  = 3,67W

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

177 

 

Diciembre 2001 PROBLEMA 65:

En el circuito resonante de la figura, se pide: •  Frecuencia de resonancia. •  Ancho de banda. •  Factor de calidad de la bobina •  Factor de calidad del circuito. •  Potencias real y reactiva entregadas por la fuente de tensión a la frecuencia de resonancia. 6Ω 

25 k Ω 

+

 

12V ef

-

150mH

8μF 100k Ω 

SOLUCIÓN 65:

La frecuencia de resonancia y el factor de calidad de la bobina se pueden obtener directamente: 1 ω0 = = 912.9 rad/s LC   ω0 L = 22.8 QL = R  Para obtener el resto de los datos se debe calcular el equivalente paralelo de la bobina real: R ′ = Q 2L ⋅ R  = 3125Ω   Sobre el circuito resultante se puede hacer una transformación de fuentes: 25 k Ω  8μF +

 

-

12V ef

100k Ω 

3125Ω 

150mH

0.48mA

8μF 25k Ω 

100k Ω 

3125Ω  150mH

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

178 

 

Calculando el equivalente paralelo de las tres resistencias se obtiene el circuito estándar:

0.48mA

8μF 2703Ω 

150mH

Sobre el circuito estándar se obtienen el resto de datos pedidos: β=

1 = 46.29 rad/s RC

ω Q = 0 = 19.7 β

 

Para calcular las potencias a frecuencia de resonancia el conjunto LC se sustituye por un circuito abierto y se calcula el equivalente de las resistencias: 25 k Ω 

+

 

12V ef

-

100k Ω 

3125Ω 

+

 

-

12V ef

28.03k Ω 

Dado que la carga es resistiva, la fuente sólo entregará potencia real:

P = Vef  ⋅ I ef  = 12 ⋅ Q=0

− 12 = −5.1mW (potencia cedida)   28.03 ⋅ 10 3

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

179 

 

Febrero 2002 PROBLEMA 66: Considérese el circuito de la figura: 50mA 200Ω 

C

L

Z 6+8j Ω  a:1

Sabiendo que en el primario del transformador hay conectado un circuito resonante con frecuencia de resonancia ddee 5000 rad rad/s /s y factor de calidad calidad 2, se pide: pide: •  los valores de L y C en el circuito resonante •  la tensión VC en el condensado condensadorr a llaa frecuencia de resonancia •  el valor que debería tener la relación de transformación a para que la carga Z en secundario consuma máxima potencia

SOLUCIÓN 66:

cir cuito resonante? •  Valores de L y C en el circuito Q=

ωO ω 5000 →β= O = = 2500rad / s β Q 2

1 1 1   →C= = = 2·10 −6 = 2μF R β 200 ⋅ 2500 RC 1 1 1 1 ωO = →L= 2 = = = 0.02H = 20mH −6 2 50 5000 2 · 10 ⋅ LC ωO C

β=

C = 2·10-6 F   L = 20mH condensador or a la frecuencia de resonancia? •  la tensión VC en el condensad En resonancia, el conjunto de L y C se comportan como un circuito abierto, por lo tanto: +

50mA

VC  = I· R = 50 mA· 200 Ω = 10V 

200Ω  C

V

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

180 

 

•

  Valor que debería tener la relación de transformación a  para que la carga Z  en

secundario consuma máxima potencia? 

Reflejamos Z en primario:  Por el teorema de máxima transferencia de potencia, la 50mA 200Ω 

2

Z’=a ·Z

carga que consumirá máxima potencia será igual a la ZTH  vista desde desde los extrem extremos os de la carga. carga. Para el caso del transformador: Z TH = Z'   2 2 200 = a 6 + 8 j = a 100

a =   20 = 4.47  

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

181 

 

Junio 2004 PROBLEMA 67: En el circuito de la figura se desconocen los valores de L y Vg, donde Vg representa una fuente de tensión senoidal de frecuencia variable. A una determinada frecuencia se miden los siguientes valores: •  I1 = 2.5mA eficaces L •  I2 = 2.5mA eficaces •  V = 5V eficaces 50k Ω 

I

5nF

+ +

 

Vg

-

V  _  

25k Ω 

50k Ω 

En esas condiciones se pide: •  Calcular el valor eficaz de Vg y el valor de la inductancia L. •  ¿Cómo variará I1 al aumentar la frecuencia? ¿Cómo lo hará I2?. Razonar la respuesta. 

SOLUCIÓN 67: Se presenta un circuito resonante paralelo (L y C en paralelo). Cuando las intensidades que circulan por ambos elementos son iguales nos encontramos en situación de resonancia. En estas condiciones, pueden sustituirse sustituirse L y C por un circuito abierto, con lo que tenemos: Sobre este circuito se obtiene Vg de forma sencilla, por ejemplo aplicando la fórmula del divisor de tensión:

50k Ω  + +

 

-

Vg

V  _  

V = Vg*25k/(25k+50k) = Vg/3 25k Ω 

50k Ω 

Vg = 3*V = 15V (eficaces ( eficaces)

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

182 

 

Falta determinar el valor de L: si nos fijamos en el circuito en el que se han eliminado L y C, vemos que por la resistencia de 50k no circula corriente y por tanto no cae tensión en ella. De este modo, la tensión en la bobina y el condensador será igual a la V indicada en el circuito = 5V. En el condensador: 1*105 rad/s Y en la bobina:

V = I/(ω0·C); ω0= I/(V·C) = 2.5mA/5V*5*10-9rad/s =

V = I·ω0·L;

L= V/(I·ω0) = 5V/2.5mA*1*105  = 20mH 

En resonancia, las corrientes en la bobina y el condensador son máximas (y desfasadas 180º). Cualquier variación de la frecuencia (aumento o disminución) hace que las intensidades se reduzcan

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

183 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

184 

 

TEMA TE MA 5:  ACOPL  A COPLA A MIENTO MA MAGNÉTICO GNÉTICO

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

185 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

186 

 

Febrero 2001 PROBLEMA 68:

En el circuito de la figura, fi gura, la frecuencia de la fuente de tensión es de 100 rad/s. Z 0.1H 20Ω  2.5mF +

 

50Vef

6Ω 

-

2:1

Se pide: •  Encontrar la impedancia Z que absorbe máxima potencia. •  Calcular el valor de esa potencia.

SOLUCIÓN 68: En primer lugar se calculan las impedancias de los distintos elementos: Z

20

10j -4j

+

 

50Vef

6

-

2:1

A continuación se calcula la impedancia i mpedancia equivalente para los elementos del secundario: Z EQ = (10 j − 4  j) // 6 = 3 + 3 j   20 Z +

 

50Vef

ZEQ=3+3j

-

2:1

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

187 

 

A continuación se representa el circuito reducido al primario, reflejando la impedancia ZEQ: Z′EQ = a 2 ⋅ Z EQ =  2 2 ⋅ Z EQ = 12 + 12 j   Z

20

50Vef

+

 

Z’EQ=12+12j

-

Y ya sólo resta hacer el equivalente serie de la resistencia de 20Ω y de Z’EQ: Z +

 

50Vef

32+12j

-

El circuito que queda entre los terminales de Z es ya un equivalente Thevenin, Thevenin, por lo que no hay que dar más pasos. La impedancia Z que consume máxima potencia es el conjugado de la impedancia Thevenin: Z MAX =  32 − 12j   La potencia absorbida por la impedancia i mpedancia se calcula fácilmente: 32-12j i +

 

50Vef

32+12j

-

v 50 50 = = = 0.78A Z 32 − 12 j + 32 + 12 j 64   P = i 2 ⋅ R  =  0.78 2 ⋅ 32 = 19.5W

i=

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

188 

 

Junio 2001 PROBLEMA 69:

Sobre circuito de la figura, se pide: •  elEquivalente Thevenin entre los puntos A y B •  Potencia que consumiría una resistencia de 5Ω conectada entre A y B •  Impedancia que, colocada entre A y B, consumiría la máxima potencia posible y valor de esa potencia. 30mH

4Ω 

2,5Ω 

2mF 10cos(100t) V

20mH

10mH

+

A

B

50mH

5cos(100t) V

+

 

-

 

-

SOLUCIÓN 69: El circuito en términos de impedancias queda: 3j

4

1j

-5j 10

2j

2,5

A

B

5j

+

+

 

5

-

 

-

Y la parte izquierda se puede simplificar mediante una transformación de fuentes: 2j

2,5

4 1.6-1.2j

-5j

1j

A

5j

B

+

 

-

3j

5

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

189 

 

A continuación se hace el equivalente paralelo de las impedancias: 2j

2,5

1.6-1.2j

5-2.5j

A

B

+

1j

 

5

-

5j

Se hace una nueva transformación de fuentes: 2j

2,5

A

B

5-2.5j +

 

5-10j

+

1j

-

 

5

-

5j

Y por último el equivalente serie de las dos impedancias i mpedancias:: 2j

A

B

7.5-2.5j +

 

5-10j

+

1j

-

 

5

-

5j

Ahora se puede hacer el eq. Thevenin, obteniendo V CA  e ICC y trabajando por mallas dado que existe acoplamiento magnético: 1. Cálculo de VCA: 2j

A

B 7.5-2.5j +

 

-

5-10j

I1 

I2=0

1j 5j

Las ecuaciones que quedan son: 5-10j+I1(7.5-2.5j)+I1(2j)+(I1-I2)(-j)+(I1-I2)(5j)+I1(-j) = 0 I2 = 0 Se obtiene I1 = -0.2+1.4j A

+

 

-

5

VCA = VAB = VA - VB = I1(5j)+I1(-j) - 5 = -10.6 - 0.8j V  

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

190 

 

2. Cálculo de ICC: 2j

A

B

7.5-2.5j +

 

5-10j

-

I2 

1j

I1 

+

 

5

-

5j

En este caso, las ecuaciones que quedan son: 5-10j+I1(7.5-2.5j)+I1(2j)+(I1-I2)(-j)+(I1-I2)(5j)+I1(-j) = 0 5+(I2-I1)(5j)+I1(j) = 0 Y se obtiene: I1 = -1.31 + 1.21j I  = -1.05 + 1.97j 2

ICC = I2 = -1.05 + 1.97j Con estos datos se puede construir el equivalente Thevenin:

ZEQ = VCA/ICC = 1.92 + 4.36j 1.92 + 4.36j -10.6 - 0.8j

+

 

-

Si conectamos una resistencia de 5Ω: 1.92 + 4.36j -10.6 - 0.8j

+

5

 

-

La intensidad que circulará por ella será: I = (-10.6-0.8j)/(6.92+4.36j) = -1.15 + 0.6j Y la potencia que consuma:

2

P = |I| R = 8.45W  

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

191 

 

La impedancia de máxima potencia será el conjugado de la impedancia Thevenin: 1.92 + 4.36j -10.6 - 0.8j

+ -

1.92 - 4.36j

 

La intensidad que circule por ella será: I = (-10.6-0.8j)/(3.84) = -2.76 – 0.221j Y la potencia consumida será:

P = |I|2R  =  = 14.71W

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

192 

 

Septiembre 2001 PROBLEMA 70: Dado el circuito de la figura, se pide: •  Calcular i(t) expresado como una función del tiempo. ensión de 20V. •  Calcular las potencias real, reactiva y aparente en la fuente de ttensión f uente cede o absorbe potencia real y si cede o absorbe potencia •  Decir si esa fuente reactiva. 2mF

6Ω 

4Ω 

30mH

it

20mH

+

10mH

 

2Ω 

+ - 

20cos(100t)

-

1mF

10cos(100t)

SOLUCIÓN 70: En primer lugar, se expresan las capacidades e inductancias como impedancias (teniendo en cuenta que la frecuencia angular son 100 rad/s) y las tensiones como fasores: -5jΩ  3jΩ 

6Ω 

4Ω 

i1 

2jΩ 

it i2 

 jΩ  2Ω  10∠0

+

 

20∠0

-

-10jΩ 

+ - 

A continuación se plantean las ecuaciones de análisis por mallas: 2 ⋅ i1 − 10 + 3 j ⋅ i1 − j ⋅ (i1 − i 2 ) − 5 j ⋅ i1 + 4 ⋅ i1 + 2 j ⋅ (i1 − i 2 ) −  j ⋅ i1 = 0 − 10 j ⋅ i 2 + 2 j ⋅ (i 2 − i1 ) +  j ⋅ i1 + 6 ⋅ i 2 + 20 = 0 Resolviendo: i1 = 1,79 + 0,37 j   i 2 = −1,37 − 1,52 j El dato pedido será:

i = −i 2 = 1,37 + 1,52j = 2,04∠0.84rad  

i(t) = 2,04 ⋅ cos(100t + 0,84) V

Para el cálculo de la potencia los sentidos de tensión e intensidad deben ser concordantes, por lo tanto se usará –i(t) en lugar de i(t):   150 Problemas de Teoría de Circuitos

193 

 

20 ⋅ 2,04 ⋅ cos(2,3) = −13,59W (cede potencia real) 2 20 ⋅ 2,04 Q= ⋅ sen(2,3) = 15,21VAR  (absorbe potencia reactiva) 2 20 ⋅ 2,04 S= 2 = 20,4VA P=

-i = 2,04∠-2,3rad +

  v = 20∠0

-

 NOTA: para el cálculo de la potencia se considera el ángulo que la tensión está desfasada respecto de la intensidad, y no al revés. Por tanto, el desfase es de +2,3 rad.

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

194 

 

Febrero 2002 PROBLEMA 71:

Considérese el circuito de la figura,: C

50mA 200Ω 

L

Z 6+8j Ω 

a:1

Sabiendo que en el primario del transformador hay conectado un circuito resonante con frecuencia de resonancia ddee 5000 rad rad/s /s y factor de calidad calidad 2, se pide: pide: •  los valores de L y C en el circuito resonante •  la tensión VC en el condensado condensadorr a llaa frecuencia de resonancia •  el valor que debería tener la relación de transformación a  para que la carga Z en secundario consuma máxima potencia

SOLUCIÓN 71:

•  Valores de L y C en el circuito cir cuito resonante? Q=

ωO ω 5000 →β= O = = 2500rad / s Q 2 β

1 1 1 →C= = = 2·10 −6 = 2μF R β 200 ⋅ 2500 RC 1 1 1 1 ωO = →L= 2 = = = 0.02H = 20mH   2 −6 50 5000 2 · 10 ⋅ LC ωO C C = 2μF L = 20mH

β=

condensador or a la frecuencia de resonancia? •  la tensión VC en el condensad En resonancia, el conjunto de L y C se comportan como un circuito abierto, por lo tanto: +

50mA 200Ω 

VC

VC  = I· R = 50 mA· 200 Ω = 10V 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

195 

 

•

  Valor que debería tener la relación de transformación a  para que la carga Z en

secundario consuma máxima potencia? 

Reflejamos Z en primario:  50mA

200Ω 

Z’=a2·Z

Por el teorema de máxima transferencia de potencia, la carga que consumirá máxima potencia será igual a la ZTH  vista desde desde los extrem extremos os de la carga. carga. Para el caso del transformador: ZTH = Z' 200 = a 6 + 8 j = a 100 → a =  20 = 4.47 2

2

 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

196 

 

Junio 2002 PROBLEMA 72: En el circuito siguiente, los valores de tensión en las fuentes son V1 = 24V⎣0° y V2 =  4V⎣−90°  , el voltaje ddee salida Vo, •  determinad el

V2 

R 1 

~  

4Ω 

~

C1 

V1 

R 2 

R 3 

2Ω 

2Ω 

L1   j3 Ω 

+ 2Ω 

-j4 Ω 

R 4 

Vo - 

1:2

SOLUCIÓN 72: Convertimos a su valor fasorial f asorial las fuentes de tensión:  ) V1 = 24    ) V2 = − j4 Para simplificar los cálculos para la obtención de Vo, vamos a hallar el equivalente Thevenin del circuito conectado al primario del transformador: V2 

R 1 

R 2 

~   4Ω 

~

2Ω 

C1 

V1 

A

-j4 Ω 

B

Vth :  R 1  4Ω 

~  

V1 

Vx

V2 

~  

C1  -j4 Ω 

R 2  2Ω 

A

i=0 B

Vˆth = (Vˆ AB ) abierto = Vˆ x − Vˆ 2     150 Problemas de Teoría de Circuitos

197 

 

Vˆ1 −  j4  = 24 = 12 − 12 j   4 −  j4 R 1 + Z C1 Vˆ th = Vˆ x − Vˆ 2 = 12 −  12 j − (− j4) = 12 − 8 j  

Vˆ x = Z C1

Zth :  Anulamos fuentes independientes: R 1  4Ω 

R 2  2Ω 

C1 

Zth 

-j4 Ω 

Z th = R 1 // Z C1 + R 2 =  4 // −  j4 + 2 = .... = 4 − 2 j   Utilizando el equivalente Thevenin, el circuito inicial queda reducido al siguiente: Zth  4-2 L1  R 3   j3 Ω 

2Ω 

+ 12-8 ~ Vth  i1  v1 -

1:2

+ v2 -

i2 

+ 2Ω 

R 4 

Vo

En un transformador ideal la relación entre corrientes y tensiones en primario y secundario es la siguiente: v1  N 1

=

v 2  N 2   i1  N 2 = i 2  N 1 En nuestro caso

 N1 1 1 = v1 = v 2 i1 = 2i 2    N 2 2 2

Del circuito anterior: 1 Vˆo = 2ˆi 2  = 2 ˆi1 = ˆi1   2

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

198 

 

Vamos a hallar el valor de Vˆ o  = ˆi1  reflejando el circuito de secundario en primario:

Vˆ o = ˆi1 =

4(12 − 8 j) Vth 12 − 8 j =   K = 2.63 − 0.94j = = 20 − 5 j Zth + a 2 Zc 4 − 2 j + 1 (4 + 3 j) 4

a =  N 1 = 1  N 2 2 Zc = 4 + 3 j

 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

199 

 

Septiembre 2002 PROBLEMA 73: La figura muestra un circuito de suministro de potencia. Un generador hidroeléctrico  produce el voltaje equivalente de Thevenin VS a través de una impedancia equivalente de Thevenin de valor 0.1Ω. Su salida se incrementa utilizando un transformador de aumento de proporción 10:1 para una más eficiente transmisión por cable. Las líneas de transmisión tienen una impedancia equivalente de 1Ω. La potencia debe suministrarse a una carga de 4 Ω a través tr avés de un segundo transformador ideal. •  Determinad la proporción de espiras n en el segundo transformador ideal para maximizar la potencia suministrada por la fuente. f uente. 0.1

+

 

1

VS 

4

-

1 : 10

1:n

SOLUCIÓN 73:

Para maximizar la potencia suministrada por la fuente, la impedancia Z 2 debe consumir la máxima potencia posible, para ello, según el teorema de máxima tranferencia de  potencia, Z2 debe ser igual a la impedancia de Thevenin vista desde sus terminales, que es la resistencia 0.1Ω. Por tanto, calcularemos el valor de Z2 y lo igualaremos a 0.1Ω. :  Relación de transformación en el transformador tr ansformador 1:  N 10 a 1 = 2  = = 10    N1 1 Relación de transformación en el transformador tr ansformador 2:  N n a 2 = 2  = = n    N1 1

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

200 

 

Reflejamos la carga situada en el secundario del transformador 2 en primario: 4 1 1 Z' = 2 ·Z =   2 ·4 = 2 = Z1   n (n ) a2 Reflejamos la carga situada en el secundario del transformador 1 en primario: 4 1 1 ·( 2 + 1) = Z 2   Z' ' = 2 ·( Z'+1) =  2 a1 (10) n

0.1

+

 

1

VS 

4

-

1 : 10

1:n

Z2 

Z1 

Hacemos Z2 = 0.1Ω y resolvemos: Z2 =

4 1 ·( 2 + 1) = 0.1 2 (10) n 4 + 1 = 10 2   n 4 =9 n2 4 n2 = 9

n =

2   3

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

201 

 

Diciembre 2002 PROBLEMA 74: En el circuito siguiente, •  Calculad el valor de la capacidad C para que la corriente que circula por la fuente V1 no se desfase respecto de la tensión. R 1 

0.04H M

12Ω  24∠0rad 

+

 

V1 

0.2H

C L2  0.2H

L1 

L3  0.06H

-

R 2 

ω=50 rad/s

R 3 

4Ω 

14142 : 10000

5Ω 

SOLUCIÓN 74: Para que la corriente que circula por la fuente V1 no se desfase respecto de la tensión, la impedancia vista por la fuente ha de ser resistiva. Vamos a calcular el valor de las impedancias de los elementos en el circuito: ZR 1 = 12 ZR 2 = 4 ZR 3 = 5 ZL1 = L1 jω = 0.2·50· j = 10 j ZL 2 = L 2 jω = 0.2·50· j = 10 j   ZL 3 = L3 jω = 0.06·50· j = 3 j 1 1 ZC = Cjω = 50Cj Mjω = 0.04·50· j = 2 j A continuación, continuación, simplificaremos el circuito anterior reflejando en primario el subcircuito a la derecha del transformador: 12

24∠0rad 

ω=50 rad/s

+

 

V1 

2j M 10j

-

i1 

L1 

C L2  10j

Z=10+6j

i2 

4

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

202 

 

 N1 14142 = = 1.4142 = 2  N 2 10000 a2 = 2   ( ZL3 + ZR 3 )' = a 2 ( ZL3 + ZR 3 ) = 2(3 j + 5) = 10 + 6 j

a=

Y ahora resolveremos el circuito mediante mallas, y aplicaremos la condición que la impedancia vista por la fuente ha de ser resistiva. Ecuaciones de malla: 24 = ˆi1·12 + ˆi1·10 j + ˆi2 ·2 j

⎫ ⎪ ˆ − 2 j ˆi1   i → = ⎬ ⎛  1  ⎞ˆ ˆ 2 1  ⎞ ⎛  ⎟⎟i2 + i1·2 j⎪ 0 = ⎜⎜ 4 + 10 + 6 j + 10 j + 14 +  j⎜16 − ⎟ 50 Cj ⎝   ⎠ ⎭ ⎝  50C ⎠ sustituyendo en la primera ecuación:

− 2 j ˆi ; 1  ⎞ 1 ⎛  14 +  j⎜16 − ⎟ ⎝  50C ⎠ ⎛   ⎞ ⎛  1  ⎞ ⎞ 14 −  j⎛  16 − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ 4 4 50 C  ⎠ ⎝  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ˆi1 = ˆ 24 = 12 + 10 j + i1 = (12 + 10 j) + ⎜ 1  ⎞ ⎟ 1  ⎞ ⎟ ⎜ 1  ⎞ ⎛  14 +  j⎛  14 +  j⎛  ⎜16 − ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜16 − ⎟ 14 −  j⎜16 − ⎜ ⎝  50C ⎠ ⎠ ⎝  ⎝  50C ⎠ ⎠ ⎝  50C ⎠ ⎝  ⎛  ⎛  1  ⎞ ⎞ ⎞⎟ ⎜ 4⎜⎜14 −  j⎛  ⎜16 − ⎟⎟ ⎜ (12 + 10 j) + ⎝  ⎝  50C ⎠ ⎠⎟ ⎟ˆi 2 ⎟1 ⎜ 142 − ⎛  ⎜16 − 501C ⎞ ⎜ ⎝   ⎠⎟  ⎠⎟ ⎝  24 = (12 + 10 j)ˆi1 + 2 j

  La condición de impedancia resistiva implica que la parte imaginaria de la ecuación anterior ha de ser 0, puesto qque ue la fuente de tensió tensiónn tiene fase 0, la corriente de malla i1  también ha de tener fase 0. 4 4  ⎞ 1  ⎞ ⎛  ⎟ → 54 = ⎟ = 0 → 10 = ⎜ 64 − 50C ⎝  50C ⎠ ⎝  50C ⎠   4 1 = = = 1.48mF

Im{ } = 10 − 4⎛  ⎜16 − C=

4

C = 1.48mF

54·50

2700

675

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

203 

 

Febrero 2003 PROBLEMA 75: En el siguiente circuito resonante: •  hallad el valor de la relación de transformación a, para obtener un factor de calidad Q de 50. •  calculad el valor de la corriente y la tension en el conden condensador sador y en la bobina a la frecuencia de resonancia.  C

50mA

L 25mH

10Ω 

10μF

a:1

SOLUCIÓN 75:

•  Cálculo de la relación de transformación a: Si se refleja la resistencia de secundario en primario, el circuito anterior queda reducido al siguiente: C 50mA

L 25mH

ωo =

a2·10 10μF

1 1 = = .. = 2000rad / s −3 −6 LC 25·10 ·10·10

β=

1 RC

Q=

2000 ωo →Q= = 2000·RC = 2000·a 2 ·10·10·10− 6 1 / RC β

Si el factor de calidad Q ha de valer 50: Q = 2000·a 2 ·10·10·10 −6 = 50

 

M

a = 250 = 15.81

 

a ≅ 16

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

204 

 

•  Cálculo del valor de la corriente y la tension en el condensa condensador dor y en la bobina a la frecuencia de resonancia: Si el circuito anterior es resonante, la bobina bobina y el condensador son equ equivalentes ivalentes a un circuito abierto, y reflejando la resistencia de secundario en primario (con a2 = 250), el circuito anterior queda reducido a una sola malla:

I L = Q·I = 50mA·50 = 2500mA I C = Q·I = 50mA·50 = 2500mA VC = VL = I·R  = I·a 2 ·10 = 50·10 −3 ·250·10 = 125V

 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

205 

 

Diciembre 2003 PROBLEMA 76: En el circuito siguiente, •  Encontrad el equivalente Thevenin visto desde los terminales de la fuente de corriente sinusoidal. •  Encontrad la potencia media suministrada por la fuente de corriente sinusoidal. •  Encontrad la potencia media suministrada a la resistencia de 20Ω  4:1

60Ω  R 1 

Ig 

5∠0º Aeff  

ideal

40Ω 

R 3 

20Ω  R    2

SOLUCIÓN 76:

•  Encontrad el equivalente Thevenin visto desde los terminales de la fuente de corriente sinusoidal Se cumple que VTH = 0 y I N = 0, puesto que en el circuito visto desde los terminales de la fuente de corriente no hay fuentes. Para averiguar el valorsinusoidal de la R TH TH se debe utilizar el método test, puesto que VTH = 0 y I N = 0: VTH 0 = = indeterminación I N 0 Por tanto, se coloca una fuente de corriente test de valor 1 Aeff  entre  entre los terminales A-B,  para averiguar así el el valor de la R TH TH: V R TH  = test   I tes R TH =

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

206 

 

4:1 A

60Ω  R 1 

Itest  1∠0º Aeff  

40Ω 

ideal

R 3 

20Ω  R    2

B 

Se realiza una transformación de fuentes para simplificar el análisis: 60Ω 

+

 

60Veff  

-

4:1 +

v2

v1

+ 

-

ideal

40Ω 

i 1  20Ω  R    2

R 3 

i2 

y se resuelve el circuito mediante el análisis de mallas haciendo uso de las relaciones de tensión y corriente en el transformador ideal: 60 = 60·i1 + v1 + 20·(i1 − i 2 ) 0 = 40·i 2 + 20·(i 2 − i1 ) + v 2 v1  N1 = =4   v 2  N 2 i1  N 1 =− 2 =− i2  N 1 4

La tensión en la fuente test:

i1 = 0.05A i2 = -0.2A v1 = 52V v2 = 13V

Vtest = v1 + 20·(i1 − i 2 ) =  52 + 20·(0.05 + 0.2) = 57V   y el valor de la R TH TH:   150 Problemas de Teoría de Circuitos

207 

 

R TH =

Vtest 57 = = 57Ω   I tes 1

Por tanto el equivalente Thevenin visto desde los terminales de la fuente de corriente sinusoidal es simplemente una resistencia se 57 Ω.

R TH TH = 57Ω 

R TH TH 

•  Encontrad la potencia media suministrada por la fuente de corriente sinusoidal. Es posible realizar el cálculo de la potencia generada por la fuente utilizando el equivalente Thevenin calculado en el apartado anterior: Vg 

Ig 

+ 

5∠0º

+ VR  

R TTHH = 57Ω 

- 

VR  =  = I· R TH TH = 5 · 57 = 285 V V  = - VR  =  = -285V rg * S = Vg ·Ig = (− 285)·5 = −1425VA   Potencia generada por la fuente:

Pg = -1425 W 

•  Encontrad la potencia media suministrada a la resistencia de 20Ω  Para averiguar la potencia consumida por la resistencia de 20Ω es necesario averiguar la corriente que pasa por ella resolviendo el circuito inicial: 60Ω 

4:1

+

 

-

Ig  5∠0º Aeff  

60Ω  R 1 

ideal

20Ω  R    2

40Ω 

300∠0º  0º Veff  

4:1 +

v2

v1

+ 

R 3 

Transformación de fuentes

ideal

40Ω 

i 1  20Ω  R    2

i 2 

R 3 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

208 

 

300 = 60·i1 + v1 + 20·(i1 − i 2 ) 0 = 40·i 2 + 20·(i 2 − i1 ) + v 2 v1  N1 = =4   v 2  N 2 i1  N 1 =− 2 =− i2  N 1 4

P20Ω=(i1-i2)2·20 = 31.25W 

i1 = 0.25A i2 = -1A vv12 = 260V = 65V

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

209 

 

Febrero 2004 PROBLEMA 77:

Sobre el siguiente circuito, si f = 100Hz , hallad:

•  el equivalente Thevenin entre los terminales A y B •  la potencia que absorbería una resistencia de 100 Ω conectada entre A y B. 100Ω 

1/(2π) H

A 80Veff  

~

1/(2π) H

1/π 

25/π  μF

SOLUCIÓN 77:

Cálculo del equivalente Thévenin: VTH = (VAB)circuito abierto = VA -VB = VA  ZR1 

ω  = 2πf =200π rad/s

ZM 

ZR1 = R 1 = 100

A 80Veff  

~

i1 

ZL1 

ZL2 

VTH 

i2  B

ZC 

ZL1 =  = jjω L1 = = 200j ω Z L L2 2 100j ZM = jωM =100j 1 ZC =   = −200 j    jωC

i2 = 0 → VA = VZL2 = i2 · ZL2 + i1 · ZM = i1·100j ecuación de malla → 80 = i1· ZR1 + i1· ZL1 + i2· ZM + i1· ZC  80 = i1· 100 i1 = 0.8 A

VTH = 80j V

I N= (IAB)cortocircuito   150 Problemas de Teoría de Circuitos

210 

 

ZR1 

ZM 

Por mallas:

A 80Veff  

i1 

~

ZL1 

ZL2 

I N 

i2 

80 = i1· ZR1 + i1· ZL1 + i2· ZM + i1· ZC  0 = i2· ZL2 + i1· ZM 

B

IN = -i2 = 0.4(1+j)

ZC 

Z TH =

VTH 80 j =   = 100 + 100j   I N 0.4(1 +  j)

Equivalente Thevenin: R 1  100Ω 

L1 

VTH = 80j → VTH (t) = 80 cos(100πt + π/2) V 

1/2π H

+

ZTH = 100 + 100j → R = 100 Ω, L=1/2π H 

  VTH 

-

Potencia que absorbería una resistencia de 100 Ω conectada entre A y B: R 1  100Ω  + -

 

L1  1/2π H

I=

VTH  I N 

100

VTH = 0.16 + 0.32 j   ZTH + 100

P100Ω = /I/2 · R = 12.8W 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

211 

 

Junio 2004 PROBLEMA 78: Encuentra la potencia media consumida por la resistencia R 2 en el circuito de la figura:

·

R 1 

+

 

Vg 

L1 

Datos:

·

M

-

L2 

R 2 

Vg (t) = 100 cos 2000t V R 1 = 4Ω, R 2 = 16Ω  L1 =  4mH, L2 =  5mH, M =2mH 

SOLUCIÓN 78: Para averiguar la potencia media consumida por la resistencia R 2 se calcula la corriente que pasa por ella analizando el circuito anterior por mallas:

R 1 

+

 

-

Vg 

i1 

·

M

L1 

ω = 2000 rad/s

·

L2 

R 2  i2 

Vg = 100 ZL1 = jωL1 = 8j ZL2 = jωL2 = 10j ZM = jωM = 4j

Malla1: Vg = R 1·i1 + ZL1·i1 − ZM ·(  i1 + i 2 ) + ZL 2 ·(i1 + i 2 ) − ZM ·i1   Malla2: 0 = ZL 2 ·(i1 + i 2 ) − Z M ·i1 + R 2 ·i 2   se sustituyen los valores de los l os componentes y se despeja la corriente i 2: Malla1: 100 = 4·i1 + 8 j·i1 − 4 j·(i1  + i 2 ) + 10 j·(i1 + i 2 ) − 4 j·i1   Malla2: 0 = 10 j·(i1 +  i 2 ) − 4 j·i1 + 16·i 2   La potencia media consumida por la resistencia R2:

i2 = -3A

1 1 2 2 PR2 = 2 i 2 ·R 2   = 2 − 3 ·16 = 72W  

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

PROBLEMAS PROPUESTOS

212 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

213 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

214 

 

TEMA TE MA 1:  ANÁ  A NÁL L ISIS DE CIRCUITOS EN DC

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

215 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

216 

 

79. Determina las corrientes en las resistencias: R 3 

R 1 

1k Ω

1k Ω 10 V 

+

 

R 5 

V1 

1k Ω

-

I1 

R 4 

R 2  1k Ω

1k Ω

10 mA

80. Calcula el voltaje en los nodos V1 y V2 mediante el análisis por nodos:

R 4 

V1 

V 2 

2Ω  12Ω 

Ig 

R 1 

6Ω 

4A

3Ω 

R 2 

R 3 

81. Calcula el voltaje en los nodos V1 y V 2 mediante el análisis por nodos (Ejemplo con fuente de tensión a tierra): V 1 

R 2 

V 2 

2Ω  4Ω 

+

R 1 

 

Ig 

Vg 

-

1A

6V

2Ω 

R 3 

82. Calcula el voltaje en los nodos V1 y V 2 mediante el análisis por nodos (Ejemplo con fuente de tensión no a tierra): V1 

Vg  V2  + -  4V

8A

3Ω  Ig 

R 1 

1Ω 

R 2 

Ih  4A

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

217 

 

83. Calcula el voltaje en los nodos V1 y V 2 mediante el análisis por nodos (Ejemplo con fuente de tensión + resistencia): r esistencia): V 2 

V1 

R 1 

R 3 

1Ω  +

 

Vg 

-

12 V

1Ω 

8Ω 

1Ω 

R 2 

Ig 

R 4 

2A

84. Calcula el voltaje en los nodos V1 y V 2 mediante el análisis por nodos (Ejemplo con fuentes dependientes): V1 

4Ω 

R 1 

R 2 

+  _  

2i1 

V2 

2Ω 

Vg 

Ig 

1Ω 

1A

R 3 

I

85. Obtener la tensión VX: + 5A

16Ω 

VX 

R 4 

2Ω 

R 3 

R 2 

- 

20Ω 

R 1  80Ω 

12A

86. Sobre el ejemplo con la fuente de tensión a tierra (prob.81), obtener: a.  la intensidad cedida por la fuente Vg.  b.  la intensidad intensidad que circula por R 3. c.  la intensidad que circula por R 1. 87. Sobre el ejemplo con la fuente de tensión no a tierra (prob.82), obtener la

intensidad cedida por la fuente Vg. 88. Sobre el ejemplo con fuentes dependientes (prob.84), obtener la intensidad cedida por la fuente dependiente.   150 Problemas de Teoría de Circuitos

218 

 

89. Calcula la corriente que circula por la resistencia R 2  mediante el análisis por mallas:

V1 

+

6V

 

-

R 1 

R 3 

4Ω 

4Ω 

1Ω 

R 2 

6Ω 

R 4 

V2 

+

 

-

12 V

90. Calcula las corrientes de malla del siguiente circuito (Ejemplo con fuente de corriente): Vg  + -  Ig 

3Ω 

5A

6V 6Ω 

R 1 

R 2 

91. Calcula las corrientes de malla del siguiente circuito (Ejemplo con fuente de corriente común a 2 mallas): R 2  2Ω  Ig 

3Ω 

R 1 

+

 

-

12 V

V1 

2A

10Ω 

+

3V

R 3 

 

-

V2 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

219 

 

92. Obtener Vo mediante: a.  Análisis por nodos.  b.  Análisis por mallas. V x

 

12k Ω  R 3 

3000

8k Ω 

R 4 

R 1  +

3k Ω 

R 2V   X 

4k Ω 

6mA

-

93. Encuentra el valor de la corriente a través de la resistencia R 3: R 2  10k Ω I1 

R 1  12k Ω 

R 3  3k Ω

R 4 

6k Ω

6mA

94. Halla Vo y el valor de la corriente a través de la resistencia R 1: +

V o 

-

R 3  6k Ω  I2 

3k Ω 

1mA

I1 

R 1 

12k Ω  R 2 

4mA

95. Halla Vo, V1 y V2 en el circuito siguiente: I1  2mA V1 

R 1  6k Ω 

I2 

V 2 

R 5  2k Ω 

Vo 

3k Ω 

12k Ω  R 3 

R 2 

2k Ω 

R 4 

4mA

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

220 

 

96. Halla el valor de la corriente que pasa por la resistencia R 2: R 2 

12k Ω  6k Ω 

4k Ω 

V1 

+

12V

R 1 

 

-

R 3 

-

6V

 

V2

+

97. Encuentra el valor de Vo:

6V

-

 

R 1 

R 2 

6k Ω 

2k Ω 

V1 

2k Ω 

+

R 3 

3V

-

 

V1 

+

+

1k Ω 

Vo

R 4 

- 

98. Halla la resistencia equivalente desde los terminales indicados para cada una de las siguientes redes:

A 1k Ω 

R 2 

R 4 

R 6 

2k Ω 

2k Ω 

2k Ω 

1k Ω 

R 1 

1k Ω 

R 3 

R 5 

B 

A

R 1 

R 4 

3k Ω 

1k Ω 

1k Ω 

R 2 

2k Ω 

R 5 

1k Ω 

R 6 

B 

3k Ω 

2k Ω 

R 3 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

R    7

221 

 

99. Halla la resistencia equivalente desde los terminales indicados para cada una de las siguientes redes: a)

R 1 

R 2 

6Ω 

3Ω 

18Ω 

R 3 

6Ω 

10Ω 

R 5 

R 4 

 b) R 1 

R 2 

12k Ω 

12k Ω 

18k Ω  R 3 

6k Ω 

5k Ω 

100. 

R 4 

6k Ω 

R 5 

R 6 

¿Qué tensión marcará un voltímetro conectado entre los nodos A y B?

120 V

-240V

20k Ω  R 1  A

40k Ω  R 3  R 2 

B

30k Ω  60k Ω  R 7  30k Ω  R 4 

60k Ω  R 5  60k Ω  R 6 

-240V

480V

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

222 

 

101. 

Calcular Vo utilizando transformación de fuentes: V1 

R 1 

- + 

2k Ω  1k Ω 

I1 

R 2 

+

3V 6k Ω 

2mA

R 3 

Vo - 

102.  Determina las potencias consumidas y generadas por cada componente del siguiente circuito:

+

 

R 1 

R 3 

1k Ω 

1k Ω 

V1 

1k Ω 

-

+

R 2 

 

V2 

-

30 V

10 V

103.  Determina las potencias consumidas y generadas por cada componente del siguiente circuito:

I1  10mA

R 1 

R 3 

R 7 

1k Ω 

1k Ω 

1k Ω 

1k Ω 

1k Ω 

R 2 

+

R 4 

20 V

+

  V1 

-

10 V

1k Ω 

 

V2 

-

R 5  R 6  1k Ω 

104.  Utilizad el teorema de superposición para encontrar Vo en el siguiente circuito: + R 1 

Vo R 3 

3k Ω 

8k Ω 

-

I

V1 

+

6k Ω 

-

2k Ω 

R 2 

12 V  

R 4 

2mA

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

223 

 

105.  Determinad los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton desde los terminales AB del circuito siguiente:

+

 

R 1 

R 3  A

6k Ω 

2k Ω 

V1 

6k Ω 

-

10 V

CARGA

R 2 

B

106.  Hallad Vo, para ello encontrad el equivalente de Thevenin visto desde los terminales AB: R 1 

A

R 3 

R 4  +

3k Ω  V1 

+

2k Ω 

6k Ω 

4k Ω  I1 

R 2 

12 V  

8k Ω 

R 5  Vo

2mA -  B

107.  Usad el teorema de Thevenin para encontrar el valor de Vo en el siguiente circuito: +

+

 

-

12 V

108.  a.   b.  c.  d.  e. 

V1 

Vo

R 1 

R 3 

3k Ω 

8k Ω 

6k Ω 

-

I1 

R 2 

2k Ω 

R 4 

2mA

Calculad el valor de la corriente que circula por la resistencia R2: aplicando el teorema de Thevenin aplicando el teorema de Norton aplicando el teorema de superposición aplicando el análisis por mallas aplicando el análisis por nodos R 1  1Ω 

1Ω 

10 V

+

V1 

-

 

R 3  1Ω  10A

R 2 

I1 

- +  V2 

10 V

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

224 

 

109.  Calculad los equivalentes de Thevenin y Norton del siguiente circuito con respecto a los terminales AB: R 1  A

4Ω  V1 

+

30V

 

-

2Ω 

I1 

R 2 

3A B 

110.  Calculad el valor de R en el siguiente circuito para que la intensidad a su través tome los siguientes valores: a.  1A  b.  0.5A

12Ω 

4Ω  +

28V

 

-

I1 

V1 

I

1A

R

+

3Ω  36V

 

V2 

-

111.  Calculad el valor de R para que la resistencia R1 del circuito absorba máxima potencia. ¿Cuál es el valor de esa potencia? 2Ω 

  20A

1Ω 

R

1Ω 

R 1 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

225 

 

112.  Calculad la potencia generada o consumida por la fuente real de tensión conectada entre los terminales A y B del siguiente circuito: 3Ω 

3A 6V + - 

A 3Ω 

1A 5Ω 

2Ω 

2Ω 

R 1 

4Ω 

+

9V

+

 

 

-

6V

-

2A

B

113.  Cuando el valor de la resistencia R1 del circuito siguiente varía de 10  a 16Ω, la intensidad que la recorre varía de 4A a 3A. Calculad el valor deΩla resistencia R. R

+

 

-

Vg 

Ig 

12Ω 

R 1 

114.  Una batería de automóvil presenta entre sus terminales, a circuito abierto, una tensión de 12.2V. Si se pone unos instantes en cortocircuito, suministra 122A. a.  Calculad la tensión en bornes cuando suministra una intensidad de 10A.  b.  Calculad la intensidad que suministra si la tensión en bornes es de 13.2V. 115.  Se dispone de N fuentes reales r eales de tensión de 10V, las cuales poseen 1Ω  de resistencia interna cada una. Conectadas en paralelo y aplicadas a una carga resistiva de 6 Ω, hacen que esta carga consuma una potencia de P W. Conectadas en serie y aplicadas a la misma carga de 6 Ω, hacen que ahora consuma una potencia P1 = 6.25 · P W. Calcula : a.  El número de fuentes.  b.  La potencia disipada en cada caso con el conjunto de fuentes. 116. 

Encontrad la corriente que circula por R2: R 2 

2k Ω 

+

R 1  3V

 

V1 

3k Ω 

-

2IX 

6k Ω 

R 3 

IX 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

226 

 

117. 

Calculad las corrientes que circulan por las resistencias R3 y R4: R 1  12Ω  +

  V1 

-

18 V

118. 

+

6Ω 

R 2  VX

0.5VX 

10Ω 

R 3 

5Ω 

R 4 

- 

Encontrad Vo en el circuito siguiente con el teorema de Thevenin: 4k Ω  +

+ VX +

 

V1 

4k Ω 

-

12 V

6k Ω  Vo

+

Vx/2

- 

119.  Encontrad el valor de R L para la máxima transferencia de potencia. ¿Cuál es el valor de la potencia consumida por R L? 2IX  -

+

1k Ω  3k Ω 

4k Ω  2k Ω 

4mA

IX 

R L 

120.  Encontrad V1 y Vg en el circuito siguiente, donde Vo = 5V. (Sugerencia: comenzar en el extremo derecho del circuito y trabajad hacia Vg).

I1  +

60Ω  +

Vg

260Ω 

+

25I1 

20Ω 

Vo

 

-

V1 - 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

I2 

80Ω 

40I2 

40Ω 

10Ω 

-

227 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

TEMA TE MA 2:  ANÁ  A NÁL L ISIS TRA TRANSITORIO NSITORIO

228 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

229 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

230 

 

121.  Obtener la tensión VC(t) en el condensad condensador or si se aplica una intensidad como la mostrada en la gráfica siguiente: I(t) (A) I(t) + VC(t) -

2F

3 3

0 -1

4

5

t (s)

1

122.  Obtener la tensión VC(t) en el condensador si por él circula una intensidad como la mostrada en la gráfica siguiente: I(t)

I(t) (A)

+ VC(t) -

2F

1 t (s) 0

123. 

1

2

3

En el siguiente siguiente circuito, calcula calculadd i(t) para t>0 t>0:: K1

+

100 V

 

V1 

50Ω 

-

R 1  10Ω 

•  •  •  • 

K1 lleva mucho tiempo abierto K2 lleva mucho tiempo cerrado K1 se cierra en t = 0s K2 se abre en t = 0.2s

i(t)

L1  1H

R 2 

K2

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

231 

 

124. 

En el siguiente circuito, calculad i(t) para t>0: R 1 

R 2 

10Ω 

10Ω  L1  0.5H

+

 

-

25 V

V1 

K

i(t) V2  + - 

R 3  5V

10Ω 

•  K lleva mucho tiempo abierto •  K se cierra en t = 0s •  K se vuelve a abrir en t = 0.02s 125. 

En el siguiente circuito, calculad V(t) para t>0: R 4 

K 2 1Ω 

+

0.25Ω 

R 1 

0.75Ω 

1 3Ω 

R 3 

R 2  V(t)

+

 

C1 

V1 

+

-

20 V

 

V2 

-

10 V

0.5F

•  K lleva mucho tiempo en la posición 1 •  K pasa a la posición 2 en t = 0s •  K vuelve a la posición 1 en t = 2s 126. 

En el siguiente circuito: 1 K 2

R 1  1MΩ  +

 

-

30 V

V1 

+ v(t) - 

C1 

R 2  2MΩ  +

 

-

1μF

10 V

•  K lleva mucho tiempo en la posición intermedia •  En t = 0s K pasa a la posición 1 •  Cuando v(t) llega a 20V, K pasa a la posición 2

V2 

- 

•  Cuando v(t) llega a 15V, K vuelve a la posición inicial •  Calculad el tiempo total transcurrido

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

232 

 

127.  Para el circuito de la figura, obtener V R (t) (t) para t>0 si la tensión de la fuente Vg(t) se comporta de la forma siguiente: 2F

R 1 

Vg(t)

1Ω 

1V t

+

 

Vg 

C1 

L1 

1Ω 

2H

-

+ R   VR   2

- 

Datos: iL(0)=0.5 A y VC(0)=1.5V 128.  El interruptor K del circuito lleva un tiempo t iempo infinito cerrado. En t = 0s se abre dicho interruptor. Calculad i(t). ¿De qué tipo de respuesta se trata?

I1 

0.25H

0.5Ω 

10A

129. 

i(t) 

0.25F K

En el siguiente circuito, calculad i(t) para t>0:

•  K lleva mucho tiempo cerrado •  K se abre en el instante t = 0 •  Datos: a.  C = 1F  b.  El circuito es críticamente amortiguado. K

L 3Ω 

+

 

V1 

2Ω 

-

20 V

C

i(t)

130.  El interruptor está abierto inicialmente, pero en t=0 se cierra. Calcular la tensión en el condensador para t>0: 3k Ω 

+

 

-

10 V

R 1 

V1  I1 

+  _  

2⋅VC(t) 

0.5⋅I1 

C1  1Ω 

R 2  1F

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

233 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

234 

 

TEMA TE MA 3:  A NÁL  ANÁ L ISIS EN REGIMEN ESTACIONARIO SENOIDAL

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

235 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

236 

 

131.  Determina la corriente I(t) proporcionada por el el generador de vvalor alor Vg = cos(2·t) (V). 1H

Vg 

~

+

2Ω  0.25F 2Ω 

I(t)

132. 

Determina el potencial VA(t):

Datos: ω = 1 rad/s V1 = cos(ω·t) (V). V2 = cos(ω·t + π/2) (V). 1H

V1 

~

+

1H

A

1Ω 

1Ω  V2 

1Ω 

~

+

1F

133.  Calcular la potencia real y reactiva absorbidas por la iimpedancia mpedancia Z. Datos: 50μF Z = 4 + 3j Ω  ω = 1000 rad/s 10mH 30mH 50mH V1 = 60·cos(ω·t) (V). V2 = 10·cos(ω·t – 90º) (V). Z V3 = 20·cos(ω·t + 90º) (V). 40Ω 

V1 

 

~ 

50Ω 

+

V2 

10Ω 

 

~ 

+

V3 

~

+

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

237 

 

134. 

Calcular I(t):

-jΩ  2Ω 

4Ω 

6Ω 

Datos:

3Ω 

14,1 · cos(50·t - π/2) /3) (V). V21 = 28,2

I(t) V1 

2jΩ 

~ 

3jΩ  V2 

+

135.  B:

~ +

Calcular el equivalente de Thevenin del circuito entre los terminales A y

4Ω 

3Ω 

-4jΩ 

2+jΩ  2jΩ 

2jΩ 

A

B + 50V

~

3k Ω 

R 1 

136.  Determinar el valor de la fuente de tensión E sabiendo que la intensidad entre los puntos A y B vale cero. V1 = 10·cos(ω·t + 30º) (V). -2jΩ 

3Ω 

5Ω 

V1 

~

+

A

5jΩ 

5Ω 

B

2Ω 

E

+

~ 

-2jΩ 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

238 

 

137.  La fuente E1 no cede ni absorbe potencia real ni potencia reactiva. Calcular el valor de la fuente. Datos: E = 20 ⎣0 V Z1 Z2 = = 4j 4j Ω   R = 4Ω  Z3 = -4j Ω 

Z1  I1  +

∼ 

E

Z2 

R 1 

I2 

IR  

Z3 

I

R

+E  1

∼ 

138.  Calcular la tensión en el condensador, la tensión en la bobina, la intensidad I. Dibujar el diagrama fasorial de tensiones e intensidades. Datos: I1 = 25A I2 = 15A VR1 = 175 V VR2 = 375 V f = 50 Hz E = 442 ⎣0 V

I1  R 1 

C L

R 2  I2 

I

+

139.  B:

∼  E

Calcular el equivalente de Thevenin del circuito entre los terminales A y

Datos:

0.2H

Vg = 9·cos(10·t ) (V). Ig = 9·cos(10·t -π/3) (A).

Vg 

+

1Ω 

0.1F

~ 

A

Ig 

B

140. 

A una red de 220 Veff y 50 Hz se conectan en paralelo:

•  un motor de 2 kW y factor de  potencia 0.8 inductivo inductivo •  una resistencia de calefacción de 1kW •  un banco de condensadores que eleva el factor de potencia del conjunto a 0.999 inductivo

iRED 

+ 220Vef (50Hz)  _

iM  M

iR  

iC 

R C

Calcular: •  intensidad cedida por la red •  intensidad en cada carga •  capacidad del banco de condensadores   150 Problemas de Teoría de Circuitos

239 

 

141.  Una industria conecta a una red de 3800 Veff a 50 Hz las siguientes cargas:

•  40 kW en resistencias de calefacción •  180 kVA con factor de potencia 0.7 inductivo en motores eléctricos. Calcular:

•  corriente que solicita la industria a la red •  factor de potencia de la instalación batería de condensadores que sería necesario con conectar ectar en •  capacidad de la batería  paralelo para subir subir el factor de potencia a 0.9 inductivo y valor de la intensidad intensidad solicitada a la red en esta situación. iRED 

+ +

3800V Motores

 _

Calefacción

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

TEMA TE MA 4: RESONANCIA

240 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

241 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

242 

 

142. 

Del circuito de la figura se conocen los siguientes datos:

ωo = 10 krad/s

VC = 1kV en resonancia 1Ω 

L

Se pide: •  valor de L y de C •  factor de calidad del circuito

C 20V + - 

143. 

Sobre el circuito de la figura se pide:

•  ancho de banda β  •  R a conectar en paralelo con el condensador para duplicar β 

i

100k Ω 

1mH

100k Ω 

1nF i +

 

0,1V

100k Ω 

-

144. 

En el circuito de la figura, calcular R L, L y C sabiendo:

•  ωo = 106 rad/s •  a la frecuencia de resonancia , la bobina tiene un factor de calidad 50 y unas  pérdidas de 62,5 62,5 mW

10k Ω 

R L 

C

+

 

50V L

-

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

243 

 

145. 

En el circuito de la figura, fi gura, se conoce:

f o = 1 MHz ω = 15 kHz QL=50 (factor de calidad de la bobina) se pide:

•  obtener R, L y R L  •  calcular el desfase de VC con respecto a I para f 1=f o+β/2 y f 2=f o-β/2

I R

R L 

+ VC  -  100pF

L

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

TEMA TE MA 5:  ACOPL  A COPLA A MIENTO MA MAGNÉTICO GNÉTICO

244 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

245 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

246 

 

146. 

Sobre el siguiente circuito, se pide:

•  Calcular la impedancia Z que, colocada entre A y B, absorbe la máxima •   potencia. Calcular el valor de dicha potencia. Datos:

V1 = 5 2 cos(1000 ⋅ t ) V V 2 = 10 2sen(1000 ⋅ t ) V

 

1Ω 

2mH

A

B

3mH V1

+

 

+

V2

-

 

-

147. 

Sobre el siguiente circuito, si f = 50Hz , hallad:

•  el equivalente Thevenin entre los terminales A y B •  la potencia que absorbería una resistencia de 25 Ω conectada entre A y B. 100Ω 

1/(2π) H

A 80Veff  

~

1/(2π) H

B 100/π  μF

148. 

Analizad el siguiente circuito y realizad r ealizad un balance de potencias. I g = 2sen(1000 ⋅ t ) A

Datos: Vg = 2 cos(1000 ⋅ t ) V   R 1 = R 2 = 1Ω L1 = 2mH; L 2 = M = 1mH

L1 

M

R 2 

L2 

+

 

-

Vg 

Ig 

R 1 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

247 

 

149. 

Sobre el siguiente circuito, se pide:

Calcular la impedancia Z que, colocada entre A y B, absorbe la máxima •   potencia. •  Calcular el valor de dicha potencia.

2Ω 

3mH

250μF

2Ω 

A 100 Veff   ω = 1000 rad/s

2mH

3mH

+

 

-

B  500μF

150. 

Sobre el siguiente circuito, se pide:

•  Calcular el valor de R para que la impedancia conec conectada tada entre A y B, consuma máxima potencia. •  Calcular el valor de esa potencia. 1Ω 

20mH A

30mH V1

+

 

-

R+j Ω 

50mH

B

+

 

-

V2

V1 = 5 2 cos(100 ⋅ t ) V Datos: V2 = 10 2 cos(100 ⋅ t + π ) V   2

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

SOLUCIONES  A L OS PROB PROBL L EMA EMAS S PROPUESTOS 

248 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

 

249 

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

250 

 

SOLUCIONES 79. IR1 = 4 mA; IR2 = 6 mA; IR3 = -2 mA; IR4 = 8 mA; IR5 = 10 mA. 80. V1 = 12V; V2 = 6V. 81. 82.  V11 = 6V; V22 = 4V. 2V. 83. V1 = 8V; V2 = 5V. 84. V1 = 4V; V2 = 2V. 85. VX = 48V. 86.  a.  I = 2.5A.  b.  IR3 = 2A. c.  IR1 = 1.5A. 87. I = 6A. 88. I = 2A. 89. IR2 = 2A. 90. I1 = 5A

I2 = -1A.

I2

I1  91. I1 = 1A

I1 

I2 = -3A.

I2

92. Vo = 24V. 93. IR3 = 1mA. 94. Vo = 102/7 V = 14.57V; IR1 = 10/7 mA = 1.428 mA. 95. Vo = 0V; V1 = -12V; V2 = 0V. 96. IR2 = 1.25 mA. 97. Vo = -5/6 V = -0.8333V. 98.  a.  R eq eq = 30/41 k Ω. eq k ΩΩ. . 99.  a)  b. 22 ΩR  . = 11/3 b)22k  100.  VAB = -28.5V. 101.  Vo = 6V. 102.  Pconsumidas: PR1 = 100/9 mW; PR2 = 1600/9mW; PR3 = 2500/9mW; PV1 = 100/3mW 100/3mW (V1 es pasivo). Pgeneradas: PV2 = -1500/3mW. 103.  Pconsumidas: PR1 = 100 mW; PR2 = 400/9mW; PR3 = 100/9mW; PR4 = 400/9mW; PR5 = 400/9mW; PR6 = 100/9mW; PR7 = 100/9mW; PV1 = 200/3mW (V1 es pasivo). Pgeneradas: PV2 = -200/3mW; PI1 = -800/3mW;

104.  105.  106.  107.  108.  109. 

Vo = 8V. VTH = 5V, R TH TH = 5k Ω; I N = 1mA, R   N = 5k Ω. Vo = 8V. Vo = 8V. I = 10A. VTH = 42/3 V, R TTHH = 4/3 Ω; I N = 21/2 A, R  N = 4/3 Ω.

  150 Problemas de Teoría de Circuitos

251 

 

110.  111.  112.  113.  114. 

a) 30Ω  b) 63Ω. R = 1.5Ω. Presistencia(2Ω) = 72W; Pgenerador (9V)=54W (9V)=54W (pasivo). R = 24Ω. a) V = 11.2V. b) I = -10 A.

  115.disipan a) Hay fuentes b) En parale paralelo lo disipan 15 15.36W .36W en total total y en serie serie 96W en4total. 116.  I = 1mA. 117.  IR3 = 1A; IR4= 2A. 118.  Vo = 36/13 V. 119.  R L = 6k Ω; PRL= 8/3 mW 120.  V1 = -1.25V; Vg = 1V. 121.  Tensión en el condensador: condensador:

intervalo de t tensi intervalo tensión ón tensi tensión ón al final del intervalo intervalo 0 0V -∞