Probabilidades

PROBABILIDADES DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD Sea el evento A, el espacio muestral Ω, entonces la probabilidad del evento A

 P ( A) =

n( A) n ( Ω)

=

 N ° Elementos. EventoA  Ev entoA  N ° Elementos. EspacioMue stral 

es:

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sean A y B dos eventos de un espacio muestral la probabilidad de B dado A, es el numero P (B/A) que se define por. Se lee:  P ( B /  A) =

 P ( A  B )  P ( A)

“la probabilidad que B ocurra dado que A ha Ocurrido ” Ó“ la probabilidad de B dado A ”.

,  P ( A)  0

PARTICIÓN PARTICIÓN DEL ESPACIO MUESTRAL Se denomina partición partición del espacio muestral muestral Ω, a una colección de  eventos A !,A",#,A $  que sean e%cl e%cluy uyen ente tes s y cuya cuya unió unión n es el espa espaci cio o mues muestr tral al Ω, es decir decir,, tales tales que verifi verifican can las si&uie si&uiente ntes s condiciones: !) P (Ai) '  , para cada i  !, ", #,  ") Ai ∩ A*  φ ∀i ≠

A1

A2

…

AK 

B

Partición de

p robabilidad total) TEOREMA (Regla de la probabilidad Si  eventos: A!, A ",#, A$, constituyen una partición del espacio muestral Ω, entonces, para cualquier evento B en Ω.

P (B) = ∑ P (Ai) P (B/Ai)

k

i!

TEOREMA (Regla de Bayes) Si los  eventos: A!,A",#,A $ ,constituyen una partición del espacio muestral Ω, entonces, para cualquier evento B de tal que P(B) >

 P ( Ai /  B) =

 P ( Ai ) P ( Bi /  Ai )

 

 P ( B)

, i = 1,2,.., k 

EJERCICIOS 9: PROBABILIDADES !.

+allar el spacio -uestral de los si&uientes e%perimentos: a) acimiento de un ser umano en relación al se%o. 0A12 3 -451 b) 1esultado de la evaluación nutricional de un menor de edad. 461782 3 8S461782 c) 1esultado del partido de 0óley entre Per9 y Brasil. AA1 3 P181 d) 6ipo de elasticidad de la demanda del producto ;AS67?A @ 7>AS67?A 3 476A17A

".

8e una ca*a que contiene  bolas ro*as,  blancas y C aDules se e%trae una al aDar. 8eterminar  la probabilidad de que sea (a) ro*a, (b) blanca, (c) aDul, (d ) no ro*a (e) ro*a o blanca (a) P (ro*a)

 /!C

(b) P (blanca)

 /!C

(c) P (aDul)

 C/!C

(d) P (no ro*a)

 E/!C

(e) P (ro*a o blanca) !/!C F.

n una muestra aleatoria de !" pacientes, se encontró que F de ellos tienen cGncer. H?uGl es la probabilidad de que un paciente ele&ido al aDar: a) H6en&a cGncerI

: P(cGncer)  F/!"

b) Ho ten&a cGncerI : P (no cGncer)  E/!" .

Sea el e%perimento: ;Se lanDan dos monedas simultGneamente=. +allar: a) l espacio muestral. HSon los resultados mutuamente e%cluyentesI HPor quJI l espacio muestral seria cara y sello b) >a probabilidad de obtener " caras n(b) ! P(b)  33333333  33333333 K (b)  c)

>a probabilidad de que la primera moneda arro*e cara. n(c) ! P(c)  33333333  33333333 K (c) "

d) >a probabilidad de obtener ! sello y ! cara "?AB"C8LA

n(d) P(d)  33333333 K (d)

C.



" 33333333 

6res electores ele&idos al aDar deben e%presar su opinión favorable o contraria a un proyecto de ley sobre comercio ambulatorio. Si se desi&nan las opiniones por F   (favorable) y C  (contrario), allar: a) l espacio muestral del e%perimento. HSon los resultados mutuamente e%cluyentesI HPor  quJI Lavorable y contrario b) Probabilidad de que dos electores estJn en contra de la propuesta. n(b) " P(b)  33333333  33333333 K (b) M c) Probabilidad de que los F electores estJn en contra o los F electores estGn a favor de la propuesta. n(c) " P(c)  33333333  33333333 K (c) M d) Probabilidad de que por lo menos ! elector se opon&a a la propuesta. n(d) F P(d)  33333333  33333333 K (d) M

.

4na encuesta a ! personas para determinar la influencia de la televisión en el consumo de conservas enlatadas, arro*ó los si&uientes resultados:  consumNan conservas d e la marca ;72(-)

L-72 (L)

626A>

" @ "E (!)



"



F @ FE (")

F

"

C

 @ E (F)

FC

"

CE

C @ CE ()

"

C

"C

626A>

!"C

QC

"

Si se selecciona una entrevista al aDar. H?uGl es la probabilidad de que: a) ?orresponda a una persona de " a "E aRos de edadI  P ( A) =

n( A) n( Ω )

=

60 200

=

0,3

b) ?orresponda a una persona del se%o masculinoI

 P ( B) = c)

n( B ) n (Ω )

=

125 200

=

0,625

?orresponda a una persona entre " a "E aRos de edad o del se%o masculinoI  P (C ) =

n(C ) n (Ω )

=

40 200

=

0,2

d) ?orresponda a una persona que ten&a entre " a "E aRos de edad o entre F y FE aRos de edadI  P ( D ) =

n( D ) n (Ω )

=

116 200

=

0,58

e) ?orresponda a una persona que sea del se%o masculino o femeninoI  P ( A) =

f)

n (Ω )

=

200 200

=1

?orresponda a una persona de  a E aRos de edad, dado que es del se%o mas  P ( A) =

E.

n( A)

n( A) n(Ω)

=

35 200

=

0,175

>a probabilidad de que un sociólo&o entreviste a por lo menos tres familias en un dNa, es ,F. H?uGl es la probabilidad de que entreviste a , ! ó " familias en ese dNaI.

!. n la ?ooperativa de Aorro y ?rJdito San -artNn, la &erencia sabe por e%periencia que la probabilidad de que un socio pa&ue a tiempo su prJstamo es de ,MO ademGs sabe que el C de los prJstamos pa&ados a tiempo an sido para financiar compra de artefactos elJctricos y el C de los prJstamos no pa&ados a tiempo an sido para el mismo fin. ?alcular  la probabilidad de que un prJstamo que se aya eco para financiar l a compra de un artefacto elJctrico, no se pa&ue a tiempo. !!. >a mpresa A>P+A estG considerando realiDar un seminario de capacitación. 8e acuerdo con un estudio de mercado, la probabilidad que el seminario ten&a J%ito es ,M si su competencia, la empresa B6A no realiDa un seminario similarO en tanto que la probabilidad de J%ito es ,F si la empresa Beteta realiDa un seminario similar. AdemGs, la empresa A>P+A, estima que ay una probabilidad de , de que la empresa B6A realice el seminario. 8ado que el seminario de A>P+AO tuvo J%ito, H?uGl es la probabilidad que la empresa B6A, aya realiDado el seminarioI

AUTOEVALUACION !.

4n e%perimento consiste en ele&ir tres reciJn nacidos en un ospital de maternidad, en un dNa determinado, y observar si son de se%o masculino (-) o femenino (L). a) numerar todos los elementos del espacio muestral.  A T(LLL) O(LL-) O(L-L) O(L--) O(-LL) O(-L-) O(--L) O(---)U b) numerar los elementos contenidos en el suceso que el n9mero de varoncitos nacidos, sea cero. B TLLLU c) ?alcular la probabilidad de encontrar : i) 8os reciJn nacidos del se%o masculino  P (i ) =

ii)

n (i ) n ( Ω)

=

8

0,375

n(ii ) n( Ω )

=

3 8

=

0,375

A lo mGs ! nacimiento varón  P (iii ) =

iv)

3

Por lo menos ! reciJn nacido del se%o femenino  P (ii ) =

iii)

=

n(iii ) n ( Ω)

=

3 8

=

0,375

in&9n reciJn nacido del se%o femenino  P (iv ) =

n(iv ) n (Ω )

=

1 8

=

0,125

". Se convocó a un concurso para ocupar la plaDa de 8irección de mpresas de ducación ?ontinua. A dico concurso se presentaron "C especialistas, de las cuales !" profesionales en 2bstetricia, M Administradores y C profesores. Si se selecciona un profesional al aDar  para la entrevista. H?uGl es la probabilidad que se eli*aI a) 4n Administrador.

 P ( A) =

n( A) n( Ω )

=

8 25

=

0,32

b) 4n Profesional en 2bstetricia o un profesor 

 P ( B) =

n( B) n( Ω )

=

17 25

=

0,68

c) 4n Administrador o un profesor.

 P (C ) =

n(C ) n ( Ω)

=

13 25

=

0,52

F. Se an llevado a cabo numerosos estudios intensivos de la planeación de acer cursos a distancia, especNficamente a niveles tJcnicos. n uno de estos estudios se le pre&untó a ! *óvenes si estaban planeando acceder a este sistema, los cuales Q manifestaron que sN estaban planeando. 4nos meses despuJs se entrevistó a las mismas personas para ver  si realmente accedieron a este sistema, M manifestaron que no accedieron a este sistema, sin embar&o ! que no abNan planeado, estGn en estos cursos. +acer la tabulación cruDada. 6otal

a.

6otal -encione un evento simple y ademGs un evento compuesto.

33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 b.

?uGl es el complemento de planear acceder a este sistema de estudios a distanciaI

33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 c. ?uGl es la probabilidad, de que un *oven ele&ido al aDar aya planeado acceder a este sistemaI  VVVVVVVVVVVVVVVVVVV VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV  d. ?uGl es la probabilidad que no aya planeado acceder a este sistema y realmente no aya accedidoI  VVVVVVVVVVVVVVVVVVV VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV  e. Si el encuestado planeó acceder a este sistema. ?uGl es la probabilidad que realmente aya accedidoI ---------------------------

----------------------------

-----------------------------

------------------------

---------------------------

.

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-----------------------------

------------------------

?onsultores AmaDónicos, realiDa un estudio de mercado, sobre las tar*etas de crJdito a un &rupo de "! personas entre ombres y mu*eres en una tarde de muco movimiento comercial en el centro de la ciudad.  manifestaron que tienen tar*etas de crJdito bancario del 7nterbanO !F, mostraron que tienen tar*eta de crJdito comercial de >a 7nmaculadaO  tienen tar*etas de crJdito del Banco de ?rJdito y de la 7nmaculadaO M tienen tar*eta de crJdito del banco ?ontinental, de los cuales el C, tiene de tiendas titoWs -aret. 6otal

6otal a.

?alcular la probabilidad de ele&ir al aDar a un transe9nte y que posea tar*eta de crJdito del banco continental.  VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV 

b.

?alcular la probabilidad de ele&ir al aDar a un entrevistado y que ten&a tar*eta comercial de >a 7nmaculada o de 6itoWs.  VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV 

c.

?alcular la probabilidad de ele&ir al aDar a un entrevistado y que ten&a tar*eta del 7nterban o de la 7nmaculada.  VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV   VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV 

d. Supon&a que sabemos que el entrevistado ten&a tar*eta de la 7nmaculada H?uGl es la probabilidad que ten&a tar*eta del ?ontinentalI  VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV   VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV  e.

Si un entrevistado tiene una tar*eta de crJdito comercial de 6itoXs. H?uGl es la probabilidad de no ten&a tar*eta del 7nterbanI  VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV   VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV