Probabilit+®s Exercices 2010

Département de Mathématiques et Informatique 

Abdelhamid El Mossadeq Professeur à l’EHTP

© A. El Mossadeq      Mars 2009 

TABLE DES MATIÈRES  

Analyse Combinatoire Les Espaces de Probabilité

1 39

Les Variables Aléatoires

129

Les Vecteurs Aléatoires

195

Les Lois Usuelles de Probabilité            

331

   

               

Analyse Combinatoire

A. El Mossadeq

Exercice 1

Soit A et B deux ensembles et f une application de A dans B . On suppose que B est …ni de cardinal n et que pour tout y dans B , le cardinal de l’image réciproque de y par f , f 1 (fyg), est égal à un entier non nul p. 1. Montrer que f est surjective. 2. Soit R la ralation d’équivalence associée à f . Montrer que A=R et B sont équipotents. 3. En déduire le cardinal de A.

Solution 1

1. Par hypothèse, le cardinal de f Donc f

1

1

(fyg) est non nul pour tout y dans B .

(fyg) est non vide pour tout y dans B , d’où la surjection de f:

2. D’après la décomposition canonique de f , A=R et f (A) sont équipotents. Or f est surjective, donc f (A) = B , et par conséquent A=R et B ont même cardinal. 3. Pour tout x 2 A;désignons par C (x) la classe d’équicalence de x modulo R. On a :

C (x)

=

fy 2 A j xRyg

=

fy 2 A j f (x) = f (y)g y2Ajy2f

= =

f

1

1

(ff (x)g)

(ff (x)g)

On en déduit que C (x) a pour cardinal p pour tout x 2 A.

Soit alors x1 ; :::; xn un système de représentants des classes d’équivalence modulo la relation d’équivalence R. Comme C (x1 ) ; :::; C (xn ) forment une partion de A, on a :

card A =

n X

card C (xk ) = np

k=1

3

A. El Mossadeq

Analyse Combinatoire

Exercice 2

Soit A et B deux ensembles de cardinaux respectifs n et p, et désignons par F (A; B) l’ensemble des applications de A dans B . 1. Déterminer le nombre d’applications de A dans B pour n = 1 et n = 2. 2. Soit a 2 A et A1 = A

fag. Montrer que F (A; B) et F (A1 ; B)

F (fag ; B) sont équipotents.

3. En déduire, par un raisonnement par récurrence, le nombre d’applications de

A dans B .

Solution 2

1.

n = 1 : pour dé…nir une application de A = fag dans B , il su¢ t de dé…nir l’image de a dans B:

Il y a p possibilités, donc p applications de A dans B .

n = 2 : pour dé…nir une application de A = fa; bg ! B il su¢ t de dé…nir les images a et b dans B: Pour chacun d’eux, il y a p possibilités, donc p2 applications de A dans

B. 2. Considérons l’application

:

F (A; B)

!

F (A1 ; B)

f

7 !

fjA1 ; fjfag

F (fag ; B)

où fjA1 et fjfag représentent les restrictions de f à A1 et fag respectivement,

est une bijection.

4

Analyse Combinatoire

A. El Mossadeq

3. Il s’en suit que :

card F (A; B)

=

card [F (A1 ; B)

=

card F (A1 ; B)

=

p

F (fag ; B)] card F (fag ; B)

card F (A1 ; B)

Par un raisonnement par récurrence sur n, n

1, on conclut que :

card F (A; B) = pn Exercice 3

Soit E un ensemble de cardinal …ni n et P (E) l’ensemble de toutes ses parties. 1. Soit f de E dans f0; 1g une application.

Montrer qu’il existe une partie unique A dans P (E) telle que f soit la fonction caractéristique de A.

2. En déduire, en utilisant Exercice 2., le cardinal de P (E). Solution 3

1. Soit :

f : E ! f0; 1g une application.

A=f tique

1 A

(f1g) est l’unique partie de E telle que f soit la fonction caractérisde A.

2. L’application

:

P (E)

!

A

7 !

F (E; f0; 1g) A

où F (E; f0; 1g) est l’ensemble des applications de E dans f0; 1g, est une bijection.

5

A. El Mossadeq

Analyse Combinatoire

On en déduit que :

card P (E) = card F (E; f0; 1g) = 2n Exercice 4

Soit A et B deux ensembles de cardinaux respectifs p et n, p

n.

1. Déterminer le nombre d’applications injectives de A dans B pour p = 1; 2: 2. Soit a 2 A, A1 = A (resp. A1 ) dans B .

fag et G (resp.G1 ) l’ensemble des injections de A

Montrer que si g est une injection de A1 dans B , alors l’application f de A dans B qui à x 2 A1 associe g (x) et à a associe un élément arbitraire de

B

g (A1 ) est une injection.

3. En déduire que l’application

qui à f 2 G associe la restriction de f à A1

est une application surjective sur G1 , et que pour tout g 2 G1 , le cardinal de l’image réciproque de g par

est n

p + 1.

4. Déterminer par récurrence sur p, le nombre d’injections de A dans B . 5. On suppose n = p. En déduire le nombre de bijections de A dans B .

Solution 4

1.

p=1 Toute application de A = fag dans B est une injection. Donc, il y a n

injections de fag dans B:

p=2 Pour le premier élément a de A = fa; bg il y a n possibilités alors que pour le deuxième b il n’y a que (n

1) possibilités puisque son image doit

être di¤érente de celle de a. Donc, le nombre d’injections de fa; bg dans B est n (n

6

1).

Analyse Combinatoire

A. El Mossadeq

2. Soit :

g : A1 ! B une injection. Pour tout y 2 B

g (A1 ), l’application fy qui coincide avec g sur A1 et telle

que :

fy (a) = y est une injection. De plus :

g = fyjA1 On peut construire ainsi (n cardinal de B

p + 1) aplications injectives : autant que le

g (A1 ).

3. D’après la question 2, l’application

:

G

!

f

7 !

G1 fjA1

est surjective, de plus pour tout g 2 G1 on a :

card

1

(fgg) = n

p+1

Il s’en suit que :

card G = (n

p + 1)

card G1

4. En utilisant le théorème des Bergers, on conclut, par une récurrence sur p,

p

1, que : card G =

n!

(n p)! 5. Lorsque n = p, toute injection est une bijection. Il y a donc n! bijections de A sur B .

7

A. El Mossadeq

Analyse Combinatoire

Exercice 5

On appelle arrangement d’ordre p de A, toute suite ordonnée de p éléments distincts choisis parmi les éléments de A. 1. Montrer que l’ensemble des arrangements d’ordre p de A est équipotent à l’ensemble des injections de f1; :::; pg dans A.

2. En déduire le nombre d’arrangements d’ordre p de A, noté A(n; p). 3. En déduire le nombre de permutations de A (arrangements d’ordre n de A), noté P (n):

Solution 5

1. Soit (a1 ; :::; ap ) un arrangement d’ordre p de A. L’application f :

f1; :::; pg

!

A

i

7 !

ai

est une injection. Réciproquement, si :

f : f1; :::; pg ! A est une injection, alors (f (1) ; :::; f (p)) est un arrangement d’ordre p de A. 2. On en déduit que le nombre d’arrangements d’ordre p de A coïncide avec le nombre d’injections de f1; :::; pg dans A; d’où :

A(n; p) =

n!

(n

p)!

3. En particulier, le nombre de permutations de A coincide avec le nombre de bijections de A, à savoir :

P (n) = n!

8

Analyse Combinatoire

A. El Mossadeq

Exercice 6

Soit A un ensemble à n éléments. On appelle combinaison d’ordre p de A, toute suite non ordonnée de p éléments distincts choisis parmi les éléments de A. 1. Quelle est le nombre d’arrangements qu’on peut associer à une combinaison d’ordre p de A ? 2. En déduire le nombre de combinaisons d’ordre p de A, noté C(n; p).

Solution 6

1. Etant donnée une combinaison d’ordre p de A, le nombre de suite ordonnée de p éléments distincts qu’on peut construire, à partir de cette combinaison, est le nombre de permutations de p éléments, a savoir p!. 2. Ainsi, à chaque combinaison d’ordre p de A correspond p! arrangements d’ordre

p de A, donc : A(n; p) = p!C(n; p) d’où :

C(n; p) =

n! p! (n p)!

Exercice 7

Soit a un élément de E . Déterminer le nombre de sous-ensembles de E de cardinal p : qui contiennent a qui ne contiennent pas a En déduire :

C(n; p) = C(n

1; p

9

1) + C(n

1; p)

A. El Mossadeq

Analyse Combinatoire

Solution 7

Le nombre de sous-ensembles de E de cardinal p qui contiennent a est le nombre de parties à (p 1) éléments de E fag, à savoir :

(n 1)! (p 1)! (n p)! Le nombre de sous-ensembles de E de cardinal p qui ne contiennent pas a est le nombre de parties à p éléments de E fag, à savoir : C(n

1; p

1) =

(n 1)! p! (n p 1)! Or toute partie de E à p éléments soit elle contient a soit elle ne le contient pas, on en déduit donc : C(n

1; p) =

C(n; p) = C(n

1; p

1) + C(n

1; p)

Exercice 8

Soit A un ensemble à n éléments. 1. Quelle est le nombre de partie de A à p éléments ? 2. En déduire le cardinal de P (A). Solution 8

1. Le nombre de partie de A à p éléments est le nombre de combinaisons d’ordre

p de A 2. Notons C (n; p) l’ensemble des éléments de P (A) ayant p éléments.

[C (n; p)]0

p n

forment une partition de P (A) d’où :

10

Analyse Combinatoire

A. El Mossadeq

card P (A)

= =

n X

p=0 n X

card C (n; p) C (n; p)

p=0

= =

(1 + 1)n 2n

Exercice 9

1. Montrer que :

C(n; p) = C(n; n

p)

2. En déduire que :

C(n; n) = C(n; 0) 3. En déduire que :

C(2n; n) = 2C(2n

1; n) = 2C(2n

1; n

1)

4. En utilisant les développements de (1 1)n et (1 + 1)n , calculer : X fC(n; p) j 0 p n ; p pairg et :

X

fC(n; p) j 0

p

n ; p impairg

Solution 9

1. Soit E un ensemble à n éléments. A toute partie de E à p éléments correspond une et une seule partie de E à

(n

p) éléments qui est son complémentaire, d’où : C(n; p) = C(n; n

11

p)

A. El Mossadeq

Analyse Combinatoire

2. En particulier :

C(n; n) = C(n; n

n) = C(n; 0) = 1

L’unique partie de E à n éléments est E . L’unique partie de E à qui ne contient aucun élément est l’ensemble vide ?. 3. Puisque:

C(n; p) = C(n

1; p

1) + C(n

1; p)

et :

C(n; p) = C(n; n

p)

alors :

C(2n; n)

=

C(2n

1; n

1) + C(2n

=

2C(2n

1; n

=

2C(2n

1; n)

1; n)

1)

4. En utilisant la formule du binôme on a :

n

(1 + 1) =

n X

C(n; p)

p=0

et :

(1

n

1)

= = =

n X

p=0 n X p=0 n X

( 1)n

p

C(n; p)

( 1)n

p

C(n; n

( 1)p C(n; p)

p=0

12

p)

Analyse Combinatoire

A. El Mossadeq

En faisant la somme et la di¤érence de ces deux quantités, on obtient :

2n = 2 et : n

2 =2 d’où :

X

fC(n; p) j 0

p

X

X

fC(n; p) j 0

fC(n; p) j 0

n ; p pairg

= =

n ; p pairg

p

n ; p impairg

p

X 2n

fC(n; p) j 0

p

1

n ; p impairg

Exercice 10

Soit E = fa1 ; :::; an g un ensemble à n éléments. On appelle permutation avec répétition d’ordre (p1 ; :::; pn ) de E , toute suite ordonnée des éléments de E , où l’élément ai est répété pi fois, 1 i n. Déterminer le nombre de ces permutations qu’on note P (p1 ; :::; pn ) :

Solution 10

Le nombre de manières pour placer l’élément a1 dans p1 positions de la suite est le nombre de combinaison d’ordre p1 parmi p éléments : C(p; p1 ): Pour a2 , il y a C(p p1 ; p2 ) manières possibles,... Pour ak , il y a C(p p1 ::: pk 1 ; pk ) manières possibles. D’où :

P (p1 ; :::; pn )

=

n Y

C(p

k=1

=

p! p1 !:::pn !

où p0 = 1 et p = p1 + ::: + pn :

13

p1

:::

p k 1 ; pk )

A. El Mossadeq

Analyse Combinatoire

Exercice 11

Soit E = fa1 ; :::; an g un ensemble à n éléments. On appelle combinaison avec répétition d’ordre p de E , toute suite non ordonnée des éléments de E de longeur p. Déterminer le nombre de ces combinaisons qu’on note K(n; p).

Solution 11

On démontre que le nombre de combinaisons avec répétition d’ordre p de n éléments est :

K(n; p) = C(n + p

1; p)

Exercice 12

1. Déterminer le nombre d’applications strictement croissantes de f1; :::; pg dans

f1; :::; ng

2. Déterminer le nombre d’applications croissantes de f1; :::; pg dans f1; :::; ng. 3. Déterminer le nombre de solutions de l’équation : n X

xi = p ; p 2 N ; x i 2 N

n X

xi

i=1

4. Déterminer le nombre de solutions de l’inéquation :

i=1

p ; p 2 N ; xi 2 N

Solution 12

1. Démontrons que le nombre d’applications strictement croissantes de f1; ::; pg

dans f1; ::; ng est égal au nombre de combinaisons d’ordre p de f1; ::; ng, à

savoir :

C(n; p) =

n! p! (n p)!

14

Analyse Combinatoire

A. El Mossadeq

En e¤et, si :

f : f1; :::; pg ! f1; :::; ng est une application strictement croissante, alors (f (1) ; :::; f (p)) est une combinaison d’ordre p de f1; :::; ng. Réciproquement, soit fa1 ; :::; ap g une combinaison d’ordre p de f1; :::; ng et

soit

une permutation de f1; :::; pg telle que :

a

(1)

X > <

> > : Z

Ce changement équivaut à : 8 > X > < dont le Jacobien vaut :

> > : Y

=

X

=

X X +Y

=

X

=

X (1 Z) Z 1

J

= =

1 x z2

0 z

z

294

x z2

Vecteurs Aléatoires

A. El Mossadeq

D’après le théorème de changement de vatiables, on a :

f(X;Z) (x; z)

=

f(X;Y ) x;

=

x f (x) f z2

x (1

z)

z x (1

jJj

z) z

Pa ailleurs, l’image par cette dernière transformation du domaine :

D (X; Y ) = (x; y) 2 R2 j x > 0 et y > 0 est le domaine :

D (X; Z) = (x; z) 2 R2 j x > 0 et 0 < z < 1 Il en résulte que la densité de probabilité de Z est : Z fZ (z) = f(X;Z) (x; z) dx R 8 Z 1 x (1 z) > > dx < 2 xf (x) f z R z = > > : 0

si

z 2 ]0; 1[

si

z2 = ]0; 1[

2. Si :

f (x) = exp ( x) ; x > 0 alors pour tout z 2 ]0; 1[ on a : Z 1 x (1 z) fZ (z) = xf (x) f z2 R z Z +1 1 x exp ( x) exp = z2 0 Z 1 +1 x = x exp dx 2 z 0 z = 1 Il en résulte que Z suit la loi uniforme sur ]0; 1[ :

295

dx x (1

z) z

dx

A. El Mossadeq

Vecteurs Aléatoires

Exercice 33

Soit (X; Y ) un couple de variables aléatoires admettant une densité de probabilité dé…nie par :

f(X;Y ) (x; y) =

8 < 4x exp :

(x + y)

si

0

0 < U=

X X +Y

> > : V =X +Y

(a) Déterminer la loi du couple (U; V ) : (b) U et V sont-elles indépendantes ? 5. On pose :

T =

Y X +Y

(a) Déterminer la fonction de répartition de T: (b) En déduire la médiane de m de T: (c) On dé…nit les variables aléatoires Z1 et Z2 par : 8 < 1 si T > m Z1 = : 0 si T m 296

Vecteurs Aléatoires

A. El Mossadeq

et :

Z2 =

8 < 1 :

0

si

T > exp ( y) dy si x > 0 < 4x exp ( x) x = > > : 0 si x 0 8 < 4x exp ( 2x) si x > 0 = : 0 si x 0

297

A. El Mossadeq

Vecteurs Aléatoires

(b) La densité marginale de Y est dé…nie pour tout y 2 R par : Z +1 fY (y) = f(X;Y ) (x; y) dy 81 Z y > > x exp ( x) dx si y > 0 < 4 exp ( y) 0 = > > : 0 si y 0 8 < 4 [1 (1 + y) exp ( y)] exp ( y) si y > 0 = : 0 si y 0

3. (a) le moment d’ordre k de X , k 2 N, est donné par : Z +1 k E X = xk fX (x) dx 1 Z +1 = 4xk+1 exp ( 2x) dx 0

= En particulier :

(k + 1)! 2k

8 E [X] > > > > > > > < E X2 > > > > > > > : V [X]

=

1

=

3 2

1 2 (b) Le moment d’ordre r de Y , 2 N, est donné par : Z +1 r E [Y ] = y r fY (y) dy 1 Z +1 = 4y r [1 (1 + y) exp ( y)] exp ( y) dy 0

=

4 (r!) 1

3+r 2r

298

=

Vecteurs Aléatoires

A. El Mossadeq

En particulier :

8 E [Y ] > > > > > > > < E Y2 > > > > > > > : V [Y ]

=

2

=

11 2

=

3 2

(c) Calculons le moment de XY : ZZ xyf(X;Y ) (x; y) dxdy E [XY ] = R2

=

4

Z

+1 2

x exp ( x)

0

=

4

Z

Z

+1

y exp ( y) dy dx

x

+1

x2 (x + 1) exp ( 2x) dx

0

=

5 2

d’où :

1 2 (d) On en déduit le coe¢ cient de corrélation de X et Y : Cov [X; Y ] = E [XY ]

[X; Y ] = 4. (a) Le changement :

E [X] E [Y ] =

Cov [X; Y ] 1 =p [X] [Y ] 3

8 > > < U=

X X +Y

> > : V =X +Y

299

A. El Mossadeq

Vecteurs Aléatoires

équivaut à :

8 < X = UV :

Y = V (1

U)

le Jacobien de cette dernière transformation est :

v

u =v

J= v

(1

u)

En outre l’image par cette transformation du domaine D (X; Y ) est :

(u; v) 2 R2 j 0 < u <

D (U; V ) =

1 ; v>0 2

D’après le théorème de changement de variables, la densité f(U;V ) du couple

(U; V ) est donnée par : f(U;V ) (u; v)

= =

f(X;Y ) (uv; v (1 u)) jJj 8 < 4uv 2 exp ( v) si (u; v) 2 D (U; V ) :

0

si

(u; v) 2 = D (U; V )

(b) Déterminons les densités marginales de fU et fV de U et V respectivement. Ona :

fU (u)

=

=

=

Z

+1

f(U;V ) (u; v) dv 1

8 R +1 > < 0 4uv 2 exp ( v) dv

> : 8 > < 8u > :

0

0

si

0 : 0 8 v2 > > < exp ( v) 2 > > : 0

si

si

v>0 sinon

v>0 sinon

On en déduit que les variables aléatoires U et V sont indépendantes puisque pour tout (u; v) 2 R2 on a :

f(U;V ) (u; v) = fU (u) fV (v) 5. Considérons le changement :

Y X +Y et notons fT et FT la densité de probabilité et la fonction de répartition de T respectivement. T =

On a :

D (T )

= =

ft 2 R j fT (t) 6= 0g 1 ;1 2

puisque :

0 > > > > > < Z u 1 8tdt si 0 u = > 2 0 > > > > > : 1 8 0 si u 0 > > > > > > > < 1 2 4u si 0 u = 2 > > > > > > 1 > : 1 u 2 302

Vecteurs Aléatoires

A. El Mossadeq

d’où :

FT (t)

=

=

(b) Pour m 2

1 F (1 t) 8 U > > 0 > > > > > < 1 > > > > > > > :

4 (1

si

t)2

si

1

1 2

u 1 2

u u

1 1

1 ; 1 , l’équation : 2 FT (m) =

admet la solution :

m=1

1 2

p

2 4

(c) Puisque :

1 2 on en déduit que Z1 et Z2 suivent la même loi de probabilité : c’est la loi 1 de Bernouilli de paramètre ; d’où : 2 1 E [Z1 ] = E [Z2 ] = 2 P [T > m] = P [T < m] =

V [Z1 ] = V [Z2 ] = E [Z1 Z2 ]

1 4

=

P [Z1 = 1; Z2 = 1]

=

0

Cov [Z1 ; Z2 ] = E [Z1 Z2 ]

303

E [Z1 ] E [Z2 ] =

1 4

A. El Mossadeq

Vecteurs Aléatoires

Il en résulte quele coe¢ cient de corrélation de Z1 et Z2 est :

[Z1 ; Z2 ]

Cov [Z1 ; Z2 ] [Z1 ] [Z1 ] 1

= =

Exercice 34

Soit ' et

deux fonctions réelles dé…nies pour tout x 2 R par :

1 ' (x) = p exp 2 et :

(x) =

Z

x2 2

x

' (t) dt 1

Soit (X; Y ) un couple de variables aléatoires dont la densité de probabilité est dé…nie pour tout (x; y) 2 R2 par :

f(X;Y ) (x; y) = où

1 p 2 1

2

exp

x

2

2 xy + y 2 2 1

2

!

est un paramètre réel tel que j j < 1:

1. On pose :

Y X U=p 2 1 Montrer que les variables aléatoires X et U suivent la même loi de probabilité et sont indépendantes. 2. Calculer :

P [X > 0; Y > 0]

Solution 34

Remarquons que la fonction ' est une densité de probabilité, c’est la densité de la loi normale centrée réduite, et que est sa fonction de répartition.

304

Vecteurs Aléatoires

A. El Mossadeq

1. Le changement :

8 X=X > > <

Y > > : U=p

équivaut à :

X 2

1

8 > < X=X

p > : Y = X+ 1

2

U

Le Jacobien de cette dernière transformation est donné par :

1 J

0

= p 1

=

2

p

1

2

Ainsi, la densité du couple (X; U ) est donnée par :

f(X;U ) (x; u)

= =

=

p

f(X;Y ) x; x + 1 0 2 2 x 1 B x exp @ 2 1 exp 2

2

u jJj p x+ 1

2

2 1

x 2 + u2 2

pour tout (x; u) 2 R2 :

D’autre part, pour tout x 2 R et tout u 2 R posons : 8 < fX (x) = ' (x)

:

fU (u) = ' (u)

305

u + 2

x+

p

1

2

2

u

1 C A

A. El Mossadeq

Vecteurs Aléatoires

alors fX et fU sont des densités de probabilité, ce sont les densités des variables aléatoires X et U respectivement. De plus, X et U sont indépendantes puisque pour tout (x; u) 2 R2 on a :

f(X;U ) (x; u) = fX (x) fU (x) 2. On a :

P [X > 0; Y > 0]

Z

=

0

+1 Z +1 0

1 p 2 1

=

p 1

=

2

1

2

Z

1

2 Z

0

p 1 +1 Z

x2

exp

2 +1

2

0

' (x)

0

"Z

+1

'

y p

x 1

0

En e¤ectuant le changement de variable :

y u=p

1 2

x 2

exp

+1

2 xy + y 2 2 2 1

2

on obtient :

p

1 1

2

Z

0

+1

'

y p

x 1

2

!

dy

(x)

=

=

=

306

+1

' (u) du p

x 1

2

1

p

x 1

x p 1 ! 2

!!

dy dx

x

Z

dxdy

y x p 2 1 ! #

2 1 et en utilisant le fait que pour tout x 2 R on a :

( x) = 1

!

2

!

dxdy

Vecteurs Aléatoires

A. El Mossadeq

d’où :

P [X > 0; Y > 0]

= =

1 2

Z

0

+1 Z p

x 1

2

exp

0

1 arctan q 2 1

x2 2

u2 2

dxdu

2

Exercice 35

1. Soit X et Y deux variables aléatoires absolument continues telles que le couple

(X; Y ) admette une densité de probabilité f: Démontrer que la variable aléatoire : T =X +Y a pour densité la fonction dé…nie pour tout t 2 R par : Z +1 h (t) = f (x; t x) dx 1

2. Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois exponentielles de paramètres

et

respectivement.

Déterminer la densité de probabilité de la variable aléatoire :

T =X +Y 3. Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois uniformes sur les intervalles [0; a] et [0; b] respectivement. Déterminer la densité de probabilité de la variable aléatoire :

T =X +Y

307

A. El Mossadeq

Vecteurs Aléatoires

Solution 35

1. Notons d’abord que la fonction :

R

!

u

7 !

R Z +1

f (x; u

x) dx

1

est une densité de probabilité.

Démontrons que c’est la densité de la variable aléatoire :

T =X +Y Pour tout t 2 R, désignons par D (t) le domaine de R2 :

D (t) = (x; y) 2 R2 j x + y < t alors :

PX+Y (] 1; t[)

=

P [X + Y < t]

=

P [(X; Y ) 2 D (t)] Z +1 Z t x f (x; y) dy dx

=

1

1

E¤ectuons le changement de variable :

u=x+y Alors :

PX+Y (] 1; t[)

= =

Z Z

Z

+1 1 t

Z

1

t

f (x; u

x) du dx

f (x; u

x) dx du

1 +1 1

Il en résulte que la densité de probabilité de X +Y est la fonction fX+Y dé…nie pour tout u 2 R par :

fX+Y (u) =

Z

+1

f (x; u 1

308

x) dx

Vecteurs Aléatoires

A. El Mossadeq

2. Notons fX et fY les densités de probabilité de X et Y respectivement. On a :

fX (x) = et :

fY (y) =

8 < 0 :

8 < 0 :

exp

x

exp

y

si

x

0

si

x>0

si

y

si

y>0

0

La densité fX+Y de la variable aléatoire :

T =X +Y est dé…nie pour tout u 2 R par : Z +1 fX+Y (u) = f (x; u x) dx 1 Z +1 = fX (x) fY (u x) dx 81 < 0 = Ru : exp ( u) 0 exp ( (a) si

=

alors :

fX+Y (u) = (b) si

6=

fX+Y

alors : 8 0 > > < (u) = > > :

8 < 0 :

2

u exp

[exp (

u)

309

u

) xdx si

u

si

u>0

exp (

u)]

si

u

0

si

u>0

0

si

u

0

si

u>0

A. El Mossadeq

Vecteurs Aléatoires

3. Notons fX et fY les densités de probabilité de X et Y respectivement. Pour tout t 2 R on a :

fX (t) =

1 a

[0;a] (t)

et :

1 (t) b [0;b] La densité fX+Y de X + Y est dé…nie pour tout t 2 R par : Z +1 fX+Y (t) = f (x; t x) dx fY (t) =

= = = = =

Z

Z

Z

Z Z

1

+1

f (t

x; x) dx

1 +1

fX (t

x) fY (x) dx

1 +1 1 +1 1 +1 1

1 ab

[0;a] (t

1 ab

[t a;t] (x)

1 ab

[t a;t]\[0;b] (x) dx

x)

[0;b] (x) dx

Or : (a) si 0

t

a alors : [t

(b) si a

t

a; t] \ [0; b] = [0; t]

b alors : [t

a; t] \ [0; b] = [t

310

[0;b] (x) dx

a; t]

Vecteurs Aléatoires

(c) si b

t

A. El Mossadeq

a + b alors : [t

a; t] \ [0; b] = [t

a; b]

Il en résulte que :

fX+Y (t) =

1 t ab

[0;a] (t)

+a

[a;b] (t)

+ (a + b

t)

[b;a+b] (t)

Exercice 36

On désigne par (R; ) les variables aléatoires rayon et angle polaire et on pose : 8 = R cos < X Y = R sin : R > 0 et 0 < < 2

1. Déterminer la loi du couple (R; ) :

2. En déduire les lois marginales de R et

:

3. On suppose que f est de la forme :

1 g x2 + y 2 D K où K est une costante, D un domaine de R2 et g une fonction continue positive telle que : Z +1 M= g (t) dt f (x; y) =

0

existe et est …nie.

(a) Exprimer K en fonction de M dans les cas suivants : (i) D = R2 (ii) D = (x; y) 2 R2 j x > 0 et y > 0

(iii) D = (x; y) 2 R2 j x 2 R et y > 0 (b) Que peut-on dire du couple (R; ) ?

311

A. El Mossadeq

Vecteurs Aléatoires

4. On pose :

U = X2 + Y 2 Déterminer la loi de U: 5. Etudier les cas suivant : (a) g (x) = exp (b) g (x) =

1 (1 + x)

x 2 +1

;

>0

Solution 36

1. Considérons le changement : 8 X > > > > < Y > > > > : R>0

=

R cos

=

R sin

et

0<

0 et y > 0 alors :

K

= =

Z

+1 Z +1

Z0 +1 Z0 0

=

2

g x2 + y 2 dxdy

rg r2 drd

0

M 4

313

A. El Mossadeq

Vecteurs Aléatoires

(iii) si :

D = (x; y) 2 R2 j x 2 R et y > 0 alors :

K

Z

=

Z

=

+1 Z +1

0

(b) Puisque : ) (r;

rg r2 drd

0

M 2

=

f(R;

1 0 +1 Z

g x2 + y 2 dxdy

)

=

f(X;Y ) (r cos ; r sin ) jJj

=

rf(X;Y ) (r cos ; r sin )

pour tout (r; ) 2 ]0; +1[

]0; 2 [ , alors :

(i) si :

D = R2 on obtient :

f(R;

) (r;

)=

1 rg r2 M

]0;+1[ (r)

[0;2 ] (

)

et :

fR (r) =

2 rg r2 M

]0;+1[ (r)

1 ( ) 2 [0;2 ] suit donc la loi uniforme sur [0; 2 ], et les variables aléatoires R et sont indépendantes. f ( )=

(ii) si :

D = (x; y) 2 R2 j x > 0 et y > 0 314

Vecteurs Aléatoires

A. El Mossadeq

on obtient :

f(R;

) (r;

)=

4 rg r2 M

]0;+1[ (r)

"

0;

2

#(

)

et :

fR (r) =

2 rg r2 M 2

f ( )=

"

0;

h

]0;+1[ (r)

2

suit donc la loi uniforme sur 0; sont indépendantes.

#(

2

i

)

, et les variables aléatoires R et

(iii) si :

D = (x; y) 2 R2 j x 2 R et y > 0 on obtient :

f(R;

) (r;

)=

2 rg r2 M

]0;+1[ (r)

[0; ] (

)

et :

fR (r) =

2 rg r2 M

f ( )=

1

]0;+1[ (r)

[0; ] (

)

suit donc la loi uniforme sur [0; 2 ], et les variables aléatoires R et sont indépendantes. On constate que la loi de R ne dépend pas du domaine D et s’exprime uniquement en fonction de g , alors que la loi de

g mais dépend du domaine D: 4. Le changement :

U = X2 + Y 2

315

ne dépend pas de

A. El Mossadeq

Vecteurs Aléatoires

équivaut à :

U = R2 ou encore :

R=

p

U

Déterminons la loi de U: On a :

fU (u)

p p dr fR u ]0;+1[ u du 1 g (u) ]0;+1[ (u) M

= =

5. (a) Si :

x 2

g (x) = exp alors :

M=

Z

+1

g (t) dt = 2

0

d’où : 8 > > > > > > > > > > < f (x; y) = > > > > > > > > > > :

1 exp 2

x2 + y 2 2

2

exp

x2 + y 2 2

exp

x2 + y 2 2

1

(x; y)

si D = R2

D

(x; y)

si D = (x; y) 2 R2 j x > 0 et y > 0

D

(x; y)

si D = (x; y) 2 R2 j x 2 R et y > 0

D

et :

1 fR (r) = exp 2

r2 2

]0;+1[ (r)

1 exp 2

u 2

]0;+1[ (u)

fU (u) =

316

Vecteurs Aléatoires

A. El Mossadeq

(b) Si :

1 (1 + x)

g (x) = alors :

M

Z

=

+1

;

>0

+1

g (t) dt

0

1

= d’où : 8 > > > > > > > > > > < f (x; y) = > > > > > > > > > > :

(1 +

x2

+

y 2 ) +1

D

(x; y)

si

D = R2

4 (1 + x2 + y 2 )

+1

D

(x; y)

si

D = (x; y) 2 R2 j x > 0 et y > 0

2 (1 + x2 + y 2 )

+1

D

(x; y)

si

D = (x; y) 2 R2 j x 2 R et y > 0

et :

fR (r) = fU (u) =

2 r (1 + r2 ) (1 + u)

+1

]0;+1[ (r)

+1

]0;+1[ (u)

Exercice 37

Soit D le disque de centre 0 et de rayon r; r > 0 :

D = (x; y) 2 R2 j x2 + y 2

r2

On désigne par (X; Y ) un point aléatoire à valeurs dans le disque D et dont la loi conjointe est la loi uniforme sur D :

317

A. El Mossadeq

Vecteurs Aléatoires

f (x; y) =

8 > < > :

1 r2

si

(x; y) 2 D

0

si

(x; y) 2 =D

1. Déterminer les densités marginales de X et Y:

2. Les variables X et Y sont elles indépendantes ? 3. Calculer la covariance de X et Y: Que peut-on conclure ? 4. Déterminer la fonction de répartition puis la densité de probabilité de la variable aléatoires :

U = X2 + Y 2 5. Calculer l’espérance mathématique de U: En déduire les espérances mathématiques de X 2 et Y 2 puis les variances de

X et Y: 6. Déterminer la densité conditionnelle de Y relativement à [X = x] : Calculer E [Y j X = x], E Y 2 j X = x puis E X 2 + Y 2 j X = x

7. On suppose à présent qu’un tireur tire sur une cible ayant la forme du disque

D, et que la loi du point d’impact (X; Y ) est la loi uniforme sur D: Soit L la variable aléatoire représentant la distance du point aléatoire (X; Y ) au centre de la cible. (a) Déterminer la fonction de répartition de L puis sa densité de probabilité. (b) Soit (L1 ; :::; Ln ) n distances du centre du disque D associées à n tirs indépendants. Calculer :

P [min (L1 ; :::; Ln ) < a] ; 0 < a < r

318

Vecteurs Aléatoires

A. El Mossadeq

Solution 37

1. Puisque la densité f de (X; Y ) est symétrique :

8 (x; y) 2 R2 : f (x; y) = f (y; x) on en déduit que les variables aléatoires X et Y suivent une même loi de probabilité, d’où :

fX (x)

Z

=

f (x; y) dy

R

8 > > > <

=

> > > :

8 > <

=

> :

et par suite :

fY (y) =

8 > < > :

1 r2

p

Z

r2 x2

p

dy

si

jxj

si

jxj > r

r2 x2

0 2 p 2 r r2

x2

0 2 p 2 r r2

y2

0

r

si

jxj

si

jxj > r

r

si

jyj

si

jyj > r

r

2. On en déduit que les variables aléatoires X et Y ne sont pas indépendantes puisque :

f (x; y) 6= fX (x)

319

fY (y)

A. El Mossadeq

Vecteurs Aléatoires

3. On a :

E [X]

Z

=

xfX (x) dx

R

Z

= =

r r

2 p 2 x r r2

x2 dx

0

puisque la fonction :

2 p 2 x r r2

x ! est impair sur l’intervalle [ r; r] : D’autre part :

E [XY ]

Z

=

x2

xyf (x; y) dxdy

R

Z

= =

r

x r

"Z

p

r2 x2

p

r2 x2

# 1 ydy dx r2

0

puisque la fonction :

est impair sur l’intervalle

p

1 y r2 p x2 ; r 2

y ! r2

Il en résulte que :

Cov [X; Y ] = 0 alors que X et Y ne sont pas indépendantes.

320

x2 :

Vecteurs Aléatoires

A. El Mossadeq

4. Soit FU la fonction de répartition de U :

FU (u)

= =

=

=

P X2 + Y 2 < u hp p i 2 2 P X +Y < u 8 0 si u 0 > > > > > > p 2 < ( u) si 0 u r2 2 > r > > > > > : 1 si u r2 8 0 si u 0 > > > > > < u si 0 u r2 2 r > > > > > : 1 si u r2

Il en résulte que la densité de fU de U est : 8 u 0 > < 0 si fU (u) = > : 1 si 0 u r2 r2

c’est la densité de la loi uniforme sur l’intervalle 0; r2 : 5. Calculons l’espérance mathématique de U : Z E [U ] = ufU (u) du R 2

=

r 2

Or :

E [U ]

=

E X2 + Y 2

=

E X2 + E Y 2

=

2E X 2

321

A. El Mossadeq

Vecteurs Aléatoires

d’où :

E X

2

=E Y

r2 = 4

2

et par suite :

V [X] = V [Y ] = E X 2 =

r2 4

6. On a :

fY (y j x)

= =

(a) Si jxj

f (x; y) fX (x) 1 p 2 r 2 x2

r, alors : E [Y j X = x]

=

(b) Si jxj

=

Z

R

=

= =

r2 x2

p

0

Z p

r et jyj

p

r2

yfY (y j x) dy

p

Z

= r, alors : E Y2 jX =x

Z

R

=

jxj

si

r2 x2

1 p ydy 2 r 2 x2

y 2 fY (y j x) dy

p

r2 x2

p

r2 x2

1 p y 2 dy 2 2 2 r x

1 r2

r2

x2 3

322

x2

Z

0

p

r2 x2

y 2 dy

x2

Vecteurs Aléatoires

A. El Mossadeq

(c)

E X2 + Y 2 j X = x

= = =

7. (a) On a :

L= d’où :

E X2 j X = x + E Y 2 j X = x r 2 x2 2 x + 3 2 2 r + 2x 3

p p X2 + Y 2 = U

P [L < a]

=

P U < a2

=

FU a2 a2 r2

= (b) Il en résulte que :

P [min (L1 ; :::; Ln )

a]

=

n Y

P [Lk

a]

k=1

=

(P [L

=

(1

=

1

a])n

P [L < a])n n a2 r2

d’où :

P [min (L1 ; :::; Ln ) < a]

=

1

=

1

P [min (L1 ; :::; Ln ) n a2 1 r2

a]

Exercice 38

Soit (X; Y ) un couple de variables aléatoires dont la loi de probabilité est donnée

323

A. El Mossadeq

Vecteurs Aléatoires

par :

; (m; n) 2 N N ; m n n! est un paramètre réel strictement positif et K une constante réelle.

P [(X; Y ) = (m; n)] = KC (n; m) e où

n

2

1. Déterminer la constante K . 2. Déterminer les lois marginales de X et Y: 3. Déterminer les lois conditionnelles de X relativement à Y et de Y relativement à X:

Solution 38

La loi du couple (X; Y ) est :

P [(X; Y ) = (m; n)] = KC (n; m) e 1. On a : X

P [(X; Y ) = (m; n)]

n

2

=

; (m; n) 2 N

n!

1 X n X

KC (n; m) e

n=0 m=0

(m;n)2N N

=

K

1 X

e

2

n=0

=

Ke

2

Ke

2

=

Ke

2

=

K

=

d’où :

K=1

324

1 X

n=0 1 X n=0 2

e

N; m

n

n! n

n!

"

n X

m=0

2n

(2 )n n!

2

n

n

n! #

C (n; m)

Vecteurs Aléatoires

A. El Mossadeq

2. (a) Déterminons la loi marginale de X . Pour tout m 2 N :

P [X = m]

= =

1 X

n=0 1 X

P [X = m; Y = n] C (n; m) e

n=m

= =

e e

2

2

1 X

m

n! m+k

C (m + k; m)

k=0 1 m X

m!

n

2

k=0

(m + k)!

k

k!

e m! X suit donc une loi de P oisson de paramètre : =

(b) déterminons maintenant la loi de Y: Pour tout n 2 N :

P [Y = n]

= =

1 X

m=0 n X

P [X = m; Y = n] C (n; m) e

m=0

=

e

n

2

n! n

n X

2

n

n!

C (n; m)

m=0

(2 ) e 2 n! On en déduit que Y suit donc une loi de P oisson de paramètre 2 : =

3. (a) La loi conditionnelle de X relativement à Y est dé…nie pour tout n 2 N

325

A. El Mossadeq

Vecteurs Aléatoires

et tout m 2 N, m

n, par :

P [X = m j Y = n]

= =

P [X = m; Y = n] P [Y = n] n C (n; m) e 2 n! n

(2 ) n!

e 2 C (n; m) = 2n (b) La loi conditionnelle de Y relativement à X est dé…nie pour tout m 2 N et tout n 2 N, n m, par : P [Y = n j X = m]

= =

P [X = m; Y = n] P [X = m] n C (n; m) e 2 n! m m! e n m

=

(n

m)!

e

Exercice 39

Soit (X; Y ) un couple de variables aléatoires dont la densité de probabilité est donnée par :

f (x; y) = où

jxyj ; 0 < y < 1

est une constante réelle.

1. Déterminer la constante : 2. Déterminer les densités marginales de X et Y: 3. Les variables aléatoires X et Y sont-elles corrélées ? Sont elles indépendantes ?

326

jxj

Vecteurs Aléatoires

A. El Mossadeq

Solution 39

La densité de probabilité du couple (X; Y ) est :

f (x; y) =

1. On a :

Z

f (x; y) dxdy

jxyj ; 0 < y < 1

=

R2

Z

Z

1

0

=

Z

1 y

Z

y

0

= =

2

Z

jxyj dx dy

1+y

1

Z

jxj

1

y

0 1

1 y

Z

jxj dx dy

1+y 1 y

xdx dy

0

y (1

y)2 dy

0

=

12

On conclut que :

= 12 2. (a) Déterminons la densité marginale fX de X : Z fX (x) = f (x; y) dy R 8 Z 1 jxj > > < 12 jxj ydy si x 2 ] 1; 1[ 0 = > > : 0 si x 2 = ] 1; 1[ 8 2 < 6 jxj (1 jxj) si x 2 ] 1; 1[ = : 0 si x 2 = ] 1; 1[ 327

A. El Mossadeq

Vecteurs Aléatoires

(b) Déterminons la densité marginale fY de Y : Z fY (y) = f (x; y) dx R 8 R1 y > < 12y 1+y jxj dx si y 2 ]0; 1[ = > : 0 si y 2 = ]0; 1[ 8 R1 y < 24y 0 xdx si y 2 ]0; 1[ = : 0 si y 2 = ]0; 1[ 8 2 < 12y (1 y) si y 2 ]0; 1[ = : 0 si y 2 = ]0; 1[

3. (a) L’espérance mathématique de X est donnée par : Z E [X] = xfX (x) dx R Z 1 = 6 x jxj (1 jxj)2 dx 1

=

0

(b) L’espérance mathématique de Y est donnée par : Z E [Y ] = yfY (y) dy R Z 1 = 12 y 2 (1 y)2 dy 0

=

2 5

328

Vecteurs Aléatoires

A. El Mossadeq

(c) L’espérance mathématique de XY est donnée par : Z E [XY ] = xyf (x; y) dxdy R2 Z 1 Z 1 y = xy jxyj dx dy 0

=

Z

1+y

1

y

2

0

Z

=

0

Cov [X; Y ]

=

E [XY ]

=

0

1 y

1+y

x jxj dx dy

(d) On en déduit :

E [X] E [Y ]

4. Les variables aléatoires X et Y ne sont pas indépendantes, en e¤et :

f

1 2 ; 2 3

=0

alors que :

fX

1 2

6= 0 et fY

329

2 3

6= 0

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

Exercice 1

Soient X et Y deux variables aléatoires binomiales indépendantes de paramètres (n; p) et (m; p) respectivement. 1. Quelle est la loi de probabilité de :

Z =X +Y 2. Quelle est la loi conditionnelle de X sous l’hypothèse [Z = a] ? 3. Soit T une variable aléatoire telle que la loi conditionnelle de T sachant

[X = x] est binomiale de paramètres (x; ). Montrer que T suit une loi binomiale de paramètres (n; p) :

Solution 1

Les lois de probabilité de X et Y sont dé…nies respectivement par :

P [X = k] = C (n; k) pk (1

p)n

k

; 0

k

n

P [Y = k] = C (m; k) pk (1

p)m

k

; 0

k

m

et : De plus X et Y sont indépendantes. 1. Pour tout k , 0

k

n + m, on a : [Z = k] =

k M

[X = r; Y = k

r]

r=0

où :

[X = r; Y = k

r] = ; si r > n ou k 333

r>m

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

d’où :

P [Z = k]

= =

k X

r=0 k X

P [X = r; Y = k

r]

P [X = r] P [Y = k

r]

r=0

puisque X et Y sont indépendantes. En remplaçant, on obtient : " k X P [Z = k] = C (n; r) C (m; k

#

r=0

=

C (n + m; k) pk (1

p)n+m

r) pk (1

p)n+m

k

k

Z suit donc une loi binomiale d’ordre n + m et de paramètre p. 2. Pour tout a, 0

a

n + m, et pour tout k , 0

P [X = k j Z = a]

k

inf (a; n), on a :

=

P [X = k; Z = a] P [Z = a]

=

P [X = k; Y = a P [Z = a]

=

P [X = k] P [Y = a P [Z = a]

=

C (n; k) C (m; a k) C (n + m; a)

k] k]

C’est une loi hypergéométrique. 3. Pour tout x, 0

x

n, et pour tout k , 0

P [T = k j X = x] = C (x; k)

k k

x, on a : (1

)x

k

Déterminons d’abord la loi du couple (X; T ). Pour tout x, 0

x

n, et pour tout k , 0

334

k

x, on a :

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

P [X = x; T = k]

= =

P [X = x] P [T = k j X = x] p)n

C (n; x) C (x; k) px (1

x

k

)x

(1

k

D’où :

P [T = k]

=

n X

P [X = x; T = k]

x=k

=

n X

p)n

C (n; x) C (x; k) px (1

x

k

)x

(1

k

x=k

=

n k X

C (n; r + k) C (r + k; k) pr+k (1

p)n

r k

k

)r

(1

r=0

=

k

C (n; k) (p )

n k X

C (n

k; r) [p (1

)]r (1

p)n

r k

r=0

=

C (n; k) (p )k (1

p )n

k

d’où le résultat.

Exercice 2

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres et respectivement. 1. Quelle est la loi de probabilité de :

Z =X +Y 2. Quelle est la loi conditionnelle de X sous l’hypothèse [Z = n] ?

335

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

Solution 2

Les lois de probabilité de X et Y sont dé…nies respectivement par : k

P [X = k] =

k!

exp

; k2N

exp

; k2N

et : k

P [Y = k] =

k!

de plus, X et Y sont indépendantes. 1. Pour tout k 2 N on a :

[Z = k] =

k M

[X = r; Y = k

r]

r=0

d’où :

P [Z = k]

= =

k X

r=0 k X

P [X = r; Y = k

r]

P [X = r] P [Y = k

r=0

=

"

k 1 X k! k! r=0 r! (k r)!

r k r

r] #

exp

( + )

( + )k exp ( + ) = k! Z suit donc une loi de Poisson de paramètre + . 2. Pour tout n 2 N et pour tout k , 0

P [X = k j Z = n]

k

n, on a :

P [X = k; Z = n] P [Z = n] P [X = k; Y = n k] P [Z = n] P [X = k] P [Y = n k] P [Z = n]

= = =

puisque X et Y sont indépendantes.

336

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

En remplaçant, on obtient : k

P [X = k j Z = n] = C (n; k)

n k

+

+

Donc, la loi conditionnelle de X sous l’hypothèse [Z = n] est une loi binomiale d’ordre n et de paramètre

.

+

Exercice 3

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent une même loi géométrique de paramètre p 1. Quelle est la loi de probabilité de :

Z = max (X; Y ) 2. Quelle est la loi de probabilité de :

T =X +Y 3. Quelle est la loi conditionnelle de T sous l’hypothèse [X = k] ? Calculer l’espérance mathématique de T sous cette hypothèse.

Solution 3

Les lois de probabilité de X et Y sont dé…nies pour tout k 2 N par :

P [X = k]

= =

P [Y = k] p (1 p)k

1

De plus, X et Y sont indépendantes. 1. Calculons la fonction de répartition F de la variable aléatoire :

Z = max (X; Y )

337

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

Pour tout n 2 N on a :

F (n)

=

P [Z < n]

=

P [max (X; Y ) < n]

=

P [X < n; Y < n]

=

P [X < n] P [Y < n] #2 "n 1 X p (1 p)k 1

=

h

= D’où, pour tout n 2 N on a :

P [Z = n]

=

k=1

1

(1

n 1

p)

i2

F (n + 1)

=

F (n) h p)n 1 2 (2

p (1

n 1

p) (1

p)

2. Déterminons la loi de probabilité de la variable aléatoire :

T =X +Y Pour tout k , k

2, on a : [T = k] =

k 1 M

[X = r; Y = k

r]

r=1

d’où :

P [T = k]

= =

k 1 X

r=1 k X

P [X = r; Y = k

P [X = r] P [Y = k

r=1

=

(k

r]

1) p2 (1

338

p)k

1

r]

i

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

3. Pour tout k 2 N et pour tout n, n

P [T = n j X = k]

k + 1, on a :

=

P [X = k; T = n] P [X = k] P [X = k; Y = n P [X = k] P [Y = n k]

=

p (1

= =

p)n

k]

k 1

L’espérance mathématique de T sous cette hypothèse est donnée par :

E [T j X = k]

+1 X

=

nP [T = n j X = k]

n=k+1 +1 X

=

n=k+1 +1 X

=

p

np (1

p)n

k 1

(r + k + 1) (1

p)r

r=o

=

k+1+

1

p p

Exercice 4

Soient X et Y deux variables indépendantes suivant la même loi de Bernouilli de paramètre p, 0 p 1 1. Déterminer les lois de probabilité des variables aléatoires :

U

=

X +Y

V

=

X

2. U et V sont-elles indépendantes ?

339

Y

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

Solution 4

On a :

p)1

P [X = k] = P [Y = k] = pk (1

k

; k 2 f0; 1g

1. (a) La variable aléatoire :

U =X +Y prend ses valeurs dans l’ensemble f0; 1; 2g. (i) On a :

[U = 0] = [X = 0; Y = 0] d’où :

P [U = 0]

=

P [X = 0; Y = 0]

=

P [X = 0] P [Y = 0]

=

(1

p)2

(ii) On a :

[U = 1] = [(X; Y ) = (0; 1)]

[(X; Y ) = (1; 0)]

d’où :

P [U = 1]

f(X; Y ) = (1; 0)g]

=

P [f(X; Y ) = (0; 1)g

=

P [X = 0] P [Y = 1] + P [X = 1] P [Y = 0]

=

2p (1

p)

(iii) On a :

P [U = 2] = P [X = 1; Y = 1]

340

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

d’où :

P [U = 1]

=

P [X = 1; Y = 1]

=

P [X = 1] P [Y = 1]

=

p2

Remarquons que U suit une loi binomiale d’ordre 2 et de paramètre p. (b) La variable aléatoire :

V =X

Y

prend ses valeurs dans l’ensemble f 1; 0; 1g. (i) On a :

[V =

1] = [X = 0; Y = 1]

d’où :

P [V =

1]

=

P [X = 0; Y = 1]

=

P [X = 0] P [Y = 1]

=

p (1

p)

(ii) On a :

P [V = 0] = [(X; Y ) = (0; 0)]

[(X; Y ) = (1; 1)]

d’où :

P [V = 0]

f(X; Y ) = (1; 1)g]

=

P [f(X; Y ) = (0; 0)g

=

P [X = 0] P [Y = 0] + P [X = 1] P [Y = 1]

=

p2 + (1

p)2

341

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

(iii) On a :

[V = 1] = [X = 1; Y = 0] d’où :

P [V = 1]

=

P [X = 1; Y = 0]

=

P [X = 1] P [Y = 0]

=

p (1

p)

2. Les variables aléatoires U et V ne sont pas indépendantes car :

P [U = 0; V = 0]

=

P [X = 0; Y = 0]

=

(1

p)2

alors que :

P [U = 0] P [V = 0] = (1

2

p)

h

2

p + (1

2

p)

i

Exercice 5

Deux personnes jouent à ”pile” ou ”face” n fois chacune. 1. Quelle est la probabilité que chacune des deux personnes obtienne k fois le côté ”pile” ? 2. Quelle est la probabilité que les deux personnes obtiennent le même nombre de fois ”pile” ?

Solution 5

Le nombre de ”pile” obtenu par l’une ou l’autre des deux personnes en jetant la 1 pièce n fois est une variable binomiale d’ordre n et de paramètre : 2

342

Lois Usuelles

1. Pour tout k , 0

A. El Mossadeq

n, la probabilité pik que la ieme personne obtienne k

k

fois ”pile” est :

pik

= =

d’où, pour tout k , 0

1 C (n; k) 2 1 C (n; k) 2

k

k

1 2

n k

n

n, la probabilité pk que les deux personnes

obtiennent chacune k fois ”pile” est :

pk = p1k p2k

1 = C (n; k) 2

n 2

2. Ainsi, la probabilité p que les deux personnes obtiennent le même nombre de fois ”pile” est :

p

= =

n X

k=0 n X k=0

=

pk 1 C (n; k) 2

1 C (2n; n) 2

n 2

2n

Exercice 6

On estime que la probabilité pour un nouveau-né d’être primapare est p, et celle d’être multipare est q = 1 p. On étudie cette parité dans une maternité. 1. Quelle est la probabilité pour que les k premiers nouveaux-nés soient tous des miltipares ? 2. Quelle est la probabilité pour que le premier primapare soit précédé de k multipares ? 3. Quelle est la probabilité pour que le reme primapare soit le k eme nouveau-né ?

343

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

Solution 6

Notons d’abord que les naissances sont indépendantes. 1. La probabilité p1 que les k premiers nouveaux-nés soient tous des multipares est :

p1 = q k 2. La probabilité p2 que le premier primapare soit précédé de k multipares est :

p2 = pq k 3. Le reme primapare est le k eme nouveau-né, donc il y a r les k

1 primapares parmi 1 premières naissances, puis un primapare à la k eme naissance.

D’où la probabilité p3 de cet événement est : h p3 = C (k 1; r 1) pr 1 q (k

=

C (k

1) pr q k

1; r

r

1) (r 1)

i

p

C’est la loi binomiale négative.

Exercice 7

Un groupe de 2n …lles et 2n garçons est séparé en deux sous groupes de même e¤ectif. Quelle est la probabilité que dans chaque sous groupe il y a autant de …lles que de garçons ?

Solution 7

Le nombre de groupes d’e¤ectif 2n d’un ensemble à 4n éléments est :

C (4n; 2n) =

(4n)! (2n)! (2n)!

344

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

Le nombre de groupes à n …lles parmi les 2n …lles et n garçons parmi les 2n garçons est : 2

(2n)! C (2n; n) C (2n; n) = n!n! D’où, la probabilité p que dans chaque sous groupe il y a autant de …lles que de garçons est : p

= =

[C (2n; n)]2 C (4n; 2n) [(2n)!]4 (n!)4 (4n)!

C’est une distribution hypergéométrique.

Exercice 8

dans une loterie, il y a 400 billets et 4 prix. Une personne détient dix billets. Quelle est la probabilité qu’elle gagne au moins un lot ?

Solution 8

Désignons par pk la probabilité pour que la personne gagne exactement k lots. Pour tout k , 0 k 4, on a :

pk =

C (4; k) C (396; 10 C (400; 10)

k)

La probabilité p pour que la personne gagne au moins un lot est :

p

=

4 X

pk

k=1

= =

1 p0 0:096662

345

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

Exercice 9

On distribue les 52 cartes d’un jeu à quatre joueurs A; B; C et D. Soient a, b, c et d le nombre d’as reçus par les joueurs respectivement, a + b + c + d = 4. 1. Quelle est la probabilité d’une répartition (a; b; c; d) ? 2. On considère les répartitions ( ; ; ; ) où l’un des joueurs, sans préciser lequel, reçoit

as, un autre

as, un autre

as et un autre

as.

Combien y a-t-il de répartitions de ce type ? Evaluer la probabilité de chacune de ces répartitions

Solution 9

1. Nous sommes en présence d’une distribution polyhypergéométrique. Notons p (a; b; c; d) la probabilité de la répartition (a; b; c; d). On a alors :

p (a; b; c; d) =

C (13; a) C (13; b) C (13; c) C (13; d) C (52; 4)

2. Notons p0 ( ; ; ; ) la probabilité de la répartition ( ; ; ; ). Il y a cinq type de répartitions ( ; ; ; ) : (a) les répartitions du type (4; 0; 0; 0) : l’un des quatre joueurs reçoit les quatre as. Le nombre de possibilités correspondantes est :

C (4; 1) = 4 D’où :

p0 (4; 0; 0; 0)

=

4p (4; 0; 0; 0)

=

1:0564

10

2

(b) les répartitions du type (3; 1; 0; 0) : l’un des quatre joueurs reçoit trois as, un deuxième un as.

346

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

Le nombre de possibilités correspondantes est :

A (4; 2) = 12 D’où :

p0 (3; 1; 0; 0)

=

12p (3; 1; 0; 0)

=

0:1648

(c) les répartitions du type (2; 2; 0; 0) : deux joueurs reçoivent chacun deux as. Le nombre de possibilités correspondantes est :

C (4; 2) = 6 D’où :

p0 (2; 2; 0; 0)

=

6p (2; 2; 0; 0)

=

0:13484

(d) les répartitions du type (2; 1; 1; 0) : l’un des quatre joueurs reçoit deux as, deux autres reçoivent chacun un as. Le nombre de possibilités correspondantes est :

P (2; 1; 1) = 12 D’où :

p0 (2; 1; 1; 0)

=

12p (2; 1; 1; 0)

=

0:5843

(e) les répartitions du type (1; 1; 1; 1) : chaque joueur reçoit un as. Le nombre de possibilités correspondantes est :

C (4; 4) = 1

347

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

D’où :

p0 (1; 1; 1; 1)

=

p (1; 1; 1; 1)

=

0:1055

Exercice 10

On considère deux urnes contenant chacune dix boules : la première deux noires et huit blanches, la deuxième cinq noires et cinq blanches. 1. On tire de la première urne trois boules simultanément et on désigne par X la variable aléatoire représentant le nombre de boules blanches obtenues lors du tirage. Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique. 2. On tire trois boules simultanément de l’une des deux urnes. Elles sont toutes blanches. Quelle est la probabilité de les avoir tirées de la première urne ?

Solution 10

1. (a) Déterminons la loi de probabilité de X: Puisque l’urne ne contient que deux boules noires, donc au moins l’une des trois boules tirées serait blanche. Comme X suit une loi hypergéométrique, alors pour tout k , 1 on a :

P [X = k] =

C (8; k) C (2; 3 C (10; 3)

D’où :

P [X = 1]

=

P [X = 2]

=

P [X = 3]

=

348

1 15 7 15 7 15

k)

k

3,

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

(b) Calculons l’espérance mathématique de X: On a :

E [X]

=

3 X

kP [X = k]

k=1

=

2:4

2. Considérons les événements :

B : ”les trois boules sont blanches” U1 : ”les tirages sont e¤ectués de la première urne” U2 : ”les tirages sont e¤ectués de la deuxième urne” On a :

d’où :

8 1 > > P [U ] = P [U ] = > 1 2 > 2 > > > > > < 7 P [B j U1 ] = P [X = 3] = 15 > > > > > > > C (5; 3) C (5; 0) 1 > > = : P [B j U2 ] = C (10; 3) 12 P [U1 j B]

= =

P [U1 ] P [B j U1 ] P [U1 ] P [B j U1 ] + P [U2 ] P [B j U2 ] 28 33

Exercice 11

Un industriel vend des paquets de thé par lot de 25 paquets. chaque paquet est supposé peser cent grammes, mais le côntrole statistique a établi, à partir de l’expérience antérieure de l’usine, que deux pour cent des paquts produits n’ont pas un poids réglementaire, c’est à dire qu’ils pèsent moins de cent grammes.

349

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

1. On choisit au hasard un lot. Calculer la probabilité P1 qu’on y trouve au moins un paquet de thé non réglementaire. 2. On choisit au hasard cinq lots. Déterminer : (a) la probabilité P2 que chaque lot contient au moins un paquet de thé non réglementaire. (b) la probabilité P3 que chaque lot contient exactement un paquet de thé non réglementaire. (c) la probabililité P4 que quatre lot contiennent au plus trois paquets de thé non réglementaires et le cinquième plus de trois paquets non réglementaires. 3. Un épicier achète à l’industriel cent lots. Déterminer l’espérance mathématique du nombre de lots qui contiennent : (a) exactement trois paquets non réglementaires (b) au moins deux paquets non réglementaires (c) au plus trois paquets non réglementaires

Solution 11

Désignons par X la variable aléatoire représentant le nombre de paquets de thé non réglementaires dans un lot donné. Alors X est une variable binomiale d’ordre n = 25 et de paramètre p = 0:02 : B (n; p)

P [X = k] = C (25; k) (0:02)k (0:98)25 et :

E [X] = np = 0:5

350

k

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

1. La probabilité P1 de trouver au moins un paquet de thé non réglementaire est donnée par :

P [X

1]

=

1

P [X < 1]

=

1

P [X = 0]

=

0:60346

2. Notons Xi ,1

i 5, la variable aléatoire représentant le nombre de paquets de thé non réglementaires dans le ieme lot. Alors (X1 ; X2 ; X3 ; X4 ; X5 ) con-

stituent un 5-échantillon de variable parente X , c’est àdire que (X1 ; X2 ; X3 ; X4 ; X5 ) sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la même loi que X . (a) La probabilité que le ieme lot contient au moins un paquet de thé non réglementaire.est :

P [Xi

1] = P [X

1]

donc la probabilité P2 que chaqu’un des cinq lots contient au moins un paquet de thé non réglementaire est :

P2

=

5 Y

P [Xi

1]

i=1

=

(P [X

1])5

=

8:0028

10

2

(b) La probabilité qu’un lot contient exactement un paquet de thé non réglementaire est :

P [X = 1] = 0:30789

351

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

D’où, la probabilité P3 que chaque lot contient exactement un paquet de thé non réglementaire est :

P3

5 Y

=

P [Xi = 1]

i=1

(P [X = 1])5

= =

2:7668

10

2

(c) (i) La probabililité qu’un lot contient au plus trois paquets de thé non réglementaires est :

P [X

3]

3 X

=

k=0 3 X

=

P [X = k] C (25; k) (0:02)k (0:98)25

k

k=0

=

0:99855

(ii) La probabililité qu’un lot contient plus de trois paquets de thé non réglementaires est :

P [X

3]

=

1

=

1

P [X < 3] 2 X C (25; k) (0:02)k (0:98)25

k

k=0

=

1:3243

10

2

(iii) Donc, .la probabililité P4 que quatre lot contiennent au plus trois paquets de thé non réglementaires et le cinquième plus de trois paquets non réglementaires est :

P4

=

C (5; 4) (P [X

=

0:065832

352

3])4 P [X

3]

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

3. (a) Désignons par Yk la variable aléatoire égale au nombre de lots, parmi les cent lots acheté par l’épicier, contenat chacun exactement k paquets non réglementaires. Alors, la variable aléatoire Yk est distribuée selon une loi binomiale d’ordre n = 100 et de paramètre p = P [X = k] :

P [Yk = i] = C (100; i) (P [X = k])i (1

P [X = k])100

i

En particulier, pour k = 3, on obtient :

P [Y3 = i]

=

C (100; i) (P [X = 3])i (1

P [X = 3])100

=

C (100; i) (0:011798)i (0:988202)100

i

i

Puisque :

P [X = 3] = 0:011798 Il en résulte que :

E [Y3 ] = np = 1:1798 (b) Désignons par Tk la variable aléatoire égale au nombre de lots, parmi les cent lots acheté par l’épicier, contenat chacun au moins k paquets non réglementaires. Alors, la variable aléatoire Tk est distribuée selon une loi binomiale d’ordre n = 100 et de paramètre p = P [X

P [Tk = i] = C (100; i) (P [X

k])i (1

P [X

k] : k])100

i

En particulier, pour k = 2, on obtient :

P [T2 = i]

2])i (1

=

C (100; i) (P [X

=

C (100; i) (0:088645)i (0:911355)100

Puisque :

P [X

2] = 0:088645

353

P [X

2])100 i

i

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

Il en résulte que :

E [T2 ] = np = 8:8645 (c) Désignons par Sk la variable aléatoire égale au nombre de lots, parmi les cent lots acheté par l’épicier, contenat chacun au plus k paquets non réglementaires. Alors, la variable aléatoire Sk est distribuée selon une loi binomiale d’ordre n = 100 et de paramètre p = P [X

P [Sk = i] = C (100; i) (P [X

k])i (1

P [X

k] : k])100

i

En particulier, pour k = 3, on obtient :

P [S3 = i]

3])i (1

=

C (100; i) (P [X

=

C (100; i) (0:99855)i (0:00145)100

3])100

P [X

i

i

Puisque :

P [X

3] = 0:99855

Il en résulte que :

E [S3 ] = np = 99:855

Exercice 12

On considère une urne contenant b boules blanches et a b boules noires. On tire au hasard une boule de l’urne, on note sa couleur, puis on la remet dans l’urne en y remettant en même temps r boules de la même couleur que la boule tirée, r 2 Z. On e¤ectue ainsi n tirages et note X la variable aléatoire donnant le nombre de boules blanches obtenues sur ces n tirages. 1. Quelle est la probabilité d’avoir k boules blanches aux k premiers tirages puis

(n

k) boules noires aux (n

k) tirages suivants ?

2. En déduire la loi de probabilité de X .

354

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

3. Quelles sont les lois obtenues dans chacun des deux cas suivants : (a) r = 0 ? (b) r =

1?

Solution 12

1. La probabilité pk d’avoir k boules blanches aux k premiers tirages puis (n boules noires aux (n

pk

=

=

k)

k) tirages suivants est :

b b + r b + (k 1) r a b (a b) + r (a ::: ::: a a + r a + (k 1) r a + kr a + (k + 1) r kQ1 nQ k 1 (b + ir) ((a b) + ir) i=0

b) + (n k 1) r a + (n 1) r

i=0

nQ1

(a + ir)

i=0

2. Il en résulte que :

P [X = k]

=

=

C (n; k) pk kQ1 C (n; k)

nQ k 1

(b + ir)

i=0

((a

b) + ir)

i=0

nQ1

(a + ir)

i=0

(a) Lorsque r = 0, les tirages sont alors e¤ectués avec remise, et la loi de X b b : est donc une loi binomiale d’ordre n et de paramètre : B n; a a

P [X = k]

=

=

C (n; k)

kQ1

b

i=0

b C (n; k) a

355

nQ k 1

(a

i=0

nQ1

(a + ir)

i=0 k

a

b a

n k

b)

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

(b) dans le cas où r =

1, les tirages sont alors e¤ectués sans remise, et la loi de X est donc une loi hypergéométrique :

P [X = k]

=

C (n; k)

kQ1

(b

nQ k 1

i)

i=0

((a

b)

i)

i=0

nQ1

(a

i)

i=0

=

C (b; k) C (a b; n C (a; n)

k)

Exercice 13

Une usine fabrique quatre cent lampes électriques à l’heure. On admet que le nombre X de lampes défectueuses produites en une heure suit une loi de Poisson de paramètre : 1. On suppose

= 15 Calculer :

P [X > 15] 2. Déterminer la plus grande valeur entière du paramètre

P [X > 20]

0:05

Solution 13

Pour tout k 2 N on a :

k

P [X = k] = 1. Si :

= 15

356

k!

e

tel que :

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

alors :

P [X > 15]

=

1

=

1

P [X 15 X k=0

=

15] k

k!

e

0:43191

2. La relation :

P [X > 20]

0:05

P [X

0:95

équivaut à :

20]

d’où :

= 14

Exercice 14

1 Un artilleur a une probabilité de d’atteindre une certaine cible. 5 Il tire dix coups et on compte le nombre de fois N où il atteint la cible. 1. Quelle est la loi de probabilité de N ? 2. Quelle est la probabilité qu’il ait touché la cible une fois ? 3. Quelle est la probabilité qu’il ait touché la cible au moins une fois ?

Solution 14

1. N suit une loi binimiale d’ordre 10 et de paramètre D’où, pour tout k , 0

k

1 1 : B 10; : 5 5

10, on a :

1 P [N = k] = C (10; k) 5

357

k

4 5

10 k

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

2. La probabilité p1 que l’artilleur ait touché la cible une fois est :

p1

= = =

P [N = 1] 1 C (10; 1) 5 0:26844

4 5

9

3. La probabilité P1 que l’artilleur ait touché la cible au moins une fois est :

P1

=

10 X

P [N = k]

k=1

= =

1

P [N = 0]

0:89263

Exercice 15

Une agence de renseignements A comprend plusieurs services spécialisés. Soit S l’un d’entre eux. Le nombre de clients qui s’adresse à l’agence A au cours d’une journée est une variable aléatoire X qui suit une loi de Poisson de paramètre : Désignons par Y la variable aléatoire représentant le nombre de clients s’adressant au service S . 1. Quelle est la probabilité, qu’un jour donné, n clients s’adresse à l’agence ? 2. Chaque client a la probabilité p de consulter le service S . Quelle est la probabilité qu’au cours d’une journée où n clients sont venus, k d’entre eux ont aient consulté le service S ? 3. Déterminet la loi conjointe de (X; Y ). 4. En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire Y .

358

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

Solution 15

1. Pour tout n, n 2 N, on a :

n

e n! 2. Si chaque client a la probabilité p de consulter le service S , la loi conditionnelle de Y , sous l’hypothèse [X = n], est une loi binomiale d’ordre n et de paramètre p : P [X = n] =

P [Y = k j X = n] = C (n; k) pk (1 pour tout k , 0

k

p)n

k

n:

3. Pour tout n 2 N et tout k , 0

P [X = n; Y = k]

k =

n, on a : P [X = n] P [Y = k j X = n] n

=

k! (n

k)!

pk (1

p)n

k

e

4. Il en résulte que la loi marginale de Y est donnée pour tout k 2 N par : X P [Y = k] = P [X = n; Y = k] n2N

Or :

n

k

donc :

P [Y = k]

= = = =

1 X

n=k 1 X n=0 1 X

n=0 1 X n=0

P [X = n; Y = k] P [X = n + k; Y = k] P [X = n + k] P [Y = k j X = n + k] 1 k!n!

n+k k

p (1

359

p)n e

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

P [Y = k]

=

=

=

1 X 1 ( p)k [ (1 k!n! n=0 1 X [ (1

( p)k e k!

n=0

( p)k e e k!

p)]n e p)]n

n!

(1 p)

( p)k p e = k! donc Y suit une loi de Poisson de paramètre p:

Exercice 16

Le nombre de voitures fabriquées par une usine suit une loi de Poisson de paramètre , > 0. La probabilité pour qu’une voiture présente un défaut de fabrication est p, p > 0: 1. Sachant que N voitures ont été fabriquées par l’usine, calculer la probabilité pour que k d’entre elles présentent un défaut. 2. Calculer la probabilité que k voitures produites soient défectueuses.

Solution 16

Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de voiture fabriquées par l’usine. On a : k

e ; k2N k! Désignons par D la variable aléatoire représentant le nombre de voitures défectueuses fabriquées par l’usine. P [X = k] =

360

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

1. Sous l’hypothèse [X = N ], la variable aléatoire D suit une loi binomiale d’ordre N et de paramètre p: B (N; p) : D’où, pour tout k , 0

k

N on a :

P [D = k j X = N ] = C (N; k) pk (1

p)N

k

2. Il en résulte que :

P [D = k]

= = = =

+1 X

N =k +1 X

N =k +1 X N =0 +1 X

N =0

=

P [X = N; D = k] P [X = N ] P [D = k j X = N ] P [X = N + k] P [D = k j X = N + k] N +k

(N + k)!

( p)k e k! k

e C (N + k; k) pk (1

p)N

+1 X [ (1 p)]N N!

N =0

( p) exp exp (1 p) k! ( p)k exp p = k! D suit donc une loi de Poisson de paramètre p. =

Exercice 17

Soient X1 ; :::; Xn n variables aléatoires indépendantes qui suivent toutes une même loi exponentielle de paramètre , > 0: Déterminer la loi de la variable aléatoire :

Zn = X1 + ::: + Xn

361

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

Solution 17

Soit :f la densité de probabilité de loi exponentielle de paramètre , et pour tout k , 1 k n, soit fk la densité de X1 + ::: + Xk . On a : 8 si x 0 < 0 f (x) = : exp x si x > 0

Démontrons, par récurrence sur n, que la densité fn de X1 + ::: + Xn .est dé…nie pour tout x > 0 par : n

fn (x) =

(n

1)!

xn

1

exp

x

les variables aléatoires X1 ; :::; Xn étant indépendantes (i) Pour n = 1, la propriétés est vraie. (ii) Suposons que pour tout k , 1

k

n

aléatoire X1 + ::: + Xk est : 8 0 > > < fk (x) = k > > : xk (k 1)!

1

1, la densité fk de de la variable

exp

x

si

x

0

si

x>0

Puisque X1 ; :::; Xn sont indépendantes, alors :

fn (x)

= =

=

=

(fn 1 f ) (x) Z +1 fn 1 (t) f (x t) dt 1 8 0 > > < Z x n 1 > > : tn 2 e t (n 2)! 8 0 0 > > < Z x n > > e x tn 2 dt : (n 2)! 0 362

x e x

(x t)

0

x>0

dt

0

x>0

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

et par suite :

fn (x) = d’où le résultat.

8 0 > > < > > :

x

0

n

(n

1)!

xn 1 e

x

x>0

Exercice 18

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois normales N 1 ; 21 et N 2 ; 22 respectivement. Déterminer la loi de la variable aléatoire :

T =X +Y

Solution 18

On a :

fX (x) = 1

1 p

2

1 2

exp

2

x

1

; x2R

1

et :

1 x fY (y) = exp 2 2 2 Puisque X et Y sont indépendantes alors : 1 p

fX+Y (u)

= =

(fX fY ) (u) Z +1 fX (t) fY (u 1

= =

1

2 p

1 2

Z

1 2 1

+

+1

exp 1

p 2 2

t) dt " 1 t 2

2

exp

2 2

2 1

u

+

2

t

1

1 2 ( 21 +

363

; x2R

2

2 2

2) 2

[u

(

1

+

2 2 )]

#

dt

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

Puisque pour tout a, a > 0, on a : Z +1 exp ax2 + bx + c

dx =

1

r

a

exp

b2

4ac 4a

Donc la variable aléatoire :

T =X +Y suit une loi normale de moyenne

1+ 2

et de variance

2 2 1+ 2

:N

1

+

2;

2 1

+

Exercice 19

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois normales N (0; 1) et N ; 2 respectivement. 1. Calculer : (a) P [X < 2:41] (b) P [X < 1:09] 2. Déterminer x tel que : (a) P [X < x] = :975 (b) P [X < x] = :883 3. Trouver une relation entre P [X < x] et P [X <

x]

4. Montrer que :

P [a < X < b] = P [X < b]

P [X < a]

5. En déduire P [ a < X < a] en fonction de P [X < a] : 6. Montrer que :

P [Y < y] = P X < Calculer lorsque

= 4 et

=2: P [3 < Y < 4]

364

y

2 2

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

7. On suppose que :

Déterminer alors

8 < P [Y > 1] = :8413 et :

:

P [Y > 9] = :0228

Solution 19

1. D’après la table de la loi normale centrée réduite on a :

P [X < 2:41] = :92 P [X < 1:09] = :8621 2. D’après la table de la loi normale centrée réduite on a :

P [X < x] = 0:975

=)

x = 1:96

P [X < x] = 0:883

=)

x = 1:19

3. Puisque la densité de la loi normale centrée réduite est une fonction paire, alors on a :

P [X <

x]

=

P [X

=

1

x]

P [X < x]

4. On a :

]a; b[ = ] 1; b[

] 1; a] =) P [a < X < b] = P [X < b] =) P [a < X < b] = P [X < b]

puisque X est absolument continue. 5. On a :

P [ a < X < a]

=

P [X < a]

=

2P [X < a]

365

P [X < 1

a]

P [X

a]

P [X < a]

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

6. Puisque X est la variable aléatoire centrée réduite associée à Y , alors :

P [Y < y] = P X <

y

Calculons :

P [3 < Y < 4] lorsque

= 4 et

= 2:

On a :

P [3 < Y < 4]

7. On a : 8 < P [Y > 1] = :8413

:

P [Y > 9] = :0228

=

P [Y < 4]

P [Y < 3]

=

P [X < 0]

P [X <

=

P [X < 0]

(1

=

:5

=

:1915

0:5]

P [X < 0:5])

1 + :6915

()

()

() ()

8 1 > > < P X> 9 > > : P X> 8 > > < P X<

9 > > : P X< 8 1 > < =1 9 > : =2 ( 8 = 3 = +1

366

= :8413 = :0228 1

= :8413 = :9772

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

Exercice 20

La taille des individus d’une certaine population est une variable aléatoire normale de moyenne 171 cm et d’écart-type 4 cm 1. Un individu étant choisi au hasard et X étant sa taille en cm. Déterminer la probabilité des événements suivants : (a) [X = 175 cm] à un cm près, (b) [X > 190 cm] (c) [jX

171j > 8] :

2. On choisit au hasard dix personnes dans la population et l’on note M10 la moyenne des tailles des individus choisis. (a) Calculer l’espérance mathématique et la variance de M10 : (b) Déterminer a tel que :

P [jM10

171j > a] = 0:1

3. On choisit au hasard n personnes dans la population et l’on note Mn la moyenne des tailles des individus choisis. (a) Calculer l’espérance mathématique et la variance de Mn : (b) En admettant que Mn suit une loi normale, déterminer a tel que :

P [jMn

171j > a] = 0:1

(c) Démontrer que pour tout a, a > 0, on a :

lim P [jMn

171j > a] = 0

n!1

Solution 20

Soit N la variable aléatoire normale centrée réduite associée à X :

N=

X

171 4

367

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

1. D’après la table de la loi normale centrée réduite on a : (a)

P [174

X

176]

=

P [X

176] 176

=

P N

=

P [N

=

0:8944

=

0:121

P [X 171 4

1:25]

P [N

174] P N :75]

0:7734

(b)

P [X > 195]

195

=

1

P N<

=

1

P [N < 6]

=

0

171 4

(c)

P [jX

171j > 8]

=

P [jN j > 2]

=

1

P [jN j < 2]

=

2

2P [N < 2]

=

:0456

2. Soit X1 ; :::; X10 le 10-échantillon tiré de la population. On a :

M10 =

10 X

Xk

k=1

M10 est la moyenne empirique du 10-échantillon.

368

174

171 4

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

(a) Il en résulte que :

E [M10 ]

=

E [X]

=

171 cm

et :

V [M10 ]

V [X] 10 1:6 cm2

= =

et par conséquent :

[M10 ]

[X] p 10 1:2649 cm

= =

M10 suit une loi normale N 171 cm; 1:6 cm2

(b) On a :

P [jM10

171j > a]

=

P

=

2

jM10 171j a > [M10 ] [M10 ] a M10 171 2P < [M10 ] [M10 ]

d’où :

P [jM10

171j > a] = 0:1

équivaut à :

P

M10 171 < [M10 ]

a = 0:9 [M10 ]

d’où :

a = :8289 [M10 ] et …nalement :

a = 1:0485

369

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

3. Soit X1 ; :::; Xn le n-échantillon tiré de la population. On a :

Mn =

n X

Xk

k=1

Mn est la moyenne empirique du n-échantillon. (a) Il en résulte que :

E [Mn ] = E [X] = 171 cm et :

V [Mn ] =

V [X] 16 = n n

et par conséquent :

4 [X] [Mn ] = p = p n n Mn suit une loi normale N

171 cm;

16 cm2 : n

(b) Par un calcul analogue on aboutit à : a = :8289 [Mn ] d’où :

3:3156 p n (c) D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout a, a > 0, on a : a=

P [jMn

171j > a]

V [Mn ] a2 16 na2

d’où pour tout a, a > 0, on a :

lim P [jMn

n!1

171j > a] = 0

370

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

Exercice 21

Une machine fabrique en série une des pièces utilisées dans la construction d’un appareil électroménager. Le diamètre de cette pièce doit être 10 cm, mais une marge de tolérance m est permise, c’est à dire toute pièce dont le diamètre est élément de l’intervalle [10 m; 10 + m] est acceptée. On admet que la diamètre L de la pièce est une variable aléatoire normale de moyenne = 10 cm et d’écart-type = 0:12 cm: 1. Calculer : (a) la probabilité qu’une pièce mesure moins de 9:85 cm: (b) la probabilité qu’une pièce mesure moins de 10:21 cm sachant qu’elle mesure plus de 9:85 cm: 2. Sur 4375 pièces usinées, 924 ont dû être refusées : motié d’entre elles étant trop grandes et les autres trop petites. Déterminer la marge de tolérance m: 3. En supposant que le réglage de la machine permette que la variable aléatoire L

= 10 cm et d’écart-type pour que 90% de la production de cette

soit toujours régie par une loi normale de moyenne , quelle valeur faudrait-il donner à machin esoit acceptés ?

Solution 21

Soit.:

D=

L

la variable aléatoire normale centrée réduite associée à L.

371

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

1. (a) On a :

P [L < 9:85]

=

9:85 10 0:12 9:85 10 P D< 0:12 P [D < 1:25]

=

1

=

0:1056

=

P D<

=

P [D < 1:25]

(b) On a :

P [L < 10:21 j L > 9:85]

= = =

P [(L < 10:21) \ (L > 9:85)] P [L > 9:85] P [9:85 < L < 10:21] P [L > 9:85] P [L < 10:21] P [L < 9:85] P [L > 9:85]

Or :

P [L < 10:21]

=

10:21 10 0:12 P [D < 1:75]

=

0:9599

=

P D<

et :

P [L > 9:85]

=

1

P [L < 9:85]

=

P [D < 1:25]

=

0:8944

d’où :

P [L < 10:21 j L > 9:85] = 0:95517

372

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

2. On a :

P [L 2 = [10

m; 10 + m]]

P D2 =

=

1

=

2

or :

P [L 2 = [10

m m ; 0:12 0:12 m m P D2 ; 0:12 0:12 h m i 2P D < 0:12

=

m; 10 + m]]

= =

donc :

d’où :

924 4375 0:2112

h

m i P D< = 0:8944 0:12 m = 1:25 0:12

et …nalement :

m = 0:15 3. Puisque la relation :

P [L 2 [10 est équivalente à :

m; 10 + m]] = 0:90

h

P D< alors :

m

mi

= 0:95

= 1:65

et …nalement :

= ' 373

0:15 1:65 0:09

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

Exercice 22

Tn désigne une variable aléatoire de Student à n degrés de liberté. 1. Déterminer t tel que : (a) P [T7 < t] = :95 (b) P [T24 < t] = :6 2. Calculer : (a) P [T5 < :92] (b) P [T7 < 3] 3. Déterminer n tel que : (a) P [Tn < 2:6] = :99 (b) P [Tn < 1:94] = :95 4. Trouver une relation entre P [Tn < x] et P [Tn <

x]

5. En déduire P [ a < Tn < a] en fonction de P [Tn < a] Déterminer a tel que :

P [ a < T5 < a] = :95

Solution 22

1. D’après la table de la fonction de répartition de la loi Student à n degrés de liberté, on a :

P [T7 < t] = :95

=)

t = 1:9

P [T24 < t] = :6

=)

t = :256

2. D’après la table de la fonction de répartition de la loi Student à n degrés de liberté, on a :

P [T5 < 0; 92] = :8 P [T7 < 3] = :99

374

Lois Usuelles

A. El Mossadeq

3. D’après la table de la fonction de répartition de la loi Student à n degrés de liberté, on a :

P [Tn < 2:6] = :99

=)

n = 15

P [Tn < 1:94] = :95

=)

n=6

4. Puisque la densité de probabilité de la variable aléatoire de Student à n degrés de liberté est une fonction paire, donc :

P [Tn < x]

=

P [Tn >

=

1

x]

P [Tn <

x]

5. On en déduit que :

P [ a < Tn < a]

=

P [Tn < a]

=

2P [Tn < a]

P [Tn <

a]

1

En particulier :

P [ a < T5 < a] = :95

=) =) =)

2P [T5 < a] 1 = :95 P [T5 < a] = :975 a = 2:57

Exercice 23 n

désigne une variable aléatoire du Khi-deux à n degrés de liberté.

1. Déterminer x tel que : (a) P (b) P

2 26 2 21

< x = :75 < x = :01

2. Calculer : (a) P (b) P

2 3 2 5

< 1:21 < 9:24

375

A. El Mossadeq

Lois Usuelles

3. Déterminer n tel que : (a) P (b) P

2 n 2 n

< 3:36 = :5 < 2:20 = :1

Solution 23

1. D’après la table de la fonction de répartition de la loi du Khi-deux à n degrés de liberté , on a :

P

2 26

< x = :75

=)

x = 30:4

P

2 21

< x = :01

=)

x = 8:9

2. D’après la table de la fonction de répartition de la loi du Khi-deux à n degrés de liberté , on a :

P

2 3

< 1:21 = 0:25

P

2 5

< 9:24 = 0:9

3. D’après la table de la fonction de répartition de la loi du Khi-deux à n degrés de liberté , on a :

P

2 n

< 3:36 = :5

=)

n=4

P

2 n

< 2:2 = :1

=)

n=6

Exercice 24

Fn;m désigne une variable aléatoire de Fisher à (n; m) degrés de liberté. 1. Déterminer f tel que : (a) P [F2;5 < f ] = :95 (b) P [F12;8 < f ] = :95

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Lois Usuelles

A. El Mossadeq

2. Déterminer f tel que : (a) P [F7;12 < f ] = :975 (b) P [F16;13 < f ] = :975 3. Déterminer f tel que : (a) P [F20;11 < f ] = :99 (b) P [F16;3 < f ] = :99

Solution 24

1. D’après la table de la fonction de répartition de la loi de Fisher à (n; m) degrés de liberté , on a :

P [F2;5 < f ] = :95

=)

f = 5:79

P [F12;8 < f ] = :95

=)

f = 3:28

2. D’après la table de la fonction de répartition de la loi de Fisher à (n; m) degrés de liberté , on a :

P [F7;12 < f ] = :975

=)

f = 3:61

P [F16;13 < f ] = :975

=)

f = 3:03

3. D’après la table de la fonction de répartition de la loi de Fisher à (n; m) degrés de liberté , on a :

P [F20;11 < f ] = :99

=)

f = 4:1

P [F16;3 < f ] = :99

=)

f = 5:29

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