Probabilidad y Estadistica.pdf

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ESTADÍSTICA

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ESTADÍSTICA

Esenciales de... Estadística D.R.© 2008 Lápiz Tinta Editores, S.A. de C.V. Cda. de Seminario No. 53 México 01780, D.F.

Teoría y problemas de: Alejandro Fernández Gaos. Con la colaboración de: Profesor Carlos Ramírez Torres.

D.R.© de esta edición, Editorial Santillana, S.A. de C.V. Av. Universidad #767, 03100, México, D.F. ISBN: 978-970-29-1715-1 Primera edición: Febrero de 2008.

Dirección Editorial: Clemente Merodio López. Editora en Jefe de Bachillerato: Laura Milena Valencia Escobar. Coordinación de Arte y diseño: Francisco Ibarra Meza. Fotomecánica electrónica: Gabriel Miranda Barrón, Manuel Zea Atenco y Benito Sayago Luna.

La presentación y disposición en conjunto y de cada página del libro Esenciales de... estadística, son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria editorial Mexicana. Reg. Núm.802

Impreso en México.

Estadística CAPÍTULOS

Unidad

1

INTRODUCCIÓN

Unidad

2

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

11

Unidad

3

DATOS BIVARIADOS

63

Unidad

4

PROBABILIDAD

93

Unidad

5

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

125

Unidad

6

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

161

Unidad

7

INFERENCIA ESTADÍSTICA

179

1

iii

Contenido 1. Introducción

1

1.1. Estadística

1

Noción y utilidad 1.2. Variable

4

Dominio de una variable Variable discreta Variable continua 1.3. Población y muestra

6

Estadística descriptiva Estadística inductiva

iv

1.4. Azar y probabilidad

7

•

8

Fenómenos deterministas y fenómenos aleatorios

2. Estadística descriptiva

11

2.1. Recopilación de datos

11

• • • •

11 13 15 15

Tablas de distribución de frecuencias Tablas de distribución porcentual Tablas de distribución acumulativa Tablas de distribución cualitativas

2.2. Representaciones gráficas

22

• • • • •

23 23 23 24 25

Histogramas Gráfica de barras Polígonos de frecuencias Ojivas Gráfica circular

Estadística 2.3. Medidas de tendencia central

29

• • • • •

Media aritmética Media aritmética ponderada Media aritmética para datos agrupados Mediana Moda

29 30 31 36 38

2.4. Medidas de dispersión y de posición

49

• • • •

49 49 51 56

Rango o amplitud Desviación media Desviación estándar y varianza Dispersión absoluta y relativa: coeficiente de variación

3. Datos bivariados

63

3.1. Relación entre dos variables

63

• •

63 65

• •

Variables cualitativas Variables cuantitativas Diagramas de dispersión Relación lineal Recta de mínimos cuadrados Regresión lineal

70 72

3.2. Correlación lineal

82

• •

82 86

Error estándar estimado Coeficiente de correlación lineal

4. Probabilidad

• • •

93

4.1. Enfoques de la probabilidad

93

Subjetivo Clásico Frecuencial

93 93 94

v

Contenido 4.2. Posibilidades

96

•

96

• •

100 102 103

4.3. Probabilidad de eventos simples y compuestos

108

• •

108 109 110 112 112 115 117 118

• • • •

vi

Conteo y diagramas de árbol Multiplicación de opciones Permutaciones Factoriales Combinaciones Coeficientes binomiales

Espacio muestral Eventos Diagramas de Venn-Euler Propiedad aditiva Postulados de la probabilidad Propiedad de la multiplicación Probabilidad condicional e independencia Probabilidades y posibilidades

5. Distribuciones de probabilidad

125

5.1. Variable aleatoria discreta y distribuciones de probabilidad

125

•

126

Valor esperado y desviación estándar

5.2. Distribución binomial

132

5.3. Distribución normal

141

• •

141 145

Modelo de probabilidades continuo Distribución normal estándar

6. Distribuciones muestrales

161

6.1. Población y muestra

161

Estadística • •

Muestreo con o sin reemplazo Muestra aleatoria simple

161 164

6.2. Parámetros y estadísticos

168

• • •

168 168 169

Variabilidad muestral Distribución muestral de medias Distribución muestral de proporciones

6.3. Teorema del límite central

173

7. Inferencia estadística

179

7.1. La estimación

179

•

180

Estimación puntual y por intervalos

7.2. Intervalos de confianza para la media y la proporción

183

• •

Intervalo de confianza para la media poblacional Intervalo de confianza para una proporción

184 188

7.3. Prueba de hipótesis para la media y la proporción • Prueba de hipótesis para la proporción • Muestras grandes • Muestras pequeñas

191 196 196 197

Respuestas

205

vii

Capítulo 1

1

Introducción

1.1. Estadística La estadística es la ciencia y el método científico que se ocupa de la recogida y obtención de datos, de su tratamiento para expresarlos numéricamente y de su análisis para extraer conclusiones a partir de ellos. Recolectar, organizar, resumir, presentar y analizar datos son algunas de sus principales funciones. Esta disciplina estudia cuantitativamente los fenómenos de masa o colectivos, o sea, aquellos fenómenos cuyo estudio sólo puede efectuarse a través de una colección de observaciones. La estadística no sólo es útil para el campo de las ciencias, también es una disciplina que puede ayudarnos en la mayoría de nuestras actividades cotidianas; por ejemplo, cuando vemos los resultados de alguna elección ciudadana, cuando vamos al supermercado, cuando recibimos nuestras notas en la escuela, cuando observamos los resultados de nuestro equipo favorito, cuando vamos al banco o cuando simplemente queremos saber el estado de nuestras finanzas; en fin, en todo momento estamos en contacto con ella y por eso, entre muchas otras cosas más complejas que se tratarán en este libro, es de gran utilidad esta ciencia y todo lo que se deriva de ella.

EJE M

Ejemplo 1.1.1 Para saber a dónde nos conviene ir al supermercado (para cuidar nuestras finanzas), tendremos que recopilar datos de diferentes tiendas y así saber cuál nos representa el menor de los gastos, o cuál es mejor para comprar fruta y en cuál conviene comprar electrodomésticos. Normalmente ésto lo hacemos mecánicamente, pero existen métodos matemáticos que resultan muy útiles para obtener resultados precisos.

Ejemplo 1.1.2 Para saber qué candidato es el idóneo y qué probabilidades tiene de ganar en una contienda electoral; podemos consultar las encuestas y los análisis estadísticos.

1. INTRODUCCION

1

OS PL

Estadística Ejemplo 1.1.3 Para saber qué resultados debe obtener nuestro equipo en el fútbol y así poder llegar a las finales, tendremos que analizar cuántas victorias, empates y derrotas tiene, cuántos goles a favor y cuántos en contra, así como los datos de sus rivales; esto es análisis de estadísticas deportivas. Además de estos usos, la estadística ha sido empleada para engañar a otros. Esto es posible ya que los métodos de los que se vale pueden ser manipulados para obtener los resultados que se deseen.

PROBLEMA

Una mala estadística puede resultar del planteamiento de preguntas en forma incorrecta o de la realización de entrevistas a las personas equivocadas, o de preguntas en el lugar o momento incorrecto.

SR

ESUELTOS

Ejemplo 1.1.4 Para determinar el sentimiento del público acerca de una nueva ley gubernamental que está por ponerse en práctica, un entrevistador pregunta a la gente: ¿Cree usted que deba ponerse en marcha esta injusta ley? Solución: El entrevistador manipula su posible respuesta al ponerle el adjetivo de injusta, lo cual provoca información inútil, si lo que se busca es obtener una opinión imparcial sobre dicha ley.

Ejemplo 1.1.5 Para pronosticar una elección, un encuestador entrevista solamente a las personas que salen de un prestigioso centro comercial. ¿Por qué esta situación puede generar información inútil? Solución: Porque es más probable que las personas que salen del centro comercial apoyen a un candidato en específico por sus condiciones socioeconómicas y ésto no da un parámetro general de la popularidad del candidato en gente con otro nivel de vida. 2

Capítulo 1 Ejemplo 1.1.6 Para estudiar los patrones de gasto en una compañía de un grupo de ingresos determinado, se realiza un estudio durante las dos primeras semanas de enero. ¿Por qué se podría generar información errónea con este método? Solución: Los gastos de enero no son típicos durante todo el año, por lo que este estudio estadístico arrojaría datos irreales sobre los patrones de gasto de la compañía.

EJER

EJERCICIOS 1.1 1.1.1. Explica por qué cada uno de los siguientes estudios quizá no genere la información deseada: a) Para determinar el ingreso promedio anual de sus habitantes, el departamento gubernamental correspondiente de una ciudad creó un cuestionario para ser contestado vía telefónica por los ciudadanos, marcando números al azar. b) Para pronosticar qué equipo de fútbol mexicano será el campeón, un encuestador entrevista a las personas que salen de dos estadios de la Ciudad de México. c) Para determinar cuántos productos se rompen y se pierden anualmente en una tienda de abarrotes, y así poder pronosticar y contemplar el riesgo de sus pérdidas, se decide contar todos los domingos a la hora de abrir los productos en existencia y cotejarlos con los contados a la hora de cerrar. 1.1.2. Para determinar si un secretario de una institución gubernamental debe seguir en su cargo, un encuestador pregunta: ¿Piensa usted que este secretario derrochador debería continuar en su cargo? Explica por qué esta pregunta quizá no obtendrá la información deseada. 1.1.3. Para determinar qué sabor de refresco es el más vendido, un encuestador recorre todas las mañanas diferentes rutas sin repetir visita en caso de que nadie se encuentre en casa. ¿Por qué este procedimiento puede generar información equivocada?

1. INTRODUCCION

3

CIC

IOS

Estadística 1.1.4. Para saber si los aficionados de un equipo de baseball están de acuerdo con el trabajo de la directiva y del entrenador, una revista de deportes pregunta: “¿Está usted de acuerdo con el trabajo del entrenador de su equipo a pesar de que juegan muy mal?”. ¿La información obtenida es veraz o manipulada (y por lo tanto errónea)? 1.1.5. Para averiguar si los zapatos que produce una compañía son de buena calidad, se realiza una encuesta a todos los trabajadores de la compañía. Explique por qué el planteamiento de este método puede generar información inútil.

1.2. Variable Una variable es un símbolo, ya sea x, y, z, X, H o B, que puede tomar cualquiera de los valores de un conjunto predeterminado llamado dominio de la variable. Si la variable sólo toma un valor, entonces la variable se llama constante.

EJE M

A una variable que toma cualquier valor entero se le llama variable discreta; si no es así, se le denomina variable continua, que toma cualquier valor entre dos valores dados. El número de hijos que cada una de 100 familias tiene es un ejemplo de datos discretos, mientras que el peso de cada uno de los hijos es un ejemplo de datos continuos. En general, las mediciones (longitud, peso, tiempo, temperatura, etc.) son variables continuas, mientras que los valores numéricos que no se pueden fraccionar son variables discretas (número de habitantes, miembros de una familia o de una universidad, empleados en una fábrica, número de países, etc.).

Ejemplo 1.2.1

OS PL

El número (N) de empleados que tiene una compañía sólo puede tomar valores enteros (1, 2, 3, 4, 5…), por lo tanto, es una variable discreta y el dominio de este conjunto de valores o datos comprende desde el uno hasta el número total de empleados.

Ejemplo 1.2.2 La altura (A) de los empleados de una fábrica, en donde uno de ellos puede ser de 1.7, 1.73 ó 1.73481 metros, dependiendo de la exactitud de las mediciones, es una variable continua; y el dominio de este ejemplo comprende desde el empleado más bajo de estatura hasta el más alto. 4

Capítulo 1

1.2.1. De los siguientes incisos señala cuáles representan datos discretos y cuáles datos continuos:

EJER

EJERCICIOS 1.2

a) La estatura de los estudiantes en una universidad. b) El número de equipos de fútbol que participa en un torneo. c) La temperatura registrada en una solución química cada minuto. d) El tiempo de vida de los focos caseros. e) Los metros que recorre un jugador de fútbol durante un partido de 90 minutos. f) El número de libros terminados que produce una editorial anualmente. g) El tamaño de las cajas que compra una compañía para distribuir su producto. h) La longitud de 3 000 clavos que produce una fábrica al día. i) El tiempo que se tarda un automóvil en recorrer 10 kilómetros con distintas condiciones climatológicas. j) El número de países que firmaron un tratado. k) El peso de los bebés recién nacidos en un hospital.

1.2.2. De los siguientes incisos, señala cuál es el dominio de las variables y menciona si son discretas o continuas: a) El número (N) de litros de leche que produce una vaca al mes. b) La suma (S) de los puntos obtenidos al lanzar 2 dados. c) El tiempo (T) que un avión tarda en llegar a 1000 metros de altura. d) El estado civil de una persona. 1. INTRODUCCION

5

CIC

IOS

Estadística e) El número (H) de hojas de un árbol. f) El número (L) de libros completos que se leen en México anualmente. g) El peso (P) que cargan diariamente unos camiones que van desde 1 hasta 6 toneladas. h) El número (M) de monedas de 10 pesos que circulan en el mercado. i) La velocidad (V) de un automóvil en kilómetros por hora. j) El Estado (E) en México. k) El diámetro de una esfera.

1.3. Población y muestra

EJE M

Se le llama población o universo al grupo de datos recolectados que determinan las características de individuos u objetos. Este grupo de datos puede llegar a ser muy grande y, por lo tanto, imposible o impráctico de analizar; aquí es cuando se necesita examinar una pequeña parte del grupo llamada muestra.

OS PL

Ejemplo 1.3.1 Las alturas y los pesos de los deportistas mexicanos arrojan una gran cantidad de datos; a todo este grupo de datos se le denomina población; para ahorrarnos tiempo y trabajo examinamos sólo una parte confiable que genere lo que estamos buscando; a esta pequeña parte de la población se le denomina muestra. Cuando una muestra es representativa de una población, de su análisis se pueden inferir conclusiones importantes acerca de la población; a estas inferencias se les llama estadística inductiva o inferencial y suelen ser resultado del análisis empírico del problema; ya que a veces tales inferencias no llegan a ser precisas por completo, se usa el lenguaje de la probabilidad para sacar conclusiones. A la parte de la estadística que busca únicamente describir y analizar un grupo determinado, sin sacar conclusiones, inducciones o inferencias sobre un grupo más grande, se le conoce como estadística descriptiva o deductiva. 6

Capítulo 1 Ejemplo 1.3.2 Cuando hacemos un análisis de la población por medio de encuestas y/o entrevistas, y al estudio de los datos se les tiene que interpretar de alguna manera para cotejarlos con otros, se le llama estadística inductiva o inferencial (como las encuestas televisivas sobre política y deportes); en cambio, si sólo queremos sacar respuestas concretas, sin sacar conclusiones o inferencias sobre la población y nos concentramos solamente en los números arrojados, entonces se les llama estadística descriptiva o deductiva.

EJER

EJERCICIOS 1.3 1.3.1. De los siguientes métodos para recopilar datos y analizarlos, menciona cuál es estadística descriptiva y cuál, estadística inductiva: a) Se realiza una encuesta telefónica para saber las tendencias políticas de la población. b) Se miden y pesan las plantas en un laboratorio para determinar en qué condiciones viven mejor y calcular su crecimiento. c) Para determinar cuántas latas de atún tienen algún desperfecto, se analiza diariamente una de cada 10 latas. d) Durante las transmisiones de los partidos de fútbol, los cronistas hacen preguntas sobre qué equipo es considerado el mejor para qué los aficionados voten por teléfono. e) Para determinar las condiciones socioeconómicas de los países y poder compararlos, se hace una encuesta en cada país y se pregunta a la gente sobre su nivel de vida, para luego interpretar y cotejar las respuestas. f) El centro de nutrición analiza datos obtenidos al recopilar el peso de todos los habitantes de la ciudad para conocer el porcentaje de obesidad que existe en la población.

1.4. Azar y probabilidad La estadística se ocupa del azar por medio de las diversas teorías de probabilidad. El cálculo de probabilidades nos da leyes de un sistema que se puede clasificar aleatorio,

1. INTRODUCCION

7

CIC

IOS

Estadística por lo que de alguna manera es un cálculo determinista y por tanto se opone al azar; mientras que éstas se refieren al determinismo de objetos individuales, las probabilidades se refieren al determinismo de conjuntos; sin embargo, la probabilidad es la posibilidad de que algo pueda ocurrir y modera los fenómenos aleatorios, como por ejemplo, lanzar un dado o una moneda. Dicho de otra manera, la probabilidad es la característica de un suceso del que existen razones para creer que se realizará. Los sucesos tienden a ser una frecuencia relativa del número de veces que se realiza el experimento.

Fenómenos deterministas y aleatorios

EJE M

A los resultados que pueden ocurrir en un experimento o fenómeno se les llama eventos. Hay dos tipos de fenómenos: deterministas y aleatorios. En los primeros existe una relación causa-efecto, es decir, el resultado es predecible de antemano; mientras que en los fenómenos aleatorios no existe esta relación; podemos conocer de antemano todos los posibles resultados, pero no podemos predecir con antelación el resultado de una realización concreta.

OS PL

Ejemplo 1.4.1 Supongamos que disponemos de un dado regular con todas las caras pintadas de blanco y en cada una de ellas un número, que van de 1 a 6 sin repetir ninguno. Definamos los dos experimentos siguientes: Experimento 1: Tirar el dado y anotar el color de la cara resultante. Experimento 2: Tirar el dado y anotar el número de la cara resultante. ¿Qué diferencia fundamental observamos entre ambos experimentos? En el experimento 1, el resultado es obvio: saldrá una cara de color blanco. Es decir, es posible predecir el resultado. Se trata de un experimento o fenómeno determinista. En cambio, en el experimento 2 no podemos predecir cuál será el valor resultante. El resultado puede ser: 1, 2, 3, 4, 5 ó 6. En este caso se trata de un experimento o fenómeno aleatorio.

8

Capítulo 1 Ejemplo 1.4.2 Un experimento de caída de un cuerpo con velocidad inicial nula es un fenómeno determinista ya que consiste en un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Mientras que la señal recibida en un receptor de un sistema de comunicación, la evidencia que aportan la pruebas de ADN en un juicio o el hecho de que una persona herede una enfermedad de sus ascendientes son fenómenos aleatorios.

1.4.1. Si se lanza una pelota hacia arriba repetidas veces con el fin de saber si todas las veces caerá, ¿es un fenómeno o experimento determinista o aleatorio?

EJER

EJERCICIOS 1.4

1.4.2. Si se deja un trozo de hielo en el agua con el fin de saber si se derretirá, ¿es un fenómeno determinista o aleatorio? 1.4.3. Lanzar una moneda determinado número de veces para predecir si cae águila o sol, ¿es un fenómeno determinista o aleatorio? 1.4.4. El nombre del próximo mes, ¿es un fenómeno determinista o aleatorio? 1.4.5. Analizar los números de la lotería, con el fin de calcular el próximo número ganador, ¿es un fenómeno determinista o aleatorio? 1.4.6. Determina cuál de los siguientes fenómenos es, determinista o aleatorio: a) Al lanzar dos dados. b) Poner agua al fuego y comprobar si se evaporará. c) El marcador del próximo juego de la selección mexicana de fútbol. d) La fecha de tu cumpleaños. e) La velocidad de la luz. f) Los ganadores de los próximos juegos olímpicos. g) El peso de una persona con respecto de su estatura. h) Predecir cuándo y cuánto lloverá. i) La temperatura de congelación del agua a nivel del mar. 1. INTRODUCCION

9

CIC

IOS

Capítulo 2

2

Estadística descriptiva

2.1. Recopilación de datos Las informaciones numéricas recolectadas en cualquier campo o proceso, cantidad, magnitud o relación conocida se denominan datos. La organización y la presentación es una de las primeras tareas para comprender un problema. Un ejemplo es el conjunto de las estaturas de 100 estudiantes, obtenidas del registro de una escuela; si están ordenados alfabéticamente sólo son datos sueltos; para comprenderlos numéricamente es necesaria su ordenación en sentido creciente o decreciente de magnitud. A la diferencia entre el número mayor y el menor se le conoce como rango de los datos. Si la estatura mayor de los 100 estudiantes es de 2 metros y la menor es de 1.50, entonces el rango es 2.0 – 1.50 = 0.50 metros. Cuando se reúnen grandes cantidades de datos, es útil distribuirlos en clases, categorías o intervalos, y determinar el número de individuos que pertenecen a cada categoría; a ésto se le conoce como frecuencia de clase. La tabla 2.1.1 es una distribución de frecuencias de las estaturas de 100 estudiantes de una escuela.

EJE M

Ejemplo 2.1.1 Tabla de distribución de frecuencias 2.1.1 Estaturas de 100 estudiantes de una escuela: Estatura (centímetros)

Número de estudiantes

150 – 154

2

155 – 159

6

160 – 164

18

165 – 169

20

170 – 174

17

175 – 179

24

180 – 184

6

185 – 189

4

190 – 194

2

195 – 199

0

200 – 204

1 TOTAL 100 2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

11

OS PL

Estadística La primera clase, por ejemplo, comprende las estaturas entre 150 y 154 (de 149.5 hasta 154.5) centímetros y se indica con el rango 150 – 154. La frecuencia de clase es 2, que es el número de estudiantes en esa clase, donde 150 es el límite inferior de clase y 154 es el límite superior de clase. El intervalo de clase es 5 ya que comprende desde el 149.5 hasta el 154.5 (154.5-149.5 = 5) y se les denomina fronteras de clase, inferior y superior respectivamente. La marca de clase es el punto medio de la clase y se obtiene promediando los límites inferior y superior de clase, por lo tanto, la marca de clase del ] g intervalo 150 – 154 es 150 + 154 = 152 2 Si seguimos teniendo información extensa y difícil de analizar, podríamos aumentar el intervalo de la clase, a lo que se le llama también amplitud, tamaño o longitud de clase; por ejemplo la tabla 2.1.2.

Ejemplo 2.1.2 Tabla de distribución de frecuencias 2.1.2 Estatura (centímetros)

Número de estudiantes

150 – 159

8

160 – 169

38

170 – 179

41

180 – 189

10

190 – 199

2

200 – 209

1 TOTAL 100

Cuando los datos se agrupan por tamaños (centímetros, litros, toneladas, grados, números, etc.) como las anteriores tablas de distribución de frecuencias (2.1.1 y 2.1.2), se les llama distribución numérica o cuantitativa.

PROBLEMA

Para convertir una distribución en una distribución porcentual, habrá que dividir cada frecuencia de clase entre el número total de factores agrupados y multiplicarlo luego por 100, como se muestra en el siguiente ejemplo:

SR

ESUELTOS

Ejemplo 2.1.3 De la tabla 2.1.2, convertir las estaturas de los 100 estudiantes de la escuela en una distribución porcentual. 12

Capítulo 2 Solución: La primera clase contiene (8/100) x 100 = 8% de datos; la segunda clase comprende (38/100) x 100 = 38%; la tercera clase (41/100) x 100 = 41%; la cuarta clase (10/100) x 100 = 10%; la quinta clase (2/100) x 100 = 2%; y la sexta clase (1/100) x 100 = 1% de los datos. Representado en la tabla, queda como sigue: Tabla de distribución porcentual 2.1.3 Estatura (centímetros)

Porcentaje (%)

150 – 159

8

160 – 169

38

170 – 179

41

180 – 189

10

190 – 199

2

200 - 209

1 TOTAL 100

Toma en cuenta que en este caso el número de estudiantes es 100, por lo que el porcentaje queda igual que el número de estudiantes; sin embargo, el total de datos varía según el análisis y la cantidad de datos que recopilemos o tengamos.

Ejemplo 2.1.4 Convierte la siguiente tabla de distribución de consumo de gas por departamento en un condominio, en una distribución porcentual. Tabla de distribución de frecuencias 2.1.4 Número de departamentos

Consumo de gas (litros)

1–5

6

6 – 10

17

11 – 15

10

16 – 20

33

20 - 25

24 TOTAL 90

2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

13

Estadística Solución: La primera clase contiene (6/90) x 100 = 6.66%; la segunda (17/90) x 100 = 18.88%; la tercera (10/90) x 100 = 11.11%; la cuarta (33/90) x 100 = 36.66%; y la quinta clase (24/90) x 100 = 26.66; y queda como sigue: Tabla de distribución porcentual 2.1.5 Número de departamentos

Porcentaje de litros de gas

1–5

6.66%

6 – 10

18.88%

11 – 15

11.11%

16 – 20

36.66%

20 – 25

26.66% TOTAL 100%

Otra forma de modificar una distribución de frecuencias es convirtiéndola en una distribución acumulativa de “menos de” o “más de”. Para poder elaborar una distribución acumulativa debemos sumar las frecuencias de clase que aparecen en la tabla; para esto, se tiene que iniciar con la distribución inferior o superior. También es posible crear una tabla de distribución porcentual acumulativa; en este caso, el procedimiento consiste en sumar los porcentajes obtenidos en lugar de las frecuencias.

Ejemplo 2.1.5 Convierte la tabla de distribución de frecuencias 2.1.2 en una tabla de distribución acumulativa. Solución: Dado que ninguno de los valores es de menos de 150, 8 de los valores son de menos de 160; 8+38 = 46 de los valores son de menos de 170; 46+41 = 87 de los valores son de menos de 180; 87+10 = 97 de los valores son de menos de 190; 97+2 = 99 de los valores son de menos de 200; y 99+1 = 100 de los valores son de menos de 210; de este modo es como se obtuvieron los resultados de la tabla de distribución acumulativa que aparece a continuación:

14

Capítulo 2 Tabla de distribución acumulativa 2.1.6 Estatura (centímetros)

Frecuencia acumulativa

Menos de 150

0

Menos de 160

8

Menos de 170

46

Menos de 180

87

Menos de 190

97

Menos de 200

99

Menos de 210

100

Si se agrupan los datos en categorías no numéricas, la tabla resultante se conoce como una distribución categórica o cualitativa; sin embargo, las que llaman primordialmente nuestro interés en este capítulo serán las distribuciones numéricas; la siguiente tabla de distribución cualitativa sobre las quejas a la compañía de teléfonos es un ejemplo.

EJE M

Ejemplo 2.1.6 Tabla de distribución cualitativa 2.1.7 Tipo de queja

Número de quejas

Se cortan frecuentemente las llamadas

517

No entran ni salen llamadas de larga distancia

320

Llamadas no reconocidas El servicio de Internet se suspende temporalmente Los servicios tienen un costo muy elevado

1 412

946 2 080

Se cruzan las llamadas

242

Ruido y mala recepción

404

TOTAL 5 921 Nota: En los casos de distribución cualitativa, la clase se determina con anterioridad y se comparan los datos que tienen algo en común. 2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

15

OS PL

Estadística

EJER

EJERCICIOS 2.1 CIC

2.1.1. Escribe los números 24, 32, 47, 18, 26, 45, 36, 32, 16 y 49 en una lista ordenada e indica cuál es el rango de este conjunto.

IOS

2.1.2. Escribe los números 127, 142, 136, 143, 122, 118, 147, 127, 115, 138, 149, 116, 125, 141, 136 en orden creciente de magnitud e indica cuál es el rango de este conjunto. 2.1.3. Elabora una tabla de distribución de las siguientes cantidades de plomo (en toneladas) emitidas por una fábrica en 70 días, distribuidas en 8 clases, donde la primera clase es 10 – 13.9 y la última es 38 – 41.9.

20.4

10.4

17.5

19.4

23.5

15.9

10.9

36.1

17.8

24.8

14.4

18.4

30.2

13.3

38.2

19.0

26.1

21.9

24.1

24.4

18.9

14.0

24.6

20.9

15.9

38.0

26.9

17.5

24.6

34.2

28.6

16.2

24.2

19.9

31.8

31.8

36.8

16.7

11.8

30.5

23.0

19.2

32.4

12.9

19.0

19.2

26.8

31.4

11.8

22.7

11.7

28.5

25.7

18.5

23.1

13.3

32.7

11.2

20.1

31.2

22.7

29.6

27.5

35.0

30.6

24.6

20.0

15.8

10.6

14.4

2.1.4. Obtén las marcas de clase y el intervalo de clase de la distribución de los datos de emisión de plomo. 2.1.5. Convierte la tabla de distribución que obtuviste de los datos de emisión de plomo en una distribución porcentual. 2.1.6. Convierte la tabla de distribución que obtuviste de los datos de emisión de plomo en una distribución acumulativa de “menos de”. 2.1.7. Convierte la tabla de distribución que obtuviste de los datos de emisión de plomo en una distribución acumulativa de “más de”. 2.1.8. En la siguiente tabla, se encuentran las calificaciones finales en química de 120 estudiantes: 16

Capítulo 2 78 69 73 86 72 96 99 86 72 82

61 84 93 75 71 88 93 75 71 74

89 92 74 71 93 60 74 71 93 99

77 72 63 96 83 78 63 96 83 91

91 78 75 76 67 73 75 76 67 80

99 69 70 87 89 86 70 87 89 62

64 92 82 65 80 90 82 65 80 91

88 98 62 82 66 93 62 82 66 88

82 78 67 88 74 84 67 88 74 65

90 87 79 70 83 99 79 70 83 77

75 96 90 89 85 63 90 89 85 60

80 66 98 62 91 72 98 62 91 75

Con estos 120 datos, elabora una tabla de distribución de 8 clases y encuentra lo que se señala a continuación: a) La calificación más baja. b) La calificación más alta. c) El rango. d) El límite inferior de la primera clase. e) El límite superior de la primera clase. f) La frontera inferior de la segunda clase. g) La frontera superior de la segunda clase. h) El intervalo de clase. i) Las marcas de clase. j) Las cinco calificaciones más altas. k) Las cinco calificaciones más bajas. l) El número de estudiantes con calificaciones de 80 o más. m) El número de estudiantes con calificaciones de 75 o menos. n) El porcentaje de alumnos con calificaciones de 85 o más. 2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

17

Estadística 2.1.9. Al realizar la tabla de frecuencias anterior (2.1.6) un estudiante agrupa los datos con los intervalos de clase 60 – 65, 65 – 70, 70 – 75, 75 – 80, 80 – 85, 85 – 90, 90 – 95 y 95 – 100; ¿por qué esta elección de intervalos puede ser incorrecta?

2.1.10. Con los siguientes datos de crecimiento (en centímetros) de 120 plantas en distintas condiciones de tierra y nutrientes, haga una tabla de distribución que tenga las marcas 4.995, 14.995, 24.995, 34.995, 44.995, 54.995, 64.995, 74.995, 84.995, 94.995 y 104.995

47.3 65.82 70.11 42.6 47.84 63.63 23.5 83.47 33.77 45.18 75.1 97.49 60.3 17.17 10.85

73.06 20.01 19.89 71.94 88.95 37.13 3.69 84.52 56.89 51.73 81.73 84.15 88.11 28.61 53.99

71.3 36.83 12.19 7.96 67.25 17.06 83.31 83.44 4.13 37.17 28.76 3.1 82.64 79.43 27.21

72.09 7.13 91.58 12.21 37.06 7.61 21.12 66.01 46.83 16.64 53.76 18.94 20.44 57.91 77.09

36.02 15.68 88.26 47 27.25 23.46 35.77 2.21 21.01 80.75 6.97 5.31 58.85 85.78 44.74

71.72 18.21 61.17 44.54 94.66 67.39 40.25 64.18 99.72 27.56 69.22 29.53 42.51 90.21 59.86

29.43 6.08 36.97 74.18 6.2 28.67 14.29 91.6 57.52 89.62 43.37 94.29 99.36 21.16 86.77

35.12 23.03 68.5 42.01 13.46 40.92 27.09 79.97 3.7 97.52 13.25 56.56 74.73 24.95 91.16

2.1.11. Con la tabla de distribución que obtuviste en el ejercicio 2.1.7, determina: a) El número de plantas menores que 50 cm. b) El número de plantas mayores que 80 cm. c) El límite inferior de la sexta clase. d) El límite superior a la quinta clase. e) El límite inferior a la décima clase.

18

Capítulo 2 f) El límite superior a la segunda clase. g) El rango de la distribución. h) Las fronteras de clase del quinto intervalo. i) La frontera superior del noveno intervalo. j) El número de plantas que creció más de un metro.

2.1.12. Convierte la tabla de distribución que obtuviste en el ejercicio 2.1.7, en una tabla de distribución porcentual y determina: a) ¿Qué porcentaje de plantas crecieron más de medio metro? b) ¿Qué porcentaje de plantas no llegó a crecer ni 30 cm? c) ¿Qué porcentaje de plantas creció entre 40 y 80 cm? d) ¿Qué porcentaje de plantas creció menos de un metro? e) ¿Qué porcentaje de plantas creció más de 90 cm?

2.1.13. La siguiente tabla muestra una distribución de frecuencias de los salarios quincenales de una compañía. De acuerdo con la tabla, determina: Salarios (pesos)

Número de empleados

2 500 - 2 599

28

2 600 - 2 699

20

2 700 - 2 799

36

2 800 - 2 899

34

2 900 - 2 999

25

3 000 - 3 099

30

3 010 - 3 199

12 TOTAL 185 2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

19

Estadística a) El límite inferior de la segunda clase. b) El límite superior de la segunda clase. c) La frontera inferior de la quinta clase. d) La frontera superior de la quinta clase. e) El intervalo de clase. f) Las marca de clase de la cuarta clase. g) La frecuencia de la tercera clase. h) El tamaño del primer intervalo de clase. i) El porcentaje de empleados con salario de más de 2 600 pero menos de 3 000 pesos. j) El porcentaje de empleados que ganan menos de 2 800 pesos. k) El número de empleados que cobra menos de 2 500 pesos. l) El porcentaje de empleados que cobra 3 000 pesos o más. 2.1.14. Un conjunto de datos consta de 38 observaciones, ¿cuántas clases recomendarías? 2.1.15. Un conjunto de datos consiste en 45 observaciones, desde 0 a 29 pesos. ¿Qué tamaño del intervalo recomendarías? 2.1.16. Un conjunto de datos consta de 230 observaciones que oscilan desde 235 a 567 pesos. ¿Qué intervalo de clase recomendarías? 2.1.17. Una compañía cuenta con cierto número de distribuciones en el área metropolitana. El número de productos vendidos en una de las distribuidoras en los últimos 20 días es: 65

98

55

62

79

79

63

73

71

85

70

62

66

80

94

59

51

90

72

56

a) ¿Cuántas clases recomendarías? 20

Capítulo 2 b) ¿Qué intervalo de clase recomendarías? c) ¿Cuál es el límite inferior que recomendarías para la primera clase? 2.1.18. A partir de la siguiente información sobre los pesos en kilogramos de cada uno de 80 jugadores de fútbol americano, haz una tabla de distribución de frecuencias si: a) Hay 10 clases. b) La frontera inferior de la cuarta clase es = 89.995 c) La frontera superior de la sexta clase es = 119.995 d) El límite inferior de la segunda clase es = 70 e) La frecuencia de la séptima clase es = 6

94.63 106.05 70.79 98.29 99.64 125.36 107.37 87.41 157.36 116.19

157.66 124.25 112.07 146.06 73.4 157.74 140.79 117.97 130.93 98.93

72.42 119.19 149.54 127.55 114.36 108.7 90.63 99.87 60.77 155.79

127.76 82.06 121.28 88.7 82.95 90.32 145.13 109.24 107.68 101.68

95.8 102.46 81.23 79.05 71.75 151.48 88.1 112.27 116.92 103.29

132.84 138.85 75.76 118.7 99.63 140.93 70.28 73.28 145.38 100.56

114.97 63.77 70.73 130.73 60.26 154.32 134.86 96.11 85.83 122.1

69.78 101.98 74.93 74.59 135.02 99.73 134.32 145.69 80.99 106.67

2.1.19. Convierte la tabla de distribución que obtuviste con la información anterior en una distribución porcentual y determina: a) ¿Qué porcentaje de jugadores pesa más de 100 kilogramos? b) ¿Qué porcentaje de jugadores pesa menos de 80 kilogramo? c) ¿Qué porcentaje de jugadores pesa más de 80 kilogramos, pero menos de 100? d) ¿Qué porcentaje de jugadores pesa menos de 70 kilogramos? e) ¿Qué porcentaje de jugadores pesa más de 150 kilogramos? f) ¿Qué porcentaje de jugadores pesa más de 100 kilogramos, pero menos de 150? 2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

21

Estadística 2.1.20. Recopila datos sobre las edades de los hermanos de 20 de tus compañeros y haz una tabla de distribución de frecuencias cuantitativa y una tabla de distribución porcentual. Determina también qué materias son las favoritas de tus 20 compañeros y realiza con la información obtenida una tabla de distribución cualitativa.

2.2. Representaciones gráficas Las distribuciones de frecuencias se usan para condensar conjuntos de datos y dar una apreciación más fácil del análisis; sin embargo, los datos aún pueden ser más fáciles de asimilar y por lo general la mejor manera de presentarlos es gráficamente. A continuación, algunos ejemplos de las representaciones gráficas más útiles y por lo tanto más comunes. El siguiente grupo de datos está basado en las edades de 60 trabajadores de una empresa de colocación de empleados; en esta ocasión, lo usaremos para ejemplificar las representaciones gráficas. 25 28 31 44 21 41

34 30 31 40 39 28

26 59 42 29 36 36

36 23 46 50 23 57

35 34 38 42 50 47

24 36 50 38 44 30

42 52 39 29 30 33

54 55 40 30 32 40

Tabla de distribución de frecuencias 2.2.1 Edades

Frecuencia

20 – 24

4

25 – 29

9

30 – 34

13

35 – 39

12

40 – 44

9

45 – 49

3

50 – 54

6

55 – 59

4 TOTAL 60

22

33 26 33 32 36 55

51 27 35 29 36 46

Capítulo 2 Histogramas En cuanto a las distribuciones de frecuencias, la forma de representación gráfica más común es el histograma. Los histogramas representan las medidas u observaciones agrupadas en una escala horizontal y las frecuencias de clase en una escala vertical por medio de rectángulos cuyas bases equivalen a los intervalos de clase y cuyas alturas corresponden a las frecuencias de clase, por lo que es imposible diseñar histogramas para distribuciones con clases abiertas.

Histograma de la distribución de edades 14 12 10 8 6 4 2

0

20-24 25-29 30-34

35-39 40-44

45-49 50-54

55-59

Gráficas de barras Las gráficas de barras son similares a los histogramas; las alturas de los rectángulos o barras representan las frecuencias de la clase como un histograma pero no hay motivo para tener una escala horizontal continua.

Gráfica de barras 13 12 9

9

6 4

4

3

20-24

15-29

30-34

35-39

40-44

45-49

50-54

55-59

Edades

2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

23

Estadística Polígono de frecuencias Los polígonos de frecuencias son menos comunes que los histogramas y las gráficas de barras, sin embargo, dan una buena impresión general del conjunto de datos utilizando las “marcas de clase” de cada intervalo como puntos informativos unidos por una línea. Para convertir un histograma en un polígono de frecuencias sólo es necesario añadir los puntos medios o marcas de clase y unirlos, agregando en ambos extremos clases con marcas de clase 0 para sujetar la gráfica a la escala horizontal. Polígono de frecuencias 14 12 10 8 6 4 2 0

17

22

27

32

37 42 Edades

47

52

57

62

Ejemplo: Ojivas Las ojivas son otra forma de representación gráfica que suele ser utilizada como técnica para representar una distribución acumulativa, en donde los valores son de “menos de” o “más de”; donde las frecuencias acumulativas se trazan en las fronteras de clase. Ejemplo: Transformamos la tabla de frecuencias 2.2.1 en una tabla de frecuencias acumulativa de “menos de”, para poder hacer la ojiva, y nos queda como sigue: Tabla de frecuencias acumulativa 2.2.2

24

Edades

Frecuencia acumulativa

Menos de 20 Menos de 25 Menos de 30 Menos de 35 Menos de 40 Menos de 45 Menos de 50 Menos de 55 Menos de 60

0 4 13 26 38 47 50 56 60

Capítulo 2 Ojiva de distribución acumulativa

19.5

24.5

29.5

34.5 39.5 44.5 Edades (fronteras)

49.5

54.5

59.5

Gráficas circulares Por lo regular, las distribuciones cualitativas se representan gráficamente como gráficas circulares; en éstas se divide un círculo en secciones, segmentos o partes, que son proporcionales en tamaño con las frecuencias o los porcentajes correspondientes. Para elaborar una gráfica circular, primero convertimos la distribución en una distribución porcentual. Luego, ya que un círculo completo corresponde a 360 grados, obtenemos los ángulos centrales de las secciones necesarias multiplicando los porcentajes por 3.6. Ejemplo: Transformamos la tabla de frecuencias 2.2.1 en una tabla de frecuencias Porcentual para poder hacer la gráfica circular, y nos queda como sigue: Tabla de frecuencias porcentual 2.2.3 Edades

Porcentaje (%)

20 – 24

6.66

25 – 29

15

30 – 34

21.66

35 – 39

20

40 – 44

15

45 – 49

5

50 – 54

10

55 – 59

6.66 TOTAL 100 2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

25

Estadística Gráfica circular de porcentajes 55-59

20-24 50-54

6.66% 6.66%

45-49

10%

25-29 15%

5%

40-44

15%

21.66%

30-34

20%

35-39

El ejemplo de gráfica circular fue realizado tomando los mismos datos de los ejemplos anteriores con el fin de facilitar su contenido y aprendizaje; sin embargo, las gráficas circulares ilustran más cuando se trata de categorías no numéricas, por ejemplo:

Distribución del mercado mundial de petróleo Canadá 0.8; 2%

Otros 1.5; 4%

Chile 1.0; 3% Arabia Saudita 9.1; 24%

Algeria 1.8; 5% México 1.8; 5% Kuwait 2.4; 7%

Emiratos Árabes 2.4; 7%

Irán 2.4; 7% Japón 7.9; 21% Venezuela 2.4; 7%

EJER

Noruega 2.8; 8%

CIC

EJERCICIOS 2.2

IOS

2.2.1. Dada la siguiente tabla de distribución de las calificaciones de 80 estudiantes en el examen de ingreso de una Universidad, haz un histograma de frecuencias y una gráfica de barras. 26

Capítulo 2 Calificaciones

Frecuencia

50 – 59

8

60 – 69

19

70 – 79

33

80 – 89

14

90 – 99

6 TOTAL 80

2.2.2. Con la tabla de distribución de frecuencias del ejercicio anterior (2.2.1), obtén las marcas y traza un polígono de frecuencias. 2.2.3. Con la tabla de distribución de frecuencias del ejercicio 2.2.1, haz una tabla de distribución acumulativa de “más de”, y obtén las fronteras de clase y traza una ojiva. 2.2.4. Determina la distribución porcentual de la tabla del ejercicio 2.2.1 y haz una gráfica circular con los datos obtenidos. 2.2.5. Con la siguiente tabla de distribución sobre el ingreso mensual de una juguetería, haz un histograma. Mes

Pesos

Enero

33 000

Febrero

19 000

Marzo

16 500

Abril

37 000

Mayo

12 500

Junio

18 000

Julio

16 700

Agosto

17 300

Septiembre

20 000

Octubre

24 500

Noviembre

29 500

Diciembre

58 000 TOTAL 302 000 2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

27

Estadística 2.2.6. Convierte la tabla de distribución del ejercicio 2.2.5 en una tabla de distribución porcentual, y traza una gráfica circular. 2.2.7. A partir de la siguiente tabla de distribución de la facturación de 200 cuentas de una tienda departamental, traza una gráfica de barras. Importe (pesos)

Frecuencia

0.0 – 199.9

22

200 – 399.9

47

400 – 599.9

66

600 – 799.9

35

800 – 999.9

21

1000 – 1199.9

9 TOTAL 200

2.2.8. A partir de la tabla de frecuencias del ejercicio 2.2.7, obtén las marcas de clase y traza un polígono de frecuencias. 2.2.9. Convierte la tabla del ejercicio 2.2.7 en una distribución acumulativa de “menos de” y traza una ojiva. 2.2.10. La siguiente tabla porcentual muestra qué medio de transporte usan en la ciudad para llegar a su trabajo. Elabora una gráfica circular con los datos que aparecen a continuación. . Medios de transporte

Porcentaje (%)

Automóvil particular

56

Transporte público (camiones)

19

Taxis

4

Metro

20

Otro

1 TOTAL 100

28

Capítulo 2 2.3. Medidas de tendencia central

Me Me dia dia na Mo da

Mo Me da dia na Me dia

Los valores promedio o medios de un conjunto de datos son muy representativos. Como tales valores suelen estar hacia el centro del conjunto de datos ordenados por magnitud, se conocen como medidas de tendencia central, entre los cuales se encuentran la media aritmética o simplemente media, la mediana y la moda.

Las figuras anteriores muestran las posiciones relativas de la media, la mediana y la moda gráficamente para mostrar su tendencia central para curvas de frecuencia sesgadas hacia la derecha o hacia la izquierda; si fueran totalmente simétricas, las tres medidas coincidirían en el mismo punto central. Media aritmética La media aritmética o media es en estadística lo que en otras áreas de las matemáticas se le puede llamar “promedio”, y se define como sigue:

La media de n números es la suma de los mismos divididos entre n.

EJE M

Ejemplo 2.3.1 Durante los 12 meses del año 2005, se registraron 6, 8, 4, 2, 6, 15, 20, 19, 15, 9, 10 y 6 días con lluvia. Para sacar la media o expresamente el promedio de días lluviosos por mes en el 2005 se tiene que: El total para los 12 meses es de: 6+8+4+2+6+15+20+19+15+9+10+8=122 y por lo tanto la media = 120/12 = 10. Ejemplo 2.3.2 El gerente de un restaurante, quien desea estudiar cuánta gente ha ido a comer en la última semana (7 días), encuentra que 42, 36, 52, 70, 83, 128, 140 personas comieron en su restaurante. 2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

29

OS PL

Estadística El total de personas que comió en su restaurante es de 42+36+52+70+83+128+140 =551. Ya que 551/7 = 78.7; ésta es la media de personas que comió en el restaurante por día. En los ejemplos anteriores es fácil obtener la media, sin embargo, cuando calculamos las medias de muchos conjuntos diferentes de datos simples, es conveniente contar con una fórmula que siempre se pueda aplicar, por tanto, la media aritmética de un conjunto de n números x1, x2, x3, ..., xn se denota por x y se define por: n

Media = x =

x1 + x2 + x3 + ... + xn = n

/x

j

j=1

/x

= n

n

donde x j esncualquiera de los n valores x1, x2, x3, ..., xn que toma una variable x, y donde el símbolo / x j denota la suma de todos los x j desde j=1 hasta j=n o simplemente se j=1 denota como / x, / xj ó / j x j . Si los números x1, x2, x3, ..., xn ocurren f1, f2, f3, ..., fk veces, respectivamente (es decir, con frecuencias f1, f2, f3, ..., fk ), la media aritmética es: k

f1 x1 + f2 x2 + ... + fk xk Media = x = = f1 + f2 + ... + fk

/ fx j

j=1 k

/f

j

= j

/ fx = / fx n /f

j=1

donde n = / f es la frecuencia total o el número total de casos.

Ejemplo 2.3.3 Si 5, 8, 6, 2 ocurren con frecuencias 3, 2, 4 y 1, en ese orden, su media aritmética es: x=

f1 x1 + f2 x2 + ... + fk xk (3) (5) + (2) (8) + (4) (6) + (1) (2) 15 + 16 + 24 + 2 = = = 5.7 3+2+4+1 10 f1 + f2 + ... + fk

Media aritmética ponderada Si se sustituyen las frecuencias por pesos se le puede considerar lo que se conoce como media aritmética ponderada. A veces se asocia a los números x1, x2, x3, ..., xk ciertos factores de peso (o pesos) w1, w2, w3, ..., wk dependiendo de la “influencia” asignada a cada número. w1 x1 + w2 x2 + ... + wk xk = w1 + w2 + ... + wk ponderada con pesos w1, w2, w3, ..., wk .

En este caso, x =

30

/ wx /w

se llama media aritmética

Capítulo 2 Ejemplo 2.3.4 Si el examen final de un curso cuenta tres veces más que una evaluación parcial y un estudiante obtiene una calificación de 85 en el examen final y 70 y 90 en los dos parciales, la calificación media es: / wx = (1) (70) + (1) (90) + (3) (85) = 70 + 90 + 255 = 83 w x + w x + ... + w x x = 1 w1 1 + w2 2 2+ ... + wk k k = 1+1+3 5 /w

Ejemplo 2.3.5 La siguiente información sobre el porcentaje de condominios residenciales habitados por sus propietarios en tres ciudades de Baja California no tiene el mismo “peso” o “importancia relativa”, considerando que habían 500 000 residencias en Tijuana, 43 000 en Mexicali y 47 000 en Ensenada, queda como sigue: Porcentaje (%) de condominios

Ciudad

x=

=

habitados por sus propietarios

Tijuana

40.3

Mexicali

56.4

Ensenada

62.1

w1 x1 + w2 x2 + ... + wk xk (500000) (40.3) + (43000) (56.4) + (47000) (62.1) = w1 + w2 + ... + wk 500000 + 43000 + 47000

20150000 + 2425200 + 2918700 25493900 = 590000 = 43.21 590000

Media aritmética para datos agrupados Cuando los datos se presentan en una distribución de frecuencias, todos los valores que “caen” dentro de un intervalo de clase dado se consideran iguales a la marca de clase. La fórmula usada anteriormente para la media con frecuencias / fx se puede n aplicar para tales datos agrupados, sin embargo, existen métodos más cortos y con diferentes alcances. En el siguiente método se interpreta a x como la marca de clase, a f como su correspondiente frecuencia de clase, a como cualquier marca de clase supuesta y d = x-a como las desviaciones de x respecto de a. n

/ fd

x = a+

j=1

n

j

= a+

/ fd n

2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

31

Estadística Existe un método más corto llamado método de compilación que suele usarse siempre que todos los intervalos de clase sean del mismo tamaño c; si es así, las desviaciones d=x-a puede expresarse como cu, donde u serían los números enteros positivos, negativos o cero, es decir, 0, ! 1, ! 2, ! 3..., y la fórmula queda como sigue: k

f/ fu p j

x = a+

j=1

n

j

/ fu c = a + c n mc

Ejemplo 2.3.6 A partir de la siguiente tabla de distribución sobre el peso (en kg) de 100 atletas en un maratón, utiliza los tres métodos aprendidos para obtener su peso medio. a) Método largo: x =

/ fx n

b) Variación del método corto: x = a +

/ fd n

/ fu c) Método corto o método de compilación: x = a + c n m c Peso (en kilogramos)

Frecuencia (f)

60 – 62

5

63 – 65

18

66 – 68

42

69 – 71

27

72 – 74

8 Total=

/ fx = 100

Solución: a) Hacemos otra tabla con los datos necesarios y queda como sigue: Peso (kg)

Marca de clase (x)

Frecuencia ( f )

60 – 62

61

5

305

63 – 65

64

18

1152

66 – 68

67

42

2814

69 – 71

70

27

1890

72 – 74

73

8

584

n = / fx = 100 32

fx

/ fx = 6745

Capítulo 2 Por lo tanto, aplicando la fórmula y sustituyendo los valores: x=

/ fx = 6745 = 67.45 Por lo tanto, la media de los pesos es de 67.45 kg n

100

b) Hacemos otra tabla con los datos que necesitaremos donde a es la marca de clase que elegimos y queda como sigue: Marca de clase (x)

Desviación (d=x-a)

Frecuencia (f)

fd

61

-6

5

-30

64

-3

18

-54

67

0

42

0

70

3

27

81

73

6

8

48

n = / fx = 100

/ fd = 45

Por lo tanto, aplicando la fórmula y sustituyendo los valores: x = a+

/ fd = 67 + n

45 100 = 67.45 kg

c) Hacemos otra tabla con los datos que necesitaremos donde a es la marca de clase que elegimos, u son los números enteros positivos, negativos o cero y c es el intervalo de clase, y queda como sigue:

x

u

f

fu

61

-2

5

-10

64

-1

18

-18

67

0

42

0

70

1

27

27

73

2

8

16

n = / fx = 100

/ fu = 45

Por lo tanto, aplicando la fórmula y sustituyendo los valores: x = a+c

/ fu m c = 67 + b n

15 l 100 $ 3 = 67.45 kg

Recuerda que los dos últimos métodos sólo nos dan la respuesta correcta si los intervalos de clase son iguales, de lo contrario tendremos que usar el método largo (a). 2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

33

Estadística Ejemplo 2.3.7 Tomando en cuenta el ejemplo anterior, si por alguna razón particular los intervalos de clase no son iguales y sólo contamos con la información de la tabla siguiente, habrá que utilizar el método largo. Frecuencia (f)

Peso (kilogramos) 60 – 62

5

63 – 65

18

66 – 68

42

69 – 74

35

Total=

/ f = 100

Hacemos la tabla necesaria: Peso (kg)

Marca de clase (x)

Frecuencia (f)

fx

60 – 62

61

5

305

63 – 65

64

18

1 152

66 – 68

67

42

2 814

69 – 74

71.5

35

2 502.5

n = / f = 100

/ fx = 6773.5

Por lo tanto, aplicando la fórmula y sustituyendo los valores: x=

/ fx = 6773.5 = 67.735

n 100 Nota que el resultado de las medias no es el mismo debido a que el último ejemplo es menos exacto que los anteriores, sin embargo, eso dependerá de la información que tengamos disponible, ya que entre más datos o información, mayor será la exactitud de nuestro resultado.

Ejemplo 2.3.8 A partir de la tabla utilizada en el ejercicio 2.1.13, calcula el salario quincenal medio de los 185 empleados de la compañía, usando a) el método largo y b) el método corto de compilación. a) Creamos la tabla que nos ayudará a obtener la media con el método largo y queda como sigue: 34

Capítulo 2 x

f

fx

$2 549.5

28

$71 386

$2 649.5

20

$52 990

$2 749.5

36

$98 982

$2 849.5

34

$96 883

$2 949.5

25

$73 737.5

$3 049.5

30

$91 485

$3 149.5

12

$37 794

/ fx = $523, 257.5

n=185

Aplicamos la fórmula del primer método y sustituimos los valores: x=

/ fx = $523, 257.5 = $2, 828.42 n

185

b) Creamos la tabla que nos ayudará a obtener la media con el método corto de compilación y queda como sigue:

x

u

f

fu

$2 549.5

-2

28

-56

$2 649.5

-1

20

-20

$2 749.5

0

36

0

$2 849.5

1

34

34

$2 949.5

2

25

50

$3 049.5

3

30

90

$3 149.5

4

12

48

n=185

/ fu = 146

Aplicamos la fórmula del método de compilación y sustituimos los valores:

/ fu 146 x = a + c n m c = $2, 749.5 + b 185 l $ $100 = $2, 828.42 Como ejemplo, escogiendo otra marca de clase para a, obtenemos que:

2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

35

Estadística x

u

f

fu

$2 549.5

-3

28

-84

$2 649.5

-2

20

-40

$2 749.5

-1

36

-36

$2 849.5

0

34

0

$2 949.5

1

25

25

$3 049.5

2

30

60

$3 149.5

3

12

36

n=185

/ fu =- 39

/ fu - 39 O bien: x = a + c n m c = $2, 849.5 + b 185 l $ $100 = $2, 828.42 x

u

f

fu

$2 549.5

0

28

0

$2 649.5

1

20

20

$2 749.5

2

36

72

$2 849.5

3

34

102

$2 949.5

4

25

100

$3 049.5

5

30

150

$3 149.5

6

12

72

n=185

/ fu = 516

/ fu 516 x = a + c n m c = $2, 549.5 + b 185 l $ $100 = $2, 828.42 Nota que el resultado siempre será el mismo independientemente del valor de la marca de clase que le demos a a; sin embargo, cuanto más céntrica se encuentre ésta, el calculo será mas fácil.

Mediana La mediana es el valor “central” o “punto medio” de los dos valores centrales de un conjunto de números ordenados en magnitud y se define como sigue: 36

Capítulo 2 La mediana es el valor del artículo medio cuando n es non y la media de los dos artículos medios cuando n es par.

Ejemplo 2.3.9 El conjunto de números 2, 3, 3, 4, 5, 7, 7, 7 y 9 tiene mediana 5. Ejemplo 2.3.10 El conjunto de números 4, 4, 6, 8, 10, 11, 14 y 17 tiene mediana

] 8 + 10 g =9 2

Ejemplo 2.3.11 Los datos siguientes representan el tiempo que tardan en bañarse 40 personas encuestadas dentro de un gimnasio; en este caso, la medida más representativa de los datos medios o centrales es la mediana; observa por qué: 4 7 10 11

4 8 10 12

5 8 10 13

5 8 10 15

5 8 10 15

5 8 10 15

6 8 10 45

6 9 10 50

6 9 10 60

7 10 11 60

Los dos valores intermedios son 10 y la media de los dos valores intermedios es 10. La media es de 13.325, por lo tanto, la mediana es más representativa de los tiempos que la media. Para datos agrupados, la mediana está dada por: n

- _ / f i1 p Mediana = L 1 + f 2 c fmediana

Donde: L 1 = frontera inferior de la clase que contiene a la mediana

n = número de datos o frecuencia total _ / f i1 = suma de las frecuencias de las clases inferiores a la clase de la mediana

fmediana = frecuencia de la clase de la mediana

c = tamaño del intervalo de clase de la mediana 2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

37

Estadística

PROBLEMA

Ejemplo 2.3.12 SR

A partir de la siguiente tabla utilizada en el ejemplo 2.3.6 obtén la mediana utilizando la fórmula para la mediana con datos agrupados.

ESUELTOS

Peso (kilogramos)

Frecuencia (f)

60 – 62

5

63 – 65

18

66 – 68

42

69 – 71

27

72 – 74

8

Total= / f = 100 Solución: Debido a que la suma de las primeras dos frecuencias de clase es 5+18=23 y las primeras tres frecuencias de clase 5+18+42=65, queda claro que la mediana se encuentra en la tercera clase, la cual es, por lo tanto, la clase de la mediana. Entonces: L 1 = frontera inferior de la clase que contiene a la mediana = 65.5 n = número de datos o frecuencia total = 100 _ / f i1 = suma de las frecuencias de las clases inferiores a la clase de la mediana = 5+18 = 23 fmediana = frecuencia de la clase de la mediana = 42

c = tamaño del intervalo de clase de la mediana = 3 Por lo tanto: n

100

- _ / f i1 p - (23) p f 27 Mediana = L 1 + f 2 c = 65.5 + 2 $ 3 = 65.5 + b l $ 3 = 67.4 kg fmediana

42

42

Es decir, la mediana es 67.4 kg o 67 en caso de que sólo tengamos datos enteros. Moda La moda es una de las medidas de tendencia central y se define simplemente como el valor que ocurre con la mayor frecuencia y más de una vez en un conjunto de números. La moda puede no existir e incluso no ser única. 38

Capítulo 2 Ejemplo 2.3.13

EJE M

El conjunto 3, 3, 6, 8, 10, 10, 10, 11, 11, 13 y 19 tiene moda 9. Ejemplo 2.3.14 El conjunto 2, 3, 5, 7, 8, 10, 15 y 18 no tiene moda. Ejemplo 2.3.15 El conjunto 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8 y 9 cuenta con dos modas, 5 y 8, y se le conoce como bimodal. La distribución con una moda se llama unimodal. Ejemplo 2.3.16 Se preguntó a veinte personas qué color principal consideran el indicado para ponerlo en el logotipo de un partido político; las respuestas en orden de aparición fueron: verde, rojo, verde, azul, amarillo, verde, negro, rojo, blanco, blanco, azul, verde, verde, rojo, negro, blanco, amarillo, amarillo, rosa y azul. ¿Cuál es la moda o la selección modal de este conjunto de colores? Acomodamos los datos: Colores

Frecuencia

Verde

5

Rojo

3

Azul

3

Amarillo

3

Negro

2

Blanco

3

Rosa

1 TOTAL 20

Por lo tanto, la moda o selección modal es verde. Como notamos, la moda es la medida de tendencia central que nos funciona para datos donde el resultado que requerimos es de la mayoría. 2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

39

OS PL

Estadística En los casos de datos agrupados donde se haya construido una curva de frecuencias para ajustar los datos, la moda será(n) el(los) valor(es) de x correspondiente(s) al(os) / máximo(s) de la curva. Este valor x se denota por x . La moda llega a obtenerse de una distribución de frecuencias o de un histograma a partir de esta fórmula: / T Moda = x = L 1 + b T + 1T l c 1 2

Donde: L 1 = frontera inferior de la clase con mayor frecuencia (clase modal o clase que

contiene a la moda). T 1 = diferencia de la frecuencia modal con la frecuencia de la clase inferior inmediata. T 2 = diferencia de la frecuencia modal con la frecuencia de clase superior inmediata.

PROBLEMA

c = tamaño del intervalo de clase modal. SR

Ejemplo 2.3.17

ESUELTOS

A partir de la tabla de distribución usada en el ejercicio 2.1.13, calcula el salario modal de los 185 empleados de la compañía. Salarios (pesos)

Número de empleados

2 500 - 2 599

28

2 600 - 2 699

20

2 700 - 2 799

36

2 800 - 2 899

34

2 900 - 2 999

25

3 000 - 3 099

30

3 010 - 3 199

12 TOTAL 185

Solución: L 1 = $2 699.5 T 1 = 36-20 = 16 T 2 = 36-34 = 2 c = $100

Por tanto: T 16 x = L 1 + b T + 1T l c = 2699.5 + b 16 + 2 l $ 100 = $2788.4 1 2 es decir, el salario modal de la distribución anterior es $2 788.4. /

40

Capítulo 2 EJERCICIOS 2.3

EJER

2.3.1. A partir de los siguientes conjuntos de datos, calcula la media, la mediana y la moda:

a)

b)

c)

d)

e)

1

1

2

3

3

3

4

4

5

5

6

6

6

6

7

8

8

9

9

9

5

7

4

5

2

7

5

6

4

8

6

2

8

9

5

6

6

8

6

3

6

6

7

8

8

8

9

9

10

11

11

11

12

13

14

14

15

15

17

18

19

19

22

22

23

45

32

28

42

33

35

51

49

42

24

24

50

41

24

55

52

25

36

42

107

104

111

112

122

121

119

113

118

103

102

117

106

116

101

105

108

110

114

109

100

120

115

CIC

2.3.2. De un total de 100 números, 20 eran cuatros, 40 eran cincos, 15 eran seises, 10 sietes y el resto eran ochos. ¿Cuál es la media, la mediana y la moda de estos números? 2.3.3. Las calificaciones finales de un estudiante son: matemáticas 85, química 80, historia 92 y educación física 76. Si los créditos de las materias son de 5, 5, 7 y 3, respectivamente, ¿cuál es el promedio apropiado de sus calificaciones? 2.3.4. Una empresa tiene 60 empleados; 40 ganan $100 por hora y 20 ganan $150 por hora. Determina cuál es la ganancia media por hora. 2.3.5. Un banco tiene 130 empleados; 80 ganan $6 000 al mes, 45 ganan $8 000 al mes y 5 ganan $50 000 mensuales. Obtén la media y la mediana de estos datos y argumenta cuál es la medida de tendencia central más representativa para el promedio de ganancias por empleado al mes.

2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

41

IOS

Estadística 2.3.6. Seis grupos de estudiantes de 10, 14, 20, 16, 15 y 5 individuos reportaron pesos medios de 53, 58, 63, 68, 73 y 78 kilos. ¿Cuál es el peso medio de los estudiantes? 2.3.7. Si el salario anual medio de 3 directivos de una compañía es de $160 000, ¿es posible que uno de ellos cobre $500 000? 2.3.8. Un elevador soporta 480 kg. Si entraron 8 personas, de los cuales el peso medio de los 4 hombres es de es de 70 kg, de las 2 mujeres es de 60 kg y de los 2 niños es de 35 kg, ¿está sobrecargado el elevador? 2.3.9. Tres profesores de ciencias sociales, que tienen 32, 25 y 27 alumnos, en ese orden, reportaron las siguientes medias de calificaciones en sus grupos: 79, 74 y 82. Obtén la calificación promedio de todos los grupos. 2.3.10. La siguiente tabla de distribución muestra los promedios de las calificaciones finales aprobatorias de 105 estudiantes de secundaria. ¿Cuál es la media de las calificaciones por estudiante? Calificaciones promedio

Número de estudiantes

60

4

65

7

70

12

75

15

80

28

85

19

90

10

95

7

100

3 TOTAL 105

2.3.11. La siguiente tabla de distribución muestra el promedio o marcas de clase del diámetro (en milímetros) de 1 000 empaques producidos diariamente por una fábrica. ¿Qué promedio de tamaño tienen los empaques producidos en esta fábrica?

42

Capítulo 2 Diámetro (mm)

Número de empaques

93

123

97

167

101

204

105

172

109

111

113

81

117

77

121

53

125

12 TOTAL 1000

2.3.12. Encuentra las medias de las siguientes tablas de distribución: a) Estaturas de 135 estudiantes de una escuela: Estatura (cm)

Número de estudiantes

150 – 154

6

155 – 159

10

160 – 164

17

165 – 169

22

170 – 174

32

175 – 179

24

180 – 184

11

185 – 189

8

190 – 194

4

195 – 199

1 TOTAL 135

b) Estaturas de los mismos 135 estudiantes con mayor intervalo de clases:

2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

43

Estadística Estatura (centímetros)

Número de estudiantes

150 – 159

16

160 – 169

39

170 – 179

56

180 – 189

19

190 – 199

5 TOTAL 135

c) Peso de 90 hombres que asisten regularmente a una clínica nutricional. Peso (kilogramos)

Frecuencia

40 – 49.9

4

50 – 59.9

7

60 – 69.9

20

70 – 79.9

26

80 – 89.9

23

90 – 99.9

8

100 – 109.9

2 TOTAL 90

d) Tiempo que tardan 50 automóviles en llegar a 100 km por hora desde 0 km por hora acelerando al máximo. Tiempo (segundos)

Frecuencia

2 – 4.99

4

5 – 7.99

15

8 – 10.99

19

11 – 13.99

9

14 o más.

3 TOTAL 50

e) Salarios mensuales de 163 trabajadores de una fábrica maquiladora de ropa. ¿Expresa tu opinión sobre si la media es representativa en este caso? Toma en cuenta que los intervalos de clase no son del mismo tamaño. 44

Capítulo 2 Salarios (pesos)

Número de trabajadores (frecuencia)

3 000 – 3 999

38

4 000 – 4 999

51

5 000 – 5 999

19

6 000 – 6 999

22

7 000 – 7 999

12

8 000 – 8 999

8

9 000 – 9 999

5

10 000 – 14 999

6

15 000 – 50 000

2 TOTAL 163

2.3.13. A partir de las tablas de distribución del ejercicio anterior (2.3.12) encuentra la mediana a), b), c), d) y e), y compara los resultados. 2.3.14. Hipotéticamente, a partir de las tablas de distribución del ejercicio 2.3.12, encuentra la moda a), b), c), d) y e) usando la fórmula; compara los resultados. 2.3.15. Los siguientes números son las edades de 165 jóvenes adultos menores de 30 años que hacen alguna clase de deporte o ejercicio regularmente. Obtén a) la media, b) la mediana y c) la moda: 28

25

21

28

21

21

21

28

21

26

29

20

27

21

20

25

27

22

25

20

19

25

24

25

20

19

24

24

23

19

21

24

23

25

24

26

22

19

26

21

21

28

27

23

18

24

18

22

19

26

22

20

23

25

21

28

24

28

27

27

19

19

19

20

24

27

21

20

28

26

20

27

27

29

26

21

19

19

22

28

28

23

25

24

20

22

20

26

22

29

19

26

22

24

23

23

20

29

19

19

25

28

28

26

23

28

21

27

27

28

27

24

27

27

20

27

19

22

20

25

23

26

24

29

22

24

18

23

21

22

20

29

20

22

28

20

23

27

25

19

22

27

19

18

19

23

24

22

24

19

18

25

18

25

25

20

27

21

24

23

22

21

21

24

26 2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

45

Estadística 2.3.16. A partir de los siguientes datos en kilogramos obtenidos al pesar el fruto de 200 manzanos que crecen en 6 hectáreas de un rancho agricultor, obtén a) la media, b) la mediana y c) la moda. Ordénalos, distribúyelos en tablas y obtén los resultados con las fórmulas para datos agrupados.

153.7

120.2

111.9

96.4

131.6

100.7

202.4

200.6

162.5

147.8

157.9

136.8

138.1

152.6

194.8

194.5

215.7

179.3

78

168.2

211.5

88.5

121.8

79.7

85.8

211.6

82.3

109.2

99.5

157.2

132.6

112.4

165

114.3

90.2

137.8

116.5

102.2

131.4

122.3

81.1

208.7

218.8

86.2

126.3

177

143.1

165.2

112.2

180.4

150.3

122.1

82.1

168.5

142.2

167.8

122.4

114

86.2

217.6

145.5

120.7

150.7

114.3

212.2

219

159.8

165.1

176.4

194.6

107

129.1

121.2

159.3

216.3

107.1

201.9

106.8

121.9

139.7

218.6

87.7

93

124.3

129.4

119.2

128.4

193.3

145.2

195.8

131.8

215.9

155.1

98

214.4

219

110.6

175.2

170

177

150.9

171

203.1

90.8

124.9

173.2

99.7

128.7

202.8

121

181.1

130.7

162

152.9

101.8

219.6

173

209.7

91.2

195.4

132.3

178.5

147.9

84.1

206.2

152.3

126.3

113.7

82.3

129.2

221.3

89.8

97.8

140.8

132.8

139.6

78.1

157.6

174.5

223.1

90.6

146.8

200.5

110.1

92.8

223.4

161.7

209.6

221.4

179.1

119.3

108

104.2

210.3

81.7

126.3

114

199.1

131.3

83.6

216.7

168.2

88.7

92.6

179.4

194.5

157.4

171.3

192.5

77.8

99.2

183.5

176.9

136.2

177.4

93.9

214.3

188.6

110.4

172.5

183.6

199.7

105.9

107.8

193.6

112.4

212.8

196.9

126.5

174.2

196.3

135.6

116.1

191.5

134.9

103.1

196

125.5

216.4

102.3

2.3.17. A partir de los siguientes datos obtenidos al cronometrar el tiempo en minutos de 300 automovilistas que recorren la autopista México - Cuernavaca, obtén a) la media, b) la mediana y c) la moda. Ordénalos, distribúyelos en tablas y obtén los resultados con las fórmulas para datos agrupados. 46

Capítulo 2 52

46

50

54

46

47

51

46

46

53

56

57

48

46

47

51

46

51

54

47

46

48

53

56

52

51

51

51

55

51

49

51

49

55

56

54

52

52

56

45

48

56

52

56

50

49

47

40

52

55

49

45

46

53

50

54

54

56

55

57

48

47

55

49

50

54

50

55

46

56

51

54

50

52

55

46

53

53

50

54

49

49

56

54

50

53

48

46

59

62

47

54

48

56

49

55

55

51

52

52

55

38

55

55

57

45

49

61

56

50

46

55

40

51

51

55

56

55

52

47

55

57

52

46

50

51

54

55

51

54

49

47

46

56

57

50

48

46

51

51

33

47

54

57

49

49

50

46

55

49

46

56

52

52

56

49

55

51

56

48

46

50

56

49

47

49

52

57

56

53

47

52

48

51

45

50

52

60

48

57

48

54

48

49

47

47

65

47

54

54

49

46

50

48

53

47

52

56

49

48

57

51

52

52

56

45

52

54

60

48

48

56

55

55

46

49

53

59

53

46

54

48

65

48

53

56

53

56

45

47

56

57

47

52

56

54

53

53

46

55

56

46

53

48

50

51

53

41

50

46

48

46

46

51

52

50

46

56

49

46

53

49

46

56

54

49

53

53

49

53

51

50

55

53

48

53

45

55

45

60

55

50

53

48

54

46

51

57

45

45

63

53

52

49

49

56

51

49

50

48

2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

47

Estadística 2.3.18. A partir de los siguientes datos obtenidos al medir el diámetro en centímetros de 350 perlas en un criadero, obtén a) la media, b) la mediana y c) la moda. Ordénalos, distribúyelos en tablas y obtén los resultados con las fórmulas para datos agrupados.

48

0.9753

0.9796

1.0088

0.6552

1.1266

1.0666

0.6488

0.9018

1.1126

1.0436

0.8066

1.322

1.3898

1.2216

0.7242

1.3526

0.9064

1.3027

1.1125

0.8958

0.7443

1.2446

0.9833

1.3902

0.6105

1.2913

1.1167

0.5514

0.7011

1.0445

0.7185

1.4625

1.4748

1.1591

0.9155

0.5867

1.4582

1.353

0.5994

0.5555

1.1357

0.8678

0.7461

1.0303

0.8344

1.0702

1.4316

0.6439

1.4652

0.6362

1.3869

0.6154

0.8344

1.4093

0.8428

1.1477

1.2745

1.2347

1.3921

1.0682

1.0106

1.4584

1.3572

1.0905

1.321

1.3618

0.8932

0.7303

1.3281

1.0981

1.2925

1.4953

1.241

1.4023

1.1793

1.3228

1.1142

1.3462

1.3837

1.1348

0.6371

1.0004

1.2374

1.2703

0.6937

1.3913

1.409

0.6206

0.7793

0.5883

0.6657

1.2956

0.9042

0.7436

0.8264

1.4372

0.7195

1.048

1.0251

1.4061

0.9674

0.5865

0.5235

1.2279

0.6751

0.6845

1.3875

0.8165

1.4278

0.9569

0.9537

1.4475

1.0415

0.5807

1.4761

0.5816

1.3194

0.5127

0.7169

0.5002

1.4385

0.725

1.4308

1.3042

0.6951

1.2652

1.1935

0.8962

0.8746

0.8868

0.5074

1.4218

0.5111

0.6418

1.2645

1.1525

0.6321

1.2941

1.1636

0.5189

1.1393

1.0462

1.3656

0.8097

0.574

0.5039

0.9239

0.5084

0.7162

0.8279

0.8998

1.1939

1.4756

1.3415

1.178

0.6069

0.7824

0.762

0.6775

1.0134

1.0101

1.1846

0.7086

1.2884

1.0911

0.8084

0.9502

1.0144

0.5428

0.5578

1.1445

0.7713

0.565

1.3632

1.1852

1.3284

0.9335

0.8587

0.5815

0.5314

1.1202

0.6021

1.3734

1.0434

1.1363

0.9813

1.0039

0.5226

1.1407

1.4209

0.9986

0.9409

0.5961

0.558

0.5273

1.2693

1.2928

1.0701

1.0889

1.0992

1.024

1.4285

0.6173

0.6847

1.2228

1.057

1.0832

0.6162

0.6112

1.0209

0.8391

0.5309

0.6373

1.3952

0.5281

1.0707

1

0.8418

1.3034

0.7391

1.4422

1.0929

1.1193

0.763

1.1939

0.959

0.6004

1.4708

0.9735

0.5932

0.96

1.2835

0.621

0.6206

0.8278

1.3917

0.8684

0.8527

1.159

0.8072

0.9832

1.2625

1.2215

1.2703

0.6436

0.652

0.968

0.5591

1.3184

0.6476

0.5949

0.8853

0.8618

0.8184

1.4093

0.5116

1.4623

0.8144

0.6309

0.9326

1.4497

0.7124

1.4083

0.7118

1.275

0.7377

0.63

1.1439

1.2252

1.2872

0.5998

0.5333

0.6487

0.7396

1.0285

1.1601

0.8402

0.8521

1.0696

1.1245

1.1715

0.7155

1.4101

1.2491

0.633

0.7717

1.0809

0.9041

1.1306

0.7103

0.7419

0.7849

0.715

0.7509

1.3406

1.1659

1.0698

0.7477

0.7109

0.5668

0.9719

1.1505

0.7303

0.7157

0.7251

0.9702

1.1655

0.6304

1.0844

0.5935

1.4847

0.958

1.4765

0.6408

1.2045

0.9381

0.6036

0.9522

1.0294

0.8914

0.8503

1.3341

0.8182

1.298

0.5042

1.4215

1.2538

0.839

1.4085

0.5862

1.1697

1.4458

1.311

0.8618

1.2343

1.3918

0.5694

1.3698

1.3376

0.9061

0.9116

1.1421

1.2353

0.5135

0.8399

0.7849

0.503

0.5503

1.2272

1.1282

Capítulo 2 2.4. Medidas de dispersión y de posición La dispersión o variación de los datos es el grado en que los datos numéricos tienden a esparcirse alrededor de un valor promedio. Tomemos como ejemplo a un jugador (A) de básquetbol que ha anotado 22, 26 y 24 puntos en sus tres primeros juegos, mientras que un compañero (B) anotó 41, 13 y 18 puntos en los mismos juegos. Ambos jugadores tienen promedio de 24, sin embargo, el primer jugador es más consistente. Es por ello que necesitamos valorar el grado en que los datos están dispersos; las medidas que esta información proporciona se conocen como medidas de variación o de dispersión. Rango o amplitud El rango o la amplitud de un conjunto de datos es una de estas medidas de dispersión y se define como el valor mayor menos el valor menor.

EJE M

Ejemplo 2.4.1

OS PL

Para el jugador A del ejemplo anterior, tenemos que la amplitud o el rango es de 26 – 22 = 4, y para el jugador B 41 – 13 = 28. Ejemplo 2.4.2 La amplitud del rango del conjunto 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 12 es 12 – 2 = 10. A pesar de lo fácil que puede resultar calcular los rangos, ésta no es una medida de dispersión muy útil en la mayoría de los casos, ya que no nos indica nada acerca de los valores que caen entre los dos extremos. Ejemplo 2.4.3 Conjunto 1 = 2, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15. Conjunto 2 = 2, 2, 2, 2, 15, 15, 15, 15. Conjunto 3 = 2, 3, 5, 7, 10, 12, 13, 15. Los tres conjuntos tienen un rango de 15 – 2 = 13, pero la dispersión es totalmente distinta.

Desviación media Otra medida de dispersión que puede ser más útil que la anterior para distintos propósitos es la desviación media o desviación promedio. 2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

49

Estadística La desviación media de un conjunto de n números x1, x2, ..., xn se abrevia DM y se define como: n

Desviación media (DM) =

/

j=1

xj - x n

=

/

n

x-x

=

x-x

donde x es la media aritmética de los números y x - x es la desviación de x, respecto de x (el valor absoluto de un número es el número sin el signo asociado y se indica con las líneas verticales colocadas a los lados del número; por - 5 = 5 y + 4 = 4 ).

Ejemplo 2.4.4 Calcula la desviación media del conjunto 4, 6, 7, 10, 13. x=

4 + 6 + 7 + 10 + 13 40 = 4 =8 5

Por lo tanto: DM =

4 - 8 + 6 - 8 + 7 - 8 + 10 - 8 + 13 - 8 4+2+1+2+5 = = 2.8 5 5

Si x1, x2, ..., xk ocurren con frecuencias f1, f2, ..., fk respectivamente, la desviación media puede expresarse:

DM =

/f

j

xj - x = n

/f

x-x = x-x n

k

PROBLEMA

donde n = / fj = / f . Esta forma es útil para datos agrupados, donde las x j representan j=1 las marcas de clase y las f son las frecuencias de clase correspondientes.

SR

Ejemplo 2.4.5

ESUELTOS

A partir de la tabla del ejemplo 2.3.6, calcula la desviación media de los pesos de los atletas. Solución: Como vimos en este ejemplo, la media es ] x g = 67.45 kg y creamos la tabla siguiente:

50

Capítulo 2 Peso (kg)

Marca de

Frecuencia

f x-x

clase

] x g = 67.45

60 – 62

61

6.45

5

32.25

63 – 65

64

3.45

18

62.10

66 – 68

67

0.45

42

18.90

69 – 71

70

2.55

27

68.85

72 – 74

73

5.55

8

44.40

(f)

n = / fx = 100

/f

x - x = 226.50

Por lo tanto: DM =

/f

x-x 226.50 = 100 = 2.26 kg n

Desviación estándar y varianza La desviación estándar es por mucho la medida de dispersión más usada y es un planteamiento alternativo más eficaz que la desviación media, porque consiste en trabajar con los cuadrados de las desviaciones de la media para evitar las dificultades teóricas que representan los signos, y sacamos la raíz cuadrada del resultado para compensar; y queda: / (x - x ) 2 n Es común que se modifique esta fórmula dividiendo la suma de las desviaciones cuadráticas de la media entre n-1 en vez de n, por lo tanto, la desviación estándar de la muestra, que se expresa regularmente con una s (que llamaremos fórmula corregida) queda: n

/^

Desviación estándar = s =

xj - x h2

j=1

n-1

/]

=

x - x g2 n-1

y su cuadrado, la varianza de la muestra: n

/ ^x

Varianza = s 2 =

j

- x h2

j=1

n-1

/ ]x - x g

2

=

n-1

2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

51

Estadística

EJE M

Ejemplo 2.4.6 Obtén la desviación estándar s y la varianza s 2 de los conjuntos:

OS PL

a) 4, 16, 16, 16, 16, 16. b) 4, 4, 4, 16, 16, 16. c) 4, 6, 8, 10, 14, 16. Solución:

/ x 4 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 84 = 14 a) x = n = 6 6 / ]x - x g

2

s=

n-1

=

(4 - 14) 2 + (16 - 14) 2 + (16 - 14) 2 + (16 - 14) 2 + (16 - 14) 2 + (16 - 14) 2 6-1

=

100 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5

24 = 4.89

s 2 = 4.89 2 = 24

La desviación estándar s del conjunto a es 4.89 y la varianza s 2 es 24.

/ x 4 + 4 + 4 + 16 + 16 + 16 = 60 = 10 b) x = n = 6 6 / ]x - x g

2

s=

n-1

=

(4 - 10) 2 + (4 - 10) 2 + (4 - 10) 2 + (16 - 10) 2 + (16 - 10) 2 + (16 - 10) 2 6-1

=

36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36 = 5

43.2 = 6.57

s 2 = 6.57 2 = 43.2

La desviación estándar s del conjunto b es 6.57 y la varianza s 2 es 43.2

/x c) = x = n = 4 + 6 + 8 + 10 + 14 + 16 = 58 = 9.66 6 6 52

Capítulo 2

/ ]x - x g

2

s=

n-1

=

(4 - 9.66) 2 + (6 - 9.66) 2 + (8 - 9.66) 2 + (10 - 9.66) 2 + (14 - 9.66) 2 + (16 - 9.66) 2 6-1 =

32 + 13.4 + 2.75 + 0.11 + 18.83 + 40.19 = 5

21.45 = 4.63

s 2 = 4.63 2 = 21.45

La desviación estándar s del conjunto c es 4.63 y la varianza s 2 es 21.45 Se puede observar que el conjunto c muestra menor dispersión, sin embargo, el efecto está enmascarado por el hecho de que los valores extremos afectan más a la desviación estándar y a la varianza que a la desviación media ya que las desviaciones se elevan al cuadrado. En los ejemplos anteriores mostramos la definición de una muestra con n-1 ya que el valor resultante representa un mejor estimado de la desviación estándar; sin embargo, para los valores grandes de n (de modo preciso n>30), prácticamente no existe diferencia entre las definiciones, por lo que usaremos la primera fórmula para explicar a la desviación estándar en caso de tener los datos agrupados o con frecuencias.

/ ]x - x g

/x

2

s=

n

=

2

=

n

] x - x g2

Además, siempre que se necesite el mejor estimado podemos obtenerlo n multiplicando el resultado de la fórmula anterior por n - 1 . Si x1, x2, x3, ..., xk ocurren con frecuencias f1, f2, f3, ..., fk , respectivamente, la desviación estándar suele expresarse como: k

/ f ^x j

j=1

s=

j

n

- x h2

/ f]x - x g

2

=

n

=

/ fx n

2

=

] x - x g2

Por lo tanto, los datos agrupados se puede expresar de la siguiente forma: Si d j = x j - a son las desviaciones de x j con respecto de una constante arbitraria a (como vimos con la media aritmética), encontramos que: k

/d

s=

j=1

n

2

k

2 j

f/d p j

-

j=1

n

=

/d n

2

/d -c n m = 2

d2 - d 2

o en caso de que ocurran con frecuencias encontramos que: 2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

53

Estadística k

/ fd j

s=

j=1

2

k

2 j

j

-

n

f/ fd p j=1

/ fd

j

=

n

2

n

/ fd -c n m = 2

d2 - d 2

Cuando los datos se encuentran en una distribución de frecuencias, cuyos intervalos de clase son del mismo tamaño c, se tiene d j = cu o x j = a + cu y el resultado anterior se convierte en: k

/ fu j

s=c

j=1

n

2

k

2 j

f/ fu p j

-

j=1

n

j

=c

/ fu

2

n

/ fu - c n m = c u2 - u 2 2

PROBLEMA

Este es el método de codificación utilizado para calcular la desviación estándar y debe usarse siempre que los intervalos de clase sean iguales, como lo aprendimos con la media aritmética. SR

Ejemplo 2.4.7

ESUELTOS

Con los mismos datos de la tabla del ejemplo 2.3.6 obtén la desviación estándar por medio de: / f ] x - x g2 a) Método largo: n b) Método intermedio:

/ fd n

2

/ fd -c n m

c) Método corto de codificación: c

2

/ fu n

2

/ fu -c n m

2

Solución: a) Sabemos que x = 67.45 kg y se ordena como sigue: Peso (kg)

Marca de

x-x

clase (x)

= x-67.45

60 – 62

61

-6.45

41.6025

5

208.0125

63 – 65

64

-3.45

11.9025

18

214.245

66 – 68

67

-0.45

0.2025

42

8.5050

69 – 71

70

2.55

6.5025

27

175.5675

72 – 74

73

5.55

30.8025

8

] x - x g2

Frecuencia (f)

n = / f = 100

f ] x - x g2

246.42

/ f]x - x g

2

=852.75 54

Capítulo 2 por lo tanto: s=

f ] x - x g2 = n

852.75 100 =

8.5275 = 2.92 kg

b) Se ordena:

d=x-a

Marca de

Frecuencia (f)

fd

fd 2

clase (x) 61

-6

5

-30

180

64

-3

18

-54

162

67

0

42

0

0

70

3

27

81

243

73

6

8

48

288

n = / f = 100

/ fd =45

/ fd =873 2

por lo tanto: s=

/ fd

2

n

/ fd -c n m = 2

873 b 45 l2 100 - 100 =

8.5275 = 2.92 kg

c) Se ordena:

(x)

u

61

-2

64

f

fu

fu 2

5

-10

20

-1

18

-18

18

67

0

42

0

0

70

1

27

27

27

73

2

8

16

32

n = / f = 100

/ fu =15

/ fu

2

=97

por lo tanto: s=c

/ fu n

2

/ fu -c n m = 3 2

97 b 15 l2 100 - 100 = 3 0.9475 = 2.92 kg

2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

55

Estadística Ejemplo 2.4.8 Usa el método de codificación para obtener la desviación estándar para la distribución de la tabla utilizada en el ejercicio 2.1.13 Solución:

(x)

u

f

fu

fu 2

$2549.5

-2

28

-56

112

$2649.5

-1

20

-20

20

$2749.5

0

36

0

0

$2849.5

1

34

34

34

$2949.5

2

25

50

100

$3049.5

3

30

90

270

$3149.5

4

12

48

192

n = / f = 185

/ fu =146

/ fu

2

=728

por lo tanto: s=c

/ fu n

2

/ fu - c n m = ($100) 2

728 b 146 l2 185 - 185 = ($100) 3.31 = $182

Coeficiente de variación La variación o dispersión real, determinada a partir de la desviación estándar u otra medida de dispersión, se denomina dispersión absoluta. Sin embargo, una variación o dispersión de 10 centímetros al medir una distancia de 100 metros, tiene un efecto muy diferente si la variación o dispersión de 10 centímetros, se presenta en una distancia de 10 metros. Una medida de este efecto es sustituida por la dispersión relativa, y se define como: Dispersión relativa = Dispersión absoluta / promedio Si la dispersión absoluta es la desviación estándar s y el promedio es la media x , entonces la dispersión relativa se denomina coeficiente de variación; la misma se denota por V y está dada por: s Coeficiente de variación = V = x

que por lo general se expresa en forma de porcentaje. 56

Capítulo 2 Ejemplo 2.4.9 Un fábricante vende focos de 60 (a) y 100 watts (b), los cuales tienen una duración media de x a = 8760 horas (un año) y x b = 13140 horas (año y medio), respectivamente, así como desviaciones estándar de sa = 1 750 horas y sb = 2 100 horas. ¿Qué foco posee la mayor dispersión absoluta y cuál la mayor dispersión relativa? Solución: La dispersión absoluta de a es sa = 1750 horas y la de b es sb = 2100 horas, por lo tanto, el foco de 100 watts (b) tiene mayor dispersión absoluta. Los coeficientes de variación son: s 1750 a = xaa = 8760 = 0.20 = 20% s 2100 b = xbb = 13140 = 0.16 = 16%

Por lo tanto, el foco de 60 watts (a) cuenta con la mayor variación o dispersión relativa.

Ejemplo 2.4.10 El coeficiente de variación del ejemplo 2.4.7 es: s 2.92 V = x = 67.45 = 0.0433 = 4.3% EJER

EJERCICIOS 2.4

CIC

2.4.1. Encuentra el rango de los siguientes conjuntos de datos:

a) 1 6

2 6

2 6

3 6

3 7

3 8

4 8

4 9

5 9

5 9

b) 5 6

7 2

4 8

5 9

2 52

7 6

5 6

6 8

4 6

8 3

c) 6.33

7.45

6.15

5.59

6.18

7.01

6.44

5.92

6.12

7.23

d) 35 44

42 50

38 51

32 34

43 55

45 52

61 35

39 36

32 52

34

e) 107.4 102.9 100.9

104.2 117.4 120.0

111.9 106.6 115.3

112.1 116.1

122.0 101.9

121.6 105.3

119.9 108.7

113.4 110.7

118.0 114.5

103.8 109.1

2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

57

IOS

Estadística 2.4.2. La mayor de 65 medidas es 52.66 grados centígrados; si el rango es de 32.5 grados, determina cuál es la medida más pequeña. 2.4.3. Busca la desviación media (DM) de los 5 conjuntos del ejercicio 2.4.1. 2.4.4. Para el conjunto 8, 10, 9, 12, 4, 8, 2 indica la desviación media con respecto a: a) la media b) la mediana Verifica que la desviación media en relación con la mediana no es mayor que la desviación media con respecto a la media. 2.4.5. A partir de las siguientes tablas de distribución utilizadas en el ejercicio 2.3.12, obtén la desviación media de cada inciso. a) Estaturas de 135 estudiantes de una escuela: Estatura (centímetros)

Número de estudiantes

150 – 154

6

155 – 159

10

160 – 164

17

165 – 169

22

170 – 174

32

175 – 179

24

180 – 184

11

185 – 189

8

190 – 194

4

195 – 199

1 TOTAL 135

b) Estaturas de los mismos 135 estudiantes, pero con mayor intervalo de clases:

58

Capítulo 2 Estatura (centímetros)

Número de estudiantes

150 – 159

16

160 – 169

39

170 – 179

56

180 – 189

19

190 – 199

5 TOTAL 135

c) Peso de 90 hombres que asisten regularmente a una clínica nutricional: Peso (kilogramos)

Frecuencia

40 – 49.9

4

50 – 59.9

7

60 – 69.9

20

70 – 79.9

26

80 – 89.9

23

90 – 99.9

8

100 – 109.9

2 TOTAL 90

d) Tiempo que tardan 50 automóviles en llegar a 100 km por hora desde 0 km por hora acelerando al máximo: Tiempo (segundos)

Frecuencia

2 – 4.99

4

5 – 7.99

15

8 – 10.99

19

11 – 13.99

9

14 o más

3 TOTAL 50

2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

59

Estadística e) Salarios mensuales de 163 trabajadores de una fábrica maquiladora de ropa. Salarios (pesos)

Número de trabajadores (frecuencia)

3 000 – 3 999

38

4 000 – 4 999

51

5 000 – 5 999

19

6 000 – 6 999

22

7 000 – 7 999

12

8 000 – 8 999

8

9 000 – 9 999

5

10 000 – 14 999

6

15 000 – 50 000

2 TOTAL 163

2.4.6. A partir de los conjuntos del ejercicio 2.4.1, obtén la desviación estándar (s) con la / ] x - x g2 primera fórmula / ] x - x g2 y con la fórmula corregida n n-1 2.4.7. Con los mismos conjuntos del ejercicio 2.4.1, obtén la varianza (s2) aplicando ambas fórmulas. 2.4.8. Con las tablas de distribución usadas en el ejercicio 2.4.4, obtén la desviación estándar y la varianza de cada inciso con la fórmula corregida. 2.4.9. Obtén el coeficiente de variación (V) de los 5 conjuntos del ejercicio 2.4.1 con la fórmula corregida e indica el porcentaje. 2.4.10. Obtén el coeficiente de variación (V) de cada tabla de distribución de frecuencias utilizada en el ejercicio 2.4.4 con la primera fórmula para la desviación estándar y con la fórmula corregida. 2.4.11. Obtén los coeficientes de variación de a) los datos utilizados en el ejercicio 2.3.15, b) los datos del ejercicio 2.3.16, c) los datos del ejercicio 2.3.17 y d) los datos del ejercicio 2.3.18; con la primera fórmula y con la fórmula corregida para la desviación estándar.

60

Capítulo 2 2.4.12. A partir de los siguientes datos obtenidos al medir diariamente durante un año la temperatura de un depósito de agua en grados centígrados, obtén el coeficiente de variación con la fórmula corregida. 21.36

23.71

15.62

15.04

15.31

23.67

15.68

23.1

15.01

21.69

22.41

17.97

19.17

17.19

16.89

16.46

20.84

22.71

14.99

21.24

17.88

19.73

23.52

22.41

20.37

20.86

20.15

14.01

17.99

21.86

17.67

17.48

21.87

14.91

15.4

17.64

22.29

16.23

20.07

17.87

16.29

23.62

14.41

16.62

22.13

15.54

23.28

14.17

21.04

17.11

17.48

20.61

23.96

20.06

18.6

23.44

22.63

14.85

16.59

19.92

22.89

15.27

16.4

15.74

23.05

22.83

17.24

16.74

20.54

23.87

22.05

20.13

22.95

22.56

22.07

22.58

22.26

21.6

16.15

16.74

23.34

17.4

16.44

15.99

23.82

18.6

19.09

16.65

17.24

21.27

22.45

20.04

20.09

21.35

23.16

23.18

21.3

20.01

19.82

15.22

21.73

17.98

23.94

20.27

21

15.98

22.94

22.98

19.47

23.45

19.9

23.81

17.73

20.84

15.9

20.77

18.84

16.31

23.64

16.18

17.79

15.1

19.04

14.86

23.86

22.27

18.99

17.43

19.04

22.02

21.7

14.83

21.33

20.14

22.25

19.63

14.08

20.58

20.67

23.99

23.54

22.62

18.86

15.49

22.67

21.64

15.14

14.14

14.08

20.99

16.08

17.93

14.62

20.01

19.47

16.29

23.21

15.59

20.59

18.62

19.3

20.73

15.47

15.35

14.21

22.94

17.33

23.68

15.06

23.21

17.62

22.91

14.66

15.98

15.75

22.22

15.27

17.83

14.46

23.32

17.89

14.11

14.98

17.21

18.84

18.17

21.28

19.22

19.05

23.75

22.57

18.79

17.84

19.03

16.52

21.74

18.09

23.43

19.64

19.07

15.39

22.87

16.29

16.47

18.29

19.98

23

19.21

22.92

17.07

15.82

18.12

14.1

19.53

17.67

22.4

19.58

18.7

20.29

18.43

16.59

23.56

15.69

15.74

17.55

21.4

22.85

21.21

23.47

14.94

18.64

15.44

15.92

17.96

15.94

15.1

20.14

18.57

21.19

14.77

14.14

22.29

18.71

22.28

16.51

19.26

23.06

16.88

20.21

22.28

19.34

15.65

23.92

23.89

20.08

19.91

22.05

18.39

20.22

22.08

14.6

18.43

20.6

16.23

16.32

17.17

23.33

18.07

20.07

23.37

15.56

14.03

16.33

23.32

17.54

15.81

19.53

19.76

19.44

23.43

17.4

15.28

18.97

19.62

22.5

22.09

15.37

16.15

15.92

15.46

19.48

16.11

18.57

15.02

19.75

19.55

16.3

20.11

20.66

23.68

16.29

14.12

14.79

21.16

22.31

16.42

15.94

22.73

18.96

19.84

20.55

16.24

17.82

19.84

16.83

20.54

21.37

23.78

23.68

19.9

15.12

20.09

22.22

18.23

20.82

18.58

17.72

18.41

19.38

16.14

21.83

16.34

21.65

18.13

22.59

16.36

15.35

19.83

15.93

14.24

18.93

17.38

17.92

18.05

17.51

19.6

23.5

16.51

19.41

22.1

14.2

22.25

17.94

21.56

16.71

2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

61

ESTADÍSTICA Estadistica cover.indd 1

ESTADÍSTICA

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