Probabilité et statistique ENCG CASABLANCA

Calcul des probabilités Issam Elhattab École Nationale de Commerce et de Gestion - Casablanca Université Hassan II - Mohammedia

2012 - 2013

I. Elhattab (ENCG)

Calcul des probabilités

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Sommaire

1

Notions de base

2

Définition de probabilité

3

Probabilité conditionnelle et indépendance

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Notions de base

Notions de base

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Notions de base

Notions de base : 1

Expérience aléatoire ;

2

Ensemble fondamental ;

3

Événement ;

4

Opérations sur les événements ;

5

Diagramme de Venn ;

6

Tribu des événements ;

7

Partition de l'ensemble fondamental.

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Notions de base

Expérience aléatoire

Définition Nous appellerons expérience aléatoire toute action ou processus qui engendre des résultats ou des observations et dont on ne peut prédire avec certitude le résultat.

Exemple 1

Peut-on prédire avec certitude le résultat du lancement d’une pièce de monnaie ?

2

Peut-on prédire avec certitude le résultat du jet d’un ou de plusieurs dés ?

3

Peut-on prédire avec certitude le temps d’attente d’une rame de train ?

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Notions de base

Ensemble fondamental

Définition Nous appellerons ensemble fondamental ou encore espace échantillon l'ensemble de tous les résultats possible d'une expérience aléatoire. Cet ensemble est généralement désigné par Ω.

Exemple 1

Considérons l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé. L’ensemble fondamental qui lui est associé contient tous les résultats possibles de ce lancement : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

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Notions de base

Événement

Définition Nous appellerons événement tout sous-ensemble (ou partie) de l'ensemble fondamental Ω. Un événement sera dit élémentaire s'il ne contient qu'un seul élément de Ω, et, composé s'il contient plusieurs éléments de Ω.

Exemple 1

Considérons une expérience aléatoire dont l’ensemble fondamental Ω = {1, 2, 3}. Les événements de Ω sont : ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, Ω.

2

Considérons une expérience aléatoire dont l’ensemble fondamental Ω = {1, 2, 3, 4}. Les événements de Ω sont : ∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, Ω.

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Notions de base

Opérations sur les événements

Considérons, tout au long de ce paragraphe, les événements l'ensemble fondamental

Ω,

E , E1

et

E2

de

et reprenons l'exemple du jet d'un dé.

Implication L'événement E1 implique l'événement E2 si le sous-ensemble E1 est inclus dans E2 . On écrit E1 ⊆ E2 . L'événement E2 se réalise chaque fois que E1 est obtenu. Ex :

{2, 6} ⊆ {2, 4, 6}.

Égalité Les événements E1 et E2 sont égaux s'ils sont composés des mêmes éléments. On écrit E1 = E2 . L'événement E2 se réalise chaque fois que E1 est obtenu et vice versa. Ex :

{avoir

un nombre impair}

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= {1, 3, 5}.

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Notions de base

Opérations sur les événements

Réunion La réunion des deux événements E1 et E2 est le sous-ensemble composé des éléments de E1 et de E2 . On écrit E1 ∪ E2 . C'est l'événement qui se réalise quand au moins un des deux événements E1 ou E2 se réalise. Ex :

{1, 2, 5} ∪ {1, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.

Intersection L'intersection des deux événements E1 et E2 est le sous-ensemble composé des éléments communs de E1 et E2 . On écrit E1 ∩ E2 . C'est l'événement qui se réalise seulement si E1 et E2 se réalisent simultanément. Ex :

{1, 2, 5} ∩ {1, 3, 4, 5} = {1, 5}.

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Notions de base

Opérations sur les événements

La différence La différence E1 \ E2 entre E1 et E2 est l'ensemble composé des éléments de E1 qui n'appartiennent pas à E2 . Autrement E1 \ E2 = E1 ∩ E2 . C'est l'événement qui se réalise quand E1 se réalise et E2 ne se réalise pas. Ex :

{1, 2, 5} \ {1, 3, 4, 5} = {2}.

Le complémentaire L'événement complémentaire ou contraire de E est le sous-ensemble composé des éléments de Ω qui n'appartiennent pas à E. On écrit E. C'est l'événement qui se réalise quand E ne se réalise pas (et vice-versa). Ex :

{1, 2, 5} = {3, 4, 6},

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Ω = ∅,

∅ = Ω.

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Notions de base

A

Diagramme de Venn

B

A

A∪B

A

A∩B

B

A

A\B

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B

A

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Notions de base

Tribu des événements

Définition Soit un ensemble fondamental Ω. Une famille A de parties de Ω est appelée une tribu si : 1 2 3

Ω appartient à A. Si E ∈ A, alors E ∈ A. Si (Ei )i∈I est une famille dénombrable d'éléments de A, alors ∪i∈I Ei ∈ A.

Tout élément de la tribu

A

est appelé un événement de

Ω.

Exemple Soit Ω un ensemble fondamental, et, A et B deux événements de Ω. Laquelle des familles d’événements suivantes est une tribu : 1

A = {∅, Ω};

2

B = {∅, Ω, A, B};

3

C = {∅, Ω, A, A}.

4

D = {∅, Ω, A, A, A ∪ B, A ∪ B, A ∪ B, A ∪ B}.

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Notions de base

Tribu des événements

Théorème Soit A, B et C trois événements de Ω : 1 2 3

A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Démonstration 1 2 3

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Notions de base

Partition de l’ensemble fondamental

Définition Nous appellerons une partition toute suite d'événements E1 , E2 , . . . , En , mutuellement exclusifs deux à deux (Ei ∩ Ej = ∅, ∀i 6= j), tels que E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En = Ω.

Exemple Considérons le jet d’un dé. Les suites d’événements suivantes constituent des partition de Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} : 1

{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6};

2

{1, 2}, {4}, {3, 5, 6};

3

{1, 3, 5}, {2, 4, 6}.

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Définition de probabilité

Définition de probabilité

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Définition de probabilité

Définition classique

Définition Soit une expérience aléatoire pouvant conduire à n résultats distincts et rôle symétrique ou équiprobables, et que parmi ces derniers, on peut dénombrer N(E) qui sont favorable à l'arrivée d'un événement E, la probabilité de voir se réaliser celui-ci est donné par : P(E) =

nombre de cas favorables à la réalisation de

E

nombre de cas possibles

=

N(E) Crad(E) = . n Card(Ω)

Exemple Lancement d’un dé équilibré. Soit les événements suivants : A = { avoir 1}, B = { avoir un nombre divisible par 3},

C = { avoir un nombre pair }.

Donc P(A) = 1/6, P(B) = 1/3, P(C) = 1/2. I. Elhattab (ENCG)

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Définition de probabilité

Définition fréquentiste

Définition Soit une expérience aléatoire répétée n fois de manière indépendante et identique et n(E) le nombre de réalisation de E au cours des n répétitions. On constate que, lorsque n s'accroît, la fréquence fn (E) = n(E)/n se stabilise autour d'une valeur limite qu'on identie à la probabilité d'obtenir l'événement E : n(E) . P(E) = lim n→∞ n

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Définition de probabilité

Définition axiomatique

Définition Dénir la probabilité P(E) d'obtenir un événement E consiste à associer à ce dernier un nombre réel satisfaisant aux axiomes suivants : Axiom 1 : 0 ≤ P(E) ≤ 1. Axiom 2 : P(Ω) = 1. Axiom 3 :

Si

E1 , E2 , . . . , En sont n événements ∩ Ej = ∅, ∀i 6= j) ; alors :

mutuellement exclusifs

(Ei

P(E1 ∪E2 ∪· · ·∪En ) = P(E1 )+P(E2 )+· · ·+P(En ),

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n = 1, 2, . . . , ∞.

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Définition de probabilité

Théorème

Théorème Soit E et F deux événements de Ω, alors : 1

P(E) = 1 − P(E) ;

2

P(E ∪ F) = P(E) + P(F) − P(E ∩ F).

Démonstration 1

Il est clair que E ∪ E = Ω, donc : P(E ∪ E) = P(Ω). D’après l’axiom 2, P(Ω) = 1, et, d’après l’axiom 3, P(E ∪ E) = P(E) + P(E), par conséquent : P(E) + P(E) = 1, c’est-à-dire, P(E) = 1 − P(E).

2

Remarquons que E ∪ F = E ∪ (F ∩ E), donc d’après l’axiom 3, P(E ∪ F) = P(E) + P(F ∩ E). De même F = (F ∩ E) ∪ (F ∩ E), donc d’après l’axiom 3, P(F) = P(F ∩ E) + P(F ∩ E), c’est-à-dire, P(F ∩ E) = P(F) − P(F ∩ E). Par conséquent, P(E ∪ F) = P(E) + P(F) − P(F ∩ E).

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Probabilité conditionnelle et indépendance

Probabilité conditionnelle et indépendance

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Probabilité conditionnelle et indépendance

Probabilité conditionnelle

Définition Soit E et F deux événements. La probabilité, notée P(E|F), que l'événement E se réalise sachant que l'événement F s'est réalisé est dénie par : P(E|F) =

P(E ∩ F) . P(F)

Exemple Lancement d’un dé équilibré. Soit les événements suivants : E = {1, 2, 3}. F = { avoir un nombre impair }. Donc P(E|F) =

P(E ∩ F) = P(F)

2 6 3 6

=

2 . 3

Remarque Attention, en général, P(E|F) 6= P(F|E). I. Elhattab (ENCG)

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Probabilité conditionnelle et indépendance

Probabilité conditionnelle

Théorème Soit E, F et G trois événements de Ω, alors : 1

P(F|E) × P(E) = P(E|F) × P(F) = P(E ∩ F) ;

2

P(E ∩ F ∩ G) = P(E) × P(F|E) × P(G|E ∩ F).

Démonstration 1

Par définition P(E|F) = P(E ∩ F)/P(F), donc P(E ∩ F) = P(E|F)P(F), de même, P(E ∩ F) = P(F|E)P(E). Par conséquent, P(E ∩ F) = P(E|F)P(F) = P(F|E)P(E).

2

P(E ∩ F ∩ G) = P((E ∩ F) ∩ G) = P(G|E ∩ F)P(E ∩ F) = P(G|E ∩ F)P(F|E)P(E).

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Probabilité conditionnelle et indépendance

Indépendance

Définition Soit E et F deux événements. Si P(E|F) = P(E), autrement dit, si l'information fourni par la réalisation de F ne modie en rien la probabilité de E, l'événement E est alors dit indépendant de F .

Exemple Lancement de deux pièces de monnaie bien équilibrées. Sachant que face est le résultat du lancement de la première pièce, quelle est la probabilité que le résultat du lancement de la deuxième pièce soit aussi face ? On a Ω = {(P1 , P2 ), (P1 , F2 ), (F1 , P2 ), (F1 , F2 )}. Soit A = {(P1 , F2 ), (F1 , F2 )} et B = {(F1 , P2 ), (F1 , F2 )}. Remarquons que P(A ∩ B) = 1/4, et que, P(B) = 1/2, donc P(A|B) = 1/2, or, P(A) = 1/2, par conséquent : P(A|B) = P(A). Conclusion : A et B sont indépendants. Intuitivement, le résultat de la première pièce ne modifie en rien le résultat de la deuxième pièce.

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Probabilité conditionnelle et indépendance

Indépendance

Théorème Soit E et F deux événements de Ω, alors on a l’équivalence suivante : E et F sont indépendants

⇔

P(E ∩ F) = P(E) × P(F).

Exemple Lancement de deux pièces de monnaie bien équilibrées. On a donc Ω = {(P1 , P2 ), (P1 , F2 ), (F1 , P2 ), (F1 , F2 )}. Soit A = {(P1 , F2 ), (F1 , F2 )} et B = {(F1 , P2 ), (F1 , F2 )}. Remarquons que P(A ∩ B) = 1/4, et que, P(A) = 1/2 et P(B) = 1/2. D’où : P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Conclusion : A et B sont indépendants.

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Probabilité conditionnelle et indépendance

Indépendance

Théorème (des probabilités totales) Si E1 , E2 , . . . , En une partition de l’ensemble fondamental, et, A un événement quelconque, alors : P(A) =

n X

P(Ei )P(A|Ei ).

i=1

Théorème (de Bayes) Si E1 , E2 , . . . , En une partition de l’ensemble fondamental, et, A un événement quelconque, alors : P(Ei )P(A|Ei ) P(Ei |A) = Pn , i=1 P(Ei )P(A|Ei )

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i = 1, . . . , n.

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Probabilité conditionnelle et indépendance

Indépendance

Exercice On classe les gérants de portefeuille en deux catégories : ceux qui sont bien informés et ceux qui ne le sont pas. Lorsqu’un gérant bien informé achète une valeur boursière pour son client, la probabilité que le cours de celle-ci monte est de 0.8 ; dans le cas d’un gérant mal informé, cette probabilité ne vaut que 0.5. Si on choisit au hasard un gérant dans un annuaire professionnel, la probabilité qu’il soit bien informé est de 0.2. Calculer la probabilité que le gérant ainsi choisi soit mal informé, sachant que la valeur qu’il a acheté a monté.

Solution Soit les événements GMI = {Le gérant est mal informé}, GBI = {Le gérant est bien informé} et M = {La valeur a monté}. Les informations de l’énoncé se traduisent par les probabilités P(M|GBI) = 0.8, P(M|GMI) = 0.5 et P(GBI) = 0.2. L’objectif est de calculer P(GMI|M). D’après la formule de Bayes, on a : P(GMI|M)

= =

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P(GMI ∩ M) P(GMI)P(M|GMI) = P(M) P(GMI)P(M|GMI) + P(GBI)P(M|GBI) 0.8 × 0.5 5 = 0.8 × 0.5 + 0.2 × 0.8 7

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