PROBABILIDADES Capitulo5 Schaum

ESCUELA POLIECNICA DEL EJERCITO SEDE LATACUNGA INGENIERIA ELECTRONICA Nombre: Andrés Santiago Olmos Tigse Nivel: Quinto “B” CAPITULO 5

Problemas Suplementarios VARIABLES ALEATORIAS Y VALOR ESPERADO 5.53.-Suponga que una variable aleatoria X toma los valores -4, 2, 3, 7 con las probabilidades respectivas.

Encontrar la distribución y el valor respectivo de X.

x P(X=x)

4 0.4 ( )

2 0.1 (

) (

3 0.2 )

( ) ( ( )

7 0.3 )

( ) (

)

( ) ( )

5.54.- Se lanza un par de dados. Sea x el mínimo de los dos números que ocurren. Encuentre la distribución y el valor esperado de x. x

1 11/36

( )

2 9/36

(

)

3 7/36

(

4 5/36

) ( ( )

)

5 3/36

(

)

6 1/36

(

)

(

)

5.55.- El peso de una moneda equilibrada 4 veces. Sea Y la secuencia más larga de caras que salga. Encuentre la distribución y el valor esperado de Y. (Compare con la variable aleatoria X en el problema 5.22)

x f(x)

0 1/16

( )

1 7/16

(

)

2 5/16

(

)

(

3 2/16

)

(

)

4 1/16

(

5.56.- El peso de una moneda es alterado de manera que lanza 3 veces. Sea x el número de caras que aparece. a) Encuentre la distribución de x. b) Encuentre E(x). x

1 1/64

2 9/64

( )

(

)

( )

( )

, se

3 27/64

( (

a)

)

(

) )

)

(

)

(

)

( ) ( ) 5.57.- EL peso de una moneda es alterado de manera que

( )

y

( )

. La

moneda se lanza hasta que aparezca una cara o 5 sellos. Encuentre el numero esperado E de lanzamientos de la moneda.

( ) ( )

(

)

(

( )

( )

( ( )

( )

)

(

)

( )( )

(

)

+)

(* ( )

)

)

( )

(

( )

)

( )( )( )

( )( )( )( )

[( ) ( ) ( ) ( ) ( )]

[( ) ( ) ( ) ( ) ( )]

+)

(*

( )

(

( )

( )

(

)

(

)

(

)

( ) ( )

.

5.58.- La probabilidad de que el equipo A gane cualquier juego es 1/2. Suponga que A juega contra B en un torneo. El primer equipo en ganar dos juegos seguidos o 3 juegos gana el torneo. Encuentre el numero esperado E de juegos en el torneo. x F(x)

2 2/4

( ) ( ) ( )

(

)

3 2/8

(

)

4 2/16

(

)

5 4/32

(

)

5.59.- Una caja contiene 10 transistores, de los cuales 2 están defectuosos. Se selecciona un transistor de la caja y se prueba hasta seleccionar uno no defectuoso. Encuentre el número esperado E de transistores que deben escogerse. ( ) ( )

x f(x)

( )

1 8/10

(

)

(

2 16/90

)

(

3 2/90

)

( ) 5.60.-Resuelva el problema anterior para el caso en el cual 3 de los 10 artículos son defectuosos.

( ) ( ) x

( ) ( ) ( )

1 7/10

(

2 21/90

(

3 42/720

)

(

4 6/720

)

(

)

5.61.- Cinco cartas están numeradas del 1 al 5. Se sacan dos cartas al azar (sin reposición). Sea X la suma de los números seleccionados. a) Encuentre la distribución de X b) Encuentre E(x)

a) x F(x)

3 0.1

4 0.1

5 0.2

Usando el diagrama de árbol se obtiene ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

6 0.2

7 0.2

8 0.1

9 0.1

( ) b) ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( ) 5.62.-Una lotería con 500 boletos de un premio de $100, 3 premios de $50 cada uno, y 5 premios de $25 cada uno. a) Encuentre las ganancias esperadas de una boleta. b) Si una boleta cuesta $1 ¿Cuál es el valor esperado del juego? x

( ) ( )

0 491/500

(

25 5/500

50 3/500

(

)

100 1/500

(

)

(

)

( ) ( ) ( ) 5.64.-Un jugador lanza dos monedas equilibradas. El jugador gana $3 si ocurren 2 caras y $1 si ocurre una cara. Para que el juego sea justo ¿Cuánto debe perder el jugador si no ocurre ninguna cara? x f(x)

3 1/4

1 2/4

-a 1/4

Para que el juego sea justo E=0 (

)

(

) ( )

(

)

MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR 5.65.- Encuentre la media , la varianza , y la desviación estándar distribución.

de cada

(a) x f(x)

2 1/4

3

8

1/2

1/4

( )

( )(

)

( )(

)

( )(

)

( ) ( ) (

)

(

)( (

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

) (

( )

) (

)

( )

( ) ( ) )

√(

(b) x f(x)

-2 1/3

-1 1/2 ( )

7 1/6

(

)(

( )

)

(

( )

)( (

) )

( )( (

)

)

( ) (

)

(

)( (

)

(

(

)

)

)(

)

(

)(

)

(

( )

)

( )

( ) ( )

( ) √ 5.66.-Encuentre la media de u, la varianza y la desviación estándar de cada distribución: x

-1 0.3

( ( (

) )

0 0.1

1 0.1

)(

)

( )(

)

( )(

(

) (

)

( ) (

)

)

2 0.3

( )(

( ) (

)

)

3 0.2

( )(

( ) (

) )

( ) (

)

√ x

1 0.2

( )(

(

)

(

)

2 0.1

)

( )(

( ) (

)

3 0.3

)

( )(

( ) (

)

)

6 0.1

( )(

( ) (

)

)

7 0.3

( )(

( ) (

√ 5.67.- Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución: x F(x)

1 0.4

3 0.1

4 0.2

5 0.3

)

)

( ) (

)

Encuentre la media , la varianza ( )

, y la desviación estándar de X. (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( ) (

)

(

)

(

)

(

(

)

)

( )

(

)

( )

( ) ( ) ( )

√ √

5.68.-Sean x la variable aleatoria en el problema anterior. Encuentre la media la varianza y la desviación estándar de cada variable aleatoria:

a) y = 3x+2 b) y = x2 c) y = 2x

x

1 0.4

3 0.1

4 0.2

5 0.3

y

5 0.4

11 0.1

14 0.2

17 0.3

( )

( )(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

) (

)

(

)(

)

( ) (

)

( ) (

)

(

) ( (

)

)

(

) (

)

2

=√

2=

27

= 5.2

b) y

1 0.4

9 0.1

( )

( )(

16 0.2

)

( )(

25 0.3

)

(

)(

)

( ) (

)

(

) (

(

)(

)

( ) (

)

(

)

( ) (

)

(

)

)

(

) (

)

√ y

2 0.4

8 0.1

( )

( )(

16 0.2

)

( )(

32 0.3

)

(

)(

)

( ) (

)

(

) (

(

)(

)

( ) (

)

(

)

( ) (

(

)

)

)

√ 5.69.- Sea x f(x)

una variable aleatoria con la siguiente distribución: -1 0.2

1 0.5

2 0.3

(

) (

)

Encuentre la media , la varianza ( )

(

y la desviación estándar

de X.

)(

)

)

( )(

)

( )(

( ) (

)

( (

) (

)

) ( )

( ) (

)

(

)

(

(

)

, ( )-

( )

(

( ) (

)

)

)

( ) ( )

( )

√

( ) 5.70.- Sea x la variable aleatoria en el problema 5.69. Encuentre la media la varianza y la desviación estándar de cada variable aleatoria y = ф(x) donde

a)

( )

b)

( )

c)

( )

x

-1 0.2

1 0.5

2 0.3

y

1 0.2

1 0.5

16 0.3

( )

( )(

)

( )(

)

(

)(

)

( ) (

)

(

) (

( ) (

)

(

)

( ) (

(

)

)

)

√ a) y

1/3 0.2

( )

(

3 0.5

)(

)

9 0.3

( )(

)

( )(

)

( ) (

)

(

)

(

) (

)

(

( ) (

)

( ) (

)

)

√ b) y

1 0.2

( )

2 0.5

( )(

)

( )(

8 0.3

)

( )(

)

( ) (

)

(

)

( ) (

(

)

( ) (

)

( ) (

)

)

√ 5.71.- Encuentre la media , la varianza distribución de dos puntos donde x f(x)

a p

b q

, y la desviación estándar .

de la siguiente

( )

( )( )

( )

(

)

( ) (

) )

(

) (

)

(

) )

(

)

(

( )

)

(

(

)

(

( ) √

)( )

(

( ) ( )

)

)( ) (

)

(

(

(

(

( )( )

)

)

|

|√

5.73 Se selecciona dos cartas de una caja que contiene 5 cartas numeradas 1, 1,2,2 y 3 Sea X la suma y Y el máximo de los dos números seleccionados. Encuentre la distribución, la media, la varianza y la desviación estándar de las variables aleatorias: a) b) c) d)

a) x F(x)

2 0.1

3 0.4 ( )

4 0.3 (

)

5 0.2

(

)

(

)

(

)

(

)

( ) (

)

(

)

( (

( ) ( )

) ) (

)

( )

(

)

( ) ( )

√ √ b) Y G(Y)

1 0.1

2 0.5

3 0.4

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( ) (

)

(

) (

)

( )

(

)

( )

( ) ( ) ( )

√ √ c) Tabla De Distribución Conjunta De X y Y x\y 2 3 4 5 G(y)

1 0.1 0 0 0 0.1

2 0 0.4 0.1 0 0.5

3 0 0 0.2 0.2 0.4

f(x) 0.1 0.4 0.3 0.2

Z h(z)

3 0.1

5 0.4

6 0.1

7 0.2

( )

(

)

(

)

(

)

(

8 0.2 )

(

)

( ) (

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

√ √ d) w h(w)

2 0.1

6 0.4 ( )

(

8 0.1 )

(

12 0.2

)

(

)

(

)

15 0.2

(

)

(

)

( ) (

)

(

)

(

) (

( )

(

)

(

)

(

)

( )

( ) ( ) √

( )

√ DISTRIBUCIONES CONJUNTAS, VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES 5.74.-Considere la distribución conjunta de X e Y en la fig 5.23 encuentre

a)

( )

b)

(

( ) )

)

c)

( x\y 1 5

a)

) -4 1/8 ¼ 3/8

( )

2 1/4 1/8 5/8

( )(

)

7 1/8 1/8 1/4

( )(

1/2 1/2

)

( ) ( )

(

)(

)

( )(

)

( )(

)

( ) b)

(

)

)( )(

(

)

(

(

)

(

)

) )

( )( )( ( )( )(

) )

( )( )( ( )( )(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)( )(

( (

c)

(

)

)

( ) ( )

( )( )

( ) (

(

) (

( )(

)

( ) (

)

( ) (

)

)

)

( ) (

)

) )

(

)

5.75.- Considere la distribución conjunta de (a) ( )

( ), (b)

x\y 1 2 G(y)

(

) , (c)

-2 0.1 0.2 0.3

y

y (

,

-1 0.2 0.1 0.3

en la figura 5.23(b). Encuentre:

). 4 0 0.1 0.1

5 0.3 0 0.3

F(x) 0.6 0.4

a) ( )

∑

( )

(

( )

)

(

)

( ) ( ) ( ) ( )

(

∑

)

(

( ) )

(

)

)

( ) ( )

(

)

( ) ( ) b)

(

)

( )(

)(

)

( )( )(

(

)

( )(

)(

,

)

( )( )(

) (

(c)

(

)

(

)( )

)

( )(

)(

)

( )(

)(

)

( (

)

)

∑

( ) ( (

( )

(

) (

( )

(

)

)

( ( ))

(

)

)

√ ∑

(

( )

) (

)

( ) (

)

( ) (

)

) ( )

(

( ) √ (

)

(

√

)

( ) (

)

( )

(

)

) (

(

( )

(

)

)

( ( )) ( )

( )

√

)

5.76.-Suponga que x e y son variables aleatorias independientes con las siguientes distribuciones respectivas: x

1 0.7

2 0.3

y

encuentre la distribución h de x e y y verifique que la x\y 1 2

-2 0.21 0.09 0.3

( )

( )(

5 0.35 0.15 0.5

)

( )(

8 0.14 0.06 0.2

)

0.7 0.3

-2 0.3 (

)

5 0.5

8 0.2

( ) ( )

(

)(

)

( )(

( )(

)(

)

)

( )(

)

( ) (

)

( )( (

)(

)

( )( )(

( )( )(

) )

( )( )(

( )( )(

) )

) (

)

(

)

(

)(

)

5.77.- Considere la distribución conjunta de X y Y en la figura 5/24(a). (a) Encuentre E(X) y E(Y) (b) Determine si X y Y son independientes (c) Encuentre la cov (X,Y). x\y 1 2 G(y)

2 0.06 0.14 3/8

3 0.15 0.35 5/8

4 0.09 0.21 1/4

f(x) 0.3 0.7

Fig. 5/24 (a)

(a) ( )

( )(

)

( )(

)

( ) ( ) ( )

( )( ( ) ( )

( )

( )

)

( )(

)

( )(

)

(

)

( )( )( ) ( )( )( ( )( )( ) (

)

( )( )(

)

( )( )(

)

( )( )(

) ( (

)

) (

(

)

)

( ) ( ) (

(

)(

)

)

5.78.-Considere la distribución conjunta de x e y en la figura encuentre: a)

( )

( )

b) Determine x e y son independientes. c) Encuentre la distribución la media y la desviación estándar de la variable. x\y 0 1 2

a)

-2 0.05 0.1 0.03

( )

-1 0.05 0.05 0.12

( )(

)

0 0.1 0.05 0.07

( )(

)

1 0 0.1 0.06

( )(

2 0.05 0 0.03

3 0.05 0.05 0.04

)

( ) ( )

(

( )(

)( )

)

( )(

(

)(

)

( )(

)

( )(

)

( ) b) (0.3)(0.18) = 0.05 0.054 = 0.05

no son independientes

)

)

(0.30)(0.22) = 0.05 0.066 = 0.05 c) z

-2 0.05

-1 0.15

( )

(

)(

( )(

)

( )(

0 0.18

)

( )

1 0.17

)(

)

( )(

)

( )(

2 0.22

( )( )

3 0.11

4 0.08

)

( )(

)

( ) (

)

( ( ) (

(

) (

)

(

)

( ) ( ( ) ( )

) (

)

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

)

) ( )

(

)

( ) √

5.79.- Una moneda equilibrada se lanza 4 veces sea X el numero de caras que ocurren y sea Y la secuencia de caras mas larga que ocurre. a) Determine la función conjunta de X y Y b) Encuentre cov(X,Y) y p(X,Y) a) x\y 0 1 2 3

0 1/16 0 0 0

1 0 4/16 3/16 0

2 0 0 3/16 2/16

3 0 0 0 2/16

4 0 0 0 0

f(x) 1/6 4/16 6/16 4/16

5 0.04

4 G(y)

0 1/16

0 7/16

0 5/16

0 2/16

1/16 1/16

1/16

b) (

)

(

) ( (

)

(

)

)

( ) ( )

( (

(

)

(

) (

)

(

)

)(

)

)

5.80.-Se seleccionan dos caras al azar de una caja que contiene cinco caras numeradas 1, 1, 2, 2 y 3 sea x la suma y y al máximo de los 2 números sacados a) Determinar la distribución conjunta de x e y b) Encuentre la cov(x,y) y 𝝆(x,y)

a) x\y 2 3 4 5

( )

1 0.1 0 0 0

2 0 0.4 0.1 0

3 0 0 0.2 0.2

( )(

)

( )(

)

( )(

)

( )(

)

( )(

)

( )(

)

( )(

)

( ) ( ) ( ) (

)

(

)

( )( )(

)

( )( )(

)

( )( )(

)

( )( )(

)

( )( )(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

( ) (

(

( ) ( ) )(

)

)

( ) (

)

( ) (

)

)

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

)

√

(

)

(

)

( ) (

(

)

√

(

)

(

)

(

)

(

) (

)(

)

DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV 5.81.- Sea una variable aleatoria con media desigualdad de Chebyshev para estimar (

y desviación estándar ).

Por el teorema: (

)

(

)

(

)

(

)

. Utilice la

5.82.-Sean z la variable aleatoria normal estándar con media y desviación estándar . Utilice la desigualdad de chebyshev para encontrar un valor b para el cual

(

)

√

√

( )

√ 5.83.- Sea una variable aleatoria con media la desigualdad de Chebyshev para estimar: P (-3 ( (

y desviación estándar X 3).

. Utilice

)

)

5.84.-Sea x una variable aleatoria con media produjerala desigualdad de chebyshev (

¿para que valor de ) ?

√

√ √ 5.85.- Sea X una variable aleatoria con media Utilice la desigualdad de Chebyshev para estimar: a) b)

( (

y desviación estándar

) )

Datos

a) (

)

(

(

)

)

(

)

b) (

)

(

)

.

(

) (

)

PROBLEMAS MISCELÁNEOS 5.86.-Sean x una variable aleatoria continua con la siguiente distribución

( )=

Encuentre: a)

(

)

b) P(3