PROBABILIDADES - MATEMATICA

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Matemática II

UNIDAD IX

PROBABILIDAD

1.

EXPERIENCIA ALEATORIA Y ESPACIO MUESTRAL Disponemos de una ruleta con cinco zonas, según se indica en el gráfico: Si hacemos girar la flecha, no sabemos cuál será el resultado del juego. Pero sí podemos afirmar que este resultado será alguno de los cinco números 1, 2, 3, 4, 5.

5

1

4 3

2

El juego de la ruleta presenta tres características importantes:  Se puede repetir.  Se conocen los posibles valores del resultado final.  No se sabe cual es el resultado final. Las actividades que reúnan estas tres características, reciben el nombre de experiencias aleatorias. El conjunto de todos los resultados posibles en una experiencia aleatoria, es el espacio muestral de dicha experiencia; habitualmente, se designa con la letra:  Son ejemplos de experiencias aleatorias y espacios muestrales:  Tirar una moneda y anotar si sale cara o cruz; el espacio muestral será:  = {cara, cruz}  Tirar un dado y anotar el resultado; el espacio muestral será el conjunto:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  Tirar dos dados y anotar la suma de puntos obtenido; el espacio muestral será:  = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}  Sacar un tornillo de una caja en la que hay muchos para averiguar si es defectuoso o no; el espacio muestral será:  = {defectuoso, no defectuoso}

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2.

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SUCESOS O EVENTOS Un suceso o evento A es un conjunto de resultados o, en otras palabras, un subconjunto del espacio muestral . Volvamos al ejemplo de la ruleta con cinco zonas; el espacio muestral es:  = {1, 2, 3, 4, 5} (ver figura anterior) Los sucesos correspondientes al juego con esta ruleta son: 

 ................................................................................ : suceso vacío

 {1},{ 2 },{ 3 },{ 4 },{ 5 }................................................ : sucesos elementales.  {1, 2},{1, 3},{1, 4},{1, 5},{2, 3},{2, 4},{2, 5},{3, 4},{ 3, 5},{4, 5} {1, 2, 3},{1, 2, 4},{1, 2, 5},{1, 3, 4},{1, 3, 5},{1,4, 5},{2, 3, 4},{2, 3, 5},{2, 4, 5},{3, 4, 5} {1, 2, 3, 4},{1, 2, 3, 5},{1, 2, 4, 5},{1, 3, 4, 5},{2, 3, 4, 5}  {1, 2, 3, 4, 5}................................................................. : suceso universal Podemos combinar sucesos para formar nuevos sucesos, utilizando las diferentes operaciones con conjuntos:  A  B es el suceso que ocurre si y sólo si A o B o ambos ocurren;  A  B es el suceso que ocurre si y sólo si A y B ocurren simultáneamente.  2.1

A , (Complemento de A ó contrario de A), es el suceso que ocurre si y sólo si A no ocurre.

SUCESOS INCOMPATIBLES Dos sucesos que no puedan ocurrir simultáneamente, reciben el nombre de sucesos incompatibles; para que dos sucesos sean incompatibles, deben carecer de elementos comunes. Por ejemplo, en el caso de la ruleta anterior, son incompatibles los sucesos elementales. El contrario de {1 , 3 } es {2, 4, 5}, para la ruleta del ejemplo anterior. Desde luego, dos sucesos contrarios deben ser incompatibles, pero no basta con ello; además, la unión de ambos debe dar el espacio muestral.

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Ejemplo: Láncese un dado y obsérvese el número que aparece en la cara superior. Entonces el espacio muestral es:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sea A el suceso de salir un número par, B de salir impar y C de salir primo; A = {2, 4, 6},

B = {1, 3, 5},

C = {2, 3, 5}

Entonces: A  C = {2, 3, 4, 5, 6} B  C ={3, 5} C = {1, 4, 6}

EJERCICIOS 1. Forma el espacio muestral de la experiencia consistente en lanzar un dado dos veces consecutivas, y anotar ordenadamente las puntuaciones obtenidas. Selecciona a continuación los sucesos correspondientes a: a) b) c) d) e)

“salir números iguales” “obtener una suma par” “que la suma sea 7” “que el segundo número sea mayor que el primero” “que la suma sea impar”

Entre los sucesos anteriores, señala 2 incompatibles no contrarios, y dos contrarios 2. En una caja hay 5 papeletas, numeradas del 1 al 5. Si se cogen dos de ellas al azar, y se calcula la suma de los números escritos, ¿cuál es el conjunto de resultados posibles?. 3. Selecciona, en el ejercicio anterior, los sucesos siguientes: a) b) c) d) e)

Obtener una suma par. Obtener una suma impar. Hallar una suma que sea múltiplo de 3. Hallar una suma múltiplo de 7. Hallar una suma impar y múltiplo de 3.

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4. De los cinco sucesos obtenidos en el ejercicio anterior, señala: a) b) c)

Un suceso elemental. Dos sucesos incompatibles, pero no contrarios. Dos sucesos contrarios.

5. Al sacar dos papeletas de las cinco que hay en la caja, se calcula el producto de los números escritos en ellas. ¿Cuál es el conjunto de resultados posibles? 3.

APLICACIÓN FRECUENCIAL Tres caras de un cubo se han pintado de color azul, dos de color rojo, y se ha dejado una de color blanco. Si vamos lanzando el cubo y anotando el color de la cara sobre la que queda apoyado, ¿cuántas veces saldrá cada color? ¿cuál será su frecuencia relativa?. Es razonable pensar que, ya que la mitad de las caras son de color azul, este color aparecerá la mitad de las veces que se tire el cubo; la frecuencia relativa del color azul tenderá a 1/2 si repetimos las tiradas muchas veces. Análogamente, una tercera parte de las veces saldrá de color rojo, y una sexta parte el color blanco; la frecuencia relativa del color rojo tenderá a 1/3, y la del blanco a 1/6 si los lanzamientos se repiten muchas veces. De este modo, asignando a cada color un número que exprese la frecuencia relativa esperada para dicho color, tendremos la siguiente aplicación: Azul Rojo Blanco

  

1/2 1/3 1/6

Observa que la frecuencia relativa esperada para cada color es un número positivo menor que uno, y que la suma de todas es igual a uno. 4.

PROBABILIDAD Consideremos la experiencia aleatoria que consiste en lanzar el cubo anterior y anotar el color de la cara sobre la que queda apoyado, el conjunto de resultados posibles o espacio muestral de la experiencia es:

  {azul, rojo, blanco} Recuerda que un suceso de esta experiencia es un subconjunto del espacio muestral. Ahora queremos precisar, con números adecuados, el mayor o menor grado de confianza que nos merece cada suceso; y este número lo obtendremos

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a partir de las frecuencias relativas a las que parecen tender cada uno de los resultados. La aplicación que obtengamos recibirá el nombre de probabilidad definida en el espacio muestral  . El criterio a seguir será el de asignar a cada suceso el número obtenido como suma de las frecuencias relativas esperadas de cada uno de sus resultados. Con ello, la probabilidad del suceso imposible (conjunto vacío) será 0, la probabilidad de un suceso elemental será la frecuencia relativa a la que tienda su único resultado; y a los demás sucesos, les corresponderá la suma de las probabilidades de los sucesos elementales que lo componen.



0

{azul}

{azul,rojo}  .

1  . . 2

1 1  2 3

{azul,rojo,blanco}

{rojo}

{azul,blanco}  . 



1 1  2 6

1 . 3

1 6 1 1 {rojo,blanco}   3 6 {blanco}



1 1 1   2 3 6

Observa que, para disponer de un probabilidad definida en un espacio muestral, basta conocer las probabilidades de los suceso elementales. La terna formada por el conjunto  , el conjunto S de sus sucesos y la probabilidad p, recibe el nombre de espacio de probabilidad. AXIOMAS DE PROBABILIDAD Aparecen para esta aplicación tres propiedades esenciales: a) 0  p ( A)  1 , para cualquier suceso A. b) p()  1 c) Si A y B son dos sucesos incompatibles: p( A  B )  p( A)  p ( B ) Las tres propiedades se toman como axiomas para definir una probabilidad en un espacio muestral finito . Toda aplicación entre el conjunto de los sucesos de una experiencia aleatoria y los números reales, con estas tres características, reciben el nombre de probabilidad definida en el espacio muestral correspondiente. Teorema 1: dado un suceso A, entonces: p( A)  1  p ( A) Teorema 2: dados dos sucesos A y B, entonces: p( A  B)  p ( A)  p ( A  B )

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Teorema 3: dados dos sucesos A y B, entonces: p( A  B)  p ( A)  p( B )  p( A  B )

4.1

PROBABILIDAD UNIFORME En algunas experiencias aleatorias, todos los resultados tienen la misma frecuencia relativa esperada, el mismo peso; entonces, los sucesos elementales son equiprobables y la probabilidad se llama probabilidad uniforme. Por ejemplo, si tiramos un dado, cada resultado posible tiene el mismo peso, 1/6 En general, si el espacio muestral tiene n elementos, la probabilidad uniforme de cualquier suceso elemental será 1/n y la probabilidad de un suceso que conste de m resultados, será m/n En este caso de sucesos elementales equiprobables, puede indicarse una expresión sencilla par el cálculo de la probabilidad de un suceso cualquiera. Si llamamos casos favorables a los elementos de dicho suceso, se tendrá:

probabilidad del suceso 

casos favorables casos totales

Ejemplos 1. Fíjate en la ruleta del gráfico. a)

¿Cuál es la probabilidad de cada suceso elemental?

b)

¿Cuál es la probabilidad de obtener en dicha ruleta un número par?

c)

¿Cuál es la probabilidad de obtener un múltiplo de 3? 2

3

1

4

7 6

5

Resolución a)

p( 1 ) = p( 2) = p(3) = p(4) = p(5) = p(6) = p(7) = 1/7

b)

p( 2; 4; 6) = 1/7 + 1/7 +1/7 = 3/7

c)

p(3; 6) =1/7 +1/7 = 2/7

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2. Calcula la probabilidad de sacar un as de una baraja, en una sola extracción. Resolución.Puesto que en la baraja hay 4 ases (de oros, de copas, de espadas y de bastos) y un total de 52 cartas será:

p

4 52

Tener en cuenta que se trata de probabilidad uniforme 4.2

PROBABILIDAD DE EXPERIENCIAS COMPUESTAS Efectuemos la siguiente experiencia compuesta:  Lanzar una moneda.  Hacer girar una ruleta. Representemos el lanzamiento de moneda y el giro de ruleta por separado, mediante unos diagramas circulares en los que se ha señalado tantas zonas como resultados posibles, escribiendo en cada zona la frecuencia relativa esperada para el resultado correspondiente. cara 1/2

c 1/3

cruz 1/2

b 1/6

a 1/2

¿Cuáles son los resultados posibles en la experiencia compuesta?. Utilicemos un diagrama de árbol:

a cara

1/2

1/2 b

c

1/3  = { (cara, a); (cara, b); (cara, c); 1/2

a cruz

(cruz, a); (cruz, b); (cruz, c) }

b

1/2

1/6

c

1/6 1/3

Nuestro objetivo es definir una probabilidad en el conjunto , para lo que necesitamos hallar la probabilidad de cada suceso elemental.

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Fijémonos, por ejemplo, en el resultado (cara, c). Si repetimos muchas veces la doble prueba, saldrá cara aproximadamente la mitad de los casos; y en esta doble prueba, al jugar a la ruleta saldrán las zonas a,b,c cada una con la frecuencia relativa indicada en el gráfico. En particular, la zona c saldrá la tercera parte de esta mitad del total; ello supone pues, la sexta parte del total. De ahí que se asigna al par (cara, c) el número: 1/6 EJERCICIOS 1. En una caja hay 9 bolas, de las cuales 5 son blancas y el resto negras. Extraemos una bola al azar, anotamos su color y la devolvemos a la caja; a continuación extraemos otra bola y anotamos su color. Se pide: a) Representar mediante un diagrama de árbol los resultados posibles en la doble extracción con devolución. b) Calcular la probabilidad de obtener dos bolas del mismo color. c) Hallar la probabilidad de sacar por lo menos una bola negra. 2. Repetimos la experiencia del ejercicio anterior, pero sin devolver a la caja la primera bola que se extraiga. Se pide: a) Diagrama en árbol de los resultados posibles. b) Cálculo de la probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color. c) ¿Cuál es la probabilidad de sacar por lo menos una bola negra? 3. Se tira una moneda al aire tres veces consecutivas, anotando ordenadamente los resultados obtenidos. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras? b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras ó tres cruces? c) Hallar la probabilidad de que salga una sola cruz. d) Hallar la probabilidad de que salgan como máximo dos cruces.

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1.-

Se realiza un experimento de lanzar dos monedas y un dado al mismo tiempo. Defina el espacio muestral de los siguientes eventos y cuántos elementos tiene cada uno: a) b) c) d)

2.-

Que Que Que Que

aparezca aparezca aparezca aparezca

dos caras y un número par. un dos. una cara y un número primo. dos caras y un número impar.

Una caja contiene 220 tornillos iguales, de los cuales 80 son producidos por la máquina A, 60 por la máquina B, 50 por la máquina C y 30 por la máquina D. Si se elige un tornillo al azar de la caja, determinar: a) ¿Cuál es la probabilidad que el tornillo elegido haya sido producido por las máquinas A o C? b) ¿Cuál es la probabilidad que el tornillo elegido haya sido producido por las máquinas A y D?

3.-

Se lanza un dado y se observa el número obtenido. Calcular la probabilidad de obtener: a) Tres puntos. b) Al menos tres puntos.

4.-

Tres urnas contienen fichas numeradas del 1 al 5. Se extrae una ficha al azar de cada urna y se forma un número de tres dígitos: a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? b) Describa el evento de las fichas que suman seis. c) ¿Qué porcentaje de las fichas suman seis?

5.-

Se lanza un dado y se observa el número obtenido. Calcular la probabilidad de obtener: a) Tres puntos. b) Al menos tres puntos.

6.-

Un dado se lanza dos veces consecutivas. Calcular la probabilidad de obtener: a) b) c) d)

7.-

Siete puntos. Seis puntos solo en la segunda tirada. Siete puntos o 6 puntos solo en la segunda tirada. Siete puntos y 6 puntos solo en la segunda tirada.

Un dado se carga de tal manera que un número par tiene el doble de posibilidad de salir que un número impar. Se lanza este dado y se observa el número obtenido. Calcular la probabilidad de obtener al menos tres puntos.

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8.-

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Un dado normal se lanza sucesivamente hasta que aparezca un uno. Calcular: a) La probabilidad de obtener el uno si el dado se lanza a lo más dos veces. b) La probabilidad de obtener el uno si el dado se lanza al menos 4 veces.

9.-

Suponga que una rifa consiste de 1000 boletos. En esta rifa un boleto se premia con $500, dos con $250, cinco con $100, cien con $5, y los demás no se premian. Si se adquiere un boleto de esta rifa, calcular la probabilidad de: a) Ganar alguno de los premios. b) Ganar a lo más $100. c) No ganar premio alguno.

10.- Se tira un dado que está trucado de forma que cada puntuación par sale el triple de veces que cada impar. a) b) c) d)

¿Qué probabilidad le corresponde a cada suceso elemental? Calcula la probabilidad de que salga un número menor que 4. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número múltiplo de 2 ó de 3? ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número múltiplo de 3?

11.- Se extrae una carta de una baraja. Si se definen los sucesos siguientes: A: sacar bastos; B: sacar rey; C: sacar figura. Se pide: a) Probabilidad de cada uno de los tres sucesos. b) Probabilidad de sacar bastos o sacar rey. c) Probabilidad de sacar bastos o sacar figura 12.- En un sorteo hay 100 papeletas numeradas del 1 al 100. Si se extraen 2 papeletas, calcula la probabilidad de que lleven dos números consecutivos. 13.- Dos personas A y B tiran al blanco. A acostumbra acertar un 80% de veces, y B un 70%. Calcula la probabilidad de que ninguno de los dos acierte. 14.- Si se lanzan dos dados y se calcula la suma de puntos obtenido, ¿Cuál es la más probable? 15.- En una caja hay 5 bolas iguales, 4 negras y 1 blanca. Tres personas extraen consecutivamente una sola bola, sin devolverla a la caja; ganará la que saque la bola blanca. Calcula al probabilidad de ganar de cada una de las tres personas. ¿Tiene alguna importancia el orden en que saquen bola cada una de ellas? 16.- En los últimos años Tecsup ha estado realizando un registro de sus egresados que en la actualidad tienen empleo, anotando el número de años que utilizaron para terminar su carrera y el éxito que tienen como profesionales. La siguiente información se obtuvo de 200 egresados Basándose en la información anterior: 3 años > 3 años

ALTA 30 20

MEDIA 70 30

116

BAJA 20 30

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a) ¿Cuál es la probabilidad que un egresado cuya duración de sus estudios fue de 3 años tenga alta posición profesional en su empleo actual? b) Si un egresado tiene baja posición profesional en su empleo, ¿cuál es la probabilidad que tal persona haya realizado sus estudios en más de 3 años? c) Si un egresado tiene mediana posición profesional, ¿cuál es la probabilidad que tal persona haya realizado su carrera en 3 años? 17.- Cada vez que se recibe un lote de llantas, un inspector de calidad adopta la siguiente política: extrae dos llantas una después de otra y sin restitución, si al menos una de ellas es defectuosa revisa todo el lote. Si se recibe un lote de 50 llantas y se sabe que en él hay tres llantas defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad que al aplicar la política de revisión se tenga que revisar todo el lote? 18.- Un alumno en Tecsup debe escoger entre tomar un curso de matemática o llevar un curso de letras. Si escoge el de matemática la probabilidad que lo apruebe es 1/3, mientras que si escoge el de letras, la probabilidad que lo apruebe es de 3/4. Para decidir qué curso llevar, acuerda lanzar una moneda. a) ¿Cuál es la probabilidad que el alumno lleve el curso de matemática y lo apruebe? b) ¿Cuál es la probabilidad que lleve el curso de letras y no lo apruebe? 19.- Un empresario tiene una máquina automática en su fábrica que produce tapas para lapiceros. con su pasada experiencia ha comprobado que si la máquina se ajusta en forma apropiada, la máquina producirá un 90 % de tapas aceptables, mientras que si su acondicionamiento no es adecuado, sólo producirá un 30 % de tapas aceptables. El empresario también ha observado que el 75 % de los acondicionamientos se hace en forma correcta. Si la primera tapa producida es aceptable, ¿qué probabilidad existe que el acondicionamiento se haya hecho correctamente? 20.- Un laboratorio somete a los choferes que cometen accidentes de tránsito a un test de “dosaje etílico”. Se ha determinado que:   

Cuando un chofer está ebrio, el test proporciona resultado positivo en el 95% de los casos. cuándo el chofer no está ebrio, el test proporciona resultado negativo en el 94% de los casos. El 2% de los conductores que cometen accidentes manejan ebrios.

¿Cuál es la probabilidad que el chofer esté ebrio dado que el resultado fue positivo?

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SERIE DE EJERCICIOS 1.-

En el siguiente cuadro se muestra la ojiva del comportamiento de los sueldos diarios de un grupo de trabajadores en porcentajes: 100 Hi % 100%

85%

66%

40%

24% 14% Sueldos por día (s/.) 15

30

50

60

75

90

Considerando que un trabajador no puede ganar menos de s/.10 diarios: a) Calcular el sueldo promedio diario. b) Hallar la mediana de la distribución. 2.-

Para el estudio sobre resistencia de un metal se realizaron 150 experiencias de rotura frente a la carga de un hilo del mismo grosor, el resultado es la siguiente ojiva: Ni 150

120

55

Cargas de rotura de un hilo en gramos

10 720

770

810

860

118

900

940

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Sabiendo además que además h2 = 2h3. a) Halle la media. b) ¿Cuántos datos tendrán una resistencia inferior al promedio de los datos? c) Determinar la mediana y los cuartiles de la distribución. d) Halle el % de datos que estima pertenezcan al intervalo [ media, mediana ]. 3.-

Las velocidades (en km/h) de 400 vehículos se registraron y clasificaron en 5

 60 , 80

intervalos de clase de ancho común. En el segundo intervalo había 80 datos. El 25% de total de los datos se encuentra en el tercer intervalo. La frecuencia relativa del cuarto intervalo es el doble que la del quinto intervalo. 4.-

Según esto: a) ¿Cuántos datos son menores a 110, si 280 son mayores a 80? b) Calcule la velocidad promedio. La siguiente gráfica muestra los ingresos por las ventas realizadas de tres bebidas gaseosas en los años 1999, 2000 y 2001:

Inca Kola

Miles de dólares

5.-

1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

Coca Cola

Pepsi Cola

800 700

700

600 500

500

500

500

400

1999

2000

2001

Año

a) En el año 1999, ¿qué porcentaje de las ventas totales representan las ventas de Inca Kola? b) Entre 1999 y el 2000, ¿qué gaseosa tuvo mayor crecimiento porcentual en sus ventas y cuál fue dicho crecimiento? c) Indique la venta anual promedio para cada una de las tres bebidas.

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6.-

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La siguiente tabla muestra la producción diaria en una empresa, donde los trabajadores han sido clasificados por edades.

     

Ii

xi

ni

Ni

hi

100 H i %

xi ni

0,15

18 ,

45%

, 27000

, ,

702000

,

540000 9000

, 54 TOTALES

Siendo el ancho de clase común: a) Completar la tabla. b) ¿Qué producción diaria estima para un grupo de trabajadores entre 28 y 40 años? c) Calcular la desviación estándar de dicha distribución. d) Coeficiente de variación. 7.-

El siguiente cuadro muestra la clasificación de los puntajes obtenidos en cierta prueba de conocimientos:



Puntajes

hi

,



,



, 100 

xi hi

Hi

0,10

20 , 40 

 



xi 50

90

0,20

TOTALES Siendo el puntaje promedio igual a 64: a) Completar la tabla. b) ¿Qué puntajes deben tener los que se hallen en el 25% superior? 8.-

Una máquina llena automáticamente paquetes de tabaco. Se extrae una muestra de la producción; tras su pesado se obtiene:

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Pesos de los paquetes de tabaco Pesos en gramos menos de 38 menos de 39,5 menos de 40,5 menos de 41,5 menos de 42,5 menos de 44 más de 44

Cantidades 0 11 31 69 95 100 0

    

Pesos , ,

 

,



,



,



xi

ni

TOTALES

Calcular: a) La moda. b) La media. c) La desviación típica. d) El C.V. 9.-

En una caja hay 10 bolas; de las cuales 5 son blancas, 2 negras y 3 azules. Se extrae una bola al azar y se anota el color; luego se extrae otra bola y se anota el color. Sabiendo que la primera bola extraída no se ha devuelto a la caja. Se pide: a) Representar mediante un diagrama de árbol los resultados posibles en la doble extracción. b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos bolas del mismo color? c) Calcular la probabilidad de obtener sólo una bola azul. d) Señale un suceso elemental (cualquiera) y de su probabilidad.

10.- En una caja hay 4 papeletas, numeradas del 1 al 4. Si se cogen dos de ellas al azar, y se calcula el producto de los números escritos en ellas. a) ¿Cuál es el conjunto de resultados posibles? b) Calcule la probabilidad de obtener un producto menor que 4 ó mayor que 6. c) Calcule la probabilidad de obtener un producto impar y múltiplo de 4. d) Calcule la probabilidad de no obtener un producto impar ó múltiplo de 4.

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11.- Calcula la probabilidad de que la matrícula de un coche de 4 dígitos: a) b) c) d)

Termine en 87. Sea múltiplo de 4. Sólo tenga cifras pares. Tenga las cuatro cifras iguales.

12.- De una urna con 8 bolas rojas, 5 bolas amarillas y 6 bolas verdes, se extraen dos bolas al azar. Halla la probabilidad de que: a) Sean del mismo color. b) Al menos una sea de color verde. 13.- Suponga que una rifa consiste de 800 boletos. En esta rifa dos boletos se premian con $1500, cuatro con $500, seis con $250, diez con $150, treinta con $50, y los demás no se premian. Si se adquiere dos boletos de esta rifa, calcular la probabilidad de: a) Ganar a lo más $200. b) No ganar premio alguno. 14.- Un director de personal tiene 8 candidatos para cubrir cuatro puestos. De estos, cinco son hombres y el resto son mujeres. Si, de hecho, toda combinación de candidatos es igualmente probable de ser elegida: a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna mujer sea contratada? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una mujer sea seleccionada? 15.- En una bolsa hay 10 bolas numeradas del 0 al 9. Se saca una bola, se anota el número y se introduce de nuevo en la bolsa. Se repite la operación tres veces hasta formar un número de tres cifras. Si la media de las tres cifras es 6 y la moda 8, ¿cuál es el mayor número que se puede formar? ¿Y el menor? 16.- Tenemos un dado trucado en el que la probabilidad de obtener un número cuando se lanza el dado es proporcional a ese número. Es decir, que el número 4 tiene el doble de posibilidades de salir que el 2. a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número impar? b) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número múltiplo de 2 ó de 3? 17.- En un armario de cocina hay 6 refrescos de cola, 12 de naranja y 5 de limón. Cuando Ana iba a coger dos refrescos se fue la luz, y por tanto, los tomó al azar. Hallar la probabilidad de que: a) Ambos sean del mismo sabor. b) Al menos uno sea de cola ó al menos uno sea de naranja.

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