Probabilites 3

 

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Probabilités  

Exercice 1. Une étude de la population d'une grande ville de province a fait apparaître que pendant un mois : 35 % des personnes sont allées au cinéma, 12 % des personnes sont allées au musée, et 6 % des personnes sont sont allées aux deux. deux. Calculer la probabilité que, pendant ce mois, une personne ait fait les choix suivants : a) Aller au cinéma ou au musée, b) Ne pas aller au cinéma, c) N'aller ni au cinéma, ni au musée, d) Aller au cinéma mais pas au musée.

Exercice 2. Dans un laboratoire se trouve une cage avec 100 souris présentant deux caractères : sexe (mâle ou femelle ), couleur (blanche ou noire) ; 87 sont mâles, 57 sont blanches et 55 sont mâles et blanches. 1°/

Donner l'effectif par catégorie.

2°/ Une assistante prend une souris au hasard. Calculer la probabilité pour qu'elle obtienne une souris blanche ou une souris mâle. 3°/ Elle décide de choisir 6 souris. Calculer la probabilité qu'elle obtienne 6 souris prélèvements nts sont réalisés r éalisés : blanches si les prélèveme a) avec remise b) sans remise

Exercice 3. On veut étudier l’influence de l’ordre de la prise de trois médicaments sur l’efficacité d’un traitement constitué par ces trois produits. De combien de façons possibles peut-on organiser ce traitement ?

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Probabilités  

Exercice 4. Soit l’ensemble des chiffres de 0 à 9 inclus. Combien peut-on former de nombres de cinq chiffres, tous distincts, avec les dix chiffres ? (On rappelle qu’un nombre de cinq chiffres commençant par un 0 est nombre de quatre chiffres).

Exercice 5. Une classe de 3 Année compte 35 élèves dont 20 garçons. 12 élèves , dont 5 filles n'ont pas de moyenne moyenne au premier trimestre. On choisit au hasard un élève dans cette classe de 3 Année. On no note te A l'é l'évè vènem nemen entt : "l'é "l'élèv lèvee choisi choisi est un garço garçon". n". n'a pas de mo moyenne". yenne". On note B l'évènement : "l'élève choisi n'a 1. Calculer P ( A) A) 2. Calculer P ( B ) : 3. Calculer la probabilité probabilité que l'élève l'élève choisi soit un garçon et n'a n'a pas de moyenne. moyenne. 4. Calculer la probabilité que l'élève choisi soit un garçon ou n'a pas de moyenne. 5. Calculer la probabilité probabilité que que l'élève l'élève choisi choisi soit un garçon garçon qui qui n'a pas de de moy moyenne enne ou une une fille qui a une moyenne.

Exercice 6. Une urne contient dix boules (6 blanches et 4 rouges). On tire au hasard et successivement deux boules de cette urne. Calculer, dans le cas où le tirage est effectué avec remise, puis dans le cas où le tirage est effectué sans remises, les probabilités suivantes : — les deux boules tirées sont blanches, — les deux boules boules tirées tiré es sont de même même couleur, couleur, — l'une au moins des des boules tirées est blanche . Année 2008-09

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Probabilités Probabilité s : corrigé  

SOLUTION 1. Les résultats de l'étude peuvent être présentés sous forme de tableau :

Sont allées au musée

Ne sont pas allées au

musée Sont allées au cinéma

6%

Total 35 %

Ne sont pas allées au cinéma

Total

12 %

Les cases vides du tableau peuvent être complétées par différence : Sont allées au musée Sont allées au cinéma Ne sont pas allées au cinéma

Total

Ne sont pas allées au

musée 29 %

6% 6%

59 %

12 %

88 %

Total 35 % 65 % 100 %

Ce tableau montre que :

59 % des personnes ne sont allées ni au cinéma, ni au musée, donc, par différence, 41 % sont allées au cinéma ou au musée. 65 % des personnes ne sont pas allées au cinéma. 29 % sont allées au cinéma mais ne sont pas allées au musée.

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Probabilités Probabilité s : corrigé  

SOLUTION 2. 1.

Les quatre données de l'énoncé permettent de remplir le tableau des effectifs,

 suivantt lles  suivan es caractères. caractèr es.

Blanche  Noire Total

Mâle 55  32 87 

Femelle 2 11 13

Total 57  43 100 

2.

Soit

B = « La souris est blanche »

et

M = « La souris est mâle »

P ( B UM  ) = P ( B ) + P ( M ) - P ( B M ) = 0,57 + 0,87 - 0,55 = 0,87 + 0,02 = 0,89.      U

3. Dans un tirage, la probabilité de tirer une souris blanche est P ( B ) = 0,57. Dans 6 tirages indépendants, la probabilité de tirer 6 souris blanches est ( 0,57 ) 6  = 0,034296447249 = 3,43 3,4310 10 -2 .

4.  La probabilité de tirer 6 souris blanches en 6 tirages successifs sans remise est alors le

produit des probabilités :

57 56 55 54 53 52  ≈ 3,04 × 10-2. ×  ×  ×  ×  × 100 99 98 97 96 95

 

6

  Cette probabilité peut être calculée en faisant le rapport du nombre de cas favorables C 57   au nombre de cas possibles

6 C100  :

6 C57 36288252  =  = 6 1192052400 C100

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2067  = 0,030441826215 67900

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 3,04 × 10-2.

≈

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Probabilités Probabilité s : corrigé  

SOLUTION 3. Le nombre nombre de traitements possibles est est le nombre nombre de permutations d’un ensemble ensemble à trois éléments, qui est aussi le nombre de bijections d’un ensemble à trois éléments : c’est 3 !, factorielle 3, qui vaut 3 x 2 x 1 = 6. Il y a 6 façons possibles d’organiser le traitement. On peut énumérer facilement les six façons possibles d’organiser le traitement avec trois produits  A A, B ) et (C, B, A ).  A,, B, C : ( A, B, C ) , (A, C, B ) , (B, C, A ) , ( B, A, C ) , (C, A,

SOLUTION 4. e 1  méthode.  A

1

=

Il y a 9  9 façons de choisir le premier chiffre parmi les chiffres de 1 à 9. Une fois le premier chiffre parmi les chiffres de 1 à 9. Une fois le premier chiffre choisi, il y a 4

 A 9 =  9

×

  8 ×  7 ×  6 =

 3 024 façons de choisir les 4 chiffres suivants.

Au total, il y a 9 × 3 024 =  27 216 nombres de 5 chiffres différents ne commençant pas par un 0. 27 216 nombres de 5 chiffres différents ne commencent pas par un 0.

e 2  méthode. Il y a 9 façons de choisir le l e premier chiffre différent de 0. Il y a 9 façons de choisir le deuxième chiffre parmi les 9 chiffres restant après le choix  du premier chiffre. Il y a 8 façons de choisir le 3e  chiffre parmi les 8 chiffres restant après le choix des deux premiers chiffres. chiffres. Il y a 7 façons de choisir le 4e chiffre parmi les 7 chiffres restant après le choix des trois premiers chiffres. chiffres. Il y a 6 façons de choisir le 5e  chiffre parmi les 6 chiffres restant après le choix des quatre premiers chiffres. chiffres. Au total, nous obtenons : 9 x 9 x 8 x7 x 6 = 27 216 nombres de 5 chiffres différents ne commençant pas par un 0.

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Probabilités Probabili tés : corrigé   e 3  méthode. 5 =10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30 240 façons de choisir 5 chiffres différents parmi les 10 chiffres Il y a A10

de 0 à 9 , et de les ordonner pour faire un nombre de 5 chiffres. Il y a A94 = 9 x 8 x 7 x 6 = 3 024 nombres ayant quatre chiffres différents de 0 et différents entre eux. 4 Ces  A 9   sont en correspondance biunivoque avec les nombres de 5 chiffres différents commençant

 par un 0. Il y a donc : 4 5 A10   x A9 = 30 240 x 3 024 = 27 216 nombres de 5 chiffres différents ne commençant pas par un 0.

4 e méthode. 5 Il y a  A10 = 10× 9 × 8 × 7 × 6 = 30 240 façons de choisir 5 chiffres différents parmi les 10 chiffres

 de 0 à 9, et de les ordonner pour pour faire un nombre nombre de 5 chiffres. chiffres.

Pour chacun de ces 30 240

nombres possibles, il y a une chance sur 2 pour qu’il y ait un 0, puisque l’on prend 5 chiffres sur 10. Parmi les nombres contenant un 0, il y a une chance sur 5 pour que le 0 soit soit placé au début, puisque les nombres ont 5 chiffres. Donc, parmi les 30 240 nombres possibles, il y a une chance sur 10 (

1 1 1   x  = ) pour que le nombre commence par un 0, et 9 chances sur 10 pour qu’il 2 5 10

ne commence pas par un 0. Il y a donc donc

9 × 30 240 = 27 216 nombres de 5 chiffres différents

ne commençant pas par un 0.

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Probabilités Probabili tés : corrigé   SOLUTION 5.

Il y a équprobabilité car l'élève est choisi au hasard.

1.   P   (( A) =

  20   4 nombr nombree de ga gar rcons c ons   =  = 7 35 nombr nombree d'el e leves e ves de la clas classe se

2.   P   (( B ) =

nombre d'élève nombre d'élève n'ayant n'ayant pas pas de moyen moyenne ne   nombr nombree d'el e leves e ves de la clas classe se

  12 35

nombre de garçon garçonss n'aya n'ayant nt pas pas de de moyen moyenne ne   no nombr mbree d'el e leves e ves de la clas classe se

3.   P   (( A ∩ B ) =

4.   P   (( A ∪ B ) =

=

P  (A) + P  (B ) − P  (A ∩ B ) =

=

  12 − 5   1   = 35 5

  4   12 1   25   5  +   −   =   = 7 35 7 35 5

5. Un tableau tableau est est pratique pratique :

A

P 

  A¯   Total

B

 

7

5

12

¯ B

 

13

10 10

23 23

Total

20

15

35

 ¯ ∩  B ¯  = P  (  ¯   ∩  B ¯ (A ∩ B ) ∪ A  ( A ∩ B ) + P  A



D'où

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

P 







car les évèneme évènements nts sont sont incompatible incompatibless

¯  =   7  +   10   =   17  ¯ ∩  B (A ∩ B ) ∪ A 35 35 35







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Probabilités Probabilité s : corrigé  

SOLUTION 6. A. Tirage avec remise. Dans ce cas, les épreuves sont indépendantes et les probabilités sont les mêmes dans les deux tirages successifs. Dans un tirage, la probabilité d'une boule blanche est égale au nombre de cas cas favorables (6), divisé par le nombre de cas possibles (10), c'est donc 0,6.

1. Probabilité pour que les l es deux boules soient blanches.    N  Notons otons B 1  l'évènement : " La boule tirée dans le premier tirage est blanche ".  N  Notons otons B 2  l'évènement : " La boule tirée dans le deuxième tirage est blanche ". On a : P (B 1 ) = 0,6

,

P (B 2 ) = 0,6

B 2 : On en déduit la valeur de la probabilité de l'évènement  B 1   B

 " La boule tirée dans le premier tirage est blanche et la  boule tirée dans le deuxième tirage est blanche bla nche ".

P ( B  B 1  B  B 2 ) = P ( B  B 1 ) P ( B  B 2 ) = 0,6 ² = 0,36.

La probabilité pour que les deux boules tirées soient blanches est 0,36.

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Probabilités Probabili tés : corrigé   2. Probabilité pour que les deux boules soient de la même couleur. Soient l'évènement : " La boule tirée dans le premier tirage est rouge ", l'évènement : " La boule tirée dans le deuxième tirage est rouge ". On a : donc P ( ) = 1 – P ( B  ) = 0,4  P ( B  B  ) = 0,6  1

 1

P ( B  B 2 ) = 0,6

donc

) = 1 – P ( B  B 2 ) = 0,4 

P (

L'évènement C : " Les boules tirées lors des deux tirages successifs sont sont de même même couleu couleurr "    peut être écrit :

 = ( B B 2 ) s ( C  =  B 1   B

 B 2 et Or les évènements  B 1  B



 

)

  sont incompatibles, leur leur intersection est vide. vide.  

B 2 ) + P ( B 1   B  ) = P (  B L'axiome des probabilités totales indique alors que l'on a : P ( C  )

P ( C  )  ) = P ( B  B 1  B  B 2 ) + P (

 

)

) = P ( B  B 1   B B 2 ) + 1 – P ( B  B 1 s  B B 2 ) 

P ( C  )  ) = P ( B  B 1 ) P ( B  B 2 ) + 1 – ( P ( B  B 1 ) + P ( B  B 1 ) – P ( B  B 1   B B 2 ) ) = 1 + 2 P ( B  B 1 ) P ( B  B 2 ) – P (  B B 1 ) – P (  B B 2 )

Donc P ( C  )  ) = 1 + 2 × 0,6 × 0,6 – 0,6 – 0,6 = 1,72 – 1,20 = 0,52. Ainsi, la probabilité pour que les deux boules tirées soient de même couleur est 0,52.

3. Probabilité pour que l'une au moins des boules tirées soit blanche. Soit  B l'évènement : " L'une au moins des boules tirées est blanche ". L'évènement L'évènement complém complémentaire entaire  est : " Les deux  boules tirées sont rouges ",

P (

) = P (

Par conséquent :

 

) = P (

) × P (

=

 

.

) = ( 1 – P (  B B 1 ))( 1 – P (  B B 2 )) = ( 1 – 0,6) ( 1 – 0,6) = 0,16  

P ( B  B) = 1 – P (

) = 1 – 0,16 = 0, 0,84

Donc la probabilité pour que l'une au moins des boules tirées soit blanche est 0,84.

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Probabilités Probabilité s : corrigé   B. Tirage sans remise. B 1 ) = 0,6. Dans ce cas, la probabilité de tirer une boule blanche dans le premier tirage est P (  B

 Mais la probabilité de tirer une boule blanche dans le deuxième tirage dépend de la boule tirée au premier tirage : Si la première boule tirée est blanche alors : la probabilité que la deuxième boule tirée soit blanche est et la probabilité que la deuxième boule tirée ne soit pas blanche est

1. Probabilité pour que les deux boules tirées soient blanches. La probabilité pour que les deux boules tirées soient blanches est P ( B  B   B  B  ) =  1

=

×

=

 2

2. Probabilité pour que les deux boules tirées soient de la même couleur. Comme précédemment, l'évènement C : " Les boules tirées lors des deux tirages tirages successifs successifs sont sont C  =  = ( B  B 1  B  B 2 ) s (

de même couleur couleur " peut être écrit : B 2 et Or les évènements  B 1   B



 

)

  sont incompatibles, incompatibles, leur intersection est vide. vide.

L'axiome des probabi probabilités lités totales indique alors que l'on a :   B 2 ) + P ( P ( C  ) B 1   B  ) = P (  B

 

)

) = P ( B  B 1  B  B 2 ) + 1 – P (  B B 1 s  B B 2 ) 

P ( C  )  ) = P ( B  B 1   B B 2 ) + P (

= P ( B  B 1 ) P (  B B 2 ) + 1 – ( P (  B B 1 ) + P ( B  B 1 ) – P ( B  B 1   B B 2 ) ) = 1 + 2 P ( B  B 1 ) P ( B  B 2 ) – P ( B  B 1 ) – P ( B  B 2 )

Donc P ( C  ) = 1 + 2 ×

×

–

–

14 =  __  . 27 14

Ainsi, la probabilité pour que les deux boules tirées soient de même couleur est  __  . 27

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Probabilités Probabilité s : corrigé  

3. Probabilité pour que l'une au moins des boules tirées soit blanche.

 _  Soit B l'évènement : " L'une au moins des boules tir tirées ées est blanche ". L'évènement L'évènement compléme complémentaire ntaire B est : " Les deux  boules tirées sont rouges ",

P (

) = P (

 

) = P (

) × P (

=

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.

) = ( 1 – P (  B B 1 ))( 1 – P (  B B 2 )) = ( 1 –  _ 

Par conséquent :

 

P ( B) = 1 – P  ( B ) = 1 –

)(1–

4 ) =  __  27

4    __  23    __  = 27 27

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