PROBABILIDAD y ESTADISTICA

PROBABILIDAD y ESTADÍSTICA Definición de probabilidad La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio. Experimentos deterministas Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. Ejemplo Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará. Experimentos aleatorios Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar. Ejemplos Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz. Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener. Teoría de probabilidades La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:

Suceso Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. Al lanzar una moneda salga cara. Al lanzar una moneda se obtenga 4. Espacio muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω). Espacio muestral de una moneda: Ω = {C, X}. Espacio muestral de un dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5. Ejemplo Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular: 1. El espacio muestral. Ω = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}

2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}. A = {(b,b,b); (n, n,n)} 3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}. B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)} 4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}. C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)} Tipos de sucesos Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5. Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3. Suceso seguro, Ω , está formado por todos los posibles r esultados (es decir, por el espacio muestral). Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7. Suceso imposible,

, es el que no tiene ningún elemento.

Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7. Sucesos compatibles Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común. Sucesos incompatibles Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles. Sucesos

independientes

Dos

sucesos,

A

y

B,

son

independientes

cuando

la

probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Al lazar dos dados los resultados son independientes. Sucesos dependientes Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya suce dido o no B. Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes. Suceso contrario El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por Ā. Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado. Espacio de sucesos Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesos aleatorios. Si tiramos una moneda el espacio se sucesos está formado por: S= {{ɸ}, {C}, {X}, {C, X}}.

Observamos que el primer elemento es el suceso imposible y el último el suceso seguro. Si Ω tiene un número finito de elementos, n, de elementos el número de sucesos de Ω es 2 n . - Una moneda Ω = {C, X}. - Número de sucesos = 2 2 =4 - Dos monedas Ω = {(C,C); (C,X); (X,C); (X,X)}. - Número de sucesos = 2 4 =16 - Un dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. - Número de sucesos = 2 6 = 64

Unión de sucesos La unión de sucesos, A

B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de

B. Es decir, el suceso A A

B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos.

B se lee como "A o B".

Ejemplo Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

B.

A

B = {2, 3, 4, 6}

Propiedades de la unión de sucesos Conmutativa

Asociativa

Idempotente

Simplificación

Distributiva

Elemento neutro

Absorción

INTERSECCIÓN DE SUCESOS

La intersección de sucesos, A

B, es el suceso formado por todos los elementos que

son, a la vez, de A y B. Es decir, el suceso A A

B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.

B se lee como "A y B".

Ejemplo Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A

B = {6}

B.

Propiedades de la intersección de sucesos Conmutativa

Asociativa

Idempotente

Simplificación

Distributiva

Elemento neutro

Absorción

Diferencia de sucesos La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.

A − B se lee como "A menos B". Ejemplo Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A − B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A − B = {2, 4}

Propiedad

Sucesos contrarios El suceso Ā = E - A se llama suceso contrario o complementario de A. Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A. Ejemplo Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par". Calcular Ā.

A = {2, 4, 6} Ā = {1, 3, 5}

Propiedades

Leyes de Morgan

Propiedades de la probabilidad

1. La probabilidad es positiva y menor o igual que 1. 0 ≤ p(A) ≤ 1 2. La probabilidad del suceso seguro es 1. p(E) = 1 3. Si A y B son incompatibles, es decir A p(A

B =

entonces:

B) = p(A) + p(B)

Propiedades de la probabilidad 1. La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es:

2. Probabilidad del suceso imposible es cero.

3. La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección.

4. Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de ést e.

5. Si A 1 , A 2 ,..., A k son incompatibles dos a dos entonces:

6. Si el espacio muestral Ω es finito y un suceso es S = {x 1 , x 2 ,..., x n } entonces:

Por ejemplo la probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es: P (par) = P(2) + P(4) + P(6)

Regla de laplace

Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es:

Ejemplos Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras. Casos posibles: {cc, cx, xc, xx}. Casos favorables: 1.

En una baraja de 40 cartas, hallar la P (as) y P (copas). Casos posibles: 40. Casos favorables de ases: 4.

Casos favorables de copas: 10.

Calcular la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

1 Un número par. Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Casos favorables: {2, 4, 6}.

2 Un múltiplo de tres. Casos favorables: {3, 6}.

3 Mayor que 4. Casos favorables: {5, 6}.

Combinatoria y probabilidad

La combinatoria nos

puede

ser

muy

útil

para

calcular

los sucesos

posibles

y

favorables, al aplicar la regla de Laplace. Especialmente si hay un gran número de sucesos. Ejemplos

1 Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas fijadas de antemano se sienten juntas? Casos posibles:

Casos favorables: Si consideramos las dos personas que se sientan juntas como una sola persona habrá 9!; pero pueden estar de dos formas posibles a la izquierda uno d e otro o a la derecha, por tanto se tiene 2 · 9!

2. Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer:

4 ases.

4 ases y un rey.

3 cincos y 2 sotas.

Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden.

3 de un palo cualquiera y 2 de otro. Hay cuatro formas de elegir el primer palo y tres formas de elegir al segundo palo.

Al menos un as.

Probabilidad de la unión de sucesos Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles A p(A

B = B) = p(A) + p(B)

Calcular la probabilidad de obtener un 2 ó un 5 al lanzar un dado.

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles A

B ≠

p(A

B) = p(A) + p(B) − p(A

p(A

B

C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(A

p(A

B

C)

B) B) − p(A

C) − p(B

C) +

Calcular la probabilidad de obtener un múltiplo de 2 ó un 6 al lanzar un dado.

Probabilidad condicionada Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral Ω . Se llama probabilidad del suceso A condicionada al B y se representa por P(A/B) a la probabilidad del suceso A una vez ha ocurrido el B.

Ejemplo Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.

Sucesos independientes Dos sucesos A y B son independientes si p(A/B) = p(A) Sucesos dependientes Dos sucesos A y B son dependientes si p(A/B) ≠ p(A)

Probabilidad compuesta o de la interseccion de sucesos Probabilidad de la intersección de sucesos independientes

p(A

B) = p(A) · p(B)

Ejemplo Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?

Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes p(A

B) = p(A) · p(B/A)

Ejemplo Se tiene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?

Probabilidad de la diferencia de sucesos

Tablas de contingencia

Un método útil para clasificar los datos obtenidos en un recuento es mediante las tablas de contingencia. Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla. Ejemplo Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide: 1. ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero? 2. Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?

Diagramas de árbol

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento ( nudo final). Hay

que

tener

en

cuenta:

que

la suma

de

probabilidades de

las ramas de

cada nudo ha de dar 1. Ejemplos Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de: 1. Seleccionar tres niños.

2. Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

3. Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

4. Seleccionar tres niñas.

Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan: Tres caras.

Experimentos compuestos Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios simples. Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimento compuesto. En

los experimentos

compuestos es

conveniente

árbol para hacerse una idea global de todos ellos.

usar

el

llamado diagrama

en

Teorema de la probabilidad total

Si A 1 , A 2 ,... , A n son: Sucesos incompatibles 2 a 2. Y cuya unión es el espacio muestral (A

1

A

2

...

A n = Ω ).

Y B es otro suceso. Resulta que:

p(B) = p(A 1 ) · p(B/A 1 ) + p(A 2 ) · p(B/A 2 ) + ... + p(A n ) · p(B/A n ) Ejemplo Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

Teorema de bayes

Si A 1 , A 2 ,... , A n son: Sucesos incompatibles 2 a 2. Y cuya unión es el espacio muestral (A

1

A

2

...

A n = Ω).

Y B es otro suceso. Resulta que:

Las probabilidades p(A 1 ) se denominan probabilidades a priori.

Las probabilidades p(A i /B) se denominan probabilidades a posteriori. Las probabilidades p(B/A i ) se denominan verosimilitudes. Ejemplos El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

Sean los sucesos: I = Producirse incidente. A = Sonar la alarma.

RESUMEN DE ESTE CAPITULO

Teoría de probabilidades

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Suceso Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. Espacio muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω). Tipos de sucesos Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral. Suceso seguro, Ω, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral). Suceso imposible,ɸ, es el que no tiene ningún elemento. Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7. Sucesos compatibles Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Sucesos incompatibles Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. Sucesos independientes Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Sucesos dependientes Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. Suceso contrario El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota por Ā. Unión de sucesos La unión de sucesos, A

B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de

B. Intersección de sucesos La intersección de sucesos, A

B, es el suceso formado por todos los elementos que

son, a la vez, de A y B. Diferencia de sucesos La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.

Sucesos contrarios El suceso

= Ω - A se llama suceso contrario o complementario de A.

Axiomas de la probabilidad 1. 0 ≤ p(A) ≤ 1 2. p(E) = 1 3. p(A

B) = p(A) + p(B)

Propiedades de la probabilidad 1

2

3

4 5 Si A 1 , A 2 , ..., A k son incompatibles dos a dos entonces:

6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x 1 , x 2 , ..., x n } entonces:

Ley de Laplace

Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles A

B =

p(A

B) = p(A) + p(B)

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles A

B ≠ B) = p(A) + p(B) − p(A

p(A

B)

Probabilidad condicionada

Probabilidad de la intersección de sucesos independientes p(A

B) = p(A) · p(B)

Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes p(A

B) = p(A) · p(B/A)

Teorema de la probabilidad total Si A 1 , A 2 ,... , A n son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral (A

1

A

2

...

A n = E) y B es otro suceso, resulta que:

p(B) = p(A 1 ) · p(B/A 1 ) + p(A 2 ) · p(B/A 2 ) + ... + p(A n ) · p(B/A n )

Teorema de Bayes Si A 1 , A 2 ,... , A n son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral (A

1

A

2

...

A n = E) y B es otro suceso, resulta que:

EJERCICIOS

1. Sean A y B dos sucesos aleatorios con:

Hallar: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

2. Sean A y B dos sucesos aleatorios con:

Hallar: 1

2

3

4

3. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando: 1 La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. E = {BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN} 2 La primera bola no se devuelve. E = {BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV}

4. Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de: 1Sea roja.

2Sea verde.

3Sea amarilla.

4No sea roja.

5No sea amarilla.

5. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos: 1 Con remplazamiento.

2 Sin remplazamiento.

6. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

7. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno: 1Sea hombre.

2Sea mujer morena.

3Sea hombre o mujer.

8. Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar: 1La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.

2La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

9. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide: 1La probabilidad de que salga el 7.

2 La probabilidad de que el número obtenido sea par.

3 La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

10. Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que: 1 Salga 6 en todos.

2 Los puntos obtenidos sumen 7.

11. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

12. Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga: 1 Un número par.

2 Un múltiplo de tres.

3 Mayor que cuatro.

13. Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan: 1 Dos caras.

2 Dos cruces.

3 Una cara y una cruz.

14. En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche: 1 Si se saca una papeleta.

2 Si se extraen dos papeletas.

3 Si se extraen tres papeletas.

15. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

16. Dos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

17. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

18. La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad: 1 De que ambos vivan 20 años.

2 De que el hombre viva 20 años y su mujer no.

3 De que ambos mueran antes de los 20 años.

Ejercicios y problemas resueltos de probabilidad condicionada 1 Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A Determinar: 1

2

3

4

B)= 1/4.

5

2 Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A Determinar: 1

2

3

4

B) = 1/5.

5

6

3 En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

p (chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69

4 De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que: 1 Las dos sean copas.

2 Al menos una sea copas.

3 Una sea copa y la otra espada.

5 Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

6 Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa. 1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés?

2 ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

7 Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa. 1 Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.

2 Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.

3 Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

4 Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

8 Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de: 1 Seleccionar tres niños.

2 Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

3 Seleccionar por lo menos un niño.

4 Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

9 Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.

10 Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Se pide:

1 Probabilidad de que la segunda bola sea verde.

2 Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.

11 En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase: 1 Juegue sólo al fútbol.

2 Juegue sólo al baloncesto.

3 Practique uno solo de los deportes.

4 No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.

12 En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: 1 Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?

2 Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

3 ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

13 En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso: 1 ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?

2 Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre?

14 Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B. A continuación extraemos una bola. Se pide:

1 Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B.

2 Probabilidad de que la bola sea blanca.

15 Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5. 1 Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?

2 Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?

16 En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar. 1 ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?

2 Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?

17 Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos: 1 Con una persona sin gafas.

2 Con una mujer con gafas.

18 En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él una llave para abrir el trastero. Se pide: 1 ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?

2 ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?

3 Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD VARIABLE ALEATORIA Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral Ω un número real. Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas. Variable aleatoria discreta Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros . Ejemplos El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado. Variable aleatoria continua Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. Ejemplos La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila. Función de probabilidad Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la aplicación que asocia a cada valor de x i de la variable su probabilidad p i . 0 ≤ pi ≤ 1 p1 + p2 + p3 + · · · + pn = Σ pi = 1

Ejemplo Calcular la distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.

x

1

2

3

4

5

6

pi

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

P=1

Representación La representación de una distribución discreta de probabilidad es un diagrama de barras.

FUNCION DE DISTRIBUCION

Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x) a la función:

F(x) = p(X ≤ x)

La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor. Ejemplo Calcular la función de distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado. x

p

x a) = 1 - P(Z ≤ a)

P(Z > 1.47) = 1 − P(Z ≤ 1.47) = 1 − 0.9292 = 0.0708 P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)

P(Z ≤ −1.47) = 1 − P(Z ≤ 1.47) = 1 − 0.9292 = 0.0708 P(Z > −a) = P(Z ≤ a)

p(Z > 1.47) = p(Z ≤ 1.47) = 0.9292

P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)

P( 0.45 30, ó cualquier tamaño si la población es "normal"), las medias de estas muestras siguen aproximadamente la distribución:

Consecuencias: 1.Permite averiguar la probabilidad de que la media de una muestra concreta esté en un cierto intervalo. 2.Permite calcular la probabilidad de que la suma de los elementos de una muestra esté, a priori, en un cierto intervalo.

3.Inferir la media de la población a partir de una muestra.

Las bolsas de sal envasadas por una máquina tienen μ = 500 g y σ = 35 g. Las bolsas se empaquetaron en cajas de 100 unidades. 1.Calcular la probabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de un paquete sea menor que 495 g.

2.Calcular la probabilidad de que una caja 100 de bolsas pese más de 51 kg.

Estimación de parámetros

Es el procedimiento utilizado para conocer las características de un parámetro poblacional, a partir del conocimiento de la muestra. Con una muestra aleatoria, de tamaño n, podemos efectuar una estimación de un valor de un parámetro de la población; pero también necesitamos precisar un: Intervalo de confianza

Se llama así a un intervalo en el que sabemos que está un parámetro, con un nivel de confianza específico. Nivel de confianza Probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza. Error de estimación admisible Que estará relacionado con el radio del intervalo de confianza. ESTIMACION DE LA MEDIA DE UNA POBLACION Intervalo de confianza para la media El intervalo de confianza, para la media de una población, con un nivel de confianza de 1- α , siendo x la media de una muestra de tamaño n y σ la desviación típica de la población, es:

El error máximo de estimación es:

Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, n, menor es el error. Cuanto mayor sea el nivel de confianza, 1-α, mayor es el error. Tamaño de la muestra

Si aumentamos el nivel de confianza, aumenta el tamaño de la muestra. Si disminuimos el error, tenemos que aumentar el tamaño de la muestra.

El tiempo que tardan las cajeras de un supermercado en cobrar a los clientes sigue una ley normal con media desconocida y desviación típica 0,5 minutos. Para una muestra aleatoria de 25 clientes se obt uvo un tiempo medio de 5,2 minutos. 1.Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% para el tiempo medio que se tarda en cobrar a los clientes.

2.Indica el tamaño muestral necesario para estimar dicho tiempo medio con un el error de ± 0,5 minutos y un nivel de confianza del 95%.

n ≥ 4 ESTIMACION DE UNA PROPORCION

Si en una población, una determinada característica se presenta en una proporción p,

la

proporción p' ,

de

individuos

con

dicha

característica

en

las muestras de tamaño n, se distribuirán según:

Intervalo de confianza para una proporción

El error máximo de estimación es:

En una fábrica de componentes electrónicos, la proporción de componentes finales defectuosos era del 20%. Tras una serie de operaciones e inversiones destinadas a mejorar el rendimiento se analizó una muestra aleatoria de 500 componentes, encontrándose que 90 de ellos eran defectuosos. ¿Qué nivel de confianza

debe

adoptarse

para

aceptar

que

variaciones? p = 0.2

q = 1 - p =0.8

E = 0.2 - 0.18 = 0.02

p'= 90/ 500 = 0.18

el

rendimiento

no

ha

sufrido

P (1 - z α / 2 k

Unilateral

2. A partir de un nivel de confianza 1 - α o el de significación α. Determinar: El valor z α /2 (bilaterales), o bien z α (unilaterales) La zona de aceptación del parámetro muestral (x o p'). 3. Calcular: x o p', a partir de la muestra. 4. Si el valor del parámetro muestral está dentro de la zona de la aceptación, se acepta la hipótesis con un nivel de significación α. Si no, se rechaza. CONTRASTE BILATERAL Se presenta cuando la hipótesis nula es del tipo H 0 : μ = k (o bien H 0 : p = k) y la hipótesis alternativa, por tanto, es del tipo H 1 : μ≠ k (o bien H 1 : p≠ k).

El nivel de significación α se concentra en dos partes (o colas) simétricas respecto de la media. La región de aceptación en este caso no es más que el correspondiente intervalo de probabilidad para x o p', es decir:

o bien:

Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 95%? 1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa: H0 : μ = 6 H1 : μ ≠ 6

La nota media no ha variado. La nota media ha variado.

2. Zona de aceptación Para α = 0.05, le corresponde un valor crítico: z α / 2 = 1.96. Determinamos el intervalo de confianza para la media: (6-1,96 · 0,4 ; 6+1,96 · 0,4) = (5,22 ; 6,78) 3. Verificación. Valor obtenido de la media de la muestra: 5,6 . 4. Decisión

Aceptamos la hipótesis nula H 0 , con un nivel de significación del 5%. CONTRASTE UNILATERAL

Caso 1 La hipótesis nula es del tipo H 0 : μ ≥ k (o bien H 0 : p ≥ k). La hipótesis alternativa, por tanto, es del tipo H 1 : μ < k (o bien H 1 : p < k). Valores críticos 1 - α

α

z

0.90

0.10

1.28

0.95

0.05

1.645

0.99

0.01

2.33

α

El nivel de significación α se concentra en una parte o cola. La región de aceptación en este caso será:

o bien:

Un sociólogo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de abstención en las próximas elecciones será del 40% como mínimo. Se elige al azar una muestra aleatoria de 200 individuos, con derecho a voto, 75 de los cuales estarían dispuestos a votar. Determinar con un nivel de significación del 1%, si se puede admitir el pronóstico. 1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa: H 0 : p ≥ 0.40

La abstención será como mínimo del 40%.

H 1 : p < 0.40

La abstención será como máximo del 40%;

2. Zona de aceptación Para α = 0.01, le corresponde un valor crítico: z α = 2.33. Determinamos el intervalo de confianza para la media:

3.Verificación.

4.Decisión

Aceptamos

la

hipótesis

nula H 0 .

Podemos

afirmar,

con

un

nivel

significación del 1%, que la La abstención será como mínimo del 40%.

Caso 2 La hipótesis nula es del tipo H 0 : μ ≤ k (o bien H 0 : p ≤ k). La hipótesis alternativa, por tanto, es del tipo H 1 : μ > k (o bien H 1 : p > k).

El nivel de significación α se concentra en la otra parte o cola. La región de aceptación en este caso será:

o bien:

de

Un informe indica que el precio medio del billete de avión entre Canarias y Madrid es, como máximo, de 120 € con una desviación típica de 40 €. Se toma una muestra de 100 viajeros y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 €. ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación igual a 0,1, la afirmación de partida? 1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa: H 0 : μ ≤ 120 H 1 : μ > 120 2.Zona de aceptación Para α = 0.1, le corresponde un valor crítico: z α = 1.28 . Determinamos el intervalo de confianza:

3. Verificación. Valor obtenido de la media de la muestra: 128 € . 4. Decisión No aceptamos la hipótesis nula H 0 . Con un nivel de significación del 10%. Errores de tipo I y tipo II

Error de tipo I. Se comete cuando la hipótesis nula es verdadera y, como consecuencia del contraste, se rechaza. Error de tipo II. Se comete cuando la hipótesis nula es falsa y, como consecuencia del contraste se acepta.

H0

Verdadera

Falsa

Decisón

correcta

Decisión

Aceptar Probabilidad = 1 - α ERROR

DE

ERROR DE TIPO II TIPO

Rechazar

I Decisión correcta

Probabilidad = α

La probabilidad de cometer Error de tipo I es el nivel de significación α. La probabilidad de cometer Error de tipo II depende del verdadero valor del parámetro. Se hace tanto menor cuanto mayor sea n. RESUMEN DEL CAPITULO Inferencia estadística Estudia cómo sacar conclusiones generales para toda la población a partir del estudio de una muestra, y el grado de fiabilidad o significación de los resultados obtenidos. Muestreo probabilístico Consiste en elegir una muestra de una población al azar. Podemos distinguir varios tipos:

Muestreo aleatorio simple: Para obtener una muestra, se numeran los elementos de la población y se seleccionan al azar los n elementos que contiene la muestra. Muestreo aleatorio sistemático: Se elige un individuo al azar y a partir de él, a intervalos constantes, se eligen los demás hasta completar la muestra. Muestreo aleatorio estratificado: Se divide la población en clases o estratos y se escoge, aleatoriamente, un número de individuos de cada estrato proporcional al número de componentes de cada estrato. Intervalos característicos El nivel de confianza (p) se designa mediante 1 - α. El nivel de significación se designa mediante α. El valor crítico (k) como z P(Z>z

α/2)

= α/2

P[-z

α /2

α/2

.

< z < z

α/2]

= 1- α

En una distribución N(μ, σ ) el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p = 1 - α es: (μ - z

α /2

· σ , μ + z

1 - α

α/2

α /2

· σ )

z

α/2

Intervalos característicos

0.90

0.05

1.645

(μ - 1.645 · σ , μ + 1.645 · σ)

0.95

0.025

1.96

(μ - 1.96 · σ , μ + 1.96 · σ )

0.99

0.005

2.575

(μ - 2.575 · σ , μ + 2.575 · σ )

Distribución de las medias muestrales Teorema central del límite Si una población tiene media μ y desviación típica σ , y tomamos muestras de tamaño n (n>30, ó cualquier tamaño si la población es "normal"), las medias de estas muestras siguen aproximadamente la distribución:

Consecuencias: 1.Permite averiguar la probabilidad de que la media de una muestra concreta esté en un cierto intervalo. 2.Permite calcular la probabilidad de que la suma de los elementos de una muestra esté, a priori, en un cierto intervalo.

3.Inferir la media de la población a partir de una muestra.

Estimación 

Intervalo

de

confianza

Se llama así a un intervalo en el que sabemos que está un parámetro, con un nivel de confianza específico. 

Nivel

de

confianza

Probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza. 

Error

de

estimación

admisible

Que estará relacionado con el radio del intervalo de confianza. Estimación de la media de una población Intervalo de confianza para la media El intervalo de confianza, para la media de una población, con un nivel de confianza de 1- α , siendo x la media de una muestra de tamaño n y σ la desviación típica de la población, es:

El error máximo de estimación es:

Tamaño de la muestra

Estimación de una proporción

Si en una población, una determinada característica se presenta en una proporción p, la proporción p' , de individuos con dicha característica en las muestras de tamaño n, se distribuirán según:

Intervalo de confianza para una proporción

El error máximo de estimación es:

Hipótesis estadísticas Un TEST ESTADÍSTICO es un procedimiento para, a partir de una muestra aleatoria

y

significativa, extraer

conclusiones que

permitan aceptar

o

rechazar una hipótesis previamente emitida sobre el valor de un parámetro desconocido de una población. La hipótesis emitida se designa por H 0 y se llama HIPÓTESIS NULA . La

hipótesis

contraria

se

designa

por H 1 y

se

ALTERNATIVA .

Contrastes de hipótesis 1. Enunciar la hipótesis nula H 0 y la alternativa H 1 . Bilateral

H 0 =k

H1 ≠ k

Unilateral

H0≥ k

H1 < k

llama HIPÓTESIS

H 0 ≤k

H1> k

2. A partir de un nivel de confianza 1 - α o el de significación α. Determinar: El valor z α /2 (bilaterales), o bien z α (unilaterales) La zona de aceptación del parámetro muestral (x o p'). 3. Calcular: x o p', a partir de la muestra. 4. Si el valor del parámetro muestral está dentro de la zona de la aceptación, se acepta la hipótesis con un nivel de significación α. Si no, se rechaza. Contraste Bilateral Se presenta cuando la hipótesis nula es del tipo H 0 : μ = k (o bien H 0 : p = k) y la hipótesis alternativa, por tanto, es del tipo H 1 : μ≠ k (o bien H 1 : p≠ k). El nivel de significación α se concentra en dos partes (o colas) simétricas respecto de la media. La región de aceptación en este caso no es más que el correspondiente intervalo de probabilidad para x o p', es decir:

o bien:

Contraste unilateral Caso 1 La hipótesis nula es del tipo H 0 : μ ≥ k (o bien H 0 : p ≥ k). La hipótesis alternativa, por tanto, es del tipo H 1 : μ < k (o bien H 1 : p < k). Valores críticos 1 - α

α

z

0.90

0.10

1.28

0.95

0.05

1.645

0.99

0.01

2.33

α

La región de aceptación en este caso será:

o bien:

Caso 2 La hipótesis nula es del tipo H 0 : μ ≤ k (o bien H 0 : p ≤ k).

La hipótesis alternativa, por tanto, es del tipo H 1 : μ > k (o bien H 1 : p > k). La región de aceptación en este caso será:

o bien:

Errores Error de tipo I. Se comete cuando la hipótesis nula es verdadera y, como consecuencia del contraste, se rechaza. Error de tipo II. Se comete cuando la hipótesis nula es falsa y, como consecuencia del contraste se acepta.

H0

Verdadera

Falsa

Decisón

correcta

Decisión

Aceptar Probabilidad = 1 - α

ERROR

DE

ERROR DE TIPO II

TIPO

I

Rechazar

Decisión correcta

Probabilidad = α

La probabilidad de significación α.

cometer Error

de

tipo

I es

el nivel

de

La probabilidad de cometer Error de tipo II depende del verdadero valor del parámetro. Se hace tanto menor cuanto mayor sea n. Inferencia estadística. Ejercicios y problemas 1 En cierto barrio se quiere hacer un estudio para conocer mejor el tipo de actividades de ocio que gustan más a sus habitante s. Para ello van a ser encuestados 100 individuos elegidos al azar. 1.Explicar qué procedimiento de selección sería más adecuado utilizar: muestreo con o sin reposición. ¿Por qué? Todas las fórmulas que hemos estudiado de teoría del muestreo y de inferencia estadística presuponen que las poblaciones son infinitas o que, si no lo son, el muestreo aleatorio se realiza con reposición.

2.Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en el barrio viven 2.500 niños, 7.000 adultos y 500 ancianos, post eriormente se decide elegir la muestra anterior utilizando un muestreo estratificado. Determinar el tamaño muestral correspondiente a cada estrato. Para efectuar un muestreo aleatorio estratificado, será necesario que la muestra

refleje

fielmente

los

estratos

existentes

en

la

población;

deben

considerarse los estratos formados por: niños, adultos y ancianos. El tamaño muestral de cada estrato deberá ser proporcional a la presencia del mismo en la población original: Población total: 2500 + 7000 + 500 = 10 000.

2 Sea la población de elementos: {22,24, 26}.

1.Escriba todas las muestras posibles de tamaño dos, escogidas mediante muestreo aleatorio simple. M 1 = {22, 24},

M 1 = {22, 26},

M 1 = {24, 26}

2.Calcule la varianza de la población.

3.Calcule la varianza de las medias muestrales.

3 La variable altura de las alumnas que estudian en una escuela de idiomas sigue una distribución normal de media 1,62 m y la desviación típica 0,12 m. ¿Cuál

es la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de 100 alumnas sea mayor que 1.60 m?

4 Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado los siguientes precios: 95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110. Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen según una ley normal de varianza 25 y media desconocida:

1.¿Cuál es la distribución de la media muestral?

2.Determine el intervalo de confianza, al 95%, para la media poblacional.

95%

→

z α /2 =1.96

(104 - 1.96 · 1. 25, 104 + 1.9 · 1.25) = (101.55; 106.45) 5 La media de las estaturas de una muestra aleatoria de 400 personas de una ciudad es 1,75 m. Se sabe que la estatura de las personas de esa ciudad es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con varianza σ 2 = 0,16 m 2 .

1.Construye un intervalo, de un 95% de confianza, para la media de las estaturas de la población. n=400

x =1.75

1- α=0.95 (1.75 ± 1.96 · 0.4/20 )

σ=0.4 z

α /2 =1.96

→

(1.7108,1.7892)

2.¿Cuál sería el mínimo tamaño muestral necesario para que pueda decirse que la verdadera media de las estaturas está a menos de 2 cm de la media muestral, con un nivel de confianza del 90%?

La muestra debe tener al menos 1083 personas. 6 Las ventas mensuales de una tienda de electrodomésticos se distribuyen según una ley normal, con desviación típica 900 €. En un estudio estadístico de las

ventas realizadas en los últimos nueve meses, se ha encontrado un intervalo de confianza para la media mensual de las ventas, cuyos extremos son 4 663 € y 5 839 €.

1. ¿Cuál ha sido la media de las ventas en estos nueve meses? n = 9

x = (4663 + 5839) / 2;

x =5251

2. ¿Cuál es el nivel de confianza para este intervalo? E= ( 5839 - 4663) / 2 = 588 588 = z α / 2 · 900 / 3 1-α = 0.95

→

z α / 2 = 1.96

95%

7 Se desea estimar la proporción, p, de individuos daltónicos de una población a través del porcentaje observado en una muestra aleatoria de individuos, de tamaño n.

1. Si el porcentaje de individuos daltónicos en la muestra es igual al 30%, calcula el valor de n para que, con un nivel de confianza de 0,95, el error cometido en la estimación sea inferior al 3,1%. 1- α=0.95

z α / 2 =1.96

Al menos 840 individuos.

2.Si el tamaño de la muestra es de 64 individuos, y el porcentaje de individuos daltónicos en la muestra es del 35%, determina, usando un nivel de significación del 1%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de daltónicos de la población. α=0.01

1- α=0.99

z α / 2 =2.575

8 En una población una variable aleatoria sigue una ley normal de media desconocida y desviación típica 2.

1.Observada una muestra de tamaño 400, tomada al azar, se ha obtenido una media muestra al igual a 50. ¿Calcule un intervalo, con el 97 % de confianza, para la media de la población.

2.Con el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño mínimo debe tener la muestra para qué la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como máximo, 1?

n ≥ 76 9 Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 6% de las nueces están vacías. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacías. 1.Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la marca?

1

Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H 0 : p ≤ 0.06 H 1 : p >0.06

2Zona de aceptación α = 0.01

z α = 2.33.

Determinamos el intervalo de confianza:

3Verificación.

4Decisión Aceptamos la hipótesis nula H 0 . Con un nivel de significación del 1%.

2.Si se mantiene el porcentaje muestral de nueces que están vacías y 1 -α = 0.95, ¿qué tamaño muestral se necesitaría para estimar la proporción de nueces con un error menor del 1% por ciento? 1 - α = 0, 9 5

z

α/2

= 1, 96

10 La duración de la bombillas de 100 W que fabrica una empresa sigue una distribución normal con una desviación típica de 120 horas de duración. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 800 horas. Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y, después de comprobarlas, se obtiene una vida media de 750 horas. Con un nivel de significación de 0,01, ¿habría que rechazar el lote por no cumplir la garantía? 1

Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H 0 : µ ≥ 800 H 1 : µ n. Sí pueden entrar todos los elementos si m ≤ n Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.

Ejemplos 1. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?

m = 5

n= 3

No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3. Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321. Sí se repiten los elementos.

2. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5? m = 6

n= 3

Tenemos que separar el número en dos bloques:

El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares). m = 5

n= 1

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito. m = 6

n= 2

3. ¿Cuántas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los 15 resultados? m = 3

n = 15

m < n

Sí entran todos los elementos. En este caso el número de orden es mayor que el número de elementos. Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.

PERMUTACIONES Se

llama permutaciones

de

m

elementos

agrupaciones de esos m elementos de forma que: Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

Ejemplos 1. Calcular las permutaciones de 6 elementos. P 6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

(m

=

n) a

las

diferentes

2. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5? m = 5

n= 5

Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas? Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas. Sí importa el orden. No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

PERMUTACIONES CIRCULARES Es un caso particular de las permutaciones. Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.

Ejemplos 1. Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos. PC 7 = (7 − 1)! = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

PERMUTACIONES CON REPETICION Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ... n = a + b + c + ... Son los distintos grupos que pueden formarse con esos n elementos de forma que : Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.

Ejemplos

Calcular las permutaciones con repetición de:

.

2. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar? m = 9

a= 3

b =4

c= 2

a + b + c= 9

Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.

3. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas? Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.

COMBINACIONES Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que: No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

Las combinaciones se denotan por Ejemplos 1. Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.

2. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? No entran todos los elementos. No importa el orden: Juan, Ana. No se repiten los elementos.

COMBINACIONES CON REPETICION Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que: No entran todos los elementos. No importa el orden. Sí se repiten los elementos.

Ejemplo En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas? No entran todos los elementos. Sólo elije 4.. No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.

Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.

NUMEROS COMBINMATORIOS

El número

por

se llama también número combinatorio. Se representa

y se lee "m sobre n".

Ejemplo

Propiedades de los números combinatorios

1.

2. Los números de este tipo se llaman complementarios.

3.

Ejemplo Hallar el número de combinaciones de 75 elementos de orden 72.

TRIANGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA El triángulo de números combinatorios de Tartaglia o de Pascal (debido a que fue este matemático quien lo popularizó) es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico, del que podemos ver sus primeras líneas:

Propiedades del Triángulo de Pascal o de Tartaglia 1. El número superior es un 1, la segunda fila corresponde a los números combinatorios de 1, la tercera de 2, la cuarta de 3 y así sucesivamente. 2.Todas la filas empiezan y acaban en 1.

3.Todas las filas son simétricas.

4.Cada número se obtiene sumando los dos que están situados sobre él. Aplicando estas propiedades podemos escribir el triángulo de Pascal:

El triángulo de Pascal o de Tartaglia nos será muy útil para calcular los coefecientes del binomio de Newton. BINOMIO DE NEWTON La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.

Podemos observar que:

El número de términos es n+1.

Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.

En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b vanaumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n. En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

Ejercicios del binomio de Newton

1.

2.

Cálculo del término que ocupa el lugar k

Ejemplos 1.El término quinto del desarrollo de

es:

2.El término cuarto del desarrollo de

es:

3.Hallar el término octavo del desarrollo de

RESUMEN CAPITULO Factorial de un número natural Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota por n!.

Variaciones Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que: No entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:

Las variaciones se denotan por Variaciones con repetición Se llama variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que: No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar todos los elementos si m ≤ n Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.

Permutaciones Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

Permutaciones circulares Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.

Permutaciones con repetición Permutaciones

con

repetición de m

elementos donde

el primer

elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ...(m = a + b + c + ... = n) son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que : Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.

Combinaciones Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que: No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

Combinaciones con repetición Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que: No entran todos los elementos. No importa el orden. Sí se repiten los elementos.

Números combinatorios

El número

por

se llama también número combinatorio. Se representa

y se lee "m sobre n".

Propiedades de los números combinatorios

1.

2.

3. Binomio de Newton La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.

Ejercicios de combinatoria 1 ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo qu e hay 12 posibles candidatos? No entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

2 Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal? La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4. Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

3 ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

4 ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000? Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

Si es impar sólo puede empezar por 7 u 9.

5 ¿De cuántos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos? No entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

6 A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

7 Con las cifras 1, 2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras pueden formarse? ¿Cuántos son pares? Sí entran todos los elementos: 3 < 5 Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.

Si el número es par tan sólo puede terminar en 2.

9 ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta de la portería? Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas. Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

10 Con el punto y raya del sistema Morse, ¿cuántas señales distintas se pueden enviar, usando como máximo cuatro pulsaciones? No entran todos los elementos en un caso y sí entran en lo otros Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.

11 Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos? Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7 personas, en los dos se cumple que: Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

12 ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices? Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices. No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

Son

, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que

no son diagonales.

13 Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si: 1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

Combinatoria. Ejercicios 1 Halla el número de capicúas de ocho cifras. ¿Cuántos capicúas hay de nueve cifras?

2 Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si: 1. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

2.Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.

3 Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

4 Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?

6 Resolver las ecuaciones combinatorias:

1.

2.

3.

4.

7 Resolver las ecuaciones: 1.

2.

3.

8 Resolver las ecuaciones combinatorias:

1.

2.

3.

27 no es solución porque el número de orden en las combinaciones es menor que el número de elementos. 9 Resolver las ecuaciones combinatorias:

1. Por la 2ª propiedad de los números combinatorios, se tiene:

2. Por la 3ª propiedad de los números combinatorios, se tiene: x = 4

3.

4.