PROBABILIDADES

PROBABILIDADES Formulación Matemática de Probabilidad.- Es una rama de las matemáticas que trata de la incertidumbre Definición.- Es un número de 0 a 1, que le asignamos a un fenómeno para indicar su posibilidad de ocurrir. Probabilidad según el concepto de frecuencia relativa (concepto estadístico).- Consideremos un evento E que se produce en n repeticiones o ensayos de algún experimento. De acuerdo con el concepto de frecuencia relativa, la probabilidad del evento E, es igual a la frecuencia relativa de ocurrencia del evento E. Entonces podemos decir que: Si un suceso puede ocurrir en H maneras diferentes de un número total de n maneras posibles, todos igualmente factibles, entonces la probabilidad del suceso es h/n Definiciones: a.- Experimento.- Es cualquier operación cuyo resultado no puede predecirse con exactitud. Ejemplo: Lanzar un dado y ver el número que sale. b.- Espacio Muestral.- Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Lo representamos por S. c.- Evento o suceso.- Es cualquier sub conjunto del espacio muestral d.- Evento cierto o seguro.- Un evento es cierto o seguro si es igual al espacio muestral. Se le asigna probabilidad igual a 1. e.- Evento Imposible.- Un evento es imposible sie es igual al conjunto vacío. Se le asigna probabilidad igual a 0. f.- Sucesos mutuamente excluyentes.- Dos o mas sucesos son mutuamente excluyentes si no pueden suceder a la vez, es decir, la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia de los demás. Ejemplo: Si el experimento es lanzar un dado y ver el número que sale, Los eventos: A = Sale número par B = Sale número impar son eventos mutuamente excluyentes, pues no pueden ocurrir a la vez. 1

Propiedades y axiomas que debe cumplir la probabilidad del evento A:

[

1.- 0 ≤ P(A) ≤ 1 La frecuencia relativa ∈ 0 ,1

]

2.- P (S) = 1 3.- P (A1 U A2 U A3 U ……An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + …….…P(An) Si Ai ∩ Aj = Ǿ ; ¥ i,j

Teoremas Fundamentales Teorema 1 .- Si Ǿ es el conjunto vacío, entonces P(Ǿ) = 0 Demost.- Para cualquier suceso A, A = A U Ǿ, como A y Ǿ son mutuamente excluyentes: A=AUǾ P(A) = P(AUǾ) P(A) = P(A) + P(Ǿ) P(A) - P(A) = P(Ǿ) 0 = P(Ǿ) Nota.- El recíproco de este teorema no siempre es verdadero. Esto es si P(A) = 0 en general no podemos concluir que A = Ø, porque hay situaciones en que asignamos probabilidad cero a un suceso que puede ocurrir, solo que es muy pequeño Ej. 0.0000001

Teorema 2 .- Si P(A)=1- P( A ) Demostración:

A

es el suceso complementario de A, entonces

S=AUĀ P(S) = P(A) + P(Ā) P(A) = 1 – P(Ā) Este teorema es muy útil porque hay muchos problemas en el que es mas fácil calcular P(Ā) que P(A) 2

Teorema 3.“Teorema de la adición”. Si A y B son dos sucesos cualesquiera, entonces: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) Demostración: AUB = AU(B∩Ā) B = (A∩B)U(B∩Ā) Por lo tanto: P(AUB) = P(A) + P(B∩Ā) P(B) = P(A∩B) + P(B∩Ā) P(AUB)- P(B)=P(A) - P(B∩Ā) P(AUB) = P(A)+P(B)- P(A∩B) Teorema 4.Si A, B y C son 3 sucesos cualesquiera, entonces: P(AUBUC) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)- P(B∩C)+ P(A∩B∩C) Demostración: Haciendo P(AUBUC) = P((AUB)UC) P((AUB)UC)=P(AUB)+P(C)-P((AUB) ∩C) Por teorema 1.3 P(AUBUC)=P(A)+P(B)-P(A∩B)+P(C)-P((AUB) ∩C) Como: P((AUB) ∩C)=P(A∩C)+P(B∩C)-P(A∩B∩C Reemplazando: P(AUBUC) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)- P(B∩C)+ P(A∩B∩C) Teorema 5.- Si A ⊂ B entonces P(A) ≤ P(B) Demostración: Podemos descomponer B en dos sucesos que se excluyen mutuamente

B = A U ( B I A) P ( B ) = P ( A) + P ( B I A) P ( B ) ≥ P ( A)

B

A

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Definiciones: a)Evento simple.- Es el evento que no puede expresarse como la unión de otros eventos, exceptuando el evento vacío. Estos eventos tienen las siguientes propiedades: - Son mutuamente excluyentes - La unión de todosb ellos constituye el espacio nuestral b) Eventos equiprobables.- Dos o mas eventos son equiprobables si: P(A1)=P(A2) = . . . . . . . . . . . .P(An)=p Teorema 6.- Si un espacio muestral S consta de “n” eventos simples equiprobables y en dicho espacio muestral consideramos un evento cualquiera A, que consta de “r” de estos eventos simples. Bajo estas condiciones se tiene: P(A) = r/n Demostración: Llamaremos E1, E2, . . . . . . En a los eventos simples del espacio muestral S. De acuerdo al enunciado: P(E1) = P(E2) = . . . . . . . . . P(En) = p S =

n

U

Ei

entonces

i =1

P ( S ) = P ( E 1 U E 2 U E 3 U .......... . E n ) P ( S ) = P ( E 1 ) + P ( E 2 ) + P ( E 3 ) + .......... ..... P ( E n ) 1 = p + p + p + .......... .......... .......... .......... .... p 1 = np p = 1/ n r

P( A) = P(U Ei ) = ∑i =1 P( Ei ) = r

i =1

1 1 1 1 r + + + ........... = n n n n n

Probabilidad Condicional.- Si A y B son eventos del espacio muestral S y si P(B)≠0, entonces la probabilidad condicional de A relativo a b, está dado por:

P( A ) = B

P( A I B) P( B) 4

Se lee P(A) dado que ocurrió B, es decir, el evento B ya ocurrió y se quiere calcular la probabilidad de que ocurra A. Regla general de la multiplicación:

A De la fórmula P ( B ) = Obtenemos Ejemplo:

P(A I B) P(B)

P( A I B) = P(B)P( A / B)

La Regla general de la Multiplicación se puede extender a mas de dos eventos, en la siguiente forma:

P( A I B I C ) = P( A) P( B / A) P(C /( A I B))

El resultado se generaliza fácilmente a n sucesos:

P(AI B IC I.......IZ) = P(A)P(B/ A)PC/(AI B)).......P(Z /(AI BIC I......Y)) SUCESOS INDEPENDIENTES: Dos eventos A y B son independientes si se cumple que: P ( A / B ) = P ( A) P ( B / A) = P ( B ) ó Es decir la ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos no afecta la ocurrencia o no ocurrencia del otro. Cuando dos sucesos son independientes se cumple que:

P ( A I B ) = P ( A) P ( B )

Ejemplo

PARTICION DEL ESPACIO MUESTRAL: Los sucesos B1; B2; B3; ………Bk representan una partición del espacio muestral S, si: a)

B1 I B j = φ k

b)

U

para todo i, j

Bi = S

i =1

c) P ( Bi ) > 0

para todo i 5

Es decir, para cualquier experimento E, tendremos un espacio muestral S, este espacio muestral S, lo podemos partir en Bk sucesos que cumplan con las tres condiciones indicadas y cuando se realiza el experimento E, ocurre uno y solo uno de los sucesos Bi. Ejemplo:

Teorema de la probabilidad total: Sea B1; B2; B3; ………Bk una partición del espacio muestral S y sea A un evento cualquiera en este espacio muestral, entonces podemos decir que:

A = ( A I B1 ) U ( A I B2 ) U ................(A I Bk )

P( A) = P( A I B1 ) + P( A I B2 ) + ..............P( A I Bk ) P( A) = P(B1 )P( A / B1 ) + P(B2 )P( A / B2 ) + ..................P(Bk )P( A / Bk ) Ejemplo:

Teorema de Bayes: Sea B1; B2; B3; ………Bk una partición del espacio muestral S. Sea A un evento asociado con S. Aplicando la definición de Probabilidad Condicional, podemos escribir:

P(

B1

A

)=

P ( B1 I A) P ( A)

P(Bi )P( A / Bi ) P(Bi ) = A P(B )P( A / B ) + P(B )P( A / B ) + ..................P(B )P( A / B ) 1 1 2 2 k k Ejemplos

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