Probabilitats. Problemes i Més Problemes ( Text Editable )

l/)

w

~ W

--l

cc oo:::: 0-

l/)

'W

~

-

l/)

~

--l

cc

~ l/)

~

::J

cc

« cc oo:::: O-

PROBABI LlfA:rS: PROBLEMES I MÉS PR 0, llavors P(A IB) = i

P(B IA;)P(Ai) P(B IAI )P(A¡) + ... + P(B IAn )P(An)

Aquesta fórmula es coneix com a fórmula de Bayes i ens permet invertir l'ordre del condicionament.

2.5

Problemes

1. En cadascun dels experiments següents indiqueu quin és l'espai mostral. En

cada apartat digueu si estem en una situació d'equiprobabilitat. (a) Es tria una família de dos fills i s'anoten els sexes del fills ordenats per edats (suposem que la probabilitat dels dos sexes és la mateixa). (b) El mateix que l'apartat anterior però ara sense tenir en compte l'ordre. (c) S'agafa un llibre qualsevol i es compta el nombre d'errors d'impremta. (d) D'una baralla de 48 cartes se n'extrauen dues amb reemplaçament. (e) El mateix que l'apartat anterior però sense reemplaçament. Solució:

(a)

n=

{(nen, nen) , (nen, nena) , (nena, nen) , (nena, nena)} .

Tots els esdeveniments elementals tenen probabilitat 1/4, per tant són equiprobables. (b) Ara tindrem una possibilitat menys ja que (nen, nena) i (nena, nen) seran el mateix resultat. Aleshores l'espai mostral estarà format pels elements següents:

n = {{nen,nen},{nen,nena},{nena,nena}}

1 1 P ({nen, nen}) = P ({nena, nena}) = "4 i P ({nen, nena}) = 2' Per tant, l'espai mostral no és equiprobahle.

2.5. PROBLEMES

13

(c) El nombre d'errors d'impremta serà un nombre natural. Com que no podem posar-hi una fita superior haurem d'agafar com a espai mostral Sl = N U {O}.

No estem en un cas d'equiprobabilitat, perquè l'espai mostral té infinits esdeveniments elementals. (d) Per designar les cartes utilitzarem la notació Wi ,1 O

Àk

kT = exp(À) .¡. 1.

k=O

(b)

n és un espai mostral finit de manera que només cal comprovar que les probabilitats dels esdeveniments elementals són nombres positius més petits o iguals que 1 i que sumen 1. En efecte, tenim que

és sempre un valor entre O i 1. A més

t k=O

P({k}) =

t

(~)pn-k(l -

p)k = (p

+ (1- p)t =

1.

k=O

Per tant, sí que defineix una probabilitat. (e) No és una probabilitat, perquè no és additiva. Veiem-ho: si definim

Al = {parells} i A 2 = {senars} , són disjunts i P (A¡) = P (A 2 ) = l, però en canvi 1 = P(A I U A 2 )'¡' P(Ad

+ P(A 2 )

= 2.

4. Dos estudiants de probabilitats es troben per casualitat fent cua al cinema per anar a veure la mateixa pel·lícula. A la cua hi ha m persones. Calculeu les probabilitats següents: (a) que estiguin un darrere l'altre, (b) que estiguin separats exactament per k persones, k :oo

4.

lim F(x) = x~-oo

o.

A més a més, tota funció F : lR --+ [O, 1] que compleix aquestes quatre propietats és la funció de distribució corresponent a una llei.

Mitjançant la funció de distribució F, associada a una variable X, podem calcular les probabilitats següents:

< a) :s; X :s; b) < X :s; b) :s; X < b) < X < b)

F(b) - F(a),

P(X = a)

F(a) - F(a-),

F(a-),

P(X P(a P(a P(a P(a

per a tot a, bE lR, a

< b, i on F(x-)

F(b) - F(a-), F(b-) - F(a-), F(b-) - F(a),

=

lim y1x F(y).

57

3.3. TIPUS DE VARIABLES ALEATÒRIES

3.3

Tipus de variables aleatòries

Les variables aleatòries més habituals es poden classificar en tres grups: discretes, absolutament contínues i mixtes.

Definició 3.3.1 Una variable aleatòria X es diu que és discreta si X(~) és un conjunt finit o numerable, denotem-lo per N. El conjunt N pot ser representat per {Xi, i E I}, l ç N. La llei d'una variable aleatòria discreta queda determinada pels valors P x ({xd) = P(X = Xi),

i E l.

L'aplicació p :

N

----+

[0,1]

Xi

----+

P(Xi) = Px({xd),

s'anomena funció de probabilitat. Per definir les variables aleatòries absolutament contínues, necessitem donar la definició següent:

Definició 3.3.2 Una funció f satisfà aquestes condicions: 1.

f 2>

JR

----+

JR s'anomena funció de densitat si

0,

2. f és integrable en el sentit de Riemann en JR, 3. J~ f(x)dx

= 1.

Definició 3.3.3 Una variable aleatòria X és absolutament contínua si existeix una funció de densitat f tal que la seva funció de distribució F es pot escriure com

F(x)

=

¡~ f(y)dy,

VxER

En aquest cas diem que F és una funció de distribució absolutament contínua. Per a variables aleatòries absolutament contínues podem obtenir immediatament les propietats següents: per a tot a, b E JR, a < b, P(a

~ X ~ b) = P(a < X ~ b) = P(a ~ X

< b) = P(a < X < b) =

l

b

f(x)dx,

P(X=a)=O. La proposició següent ens dóna un criteri per reconèixer les funcions de distribució de variables aleatòries absolutament contínues.

CAPÍTOL 3. VARIABLES ALEATÒRIES UNIDIMENSIONALS

58

Proposició 3.3.4 Suposem que la funció de distribució F compleix que 1. és contínua en tots els punts, 2. és derivable excepte, tal vegada, en un nombre finit de punts,

3. la derivada és contínua excepte, tal vegada, en un nombre finit de punts.

Aleshores, la funció F és absolutament contímw i la seva densitat coincideix amb

F' en els punts on aquesta derivada existeix. Proposició 3.3.5 Tota funció de distribució F admet la descomposició següent: \Ix E lR, on

Fd(X)

=

L

[F(y) - F(y-)] ,

yED, y5,x

sent V el conjunt finit o numerable dels punts de discontinuïtat de F, i

Fc i Fd s'anomenen la part contínua i discreta de F, respectivament. Observació: Si la variable aleatòria és discreta la part contínua de la seva funció de distribució és zero. Anàlogament, si la variable aleatòria és absolutament contínua, la part discreta de la seva funció de distribució és zero. Definició 3.3.6 X és una variable aleatòria mixta si les parts discreta i contínua de la seva funció de distribució no són idènticament zero, i la part contínua Fc admet la descomposició següent: (3.3.1 ) amb

3.4

f

~

o. Transformacions de variables aleatòries

Sigui X una variable aleatòria absolutament contínua amb densitat fx que pren valors en un interval obert I. Sigui g : I --> .1 una funció bijectiva de classe el de l'interval I en un altre interval obert .1, i amb inversa també de classe el. Aleshores la variable aleatòria Y = g(X) és absolutament contínua i té per densitat

3.5. ESPERANÇA MATEMÀTICA

59

Aquest resultat es pot estendre a qualsevol funció 9 on el domini es pot escriure corn una reunió finita d'intervals h U· .. U In disjunts i les restriccions de 9 a cada IntIj , j = 1, ... , n compleixen les condicions anteriors. En aquest cas, la densitat de la variable Y = g(X) és n

Jy(y)

=

¿ix(gjl(y)) j(gjl)'(y)j1bj(Y) j=1

=

t

ix (gj1(y))

j

'(

!1(Y ))jll

J¡

(y),

gJ gJ

j=1

on gj indica la restricció de la funció 9 a l'interval Ij i 1j és la imatge de l'interior de Ij per la funció gj.

3.5

Esperança matemàtica

L'esperança matemàtica és una mesura de centrament que representa el valor mitjà o esperat d'una variable aleatòria. Discretes. Sigui X : n -> {Xi, i E l c:;; N} una variable aleatòria discreta, X té esperança finita si, i només si,

¿

IXil

P(X

=

Xi) <

00

iEI i, en aquests cas,

E(X)

=

¿XiP(X = Xi). iEI

Sigui X : n -> {Xi, i E l c:;; N} una variable aleatòria discreta i 9 : IR -> IR una funció tal que Y = g(X) és una variable aleatòria. Aleshores, Y té esperança finita si, i només si,

¿

Ig(Xi)IP(X

=

Xi) <

00

iEI i, en aquest cas,

E(Y) = ¿g(Xi)P(X iEI

=

Xi).

Absolutament contínues. Una variable aleatòria X absolutament contínua amb densitat i té esperança finita si, i només si,

1:

Ixli(x)dx <

00

CAPÍTOL 3. VARIABLES ALEATÒRIES UNIDIMENSIONALS

60

¡:

i, en aquest cas, E(X) =

xf(x)dx.

Si 9 : lR --+ lR és una funció tal que Y = g(X) és una variable aleatòria. Aleshores, Y té esperança finita si, i només si,

¡:

Ig(x)lf(x)dx <

i, en aquest cas,

E(Y) Mixtes.

=

¡:

00

g(x)f(x)dx.

Una variable aleatòria mixta X té esperança finita si, i només si,

L

IxIF(X = x)

+

xED

Joo IxlJ(:r) dx <

00,

-00

on V és el conjunt de les discontinuïtats de la funció de distribució i ! està definida a (3.3.1). Aleshores podem calcular l'esperança d'aquest tipus de variable de la manera següent: E(X) =

L

xF(X = x)

xED

+

Joo x/(x) dx. -00

A continuació donarem un seguit de definicions relacionades amb l'esperança matemàtica.

Definició 3.5.1 Una variable aleatòria X té moment d'ordre k E N si X esperança finita.

k

té

Definició 3.5.2 La variància d'una variable aleatòria X amb esperança finita es defineix com Var(X) = E [(X - E(X))2J = E (X 2) - (E(X))2 . Observem que la variància pot ser

+00.

Definició 3.5.3 L'arrel quadrada de la variància, denotada per a, es coneix com la desviació típica i mesura la disper"sió de la variable, a(X) = JVar(X).

Definició 3.5.4 Sigui X una variable aleatòria que pren valors en els enters no negatius. S'anomena funció generatriu de la variable aleatòria X a la funció

'Px(z)

=

E(zx).

La funció generatriu d'aquest tipus de variable sempre està ben definida per I z I :.s: 1.

3.6. VARIABLES ALEATÒRIES MÉS USUALS

61

Propietats

• Linealitat. Siguin X, Y variables aleatòries amb esperança finita i a, b E lR, aleshores la variable aleatòria aX + bY també té esperança finita i E(aX

+ bY)

=

aE(X)

+ bE(Y).

• Per a tota variable X que té esperança finita es compleix que

IE(X)I ::; E(IXI)·

•

Desigualtat de Txebitxev. Sigui X una variable aleatòria no negativa i f: lR+ -----t lR+ una funció creixent tal que E(f(X)) < 00. Per a tot nombre real positiu a tal que f(a) > O, es compleix que P(X> ) < E(f(X)) - a f(a) .

• Desigualtat de Jensen. Sigui X una variable aleatòria amb esperança finita i g una funció convexa tal que g(X) té esperança finita. Aleshores g (E(X)) ::; E (g(X)) . • Sigui X : n ---> Z+ una variable aleatòria que pren valors en els enters positius, la seva esperança la podem calcular mitjançant la seva funció de distribució, 00

E(X)

=

L

P(X ~ n).

n=1

• Sigui X una variable aleatòria absolutament contínua positiva, podem calcular la seva esperança per mitjà de la seva funció de distribució,

1

00

E(X)

3.6

=

1

00

P(X > x)dx

=

P(X

~ x)dx.

Variables aleatòries més usuals

En aquest apartat donarem la llei de les variables aleatòries més conegudes, així com les seves esperances i variàncies. De les discretes escriurem la seva funció de probabilitat i de les absolutament contínues, la seva densitat f. També direm quina és la notació que es fa servir per anomenar-les. Algunes d'aquestes característiques les calcularem o indicarem en el moment que resolem els problemes proposats en aquest capítol.

CAPÍTOL 3. VARIABLES ALEATÒRIES UNIDIMENSIONALS

62 Discretes

• Bernoulli: X

B(l,p), p E (0,1).

rv

- P(X = k) = pk (1- p)l-k,

- E(X)

k = 0,1;

= p;

- Var(X) = p (1 - p).

• Binomial: X

rv

B(n,p), n

E

Pf, p

E

(0,1) .

- P(X = k) = (~) pk (1 _ p)n-k,

- E(X)

k = 0,1, ... ,n;

np;

=

- Var(X) = np (1 - p).

• Geomètrica: X

rv

G(p), p

E

(0,1).

- P(X = k) = p (1 _ p)k-l,

- E(X)

k = 1,2, ... ;

i;

=

1-? . p

_ Var(X) =

• Binomial negativa: X

rv

BN(n,p), n E Pf, p E (0,1).

- P(X = k) = (~=i)pn(1- pl-n,

- E(X)

k = n,n

+ 1, ...

;

= ~;

- Var(X) = ~. p

• Hipergeomètrica: X - P(X = k)

_ E(X)

=

- v:ar (X) • Poisson: X

rv

H(N, D, n), n, D, N

( lJ)(N"""JJ) =k

(¿,'t '

(n - N

E

Pf, D:S: N, n

°

+ D) V :s: k :s:

:s:

N.

D 1\ n;

~n;

rv

D(N-D)n(N-n) N2(N-l) .

Pois(À), À E (0,00). k

À - P(X = k) = e -À 0'

- E(X)

= À;

- Var(X) =

À.

Observem que la Bernoulli és un cas particular de la binomial quan n = 1, així mateix la geomètrica és un cas particular de la binomial negativa quan n = 1, és a dir, G(p) rv BN(l,p).

3.7. PROBLEMES

63

Absolutament contínues • Uniforme: X '" U(a, b), a, bE!R, -00 < a < b < 00 .

- j(x)

b~a ~a,b)(X) ;

=

- E(X)

at

=

b ;

_ Var(X) = (b~;)2

.

• Exponencial: X '" EXp(flé), n E (0,00) . = ne-ax~O,oo)(.T)

- j(x) - E(X)

;

= ~ ;

- Var(X) = ~ . • Gamma: X '" G(a,j3), a,j3 E (0,00) .

- j(:r:)

r~;) x!3-1 e-ax~O,oo)(x) ;

=

- E(X)

~

=

;

- Var(X) = ~ . • Normal: X '" N(JL, a 2 ), JL E!R, a E (0,00) . ("_1,)2

- j(x)

=

vba e~ ;

- E(X) = JL ; - Var(X) = a 2

.

Observem que l'exponencial és un cas particular de la gamma quan j3 = 1, és a dir, Exp(n) '" G(n, 1).

3.7

Problemes

1. Sigui X una variable aleatòria que té per funció de distribució:

x < -1, -1 ~ x < 0,

O,

F(x)

=

{

!td ° 2'

1,

9

'

~ x

x

< 2,

2.

Calculeu:

(a) P(X

=

2),

(b) P(X E [-~,3»,

(c) p(X = 21X E [-~,3»),

(d) P(X E (-1,0] U (1,2]),

(e) p(X E (-1,2]) n (1,3»),

(f) P(X E {x E!R; Ixi +2x2 > I}).

64

CAPÍTOL 3. VARIABLES ALEATÒRIES UNIDIMENSIONALS Solució: Els 5 primers apartats es resolen utilitzant les propietats de les funcions de distribució així com de les probabilitats condicionades. Aleshores tenim

P(X = 2) = F(2) - F(2-) = 1

2

1

-"3 = 3'

1) _ 1-) 1 17 P (XE [-2,3) = F(3 ) - F( -2 = 1 - 18 = 18' P (X

=

1)

21X

E [-2,3)

=

P(X = 2) ( [1. )) P XE -2,3

=

p(X E (-l,O])

+ p(X E (1,2])

=

[F(O) - F( -1)]

+ [F(2)

P(X E (-1,0] U (1,2])

P(X E (-1,2]) n (1,3))

=

6 17'

- F(l)]

P(X E (1,2]) = F(2) - F(1)

2

= -

3

2

+-

9

8

= -,

9

=~. 3

Per a l'últim apartat observem el següent:

{XEIR; Ixl+2:r 2 >1}=AUB, on

+ 2x2 > I}, -X + 2:r 2 > I}.

A

=

{X E IR; X ~ O} n {X E IR; .7:

B

=

{X E IR; X < O} n {:r E IR;

Aquesta unió és disjunta. Realitzant operacions bàsiques de conjunts tenim

A

=

{X E IR; X ~ O} n {X E IR; 2(.7:

+

l)(:r: -~)

> O}

= {:r E IR; :r

>

Fent un raonament similar s'obté B = {X E IR; x

< - ~ }.

Aleshores,

P(X

E

{X

E IR;

Ixi + 2:r 2 >

P(X~)

I})

F(-~ -)

1

18

+

(

+ 1- F(~)

2. Considerem la funció O,

F(x)

=

x,

{ 1 - e-a",

X < 0, O:S;Xk =

n=k

2

n (n+1)

=2

-1] L [1-11, -11,+1

2 k

00

n=k

(c) La variable aleatòria Y pren valors en els enters no negatius, per tant la llei quedarà determinada si donem P(Y = m),

'VTn

=

0,1,2, ...

Per trobar aquestes probabilitats diferenciarem el cas alO tenim 2 P(Y = O) = P(X = 2) = -. 3 Per a tot m :;:;. 1, P(Y

=

m)

°

i la resta. Per

P(X = 2m + 1) + P(X = 2m + 2) 2 2 ~----~----~+~--~~--~~ (2m + 1)(2m + 2) (2m + 2)(2m + 3) 4 (2m + 1)(2rn + 3)'

6. Es fan 8 llançaments independents d'una moneda perfecta. Determineu les distribucions i les esperances de les variables aleatòries següents: (a) Del nombre de cares obtingudes. (b) De la diferència entre cares i creus. (c) Del nombre total de ratxes de resultats consecutius. En el primer cas calculeu també la variància.

Solució: (a) Sigui X la variable aleatòria que compta el nombre de cares que hem obtingut en llançar 8 vegades una moneda perfecta de manera independent. Òbviament, la variable pren valors en el conjunt {O, 1, ... , 8}.

3.7. PROBLEMES

71

Un resultat possible és, per exemple, w = (C,C,C, x,C, x, x,C),

on C vol dir que ha sortit cara i x que ha sortit creu. La probabilitat d'aquest element w és ~. Si volem la probabilitat de treure 5 cares, i només 5, en els 8 llançaments obtindrem que val

on 21" és la probabilitat d'un resultat amb 5 cares i (~) el nombre de resultats possibles que tenen 5, i només 5, cares. Per tant, la llei de X és una binomial B (8, ~),

P(X = k) =

G)

218 '

k

=

0,1, ... ,8.

Per calcular l'esperança utilitzarem el binomi de Newton després de simplificar i canviar l'índex del sumatori: 8! 1 ¿kP(X=k)=¿k k!(8-k)! 28

E(X)

8

8

k=O

k=l

4 ~

7!

1

7

L.., (k - I)! (8 - k)! 2 7 = 4

k=1

=

1

4 ( "2

1)7

+"2

¿

1=0

7! 1 l! (7 -l)! 2 7

= 4.

Per calcular la variància ens farà falta el moment de segon ordre:

El segon sumatori l'hem calculat per trobar el moment de primer ordre; per al primer operem com abans, 8

~ k(k -

8! 1 1) k! (8 _ k)! 28

8

14

6

14

6!

¿ (k _ 2)! (8 k=2

¿

1=0

6' 1 l! (6 ~ l)! 26

1 k)! 26

=

14.

72

CAPÍTOL 3. VARIABLES ALEATÒRIES UNIDIMENSIONALS Així,

(X 2 )

E

14 + 4 = 18.

=

Aleshores, Var(X) = E (X 2 )

-

(E(X))2

= 18 - 16 = 2.

Tant l'esperança com la variància d'una binomial poden calcular-se d'una manera més senzilla utilitzant conceptes del proper capítol i posant-la com a suma de Bernoullis independents. (b) Sigui Y la variable aleatòria que compta la diferència entre cares i creus que hem obtingut en llançar 8 vegades una moneda perfecta de manera independent i que pren valors en { -8, -6, ... ,O, ... ,6, 8}. Per l'apartat anterior sabem que el nombre de cares és X, aleshores el nombre de creus serà 8 - X. Així, Y = X - (8 - X) = 2X - 8. Per tant, la seva llei és P(Y

= k) = P(2X - 8 = k) = P (X =

~)

=

(~)

;8'

per a k E {-8, -6, ... , O, ... ,6, 8}. Per calcular l'esperança utilitzem la propietat de linealitat, E(Y)

= 2E(X) -

8

=

O.

(c) Sigui Z el nombre total de ratxes. Primer comprovarem que a cada llançament comença una nova ratxa, independentment del que hagi passat fins llavors, amb probabilitat -&. Diem-li Xi, i = 1, ... ,8, al resultat de l'i-èsim llançament, per a i 1, ... , 7, tenim

= e,Xi+l = x} U {:ri = X,Xi+l = e}) P(Xi = C) P(Xi+1 = x) + P(Xi = x) P(Xi+l = e)

P({Xi

1 1 2 2

-x-

+

1 1 2 2

-x- =

1 2

-.

Hem comprovat que en cada llançament comença una nova ratxa amb probabilitat -&' veiem ara que els canvis de ratxa són independents entre ells. Per a i = 2, ... , 7,

= e) P(Xi = x) P(:ri+l = e) +P(:ri-l = x) P(:r; = e) P(Xi+l = x)

P(Xi-l

1111111 + -x-x- =2 2 2 2 2 2 4'

-x-x-

3.7. PROBLEMES

73

aleshores,

Sigui T = Z - 1. Observem que T compta el nombre de canvis, i hem comprovat que aquests es produeixen de forma independent, per tant T és una B(7, Aleshores

1).

k = 1, ... ,8,

E (Z) = E (T

7

9

+ 1) = "2 + 1 = "2.

7. Suposem que tenim una moneda amb probabilitat de cara a E (0,1); simulem una moneda de la manera següent: tirem dues vegades la moneda, si surt cara-creu ho considerem com a cara, si surt creu-cara ho considerem com a creu i si no surt cap d'aquestes dues coses repetim l'experiment fins a arribar a una decisió. Trobeu la distribució, l'esperança i la funció generatriu del nombre de repeticions necessàries fins a arribar a una decisió. Nota: Aquest mètode simula una moneda perfecta.

Solució: Anomenem X a la variable aleatòria que compta el nombre de repeticions necessàries fins a arribar a una decisió. Aquesta variable pren valors en el conjunt {l, 2, 3, ... }. La probabilitat de tirar la moneda dos cops i prendre una decisió és

p( {treure cara -

creu} U {treure creu - cara}) = 2a(1 - a).

L'esdeveniment {X = k}, k E {l, 2, 3, ... }, significa que hem hagut de tirar k vegades la moneda dos cops, i que les k - 1 primeres vegades que tiràvem la moneda dos cops el resultat que obteníem era cara-cara o creu-creu, i que l'última vegada hem obtingut o bé cara-creu o bé creu-cara. Aleshores,

P(X

=

k)

=

2a(1 - a) [1 - 2a(1 - a)]k-l .

Aquesta llei es coneix com una llei geomètrica G(2a(1 - a». L'esperança val

E(X) = fkP(X = k) = 2a(l- a) f k [ l - 2a(l- a)]k-l = (1 ). 2a I - a k=l k=l

74

CAPÍTOL 3. VARIABLES ALEATÒRIES UNIDIMENSIONALS Veiem i justifiquem aquesta última igualtat. Siguin 00

f(x)

=

00

L

k Xk-l

g(.T)

L

=

k=l

Xk

k=l

per a x E (0,1). La segona sèrie és geomètrica i el seu radi de convergència és 1, per tant dins el radi de convergència

g(x)

=

x --o

l-x

En aquest cas,

f(x)

=

g'(x)

=

(~)' 1- .r

(I-X)2'

Utilitzant aquest resultat s'obté l'esperança. La funció generatriu s'obté sumant una sèrie geomètrica que és convergent si

Izl <

1-20:(1-0:))' 00

'Px(z)

L

00

zk P(Z = k) = 20:(1 - 0:)

k=l

L zk

[1 - 20:(1 - o:)]k-l

k=1

~

2ZO:(1-0:)L....-[1-20:(1-a)] k=O

k

=

2zo:(1 - 0:) ( ))' 1 - z 1 - 20:(1 - o:

8. Vint-i-cinc persones fan cua per examinar el resultat de la prova de la pneumònia atípica (SARS). (a) Suposem que hi ha exactament tres casos positius. Quin serà el nombre esperat de casos negatius abans de trobar el primer positiu. (b) Feu el mateix, però suposant que hi ha quaranta persones fent cua i cinc casos positius. (c) Què passaria si la proporció de casos positius i negatius fos constant i la cua tendís a infinit?

Solució: (a) Sigui X la variable que compta el nombre de casos negatius abans del primer positiu, que pren valors en el conjunt {O, 1,2, ... ,21, 22}.

3.7. PROBLEMES

75

Calculem la llei de la variable aleatòria X. Estudiem els primers casos, 3 P(X = O) = 25' 22 3 P(X = 1) = 25 x 24' 22 21 3 P(X = 2) = 25 x 24 x 23' 22 21 20 3 21 20 3 P(X = 3) = 25 x 24 x 23 x 22 = 25 x 24 x 23' 22 21 20 19 3 20 19 3 P(X = 4) = - x - x - x - x - = - x - x - . 25 24 23 22 21 25 24 23 Trobem així, per a k = O, l, ... ,22, la fórmula següent:

P(X=k)= 3(22-k+2)(22-k+1) = (24-k)(23-k). 25x24x23 25x8x23 Les fórmules següents es demostren fàcilment per inducció:

~k= n(n+1)

~k2= n(n+1)(2n+1)

L

L

2'

k=l

¿:e n

k=l

=

2(

n n

6'

k=l

(3.7.2)

+ 1)2 4

Utilitzant-les es pot comprovar que la suma de probabilitats és 1 calcular l'esperança:

E(X)

~k L

k=O

(24 - k)(23 - k) = _1_ ~(k3 _ 47k 2 552k) 25 . 8 . 23 4.600 L + k=l

1 4.600 [64.009 - 178.365

11

+ 139.656] = 2·

Aquest problema també es pot resoldre d'una altra manera més elegant. Els tres casos positius divideixen els 22 casos negatius en 4 grups amb cardinals GI, G 2 , G 3 i G 4 . Sabem que el nombre total de negatius és 22, per tant E(G] + G 2 + G 3 + G 4 ) = 22. Aleshores, com que l'esperança és lineal, i per simetria, cada grup ha de tenir el mateix nombre esperat de casos negatius,

així E(G¡)

=

.!.!:. 2·

76

CAPÍTOL 3. VARIABLES ALEATÒRIES UNIDIMENSIONALS (b) Si hi ha 40 persones i 5 casos positius, tindrem

aleshores,

E(Gd

=

35. 6

(c) Suposem que P representa el nombre de casos positius i N el de negatius i sabem que !j, = C. Per tant, utilitzant el mateix argument que en l'apartat b

E(G¡)

N

1

= - - = - P - - l ---+

P

+1

N

+N

C.

Nioo

9. En una tómbola hi ha 400 números, però només 4 estan premiats. Una persona compra 10 números. Anomenem X a la variable que compta el nombre de premis obtinguts. Determineu la llei d'aquesta variable i el seu valor esperat. Solució: La variable X pot prendre els valors 0,1,2,3 i 4. Utilitzarem la fórmula del quocient entre casos favorables i possibles. Tenim (~OOO) casos possibles de comprar 10 números d'entre 400. Els casos favorables d'obtenir k premis d'entre els 10 que comprem són (l~!~k). Llavors,

m k

=

0,1,2,3,4.

Comprovem que aquests valors defineixen una probabilitat. Sigui x E fórmula del binomi de Newton aplicada dues vegades ens dóna

~,

la

¿xl (400) I 400

1=0

Com que això és cert per a qualsevol x E ~, els coeficients dels dos polinomis han de coincidir. Escollim el cas I = i + j = 10, 400) ( 10

=

~ (4) ~ k

k=()

( 396 ). lO-k

77

3.7. PROBLEMES Fixem-nos que la llei d'aquesta variable és una H( 400,4,10).

Per al càlcul de l'esperança utilitzem un argument similar al càlcul anterior,

1 L k (4)k ( 10396) _ k

E(X)

(400) 10

4

=

k=l

1 L 4 k -31) (10396- k) 4

(400)

(

k=l

10

4 (3)n (396)n = (410~) 4 (399) = 1

(410~) ~ 3

9-

9

10'

10. Sigui X una variable aleatòria de Poisson amb paràmetre

.x.

(a) Calculeu l'esperança, la variància i la funció generatriu d'aquesta variable. (b) Quin és el valor més probable? (c) Quina és la probabilitat que X sigui parell? (d) Trobeu la llei de la variable aleatòria Y que pren valors en els enters estrictament positius i amb probabilitats proporcionals a les de X. Solució: (a) Fem primer l'esperança, la idea més important és la utilització del desenvolupament de Taylor de la funció eX al voltant del zero,

oo.x k

00

E(X)

=

LkP(X

=

k) Lk

k=O

e-À

.x k -

00

kf

= À

e-À

k=O

L

1

(k -I)!

= À.

k=l

Per calcular la variància primer trobem el moment de segon ordre, Àk

00

~k2

~ k=O

e

-À

kf

~(k -

=

e

-À

[

2 e-À

[

À

00

Àk

~ k=l

-:-:(k:-_-1-:-7)!

.x k

00

e-À

00

~k

1) (k _ I)!

t; (k - I)! 1 t; I)! 1

+

Àk - 2

~ (k _ 2)! + À

À

00

00

k

Àk - 1

(k -

Aleshores Var(X)

= À.

Calculem la funció generatriu



f(k) 2: f(k

+ 1)

{==>

f(k)

:s:

2: k + 1, À:S: k + 1. À

Si k :s: À -1, la funció creix i f(k) :s: f(k+ 1), mentre que si k 2: À -lla funció decreix; per tant, el màxim és en [À] que és l'enter que compleix [À] 2: À-I i [À] - 1 :s: À - 1. Observeu que si À és natural, tenim dos màxims, en À i À - 1. (e) Notem per

2 els múltiples

de 2. Aleshores 00

F(X

=

2)

À 2k

00

¿F(X

=

2k)

¿e- À _ k=O (2k)!

=

k=O

1 + e- 2À

2 El resultat també podríem escriure'l com

2 e-À

cosh À.

(d) La llei de la variable Y serà:

F(Y = k) = rnF(X = k) = rn e-À

Àk

TI'

per ak 2: 1,

on rn és una constant positiva. Hem de trobar el valor m que compleixi DO

¿F(Y = k) = 1. k=l

Per la definició de la llei de Y tenim 00

00

¿F(Y = k) = rn¿F(X = k) = rn(l- P(X = O)), k=l

k=l

així, 1

3.7. PROBLEMES

79

11. Sigui C un conjunt de n punts tals que tres punts qualssevol de C estan no alineats. Suposem que l'aresta que uneix dos punts qualssevol té probabilitat p d'aparèixer independentment de totes les altres. (a) Calculeu la probabilitat que apareguin exactament k arestes. (b) Calculeu la probabilitat que apareguin exactament tres arestes i formin un triangle. (c) Trobeu la mitjana del nombre de triangles amb els vèrtexs de C.

Solució: (a) El nombre màxim d'arestes que poden aparèixer és G) i cada aresta té una probabilitat p d'aparèixer independent de les altres. La variable aleatòria X, que compta el nombre d'arestes, és una binomial

B ( G),

p), és a dir, per a O ::; k ::; G),

P( {apareguin exactament k arestes}) =

P(X = k) =

((p) pk

(1 _

p)(~)-k.

(b) A partir de la definició de probabilitat condicionada tenim que

P( {apareguin exactament 3 arestes i formin un triangle}) =

P({formin un triangle}IX = 3) P(X = 3).

Calculem la primera de les dues probabilitats utilitzant la fórmula del quocient entre casos favorables i casos possibles, P({formin un triangle} IX = 3) = lx

2(n-2) G) -1

1

X

G) _ 2·

Veiem d'on surt aquest producte. Recordem que tenim tres arestes i volem construir un triangle. Per triar la primera aresta tenim tants casos possibles com favorables:

Per a la segona aresta ens queden G) - 1 arestes possibles. Per a les favorables hem de comptar les arestes que puguin formar un triangle a partir de la que ja tenim i ho farem mirant els vèrtexs. Tenim dos vèrtexs fixats (els que formen la primera aresta), per tant queden n - 2 vèrtexs per unir amb un dels dos vèrtexs fixats,

2(n - 2) (;) - 1 .

80

CAPÍTOL 3. VARIABLES ALEATÒRIES UNIDIMENSIONALS Finalment, tenim (~) - 2 arestes possibles i només una de favorable, la que tanca el triangle, aquest és l'últim factor. Així, ajuntant-ho tot i simplificant es té:

P( {apareguin exactament 3 arestes i formin un triangle} ) =

(~)

p3 (1 _

p)(~)~3.

(c) Per cada tres punts tinc un triangle amb probabilitat p3 i el nombre màxim de triangles és (~). Per a cada grup de tres punts definim les variables Xi de la manera següent:

Xi

= {

si les tres arestes apareixen, altrament,

l, O,

i=l,···,G)· La llei d'aquestes variables és

Nosaltres busquem la mitjana de la variable aleatòria

(:;)

Y=LX i i=l

que representa el nombre de triangles. Aleshores,

12. Sigui X una variable aleatòria amb funció de densitat

f(x)

=

"21

e~lxl,

V:r E R

Trobeu les probabilitats de cadascun dels successos:

{IXI::; 2}, {IXI::; 2, X::; -I},

{IXI::; 2} U {X ::;o. O}, {IXI + IX - :~I ::; 3},

{X 3 - X 2 - X - 2::; O}, {X irracional}.

{e sin (7rX)

::;o.

I},

81

3.7. PROBLEMES

Solució: Per trobar aquestes probabilitats usarem les propietats que relacionen la probabilitat en intervals amb la funció de distribució. Recordem que per a variables absolutament contínues F(x-) = F(x), Vx E R En primer lloc calcularem la funció de distribució de la variable X. Per a x

< O, F(x)

=

f

1

x

• -00

Per a x:;:. O,

F(x)

=

o 1

J

-

-00

2

eYdy

eYdy

-

+

2

¡x -

1

o 2

1 = -

2

e-Ydy

eX .

=

1 1 - - e-xo 2

Aleshores,

P(IXI -::: 2) = P( -2 -::: X -::: 2) = F(2) - F( -2) = 1 - e- 2 , P( {IXI -::: 2} U {X :;:. O})

P(IXI -::: 2, X -::: -1) 1

="2(e

-1

P(IXI

+ IX -

=

P(IXI

-e

-2

= P(X :;:. -2) = 1 - F( -2) = 1 - ~ e- 2 ,

P( -2 -::: X -::: -1) = F( -1) - F( -2)

=

).,

31 -::: 3)

+ IX -

+P(lXI

31 -::: 3, X < O)

+ IX -

+ P(O

P(0)

=

P(O -::: X -::: 3)

31 -::: 3, 0-::: X -::: 3)

31 -::: 3, X > 3)

-::: X -::: 3)

=

+ P(IXI + IX -

+ P(0) 1

= F(3) - F(O) = "2 (1 - e- 3 ).

El polinomi x2 + x + 1 és sempre positiu, llavors P(X 3

-

X2 .- X - 2 -::: O)

P((X - 2)(X 2

+ X + 1) -::: O)

P((X - 2) -::: O)

1

= F(2) = 1 - "2 e- 2 .

Per a la propera probabilitat utilitzarem l'equivalència següent: sin(1fx) :;:. O Ç=? 1fX

E

U[2k1f, (2k + 1)1f] kEZ

Ç=?

x

E

U[2k, (2k + 1)]. kEZ

Aquest fet juntament amb la fórmula de la suma d'una sèrie geomètrica ens dóna

82

CAPÍTOL 3. VARIABLES ALEATÒRIES UNIDIMENSIONALS

L P(2k ~ X ~ 2k + 1) L P(2k ~ X ~ 2k + 1) + L P(2k -S X -S 2k + 1)

P(eSin (7rX) ::>: 1)

P(sin(1fx) ::>: O) =

kEZ

k 0, considerem la densitat de la llei gamma G( O!, r) O,

f(x)

=

si x

~

si x

> O.

O!r

{

r(r)

;¡;r-l('-ax,

O,

Comproveu que és una funció de densitat. Calculeu els seus moments. (c) Demostreu que una exponencial de paràmetre O! segueix una distribució gamma i doneu la seva esperança i la seva variància . (d) Demostreu que si X és una variable aleatòria N(JL, (J"2), aleshores Z = X ;;11 segueix una distribució N(O, 1) i Y = Z2 segueix una distribució gamma.

3.7. PROBLEMES

83

Solució: (a) La primera propietat és una conseqüència immediata d'integrar per parts,

(b) Com que la funció és positiva o zero en tot lR., només hem de comprovar que la integral de la densitat en tot lR. val 1. Fent el canvi de variable y = o:x i per la definició mateixa de f(r), tenim

Els moments es poden calcular modificant les constants que apareixen dins la integral perquè sigui la integral d'una densitat gamma, és a dir,

E(XP)

r+

oo

Jo

o:r

f(r) xp+r~l e~QX dx

r(p + r) o:P r(r)

¡+oo o

o:p+r

=-:----,- X

p+r~l

r(p + r)

e

~QX d

_ f(p

x -

+ r) .

o:Pf(r)

L'última igualtat és certa perquè la funció que hi ha dins la integral és la densitat d'una gamma G(o:, p + r). (c) Per veure que una exponencial de paràmetre o: és una gamma G(o:, 1) només hem de comparar les dues densitats. A més, utilitzant l'apartat anterior s'obté

E(X)

Var(X) = E (X 2 ) (d) Estudiem primer Z =

g:

X; ¡t.

=~, o:

-

(E(X))2

=

~. o:

La funció

(-00,+00)

--+

(-00,+00)

x

és bijectiva, de classe CI i amb inversa de classe CI. La inversa i la derivada de la inversa són

84

CAPÍTOL 3. VARIABLES ALEATÒRIES UNIDIMENSIONALS Utilitzant la fórmula del canvi de variable tenim

1

~

fz(z) = a V

21fa

exp

{I

- - 2 (az

2a

+ 11 - {L)

2}

que correspon a la densitat d'una normal N(O, 1). Estudiem ara Y = Z2. Com que la funció g( z) = Z2 no és bijectiva en lR haurem de descompondre-la en dues funcions .91 :

(-00, O) z

---+

(O, +(0)

---+

Z2

.92:

(O, +(0)

(O, +(0) z

Aquestes dues funcions són bijectives i de classe respectives són

el.

z2

Les dues inverses

i també són de classe el en (O, +(0). Aleshores, derivant aquestes dues funcions inverses i utilitzant la fórmula del canvi de variable obtenim

Jy(y)

que és la densitat d'una gamma C(~, ~).

14. Sigui X una variable aleatòria amb funció de distribució contínua F. (a) Demostreu que Z = F(X) té una distribució uniforme U(O,l). Calculeu el moment de segon ordre de Z. (b) Determineu la llei de la variable Y = - In Z. (e) Quina llei té W = 1 - e- Y ? (d) Finalment, si V és una variable aleatòria amb densitat

f(x)

=

x-1 -2-1l¡1,3J(x),

trobeu una funció C tal que C(V) tingui una distribució uniforme U(O,l).

3.7. PROBLEMES

85

Solució: (a) La funció F és contínua i creixent però no necessàriament bijectiva, per aquest motiu no sempre existeix la seva inversa. Definim el que s'anomena la pseudoinversa de F

F- I (y)

=

sup{:r E lR; F(x) ::; y},

En aquest cas particular, F: lR

F- I (y)

=

---->

y

E (0,1).

(3.7.3)

[0,1] contínua i creixent, tenim

sup{x E lR; F(x) = y},

Y E (0,1).

(3.7.4)

Comprovem-ho. Òbviament sup{x E lR;F(x) = y}::; sup{x E lR;F(x)::; y} ja que el conjunt de l'esquerra és més restrictiu que el de la dreta. La continuïtat i el creixement de F impliquen que

{:r

E

lR;F(x)

=

y}

-I- 0.

Aleshores, per veure la igualtat entre (3.7.3) i (3.7.4) suposarem que no és certa i arribarem a una contradicció. Com que F és contínua, que no es compleixi la igualtat significa que

Però el creixement de F implica que F(X2) ::; F(xd, i arribem a una contradicció. La pseudoinversa té les propietats següents: (3.7.5)

F(x) ::; y {=? x ::; F- I (y).

(3.7.6)

Provem (3.7.5). Per la definició de F-I existeix una successió {x n , n :;::. I} amb F(x n ) = y tal que F- I (y) = limnx n . Per la continuïtat de F,

Per veure (3.7.6) comprovarem les dues implicacions. ~)

- Suposem primer F(x) = y. Com que F- I (y) és un suprem tenim x::; sup{x E lR;F(x) = y} = F- I (y).

CAPÍTOL 3. VARIABLES ALEATÒRIES UNIDIMENSIONALS

86

- Assumim ara F(x)

<

y. Si suposem que la conclusió és

x > F- 1 (y),

(3.7.7)

arribarem a una contradicció. Efectivament, aplicant F a (3.7.7) i usant que és creixent tenim

F(x) ~ F(F-1(y)), aleshores, mitjançant (3.7.5),

F(:r:)

~

y,

i això és contradictori amb la hipòtesi inicial. ~)

Si tenim x :::; F-1(y), el creixement de F ens diu que aquesta implicació és certa.

Veiem que Z = F(X) és una uniforme U(O, 1). Buscarem la funció de distribució de Z. Si z < O, Fz(z)

=

P(Z :::; z)

=

P(F(X) :::; O)

= O.

Si z E [0,1), (3.7.6) i (3.7.5) impliquen Fz(z) =

Si z

~

=

P(Z:::; z)

F(F-1(z)) =

=

P(F(X):::; z)

=

P(X:::; F- 1 (z))

Z.

1, Fz(z)

=

P(Z :::; z)

=

P(F(X) :::; 1)

=

1.

Aquesta funció Fz compleix les condicions de la proposició 3.3.4, la seva representació gràfica és:

87

,3.7. PROBLEMES

-2

:v

-1

2

i, per tant,

fz(z) = F~(z) = ~O,l)(Z). Per al moment de segon ordre,

(b) Si y ::,. 0, Fy(y)

P(-lnZ:S; y)

=

P(lnZ::" -y) = P(Z::,. e- Y )

1 - P(Z :s; e- Y ) = 1 - e- Y • Per tant, F () y

y =

{O,1 -

y<

e- Y ,

0,

y::" O.

Es tornen a complir les condicions de la proposició 3.3.4, aleshores

i aquesta és la densitat d'una exponencial Exp(l). (c) Aquest apartat és una conseqüència immediata dels dos anteriors, ja que W = Fy(Y) i això implica que W rv U(O, 1).

88

CAPÍTOL 3. VARIABLES ALEATÒRIES UNIDIMENSIONALS (d) Busquem la funció de distribució de V. Òbviament, si v E (-00,1) Fv(v) = O; i si v E [3, +00), Fv(v) = l. Si v E [1,3),

[X;1 dx~ (X;I)1

Fv(v)

1 4

(7? - 2v + 1) .

Per tant, la funció de distribució val

Fv(v)

=

O,

v < 1,

-i- (v 2 -2v-1),

1:::;v'2)=l-F('2)=-' 8 De l'altra,

P(l :::; X :::; ~ , X > ~) = P(l :::; X:::; ~) = F(~) - F(l) = D'aquesta manera,

P(l < X < Q IX> 1) = -

-

2

2

P(l < X < Q - 2 P(X >

X '

~)

> 1) 2

1 7

=-

1

S'

92

CAPÍTOL 3. VARIABLES ALEATÒRJES UNIDIMENSIONALS (e) Busquem els moments d'ordre 1 i 2,

I

E(X)

I

.7:

2

dx

+

.0

13 1

X(X -

2) dx

1 1

3

x 3 d:r

+

5 3

= -,

2

23. x 2 (x - 2) dx = -

6

02

La seva variància val

Var(X)

=

E (X2) _ (E(X))2 = 19.

lR

(d) La funció de distribució de Y és

Fy(y)

=

P(Y ::; y)

=

1 - P(min(X, 2) > y) = 1 - P(X > y, 2> y),

i aixÍ,

Fy(y)

{ { F(y),

1 - P(X > U), 1,

y < 2, U '2 2,

1,

0, 2

JL

2 ' 1

2' 1,

El seu dibuix és:

JI

< 0,

O::;y 1) =

[ . 1

-

18

(2x - 3x 2 + 8) dx

2 = - .

9

(e) Hem de fer aquest estudi diferenciant els k senars dels parells. Suposem k senar. La funció xk és bijectiva i de classe CI en tot IR però perquè la inversa sigui de classe CI haurem de prendre les funcions següents:

(-1,0)

91 :

x

----+

(-1,0)

----+

xk

f---

Z

92 :

(0,2) X

----+

(0,2 k ) xk

f---

z

----+

1

1

Zk

Zk

Aleshores (-1)' 1 9i (z) = k{/zk-I'

i

= 1,2,

i usant la fórmula del canvi de variable obtenim

fzk(Z)

=

~ (2{/Z-3{1z2+8)~_I2k)\{O}(z). '

18k zk-I

Suposem k parell. Les funcions que considerem són 91 :

(-1,0) x

(0,1)

xk

(0,2) x 1

1

-Zk

92 :

f---

Z

Zk

Aquestes funcions són bijectives, de classe CI i les seves respectives inverses també són de classe CI. Aleshores derivant les inverses i mitjançant la fórmula del canvi de variables tenim

fz,(z)

98

CAPÍTOL 3. VARIABLES ALEATÒRIES UNIDIMENSIONALS

20. Sigui X una variable aleatòria amb funció de densitat

.f(x) Demostreu que Y =

1 ln2 (1 + x) ~o.l)(x).

=

:k- - [:k-l

té la mateixa llei que X.

Solució: Buscarem la seva funció de distribució. Com que la part entera d'un nombre real positiu sempre és mes petita que el nombre, tenim que Y ~ O i, per tant,

Fy(y)

=

O,

yE(-OO,O).

La diferència entre un nombre real positiu i la seva part entera és més petita o igual que 1 i, per tant, Y S 1. Aleshores

Fy(y)

=

l,

Y E [1,00).

Suposem ara y E [0,1). Per trobar la funció de distribució dins aquest interval utilitzarem dos fets; d'una banda, la unió disjunta

(0,1] = i, d'altra banda, per a k xE

~

(_1_,~]

(1 1] U k+l'k k=l

(3.7.8)

ex)

l,

tal que

p(IX - E(X)I >

r) > O.

Aleshores

E(X-E(X)f

~ E[(X-E(X)f~IX-E(X)I>r}] ~

r 2 P(IX - E(X)I > r) > 0,

que és contradictori amb la hipòtesi

Per a l'última pregunta, sigui X una variable aleatòria amb tots els moments finits i iguals i considerem la variable Y = X2 -Xo Observem que E(Y) =

°

Pel raonament anterior P(Y = O) = 1, i això implica P(X 2 = X) = 1. La variable X pot prendre només els valors o 1, i per tant X és una Bernoulli.

°

25. Una ciutat té 1.000 habitants cinèfils i dos cinemes, A i B. El dissabte cadascun d'ells va a un dels dos cinemes, triat indistintament i sense influència d'altres. Quina cabuda mínima han de tenir els cinemes perquè la probabilitat que un client es quedi fora per falta de lloc no sigui superior a 0,01?

Solució: Sigui X el nombre d'espectadors que van al cinema A. Aquesta variable és una hinomial B(1.000, ~). El nombre d'espectadors que van al cinema B el podem escriure com 1.000 - X. Sigui n

~

500 la cabuda del cinema (si n < 500 evidentment no hi caben).

El que ens pregunta el problema és el valor de n perquè

p({X > n} U {1.000 - X > n}) S 0,01.

Per trobar aquest n utilitzarem la desigualtat de Txebixev i la variància

108

CAPÍTOL 3. VARIABLES ALEATÒRIES UNIDIMENSIONALS d'una binomial.

p({X > n} U {1.000 - X > n}) =

P ( {X - 500 > n - 500} U {500 - X >

=

p(IX -

11 - (00)

)2 E (X - 500)2

1

(n _ 500)2 Var (X) 250

(n - 500)2· Imposant

< O Ol

250

(n - 500)2 -

,

,

obtenim n -?: 658, 1. Per tant, el resultat és

n

3.8

=

659.

Problemes amb indicació

1. Considerem la funció següent:

O,

F(x)

=

b(~ + 1)2,

{ ax , e,

x < -l, -1 O considereu la funció cx~(s+l)

f(x)

= {

o,

'

si r < :r:, si x ::; r.

f sigui una densitat. (b) Sigui X una variable aleatòria amb densitat f. Per a quins valors (a) Determineu e de manera que X té esperança finita? c) Quina és la llei de Y = log (~)?

8,

3.8. PROBLEMES AMB INDICACIÓ

111

11. Sigui una variable aleatòria absolutament contínua amb funció de densitat f(.r) definida en -00 < x < +00. Demostreu que

1

1

+00

F(x)f(x)dx

= -,

-00

2

sent F(x) la seva funció de distribució. 12. Sigui X una variable aleatòria amb densitat

f(x)

=

si x

~X2,

si - 2:::: x < O, si O :::: x :::: 2,

{ k, O,

(a) Trobeu k perquè (b) Calculeu E [(X

< -2,

O,

si x

> 2.

f sigui una densitat.

+ 1)2].

(c) Sigui Y = min{X, I}. Trobeu la funció de distribució de Y. És absolutament contínua? Calculeu l'esperança de Y. 13. Sigui Z una variable aleatòria amb distribució Exp(a). (a) Trobeu les funcions de distribució de les variables següents:

Xl X2 X3

max{Z,n}, n>O, min{Z,n}, n>O, max{X2 ,rn}, rn > n.

(b) Calculeu l'esperança de X 3 . (c) Doneu la llei de X 4 = [Z].

3.8.1 1.

Indicacions (a) S'han de complir les quatre propietats de la proposició 3.2.3. La continuïtat per la dreta i el límit a -00 són força fàcils i no ens donen cap restricció sobre a, b i c. En canvi, com que s'ha de complir lim F(x) = l, X~CXJ

tenim que c = 1. El creixement dins els intervals (-00,-1), (-1,1), (1,2) i (2,00) ens implica que a ~ O i b ~ O. Finalment, hem d'imposar per a x = -1,1,2.

112

CAPÍTOL 3. VARIABLES ALEATÒRIES UNIDIMENSIONALS Es tenen les restriccions

4b k

+ n)

P(X > k) P(X > n),

=

(3.8.12)

per a qualsevol n, k E N. Si n = k = O,

P(X > O)

= P(X > 0)2.

Com que P(X > O) > O, això implica P(X > O) = 1, i per tant P(X = O) = O. Considerem n = k > 1, P(X > k)

=

p(X > (k -1)

= ... =

Denotem P(X P(X

= 1) = p,

+ 1)

P(X > k - 1) P(X > 1)

=

> 1)".

P(X

P E (0,1). Aleshores,

> k) = P(X > 1)" = [1 - P(X = 1)]" = (1 _ p)",

k2:1.

Finalment, tenim P(X = k) = P(X

> k-l)-P(X > k) = (l-p)"-l-(I-p)" =p (l_p)"-l,

per a qualsevol k 2: 1 i, per tant, la llei de X és una G(p). 5.

(a) La variable X pren valors en el conjunt finit {7] - nE,7],Tl aleshores, té moments de tots els ordres. D'altra banda,

+ nE}

E(X)rl, 2 E .

Var(X) (b) En primer lloc,

P (I X - 7] I 2:

nE) =

P (X 2:

Tl

+ nE) + P (X :S 7] -

nE) =

Mitjançant la desigualtat de Txebixev,

p(IX _ 7]_nE_ I> ) <

E (IX -

22

1112) =

Var(X) = ~ 22

nEn E

Per tant, l'afirmació és certa. (c) Tenim P(X = Tl I IX - 7]1 2: nE) = O, p(X = 7] + nE I IX - 7]1 2: nE) = ~,

P (X = 7] -

nE

La mitjana és el punt mitjà, Tl.

I IX -

111 2:

nE)

= ~.

n

2'

1 2"' n

i,

3.8. PROBLEMES AMB INDICACIÓ 6.

115

(a) La variable aleatòria X pren valors en el conjunt {n, n + 1, ... , 2n} i la seva llei és

k

P(X = k)

=

n, ... , 2n - 1,

1 -

P(X = 2n)

2

Veiem-ho. Suposem que k = n, ... , 2n - 1. Observem que la màquina M2 no s'ha buidat, per tant sempre podrem triar una de les dues, per això el factor Haurem de fer n extraccions de Ml i k - n de M2. L'última extracció ha de ser obligatòriament de Ml, per això multipliquem per (z=~) que són totes les maneres de fer k - n extraccions de la màquina M2 i n - 1 de Ml.

r...

La variable X només pren el valor 2n si la màquina M2 s'ha buidat abans. Per simetria aquesta probabilitat és ~. (b) Sigui Y el nombre de bitllets que queden en una màquina quan s'ha buidat l'altra. Aquesta variable pren valors en {l, ... , n} i té per llei

k = 1, .. . ,n. L'esdeveniment {Y = k} vol dir que una de les dues màquines s'ha buidat i a l'altra han quedat k bitllets. S'han extret 2n - k bitllets i per aquesta raó tenim el factor 22,~-k' De totes aquestes extraccions n'hi ha una que està fixada, l'última. De la resta no ens interessa l'ordre, només que n - 1 han sortit del compartiment que s'ha buidat i n - k, del que no s'ha buidat. Finalment, multipliquem per dos perquè pot buidar-se qualsevol de les dues màquines. 7.

(a) Sí, la seva funció de distribució és contínua, diferenciable excepte en dos punts i la seva derivada, contínua excepte en dos punts. La seva densitat és

f(x)

1

=

-

x 3 ~-oo,-l)(x)

+

1

4~-1,1)(X).

(b) Podem demostrar, utilitzant la definició de valor absolut, que

{x

E

IR; lx -

21 + Ixi

«::: 4} = {x E IR; -1 «::: x «::: 3}.

Aleshores,

p(IX -

21 + IXI

«::: 4) = P( -1 «::: X «::: 3) =

fi 1

i-i 4 dx =

1

2'

CAPÍTOL 3. VARIABLES ALEATÒRIES UNIDIMENSIONALS

116

(c) La funció g( x) = X2 no és bijectiva en tot lR, i per tant la descompondrem en dues funcions: (~oo,

x

O)

---->

(0,+00)

---->

x2

(0,1) x

g2 :

(0,1) x2

Derivant les dues funcions inverses i utilitzant la fórmula del canvi de variable s'obté

(d) Finalment,

E(IXI + X)

8.

(a) Perquè

f

sigui positiva s'ha d'exigir que a

1

~

2 x 3 dx

a

~

O. D'altra banda,

1 16 a 2 ~"9

=

l,

que només té una solució positiva

3

a =-. 5

(b) P (X 1.

(c) Fem el canvi mitjançant la funció

(r,+oo) x

g:

----7

(0,+00) In :!:r

per obtenir

Jy(y)

=

se- sy

y

,

> O.

Observem que és una llei Exp(s). 11. Notem que

12.

1:=

F(x)F'(x)dx =

(a) Si k ~ O, aleshores f(x) ~ O, \Ix E

J

o x2 - dx -2 8

. . 'k,= 3. 1

l alXl,

[F~)2[:

A més s'ha de complir

]R.

1 2

+

1

2

o

k d:r = 1,

CAPÍTOL 3. VARJABLES ALEATÒRIES UNIDIMENSIONALS

118

E [(X +1 ) 2J -_ JO (x + 1)2x2 d.T+

1

-2

O

(b) 8

2

(x + 1)2 d X _ 136 -. 3

45

(c) Com que ens farà falta, primer calcularem la funció de distribució de X, O, si x < -2, 1 24

_

Fx(x) -

{

(:r 3

+ 8),

~(x + 1),

si - 2

°

:s: x < O,

si :s: x < 2, si x :;:. 2.

1,

Trobem la de la variable Y = min(X, 1),

Fy(y)

P(X:S: y), 1,

= {

_ -

O,

si y < -2,

}4(y3+8),

si - 2

~(y

{

si y < 1, si y :;:. 1.

+ 1),

:s: y < O,

si O :s: y < 1,

1,

si y :;:. 1.

La variable aleatòria Y no és absolutament contínua. En efecte, 1 3 Com que Y és una variable aleatòria mixta, la seva esperança val

P(Y

E(Y)

=

=

lP(Y

1)

=

=

1) +

F y (l) - F y (1-)

=-.

j o -y38 dz + .11o :-.Y3 dz

=

-2

13.

(a) Treballarem primer Xl = max{Z,n},

Fx¡ (:r)

={ ={

O, P(Z

:s: x),

O, 1 - e- aT ,

si:r < n, si x:;:. n, si x < n, si x :;:. n.

Per a X 2 = min{Z, n},

F X2 (x)

=

1 - P(X2

> :r)

O, 1 - P(Z > :r), { 1, 01'_ { 1,

o.-a:r,

,

si :r < O, si O :s: :r < n, si:r:;:'n,

Si.T < O, si O :s: x < n, si :r :;:. n.

O.

119

3.8. PROBLEMES AMB INDICACIÓ Per a X 3

=

max{X2 ,m},

=

O, { P(X2

={

::;

~'~ e-

x),

ax ,

l,

si x si x

< m, ~

m,

si x < m, si m ::; x < n, si x ~ n.

Aquestes tres variables són mixtes. (b) L'esperança de X 3 és

(c) La variable X 4 és discreta i pren valors en el conjunt {O, l, 2, ... }. Per a k d'aquest conjunt, P(X4 = k) = P(k ::; Z < k+ 1) =

(HI

J

k

Aquesta variable és una G(l

~ e-a).

a e- ax dx = e- ak

(1 ~

e-a) .

Capítol 4

Vectors aleatoris 4.1

Funcions de distribució conjunta i marginals

Sigui (n,:F, P) un espai de probabilitat. Designem per B(IRn ) la a-àlgebra de Borel.

Definició 4.1.1 Tota aplicació X : n ----+ ]Rn, X = (Xl, ... , X n ), tal que cadascun dels components Xi : n ----+ ]R, i = 1, ... , n, és una variable aleatòria, s'anomena

vector aleatori n-dimensional. Definició 4.1.2 La funció de distribució associada a un vector aleatori ndimensional X es defineix com l'aplicació F : ]Rn ----+ [O, 1] donada per

per a tot x

(Xl, ... ,X n ) E

=

]Rn.

Proposició 4.1.3 Tota funció de distribució Fx associada a un vector aleatori n-dimensional X, compleix les quatre propietats següents:

1. Fx és creixent. 2. Fx és contínua per la dreta, és a dir, limFx(y) ylx

on y 3.

l

X

significa

Yi

l

Xi

per a tot i

=

=

1, ... , n.

lim Fx(x) = l. T ____ ~- 'X,

4. Per a tot i

=

1, ... ,n

lim Fx(x) = O. _l'i_- 00

121

Fx(x),

122

CAPÍTOL 4. VECTORS ALEATORIS

Igual que per a variables aleatòries es pot definir la llei d'un vector aleatori n-dimensional X com la probabilitat sobre lR n induïda per X. La llei d'un vector aleatori queda determinada per la seva funció de distribució. Atès que cada un dels components del vector aleatori és una variable aleatòria podem considerar les seves lleis que s'anomenen lleis marginals i la llei del vector es diu llei conjunta.

Definició 4.1.4 Sigui X = ( Xl, ... , X n ) un vector aleatori, anomenarem funció de distribució marginal i-èsima F x , a la funció de distribució de la variable aleatòria Xi, i = l, ... ,n. La proposició següent ens demostra que la llei conjunta d'un vector aleatori determina les lleis marginals. El recíproc, en general, no és cert, és a dir, les lleis marginals no sempre determinen la llei conjunta.

Proposició 4.1.5 Sigui X = (XI, ... ,Xn ) un vector aleatori, les distribucions marginals F x ¡, i = l, ... , n, s'obtenen a partir de la distribv.ció conjunta de la manem següent:

FXi(Y)

lim . . FX(XI, ... ,:ri~l,y,:ri+¡, ... ,.Tn),

= .Tj

4.2

-+X, ..J-:f-I

Y E IR.

Independència

El concepte d'independència d'esdeveniments es pot estendre a variables aleatòries.

Definició 4.2.1 Direm que les variables aleatòries XI, ... , X n són independents si, per a tot B I , ... ,Bn E B(lR) , es compleix

rr n

P(X I E B¡, ... ,Xn E Bn)

=

P(X i E B i ).

i=1

El resultat següent ens dóna una caracterització d'independència utilitzant les funcions de distribució.

Proposició 4.2.2 Sigui X = (Xl, ... , X n ) un vector aleatori n.-dimensional. Les variables aleatòries Xl, ... ,Xn són independents, si, i només si,

Fx (Xl, ... ,;r n )

=

F X1 (:rl) ... F x " (:r n ),

123

4.3. VECTORS ALEATORIS DISCRETS

4.3

Vectors aleatoris discrets

Definició 4.3.1 Direm que un vector aleatori X = (Xl, ... , X n ) és discret si les variables aleatòries Xi, i = 1, ... ,n són discretes. Observem que un vector aleatori discret pren valors en un conjunt finit o numerable de punts i la seva llei quedarà determinada per les probabilitats en cadascun d'aquests punts. Les lleis marginals es poden calcular a partir de la llei conjunta de la manera següent.

Proposició 4.3.2 Sigui X

=

(Xl, ... ,Xn ) un vector aleatori. Considerem

aleshores P(Xi

=

k)

= {XEJ;Xi=k}

Per a variables aleatòries discretes tenim la proposició següent que ens dóna una definició equivalent d'independència. Aquest resultat ens permet assegurar que les lleis marginals d'un vector aleatori discret amb components independents determinen la llei conjunta.

Proposició 4.3.3 Siguin Xl, ... , X n variables aleatòries discretes. són independents, si, i només si, per a qualsevol Xl, ... ,xn E !R,

rr

Aleshores

n

P(X I =

Xl,···,

Xn =

Xn )

=

P(Xi

= Xi).

i=l

Evidentment aquesta igualtat només té interés per als valors Xl, ... ,X n tals que P(Xi = Xi) > O per a tot i = 1, ... , n. Sigui (X, Y) un vector aleatori discret. Podem trobar la llei de la variable X condicionada per Y, és a dir, la llei de X coneixent els valors que ha pres la variable aleatòria Y.

Definició 4.3.4 Sigui (X, Y) un vector aleatori discret. Per a tot y E !R tal que P(Y = y) > O, definim la llei de X condicionada per {Y = y} com la probabilitat sobre !R donada per

P(X =

X

IY = ) = p((X, Y) = (x,y)) y P(Y = y) .

Observem que en el cas que X i Y siguin dues variables aleatòries discretes independents la llei de X condicionada per Y coincideix amb la llei de X.

CAPÍTOL 4. VECTORS ALEATORIS

124

4.4

Vectors aleatoris absolutament continus

Anàlogament al cas unidimensional necessitem la noció de funció de densitat a per introduir els vectors aleatoris absolutament continus.

]Rn

Definició 4.4.1 Una funció f : satisfà les condicions següents:

]Rn -+ ]R

és una funció de densitat en

]Rn

si

1. f'20, 2. f és integrable en el sentit de Riemann en 3.

r

llR

f(x)dx

]Rn,

= 1.

n

Definició 4.4.2 Un vector aleatori X n-dimensional és absolutament continu si existeix una funció de densitat fx tal que la seva f'unció de distrib11ció Fx e8 pot escriure com

Les variables aleatòries que són components d'un vector aleatori absolutament continu també són absolutament contínues, les seves densitats s'anomenen densitats marginals i es poden determinar a partir de la densitat conjunta.

Proposició 4.4.3 Sigui X = (Xl, ... , X n ) un vector aleatori absolutament continu amb funció de densitat fx. Aleshores, els seus components Xl, .. ' ,Xn són variables aleatòries absolutament contínues amb densitats marginals fx" i = 1, ... ,n que s'expressen com

En les proposicions següents enunciarem la relació entre independència i vectors aleatoris absolutament continus.

Proposició 4.4.4 Sigui X = (Xl, ... ,Xn ) un vector aleatori absolutament continu amb densitat fx i densitats marginals fx" ... ,fx". Aleshores, XI"",X n són independents si, i només si,

Proposició 4.4.5 Siguin Xl, ... ,Xn variables aleatòries absolutament contínues i independents amb densitats respectives f Xl' ... , fx". Aleshores, X = ( Xl, ... , X n ) és un vector absolutament continu amb densitat

4.5. TRANSFORMACIÓ DE VECTORS ALEATORIS

125

Observació Considerem un vector aleatori X = (Xl, ... , X n ) absolutament continu. Suposem que la seva densitat fx factoritza, és a dir, existeixen n funcions h l , ... , h n tals que

aleshores, els components del vector aleatori són variables aleatòries independents. Igual que en el cas discret podem definir lleis condicionades.

Definició 4.4.6 Sigui (X, Y) un vector aleatori absolutament continu amb funció de densitat f(x.y) i densitats marginals fx i Jy. Per a tot y E]R tal que Jy(y) > O, definim la funció de densitat de X condicionada per Y = y com

f xIY~!I (

x)

=

f(x,y)(x, y) Jy(y).

Observem que si les variables aleatòries X i Y són independents, aleshores la funció de densitat de X condicionada per Y = y coincideix amb la funció de densitat de X.

4.5

Transformació de vectors aleatoris

En aquest apartat donarem la fórmula del canvi de variable que ens permetrà calcular les densitats d'algunes transformacions de vectors aleatoris. Sigui X un vector aleatori n-dimensional absolutament continu amb densitat fx que pren valors en un obert U de ]Rn, és a dir, P(X E U) = 1. Sigui V un obert de ]Rn i g : U ----> V una funció bijectiva de classe el amb funció inversa també de classe el. Aleshores, el vector aleatori n-dimensional Y = g(X) té llei absolutament contínua i la seva densitat fy és

on J g -1 (z) i J g designen el jacobià de les transformacions g-I i g, respectivament. Igual que en el cas unidimensional també existeix una fórmula de canvi de variable per transformació de vectors aleatoris quan la funció g és bijectiva a trossos. Aquesta fórmula s'obté de la mateixa manera que en el cas unidimensional.

4.6

Moments

L'esperança d'una funció d'un vector aleatori es pot calcular mitjançant la llei del vector, tal com enunciarem a continuació.

CAPÍTOL 4. VECTORS ALEATORIS

126

Proposició 4.6.1 Sigui X = (XI, ... ,X,,) un vector aleatori discret que pren valors en un conjunt numerable I i 9 : ]R" --> ]R una funció mesurable. Aleshores la variable aleatòria g( X) té esperança finita si, i només si,

¿

Ig(XI, ... , x,,)IP(X I = :Z:l,"" X n = :z:,,) < +00,

(X¡, ... ,x,,)EI

i, en aquest cas,

E(g(X)) =

g(XI, ... ,X,,)P(X1 =:Z:I,""X" =:z:,,). (xl, .... x,,)EI

Proposició 4.6.2 Sigui X = (Xl, ... , X n ) un vector aleatori absolutament continu, amb densitat fx i 9 : ]R" --> ]R una funció mesurable. Aleshores la variable aleatòria g(X) té esperança finita si, i només si,

i, en aquest cas,

E(g(X)) =

r

JIR"

g(xI, ... ,x")fx(xl, ... ,:z:,,)d:z:¡···dx,,.

Els resultats següents fan referència a la relació entre independència i moments. Proposició 4.6.3 Siguin X i Y dues variables aleatòries independents amb esperança finita. Aleshores, la variable aleatòria prodncte XY té esperança finita E(XY) = E(X)E(Y). Per mesurar el grau de dependència entre dues variables aleatòries X introduirem la noció de covariància i del coeficient de correlació.

Y

Definició 4.6.4 Siguin X i Y dues variables aleatòries amb moments de segon ordre finits. La covariància entre X i Y es defineix per' Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] = E(XY) - E(X)E(Y). Proposició 4.6.5 Siguin Xl, X 2 , . .. ,X" variables aleatòries amb moments de segon ordre finits. Aleshores,

"

"

i=l

;=1

Var(¿Xi ) = ¿Var(X,)

+ 2¿ ' O.

(b) La variable Z condicionada per {X = n} només pot prendre dos valors, 1 o 3. Calculem les seves probabilitats:

PC~ = 11X = n) = p(Y = nlX = n)

p(Z = llX = n)

P(X=n,Y=n) P(X = n)

2;3

1

2~'

3'

1 - p(z = 11X = n) =

P(Z = 31X = n)

2

3'

(c) De la distribució conjunta del vector (X, Y) deduïm que Y - X pren valors en {O, 2, 4, ... }. Si n = O obtenim 00

k=l

si n és parell, és adir, n

=

1

00

P(Y - X = O) = ¿P(Y = k,X = k) =

¿

2k3

1

= 3'

k=l

2m (m :::: 1) aleshores

2 P(Y - X = n) = P(Y = 3m X = m) = - m ,

2 3

2

= -. 2~3

3. Sigui X una variable aleatòria amb llei binomial B(n,p) i Y una variable aleatòria amb llei Bernoulli B(p). (a) Si X i Y són independents, demostreu que X ció binomial B(n + l,p).

+Y

segueix una distribu-

132

CAPÍTOL 4. VECTORS ALEATORIS (b) Si {Zdi>l és una família de variables aleatòries independents idènticament distribuïdes amb llei Bernoulli B(p), aleshores 2::~1 Zi segueix una distribució binomial B( n, p). (c) Si Xli X 2 són dues variables aleatòries independents amb lleis binomials B(n,p) i B(rn,p), respectivament, aleshores Xl +X2 segueix una distribució binomial B(n + rn,p). (d) Calculeu l'esperança i la variància d'una variable B(n,p).

Solució: (a) La variable X + Y pren valors en el conjunt {O, ... , n Si k = 0, utilitzant la propietat d'independf)llcia, P(X +Y

+ 1}.

= O) = P(X = 0, Y = O) = P(X = O)P(Y = O)

=

(l_p)n+I.

SikE{l, ... ,n}, P(X

+Y

=

k)

P(X

+Y =

P(X

= k)P(Y = O) + P(X = k - l)P(Y = 1)

(~)pk(1

Finalment, si k = n P(X + Y

k, Y = O)

+ P(X + Y = k,

Y

=

1)

_p)n-k(l _ p)

+ l,

= n + 1) = P(X = n, Y = 1) = P(X

Fixem-nos que la funció de probabilitat de X B(n + 1,p).

=

+Y

n)P(Y

= 1) = pn+l.

correspon a una llei

(b) Aquest resultat es demostra fàcilment fent inducció sobre n. El cas n = 2 surt directament del resultat que acabem de provar ja que una Bernoulli B(p) és una binomial B(l,p). Si suposem que és cert fins a n, el cas n + 1 surt també directament de l'apartat a. (c) Sigui {Sd ~lm una família de variables aleatòries independents idènticament distribuïdes amb llei Bernoulli B(p). Observem que Xl rv 2::~=1 Si i X 2 rv 2::::n+1 Si. Així n+m XI

+ X 2 rv

L

i=l

Si

133

4.9. PROBLEMES i per l'apartat b segueix una distribució binomial B(n + m,p).

(d) Sigui {Si }i=l una família de variables aleatòries independents idènticament distribuïdes amb llei Bernoulli B(p). Definim X = L~=l Si, que per l'apartat b té llei B(n,p). Aleshores n

E(X)

=

L E(Si) = np, i=l

i per la propietat d'independència, n

Var(X) =

L Var(Si) = np(l ~ p). i=l

4. Sigui {Xn}n>l una família de variables aleatòries positives independents

idènticament-distribuïdes amb E(X¡) = a i EC~,) = b, on a, b < Definim Sn = L~=l Xi· Sota aquestes hipòtesis demostreu:

E(L) < +00.

(a) O:::;

(b)E( Xk)=~, Sn n (c) E ( (d)

+00.

Sm) = Sn

E(~:)

{ ... ,n } . per a tot k El,

'm si m:::; n. n

=

1 + a(m

~ n)E(;J,

si m > n.

Solució: (a) Com que les variables són positives, és evident que 1

1

0~< -o} - l{xo} - l{yo} - Xl{x 0, 'Vy < -l, Fsy,Y(z,y) = P(SY • 'V z

> O, per a tot -1 Fsy,y(z, y)

=

~

~

z, Y

~

y)

= O = Fsy(z)Fy(y).

Y < l,

P(IYI

P(SY Dl (x, y) ---> ( tl.1L~) 2 ' 2 D

(u+v ,u-v) De la condició (u

+ v, u -

v) E D tenim

-(u - v) < u + v d 'on Dl I

< u - v O < u; v < O,

= (O,oo)x(-oo,O). El

~ -~ 1=-2.

jacobià d 'aquest canvi és Jg - t(u,v) =

CAPÍTOL 4. VECTORS ALEATORIS

164

Aleshores, utilitzant la fórmula del canvi de variable obtenim

És fàcil veure que U i V són independents perquè la densitat conjunta factoritza, a més es reconeixen les dues marginals

Per tant, U rvExp(l) i -V rvExp(l). (c) Com que les variables U i V són independents tenim

on hem utilitzat E(U) = E(-V) =

*

(U rvExp(l) i -V rvExp(l)).

(d) Finalment, f(x,y)( -3, y) fE (-:))

2À2p-"\Y~3,CX!)(Y) Àe- 3 "\

2Àp-"\(Y-3)~3,oo) (y).

24. Considerem un vector aleatori (X, Y) amb funció de densitat 1

f(x,y)(x, y) = 6"(1

+ 2:Z;Y)~O,1)x(1,3)(:Z;, y).

(a) Sigui F(x,y)(x, y) la funció de distribució associada al vector (X, Y). Doneu F(x,y)(l, 1), F(x,y)(l, 2), F(x,Y) (2, 2) i F(xy)(4, ;)). (b) Calculeu P{Y - X > 2}. (c) Sigui Z = XY, trobeu la densitat de Z. (d) Són X i Y independents? l les variables Z i Y? (e) Calculeu la llei de Z condicionada per Y = y, Y E (1,3).

4.9. PROBLEMES

165

Solució: (a) Calculem la funció de distribució en els punts que ens demanen

F(x,y)(l,l)

P(X -:; 1, Y S 1) = O,

F(x'y) (l, 2)

P(X S 1, Y -:; 2)

¡

1

1 -(1 o 6

Jot¡21 1 6(1 + 2xy)dydx

=

+ 3x)dx =

5 -,

12

F(x,Y) (2, 2)

5 P(X -:; 2, Y -:; 2) = P(X Sl, Y -:; 2) = 12'

F(x,y)(4,3)

P(X -:; 4, Y -:; 3) = P(X -:; 1, Y -:; 3) = 1.

(b) La probabilitat que ens demanen la calculem de la manera següent: P{Y - X > 2}

=

P{Y

> X + 2}

=

¡I 3 2+

1 (-x - 4x 6 o

= -

~(1 + 2xy)dydx

{I {3

Jo J2+x 6 4x

+ l)dx

17 72

= -.

(c) Per donar la llei de Z = XY trobarem primer la llei del vector (Z, Y) i després calcularem la marginal de Z. Considerem el canvi de variable següent: g: (0,1)x(1,3) ----> D

(x, y)

---->

(xy, y)

D

---->

(0,1)x(1,3)

(z,y)

---->

(~,y)

g-l :

Òbviament D c:;: (0,3)x(1,3), a més ~ E (0,1) {(z,y) E (0,3)x(l,3): z < y}. El jacobià d'aquest canvi és J g -1 (z, y) =

I

==}

t -~

z < y, així, D

I=

t·

Aleshores,

j(X,y)(g-I(Z, y))1Jg-1 (z, y)lllD (z, y)

j(Z,y)(Z, y)

1 -(1 6y

+ 2z)llD (z,y).

Observant la figura 4.10,

1~(1 + 3

1

fz(z)

=

2z)dy,

si

ZE(O,l),

2z)dy,

si

z

6y

{ Jz ~(1 + {3

6y

E

(1,3).

=

CAPÍTOL 4. VECTORB ALEATORIS

166

Figura 4.10:

3+---------------------7 2.5

D

2

y=z 1.5

0.5

o

1.5

0.5

2

2.5

3

Així,

1.113 + 2z)~o,1)(z) + 6"(1 1 + 2z) In (3) ; ~J ,3)(Z).

fz( z) = 6(1

(ci) Com que la funció cie densitat j(.>.:,y)(x,y) no es pot factoritzar, les variables X i Y no són independents. Pel mateix argument (D no és rectangular) podem dir que les variables Z i Y tampoc ho són. (e) La marginal de Y és .fy(y)

Fixem y

E

=

fI

Jo

1

6"(1

1

+ 2:ry)d:r = 6"(1 + y)1l(1,3)(y)'

(1,3), aleshores

fz (z) = j(z'y)(z, y) = (1 + 2z)~o,y)(z) = 1 + 2z ~ (z) . . ,Iy=v fy (y) (1 + y)y (1 -I- y)y O,y)

25. Siguin X i Y dues variables aleatòries independents tribuïdes amb lleis Exp(.À). Definim la variable

u = (2 -

X) !4Y~3}

j

idènticament dis-

+ (X - 2)!4Y>3}'

(a) Trobeu la llei del vector (U, Y). Són U i Y independents?

167

4.9. PROBLEMES

(b) Calculeu la llei de Y condicionada per U = -3 i la llei de U condicionada per Y = 4.

Solució: (a) Com que X i Y són independents la densitat del vector (X, Y) és

\ 2 -À(x+y) lI, () ( ) =/\e ,-\O,CXl)X(O,OO)x,y . f (X,y)x,y .J a que la definició de U depèn de si Y és més gran o més petita que 3, hem de dividir la regió (O, +00)2 en dos, (O, +00) X (0,3) i (O, +00) X

(3, +00), i considerar les dues funcions bijectives següents: (0,00)x(0,3)

----->

(-00,2) X (0,3)

(x, y) (2-u,y)

----->

+--

(2-x,y) (u,y)

(O,00)x(3,00)

----->

(-2, 00)x(3, 00)

(x, y) (u+2,y)

----->

(x-2,y) (u,y)

gl : g-l .. 1 g2 : -1

g2

:

+--

Els jacobians són J g ;I(X,t)

=I -1

°

Aleshores

O 1

1=-1

f(x,y) (gil (u, y) )l1g

f(u,y)(U, y) +

J g :;1 (x, t)

°

,1 (u, y)1 ~ -oo,2)x (0,3) (u, y)

f(x,y) (g:;l (u, y)) 1J g :; 1 (y, y)1 ~ -2,+oo)x(3,+oo) (u, y) À 2 e-"\(2-u+y) ~ -oo,2)x (0,3) (u,

+

=I 1 1O 1=1.

y)

À 2 e-..\(2+ u +y) ~ -2,+CXl) x (3,+CXl) (u,

y).

Observem que la funció f(u,y) (u, y) no es pot factoritzar, per tant les variables U i Y no són independents. (b) Ens calla marginal de U en el punt -3. Si u E (-00, -2),

1 3

fu(u)

=

À 2 e-"\(2-u+ Y )dy = Àe-..\(2-U)(1 - e- 3 ..\).

Aleshores,

f(u,y) (-3, y) fu( -3)

À 2 e-"\(5+Y) ~0,3) (y)

=

Àe- 5..\(1

-

e- 3..\)

CAPÍTOL 4. VECTORS ALEATORIS

168

1(U,y) (u,

\2 e -'\(6+u)lL (u) ",\-2,+00)

4)

A

.fy(4) Àe-.\(2+u) ~ -2,+00) (U).

26. Sigui (X, Y) un vector aleatori amb llei uniforme a la regió determinada pel polígon que té per vèrtexs els punts (:{,O), (0,1), (-3,0) i (0,-1). (a) Calculeu les lleis marginals de X i Y. (b) Trobeu E(X 4 ). (c) Doneu P{3Y

< Xl.

(d) Calculeu la densitat de les variables X dents?

+ :3Y

i X - 3Y. Són indepen-

(e) Trobeu la densitat de Y condicionada per X = x,

X E

(-3,3).

Solució: (a) Sigui D l'interior del polígon que té per vèrtexs els punts (3,0), (0,1), (-3,0) i (0,-1) (figura 4.11). Com que l'àrea de D és 6, la funció de densitat del vector (X, Y) és k'(,Y)

(:r, y)

1

=

(5 110 (:1:, y).

Observant la figura 4.11 veiem que la funció de densitat de la variable X és 1+1 1 -d1'} 6 .,

1 1

si:r E (-3,0),

- 1- 1

1x(.7:)

=

-1+ 1 1 -dy, 1- 1 6

0,

Per tant,

si:r E (0,3), altrament.

4.9. PROBLEMES

169

Figura 4.11:

y=xl3+1

y=-xl3+1 2

-2

y=-xl3-1

y=xl3-1

DC:' manera similar la densitat de Y és

¡

3Y+3

-3,,-3

fy(y)

=

1

-dx 3 3Y -

1

3y-3

6

1

'

.

6dx ,

si Y E (-l, O), siyE(O,l), altrament.

0, Així,

fy(y) = (y + l)~ - l ,O)(Y)

+ (1

- y)1I(O,I)(Y) '

(b) Per calcular aquesta esperança utilitzem la marginal de X:

(e) Sigui la regió Dl

= {(x, y)

E

D : 3y < x} representada a la figura 4.12.

CAPÍTOL 4. VECTORS ALEATORIS

170

Figura 4.12:

y=-x/3+1

y=x/3+1 2-

-2

y=-x/3-1

y=xl3-1

Sabem que el vector (X) Y) té llei uniforme en D, aleshores

P(3Y < X) = Àrea(D¡) = ~ = ~. Àrea(D) 6 2 (d) Considerem el vector (X canvi següent: g:

+ 3Y,X - 3Y).

D (:r) y)

Per trobar la seva llei fem el

----t

D2

----t

(:1' + 3y,x - 3y) D ( :!!.be.!!..=..!!) 2 ' 6

Observem que la regió D es pot escriure de la forma D={(X,y) EIR.2; -3 2).

i p(XY

14. Considerem la funció següent:

f(x,y)(X, y) = { (k, J,

:r E D,

altrament,

en els dos casos següents:

(a) D

=

[O, l]x [-1,1],

(b) D és el triangle format pels vèrtexs (0,0), (0,1) i (l,O). Calculeu k perquè aquestes dues funcions siguin densitats. Trobeu les lleis marginals i digueu si les variables X i Y són independents. 15. Sigui (X, Y) un vector aleatori amb funció de densitat 2e~2x

f(x,y)(x, y)

=

{ 0,

'

si :r > 0, -:r altrament.

<

)J

< x,

(a) Trobeu les lleis marginals de les variables X i Y. Són X i Y independents? (b) Calculeu la llei de X condicionada per Y = y. (c) Són independents les variables U = lleis de U i V.

X! y

i V = x 2" y? Identifiqueu les

(d) Calculeu les esperances següents: E( XY) i E( UV).

4.10. PROBLEMES AMB INDICACIÓ

185

16. Sigui (X, Y) un vector aleatori amb densitat

f(x,y)(X, y)

=

2k(x

+ Y)~O,l)(X)~O,l)(Y)'

(a) Doneu el valor de k perquè aquesta funció sigui una densitat i calculeu F(x,y)(2, ~), F(x,y)( -~, ~), on F(x,y) és la funció de distribució del vector (X, Y). (b) Busqueu les lleis marginals. (c) Sigui U = ~. Trobeu la llei condicionada de Y per U = ~. (d) Calculeu E[(X - Y)2]. 17. Sigui (X, Y) un vector aleatori amb densitat

f(x,Y)(x, y)

=

1

22~l,CXl)X(l,CXl)(X, y). X

Y

Definim

V=X

U=XY

Y'

(a) Trobeu la llei de (U, V). Són U i V independents? (b) Doneu la llei de V condicionada per U = u, \:Iu > 1. 18. Sigui (X, Y) un vector aleatori amb funció de densitat

f(x,y)(X,y)

=

k(x

+ 2)y2

llD (x,y),

k

> 0,

on D és la regió de dins el quadrilàter que té per vèrtexs els punts (2,0), (0,2), (-2,0) i (0,-2). (a) Calculeu el valor de k. (b) Determineu la funció de densitat del vector (X

+ Y,

X - Y).

19. Siguin X i Y variables aleatòries amb distribució conjunta

f(x,y)(:r, y)

=

1 2.jXe- Y llD(X, y),

on D = {(x, y) E (O, oo)x(O, (0); .jX

< y}.

(a) Trobeu les lleis de les variables X i Y. (b) Calculeu les lleis condicionades de X per Y = y (on y E (0,00)) i de Y per X = x (on X E (O, (0)). (c) Calculeu la covariància entre X i Y. Són X i Y independents? (d) Demostreu que les variables Y i U = ~ són independents. Calculeu la llei marginal de U.

186

CAPÍTOL 4. VECTORS ALEATORIS

4.10.1 1.

Indicacions

(a) Tant les marginals com la conjunta es poden calcular directament: 1

4'

P(X = O) = P(X = 2) = P(Y = O) =

(~f,

P(X = O, Y = O) =

P(Y = 1) =

Gf,

1

2'

P(X = 1) =

2x~x~,

P(Y = 2) =

P(X = 2, Y = 2) =

(~)2,

Gf,

2 3 1 3 P(X=l , Y=0)=2x-x6 6' P(X=l , Y=1)=2x-x6 6'

2)2 2 1 P(X=2,Y=O)= ( "6 ,P(X=2,Y=1)=2x¡-¡x"6' (b) Considerem dos daus perfectes que es tiren dues vegades. Sigui X el nombre de parells que han sortit en el primer dau i Y el nombre de sisos obtinguts en el segon. 2. Observeu que en aquest cas

Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = P(X = 1, Y = 1) - PIP2. Per tant, és evident que els apartats b i e són equivalents. També sabem que en general l'apartat a implica el b. Per tant, només ens queda per demostrar que e implica a. De e deduïm que els esdeveniments A = {X = I} i B = {Y = I} són independents. Per les propietats d'independència vistes a la secció 1.3 tenim que A = {X = 1} i BC = {Y = O}, AC = {X = O} i Br = {Y = O}, i Ar = {X = O} i B = {Y = 1} són independents. Per tant, hem demostrat que per a tot (k,l) E {O,l}2,

P(X = k, Y = I) = P(X = k)P(Y = I). 3. Recordem primer que si T és una geomètrica de paràmetre P, aleshores, per a tot k::::: 1, P(T = k) = p(l _ p)k-l.

Aleshores, CXJ

P(X

=

2Y)

¿P(X = 2k,Y = k) k=l 00

¿

k=l

P(X

=

2k)P(Y

=

k)

4.10. PROBLEMES AMB INDICACIÓ 4.

187

(a) S'obt.é 1

(b) Corn que P(X dent.s.

2

P(X

= 2) = 3'

P(Y

= 1) = P(Y = 2) = P(Y = 3) = -.

P(X

= 3) = 3' 1 3

= 2, Y = 3) = 0, es dedueix que Xi Y no són indepen-

(e) La llei del vector (X, Y) queda determinada per 1

P(X

= 2, Y = 1) = P(X = 2, Y = 2) = 6'

P(X

= 3, Y = 1) = P(X = 3, Y = 2) = 6'

P(X

=

1

2

a, Y = 3) = 6'

(d) 3

E(XY)

=

11

3

LL

nmP(X

= n,Y = m) = 2'

n=2m=1

(e) Volem calcular la distribució condicionada P(X

= 21Y > 2) = P(X = 2, Y :::: 2) = ~ -

P(X

P(Y :::: 2)

= 31Y > 2) = P(X = 3, Y :::: 2) = ~. -

.'5.

4'

P(Y :::: 2)

4

(a) Hem d'imposar 2

1=

2

2

2

L L P(X = i, Y = j) = aL L(i

+ 2j) = 33a,

i=O j=O

;=0 j=O

d e manera que a --

2

1 33'

(b) A partir de la llei conjunta és fàcil obtenir les marginals. Per exemple,

2

2

P(X

= O) =

L

P(X

= 0, Y = j) =

U·

j=O

De la mateixa manera obtenim P(X = 1) =

3

U'

6 P(X =2) = - . 11

CAPÍTOL 4. VECTORS ALEATORIS

188

La llei de la variable Y queda determinada per

5 P(Y = O) = -

33'

1

3'

P(Y = 1) =

17 P(Y = 2) = - .

33

(c) Corn que P(X = O, Y = O) = O -=I- P(X = O)P(Y = O), les variables X i Y no són independents.

(d)

2

P(X = 2Y) = P((X, Y) = (2,1» = 11' P(X

> l, Y < 1) =

4 33

P((X, Y) = (2,0» = -.

(e) Molts termes s'anul·len i només queda

~~.

E(X(X - 2)Y) = -P(X = l, Y = 1) - 2P(X = l, Y = 2) = -

(f) Un senzill càlcul ens dóna P(max(X, Y)

=

1) = ~. Aleshores

P(X =

11 max(X, Y) =

1)

P(X = l, Y ::; 1) P(max(X, Y) = 1)

3'

P(X =

OI max(X, Y)

1)

P(X = O, Y = 1) P(max(X, Y) = 1)

3

=

2

1

6. Per calcular aquesta esperança no cal buscar la distribució conjunta. Calcularem només les marginals, P(X(n)

=

k)

k)n _ (k - l)n, (N N

P(X(1)

=

k)

(

k = l, ... ,N,

N -Nk + l)n _ (NN- k)n,

k

=

l, ... ,N.

Aleshores E(X(n)

=

+ X(l)

= E(X(n)

+ E(X(1)

N

N

k=1

k=l

L k [ (~ f - (k ~ 1 fJ + L k [ ( N - ~ + 1 f - (N ; N

k

N

fJ

1) nJ + L (N-l+l) [( -NI ) - (I -N 1)TIJ -_L k [( -k) - (k --N N n

n

k=l

1=1

N

=

k

n

k-l

(N + 1) L [(N) - (Al) k=1

=N+l.

n

J

~

4.10. PROBLEMES AMB INDICACIÓ

189

7. La distribució de les variables Xi, i = 1, ... , k és una llei binomial B(n, Pi)' Aquest resultat es pot demostrar calculant explícitament la marginal o es pot justificar directament a partir de la construcció de la distribució multinomia!' Utilitzant que E(Xi ) = npi i Var(X i ) = npi(l - Pi) podem calcular

E ( t (Xi - n Pi )2) = t E((Xi - nPi)2) = t Var(X i ) = k-1. ;=1 npi i=1 npi i=1 npi

8. Observem que Sn només pren valors en el conjunt

{ -n, -n

+ 2, ... ,n -

2, n},

que també es pot escriure com {k = 2m - n, m = O, ... , n} (on m indica el nombre de variables Xi que han pres el valor 1). Per tant, si k = 2m - n,

9. Observem primer que quan li- jl > 1, Xi i X j són independents, de manera que en aquest cas Cov(Xi , Xj) = O. Altrament, quan

li - jl

1, Xi i X j no són independents i

=

Aleshores n

LVar(Xi ) + 2 L Cov(Xi,Xj ) i=1

n

i.p)k ~ 1 (1 _ )n-k >.n-k k! L... (n-k)! p n=k -Àp (>.pl -À

e

k!'

e

de manera que X segueix una distribució Pois(>.p). Pel mateix raonament Y segueix una distribució Pois(>.(1 - p)). Per veure la independència calculem P(X = k, Y = n)

P(X

= k, Y = n, N = k + n)

+ n) = 11 + k)P(N = n + k),

P(X = k, N = k P(X

= klN

que es comprova que dóna el mateix que P(X = k)P(Y = n). Tenim, per tant, independència.

11.

(a) Si m

=

14, es comprova que P(X

=

1)

= P(Y =

1)

1

=-

P(X

2

= 1, Y =

1)

3

= -14'

d'on es dedueix que

E(X) = E(Y) =

~

E(XY)

2

=~. 14

Aleshores

Cov(X , Y)

=

-~. 28

Com que Cov(X, Y) o/- O, X i Y no són independents. Finalment,

(b) Suposem ara que m = 12. Aleshores P(X

1

= 1) = P(Y = 1) = -

2

P(X

1

= 1, Y = 1) = -4·

4.10. PROBLEMES AMB INDICACIÓ

191

Per tant,

E(X) = E(Y) =

~

.

E(XY) =

1

1

4'

Aleshores

Cov(X, Y)

=

O.

Però encara hem de comprovar que són independents. És fàcil veure que P(X = 1, Y = 1) = P(X = l)P(Y = 1) i d'aquí ja es dedueix la independència. Finalment,

12.

(a) Determinem primer la llei de les Xi, que és 3

S'

P(Xi = 3) =

P(Xi = 7) =

i

~. 5

Per tant, la seva funció generatriu serà

Com que fem reemplaçament, les variables aleatòries Xi són independents i, per tant,

cPy(z)

=

rr n

cPX i (z)

=

(3SZ

3

2 7)n . + SZ

i=l

(b) Encara que no fem reemplaçament, les lleis de les variables Xl i X 2 continuen sent les mateixes. Ara, però, no són independents, així que necessitem buscar la distribució conjunta 6

2

P(X 1 = 3,X2

= 3) = 20' P(X 1 = 7,X2 = 7) = 20'

P(X I = 3,X2

= 7) = P(X 1

=

7,X 2

6

= 3) = 20'

Per trobar el coeficient de correlació necessitem els càlculs següents:

E(X¡) Var(X¡)

E(X )

=

2

Var(X2 )

23

5 ' 96 = 25'

E(X 1 X 2 )

-

E(X I )E(X2 )

404 529 - = 20 25

= -

96 100

--o

CAPÍTOL 4. VECTORS ALEATORIS

192 Aleshores

1 4

-

13.

P(XY > ~)

1

= 2(1

-ln2),

P(XY < ~IX > ~)

=

~I~ > 2)

=

P(XY >

1 Sln2,

~(1 -ln2). 8

14. En els dos casos aquesta funció correspondrà a la funció de densitat d'una llei uniforme sobre la regió D, aleshores k = Ibi' (a) k = ~; fx(x) = ~o,l)(x), fy(y) = ~ ~-l,l)(Y); són dues uniformes independents. (b) k = 2; fx(x) = 2(1 - x)~o,l)(x), f'r'(Y) = 2(1 - Y)~o,l)(Y); no són independents. 15.

(a) X '" G(2, 2), fy(y) = e- 2IYI ; no són independents.

(b) fxlY=Y(x)

= 2e-2(x-IYI)~IYI,oo)(x).

(c) La funció de densitat del vector (U, V) és f(U,v) (u, v) = 4e- 2 (u+v) ~o,oo) X (0,00) (u, v). Aquesta funció es pot factoritzar i, per tant, U i V són independents amb lleis Exp(2).

(d) E(XY)

16.

=

r xYf(x,Y)(x, y)dxdy

JJR2

=

0, E(UV)

=

E(U)E(V)

(a) k =~; F(x,y)(2,~) = F(x'y)(l,~) = ~,F(x,'r')(-~,~) =

=

~.

o.

(b) fx(x) = (x + ~)~O,l)(X), Jy(y) = (y + ~)~o,l)(Y). (c) Primer hem de trobar la funció de densitat del vector (U, Y), f(u,y) (u, y)

=

y2( U

+ 1)llD¡ (u, y),

amb Dl = {(u, y) E (0,00) X (0,1) : y < ~}, a partir d'aqtl a} ç limsup{Xn > (X}.

Aquestes quatre propietats estan demostrades en el primer problema d'aquest capítol. Per a l'estudi del límit superior de successions de conjunts són útils els dos lemes següents: Lema 5.1.1 Primer lema de Borel-Cantelli Sigui {A n , n :::,. I} una successió de conjunts de F. Si ¿~=I P(An) compleix que P(lim sup An) = O.

<

00, es

n

Lema 5.1.2 Segon lema de Borel-Cantelli Sigui {A n , n:::" I} ç F una successió de conjunts independents. Si L~=l P(An) = 00, es compleix que

P(lim sup An)

=

l.

n

Corol·lari 5.1.3 Llei del 0-1 Si {A n , n:::" I} ç F és una successió de conjunts independents. Aleshorrs, P(limsupA n ) = O o l. n

5.2 5.2.1

Convergències de variables aleatòries Convergència quasi segura

Definició 5.2.1 Direm que una successió de variables aleatòries {Xnl n :::,. I} convergeix quasi segurament a una variable X, i ho indirarrm per

5.2. CONVERGÈNCIES DE VARIABLES ALEATÒRIES

197

si existeix un conjunt N E :F de pmbabilitat zem (P(N) = O) tal que

\fw

'i N,

lim Xn(w) = X(w).

n-->oo

El límit és únic quasi segurament, és a dir, si X n ~ X i X n ~ Y, n-->(X) n-->oo aleshores P(X = Y) = l. La convergència quasi segura és una convergència puntual, és a dir, per a tot w, excepte un conjunt de probabilitat nul· la, la successió de reals Xn(w) té límit X(w). Per tant, tots els resultats vàlids per a successions de reals, ho són també per a la convergència quasi segura. Per comprovar la convergència quasi segura disposem dels criteris següents.

Proposició 5.2.2 La successió de variables aleatòries {Xn , n ::;. I} convergeix quasi seg1Lrament a una variable X, si i només si,

o equivalentment

Observem que utilitzant el primer lema de Borel-Cantelli per demostrar la convergència quasi segura n'hi ha prou veient que 00

\fE> O,

L

p(IXn - XI > En) <

00.

(5.2.1)

n=l

Proposició 5.2.3 Si existeix una successió de reals positius {En I:~=1 En < 00 tal que

n::;' I} amb

(X)

L

p(IXn+1

-

Xnl ::;. En) <

00,

n=l

aleshores la successió de variables aleatòries {Xn , n::;' I} convergeix quasi segurament. Si utilitzem aquest últim resultat cal tenir en compte que la proposició no especifica el límit.

5.2.2

Convergència en probabilitat

Definició 5.2.4 Direm que una successió de variables aleatòries {X n , n ::;. I} convergeix en probabilitat a una variable X, i ho indicarem per Xn

p ----+ n-->oo

X,

CAPÍTOL 5. SUCCESSIONS DE VARIABLES ALEATÒRIES

198 si

VE> O, lim p(IX" - XI >

E)

"-->00

=

O.

El límit és únic quasi segurament. La convergència en probabilitat es manté si composem amb una funció contínua, més concretament:

Proposició 5.2.5 Si { X ~, n ::;, I}, k aleatòries tals que

=

1, ... , ~M, són M .mcccssions de variables

X~ ~ xk,

k = 1, ... ,M,

n-->oo

i f : ]RM

----->

]R

és una funció contínua, aleshores:

f(X~, ... , X~1) ~ f(X I , ... , X M

).

n-->oo

5.2.3

Convergència en LP o mitjana d'ordre p

Definició 5.2.6 Sigui p ::;, 1 i {X n , n::;, I} una successió de variables aleatòries amb E[IXnIP] < 00. Direm que la successió {X n , n::;, I} convergeix en LP (o mitjana d'ordre p) a una variable X, i ho indicarem per Xn

L"

-----> n-->oo

X,

si

lim E[IXn - XIP]

n-->oo

=

o.

El límit és únic quasi segurament i té moment d'ordre p (E[IXIP] La convergència en LP satisfà les propietats següents:

Proposició 5.2.7 Si X n

LP

----->

X aleshores X n

n---1-(X)

Proposició 5.2.8 Si X n

5.2.4

L" ----->

n-->oo

L"

-----> n--+oo

X aleshores E[IXnIP]

X per a tot q -----> n-->oo

E

< 00). [1, pl.

E[IXIP].

Convergència en llei

Definició 5.2.9 Sigui {X n , n::;, I} una successió de variables aleatòries, direm que convergeix en llei a una variable aleatòria X, i ho indicarem per

5.3. RELACIONS ENTRE LES CONVERGÈNCIES

199

si es compleix lim Fn(x)

n-->oo

=

F(x)

'Vx punt de continuïtat deF,

on F i Fn són les funcions de distribució de X i X n , respectivament. La convergència en llei és, de fet, una convergència de les lleis de les variables aleatòries, més que de les variables aleatòries mateixes; així si X n ~ X, podem n-->oo

substituir les X n i/o la X per unes altres variables aleatòries amb la mateixa llei i el resultat segueix sent vàlid. Òbviament no tenim unicitat del límit. Encara que la convergència en llei no es manté en general per a funcions contínues, quan un dels límits és una constant tenim el teorema següent:

Teorema 5.2.10 Teorema de Slutsky Sigui {Xn , n::;' 1} i {Yn , n ::;, 1} dues successions de variables aleatòries tals que

e

Yn on c E

]R.

------>

n--->oo

Y == c

Aleshores:

e

------> n--->oo

X +c,

~ eX

n--->oo

i si e -=J O,

Aquest teorema està demostrat en el problema 17 d'aquest capítol.

Corol·lari 5.2.11 Sigui {Xn , n ::;, 1} una successió de variables aleatòries tal

q1Le X n ~ X i {en, n-->oo Aleshores:

e

------>

5.3

X

11 ::;,

+ c,

1} 7ma successió de reals tal que limn--->oo Cn

~ cX

n--->oo

= C E ]R.

si c -=J O,

Relacions entre les convergències

L'esquema següent resumeix les implicacions directes entre les convergències:

Xn

Ll' ------> n--->oo

/ ~X

n--->oo

l Xn

e

------> n--->oo

X

Tenim també altres relacions que ens poden ser útils:

X

CAPÍTOL 5. SUCCESSIONS DE VARJABLES ALEATÒRIES

200

Proposició 5.3.1 Si X == c (e E lR),

p

Proposició 5.3.2 Si X n ----> X aleshores existeix una parcial {X n ¡ , k ~ I} tal n--->CXl X q.S. X que n, k~ . Aquest resultat és especialment interessant quan la successió {X n , n ~ I} és monòtona, ja que ens dóna el corol·lari següent. Corol·lari 5.3.3 Si X n ~ X i {X n1 n ~ I} és una successió monòtona de n--->CXl

variables aleatòries, aleshores X n ~ X. n--->CXl

5.4

Llei forta dels grans nombres

Les lleis dels grans nombres estudien el comportament asimptòtic de les mitjanes aritmètiques de les successions de variables aleatòries.

Teorema 5.4.1 Llei forta per a variables incorrelacionades. Sigui {Xn , n ~ I} una successió de variables aleatòries incorrelacionades i amb moment de segon ordre uniformement ajitat, és a dir, :3 C E lR+ tal que 'Vn ~ 1, E[X~l < C. Aleshores, si Sn = I:~=1 Xi, Sn ~ E[Snl n

q.S.

i L

2

:

O.

n---+oo

Teorema 5.4.2 Llei forta per a variables independents idènticament distribuïdes. Sigui {Xn 1 n ~ I} una successió de variables aleatò1ies independents idènticament distribuïdes. Definim Sn = I:~=1 Xi· 1) Si les variables aleatòries tenen esperança finita

2) Si E[IX1 1]

= 00

aleshores limsup

ISnl

n-----+oo

n

= 00

q. s.

(E [IX 11] <

00),

aleshores

5.5.

5.5

TEOREMA DEL LÍMIT CENTRAL

201

Teorema del límit central

El resultat següent permet aproximar la funció de distribució de la suma de variables independents idènticament distribuïdes per la funció de distribució normal. Aquest teorema és fonamental en l'estadística.

Teorema 5.5.1 Teorema del límit central de Lévy-Lindeberg Sigui {Xn , n :::: 1} una successió de variables aleatòries independents idènticament distribuides amb variància O < 0"2 < 00. Sigui m = E[Xnl i Sn = 2::7=1 Xi' Aleshores: Sn - nm L. Z

O"y'ri

---->

,

n-+CXl

on Z és una variable aleatòria normal N(O, 1).

Correcció per continuïtat En el cas que vulguem aplicar el teorema del límit central a variables discretes, cal tenir en compte que la funció de distribució de la suma és esglaonada i la funció de distribució normal és contínua. Per tant, si a < b són dos punts de salt consecutius, és millor fer l'aproximació en el punt mitjà:

(

a+ b) =P (SnO"y'ri - nm. at b- nm) ~ (atbO"y'ri - nm) , ::; O"y'ri

P(Sn ::; a) =P Sn::; -2-

on és la funció de distribució de la llei normal.

5.6

Problemes

1. Sigui {Xn , nEN} una successió de variables aleatòries definides en un espai de probabilitat (Sl, F, P). Aleshores, per a tot et E lR., demostreu les propietats següents. (a) limsup{Xn :::: et} c;::; {limsupXn inclusió contrària,

::::

et}, però en general no és vàlida la

(b) liminf{Xn ::; et} c;::; {limsupXn inclusió contrària,

::;

et}, però en general no és vàlida la

(c) {limsupXn < et} c;::; liminf{Xn < et}, (d) {limsupX n

> et}

c;::;

limsup{Xn

> et}.

Solució: (a) Prenem W E limsup{Xn :::: et}, aleshores W E {Xn :::: et} per a infinits valors de n, d'on Xn(w) :::: et per a infinits valors de n i això implica que limsupXn(w) :::: et. Per tant, W E {limsupXn :::: et}.

CAPÍTOL 5. SUCCESSIONS DE VARIABLES ALEATÒRIES

202

Vegem un contraexemple de la inclusió contrària. Definim \:/n ;::: 1 i \:/w E f1, Xn(w) = o:-~. Clarament \:/w E f1 tenim que limsllpXn(W) = a i, per tant, {limSllpXn ;::: a} = f1. n

D'altra banda, {X n

;:::

a} = 0 per construcció, d'on

limsup{Xn ;::: o:} = limsup0 = n

0.

n

Tenim, doncs,

1:. {limsupX" ;::: n}

0= limsup{Xn ;::: a} n

= f1.

n

W E liminf{Xn ::; a}, aleshores ::J no(w) tal que \:/n ;::: no {X n :S a}, és a dir, Xn(w) :S a per a n ;::: no i això ens dóna que limsupXn(w) :S a. Per tant, W E {limsllpX" ::; n}.

(b) Prenem W E

Vegem un contraexemple de la inclusió contrària. Definim \:/n ;::: 1 i E f1, Xn(w) = a +~. Per construcció limsupX,,(w) = o: i, per tant, {lim sup X n :S n} = n.

\:/w

n

D'altra banda {Xn :S n} = 0, d'on lim inf {X n

::;

n

n} = lim inf 0 = 0. n

Tenim, doncs, 0= liminf{Xn

::;

a}

n

1:. {limsupX" :S a} n

=

n.

(e) Només cal passar al complementari el resultat del primer apartat. Així, del primer apartat tenim (limsup{Xn ;::: a}r

~

liminf{Xn < n}

~

({limsupX" ;::: a})C, n

n

que ens dóna n

{limsupXn < n}. n

(d) Igualment, utilitzant el segon apartat resulta (liminf{X,,::; a})C

~

n

({limsllpX" ::; a}r, n

que implica limsup{Xn > a}

"

~

{limsupXn > a}.

"

5.6. PROBLEMES

203

2. Calculeu el límit superior, el límit inferior i, si existeix, el límit de la successió {A n , n ¿ I} en els casos següents: (a) An={kEfiI'-{I}:

k~n,

k primer amb n}.

E JR: x E [~,nJ}.

(b) An

=

{X

(c) An

=

{(x,y) E JR2: x ¿ O, 0< y < sin[(-I)nx]}.

(d) An

= {(x, y)

E JR2 : O ~

x ~ n, O ~ Y ~ x 2 }.

Solució: (a) Fixem un n ¿ 1. Per a tot m E fil' - {I} podem trobar un nombre primer k més gran que m i n, i per tant m E Ak. Aleshores tenim 00

U Ai

{I}.

= fil' -

i=n

Per tant,

nU 00

limsupA n = n

00

Ai = fil' - {I}.

n=li=n

Com que per a tot nombre m -I 1 podem trobar un nombre i > m tal que i és múltiple de m, i per tant m ?f. A, tenim 00

i=n

AiXÍ,

Un Ai 00

limsupA n = n

00

=

0.

n=li=n

En aquest cas no existeix el límit. (b) Observem que 00

U Ai

=

(0,00),

i=n

d'on

=n U = 00

limsupA n n

00

Ai

(0,00).

n=li=n

Com que la successió és creixent, la intersecció és el primer element 00

i=n

204

CAPÍTOL 5. SUCCESSIONS DE VARIABLES ALEATÒRIES i aleshores

Un Ai U An 00

limninf An =

(X)

(X)

=

n=li=n

=

(0,00).

n=l

En aquest cas els límits superior i inferior coincideixen, això vol dir que el límit existeix. (e) Fixem-nos que \In:::: 1 A 2n +l = Al i A 2n = A 2. A més Al n A 2 = 0. Per tant, 00

i=n

00

n=17=n

D'altra banda, com que

n 00

Ai

=0,

1,=n

s'obté

U n Ai = 0. 00

lim inf An = n

00

n=li=n

El límit no existeix. (d) Observem que la successió de conjunts és creixent i que per a tot n 00

U A k ={(X,y)EJR2; x::::O,

O:::::Y::::::Z;2}

k=n

00

i=n

Aleshores

nU 00

limsup An = n

Ak =

{(:z;, y) E JR2;

.T ::::

O, O::::: y ::::: x 2 }

n=lk=n

00

limninf An =

00

U

n 00

n=li=n

00

Ai =

U An =

{(.T, y) E JR2; ;z;:::: 0, O::::: y ::::: :z;2}.

n=l

En aquest cas el límit existeix i és {(:z;,y) E JR2; ;z;:::: 0, O::::: y::::: :Z;2}.

205

5.6. PROBLEMES

3. Sigui {X n , nEN} una successió de variables aleatòries independents i idènticament distribuïdes amb llei Weibull(k, a), és a dir, la densitat de X n és k k-l _ax 1 f() .T = k ax e (0,00) () x ,

k > O, a > O. Demostreu que P(limsup n

xk

~ Inn

1

= -) =

a

1.

Solució: Fixem-nos que Xk 1) Xk 1 Xk P ( limsup ~ = = P(limsup ~ ;:::- -) - P(limsup ~ n In n a n In n a n In n

1

> -). a

El problema és redueix, per tant, a demostrar els dos resultats següents: Xk (a) P(limsu P - n l nn n

1

;:::- - ) =

a

1)

Xk (b) P ( limsup -1 n > n nn a

=

1.

O.

Demostrem primer a. Sabem que

xk 1 { limsup ~ ;:::- -} =;:>limsup n In n a n

Xk In n

1

{~ ;:::- -}, a

d'on

1)

Xk ;:::- P ( limsup ~ n lnn a

;:::- P

(

1)

k

limsup n

X ;:::- -} . {~

(5.6.2)

a

lnn

Calculem les probabilitats següents:

[_e-

ax

k]+OO y

k

= e- ay .

Per tant,

Com que ¿ ~ = 00 i les X n són independents, podem aplicar el segon lema de Borel-Cantelli i obtenim

1) =

Xk P ( lim sup { ~ ;:::- -} n Inn a

1.

CAPÍTOL 5. SUCCESSIONS DE VARIABLES ALEATÒRJES

206

I aplicant (5.6.2) obtenim fàcilment a. Passem a estudiar b. Fixem-nos que

Xk P ( limsup ---I!:.. n lnn

1) = (U

>-

00

P

ex

r=l

1 1 ) ::; ¿P (Xk ---I!:.. > -(1 + -) lnn ex r 00

k

{limsu p -X1 n n nn

1 1)

> -(1 + -)} r

a

.

r=l

Per tant, per demostrar b n'hi ha prou veient que 'Va

a)

P ( limsu p -Xkn > Inn n ex

=

> 1,

O.

Calculem les probabilitats

a)

X~ > -

P (lnn

ex

=

(

P Xn

an

aIn n

1

In k) > (--)

ex

=

1

exp{ -ex--} = - . ex na

Com que I: n~' < 00, (a > 1), podem aplicar el primer lema de BorelCantelli, i obtenim el resultat desitjat. 4. Sigui {X n, nEN} una successió de variables aleatòries independents idènticament distribuïdes amh densitat

f(x)

=

3 r¡; 1 2

(-l,I)(X).

Definim Yn

max{X¡, ... , X n },

Zn

min{X¡, ... , Xn}.

(a) Calculeu les funcions de distribució de vergeixen en llei.

Y" i Zn' Demostreu que con-

(b) Estudieu la convergència en prohabilitat i quasi segura.

Solució: (a) Calculem primer la funció de distrihució de les X n , si x

<

-1,

si - 1 ::; si ;r

~

l.

.T

< 1,

5.6. PROBLEMES

207

Les funcions de distribució del màxim i del mínim seran

rr n

:s; x)

P( max{X1 , .•. ,Xn }

=

P(Xi:S; x) = Fx,,(x)n,

i=l

p( min{X1 , ... , Xn} :s; x)

F z" (x)

1-

p( min{X1 , ... , Xn} > x)

1-

rr n

P(Xi

> x)

1- (1- Fx,,(x))n.

=

i=l

Utilitzant l'expressió de Fx" obtenim si x

O,

< -1,

3

Fy" (x) = {

(x +1)n -2-"-.-

si - 1

1,

si x ¿ 1,

O,

F z " (x) =

1 - (1 {

3

x

¿-r

r

:s; x <

1,

si x < -1, si - 1

:s; x <

1,

si x ¿ 1.

1,

Per demostrar la convergència en llei estudiarem la convergència de les funcions de distribució. Observem que si -1 < x < 1 aleshores 3 3 < x 2+1 < 1 i, per tant, limn (X 2";:1)" = 0, i el límit de la funció de distribució de Yn és

°

1·

F. ()

1m y : X = n~CXl"

{O,1,

si x

. Sl X

< 1,

¿ 1.

Igualment per a Zn, si -1 < x < 1 aleshores tant, limn (l - (1 - x3i1 )n) = 1, i clarament

· Fz 11m

n~CXl"

() X

=

{O,

si. x

1,

Sl X

:s; >

°<

3

1 - x ¿=1

< 1, per

-1, -1.

AiXÍ, prenent les variables aleatòries constants Y == 1 i Z == -1, tenim que lim Fy" (x)

= Fy(x)

\Ix E lR.

n~CXl

lim F z " (x) = Fz(x) si x

n~CXl

#

-1

==}

ja que hi ha convergència de les funcions de distribució en tot punt de continuïtat de Fz.

CAPÍTOL 5. SUCCESSIONS DE VARJABLES ALEATÒRIES

20R

(b) Sabem que la convergència en llei a una constant implica la convergència en probabilitat. Així doncs, les dues successions convergeixen en probabilitat. Aplicant el corol·lari 5.3.3, per demostrar la convergència quasi segura, n'hi ha prou observant que les dues successions són monòtones: 'iw E n, Yn(w) és creixent i Zn(W) és decreixent. Per tant, les dues successions convergeixen quasi segurament,

5. Sigui Y una variable aleatòria amb llei Exp(l). Per a tot n

1, definim

si Y < In n,

l, { O,

Xn =

~

altrament.

Estudieu la convergència de la successió {X n , n ~ I} en mitjana d'ordre P, en probabilitat, en llei i quasi segurament.

Solució: Estudiem primer la convergència en llei per poder identificar el possible límit. Les variables X n són Bernoulli de paràmetre Pn, on 1nn

Pn

= P(Y < lnn) =

1

e~xd:r

1

= 1- e~lnn = 1 - - ,

O

n

i la seva funció de distribució és

F x " (x)

=

si x < O, si O ::; .T < 1, si .T ~ 1.

O, ~, { 1,

Fent el límit trobem la funció de distribució de la variabl(~ aleatòria constant igual a 1, si x < 1, lim F x " (x) = { 01' n------tCX) , si ;¡; ~ 1. Aleshores

Com que en aquest cas tenim convergència en llei a una constant, tenim també convergència en probabilitat p -----+

1.

5.6. PROBLEMES

209

Estudiem ara la convergència en mitjana d'ordre p. Utilitzant que 11{y O quasi segurament, i per tant existeix no(w) tal que Y(w) < lnn, 'r/n 2: no. Això implica que Xn(w) = l, 'r/n 2: no, i limXn(w) = 1 quasi segurament. Tenim, doncs,

6. Sigui {Xn}n>l una successió de variables aleatòries independents i idènticament distribuïdes amb llei Exp(À). Definim

M n =n 2 min{Xl,X2 , ... X n } i Zn=Mn-[Mn ]. Estudieu la convergència en llei de la successió {Zn }n2': 1.

Solució: Comprovem primer que M n té llei Exp(*), P(n 2 min{X 1 ,.·. ,Xn } ::;

x)

1 - P ( min { Xl, ... , X n}

>

n

1-

IT P

(

Xi > nX) 2

=

:2)

1 - e -"'-x " .

i=l

Calculem ara la funció de distribueió de Zn. Observem que O ::; M n - [Mn ] < 1. Per a tot x E [0,1), 00

Fz"(x)

00

LP(Zn::; x) = LP(Zn::; x, k::; M n < k k=O

k=O 00

L

k=O

P (Mn ::; x

+ k,

k::; M n < k

+ 1)

+ 1)

CAPÍTOL 5. SUCCESSIONS DE VARIABLES ALEATÒRIES

210

00

00

¿: P (k

Mn

O, Yk = o.

si si

(a) Determineu la distribució de la variable aleatòria Jlvh. Té llei absolutament contínua? En cas afirmatiu, trobeu la seva densitat. (b) Definim N k = k1vh per a tot k 2' 1. {Ndk>l convergeix en llei quan k -+ variable aleatòria límit.

Demostreu que la successlO i determineu la llei de la

00

(c) Demostreu Xl + ... + X n

X? + ... + X¡;

q.s. 3 ---+ rHOO

2

5.6. PROBLEMES

211

Solució: (a) Calculem la funció de distribució de M k . Com que M k pren valors en [0,1) només cal calcular-la per a O :S y :S 1, ja que Fdy) = O Vy < O i Fdy) = 1 Vy :::: 1. Sigui O :S y < 1,

00

i=O 00

i=l

1 - P (O > y, Yk = O) 00

-¿P(min{X 1 , ... ,X;}>y, Yk=i) i=l 00

1- ¿P(min{X1 , ... ,X;}

>

y, Yk =

i).

i=1

Utilitzant la independència de la successió {Xn}n>1 i de la variable Yk tenim 00

Fk(Y)

1- ¿

p( min{X1 , ... , X;} > y)p (Yk = i)

i=l

1 - e- k

(~ ((1 -i!y)k r - 1)

1-

e- k (e(1-Y)k -

1-

e-yk

1)

+ e- k .

La funció de distribució de Mk no és contínua en el zero,

per tant, Mk no és una variable absolutament contínua.

212

CAPÍTOL 5. SUCCESSIONS DE VARIABLES ALEATÒRIES (b) Calculem la funció de distribució de N k . Observem que

Aleshores

O, FN,(y)

= {

1 - e- Y

+ e- k ,

l,

si y < O, si O ::; y < k, si y ~ k.

Fent el límit • si y • si Y

< O, limk-->CXl FNk(Y) ~

O existeix k

~

= O, 1 tal que y

< k, de manera que

lim FNk(Y) = lim (1 - e- Y k --> CXl

k --> CXl

+ e- k ) = 1 -

e- Y .

AixÍ, doncs, les funcions de distribució de N k convergeixen a la funció de distribució d'una Exp(l)

Nk

L

---+

k-->CXl

Z

rv

Exp(l).

(c) Per poder aplicar la llei forta dels grans nombres a les dues successions, {Xn}n2:1 i {Xn n2:1, cal comprovar que E[IXnl] < 00 i E[X~l < 00. Com que l'existència del moment de segon ordre implica l'existència del moment de primer ordre, només cal calcular la segona esperança: 2 E[Xnl

=

11

-1

1 2

-;1:

2

1 dx = ;-. .1

Per la llei forta resulta:

Fent el quocient tenim el que volíem:

Xl 2 X1

+ .. . X n + ... X n2

q.s.

:)

---+ -.

n-->oo

2

8. Sigui {Xi, i ~ I} una successió de variables aleatòries independents i iòènticament distribuïdes amb funció de probabilitat P(Xi = k) = P(X; = -k) = P 2 q k-1 , P(X; = m

+ 1) =

P(Xi =

-711 -

1)

q1n

=

2'

k

=

1,2, ... , 1n,

5.6. PROBLEMES on m

213

> 1 , O < p < 1 i q = 1 - p. Calculeu el límit quasi segur de

Solució: Per simetria les variables Xi són centrades, m+l

E[X i ] =

:L (kP(X

i =

k) - kP(X i = -k)) = O.

k=l

En el numerador de Zn tenim la suma de n variables aleatòries. Com que totes aquestes variables són del tipus XXi tenen la mateixa llei, a més com ,+1 que cada Xi apareix només en una d'elles, són independents. Observem finalment que tenen esperança finita perquè estan afitades

A més, per la independència

Podem, doncs, aplicar la llei forta dels grans nombres:

En el denominador tenim també la suma de n variables aleatòries i.i.d. amb esperança finita ( xl < (m + 1)2 =? E[Xl] < (m + 1)2). Tornem a aplicar la llei forta dels grans nombres:

No cal calcular E [Xfl ' ja que el numerador té límit zero i el denominador té límit estrictament positiu. Així, doncs,

214

CAPÍTOL 5. SUCCESSIONS DE VARJABLES ALEATÒRIES

9. Utilitzeu el teorema del límit central per demostrar que

n+1

¿:::

lim

n->oo

(k + n) - 1

k

2n+k

= l.

k=O

Solució: Considerem {Xn , n ;::: I} una successió de variables i.i.d. amb llei geomètrica G( ~). Pel teorema del límit central tenim

2::7=1 Xi - nE[X¡]

L

Z

-->

n->oo

JnVar[X1l

rv

N(O, 1),

que en termes de les funcions de distribució significa

.

\:Ix E lR,

hm P n->oo

(2::7=1 Xi -

nE[X¡J < x ) JnVar[X¡J -

FN(o 1)(.7:),

=

,

on F N (o,1) és la funció de distribució d'una variable aleatòria N(O, 1). Prenent x = O i observant que E[X¡] = 2 i F N (o,l)(O) = ~ resulta:

(

n--->oo

1

X-2n < o) L..,t=l' JnVar[Xd-

",n

lim P

2

D'altra banda,

P

",n L..,i=1

(

Xi

2n

-

JnVar[Xd

: :; O)

p(¿:::X n

=

i=1

i -

2n:::;

o) = P(¿:::X;:::; 2n). n

;=1

La suma de variables independents amb lleis geomètriques G( ~) és \lna variable Z amb llei binomial negativa B N (n, ~ ), és adir,

P(Z=i)=(i-1)2, n - 1 2'

\:Ií;:::n.

Per tant,

P

(..¡¡..,. ~

X< 2n) !

-

i=l

=

~

~

(in -- 1) 2,.

i=n

1 2;

=

..¡¡..,. ~

(k +n -n -1 1) _1 2k+ n

'

k=O

d'on

~ = lim 2 n->oo

+ t; (k) n

n - 1 _1_ = lim ~ n+1 n- 1 2k+n n->oo 2

~

(

k

+ n)

_1_.

n

2k+n

215

5.6. PROBLEMES Així,

(k + n) -1-

n+l

L

lim

n--->oo

k

k=O

2k+n

1.

=

10. Sigui {X n , n 2: I} una successió de variables aleatòries independents idènticament distribuïdes amb llei U( -V3, V3). Demostreu que

+ ... + X

Xl

Fn Xl2 + ... +Xn2 n

L

----->

n--->oo

N(O,l).

Solució: Pel teorema del límit central tenim:

2.:7=1 Xi -

-S

nE[X¡J JnVar[XIl

z

rv

N(O, 1).

n--->oo

En el nostre cas,

E[X 1 l

=

°(per simetria)

Var[XIl = E[X;l =

v'3

j-v'3

1 2 ¡7)x dx = 1.

2v 3

Aleshores

D'altra banda, per la llei forta dels grans nombres, ",n 6i=1

n

X2 i

~

E[X;l

= 1.

n~oo

Finalment, aplicant el teorema de Slutsky tenim: Xl

+ ... + X n Fnn

n X 12 + ...

+ X2n

=

Xl + ... + X n Fn X21 + ... + X n2

L ----->

n--->oo

N(O,l).

11. Siguin Xl, ... , X 2000 variables aleatòries independents i idènticament distribuïdes amb llei Pois(O,OOl). Sigui T = 2.:;~?O Xi' Calculeu mitjançant el teorema del límit central un valor aproximat de peT 2: 3) i compareu-lo amb el valor exacte d'aquesta probabilitat.

Solució: Sabem que la suma de variables aleatòries independents de Poisson és una variables aleatòria Poisson de paràmetre la suma de paràmetres. En el nostre cas T = 2.:;~~O Xi rv Pois(2). A més, l'esperança i la variància d'una Poisson són iguals al paràmetre.

216

CAPÍTOL 5. SUCCESSIONS DE VARIABLES ALEATÒRIES Pel teorema del límit central, Vx

lR, tenim

E

(L~-l Xi -

lim P

nE[X 1 l < x) JnVar[X¡]-

n-->oo

.

= hm P (L~=l Xi - 0,001

JO, 001 n

n-->oo

n) = :::; x

)

F N (o,l)(x ,

on F N (o,l) és la funció de distribució d'una variable aleatòria N(O, 1). Prenent n = 2.000 i aplicant la correcció per continuïtat (vegeu secció 5.5)

= 1 - P(T < 3) = 1 - P(T :::; 2,5)

P(T 2' 3)

(TJ22

< 2,~2) ~ 1- FN(O,l)(~)

=

1- P

=

1 - 0,6382 = 0,3618.

Calculem ara el valor exacte P(T 2' 3)

= =

1 - P(T = O) - P(T = 1) - P(T = 2) 1- e2ee- = 1 - 5e- ~ 0,3233.

2-

2- 2

2

Observem que la diferència entre el valor aproximat i el real d'aquesta probabilitat no és despreciable.

12. A l'espai de les variables aleatòries definim la relació d'equivalència següent: X

rv

Y X = Yq.s.

Sigui LO(O,:F, P) l'espai de les classes d'equivalència i en aquest espai definim el funcional

(3(X)

=

E [

IXI ]. IXI

1+

(a) Comproveu les propietats següents: i. Vx, y E lR,

ltl!!~1

: :;

ii. VX, Y E LO(O,:F, P), iii. VX

E

LO(O,:F, P), Ve

1~~1 + l~llyl· (3(X + Y) :::; (3(X) + (1(Y). E

lR, (3(cX):::; max(l,

(b) Demostreu que

d(X, Y)

=

defineix una mètrica a LO(O,:F, P).

(3(X - Y)

1('1) (3(X).

5.6. PROBLEMES

217

(c) Demostreu que una successió {Xn , nEN} de variables aleatòries convergeix en probabilitat a la variable aleatòria X si, i només si, lim d(Xn , X) =

n->oo

o.

Solució: (a)

i. Per a tot :r:, y E lR, per la desigualtat triangular tenim:

Ix+yl 1 + lx + yl

1

1-

=

1 + lx

Ixi

1 + Ixi

(Ix + yl ::: Ixi + Iyl)

1

< 1 - -,----,--.,---...,...--,

+ yl -

+ lyl

+

1 + Ixi

Iyl

1 + Ixi

+ Iyl

< _Ixl_ + _IYI_.

+ Iyl -

1 + Ixi

1 + Iyl

ii. Utilitzant l'apartat anterior,

¡3(X

+ Y)

- E [ =

iii. Sigui c E lR. Si

¡3(cX) = Si

Icl > l,

IX

+ YI ] < E + YI -

1 + IX

¡3(X)

Icl ::: l,

¡3(eX)

IXI + IYI ] 1 + IYI

1 + IXI

+ ¡3(Y).

aleshores I!I :;:. l, i tenim

E [ leXI ] = E 1 + leXI aleshores

[

[ I!I

IXI 1< E [ IXI ] = ¡3(X). + IXI 1 + IXI

leXI :;:. IXI, i _ E [ leXI ] _ lelE [ IXI ] 1 + leXI 1 + leXI

-

::: lel E

[1 ~~~I]

=

/c1¡3(X).

Per tant,

¡3( eX) ::: max(l,

lel) ¡3(X).

(b) Per què d sigui distància cal que compleixi, 't/X, Y, Z E LO(Q, F, P), les tres condicions següents:

• d(X, Y) = O {::::::} X = Y q.s. En efecte, d(X, Y) =

IX - YI ] IX - YI E [ 1 + IX _ YI = O {::::::} 1 + IX _ YI = O q.s.

{::::::} IX -

YI

=

O q.s. {::::::} X = Y q.s.

218

CAPÍTOL 5. SUCCESSIONS DE VARIABLES ALEATÒRIES • d(X, Y) = d(Y, X). Evident per la definició . • d(X, Y) ~ d(X, Z) + d(Z, Y). Per l'apartat a ii. tenim d(X, Y)

=

(3(X - Y)

=

~

(3(X - Z)

+ (3(Z

(3(X - Z

+Z

- Y)

+ d(Z, Y).

- Y) = d(X, Z)

(c) Veiem primer que si lim n d( X n , X) = O tenim convergència en probabilitat. Sigui c > O,

E [ (1

+

~~~: ~~I) 1{IX,,-XI2

[e + IX~ _ XI)

E

IXn 1 + IXn

~

E [

~

d(Xn,X)

E

}]

1{IX,,-XI2 E }]

XI ] + _l_E XI 1+c

-

1

[1

+ l+cP(IXn-XI

{IX,,-XI2E}

1

~c).

D'on resulta:

(1 -I! c)

P(IXn -

XI

~ c) =

1: c

P(IXn -

XI

~ c) ~ d(Xn , X).

Fent tendir n a infinit, obtenim

c

O ~ - - lim p(IXn 1 + c "->00

-

XI

~

c)

~ lim d(X n , X) = O, n->oo

que implica lim p(IX" -

n->oo

Suposem ara que X n d(X

X) n,

=

p ---> n->oo

E [

XI

~

X. Aleshores

IX" - XI ] IX" - XI

1+

c)

=

O.

219

5.6. PROBLEMES

Observem que si IXn - XI < E, aleshores l~lx~~*1 < l~E' Utilitzant XI < . t,arn be' que sempre 1+IX" IX"- -xI _ 1,o bt emm d(Xn , X)

Per a tot

E

-:;

P(IXn - XI

~ E) +

-:;

p(IXn - XI

~ E) +

1: 1:

Ep(IXn -

é)

E'

> O,

lim d(Xn , X) -:; lim p(IXn - XI ~ E)

n ..... oo

XI <

n ..... oo

Com que això és cert per a tot

E

+ _E_ 1+E

> O, clarament lim n

= _E_. 1+E

d(Xn , X) = O.

13. Considerem un robot amb vida infinita que tecleja en un ordinador també de vida infinita. El robot tecleja les tecles de forma aleatòria. Si totes les lletres, números i altres símbols tenen probabilitat més gran que zero de ser teclejats, quina és la probabilitat que escrigui la Bíblia en català?

Solució: Numerem tots els símbols possibles (lletres, números, símbols de puntuació, etc.) de l'I al K (K =nombre total de símbols diferents). Considerem {X n } ~= 1 una successió de variables aleatòries i.i.d. on X n = número del símbol n-èsim que tecleja el robot.

Sabem que P(Xn =k»O,l::/k=I, ... ,K.

Sigui {k i , í = 1, ... , m} la successió de símbols per escriure la Bíblia en català. Definim { Xi = k i , í = 1, ... , m}, {Xi+m = k i , í = 1, ... ,m}, {Xi+m(n-l) = k i , í = 1, ... , m},

Observem que l'esdeveniment An significa que el robot escriu la Bíblia en català entre el símbol 1 + m(n - 1)-èsim i mn-èsim. Els conjunts {An}~=l

CAPÍTOL 5. SUCCESSIONS DE VARIABLES ALEATÒRIES

220

són independents, ja que les variables que intervenen en cada conjunt són diferents. A més,

rr

rr m

m

P(An) =

P(Xi+m(n-l) = k i ) =

P(X i = k i ) = P(A 1 ),

i=1

i=1

i clarament P(At) > O. Com que 00

00

n=1

n=l

aplicant el segon lema de Borel-Cantelli obtenim

P(limsupA n )

=

1.

n->oo

Això vol dir que Vw E lim sUPn An q.S.; i, per tant, Vw E An per a infinits n q.S.; i així la probabilitat d'escriure la Bíblia en català infinites vegades és 1.

14. Sigui {Xn , n 2': I} una successió de variables aleatòries amb densitats

fn(x)

n

=

4v

fï17"--:ï 1(_1_

11+xl

1

~,

-1+

1

~

)(:r).

(a) Demostreu que la successió {Xn,n 2': I} convergeix en probabilitat a un límit que haureu de determinar. (b) Estudieu la convergència quasi segura i en L2 . Solució: (a) Volem determinar la convergència en probabilitat, però no sabem quin és el possible límit. Per poder determinar-lo, estudiarem primer la convergència en llei. La funció de distribució de X n és: • si x < -1 - ';2' aleshores F x " (x) • si -1 - Jc.. .1: < -1 , n2 <

Fx" (x)

f

x 1

-1-~

=

O,

j''''

n 1 _ 4 ~1I (y)c.y V 1'-

+ YI

-n ~J,r [TV- 1 -y -l-~

1

-I-~

1

n

n 4v-1-

="2-"2 V - 1 -

x,

Y

d (y) Y

5.6. PROBLEMES • si -1 ::;

221 X

< -1 + -;&,

¡-I

F x" (x)

Ll~~

n

4Vfl+YT

+ IX ~1

(y)dy

_=n==(y)dy

4Vfl+YT

¡~~~ 4V-~ _ y (y)dy + ¡: 4~(Y)dy -1 + n [1-vfL+Y]X 2

• si X:::;' -1

+ -;&,

~1

2

1 2

= -

n + -V1+X 2

'

aleshores Fx,,(x) = 1.

Ara ja podem calcular ellimn F x ", • si x < -1 existeix no(x) tal que x < -1 - ~ per a tot n :::;. no, i per tant limn FX n (x) = O, • si x = -1 observem que Fx n (-l) = ~ per a tot n:::;' 1 de manera que lim n F x " (-1) = ~, • si x > -1 existeix no(x) tal que x > -1 + -;& per a tot n :::;. no, i per tant limn F x " (x) = 1. Així, per a tot x i' -1, limnFx,,(x) = F(x), on F és la funció de distribució de la variable X == -1. Tenim, doncs, que Fx,,(x) convergeix a F(x) en tot punt de continuïtat de F, de manera que hi ha convergència en llei

Com que el límit és una constant, tenim també convergència en probabilitat p X n --+ -1. n-+oo

(b) Fixem-nos que 1 -1 - n 2

::;

Xn(w) ::; -1

1

+ n2

q.s.,

i, per tant,

-1

=

liminf n-+oo

(-1 ---;) : ; n

liminf Xn(w) n-+oo

::; limsupXn(w) ::; limsup n---+CXJ

n---+CXJ

(-1 ---;)

En particular lim Xn(w) = -1 q.s.,

n-+oo

n

=

-1.

CAPÍTOL 5. SUCCESSIONS DE VARIABLES ALEATÒRIES

222

o de manera equivalent

Comprovem ara la convergència en L2:

E [IXn + 112]

J

-1+~ ~

-1-~

(.r + 1)

r 2"4 LI

-1+

n

2

[

~+1 2

~

4y 11 + :rl

(:r)d:r

1

-;;7

(x

(X+l)2+1 3

n

n

2

+ 1)

2-1. 2

~ l-1+~ _)

dx 1 5n 4

= - - ---*

o.

n-->00

Per tant,

15.

(a) Sigui {À n , n ~ I} una successió creixent de nombres naturals amb lim n Àn = 00. Considerem una successió {X n , n ~ I} de variables aleatòries de Poisson, X n rv Pois(À n ). Demostreu que

(b) Considerem ara una successió creixent {Àn, n ~ I} de nombres reals positius amb limn Àn = 00. Demostreu que el resultat de l'apartat anterior continua complint-se.

Solució: (a) Considerem una successió {Yn , n ~ I} de variables aleatòries i.i.d., amb llei de Poisson de paràmetre 1, Pois(l). Pel teorema del límit central tenim ",n y: _ n r L..,i=l' ~ Z rv N(O, 1). (5.6.3)

Fn

n->oo

Com que la suma de variables independents de llei Poisson segueix també una llei de Poisson de paràmetre la suma de paràmetrefi, tenim que L~1 li rvPois(n). És a dir, les variables aleatòriefi YÀ~ i X n tenen la mateixa llei. Per tant,

5.6. PROBLEMES

223

Utilitzant (5.6.3) i que

.

hm P n-----tCXJ

Àn ----> 00

tenim:

(X A~

-s:: x )

n

Àn Àn

= FN(o

'

l)(x),

on F N (o,l) és la funció de distribució d'una normal estàndard. Això ens dóna el resultat que volíem demostrar. (b) Podem expressar cada {Àn} com Àn = [Ànl + r n , on [.l denota la part sencera. Observem que per a tot n ~ l, -s:: r n < 1. Considerem dues successions independents {Yn}~l i {Zn}~l de variables aleatòries independents tals que Y n ",Pois([À n ]), Zn ",Pois(rn ). Així, Y n + Zn és una variable de Poisson de paràmetre [Ànl + r n = Àn , és a dir, té la mateixa llei que la variable XnPer tant, estudiar la convergència en llei de la successió

°

X'\n ~ Àn

A és equivalent a estudiar la convergència en llei de la successió

Y n +Zn

~

[Ànl ~rn

-----'-'---;::=-'-'-'-_...:.::. =

A

Yn

~

[Ànl

A

Zn ~rn + --===-

A'

Aplicant el teorema de Slutsky, n'hi ha prou demostrant que el primer sumand convergeix en llei a una N(O, 1) i el segon sumand convergeix a zero. Per tractar el primer sumand, observem que de l'apartat a s'obté

Aleshores, aplicant de nou el teorema de Slutsky i tenint en compte que

@. n~ l, tenim que

Finalment demostrarem que Zn~rn

A

L2 ---->

O.

n-+OQ

Com que la convergència en L 2 és més forta que la convergència en llei, quedarà demostrat el que volíem. Observem que

CAPÍTOL 5. SUCCESSIONS DE VARIABLES ALEATÒRIES

224

16. Sigui {Xn , n P(X n

~

2} una successió de variables aleatòries amb lleis

= n) = P(Xn = -n) =

1

P(X n = O) = 1 - -

¡;;;,

2

nfo

nyn

Estudieu la convergència en probabilitat i en L 1 de la successió

.

~.

Solució: No podem aplicar la llei forta dels grans nombres, ja que les variables no són independents. D'altra banda, les variables X n tendeixen a zero en probabilitat, per tant sembla raonable provar el zero com a possible límit de la successió de les mitjanes aritmètiques. Estudiem primer la convergència en U. Observem que

amb

1

1

2i

2

E( IXil) = I - il.ZyZr: + Iii.zyzr: = ZyZ . r: = e yZ Així, ---->

O,

n---t(X)

ja que 1

00

L

i 5/ 4

< 00.

i=l

Hem demostrat que zero en probabilitat.

~ convergeix a O en

LI, per tant convergeix també a

17. Teorema de Slutsky. Siguin {X n , n ~ I} i {Y", n de variables aleatòries i sigui e E ~ tals que Xn

L ----> n->oo

X

Demostreu les convergències següents: (1') X n

L X + e, + v'L" n->oo ---->

(ii) XnYn ~ cX, n->oo

Xn (iii) Yn

L ----> n->CXl

X si e e

-

fe

O.

Yn

L ----> n---+(Xl

c.

~

I} dues successions

5.6. PROBLEMES

225

Solució: Dividirem la demostració en tres etapes. la. etapa) Demostrarem que si cE IR i X n ~ X, aleshores n--->oo

(a) Xn+c (b) eX n

L ---+

n--->oo

L ---+ n--+oo

X+e,

eX.

Veiem-ho: (a) Observem primer que

Fx+c(x) = P (X

+ e 'n------¡.oo

-Xo

Prenent -e > O a l'apartat b2 obtenim el que volíem:

eXn = (-e)( -Xn ) ~ (-e)( -X) = eX. n---+rXJ

2a. etapa) Demostrarem i i ii per al cas e = O. Observem primer que

Y n ~ O==} Y n ~ O ~).

00

i utilitzant les propietats de les funcions de

1- lim Fx(:rk) + lim FX(-Xk) = 1-1 +0 = O. k---+oo

k--+oo

Per tant, hem demostrat que per a tot

E

lim p(IXnYnl >

n---+oo

>O

E)

=

O,

229

5.6. PROBLEMES és a dir que

3a. etapa) Cas general. Observem que per la definició de convergència en probabilitat

Per demostrar i, apliquem primer la segona etapa de la demostració i després l'apartat a de la primera etapa i obtenim:

e ----+ X } e n->oo p ==} X n + Y n - e ----+ X Y n - e ----+ O n->oo n->oo Xn

==}

e

X n + Yn

----+

n->oo

X

+e .

Per demostrar ii, apliquem primer la segona etapa de la demostració i després els apartats b i a de la primera etapa i obtenim:

e ----+ X n->oo

Xn

Yn

-

e

p ----+

n->oo

==}

O

}=

Xn(Yn - e)

+ eXn' n->oo ~ eX.

Finalment per demostrar iii només cal observar que si e Yn

perquè f(x)

=

a la successió

1

p

----+

n~oo

p

e==}-

Yn

=1=

O,

1 e

----+ - , n---+oo

~ és una funció contínua. Aleshores només s'ha d'aplicar ii

{~}

.

n n:::l

18. Sigui X una variable aleatòria amb llei U(O, 1). Sigui O < e de la manera següent:

Z= {X,O,

si si

<

l, definim Z

Xc.

(a) Trobeu la funció de distribució de Z. (b) Sigui {Zn}n>l una successió de variables aleatòries independents i idènticament distribuïdes amb la mateixa llei que Z. Trobeu la funció de distribució de Z(n) = max{Zl,"" Zn}'

CAPÍTOL 5. SUCCESSIONS DE VARIABLES ALEATÒRIES

230

(c) Estudieu la convergència en llei, probabilitat i quasi segura de la successió Zn.

Solució: (a) Observem que Z pren valors en [O, e], aleshores • si z < O, Fz(z) = P(Z :S z) = 0, • si z :::: e, Fz(z) = P(Z :S z) = l. Calculem ara la funció de distribució per als valors de z, O :S z

Fz(z)

= P(Z

:S z)

= P(Z

<

e

:S z, X :S e) + P(Z :S z, X > e)

+ P(O :S z,

=

P(X :S z, X :S e)

=

P(X :S z)

=

Fx(z) + 1 - Fx(c)

X > r)

+ P(X > e) =

z + 1 - e.

(b) La funció de distribució de Z(n) és si si si

O,

FZ(n)(z)

(l+z-et,

=

{ 1,

z < O, O :S z < e, z :::: c.

(c) Per estudiar la convergència en llei de Z(n), calculem el límit de les funcions de distribució. Observem que si O < z < e < 1, aleshores 0< 1 + z - e < 1 i, per tant, limn~oo(1 + z - e)n = O. Així,

z < e, z :::: e.

O si lim FZ(nl (z) = { 1 . Sl

n~oo

L , . Z (n)-----+e. p E, s a d'1r, Z (n)-----+e 1. com que e es una cons t,an"t temm Per estudiar la convergència quasi segura apliquem el primer lema de Borel-Cantelli. Fixem e > O. Definim per a tot n :::: 1, An = {IZ(n) - ci > e}. Aleshores,

P(IZ(n) - ci > e)

P(An)

P(Z(n)

¿:CXJ

Oü

¿: P(An) n=1

=

< e - e)

(1 - e)n =

n=l

=

=

P(c - Z(n) > e)

(1 - e)n,

I-e I-e ( )=< 1- I-e e

Pel lema de Borel-Cantelli tenim P(limsup{IZ(n) - ci> e}) = 0,

00.

5.6. PROBLEMES

231

això és vàlid per a tot

E

> O, per tant, Z (n)

q.S.

--+ C.

n-->oo

19. Siguin X¡ i X 2 dues variables aleatòries amb moment de segon ordre finit. Definim d(X¡,X 2 ) = JE[(X 1 - X 2 )2]. (a) Demostreu que d és una distància a l'espai de les variables aleatòries amb moment de segon ordre finit (identificant les variables aleatòries iguals q.s.). (b) Demostreu que si

E[X~] < 00 per a tot n i X n ~X aleshores, E[X 2 ] <

00.

(c) Demostreu que si E[X~] <

00

per a tot n,

Solució: (a) Per veure que d és una distància cal demostrar que per a tot X, Y, Z variables aleatòries amb moment de segon ordre finit es compleixen les quatre propietats següents: 1) d(X, Y) ~ O. Evident per la definició.

2) d(X, Y) = O ~ X = Y q. s=',.,..,-:~~= En efecte, d(X, Y) = JE[(X - y)2] = O si, i només si, E[(X - y)2] = O i això és cert si, i només si, (X - y)2 = O q.S. i, per tant, si, i només si X = Y q. s. 3) d(X, Y) = d(Y, X). Evident per la definició. 4) d(X, Y) 1. (c) Demostreu que 1

-

17,

¿:" 1{2' X;

,,->(X)

3 4

-.

11. Sigui {X n , nEN} una successió de variables aleatòries independents idènticament distribuïdes amb llei B(l, Demostreu qne la variable Y = L~l 2\Xk segueix una llei U(D, 1).

1)'

5.7. PROBLEMES AMB INDICACIÓ

239

12. Sigui {Xn , nEN} una successió de variables aleatòries independents idènticament distribuïdes amb llei N(O, (72). (a) Demostreu que si Z "-' N(O, 1), aleshores per a tot z > O,

(b) Demostreu que

P (lim sup Xl; :s:: (72) n--+oo 2 n n

= l.

13. Sigui {Xn , n :::: I} una successió de variables aleatòries independents amb funcions de densitat

ix" (x)

=

n(l - x)n-1 1 (O,1)(X).

(a) Estudieu els diferents tipus de convergència de la successió Yn = min(X 1 , X 2 , . . . , X n ). (b) Sigui Zn = n 2 min(X 1 ,X2 , ... , X n ). Trobeu, si existeix, el límit en llei de Zn' (c) Definim Un = (l-x n )n. Trobeu la llei de Un' Estudieu la convergència quasi segura de 2.:7=1 Ui.

*

14. Sigui {X n , n:::: l}una successió de variables aleatòries independents idènticament distribuïdes amb E[Xnl = a i Var[Xnl = (72 < 00. Definim:

Yn

L

=

XiXj .

l::;i O). Sigui Y n = :;:;:I;~=lXi. Determineu per a quins valors de et es pot esperar convergència en L 2 de la successió {Yn }n> 1. 16. Siguin {X n n :::: I} i {Yn n :::: I} dues successions de variables aleatòries independents amb lleis: P(Xn = O) = 1 -

P(Yn = O) = 1 -

~,

*,

Definim Zn = XnYn per a tot n :::: 1.

240

CAPÍTOL 5. SUCCESSIONS DE VARIABLES ALEATÒRIES (a) Calculeu les funcions de distribució de X n , Yn i Zn. (b) Demostreu que les tres successions convergeixen en llei. (c) Demostreu que la convergència de la successió {Zn} n> 1 també és vàlida quasi segurament, mentre que {X n }n21 {Yn }n21 convergeixen en probabilitat però no quasi segurament.

(a) Sigui {Xn}n>l

una successió de variables aleatòries amb llei X n rv N('L n , a;), on {¡Ln}n>l i {a;}n>l són dues successions de nombres reals convergents fLn IL, i a; ----t a 2 (a > O). Demostreu que {Xn}n>l convergeix en llei a una N('L, a 2 ).

17.

-=--.

(b) Sigui {Yn}~=l una successió de variables aleatòries amb llei N(O, a 2 ). Considerem la successió {Zn} n21 definida recursivament per

Zo

=

z,

Zn+l = aXn

+ Zn+l,

n ~ 0,

on Z, a E lR., Iai < 1. Trobeu la llei de Zn. Demostreu que {Zn}n>l convergeix en llei a una variable que determinareu. 18. Sigui {(X n , Yn ), n

~

I} una successió de vectors independents amb llei:

Sigui Z una variable independent de la successió de vectors. Definim per a tot n E N, Zn = Z + X n + Y n . Estudieu la convergència quasi segura de 1

n

-¿Zk. n k=l

5.7.1 1.

Indicacions (a) La variable Yn només pot prendre tres valors, {-l, O, I}. Utilitzant la independència entre les variables X n i X n - 1 , obtenim P(Yn

= 1) = P(Yn = -1) =

1

R

3 P(Yn = O) = -. 4

(b) Les variables Yn i Ym seran independents si no tenen cap Xi en comú, és a dir, si n -=1= m - 1, m, m + 1. En cas contrari, observem per exemple

5.7. PROBLEMES AMB INDICACIÓ

241

que

P(Yn

=

1, Yn +1 = 1)

P(XnXn+l = 1, X n+1 X n+2 = 1) P(Xn = 1, X n+1 = 1, X n+2 = 1) +P(Xn = -1,Xn+1 = -1,Xn+2 = -1) 1 32'

que no és igual al producte de probabilitats. Quan Yn i Y m són independents, ja sabem que són incorrelacionades. En el cas en què no tenim independència, com que E[Yi] = per a tot i, tenim que

°

(e) n

2:: E[Yi]

= 0,

i=l

:t ;=1

Var[Yi]

+ 2:: Cov(YiYj)

=

nVar[Y1 ] =

¡.

if.j

(d) Utilitzant la desigualtat de Txebixev i el càlcul de la variància de l'apartat anterior obtenim

P

(I I> é) : :; ~Var[Sn] Sn n

é

n

-+

n->oo

O.

No es pot aplicar la llei forta dels grans nombres perquè les variables Yn no són independents. 2.

(a) Com que F és una funció creixent,

La variable F(XJ) segueix una distribució uniforme U(O, 1) (vegeu del tema 2 l'exercici 14). Així, F(Mn ) és el màxim de n uniformes U(O, 1) i, per tant, té densitat

i esperança

E[F(Mn )]

n

=-.

n+1

CAPÍTOL 5. SUCCESSIONS DE VARIABLES ALEATÒRIES

242

(b) Per la convergència en probabilitat, per a

E

petit, calculem

P(1 - F(Mn ) >

E)

P(F(Mn ) < 1 - E)

=

(1 - E)n,

que convergeix a O quan n tendeix cap a +00. La convergència quasi segura s'obté observant que la succesflió F(Mn ) és creixent i que convergeix quasi segurament (vegeu el cOTOl·lari 4.17). 3. Sigui m la quantitat física que es vol meflurar. Sigui Xi, i = 1, ... ,10, el resultat del mesurament i-èsim, de manera que Xi = m + Ci on les ei són variables uniformes U( -~, Recordem que E[c;] = O i Varh] = -12. Utilitzant el teorema del límit central per aproximar la probabilitat demanada obtenim

t).

p(l2:i~~Xi -ml < 210)

lei

;::::: on Z 4.

rv

1

p(l2:i;O l< 20) P

(IZI < ¡-[;)

=

0,4161,

N(O, 1).

Xi

(a) Definim la variable que pren el valor 1 si surt un sis a la tirada i-èsima i pren el valor O, altrament. Podem calcular E[Xi ] = Var(Xi ) = Utilitzem el teorema del límit central per aproximar

i

:6.

2:{.000 Xi -

3.000i 5

3.000 3 6 a una distribució normal N(O, 1). Obtenim, així, P 490 (

<

8 Xi

3.000

< 510

)

;::::: P( -0,4899

< Z < 0,4899)

=

0, :37fi8.

(b) Si Z és una distribució normal N(O, 1) i impoflem la condició

P(-u