Probabilidad y Estadística: Taller preparación Quiz 2 sobre estrategias de inversión, distribuciones de probabilidad y más

Probabilidad y Estad´ıstica ´ Quiz 2 Taller preparacion

´ 1. Un inversor est´a considerando tres estrategias para invertir 1000 dolares. Se estima que los rendimientos posibles son los siguientes: Estrategia 1: unos beneficios de 10000 con una probabilidad de 0.15 y una p´erdida de 1000 con una probabilidad de 0.85. Estrategia 2: unos beneficios de 1000 con una probabilidad de 0.50, unos beneficios de 500 con una probabilidad de 0.30 y una p´erdida de 500 con una probabilidad de 0.20. ´ Estrategia 3: unos beneficios seguros de 400 dolares. ¿Qu´e estrategia tiene un mayor beneficio esperado? ¿Aconsejar´ıa necesariamente al inversor que adoptara esta estrategia? R/. Estrategia 1 2. Un fabricante utiliza un producto determinado como materia prima. La cantidad que utiliza (en toneladas) en ´ de densidad un d´ıa puede describirse mediante la variable aletoria X, que tiene la funcion ( 1 e−x/4 x > 0 f (x) = 4 0 eoc ´ acumulada de X. R/. 1 − e−x/4 a) Encuentre la distribucion b) Calcule la probabilidad de que la planta utilice m´as de 4 ton en determinado d´ıa. R/. 0.3678 c) ¿Qu´e cantidad del producto debe almacenarse para que la probabilidad de agotar la existencia sea de 0,05? R/. 11.9829 d) ¿Cu´al es la probabilidad de que se deban utilizar entre µ e (mediana) y µ toneladas? R/. 0.1321 ´ de probabilidad conjunta f (−1, 0) = 0, f (−1, 1) = 3. Si X y Y tiene la distribucion 1 1 f (1, 0) = 12 , y f (1, 1) = 2 , demuestre que:

1 4,

f (0, 0) =

1 6,

f (0, 1) = 0,

a) Cov(X, Y ) = 0 b) Las dos variables aleatorias no son independientes. ´ diaria de una produccion ´ industrial, denote con X la cantidad de la venta y Y , los costos, en 4. Para la operacion ´ miles de dolares,. Suponga que las funciones de densidad de las dos variables est´an dadas por ( 1 ( 1 x3 e−x x > 0 e−y/2 y > 0 f (x) = f (y) = 6 2 0 eoc 0 eoc La utilidad est´a dada por U = X − Y ´ generadora de momentos de la variable aleatoria Y . R/.(1 − 2t)−1 , t < 1/2 a) Hallar la funcion ´ est´andar del costo esperado. b) Encuentre la probabilidad de que los costos est´en al menos una desviacion R/.0.1353 c) Encuentre la utilidad esperada. R/. 2

d) Suponiendo que X y Y son independientes, encuentre Var(U) R/. 8 ´ 5. Un inversor tiene un capital de 3000 dolares, invierte 2000 en una cuenta que tiene una tasa de rendimiento fija ˜ invierte los otros 1000 en un fondo que tiene una tasa esperada de rendimiento del 16 % y una del 10 % al ano, ´ t´ıpica del 8 % al ano. ˜ desviacion ˜ R/. 3360 a) Hallar el capital total que espera tener el inversor al final del ano. ´ est´andar del capital total despu´es de un ano. ˜ R/. 80 b) Hallar la desviacion 6. Si la densidad de probabilidad conjunta de X y Y est´a dada por  2 x > 0, y > 0, x + y < 1 f (x, y) = 0 eoc a) Encontrar la densidad marginal de X. R/.g(x) = 2 − 2x, 0 < x < 1 ´ acumulada de X. R/. 2x − x2 , 0 < x < 1 b) Hallar la distribucion ´ para el (100p)avo percentil para la variabel aleatoria X. R/. y = 1 − c) Hallar una expresion
d) Calcular P X + Y > 23 .

√

1−p

´ de densidad de 7. El tiempo semanal de una CPU empleado por una firma de contadores tiene una funcion probabilidad (medida en horas) dada por   3 x2 (4 − x) , 0 ≤ x ≤ 4 f (x) = 64 0, eoc a) Hallar la probabilidad de que el tiempo semanal de la CPU est´e entre 1 y 3 horas. R/. 0.6875 b) El tiempo de la CPU le cuesta $200 por hora a la empresa. Encuentre el valor esperado y la varianza del costo semanal para la CPU. R/. 480 ; 25600 ´ 8. Si X es la cantidad de dinero (en dolares) que un agente de ventas gaste en gasolina durante un d´ıa, y Y es la ´ cantidad de dinero (en dolares) correspondiente que le reembolsan, la densidad conjunta de estas dos variables aleatorias est´a dada por    x  1 20 − x 10 < x < 20, 0 f (x) = 0 e.o.c a) Encuentre el valor de la constante k. R/.

1 9

´ de distribucion ´ acumulada de X. b) Encuentre la funcion c) ¿Cu´ales son las probabilidades de que en un d´ıa dado, 1) el consumo de agua en esta ciudad no sea mayor de 6 millones de litros. R/. 0.5939 2) el abastecimiento de agua sea inadecuado si la capacidad diaria de esta ciudad es 9 millones de litros? R/. 0.1991 ´ 29. Un proveedor de petroleo tiene un tanque de 150 galones que se llena al empezar cada semana. Su demanda semanal muestra un comportamiento de frecuencia relativa que aumenta de manera continua hasta 100 galones y luego se nivela entre 100 y 150 galones. Si la variable aleatoria X denota la demanda semanal (en cientos ´ de densidad de probabilidad se puede representar como: de galones), la funcion   x 0 < x ≤ 1 f (x) = c 1 < x ≤ 1,5   0 e.o.c ´ de densidad de probabilidad. R/. c = 1 a) Encuentre el valor de c que haga de f (x) una funcion ´ de distribucion ´ acumulada de la variable aleatoria X. b) Encuentre la funcion ´ c) Encuentre la probabilidad de que la demanda en una semana se encuentre a lo sumo a media desviacion est´andar de la demanda promedio esperada. R/. 0.3274 d) Encuentre el percentil 92 de la variable aleatoria X. R/. 1.42 e) Dado que en una semana en particular la demanda fue de m´as de 50 galones, encuentre la probabilidad de que se haya demandado m´as de 120 galones durante la semana. R/. 0.3428 30. Denote con X el peso (en toneladas) de un art´ıculo a granel que un proveedor tiene en existencia al principio de una semana. Denote con Y la cantidad (en peso) de este art´ıculo vendido por el proveedor durante la semana. ´ de densidad conjunta de las variables aleatorias X y Y es: La funcion  1 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 f (x, y) = x 0 e.o.c

a) ¿Son X y Y variables aleatorias estad´ısticamente independientes? b) La variable aleatoria X − Y mide la cantidad del art´ıculo remanente al final de la semana; una cantidad de gran importancia para el proveedor. Encuentre E(X−Y ), V (X−Y ). R/. E(X − Y ) = 14 , V ar(X − Y ) = ´ entre X y Y . R/. ρ = 0,6546 c) Calcule e interprete la correlacion 31. Suponga que usted tiene acciones en dos empresas A y B. Sean X y Y variables aleatorias de los rendimientos ´ de porcentuales posibles (0 %, 5 % y 10 %) de las acciones de cada una de estas dos empresas. La funcion probabilidad conjunta de X y Y est´a dada por

Y

0%

X 5%

10 %

0% 5% 10 %

1/9 2/9 1/9

2/9 2/9 0

1/9 0 0

a) ¿Son los rendimientos porcentuales posibles de las acciones de la empresa A y los rendimientos porcentuales posibles de las acciones de la empresa B estad´ısticamente independientes? ´ entre X y Y . R/. Cov(X, Y ) = − 50 b) Calcule e interprete la covarianza y la correlacion 9 . c) Hallar la media y la volatilidad del portafolio P = 0,7X + 0,3Y . Interprete. R/. 3,33 y 2,0275 ´ 32. La cantidad de petroleo, en miles de litros, en un tanque al principio de cualquier d´ıa es una cantidad aleatoria Y , de la que una cantidad aleatoria X se vende durante el d´ıa. Suponga que el tanque no se abastece durante ´ de densidad conjunta de estas variables aleatorias es: el d´ıa, por lo que x ≤ y, y suponga que la funcion ( 2 0