Probabilidad y Estadísticas - Ejercicios
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Ejercicios varios de distribución normal y probabilidad....
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1- Una población se distribuye normalmente con una media igual a μ y una desviación estándar σ igual a 43. Si se extrae una muestra muestra de tamaño N = 36 y se quiere contrastar Ho: μ = 260 contra HA : μ < 260 y el criterio de decisión es rechazar Ho si X < 250 , ¿ Cuánto vale el nivel de significación significación ? Solucion zcrit = z
X
=(250 – =(250 – 260)* 260)* 36 /(43)= -1,39
N
Nivel si nifi nifica caci ción ón
Aceptación hipótesis nula
250
260
Luego el area a la derecha de z=-1,39 es el nivel de significación. Esta area es 0,5 – 0,4177= 0,4177= 0,0823.
2- Una población se distribuye normalmente con una media igual a μ y una desviación estándar σ igual a 43. Si con una muestra de tamaño N = 36 se desea contrastar H o: μ = 260 contra HA : μ < 260 ,con un nivel de significación del 5 %. - Hallar el valor crítico de la media muestral. Suponiendo que la hipótesis alternativa específica H1 : μ = 240 es 240 es verdadera, calcular la probabilidad de cometer el error tipo II ( ß ). Zcrit (p / nivel signif 0,05) = -1,645 zcrit = z
X
de donde
N
z X
1,645 *
43 36
260 248,21
N
Nivel significación = 0 05
Aceptación hipótesis nula
Z=-1,645
260
El valor critico de la media muestral es 248,21 Suponiendo que la hipótesis alternativa específica H1 : μ = 240, calcular la probabilidad de cometer el error tipo II ( ß ).
z
X
248,21 240
N
43
Error tpo 2
1,14
36
Para z=1,14 el area es 0,3729 Luego el error tipo II es = 0,5 – 0,5 – 0,3729 0,3729 = 0,1271 240
248,21
260
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3- De una muestra elegida al azar de 400 adultos extraída de una población grande, resulto que 240 dieron una respuesta afirmativa a la pregunta: ¿Está usted de acuerdo con el proyecto de bajar en 520 guaraníes por litro, el precio de las naftas, disminuyendo la carga impositiva? - Construir un intervalo de confianza del 85% para la proporción real de los que opina negativamente. - ¿Qué tamaño de muestra se debería elegir para cometer un error de hasta el 3% a un nivel de confianza del 95%? Soluc Solución ión: Sea: p = proporción de personas personas que responden responden negativamente. negativamente. Entonces p = 160/400 = 0.4 ; q = 0.6 Fórmula para estimación de intervalos de confianza: p z c
pq N
a) los valores de z que limitan un área del 85% bajo la curva son z = 1.4395. Luego, el intervalo está dado por: 0.4 1.4395
0.4 0.6 400 400
0.4 0.035 R espuesta spuesta: se puede afirmar, con una confianza del 85%, que la proporción real de las personas que opinan negativamente se encuentra entre 36.5% y 43.5%. b) En la fórmula p z c 0.03 1.96
0.4 0.6 N
pq N
, el error está limitado por z c
pq N
. Si el error es de hasta 3%, tenemos:
. Despejando N, tenemos: N = 1024.43
R espuesta spuesta: el tamaño de muestra que se debería elegir para cometer un error de hasta el 3%, a un nivel de significación del 95%, es de al menos 1025 personas.
4- La estatura media de 50 estudiantes de un colegio que tomaban parte de las pruebas atléticas fue de 68,2 pulgadas con una desviación típica de 2,5 pulgadas; mientras que 50 estudiantes que no mostraban interés en tal participación tenían una estatura media de 67,5 pulgadas con una desviación típica de 2,8 pulgadas. a) Ensayar la hipótesis de que los estudiantes que participan en las pruebas atléticas son más altos que los otros. b) En cuánto deberían incrementarse los tamaños de las muestras de cada uno de estos grupos para que la diferencia observada de 0,7 pulgadas en las estaturas medias sea significativa al nivel de significación b1) 0,05; b2) 0,01. Ref.: Estadística Schaum Ejer.10.18 y 10.19
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5- Para determinar si en realidad existe una relación entre el aprovechamiento de un empleado en el programa de capacitación y su rendimiento real e n el trabajo, consideramos una muestra de 400 casos y obtenemos los resultados que se advierten en la siguiente tabla: Aprovech amiento en el programa de entrenamiento n o e j o l a t e b i a x r t É
Debajo del promedio 23 28 9
Deficiente Promedio Muy buena
Promedio 60 79 49
Sobre el promedio 29 60 63
Con el nivel de significación 0,01 pruébese la hipótesis nula de que el aprovechamiento en el programa de capacitación y el éxito en el trabajo son independientes. Solución: Hipótesis nula: el aprovechamiento en el programa de capacitación y el éxito en el trabajo son independientes. Hipótesis alternativa: el aprovechamiento en el programa de capacitación y el éxito en el trabajo no son independientes. Nivel de significación = 0,01 Nro de grados de libertad: (h-1)(k-1)=(3-1)(3-1)=2x2=4 2
2
2
Criterio: se rechaza la hipótesis nula si 13,277 , o sea el valor de 0, 99 para 4 grados de libertad, donde esta dado por la formula: 2
(o j e j )2 ej
j
ok : frecuencia observada ek : frecuencia esperada
Cálculos: Hallando primero las frecuencias esperadas para las primeras dos celdas de los primeros dos reglones, y, por sustracción, las frecuencias de las otras celdas se encuentra que: Debajo del promedio Promedio Sobre el promedio Total Deficiente 112*60/400 112*188/400 42,6 112 l jo ot e a i Promedio 167*60/400 167*188/400 63,5 167 b x n a e É rt Muy buena 18,1 56,9 45,9 121 Total 60 188 152 400
Aplicando la formula: 2
j
2
(o j e j ) 2 ej
(23 16,8)
2
16,8
(60 52,6) 52,6
2
(29 42,6) 42,6
2
(28 25,0) 25
2
(79 78,5) 78,5
2
(60 63,5) 63,5
2
(9 18,2) 18,2
2
(49 56,9) 56,9
2
(63 45,9)
2
59,9
20,34 2
Decisión: Dado que
20,34 sobrepasa 13,277, la hipótesis nula debe rechazarse; se concluye que existe dependencia
entre el aprovechamiento de un empleado en el programa de capacitación y su éxito en el trabajo.
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6- Una moneda da 6 caras en 6 tiradas. ¿Podemos concluir al nivel de significación a) 0.05 b) 0.01 de que la moneda está trucada? Ref.: Estadística Schaum Ejer. 10.27 Solución: Contraste a dos colas Hay que decidir entre dos hipótesis: H0: p = 0,5 y la moneda es buena HA: p 0,5 y la moneda no es buena
La probabilidad de obtener 6 caras en 6 tiradas, con p = 0,5 utilizando la distribución binomial está dada por: 6
p(X 6)
C 66
0
1 1 1 0,015625 2 2 64
las demás posibilidades están dadas por: p( X
p(X
1)
p(X
5)
6
64
; p(X
2)
0)
p(X
p(X
4)
6)
1
15
64
64
0,015625
; p(X
3)
20
64
la distribución de probabilidades es como se indica: p( X ) 20 64
15
15 64
6
6 64
1 64
64
64
1 64
X
Contraste a una sola cola: como 1/64 = 0,015625 > 0,01 y 1/64 = 0,015625 < 0,05 rechazamos H0 al nivel 0,05 pero no al nivel 0,01 Contraste a dos colas: como 1/64 + 1/64 = 1/32 > 0,01 y 1/64 + 1/64 < 0,05 rechazamos H 0 al nivel 0,05 pero no al nivel 0,01
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7- Se lanzan tres monedas 240 veces, los resultados obtenidos se recogen en la siguiente tabla. Contrastar la hipótesis de que las monedas son bue nas al nivel de significación 0,01. 3 caras 0 cruz
2 caras 1 cruz
1 cara 2 cruces
0 cara 3 cruces
24
98
95
23
Frecuencia Observada Solución
Hipótesis nula: p1 = p2 = p3 = 0,5 y las monedas son buenas Hipótesis alternativa: las monedas no son buenas Nivel de significación = 0,01 Nro de grados de libertad: h-1 = 4 – 1 = 3 2
Criterio: se rechaza la hipótesis nula si la formula: 2
ek
, o sea el valor de
0 , 99
2
2
para 3 grados de libertad, donde
esta dado por
(o j e j ) 2 ej
j
ok
11,3
: frecuencia observada : frecuencia esperada 3 caras
2 caras
1 cara
0 cara
0 cruz
1 cruz
2 cruces
3 cruces
24
98
95
23
3x0,52x0,5x240=
3x0,5x0,52x240=
90
90
Frecuencia Observada Frecuencia esperada
0,53x240= 30
0,53x240= 30
Aplicando la formula:
2
j
(o j e j ) 2
( 24 30) 2
ej
Decisión: Dado que son buenas.
30
2
(98 90) 2 90
(95 90) 2 90
(23 30) 2 30
1,2 0,71111 0,27777 1,63333 3,8221
3,8221 es menor que 11,3, la hipótesis nula no puede r echazarse y se concluye que las monedas
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8- En un examen de ortografía, la nota media de 32 niños ha sido 72 con desviación típica de 8, mientras que la nota media de 36 niñas ha sido 75 con una desviación típica de 6. Contrastar la hipótesis de que al nivel de significación 0,05 las niñas superan a los niños en ortografía. a) Hay que decidir entre dos hipótesis: H0 : niñas = niños, y no hay diferencia entre las niñas y los niños en ortografia H1 : niñas niños, y las niñas superan a los varones en ortografia.
Bajo la hipótesis H0, 2
x1 x 2
0
y
x1 x 2
1
N 1
2
2
N 2
6
2
36
8
2
32
1,732
donde hemos usado las desviaciones típicas muestrales como estimaciones de 1 y 2. Luego: z
X 1
75
X 2
72
x1 x 2
1,73
1,73
Con un contraste a una sola cola al nivel de significación 0.05 rechazaríamos H 0 si z fuera mayor que 1.645 (valor de z para nivel 0.05), la aceptaríamos en caso contrario Conclusión: podemos afirmar con un nivel de significación 0.05 que las niñas superan a los niños en ortografía.
9- Los siguientes datos se refieren a las concentraciones de rayos cósmicos medidas a varias alturas ye
e
x
medidas sobre el nivel del mar. Sabiendo que la curva de Gompertz tiene la forma , se pide ajustar una curva de este tipo a los datos dados. ¿Cuál sería la concentración de rayos cósmicos al nivel del mar? Altura (pies) 50 250 450 650
Concentración de rayos cósmicos 28 30 39 51
10- Dos tipos de soluciones químicas A y B, han sido probados para ver su Ph (grado de acidez de la solución). El análisis de 6 muestras de A arroja un pH medio 7.52 con desviación típica 0.024, mientras que 5 muestras de B dan un pH medio 7.49 con desviación típica 0.032. Usando nivel de significación 0.05, determinar si los dos tipos de soluciones tienen distinto Ph. Ref.: Estadistica Schaum Ejer. 11.34.
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11- Los siguientes datos son el número de ventas que una muestra de nueve vendedores de vehículos en Asunción y una muestra de seis vendedores en Encarnación realizaron en cierto periodo fijo: Asunción
59
68
44
71
63
46
Encarnacion
50
36
62
52
70
41
69
54
48
Utilícese un ensayo bilateral con nivel de significación del 0,01 para probar si la diferencia entre la media de las dos muestras es significativa. Solución: Hipótesis nula: 1
2
Hipótesis alternativa: 1 Nivel de significación
0 y la diferencia no es significativa.
2 y la diferencia es significativa.
=
0,01
N
2
N
1 2 Grados de libertad = 9 + 6 – 2 = 13 Criterio: Utilizando un ensayo a dos colas se acepta la hipótesis nula si
3,01 t
3,01 , de lo contrario se
acepta la hipótesis alternativa. El estadístico t se obtiene de la formula: X 1
t
X 2
1
N 1
donde
1
N 1 s1
N 1
2
N 2 s2
N 2
2
2
N 2
X 1 , X 2 : Media muestral de población 1 y 2
s1 , s2 : Desviación típica muestral de 1 y 2 N 1, N 2 : tamaño de la muestra de la población 1 y 2
Cálculos: N
X j j 1
X 1
N
N
S 1
X
j
j 1
___ X
59 68 44 71 63 46 69 54 48 9
522 9
58
2
N
59 582 9
68 582 9
44 582 9
71 582
9
63 58 2 9
46 58 2 9
69 58 2 9
54 58 2 9
48 58 2 9
872 9
N
X j X 2
j 1
N
___ X j X j 1 N
S 2
N 1
N
9
50 36 62 52 70 41 6
311 6
51,833
2
N 2
50 51,8332 36 51,8332 62 51,833 2 52 51,833 2 70 51,833 2 41 51,833 2
6
6
6
6
6
6
4829 3
6
luego calculando t:
58 51,833
t
9 x
872
4829
6 x 9 36 962
x
1 9
1 6
Conclusión: Como t = 1,030 esta en el intervalo
6,1667 872
4829
13 3,01 t
6
x
6,1667 35,82977
6,1667 5,98579
1,030
5 18
3,01 ; Se acepta la hipótesis nula de que la diferencia entre las
medias no es significativa.
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12- La Cátedra de Probabilidad y Estadística quiere contrastar tres tipos distintos de enseñanza: I, II, III. Para ello, escoge al azar tres grupos de 5 estudiantes cada uno, y aplica a cada grupo un método distinto. Tras proponer, al final del semestre, el mismo examen a todos ellos, se obtienen las notas que indica la siguiente tabla: Método I Método II Método III
75 81 73
62 85 79
71 68 60
58 92 75
73 90 81
Determinar si hay diferencia significativa entre los tres métodos al nivel de significación (a) 0,05 y (b) 0,01. 13- Como parte de la investigación del derrumbe del techo de un edificio, un laboratorio prueba todos los pernos disponibles que conectaban la estructura de acero en tres distintas posiciones del techo. Las fuerzas requeridas para “cortar” cada uno de los pernos (valores codificados) son las siguientes: Posición 1: 90 ; 82 ; 79 ; 98 ; 83 ; 91 Posición 2: 105 ; 89 ; 93 ; 104 ; 89 ; 95 ; 86 Posición 3: 83 ; 89 ; 80 ; 94 Efectuar una análisis al nivel de significación 0,05 para verificar si las diferencias entre las medias son o no significativas. 14- Con el fin de probar un fertilizante, se tomaron 24 parcelas de igual área, de las que la mitad se trataron con ese fertilizante y las otras no ( el grupo de control ); por lo demás, las condiciones fueron idénticas para todas ellas. La producción media de trigo en las parcelas sin tratar fue de 4.8 bushels con desviación típica de 0.4 bushels, y en las tratadas fue de 5.1 bushels con desviación típica de 0.36 bushels. ¿ Se puede concluir que se produjo la mejora a causa del nuevo fertilizante?. Ref.: Estadística Schaum. Ejer. 11.9 15- Se analiza la fracción de productos defectuosos producidos por dos líneas de producción. Una muestra aleatoria de 100 unidades provenientes de la línea 1 contiene 10 que son defectuosas, mientras que una muestra aleatoria de 120 unidades de la línea 2 tiene 25 que son defectuosas. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la diferencia en fracciones de productos defectuosos producidos por las dos líneas. Solución: Línea 1: N = 100 ; p1 = fracción de defectuosos = 10/100 = 0.1 Línea 2: N = 120 ; p2 = fracción de defectuosos = 25/120 = 0.21 Fórmula para el intervalo de diferencias: p 2 p 1 z c p
con
p
p 1q 2 N 2
p1 q 1 N 1
Luego, como para un nivel de confianza del 99% el valor de zc = 2.58, el intervalo está dado por: 0.21 0.1 2.58
0.21 0.79 120
0.1 0.9 100
;
0.11 0.12
Luego, el intervalo de confianza del 99% para la diferencia en fracciones de productos defectuosos – producidos por las dos líneas está dado por: – 0.014 p1 – p2 0.234 , ó también: 1.4% p1 – p2 23.4%
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16- Un artículo publicado en la revista The Enginer ( junio 1999), notificó los resultados de una investigación sobre los errores en el cableado en aeroplanos comerciales que pueden producir información falsa a la tripulación. Es posible que tales tipos de errores de cableado hayan sido responsables del desastre de la British Airways en enero de 1989 al provocar que el piloto apagara el motor equivocado. De 1600 aeroplanos seleccionados al azar, se encontró que el 8% tenían errores en el cableado que podían mostrar información falsa a la tripulación. a) Encontrar un intervalo de confianza del 99% para la proporción de aeroplanos que tienen este tipo de cableado. Interpretar la respuesta. b) Suponiendo que se utiliza este ejemplo para proporcionar una estimación preliminar de p, ¿ de qué tamaño debe se la muestra para producir una estimación de p que difiera, con una confianza de 99% del verdadero valor a lo más en 1%?. Interpretar. c) ¿ De que tamaño debe ser la muestra si se desea tener una confianza de al menos 99% de que la proporción muestral difiera de la proporción verdadera a lo más en 1%, sin importar cual sea el valor verdadero de p ? Interpretar. Solución: a) N = 1600 aeroplanos ; p(error) = 0.08 ; p/ 99% de confianza: zc = 2,58
p z c
pq
;
N
0,08 0,92
0,08 2,58
1600
;
0,08 0,017
Respuesta: Con un 99% de confianza, podemos afirmar que la proporción de aeroplanos que tienen este tipo de error se encuentran entre el 6,3% y 9,7%. b)
e z c
pq N
2
2
2,58 z ; N c pq ; N 0,08 0,92 4899,1104 0 , 01 e
Respuesta: El tamaño de la muestra debe ser de al menos 4900 aeroplanos, para que la proporción muestral no difiera del verdadero a lo más en 1%. c) Si no conocemos el valor de p tomamos error posible:
e zc
pq N
2
p = 0,5 y q = 0,5 ya que estos son los valores que pueden producir el mayor 2
2,58 z ; N c pq ; N 0,5 0,5 16641 e 0 , 01
Respuesta: Si no conocemos el valor de p, y tomamos p = 0,5, entonces el tamaño de la muestra debe ser de al menos 16641 aeroplanos. Esto es aproximadamente 3 veces mayor que si conocemos el valor de p.
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17- Un científico de la computación ha desarrollado un algoritmo para generar números enteros seudoaleatorios en el intervalo 0 – 9. El científico codifica el algoritmo y genera 1000 dígitos seudoaleatorios. La siguiente tabla contiene los datos de las frecuencias observadas. ¿Existe evidencia de que el generador funciona de manera correcta al nivel de significación 0.05? Ref. Estadística Schaum. Ejer. 12.5 Números aleatorios Frecuencia
0
1
94
93
2
3
4
112 101 104
5
6
7
8
9
95
100
99
108
94
Solución: Calculamos las frecuencias esperadas: Números aleatorios Frec. Observadas Frec. Esperadas
0 94 100
1 93 100
2 112 100
3 101 100
4 104 100
5 95 100
6 100 100
7 99 100
8 108 100
9 94 100
total 1000 1000
Formulamos las hipótesis: H0: El generador de números aleatorios funciona de manera correcta. HA: El generador de números aleatorios funciona de manera incorrecta. Cálculo de 2: 2
(o e)
2
0,36 0,49 1,29 0,01 0,15 0,26 0 0,01 0,59 0,36 3,72
e
2
Como 2 < .95 16,9 , entonces caemos en zona de aceptación.
Conclusión: Al nivel 0,05
no hay razón para rechazar la hipótesis nula, con lo que se concluye que el generador de números aleatorios funciona de manera correcta. 0,05 2 .95
16,9
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18- Dado los siguientes datos: a) Ajustar una curva de la forma y
1
y graficar los datos y la curva. m bx b) Calcular e interpretar el coeficiente de correlación. X 1 2 3 4 5 6 7 Y 1.58 1.42 1.24 1.10 1.05 0.95 0.81 Solución:
1
y
m bx
X Y Z=1/Y X2 ZX Yest (Yest-Ymed)2 (Y-Ymed)2
m b
1
;
y
1 1.58 0,633 1 0,633 1,63 0,221 0,1764
Z X 2 N X 2
2 1.42 0,704 4 0,704 1,41 0,063 0,0676
ZX X
(X)
N ZX Z X N X 2
m bx
(X)
2
2
3 1.24 0,806 9 0,806 1,24 0,0064 0,0064
4 1.10 0,909 16 0,909 1,11 0,0025 0,0036
5 1.05 0,952 25 0,952 1,01 0,0225 0,0121
6,292 140 28 27,818 7 140 282
7 27,818 28 6,292 7 140 282
Con m = 0,52 y b = 0,09 la ecuación pedida es:
y
6 0.95 1,053 36 1,053 0,92 0,0576 0,0441
7 0.81 1,235 49 1,235 0,84 0,1024 0,1225
28 6,292 140 27,818 0,469 0,4835
0,52
0,094 1
0,52 0,09 x
El coeficiente de correlación está dado por:
r
( Yest Y ) (Y
Y)
2
2
0,469 0,4835
0,99 . Con este valor de r = 0,99 podemos afirmar que la correlación entre los datos
dados y los de la curva es perfecta.
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19- A una muestra aleatoria de 30 empleados de nivel secretarial de una organización grande, el departamento de selección de personal le aplica una prueba estándar de mecanografía. Los resultados muestrales son: X = 63 p.p.m. (palabras por minuto) y S = 5 p.p.m. Pruebe la hipótesis de las secretarias exceden la velocidad de mecanografía de 60 p.p.m., utilizando = 1%. Considerando que si la velocidad promedio de mecanografía es de 64 p.p.m. se tiene una diferencia considerable con respecto al valor hipotético de 60 p.p.m., determinar: a) Error tipo I (). Interpretar. b) Error tipo II (). Interpretar. c) Encontrar la potencia de la prueba (1 - ) e interpretar lo que ello significa.
Solución: N = 30 ; X =63 ppm ; S = 5 ppm H0 : m = 60 ppm, y no hay diferencia entre las velocidades en mecanografía con el valor hipotético H1 > m = 60 ppm, y hay diferencia entre las velocidades en mecanografía con el valor hipotético De la tabla, para a = 1% z = 2.33
Cálculo de z: zc
X
63 60 5
N
3.28
30
Como zc > z rechazamos H0 y aceptamos A1 Conclusión: las secretarias exceden en velocidad mecanográfica al valor hipotético 60 ppm. a) a = 1% Conclusión: La probabilidad de rechazar una hipótesis verdadera es de 1% b)
X
zc
2.33
X
N
5 30
60
62.13 64 5
62.13 1.87
0.9128
2.05
30
b = 0.5 – ( Area entre z = 0 y z = -2.05 = 0.5 – 0.4798 = 0.0202 Conclusión: La probabilidad de aceptar una hipótesis falsa es de 2.02% c) Potencia = 1 – b = 0.9798 Conclusión: La probabilidad de rechazar una hipótesis falsa es de 97.98 %
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20- El número de pulgadas que una estructura recién construida se hunde en el suelo está dado por: y = 3 (1 – e- x), donde x es el número de meses que lleva construido. Con los siguientes valores de x e y en mediciones hechas, calcular: x 2 4 6 12 18 24 y 1,04 1,88 2,26 2,78 2,97 2,99 a) la ecuación que ajusta los datos b) el coeficiente de correlación c) estimar el hundimiento de una estructura a los 3 años de haberse construido. Solución:
Y = 3 ( 1 – e-ax ) ; y = 3 – 3 e-ax ; 3 e-ax = 3 – y ; tomando logaritmos miembro a miembro: ln (3 e-x) = ln (3 – y) ; ln 3 + ln e-x = ln (3 – y) ; ln 3 – x = ln ( 3 – y). Haciendo ln 3 = A, x = X, = – B, y ln (3 – y) = Y, tenemos: Y = A + B X x
y
Y = ln ( 3 - x )
Y
Xy
x
y e s t ( y e s t - y m
e d )
( y - y m
e d )
2 4
1 .0 4 1 .8 8
0 .6 7 0 .1 1
0 .4 5 0 .0 1
1 .3 5 0 .4 5
4 16
1 .1 4 1 .8 5
1 .3 8 3 8 0 .2 1 9 7
1 .6 3 8 4 1 .1 9 3 6
6
2 .2 6
-0 .3 0
0 .0 9
-1 .8 1
36
2 .2 9
0 .0 0 0 9
0 .0 0 3 6
12 18 24
2 .7 8 2 .9 7 2 . 99
-1 .5 1 -3 .5 1 -4 .6 1
2 .2 9 1 2 .3 0 2 1 .2 1
-1 8 .1 7 -6 3 .1 2 -1 1 0 .5 2
144 324 576
2 .8 3 2 .9 6 2 .9 9
0 .2 6 1 7 0 .4 0 9 7 0 . 44 9 6
0 .2 1 1 6 0 .4 2 2 5 0 .4 4 8 9
6 6 . 00
1 3 . 92
-9 . 15
3 6 . 35
-1 9 0 . 01
1 1 0 0 . 00
2 . 72 5 4
2 . 91 8 6
y m
e d =
2 .3 2
YX 2 XXY 9.15 1100 66 (190.01) A 1.10 2 6 1100 66 2 NX 2 X NXY XY 6 (190.01) 66 (9.15) B 0.24 2 6 1100 66 2 N X 2 X Como = – B, tenemos que = 0.24 Verificación para el valor de A: de la ecuación: ln 3 = 1.10 de los datos: A = 1.10. Entonces se verifica que ln3 A a) Con esto, la ecuación que ajusta los datos es: y = 3 (1 – e- 0.24 X) b) r
( y est y med ) 2 ( y y med ) 2
2.7254 2.9186
0.97
Conclusión: la correlación entre los datos y la curva de ajuste es perfecta c) Para 3 años, o sea 36 meses, tenemos: y = 3 (1 – e- 0.24 36) = 3
Conclusión: se estima que el hundimiento de la estructura a los 3 años de haberse construido es de 3 pulgadas.
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21- Una compañía de productos para el consumidor está desarrollando un nuevo shampú y está interesada en la altura de la espuma ( en mm ). La altura de la espuma tiene una distribución normal con desviación típica de 20 mm. La compañía desea probar: HO: = 175 mm, contra HA: > 175 mm, utilizando resultados obtenidas con 10 muestras. a) encontrar la probabilidad del error tipo I si la región crítica es X > 185 mm b) ¿cuál es la probabilidad de error tipo II si la verdadera altura promedio de la espuma es de 195 mm? c) Si el tamaño de la muestra fuese 16, ¿donde debe colocarse la frontera de la región crítica si se desea que la probabilidad del error tipo I siga siendo la misma que cuando el tamaño de la muestra era de 10 ? Solución: a)
z A z0
z
17 5
X 18 5
x 20 10
185 175 20 10
1,58
del apéndice II, para z = 1,58: A = 0,0571
Respuesta: el error tipo I, o sea la probabilidad de rechazar una hipótesis
verdadera, es del 5,71 %
b)
z
x 20
185 195 20
10 175
1,58
10
del apéndice II, para z = 1,58: = 0,0571
Respuesta: el error tipo II, o sea la probabilidad de aceptar una
195
X 18 5
hipótesis falsa, es del 5,71 %
c)
Xz
N
1,58
20 16
175 182,9
Respuesta: Para tamaño de la muestra 16, y si se desea que la probabilidad del error tipo I siga siendo la misma que cuando el tamaño de la muestra era A z0 17 5
z
de 10, la frontera de la región crítica debe colocarse en X = 182,9 mm.
1,58
X ?
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22- Cuando muestreamos de una población infinita, ¿ qué sucede con el error estándar promedio si el tamaño de la muestra: b1) aumenta de 100 a 200 b2) aumenta de 200 a 300 b3) disminuye de 360 a 90 ? el error está dado por :
e
z
N
b1) N1 = 100 ; N2 = 200
e1 e2
z z
100
( )
e1 e2
200 100
e2
e1 2
200 Respuesta: Cuando muestreamos de una población infinita, el error estándar promedio si el tamaño de la 2
muestra aumenta de 100 a 200 queda dividido por b2) N1 = 200 ; N2 = 300
e1 e2
z z
200
( )
e1 e2
300 200
e2
.
2 3
e1
300 Respuesta: Cuando muestreamos de una población infinita, el error estándar promedio si el tamaño de la muestra aumenta de 200 a 300 queda multiplicado por
2 3
.
b3) N1 = 360 ; N2 = 90
e1 360 360 () e2 90 e2 z 90 e1 z
e 2 2 e1
Respuesta: Cuando muestreamos de una población infinita, el error estándar promedio si el tamaño de la muestra disminuye de 360 a 90 queda multiplicado por 2
23- Dado una tabla de contingencia, se calcula 2. Luego, cada número se multiplica por una constante “k”. ¿ Cuánto valdría la nueva 2 ? Solución Sea 2 el valor ji-cuadrado para los datos iniciales y ’2 el valor ji-cuadrado para los datos multiplicados por una constante “k”. Por definición: 2
( o e) 2
e
. También: ' 2
(ko ke) 2
ke
k 2 (o e) 2
ke
k (o e) e
2
k 2
2
Conclusión: Si de una tabla de contingencia, se calcula . Luego, cada número se multiplica por una constante “k”, entonces el nuevo valor de2. queda multiplicado por la constante “k”.
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24- Se tiene interés en estudiar la rapidez de combustión de un agente propulsor sólido. Suponiendo que la desviación estándar de combustión es de = 2,5 cm/s y que la rapidez de combustión sigue una distribución normal. Se realiza una prueba sobre una muestra de 9 especímenes y se observa que el promedio de rapidez de combustión es de 48, 9 cm/s. El interés recae en decidir si la rapidez de combustión promedio es o no de 50 cm/s. a) Cuál sería la hipótesis alternativa y cual la hipótesis nula? Explicar el significado de cada una de ellas. b) Usaría un contraste a una o dos colas? ¿por qué? c) Qué regla de decisión adoptaría para un nivel de significación del 5%? d) Cuál es la probabilidad de cometer error tipo I? e) Suponiendo que la hipótesis alternativa específica verdade ra es = 52 cm/s, ¿cuál es el error tipo II? f) Calcular e interpretar la potencia de la prueba. Solución: a) H0: = 50 cm/s y el promedio de combustión es de 50 cm/s H1: 50 cm/s y el promedio de combustión no es de 50 cm/s b) Se usaría un contraste a dos colas, porque interesa saber si la rapidez de combustión promedio mayor o menor de 50 cm/s c) Para un nivel = 0,05: z = 1,96
zona de aceptación z2
1,96
z
0
z
1
1,96
50
Regla de decisión: a) Aceptar H0 si zc ( z calculada con los datos ) se encuentra entre – 1,96 y 1,96. b) Rechazar H0 en caso contrario. a) b)
la probabilidad de cometer error tipo I es del 5%.
51,63 52
z
2,5
9
0,44
50
51,63
52
:
del apéndice II, para = 32,99% Respuesta: la probabilidad de cometer error tipo II es del 32,99%. c)
la potencia de la prueba está dado por 1 – = 1 – 0,3299 = 0,6701 Respuesta: la probabilidad de rechazar correctamente una hipótesis nula falsa es del 67,01%.
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25- La presión P de un gas correspondiente a varios volúmenes V se registró de la siguiente manera: V(cm3) P(kg/cm2)
50 64,7
60 51,3
70 40,5
90 25,9
100 7,8
La ley de los gases ideales está dado por la fórmula P V = C, donde y C son constantes. Determinar la ecuación de la curva P V = C de regresión que ajuste a los datos. Solución: Para verificar cual de las dos curvas ajusta mejor a los datos, calculamos el coeficiente de correlación de ambas curvas. Para P V = C: Tomando logaritmos: ln (P V ) = ln C ; ln P + ln V = ln C ; para ln P = y ; ln V = x; ln C = b ; – = a ; tenemos: y = a x + b ( ecuación de una recta ) V(cm3) 50 60 70 90 100
= 370
P(kg/cm2) 64,7 51,3 40,5 25,9 7,8
190,2
x2 15,30392 16,76366 18,04971 20,24829 21,20759
xy 16,31220 16,12226 15,72496 14,64347 9,45959
y2 17,38691 15,50541 13,69964 10,59001 4,21942
21,35984 17,11714 91,57317
72,26248
61,40139
x = ln V 3,91202 4,09434 4,24850 4,49981 4,60517
y = ln P 4,16976 3,93769 3,70130 3,25424 2,05412
y= aN +b x 17,11714 = a 5 + b 21,35984 2 xy = a x + b x 72,26248 = a 21,35984 + b 91,57317 Con estos resultados, la recta auxiliar es: y = 5,32437 + 0,307411 x -1 C = ln 14,7594 = 2569957,706 ; = 2,65357 2,65357 Con estos resultados, la ecuación pedida es: P V = 2568863,128
a = 14,7594 b = – 2,65357
26- Una compañía produce sogas cuya tensión de ruptura tiene media de 300 libras y desviación típica de 24 libras. Se espera que un nuevo proceso de fabricación haga crecer la media. a- diseñar una regla de decisión para rechazar el proceso antiguo al nivel de significación 0,01 con una muestra de 64 sogas. b- Con esa regla de decisión, ¿cuál es la probabilidad de aceptar el antiguo procedimiento cuando de hecho el nuevo ha aumentado la tensión media de las sogas a 310 libras?. Suponer que no hay variación en la desviación típica. Ref. Estadística Schaum. Ejerc. 10.13
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27- El calor emanado, en calorías por gramo, de una mezcla de cemento tiene una distribución normal. Se piensa que la media es 100 y que la desviación estándar es 2. Se desea probar H0: = 100 HA: 100 con una muestra de n = 9 especimenes. a) Si se tiene la región de aceptación como 98.5 X 101.5, encuentre la probabilidad del error tipo I e interpretar. b) Encuentre ; error tipo II si la hipótesis alternativa especifica = 103 es verdadera Solución: Datos: = 100, = 2, N = 9 H0: = 100 HA: 100 a) error tipo I = ? X
z1
98.5 100 2 9
N z2
98.5
100
X
101.5 100 2
2.24
9
N
101.5
2.24
El error tipo I está dado por el área A sombreado Del apéndice II: A = área = 1 – ( 0.4875 + 0.4875 ) = 0.025 Rta.: el error tipo I es de 0.025; esto significa que la probabilidad de rechazar una hipótesis verdadera y que debería ser aceptada es del 2.5%. b)
error tipo II = ?
para A 0.4875 z1
X
N =100
z
101.5
101.5
103
z 2.24
Xz
N
2.24
2 9
100 101.5
=103
2.24
0.67
A -2.24 El error tipo II está dado por el área A sombreado Del apéndice II: A = área = 0.5 – 0.4875 = 0.0125 ; = error tipo II = 1.25% Rta.: el error tipo II es de 0.0125; esto significa que la probabilidad de aceptar una hipótesis falsa y que debería ser rechazada es del 1.25%.
28- Las siguientes muestras aleatorias son mediciones de la capacidad de producción de calor ( en millones de calorías por tonelada) de especímenes d e carbón de dos minas: Mina 1: 8,260 8,130 8,350 8,070 8,340 Mina 2: 7,950 7,980 7,900 8,140 7,920 7,840 Utilícese el nivel de significancia 0,01 para probar si la diferencia entre la media de las dos muestras es significativa.
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29- Si la distribución del peso de los soldados (incluidos armas y equipamientos) que viajan en avión a Irak y Afganistán tiene una media de 163 kilos y una desviación estándar de 18 kilos (suponer distribución normal): a- ¿cuál es la probabilidad de que el peso total combinado de 36 de esos soldados sea mayor que 6000 kilos? b- Si de ahora en adelante se decide transportar solo a los soldados, sin armas ni equipamientos (estas armas y equipamientos tienen un peso exacto de 90 kilos), ¿cuál es la probabilidad de que el peso combinado de 36 de esos soldados sea menor que 2750 kilos? Solución: 163
;
18
;
muestral
N
18 36
3 6000
Si el peso total combinado de 36 soldados es de 6000 kilos, cada uno de ellos pesará en pr omedio
36
500
3
. Este peso
estandarizado es:
500 z
3
163
3
1,22
A
z0
z 1,22
163
El área A a la derecha de z = 1,22 es A = 0,1112
Respuesta: la probabilidad de que el peso total combinado de 36 de esos soldados sea mayor que 6000 kilos es del 11,12 %. b) Si de ahora en adelante se decide transportar solo a los soldados, sin armas ni equipamientos (estas armas y equipamientos tienen un peso exacto de 90 kilos), la media será de 163 – 90 = 73 kilos, ya que si a un conjunto de datos se suma o se r esta una cantidad constante, la media queda aumentada o restada en esa misma cantidad. La desviación típica será igual a 3, ya que si a un conjunto de datos se suma o se resta una cantidad constante, la desviación típica no varía.
2750
2750 en unidades tipificadas es: z
36
73
3
1,13
El área A a la izquierda de z = 1,13 es A = 0,8708
A
z0
z 1,13
73
Respuesta: si de ahora en adelante se decide transportar solo a los soldados, sin armas ni equipamientos la probabilidad de que el peso combinado de 36 de esos soldados sea menor que 2750 kilos es del 87,08 %.
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30- El siguiente cuadro muestra los datos sobre el porcentaje de las llantas radiales producidas por cierto fabricante que aún pueden usarse después de recorrer cierto número de millas: Millas recorridas x (miles) Porcentaje útil y a) b) c) d)
1
2
5
10
20
30
40
50
98,2 91,7 81,3 64,0 36,4 32,6 17,1 11,3
Ajustar una curva exponencial del tipo y = x, por el método de mínimos cuadrados. Graficar los datos y la curva. Calcular e interpretar el coeficiente de correlación. Estimar qué porcentaje de las llantas radiales del fabricante duraran al menos 25000 millas.
Solución: Sea y = x la ecuación de la curva pedida. Tomando logaritmos tenemos: log y = log + x log y haciendo: z = log y ; a0 = log ; a1 = log calculamos la ecuación de una recta auxiliar del tipo z = a0 + a1 x
x
2
x 1 2 5 10 20 30 40 50
y 98,2 91,7 81,3 64,0 36,4 32,6 17,1 11,3
z = log y 1,99 1,96 1,91 1,81 1,56 1,51 1,23 1,05
zx 1 2,0 4 3,9 25 9,6 100 18,1 400 31,2 900 45,4 1600 49,3 2500 52,7
158
432,6
13,03
5530 212,1
2
a0
z x 2 x xz 2 2 Nx x
a0
a1
a1
2
yest
(yest-ymed)
(y-ymed)
96,0 92,1 81,5 66,5 44,2 29,4 19,5 13,0
1757,7 1445,9 752,1 154,4 97,5 608,9 1195,4 1687,2
1947,0 1415,6 741,2 98,5 312,4 461,2 1367,2 1829,7
7699,1
8172,8
13 5530 158 212,1 8 5530 158
2
2
2 2 Nx x
Nxz
x z
8 212,1 158 13,03 8 5530 158
2
0,018
con estos resultados: = ln-1 a0 =ln-1 2 = 100 ; = ln-1 a1 = ln-1 ( – 0,018) = 0,96 a)
Rta: la curva exponencial del tipo y = x que ajusta los datos es y = 100 0,96x
b) porcentaje útil (y) 100 90 80 70 60 50 40 30 10 20
millas recorridas [miles] (x) 5
c)
r
( Yest
10
Ymed ) 2
( Y Ymed
)2
15
20
7699,1 8172,8
25
30
35
40
45
50
0,97
Rta: para el coeficiente -0,97, el ajuste de la curva exponencial con los datos es perfecta. d) El porcentaje de las llantas radiales que duraran al menos 25000 millas, está dado por: y = 100 0,9625 = 36%
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31- Los datos siguientes datos se refieren a la cantidad de hidrógeno presente (y, en partes por millón) en muestras de sondaje taladradas en intervalos de un pie de longitud de un molde de fundición al vacío (x, localización de la muestra de sondaje en pies desde la base):
a) b) c) d)
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
1,28
1,53
1,03
0,81
0,74
0,65
0,87
0,81
1,10
1,03
Ajustar una parábola por el método de mínimos cuadrados. Graficar los datos y la parábola. Calcular e interpretar el coeficiente de correlación. Estimar la cantidad de hidrógeno presente en x = 7.
Solución: a) sea Y = a0 + a1 X + a2 X2 la ecuación de la parábola pedida. Formamos el sistema:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 1.28 1.53 1.03 0.81 0.74 0.65 0.87 0.81 1.1 1.03
55 9.85
x y
xy 1.28 3.06 3.09 3.24 3.7 3.9 6.09 6.48 9.9 10.3
x
x
x
1.28 1 1 1 6.12 4 8 16 9.27 9 27 81 12.96 16 64 256 18.5 25 125 625 23.4 36 216 1296 42.63 49 343 2401 51.84 64 512 4096 89.1 81 729 6561 103 100 1000 10000
51.04
358.1
2
2
yest
(yest-ymed)
(y-ymed)
1.46 1.22 1.03 0.89 0.8 0.76 0.76 0.82 0.93 1.1
0.225625 0.055225 0.002025 0.009025 0.034225 0.050625 0.050625 0.027225 0.003025 0.013225
0.087025 0.297025 0.002025 0.030625 0.060025 0.112225 0.013225 0.030625 0.013225 0.002025
0.47085
0.64805
385 3025 25333
Σ y = a0 N + a1 Σ x + a2 Σ x2 Σ xy = a0 Σ x + a1 Σ x2 + a2 Σ x3 Σ x2y = a0 Σ x2 + a1 Σ x3 + a2 Σ x4 9,85 = 10 a0 + 55 a1 + 385 a2 51,04 = 55 a0 + 385 a1 + 3025 a 2 358,1 = 385 a0 + 3025 a1 + 25333 a2 Resolviendo el sistema se obtiene: a0 = 1,751 ; a1 = – 0,316 ; a2 = 0,025
Y = 1,751 – 0,316 X + 0,025 X2
Rta: la parábola de mínimos cuadrados que ajusta los datos es b) y (p.p.m.) 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
c)
r
(Y est Y med ) (Y Y med )
2
2
0.47085 0.64805
0.72
Rta: Con este valor de correlación, podemos afirmar que existe una correlación significativa entre los valores estimados con la parábola y los datos. d)
Estimación de la cantidad de hidrógeno presente en x = 7: hacemos x = 7 en la ecuación de la parábola Y = 1,751 – 0,316 7 + 0,025 72 = 0,76 Rta: la cantidad estimada de hidrógeno en x = 7 es de 0,76.
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32- Los siguientes datos representan el volumen mensual de ventas (Y) en millones de guaraníes y los meses de experiencia en ventas de 6 vendedores profesionales de una fábrica de productora de alimentos. a) b)
ajustar una curva de la forma de fórmula Y = A + B X – 1 + C X – 2 + D X – 3 por el método de mínimos cuadrados. graficar los puntos y la curva de ajuste.
meses ventas
1 3
3 8
4 11
6 12
10 10
20 9
Solución: Hagamos el cambio de variable Z = X – 1 La ecuación de ajuste está dada por: Y = a0 + a1 Z + a2 Z2 + a3 Z3 Donde a 0 , a1 y a2 se obtienen resolviendo el sistema: Y= n A + B Z + C Z2 + D Z3 ZY = A Z + B Z2 + C Z3 + D Z4 Z2 Y = A Z2 + B Z3 + C Z4 + D Z5 Z3 Y = A Z3 + B Z4 + C Z5 + D Z6
Y(ventas) 3 8 11 12 10 9
X(meses) 1 3 4 6 10 20
53
44
Z=1/Y Z2 1 1 1/3 1/9 1/4 1/16 1/6 1/36 1/10 1/100 1/20 1/400
Z3 1 1/27 1/64 1/216 1/1000 1/8000
Z4 1 1/81 1/256 1/1296 1/10000 1/16000
437
12701
13182731
360
12000
12960000
19/10
53 = 6A+ 1,9 B 178/15 = 1,9 A + 437/360 B 4529/900 = 437/360 A + 12701/12000 B 95441/27000 = 12701/12000 A + 13182731/12960000 B
Z5 1 1/243 1/1024 1/7776 1/100000 1/3200000
Z6 1 1/729 1/4096 1/46656 1/1000000 1/64000000
1,00523
1,00164
ZY 3 8/3 11/4 2 1 9/20
Z2Y 3 8/9 11/16 1/3 1/10 9/400
Z3Y 3 8/27 11/64 1/18 1/1000 9/8000
178
4529
95441
15
900
27000
+ 437/360 C + 12701/12000 D + 12701/12000 C + 13182731/12960000 D + 13182731/12960000 C + 1,00523 D + 1,00523 C + 1,00164 D
de donde resulta: A = 7,46464 ; B = 45,032 ; C = – 160,424 ; D = 110,909 con estos valores, la ecuación de la curva pedida es : Y = 7,46464 + 45,032 X – 1 – 160,424 X – 2 + 110,909 X – 3
53 = 6A+ 1,9 B 11,86667 = 1,9 A + 1,21389 B 5,03222 = 1,21389 A + 1,05842 B 3,53485 = 1,05842 A + 1,01719 B
+ 1,21389 C + 1,05842 D + 1,05842 C + 1,01719 D + 1,01719 C + 1,00523 D + 1,00523 C + 1,00164 D
de donde resulta: A = 7,51733 ; B = 44,1612 ; C = – 157,383 ; D = 108,686 con estos valores, la ecuación de la curva pedida es : Y = 7,51733 + 44,1612 X – 1 – 157,383 X – 2 + 108,686 X – 3
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33- La siguiente tabla muestra la capacidad media anual de ganancias, en intervalos de 5 años, de un grupo de profesionales. Calcular y graficar la parábola de mínimos cuadrados que ajusta estos datos y calcular el coeficiente de correlación Grupos de edad Capacidad de ganancia
15 – 19
20 – 24
25 – 29
30 – 34
35 – 39
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
0,56
0,71
0,84
0,92
0,97
0,98
0,93
0,86
0,76
0,66
65 – 69 70 – 74 0,56
0,46
Solucion Grupos de edad 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74
x 17 22 27 32 37 42 47 52 57 62 67 72 534
Capacidad de ganancia 0,56 0,71 0,84 0,92 0,97 0,98 0,93 0,86 0,76 0,66 0,56 0,46 9,21
x2
x3
289 484 729 1024 1369 1764 2209 2704 3249 3844 4489 5184 27338
4913 10648 19683 32768 50653 74088 103823 140608 185193 238328 300763 373248 1534716
x4
xy
x2y
83521 9,52 161,84 234256 15,62 343,64 531441 22,68 612,36 1048576 29,44 942,08 1874161 35,89 1327,93 3111696 41,16 1728,72 4879681 43,71 2054,37 7311616 44,72 2325,44 10556001 43,32 2469,24 14776336 40,92 2537,04 20151121 37,52 2513,84 26873856 33,12 2384,64 91432262 397,62 19401,14
(yest – ymed)2
(y – ymed)2
0,03114 0,00209 0,00307 0,01616 0,02867 0,03313 0,02730 0,01414 0,00186 0,00387 0,03880 0,13052 0,33075
0,04306 0,00223 0,00526 0,02326 0,04101 0,04516 0,02641 0,00856 0,00001 0,01156 0,04306 0,09456 0,34414
Sea y = a0 + a1 x + a1 x2 la ecuación de la parábola pedida. Con los resultados obtenidos en la tabla formamos el siguiente sistema de ecuaciones: Σ y = a0 N + a1 Σ x + a2 Σ x2 Σ xy = a0 Σ x + a1 Σ x2 + a2 Σ x3 Σ x2y = a0 Σ x2 + a1 Σ x3 + a2 Σ x4 9,21 = 12 a0 + 534 a1 + 27338 a2 397,62 = 534 a0 + 27338 a1 + 1534716 a2 19401,14 = 27338 a 0 + 1534716 a1 + 91432262 a2 con resultados: a0 = – 0,07401 ; a1 = 0,04915 ; a2 = – 0,00059 2 La ecuación de la parábola es: y = – 0,07401 + 0,04915 x – 0,00059 x . Calculo del coeficiente de correlación r:
r
( y est ( y
y) 2
y) 2
0,33075 0,34414
0,98
El coeficiente de correlación es: r = 0,98
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