Probabilidad y Estadistíca Ii - 2021-1

 

 

PROBABILIDAD  Y

ESTADÍSTICA II Componente de Formación Propedéutica

Grupo:

Turno:

 

 

Teléfono: 

Guía de Actividades del  Alumn  Al umno o para el Desarrollo

Competencias

de

 

JAIME BONILLA VALDEZ  Gobernador del Estado de Baja California CATALINO ZAVALA MÁRQUEZ  Secretario de Educación y Director General del ISEP del Estado de Baja California JAVIER GONZÁLEZ MONROY  Subsecretario de Educación Media Superior, Superior e Investigación VÍCTOR GONZÁLEZ VERDUZCO Director General del CBBC  JESÚS ERNESTO ROBLES RODRÍGUEZ  Director de Planeación Académica del CBBC  PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II (RIEMS) Edición, Diseñadofebrero por: de 2014 Ing. Yohann Yohannaa Lucía Rocha Meza Edición, febrero de 2015  Actualizado por:  Arq. Juan Ramón Islas Sambrano PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA II (MEPEO) Edición, febrero de 2020 Edición,  Actualizado por: Q.I. Israel Ortiz Cruz Q.I. Laura Nal Nallely lely Vázqu Vázquez ez Lara Lic. Mariana Terr Terríquez íquez Munguía Reimpresión,, febrero de 2021 Reimpresión En la realización del presente material, participaron: JEFE DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADES EDUCATIVAS Mtro. Alfredo Sánchez Orozco EDICIÓN, FEBRERO DE 2021 Mtro. Gerardo Enríquez Niebla Ing. Diana Castillo Ceceña

 

 

ÍNDICE La presente edición es propiedad del Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California. Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra.

          

Presentación Genéricas Competencias Competencias Disciplinares Extendidas de Matemática Matemáticass Enfoque de la disciplina Ubicación de la asignatura Relación de bloques del programa Probabilidad y Estadística II con los contenidos del Nuevo Modelo Educativo del Campo Disciplinar de Matemática Matemáticass

BLOQUE BLOQU E I:

PROB PROBABIL ABILIDAD IDAD…........ ….................. .................... ..................... ..................... .................... ..................... ..................... .................... ........................ ..............12 12

BLOQUE BLOQU E II: DIST DISTRIBU RIBUCIONE CIONES S DE PROBA PROBABILID BILIDAD…. AD…........... ..................... ..................... .................... .................... ..................... ...............40 ....40 BLOQUE III: MODELOS PROBABILÍSTIC PROBABILÍSTICOS…............... OS….............................. ............................. ............................. ........................... .................. ......... ...52 52

 

PRESENTACIÓN Con la puesta en marcha del Modelo Educativo para la Educación Obligatoria (MEPEO) (SEP, 2017), se realizó una reestructuración de los programas de estudio de primero a sexto semestre por lo que fue necesario realizar una adecuación de los materiales didácticos de apoyo para los estudiantes y docentes. Es importante mencionar que el MEPEO, significa un cambio total de losMedia manifiestos y preceptos educativos que caracterizaron la no Reforma Integral de la Educación Superior  (RIEMS); sino que significa: fortalecimiento, articulación, organización y concreción de aspectos educativos y pedagógicos, tal como se manifiesta en los siguientes párrafos: “El Modelo educativo 2016 reorganiza los principales componentes del sistema educativo nacional para que los estudiantes logren los aprendizajes que el siglo XXI exige y puedan for formar marse se integr integralm alment ente... e... En est estee sentid sentido, o, el plantea planteamie miento nto pedagóg pedagógico ico -es dec decirir,, la organización y los procesos que tienen lugar en la escuela, la prácticas pedagógicas en el aula y el currículum- constituyen el corazón del modelo”. “...El cambio que se plantea está orientado a fortalecer el sentido y el significado de lo que se aprende. Se propone ensanchar y hacer más sólidos el entendimiento y la comprensión de los principios fundamentales, así como de las relaciones que los contenidos generan entre sí. La memorización de hechos, conceptos o procedimientos es insuficiente y hoy ocupa demasiado espacio en la enseñanza. El desarrollo de las capacidades de pensamiento cr crítític ico, o, an anál ális isis is,, ra razo zona nami mien ento to ló lógi gico co y ar argu gume menta ntaci ción ón so sonn in indi disp spen ensa sabl bles es pa para ra un aprendizaje profundo que permita trasladarlo a diversas situaciones para resolver nuevos problemas. Los aprendizajes adquieren sentido cuando verdaderamente contribuyen al pleno desarrollo personal y de los individuos”. (SEP, 2016: 15-18). En este sentido, todas las Guías de Actividades del Alumno para el Desarrollo de Competencias de las diferentes asignaturas de los Componentes de Formación Básica y Propedéutica así como de las Guías de Aprendizaje de los distintos módulos del Componente de Formación para el Trabajo, fueron adecuadas a los lineamientos pedagógicos antes citados y a los nuevos programas de estudio emanados del MEPEO. Conscientes de la dificultad para que el alumnadoactual, tenga acceso una bibliografía adecuada pertinente y eficaz con el entorno socioeconómico el CBBCa brinda la oportunidad a los estudiantes de contar con materiales didácticos para el óptimo desarrollo de los programas de estudio de las asignaturas que comprende el Plan de Estudios Vigente. Cabe subrayar que, dichos materiales son producto de la participación de docentes de la Institución, en los cuales han manifestado su experiencia, conocimientos y compromiso en pro de la formación de los  jóvenes bachilleres. Es necesario, hacer énfasis que la guía no debe ser tomada como la única herramienta de trabajo y fuente de investigación, ya que es imprescindible que los estudiantes lleven a cabo un trabajo de consulta e investigación en otras fuentes bibliográficas impresas y electrónicas, material audiovisual, páginas Web, bases de datos, entre otros recursos didácticos que apoyen su formación y aprendizaje.

 

COMPETENCIAS GENÉRICAS Se autodetermina y cuida de sí.

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. CG1.1 Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades. CG1.2 Identifica sus emociones, las maneja de manera constructiva y reconoce la necesidad de solicitar apoyo ante una situación que lo rebase. CG1.3 Elige alternativas y cursos de acción con base en criterios sustentados y en el marco de un proyecto de vida. CG1.4 Analiza CG1.4  Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones. CG1.5 Asume CG1.5  Asume las consecuencias de sus comportamientos y decisiones. CG1.6 Administra CG1.6  Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones para el logro de sus metas. 2. Es sen sensib sible le al arte y part partici icipa pa en la apreci apreciaci ación ón e interpr interpretac etación ión de sus expre expresion siones es en distintos géneros. CG2.1 Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones. CG2.2 Experimenta el arte como un hecho histórico compartido que permite la comunicación entre individuos y culturas en el tiempo y el espacio, a la vez que desarrolla un sentido de identidad. CG2.3 Participa en prácticas relacionadas con el arte. 3. Elige y practi practica ca estilos de vid vidaa saludables. CG3.1 Reconoce la actividad física como un medio para su desarrollo físico, mental y social. CG3.2 Toma decisiones a partir de la valoración de las consecuencias de distintos hábitos de consumo y conductas de riesgo. CG3.3 Cultiva relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo rodean.

Se expresa y comunica.

4. Escucha, iinterpret nterpretaa y emite mensaje mensajess pertinent pertinentes es en distinto distintoss contextos me mediante diante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. CG4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones rep resentaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. CG4.2 Aplica CG4.2  Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue. CG4.3 Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas. CG4.4 Se comunica en una segunda lengua en situaciones cotidianas. CG4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.

Piensa crítica y reflexivament reflexivamente. e.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establ est ableci ecidos. dos. CG5 CG5.1 .1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

 

CG5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones. CG5.3 Identifica los sistemas y reglas o principios medulares medu lares que subyacen a una serie de fenómenos. CG5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. CG5.5 Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir conclusiones y formular nuevas preguntas. CG5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. CG6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. CG6.2 Evalúa argumentos y opiniones e identifica prejuicios y falacias. CG6.3 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de d e vista al conocer nuevas evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta. CG6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.

Aprende de forma autónoma.

7. Aprend Aprendee por iniciativa e interés pro propio pio a lo largo de la vida. CG7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento. CG7.2 Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos. CG7.3 Articula CG7.3  Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

Trabaja en forma colaborativa.

8. Partici Participa pa y colabora de manera efect efectiva iva en equipos diversos. CG8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. CG8.2 Aporta CG8.2  Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. CG8.3 Asume CG8.3  Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Participa con responsabilidad en la sociedad.

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, M México éxico y el mundo. CG9.1 Privilegia el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos. CG9.2 Toma decisiones a fin de contribuir a la equidad, bienestar y desarrollo democrático de la sociedad. CG9. CG 9.33 Conoce sus derechos y obligaciones como mexicano y miembro de distintas comunidades e instituciones, y reconoce el valor de la participación como herramienta para ejercerlos. CG9.4 Contribuye a alcanzar un equilibrio entre el interés y bienestar individual y el interés general de la sociedad. CG9.5 Actúa CG9.5  Actúa de manera propositiva frente a fenómenos de la sociedad y se mantiene informado. CG9.6 Advierte CG9.6  Advierte que los fenómenos que se desarrollan en los ámbitos local, nacional e internacional ocurren dentro de un contexto global interdependiente.

 

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. CG10.1 Reconoce que la diversidad tiene lugar en un espacio democrático de igualdad de dignidad y derechos de todas las personas, y rechaza toda forma de discriminación. CG10.2 Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante la ubicación de sus propias circunstancias en un contexto más amplio. CG10.3 Asume CG10.3  Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integración y convivencia en los contextos local, nacional e internacional. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables. CG11.1 Asume CG11.1  Asume una actitud que favorece la solución de problemas ambientales a mbientales en los ámbitos local, nacional e internacional. CG11.2 Reconoce y comprende las implicaciones biológicas, económicas, políticas y sociales del daño ambiental en un contexto global interdependiente. CG11.3 Contribuye al alcance de un equilibrio entre los intereses de corto y largo plazo con relación al ambiente.

 

COMPETENCIAS DISCIPLINARES EXTENDIDAS DEL CAMPO DE MATEMÁTICAS CDEM1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. CDEM2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. CDEM3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. CDEM4.  Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. CDEM5. CDE M5. Analiza  Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. CDEM6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. CDEM7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. CDEM CD EM8. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

 

Enfoque de la disciplina El campo de Matemáticas tiene como eje desarrollar el pensamiento lógico-matemático para interpretar situaciones reales e hipotéticas que le permitan al estudiantado, proponer alternativas de solución solu ción desde desde dive diversos rsos enfo enfoque ques, s, prioriz priorizando ando las habilida habilidades des del pens pensamie amiento nto tale taless como la bú búsq sque ueda da de pa patr tron ones es o prin princi cipi pios os qu quee su suby byac acen en a fenó fenóme meno nos, s, la gene genera raci ción ón de dive divers rsas as alternativas laálisi solución de problemas, elónmanejo de la información, tomatab de basad basadas as en para el anál an isiss crític crítico o de inform informaci ación ma matem temáti ática, ca, inter interpre pretac tación iónla de tablas las,decisiones , grá gráfic ficas, as, diagr diagram amas as y tex textos tos con símbo símbolos los ma matem temáti áticos cos,, arg argume umenta ntació ciónn de pro propu puest estas as de soluci solución ón y predicción del comportamiento de un fenómeno a partir del análisis de su variables. En consecuencia, las estrategias de enseñanza – aprendizaje y la evaluación que diseñe el personal docente para realizar su intervención educativa en las asignaturas que conforman el campo de Matemáticas deben girar en torno a problemas significativos para la vida del estudiantado, es decir, no deben ser repetitivas o que se resuelvan aplicando un procedimiento o modelo matemático que no tiene significado, dichas situaciones deben promover la movilización de recursos diversos para el diseño de una metodología de solución. La asignatura de Probabilidad y Estadística II, II, con enfoque en Probabilidad, tiene como propósito general desarrollar el pensamiento lógico – matemático mediante el análisis de eventos probabilísticos en situaciones contextualizadas permitiéndole la toma de decisiones en eventos futuros de su vida. Toma Tomando ndo en cuenta los ejes del campo disciplinar de matemáticas propuestos por  el nuevo modelo educativo es pertinente que el estudiantado desarrollo el pensamiento estocástico a partir del manejo de la información considerando el riego, la inferencia y la aleatoriedad de los elementos probabilísticos, lo anterior permitirá abonar al desarrollo del perfil de egreso y así facilitar  su ingreso a nivel superior. El programa presenta un bloque I, en donde se estudian los conceptos básicos de la probabilidad, conjuntos y diagramas que facilitarán al estudiantado el desarrollo del pensamiento pensamiento estocástico; para el bloque II, se utilizarán las distintas distribuciones distribuciones de probabilidad Bernoulli, Binomial y Normal para la solución de problemas de diversos contextos; para finalizar con el bloque III, revisando los Modelos probabilísticos de Probabilidad Condicional, Teorema de Bayes y Distribución de Poisson que permitirán que el estudiantado resuelva problemas de su vida cotidiana.  Al tratarse de una asignatura del Componente Componente Propedéutic Propedéuticoo del Bachiller Bachillerato ato General, tiene como intención brindarles las herramientas y conocimientos básicos al estudiantado para que pueda continuar sus estudios a nivel superior además de permitirle su integración en forma eficiente a las circunstancias de vida y situaciones tanto académica como laboral en su entorno; favoreciendo al estudiantado respecto a un interés vocacional enfocado en el Campo de las Matemáticas. Cabe señalar, que los conocimientos no son en fin de la educación, en este caso los del campo de las Matemáticas, ni elementos aislados sino una herramienta para que el estudiantado desarrolle las competencias que define el perfil de egreso de la Educación Media Superior, así como elementos indispensables para la comprensión de todos los demás campos o asignaturas que componen este nivel educativo, aun cuando con algunos como Física, Bilogía o Química se encuentre una afinidad más clara que con los demás.

 

UBICACIÓN DE LA ASIGNATURA 1er. semestre

Matemáticas I

Metodología de la Investigación

2do. semestre

3er. semestre

4to. semestre

Matemáticas

Matemáticas

III

IV

Geografía

Física I

Física II

Socioeconómica

Historia Universal

de México

Contemporánea

Probabilidad y Estadística I

Probabilidad y Estadística II

Se retornarán las asignaturas que en cada plantel se imparten en 5to. semestre, tanto del Componente de Formación Propedéutica como el de Formación para el Trabajo.

Se retornarán las asignaturas que en cada plantel se imparten en 6to. semestre, tanto del Componente de Formación Propedéutica como el de Formación para el Trabajo.

Matemáticas IIII

Informática II

Todas las asignaturas de 2do. semestre

6to. semestre Ecología y Medio Ambiente

Estructura

Biología I

Biología II

Informática I

Todas las asignaturas de 1er. semestre

5to. semestre

Todas las asignaturas de 3er. semestre.

Todas las

asignaturas de 4to. semestre.

FORMACIÓN PARA EL TRABAJO TUTORÍAS

Relación de bloques del programa Probabilidad y Estadística II con los contenidos del Nuevo Modelo Educativo del Campo Disciplinar de Matemáticas Matemáticas..

EJE

COMPONENTE

CONTENIDO CENTRAL

BLOQUE

Conceptos básicos de Estadística y Probabilidad. Concepto de Riesgo en situaciones contextuales. Del manejo de la información al pensamiento estocástico

Riesgo, inferencia y aleatoried aleatoriedad: ad: Elementos de la Estadística y la Probabilidad.

Recolección de datos y su clasificación en Recolección clases. Manejo de la información en situaciones de la vida cotidiana. Uso del conteo y la probabilidad para eventos. Contextualización de los elementos de Contextualización probabilidad condicional e interpretación del teorema de Bayes.

I II III

Probabilidad y Estadística II

 

Bloque I PROBABILIDAD Competencias Genéricas

Competencias Di Disciplinares Ex Extendidas

6. Su Suste stent ntaa un unaa postu postura ra pe perso rsona nall sobr sobree tema temass de inter int erés és y re relev levanc ancia ia gen genera eral,l, cons conside idera rando ndo ot otros ros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. CG6.4. Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética. 7. Aprende por inic iniciativa iativa e interé interéss propio a lo largo de la vida. CG7.1. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento.

CDEM 5.  Anal  Analiza iza las relac relacione ioness entr entree dos o más variables de un proceso social o natural para determinar  o estimar su comportamie comportamiento. nto.

8. Partici Participa pa y colabora de man manera era efectiv efectivaa en equipos diversos. CG8.1. Propone maneras de solucionar un problema para desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.

CDEM 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertenencia. CDEM 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, di diag agram ramas as y text textos os co conn símbo símbolo loss ma matem temát átic icos os y científicos.

 

 

BLOQUE I

probabilidaD

Propósito del bloque Utiliza los principios y técnicas de conteo en el análisis de datos estadísticos que fomenten la toma de decisiones consciente e informada en su vida cotidiana.

Interdisciplinariedad   

Transversalidad

Filosofía. Ecología y Medio Ambiente. Se retomarán las asignaturas que en cada plantel se impar imparte tenn en 6to. 6to. seme semest stre re,, tant tantoo del del Co Comp mpon onen ente te de Formac For mación ión Prop Propedé edéuti utica ca com comoo el de For Formac mación ión par paraa el Trabajo.

   

Eje transversal social. Eje transversal ambiental Eje transversal de salud. Eje transversal de habilidades lectoras.

Aprendizajes esperados •

Demues Demuestra tra de manera respons responsable able eell uso de lo loss ele elementos mentos probabi probabilístic lísticos os en situac situaciones iones reales e hipotéticas de la vida cotidiana.

•

Aplic Aplicaa las difere diferentes ntes té técnica cnicass de cconteo onteo en el anális análisis is de situa situaciones ciones para llaa toma respons responsable able ddee decisiones.

•

Contr Contruye uye de manera colab colaborativa orativa,, gráfi gráficas cas par paraa el aanálisi nálisiss con datos de si situacio tuaciones nes qu quee suce suceden den en su contexto. Conocimientos

Enfoques y elementos de la probabilidad (Experimento, espacio muestral y evento).

Habilidades Distingue los elementos probabilísticos.

Actitudes Se relaciona con sus semejantes de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado.

Conjuntos:  – Operaciones (unión, intercepción, di dife fere renc ncia ia,, inco incomp mpat atib ible less y evento contrario).  – -Diagrama de Venn. Venn. Técnicas de conteo:  – Diagrama de árbol.  – Permutaciones y Combinaciones.  – Principio multiplicativo multiplicativo y aditivo. Eventos:  – Mutuamente excluyentes.  –  –

Dependientes. Independientes.

Identifica las operaciones básicas de conjuntos.

 Actúa de forma congruente congruente y consiente.

Clasifica datos utilizando los diferentes diagramas.

Reflexiona sobre diferentes posturas de conducirse en el contexto y en la toma de decisiones responsable.

Diferencia las técnicas de conteo para su aplicación en diferentes eventos.

 

 

Instrucciones: observa la imagen, lee, reflexiona y responde.  A cada plantel plantel en Cobach as asisten isten cientos de aalumnos lumnos dia diariamente, riamente, cada jjoven oven es distin distinto to a los demás pero algunos tienen características y habilida habilidades des comunes. Suponiendo que de los jóvenes mostrados en la imagen: • 550 estudian estudian inglés inglés en en alguna alguna escu escuela ela de enseñ enseñanza anza de iidiom diomas. as. • 620 620 sa sabe benn uutil tiliza izarr bien bien el progra programa ma P Phot hotosh oshop. op. • 70 estu estudi dian an fran francé céss en en llaa U UAB ABC. C. • 150 eestudi studian an in inglés glés en en alg alguna una escuel escuelaa de enseñan enseñanza za de iidiom diomas as y sab saben en uti utiliza lizarr bien el el software Photoshop. • 30 estu estudi dian an inglés inglés en algun algunaa escuela escuela de ens enseñ eñan anza za de idio idiomas mas y estu estudia diann fran francés cés en la UAB UABC. C. • 10 sa saben ben uutili tilizar zar bien bien el programa programa Pho Photosho toshop, p, estu estudian dian fran francés cés eenn la U UABC ABC y estud estudian ian •

inglés en alguna escuela de enseñanza de idiomas. 300 aalumn lumnos os no eestudi studian an in inglé gléss en ni ningun ngunaa escuela escuela ddee ens enseñan eñanza za de iidiom diomas, as, ta tampoc mpocoo saben utilizar bien el programa Photoshop ni estudian francés en la UABC.

Haz cuentas y elige la respuesta correcta de las preguntas siguientes: ¿Cuántos alumnos son?

□ 1360 □ 1730 □ 1540

□ 1370

¿Cuántos saben utilizar bien el programa Photoshop únicamente?

□ 470

□ 620

□ 460

□ 780

¿Cuántos únicamente estudian francés en la UABC?

□ 70

□ 40

□ 110

□ 100

 

 

CONJUNTOS La mente humana posee una inclinación natural a reunir o agrupar. Cuando vemos en el cielo cinco estrellas reunidas, en lugar de considerarlas considerarlas como cinco elementos separados separados,, tendemos a verlas como un grupo de estrellas. Así es, pues nuestra mente trata de encontrar orden y patrones. En matemáticas, esta tendencia a agrupar es representada mediante el concepto de conjunto. (Miller, Heerem, Hornsby, Hornsby, 2006, p. 50). Conjunto: es una colección de objetos que comparten al menos una característica. Se llama “elemento” a los componentes de los conjuntos. Ejemplos: • Conjunto nto ddee llaas vo voca calles. • Conj Conjun unto to de los los nnúm úmer eros os ne nega gatitivo vos. s. • Conj Conjun unto to de de país países es en en Amér Améric icaa de dell Nort Norte. e. • Conj Conjun unto to de colo colore ress pr prim imar ario ios. s. • Conj Conjun unto to de al alum umno noss en en ttuu grup grupo. o. • Cada familia. Como puedes ver, al hablar de conjuntos nos referimos a agrupaciones de elementos simplemente. simpleme nte. En Matemáticas hacemos referencia a los conjuntos con una notación específica y símbolos particulares como los que se muestran a continuación. SÍMBOLO U  A, B, C, …Z {,,}

SIGNIFICADO EN TEORÍA DE CONJUNTOS Conj Conjun unto to uni unive vers rso. o. Con Contitien enee a la tot total alid idad ad de de los los elem elemen ento toss del del ej ejer erci cici cioo plan plante tead ado. o. Las letras mayúsculas se utilizan para nombrar a los conjuntos; así podríamos referir referirnos nos al conjunto “A”, conjunto “B” y conjunto “G” y sabríamos que son 3 colecciones de elementos de las que se trata. Las “llaves” son los que delimitan a los conjuntos; entre las llaves se describe o se enumeran los elementos del conjunto, separados por comas.

= l

El sí símb mbol oloo ““ig igua ual” l” es el qu quee enl enlaz azaa el el nnom ombr bree del del co conj njun unto to con con ssus us elem elemen ento tos. s. Barra vertical que significa “tal que…”

Є

Es el símbolo de “pertenencia”, es decir, al usarlo queda claro que un elemento sí pertenece a un conjunto.

Є

Se us usaa ccua uand ndoo ssee exp expre resa sa qu quee un un ele eleme ment ntoo ““no no pe pert rten enec ece” e” al conj conjun unto to dado dado..

{ }o Ø

Conj Conjun unto to va vací cío. o. Conj Conjun unto to qu quee car carec ecee ddee eele leme ment ntos os..

Notación de conjuntos 1. POR DESCRIPCIÓN O COMPRENSIÓN: es una manera de referirse a los conjuntos, describiendo describie ndo mediante un enunciado enunciado la característica que tienen en común. 2. POR ENUMERACIÓN O EXTENSIÓN: si para referirnos a los conjuntos, escribimos cada uno de los elementos que lo componen, entonces estamos enumerando al conjunto.

 

 

Ejemplos: NOTA NO TACI CIÓN ÓN POR DE DESCR SCRIPC IPCIÓN IÓN O C COMP OMPREN RENSIÓ SIÓN N

POR E ENUMERAC NUMERACIÓN IÓN O EXTENSIÓN

A {x |xxes esun letra vocal} del conjunto “A”, tal que x  Se=lee: elemento es letra vocal.

A = {a, e, i, o, u}

B = {x | x = número entero negativo} Se lee: x es un elemento del conjunto “B”, tal que x  es número entero negativo.

B = {-1. -2, -3, -4,…..}

D = {x | x = múltiplo de 2, mayor que 10 y menor  que 20}x es un elemento del conjunto “D”, tal que Se lee:  x es número entero entero múltipl múltiploo de 2, mayor que 10 y menor que 20.

D = {12, 14, 16, 18}

E = { Є ent nteero ross I 11000 ≤ ≤105 } Se lee: x pertenece a los números enteros, tal que es E = {100, 101, 102, 103, 104, 105} número mayor o igual que 100 y menor o igual que 105. Dado el conjunto universo: U = {enero, {enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre}} diciembre Son conjuntos que se derivan del conjunto universo: G = { x | x es mes que inicia con “j”} “j” } = { junio,  junio, julio} julio} H = { x | x es mes en que se festeja navidad} navidad } ={diciembre diciembre}} I = { x | x es mes del primer trimestre del año} año} = {enero, febrero, marzo} marzo}

 

 

ACTIVIDAD 1 Instrucciones: completa la siguiente tabla según el tipo de notación que haga falta: POR DESCRIPCIÓN O COMPRENSIÓN

POR ENUMERACIÓN O EXTENSIÓN

J = {x | x es un mes del año}

J={

K={

K = {sábado, domingo}

L = { | x es múltiplo de 5, mayor que 20} M={

L={ M= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

N = {x | x es es un un nú númer mero may mayor or que que 8 y men menor or que que 2} 2}

N ={

Diagrama de Venn Cada conjunto se representa gráficamente utilizando círculos enmarcados en un rectángulo, cada círculo contiene sus elementos (o la cantidad de ellos) y fuera de los círculos se escriben los elementos que no pertenecen a ningún conjunto pero que son parte del conjunto universo.  A esta representación gráfica se le llama Diagramas de Venn y son útiles para mostrar todas las posibles relaciones u operaciones entre conjuntos.

Ejercicios resueltos

 

 

Es importante mencionar que cada elemento solamente se escribe una vez.

Operaciones con conjuntos UNIÓN DE CONJUNTOS Dados dos CONJUNTOS, la UNIÓN de éstos significa juntar o unir sus elementos. Conector: “o” Símbolo: U Representación Representac ión gráfica:

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS Dados dos CONJUNTOS, la INTERSECCIÓN de éstos significa identificar los elementos que tienen en co Conector: “y” Símbolo: ∩ Representación Representac ión gráfica:

DIFERENCIA DE CONJUNTOS Dados dos conjuntos, su diferencia la conforman los elementos que pertenecen a un conjunto pero al otro Conector: “menos” Símbolo: Representación Representac ión gráfica:

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Son los elementos que son parte del conjunto universo pero no integran al conjunto dado también se le de Símbolo: ’ Representación Representac ión gráfica:

 

 

CONJUNTOS DISJUNTOS: Se dice que dos conjuntos, A y B, son disjuntos si no tienen t ienen elemen elementos tos en común. Ejemplo: Si se definen los conjuntos  A = {x |x esnotar un número núm 1 y 10} B = {x |x por es un núm número erointersección negativo} de estos Podemos queero no entre comparten ningún elemento lo que la conjuntos, EJERCICIOS RESUELTOS U = {x | x es letra del abecedario} A = {x| x es letra vocal} F = {x | x es letra de palabra “estudiante”} A U F = {a, e, i, o, u, s, t, d, n} (Unión de los todos los elementos de ambos conjuntos) A ∩ F = {a, e, i, u} (Elementos que tienen en común ambos conjuntos) A - F = {o} (Elemento solo está en conjunto A} F - A = {s, t, d, n} (Elementos que solo están en conjunto F} A´ = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, ñ, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z} (Las vocales no están aquí)

9 18

PROBABILIDAD

 

 

resuelta  A cada plantel plantel en Cobach as asisten isten cientos de alumnos alumnos dia diariamente, riamente, cada jjoven oven es distinto a llos os demás pero algunos tienen características habilid ades comunes. Suponiendo que de los jóvenes mostrados yenhabilidades la imagen: • • • •

550 estudian inglés en alguna escuela de enseñanza de idiomas. 620 saben utilizar bien el programa Photoshop. 70 estudian francés en la UABC. 150 estudian inglés en alguna escuela de enseñanza de idiomas y saben utilizar bien el software Photoshop. • 30 estudian inglés en alguna escuela de enseñanza de idiomas y estudian francés en la UABC. • 10 saben utilizar bien el programa Photoshop, estudian francés en la UABC y estudian inglés en alguna escuela de enseñanza de idiomas. • 300 alumnos no estudian inglés en ninguna escuela de enseñanza de idiomas, tampoco   SOLUCIÓN: mediante conjuntos se clasifica según las características características::  A = {x | x es alumno que estudian iinglés nglés en alguna alguna escuela de enseñanza de idiomas} A = {550 alumnos} B = {x | x es alumno que sabe utilizar bien el programa Photoshop Photoshop}} B = {620 alumnos} C = {x | x es alumno que estudia francés en UABC} C = {70 alumnos} alumnos} D = {= {x | x es alumno que no estudia inglés, ni francés en UABC y que no sabe utilizar Photoshop} D = {300 alumnos}

¿Cuántos alumnos son? ¿Cuántos saben utilizar bien el programa Photoshop únicamente? ¿Cuántos únicamente estudian francés en la UABC?

A U B U C U D= {1360 alumnos} Considerando que algunos elementos pertenecen a más de un conjunto. B – (A U C) = {470 alumnos} C – (A U B) = {40 alumnos}

 

 

ACTIVIDAD 2 1. Dado el conjunto universo, elabora el diagrama de Venn, y representa las operaciones entre éstos. Є U | ro 1 ≤mayo 2 0r }q A == {{ | xEnteros es núme número ma≤yor que ue 10 10}} B = { | x es númer número o pr primo imo ma mayor yor o ig igual ual que 5} AUB={ A∩B={ A-B={ B-A= { A´ = { B´ = {

U

∩

 

 

2. Lee el siguiente párrafo, párrafo, realiza el diagra diagrama ma de Venn Venn que correspon corresponda da y responde las preguntas. En una escuela secundaria se tienen los siguientes resultados de 1600 estudiantes: • 801 801 apro aproba baro ronn Ma Mate temá mátitica cass • 900 aapprobaron F Fíísica • 752 apro probaro ronn Qu Quím ímiica • 43 4355 aapr prob obar aron on Mate Matemá mátitica cass y Fí Físi sica ca • 39 3988 aapr prob obar aron on Mate Matemá mátitica cass y Q Quí uími mica ca • 412 412 aapr prob obar aron on Físi Física ca y Q Quí uími mica ca • 310 310 aapro proba baron ron Ma Matem temáti áticas cas,, Quím Química ica y Físi Física. ca. • El res resto to no aprobó aprobó ni ningu nguna na de de llas as 3 aasig signa natur turas. as.

¿Cuántos alumnos aprobaron sólo una materia? ¿Cuántos alumnos aprobaron exactamente dos materias? ¿Cuántos alumnos no aprobaron ninguna materia? ¿Cuántos alumnos aprobaron al menos una materia? 3. Responde: ¿cuál ¿cuál es la ventaja de utilizar los diagramas de Venn Venn? ?

 

 

ENFOQUES Y ELEMENTOS DE LA PROBABILIDAD Los sucesos o situaciones que no siempre se comportan igual y cuyos resultados azarosos son tarea tar ea de la probab probabililida idadd se conoc conocen en com comoo fenómenos aleatorios, aleatorios, la característica de estos fenómenos que aunque sucedan unatodos y otralosvez y en condiciones su resultado varía aunqueesde antemano se conocen resultados posibles.similares Un fenómeno aleatoriofinal es contrario a un fenómeno determinístico cuyos resultados no cambian ante la repetición de las fuentes que lo originan. Ejemplos de fenómenos aleatorios: • El núme mero ro de acc ccid ideente tess automovilísticoss que suceden en automovilístico una ciudad cada año. • La ca cantid tidad ddee pro prodduc ucto toss defectuosos en una fábrica por día. • Cuán Cuánto toss ttur uris ista tass visi visita tann San San Feli Felipe pe,, B.C. en verano. •

Los Lo s ddía íass lllu luvi osos qu quee su suce cede denn cada año envios unaosciudad.

Ejemplos de fenómenos determinísticos determinísticos:: • El nu nulo lo func funcio iona nami mien ento to de los los automóviles sin combustible. • El proc proced edim imie ient ntoo ppar araa oobt bten ener er el promedio semestral de cada asignatura que cursan los alumnos del CBBC en un periodo escolar determinado. • La Lass etap etapas as que que co comp mpre rend ndee eell ci cicl cloo del del agua en la naturaleza.

Experimento, espacio muestral y evento  Aunque no podemos predecir el resultado de los fenómenos aleatorios, sí es factible pronosticar  “lo que es posible” realizando experimentos para provocar la repetición en condiciones similares de estos fenómenos.

Experimento Es un proceso o una acción que provoca fenómenos aleatorios aleatorios para observar y medir  sus resultados. Un experimento puede consistir en preguntar sobre un tema a varias personas u observar observar su comportam comportamien iento; to; med medir, ir, co conntar tar y exam amiina narr son ta tamb mbiién experimentos.

Espacio muestral Es el co conj njun unto to de todo todoss los los resu resultltad ados os posibles de un experimento. Se identifica con la letra S y su contenido se encierra entre { }. Los resultados de un experimento pueden ser medidas, respuestas sí o no o categorías como satisfecho o insatisfecho, entre otros.

 

 

Evento simple Cualquier subconjunto del espacio muestral es un evento, puede ser uno de todos los resultados de un experimento o algunos de ellos que cumplan una condición. Para identificar los eventos se utilizan letras mayúsculas A, B, C,..., Z y sus elementos se encierran entre { }. Evento compuesto Se forma al combinar varios eventos simples. Si A y B son dos eventos, entonces los siguientes son eventos compuestos: • • •

AoB AyB A–B

EJEMPLOS Experimento 1: Al 1: Al lanzar una una moneda al ai aire, re, ¿qué cara quedará quedará arriba cuando cuando caiga aall suelo? Espacio muestral: S = {águila, sol} sol} Eventos simples:  A = {Cara con escudo nacional mexicano} mexicano} = {águila águila}} B = {Cara con valor monetario impreso impreso}} = {sol sol}} Otro tipo de eventos compuestos son: Eventos incompatibles: dos eventos se denominan incompatibles incompatibles si su intersección es el conjunto vacío. (Martín Andrés, Luna del Catillo, 2004) Evento contrario: si se define un evento A, entonces se llama evento contrario de A, al evento ocurrido cuando no sucede A. (Ruiz Jiménez, Llorente Medrano, González García, Aparicio Peñas, Arribas Ruiz, 2019) Experimento 2: Al 2: Al lanzar un dado sobre la mesa, ¿qué número número quedará aarriba? rriba?

 

 

Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 6} Eventos simples:  A = {Salga un número par } = {2, 4, 6} B = {Salga el número 5} 5} = {5} •

A y B son eve evento ntoss inc incomp ompati atible bless yyaa que no comparten elementos. Estos es  A∩B=Ø

•

Si an analizamos eenn el ccoonjunto A, ssuu evento contrario, que se escribe Ā, se define como  Ā ={1,3,5}

 

 

Probabilidad La probabilidad es una medida (comúnmente en la práctica expresada en %) que muestra la  proporción de veces con la que puede esperarse que ocurra cada uno de los resultados de sucesos aleatorios con relación al total, donde cada resultado tiene la misma oportunidad de suceder (resultados equiprobables). equiprobables). Se expresa como:

Donde: nA = número de resultados posibl posibles es del evento A. N = número total de resultados en el espacio muestral S. P(A) = probabilidad de que suceda el evento A. Ejemplos: •

La pprob robabi abililidad dad ddee ob obten tener er un águi águila la al lan lanzar zar uuna na mone moneda da es

•

En un unaa urna, urna, con los dígito dígitoss de 0 a 9, la proba probabili bilidad dad de de que obten obtengamo gamoss un nnúmer úmeroo par

mayor que dos: Propiedades de probabilidad a)

La proba probabili bilidad dad ddee qu quee suceda suceda un evento evento A puede puede ser ser 0, 1 o uunn nú número mero entre 0 y 11.. 0 ≤ P(A) ≤ 1 b) La ppro roba babi bililida dadd de un esp espac acio io mue muest stra rall S eess 1. P(S) = 1 c) La proba probabi bilid lidad ad de un evento evento qu quee no no pue puede de ocurri ocurrirr eess 0. P(Ø) = 0 d) La probab probabilid ilidad ad de dell com complem plemento ento de de un eevent ventoo A (ll (llamad amadoo A´ y que que compre comprende nde to todas das llas as respuestas que no se incluyen en el resultado del evento) es 1 – P(A). P(A´) = 1 – P(A) La pro proba babil bilid idad ad queda queda exp expres resada ada en por porce centa ntaje je des despué puéss de mul multip tiplilicar car el res resul ultad tadoo de la probabilidad, por 100. Esto es, si la probabilidad de un evento es 0.5 eso se expresaría como el 50%. Entonces si la probabilidad total es 1 significa que el total es el 100%. Ejercicios resueltos 1. Al lanzar lanzar una dad dadoo al aire, ¿cuál ¿cuál es la probabilidad probabilidad de que una cara con puntac puntación ión par quede arriba? Datos: Fórmula: Desarrollo: Resultado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 puntos}  A = {Cara con puntos puntos par} = {2, 4, 6 puntos} N=6 n(A) = 3

n(

Existe una probabilidad de 50% de que la cara que quede arriba tenga puntuación par.

 

 

2. Una asociación asociación civil otorgará otorgará una beca a un alu alumno mno del grupo 60 6033 para apoyarlo en el inicio de sus estudios profesionales. Determina la probabilidad de que el estudiante acreedor de la beca sea aspirante de una u otra carrera profesional a partir de la siguiente tabla en la que se muestran las diferentes carreras para las que los alumnos hicieron examen de admisión: Carrera

Alumnos

Probabilidad por carrera

%

Resultado: Existe una probabilidad de 12.5% de que la beca sea para un aspirante a Medicina.

Medicina.

5

P(medicina) = 5/40 = 0.125

12.5%

Ing. Mecatrónica.

2

P(mecatrónica) = 2/40 =0.05

5%

La probabilidad de que la beca sea otorgada a un aspirante a estudiar Ing. Mecatrónica es de 5%.

Lic. en Derecho.

7

P(derecho) = 7/40 = 0.175

17.5%

Hay una probabilidad de 17.5% de que la beca sea para un aspirante a Licenciatura en Derecho.

Lic. en Enfermería.

3

P(enfermería) = 3/40 = 0.075

7.5%

Existe una probabilidad de 7.5% de que la beca sea otorgada a un aspirante a la Lic. en Enfermería.

Ing. Industrial.

6

P(industrial) = 6/40 = 0.15

15%

Hay una probabilidad de 15% de que la beca sea para un aspirante a estudiar Ing.

Contabilidad Privada.

8

P(contabilidad) = 8/40 = 0.2

 Administración de Empresas.

9

P(admón.) = 9/40 = 0.225

Suma

40 alumnos

1

20%

22.5%

Industrial. La probabilidad de que la beca sea otorgada a un aspirante a estudiar Contabilidad Privada es de 20%. Existe una probabilidad de 22.5% de que la beca sea otorgada a un aspirante a estudiar Administración de Empresas.

100%

ACTIVIDAD 3 1. Si un muchacho tiene en su guardarropa guardarropa 3 camisas ccolor olor blanco, blanco, 2 aazules, zules, 4 camisas nneegras, 5 verdes y 2 camisas rojas, y hoy para vestir elige una al azar:  A) ¿Cuál es la pprobabilida robabilidadd de que se ponga ponga una camisa azu azul? l? B) ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que vista una camisa camisa color negro? 2. La biblioteca biblioteca esc escolar olar recibió recibió 40 libros nuevos nuevos in incluyendo cluyendo 1122 novel novelas. as. Si uunn estudia estudiante nte selecciona uno de estos libros al azar:  A) ¿Cuál es la pprobabilid robabilidad ad de que elija una una novela? B) ¿Cuál es la probab probabilidad ilidad de que elija un lilibro bro distinto a novela? 3. Se aplicará aplicará un exame examenn sorpresa a un es estudiante tudiante elegido elegido al aazar zar de la clase de C Cálculo álculo Integral, si en el grupo hay 18 hombres y 12 mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que sea un muchacho a quien se le aplique el examen? 4. Esta semana semana se exhib exhiben en 2 pelícu películas las de acción, acción, 4 de suspenso, 3 de comedi comediaa y 1 de drama en CINEMAX. Si una persona no prefiere algún género ni película en particular, determina la probabilidad de que al seleccionar al azar, sea una película de acción la que vea.

 

 

TÉCNICAS DE CONTEO Las situaciones didácticas que se te presentan en este apartado te permiten analizar los resultados posibles de un evento de probabilidad a través de la construcción de árboles de probabilid probabilidad adproblemas. e identificar los principio principios s fundamentales fundamental es dely conteo comodeuna en lay solución de Así mismo, analizar las semejanzas diferencias lasherramienta permutaciones combinaciones al ponerlas en práctica. Diagrama de árbol: es una representación gráfica que inicia en una “raíz” de la cual se extienden las “ramas” que muestran cada uno de los resultados posibles de un experimento. El diagrama de árbol ayuda a entender gran parte de los problemas combinatorios, consiste en trazar un mapa de todas las posibilidades que hay para acomodar los objetos planteados. Situación Didáctica: ¿Cuántas opciones? Es viernes y tu mamá decidió no cocinar hoy. Va a llevarte a comer a un restaurante donde sirven la comida del Análisis de la situación: Con los datos que se te dan, ¿cuántas dan, combinaciones es distintas puedes hacer?  _________  __________________ __________________ _____________  ____  combinacion ¿Cuáles son esas combinaciones?

Si te resulta más fácil resolver el problema a través de una representación gráfica puedes hacerlo en el siguient

 

 

EJEMPLOS 1. Repre Represe senta nta las las co combi mbinac nacio ione ness que puedes hacer al elegir comer una ha hamb mbur urgu gues esaa o un ho hott do dogg co conn diferentes sabores de soda.

2. Si ssee la lanza nza tre tress ve veces ces una mon moned eda, a, se pueden representar los resultados de cada lanzamiento de la siguiente forma.

 Además de representar representar la can cantidad tidad de distin distintos tos resultados eenn un problema problema,, también es po posible sible calcular probabilidades con ayuda de los diagramas de árbol: Del primero ejemplo, ¿cuál es la probabilidad Del segundo ejemplo, ¿cuál es la de elegir Hamburguesa con soda de limón (H- probabilidad de que las tres veces salga L) o Hot dog con soda de manzana (Hd-M)? cara? P(H-L o Hd-M )= + = = 0.25

P(3 caras) =

= = 0.125

La probabilidad de elegir una de esas opciones La probabilidad de que las tres ves salga cara es del 25% es de 12.5%

3. Lee con atención, observa el el diagr diagrama ama de árbol ddee probab probabilidad ilidad co correspondi rrespondiente ente y ana analiza: liza: Un ratón es perseguido por un hambriento gato. El ratón puede entrar por uno de los callejones A, B o C, para intentar salvarse. • La pproba robabil bilidad idad de que que el el ratón ratón entre entre en en el call callejó ejónn A es de 00.3 .3 P( P(A)=0 A)=0.3 .3 • La pproba robabil bilidad idad de que que el ratón ratón en entre tre en en el call callejón ejón B es de 00.5 .5 P(B P(B)=0.5 )=0.5 • La pproba robabil bilidad idad de que que el ratón ratón en entre tre en en el call callejón ejón C es de 0.2 0.2 P(C P(C)=0.2 )=0.2 Las probabilidades de que el gato cace al ratoncillo en cada callejón son: • P( P(ga gato to cace cace al ra rató tónn en en A)= A)= P(+| P(+|A) A)== 00.4 .4 • P( P(ga gato to cace cace al ra rató tónn en en B)= B)= P(+| P(+|B) B)== 00.6 .6 • P( P(ga gato to cace cace al rrat atón ón en C)= C)= P( P(+| +|C) C)== 00.1 .1

 

 

Calcular la probabilidad de que el gato cace al ratón.

P (caza)= (0.3x0.4)+(0.5x0.6)+(0.2x0.1)=0.44 ¡El gato no tiene la merienda muy asegurada!

ACTIVIDAD 4 Árbol de probabilidad Instrucciones: En hojas blancas, realiza los árboles de probabilidad para las siguientes situaciones: 1. En abril abriblanco, l irás a negro la bod bodaay de tu primo y debes debes ele elegir gir un yatuendo atu endoy fo formal . Tie Tienes 4 pa pantal ntalones ones (azul, café), 3 camisas (gris, negra café) 2 rmal. pares denes zapatos (botas negras y zapatos cafés). Elabora el diagrama de árbol para saber las combinaciones que puedes realizar. 2. Casa Casass Teo of ofre rece ce vivi vivien enda dass qu quee pu pued eden en se serr co cons nstr trui uida dass entr entree uno uno de ci cinc ncoo tipo tiposs de distribución, tienen dos tipos de techos distintos y pueden elegir uno de dos tipos de piso y dos diferentes acabados en las paredes (tirol o liso). Utiliza un diagrama de árbol para mostrar los tipos de casas que se puede adquirir. 3. Ahora Ahora que está estáss en sexto sexto semes semestre tre,, tu grupo ele elegir giráá cóm cómoo cel celeb ebrar rar su gradu graduaci ación. ón. Los paquetes que se les ofrecen son: un salón de fiestas o una hacienda en la Ruta del Vino (en Ensenada), para ambientar la fiesta pueden contratar un grupo de música versátil o un DJ de música house house,, para la cena pueden escoger uno de cinco platillos distintos que les ofrece el servicio de banquetes. ¿Cuántas y cuáles opciones tienen para celebrar su graduación? 4. Tu maleta maleta titiene ene un can candado dado co conn clave de seguri seguridad dad que se forma forma con lo loss dígito dígitoss del 0 al 3, los cuales se pueden repetir, y la clave consiste de tres números. ¿Cuántas claves diferentes se pueden formar? ¿Cuáles son las combinaciones que puedes hacer? 5. En una carrera carrera de autos parti participa cipann 8 corredor corredores. es. Tenien Teniendo do en cuen cuenta ta que no es posibl posiblee lleg llegar  ar  al mis mismo mo tiempo tiempo,, ¿de cuá cuánta ntass manera manerass po podrá dránn llega llegarr a la met metaa los tres pri primer meros os lugares lugares?? (Nota: no tienes que dibujar el árbol completo, sólo dibuja una parte para que te des una idea). 6. Lee la la inform información, ación, aanaliza naliza el diagrama diagrama de árbol árbol correspondiente correspondiente y contes contesta. ta. Una universidad está formada por tres facultades: La 1ª es de Humanas con el 50% de estudiantes. La 2ª es de Ingeniería con el 25% de estudiantes.

 

 

La 3ª es de Ciencias con el 25% de estudiantes.

 

 

Las mujeres están repartidas uniformemente, uniformemente, siendo 60% del total t otal en cada facultad.

a) ¿Cuál ¿Cuál es la pproba robabili bilidad dad ddee enc encontra ontrarr una alumna de la Facultad de Ciencias Humanas? b) ¿Cuál ¿Cuál es la pproba robabili bilidad dad ddee enc encontra ontrarr un alumno varón de cualquier facultad?

7. Un alumno alumno compra una quin quiniela iela y desea desea atinarle atinarle al marc marcador ador de 2 partido partidoss del futbol mexicano. Para ello analiza los marcadores de juegos de torneos pasados, y obtiene la estadística de efectividad de gol del equipo y de que se realice el juego. Observa el árbol de probabilidad y contesta. a) ¿C ¿Cuá uáll es la pro proba babi bililida dadd de que ju jueg egue uenn y empaten Tijuana vs América? b) ¿Cuá ¿Cuáll es la pro roba babi bililida dadd de que que jueg juegue uenn Ti Tiju juan anaa vs Amér Améric icaa o jueg juegue uenn y empa empate tenn Chivas Vs Cruz Azul? c) ¿C ¿Cuuál es la pro robbabililida dadd de que juegu gueen Chivas Vs Cruz Azul y pierda Chivas?  Antes de pasar pasar al siguiente te tema ma debes tomar tomar en cuenta la siguiente siguiente función que te será útil m más ás adelante. La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 1! = 1 Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar  ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.

   

 

Permutaciones y Combinaciones Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras: "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y plátanos" : no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "plátanos, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y plátanos", es la misma ensalada. "La combinación de la cerradura es 472": 472" : ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que serf exactamente 4-7-2.  Así que en Matemáticas Matemáticas usamos uunn lenguaje lenguaje más preciso:

Permutaciones

Hay dos tipos de permutaciones: Permutaciones con repetición Se utiliza cuando puedes utilizar un mismo elemento más de una vez.

Permutaciones sin repetición Se utiliza cuando no puedes utilizar un mismo elemento más de una vez.

Por ejemplo, en la clave de cerradura del ejemplo anterior  Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de se podría tener “373”. Se repitió el número 3 en el billar? Tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente siguie nte elección tiene 15 posibilidade posibilidades, s, después después 14, arreglo. 13 y as asíí suce sucesi siva vame ment nte, e, por por lo que que se redu reduce ce el Estas permutaciones son fáciles de calcular ya que tienes número de opciones en cada paso. Esto es, n objetos para ordenar y eliges r de ellos. Esto es, 16 × 15 × 14 × 13.  Así que la fórmula a utilizar es n × n × ... (r veces) = nr  (P (Por orqu quee hay hay n posibilidades para la primera elección, despuéss hay n posibilidades para la segunda elección, y despué así.) Donde n es el total de objetos y r es el grupo que  Así que la fórmula es simplemente deseas formar.  

Donde n es el total de objetos y r es el grupo que deseas formar. Ejemplo: si de las 16 bolas de billar se quieren elegir Ejemplo: De entre 10 números se deben elegir 3 para una solo 3, ¿de cuántas formas se pueden elegir? clave. ¿Cuántas claves se podrían formar?    

Se pueden formar 1,000 claves de tres dígitos.

Se pueden elegir tres bolas de billar de 3,360 formas distintas.

 

 

Para las permutacion permutaciones es donde hay elementos repetidos entre las opciones, se utiliza la fórmula: Donde n1 son los elementos repetidos del primer tipo, n2 son los del segundo tipo y nk son del último tipo. Ejemplos: • •

El núme número ro de pe perm rmut utac acio ione ness de de la pa pala labr braa APRO APROBA BADO DO = 10, 10,08 080, 0, porq porque ue la letr letraa A se repite 2 veces (2!) y la letra O otras dos veces (2!)   El númer númeroo ddee per permut mutaci acion ones es de de llaa pa pala labra bra Pap Papaa =6 Siendo las seis permutaciones: papa, paap, ppaa, aapp, apap y appa Combinaciones

También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa) pero las que más se utilizan son las combinaciones sin repetición. Combinaciones sin repetición Recordemos que, en este caso, no importa el orden el que cada elemento sea acomodado. Por ejemplo, si se desea selecciona seleccionar r 4 estudiantes estudian de un grupoprimeo de 15 onoúltimo. importa el orden el mismo sin importar a quientes seleccionaron Esto es: en que se acomoden ya que el grupo es Diego Karla Karla o Mariel Mariel Luis Luis Diego La fórmula para calcular las combinacione combinacioness es

Mariel o Luis Karla Diego

Donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas. (No se puede repetir, el orden no importa). De modo que, si del ejemplo anterior, se quiere determinar de cuántas formas distintas se pueden seleccionar a 4 estudiantes de un grupo de 15.  

Serían entonces 1,365 formas distintas de combinarlos. En el siguiente recuadro se muestra la diferencia entre permutaciones y combinaciones si se quieren realizar distintos grupos de números con el 1, el 2 y el 3.

 

 

Podemos notar que si el orden importa se tiene una mayor cantidad de agrupaciones que si el orden no importara así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades. El orden importa 123 213 312 132 231 321

El orden no importa 123

Ejercicios de repaso Instrucciones: en cada uno de los problemas indica si se trata de una combinación o una permutación. Problema

Permutación

Combinación

¿Cuántas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si no se permite la repetición? ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arcoíris, tomándose de tres en tres? En un salón de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

ACTIVIDAD 5 Permutaciones y combinaciones 1. Un inspector visita 6 máquinas diferentes durante el día. Con la finalidad de impedir a los operadores que sepan cuándo va a inspeccionarlas, varía el orden de las visitas. ¿De cuántas maneras puede hacerlo? 2. De las letras a,b,c,d,e,f, ¿cuántos arreglos de 4 letras se pueden formar si ninguna letra se puede repetir? (Sin reemplazo). 3. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse 6 preguntas de un total de 20, si el orden de selección no importa? 4. ¿De cuántas maneras puede elegirse una comisión de 5 personas (tesorero, secretario, presidente, etc.) de entre 9 personas? 5. Hallar el número de permutaciones que puede hacerse con la palabra: Larousse. 6. Hallar el número de permutaciones que pueden hacerse con la palabra: Abierto. 7. ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité compuesto de 4 hombres, de un grupo de 7 si no hay puestos específicos? 8. Si te haces una torta “bien reportada” y hay nueve ingredientes a elegir pero sólo le puedes agregar cinco, ¿de cuántas maneras puedes hacerlo? Si: a) El orden como se los agregues sí importa (así es que será una torta totalmente diferente, dependiendo dependiendo del lugar donde pongas el jamón, queso, etc.). b) El orden como se los agregues no importa (será igual una torta a la otra si los ingredientes sólo se cambian de lugar pero son los mismos). 9. Hallar el número de permutaciones que pueden hacerse con las palabras:  j) Desoxirribonucleico k) Dioxinas

 

 

12. Un grupo de 36 alumnos desea entrar a la banda de guerra del plantel, ¿de cuántas formas puede el instructor formar la banda si sólo necesita 15 elementos? 13. ¿Cuántas permutaciones permutaciones puedes hacer con todas las cifras de los números telefónicos? a) 1767891 b) 1785925 http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-permutaciones.html

REGLAS DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDAD PROBABILIDADES ES EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Los eventos mutuamente excluyentes son sucesos que no pueden ocurrir al mismo tiempo.. Por ejemplo, si se elige al azar a un alumno para representar a la escuela en un tiempo evento deportivo, este alumno no puede tener simultáneamente 15 y 17 años, entonces los eventos A = {el alumno tiene 15 años} y B = {el alumno tiene 17 años} son mutuamente excluyentes. Regla especial de la adición de probabilidades Cuando el enunciado de un problema de probabilidad tiene como condición que se presente uno u otro evento y, además, estos son even eventos tos mutuamente mutuamente excl excluyen uyentes, tes, se utili utiliza za la regla especial de adición P(A o B) = P(A) + P(B) EVENTOS NO EXCLUYENTES Los eventos no excluyentes son aquellos que sí pueden ocurrir al mismo tiempo. tiempo . Por  ejemplo, si se elige al azar a un empleado para transportar documentos, documentos, este emplead empleadoo puede tener licencia o automóvil, entonces los eventos A = {el empleado tiene licencia} y B = {el empleado tiene automóvil}. Regla general de la adición de probabilidades Cuando el enunciado de un problema de probabilid probabilidad ad tiene como condición que se presente uno u otro evento y, además, éstos son eventos no excluyentes debe considerarse que la probabilidad de que ocurran ambos está incluida en ellos, por lo que debe restarse esa probabilidad de la suma directa, esto es: EVENTOS INDEPENDIE INDEPENDIENTES NTES Dos eventos o sucesos son independientes si el resultado de uno de ellos no afecta la probabilidad del otro. otro. Por ejemplo ejemplo,, imagina el juego de tirar dos dados, uno blanco blanco y otro rojo. ¿Crees que el resultado del dado blanco afecta la probabilidad de que ocurra un resultado en el dado rojo? Tienes razón, la cara que quede arriba al tirar un dado NO afecta el resultado de tirar el otro, estos eventos son independientes. independientes. Regla especial de la multiplicación de probabilidades Cuando el enunciado de un problema de probabilidad tiene como condición que se presenten uno y otro evento y, además se trata de eventos independientes, se utiliza la regla especial de multiplicación. P(A y B) = P(A) ∙ P(B)

 

 

EVENTOS DEPENDIENTES Los eventos dependientes son aquellos en los que, al suceder uno después de otro, el resultado del primero afecta la probabilidad del segundo. segundo . Por ejemplo, si se seleccionan al azar dos cartas de una baraja que la primera sea un rey afectará la probabilidad de que la segunda sea un 8 ya que el total no es el mismo que al principio. Esto se conoce como Probabilidad condicional. condicional. Regla General de la Multiplicación de Probabilidades P(A y B)= P(A)∙P (B/A) o P(B y A)=P(B)∙P(A/B) P(A/B) indica la probabilidad de que ocurra un evento A si se sabe que ya ocurrió el evento B.

P(B/A) indica la probabilidad de que ocurra un evento B si se sabe que ya ocurrió el evento A.

Ejercicios de repaso Instrucciones: Con base en la información proporcionada, identifica y selecciona con una cruz, para cada evento, si aplicarías la regla general de la adición (en este caso, decir si pertenece al grupo de eventos no excluyentes o mutuamente excluyentes) o de la multiplicación (en este caso caso,, deci decirr si pert perten enec ecen en al gr grup upoo de lo loss ev even ento toss depe depend ndie ient ntes es o inde indepe pend ndie ient ntes es). ). Posteriormente, Posteriormen te, en plenaria, calcula las probabilidades indicad indicadas as en cada inciso. Adición EVENTOS 1. Se lanza un dado de 6 caras, ¿cuál es la probabilidad de caer 6 o 4? 2. Se tiene una bolsa con 15 M&M’s. Si de ellos, dos son azules y tres rojos ¿cuál es la probabilidad de sacar uno azul y uno rojo? (Si no se regresa el primero antes de sacar el segundo). 3. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que ambos caigan 4? 4. Al extraer una carta, ¿cuál es la probabilidad de que ésta sea un rey o un as? 5. Se tiene una cartera con 20 billetes, donde 7 son de $20 y 5 de $50 ¿cuál es la probabilidad de que al sacar uno éste sea de $20 o de $50? 6. Al extraer dos cartas (sin regresarlas), ¿cuál es la probabilidad de que sean un as de trébol y un 5 de corazones? 7. Tu iTunes está cargado con 2000 canciones, de las cuales 100 son de The Beatles y 30 de Nirvana, ¿cuál es la probabilidad al poner al azar, ésta sea de de Theque Beatles o deuna Nirvana?

No Excluyentes

Mutuamente excluyentes

Multiplicación Depe Depend ndie ient ntes es

In Inde depe pend ndie ient ntes es

 

  8. Se tienen diez esferas numeradas del 1 al 10, ¿cuál es la probabilidad de que al sacar una, ésta sea menor que 6 o número par?

ACTIVIDAD 6 Reglas especiales de adición y multiplicación. Instrucciones: calcula la probabilidad de que suceda cada evento, utilizando la regla especial de adición o la regla especial de multiplicación de probabilidad para resolver problemas. Escribe todas las operaciones y el resultado de cada ejercicio. 1. Hallar la probabilidad de que caiga una cara con un número menor o igual que 3 o una cara con un número mayor que 5 en un lanzamiento de dado. 2. Suponiendo Suponiendo que una contraseña consta de tres letras distintas seguidas de tres dígitos distintos. Calcula la probabilidad de que la contraseña: a) Comience con vocal b) El último dígito sea un número par  c) Contenga la letra B 3. En un viaje organizado a Europa, 48 de los que van hablan solamente inglés, 36 hablan solamente francés y 12 hablan los dos idiomas. Si escogemos uno de los viajeros al azar. ¿Cuál es la probabilidad de elegir a un pasajero que solamente hable un idioma? 4. Tu mp3 player está cargado con 200 canciones, de las cuales 40 son de Shakira y 16 de Thalía, ¿cuál es la probabilidad de que al poner una al azar, ésta sea de Shakira o de Thalía? 5. Se lanzan tres dados. Encontrar la probabil probabilidad idad de que salga 6 en todos. 6. En un grupo de 50 alumnos de sexto semestre,y 615obtuvieron alumnos obtuvieron “Excelente” en unaal prueba de Historia, 20 obtuvieron “Suficiente” “Insuficiente”. Si se escoge azar un alumno de este grupo, ¿cuál es la probabilidad de que sea alguien que obtuvo “Excelente” o un alumno que obtuvo “Insuficiente”? 7. Si consideramos que el 30% de los niños que asisten a escuelas primarias desayunan sólo cereal, que 40% desayunan huevo, 20% desayunan pan tostado y el resto no desayuna, ¿cuál es la probabilidad de elegir al azar a un niño de entre los 40 alumnos que haya desayunadoo cereal o que no haya desayunado? desayunad 8. Un grupo de amigos viajarán a San Felipe para pasar un día libre, dos de ellos tienen carro propio y llevarán cada uno a 4 amigos (3 de los que viajarán en carro son mujeres), y ocho de- berán ir en autobús (2 hombres y 6 mujeres). Si se eligen al azar un joven de los que viajan en autobús y uno de los que viajan en automóvil, ¿qué probabilidad hay de elegir a sólo mujeres?

 

 

9. Carolina y sus amigas cuentan sobre la acción principal que llevan a cabo para no subir de peso: 6 de ellas cenan solamente fruta y cereales, 9 siguen una dieta estricta cada día, 4 asisten regularmente a un gimnasio y 10 corren al menos 30 minutos cada día. Dos de las  jóvenes que se ejercitan afirman que sus hermanas mayores las acompañan siempre en esa actividad. Si se elige al azar a dos de ellas, ¿cuál es la probabilidad probabilidad de elegir a una joven que se ejercita acompañada de entre las que hacen ejercicio y a una que está a dieta de entre las que cuidan su alimentación? 10 10.. De una tómbola que contiene 3 bolas rojas y 5 blancas, Matías extrae tres bolas, devolviendo a la tómbola la bola extraída, calcular la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean: k) Rojas c) Una roja y dos blancas l) 2 rojas y una blanca d) 3 blancas ACTIVIDAD 7 Regla general de adición y multiplicación Instrucciones: calcula la probabilidad probabilidad de que suceda cada evento, utilizando la regla general de adición o la regla general de multiplicación de probabilidad para resolver problemas. Escribe todas las operaciones y el resultado de cada ejercicio. 1. Se extraen dos cartas en sucesión al azar de 52 cartas, sin reemplazar la primera carta antes de extraer la segunda, determina la probabilidad de extraer dos reyes. 2. Las edades de los miembros del grupo de 8 hombres y 4 mujeres estás distribuidos de la siguiente forma: 5 hombres tienen menos de 16 años y 3 tienen 17 2 mujeres tienen menos de 15 años y 2 tienen más de 17 Si se elige al azar una persona, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer o una persona menor de 16 años? 3. En un grupo de 40 alumnos, 15 de ellos tienen bicicleta, 23 tienen patines y 8 tienen ambos. ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir un alumno al azar, este tenga bicicleta o patines? 4. Una caja contiene 10 esferas de las cuales 5 son blancas, 3 son rojas y 2 son negras. Se extraen aleatoriamente sin reemplazar. Calcula las probabilidades de extraer. a) 2 es esferas feras blan blancas cas una después después de otra. otra. b) Una esfe esfera ra ro roja ja y desp después ués una eesfer sferaa negra. negra. c) 3 esfer esferas as ro roja jas, s, un unaa despué despuéss de otra otra.. d) Una es esfera fera negra, negra, lu luego ego una una roja y finalme finalmente nte una blanc blanca. a.

 

 

Instrumentos de evaluación para las Competencias Genéricas Instrucciones: Contesta honestamente, marcando con una  a los siguientes cuestionamientos. Autoevaluación Nombre del alumno: Período: Indicadores de desempeño: 1. Asisto puntualmente a todas mis clases.

Siempre

A veces

Difícilmente

Observaciones

2. Sigo las instrucciones del profesor para hacer los trabajos solicitados. 3. Participo con una actitud constructiva en el trabajo colaborativo. 4. Soy responsable al hacer mis comentarios y los argumento de manera clara. 5. Aporto ideas, utilizando distintos medios comunicativos, orales y escritos. 6. Evalúo mis aprendizajes de manera permanente con base en los trabajos realizados. 7. Selecciono y ordeno información para dar respuestas a los problemas detectados. 8. Relaciono los conocimientos de las diferentes asignaturas en las actividades realizadas. 9. Aprendo por iniciativa propia algún aspecto de interés 10. Utilizo las Tecnologías de la Información y Comunicación para obtener información de manera adecuada y expreso ideas por este medio.

Instrucciones: Contesta honestamente, marcando con una  a los siguientes cuestionam cuestionamientos ientos respecto al compañero asignado. Coevaluación Nombre del compañero: Período: Indicadores de desempeño: 1. Asiste puntualmente a todas las clases. 2. Sigue las instrucciones del profesor para hacer los trabajos solicitados. 3. Participa con una actitud constructiva en el trabajo colaborativo. 4. Es responsable al hacer Comentarios y los argumenta de manera clara. 5. Aporta ideas, utilizando distintos medios comunicativos, orales y escritos. 6. Evalúa sus aprendizajes de manera permanente con base en los trabajos realizados. 7. Selecciona y ordena información para dar respuestas a problemas detectados. 8. Relaciona los conocimientos de las diferentes asignaturas en las actividades realizadas. 9. Aprende por iniciativa propia algún aspecto de interés 10. Utiliza las Tecnologías de la Información y Comunicación para obtener información de manera adecuada y expresa ideas por este medio.

Siempre

A veces

Difícilmente

Observaciones

 

MIS NOTAS:

Bloque II  

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Competencias Genéricas

Competencias Disciplinares Extendidas

4. Escuch Escucha, a, interpreta y emite mensaje mensajess pertinen pert inentes tes en dist distint intos os cont context extos os med mediant iantee la utiliza util ización ción de medi medios, os, cód códigos igos y herr herrami amienta entass

CDEM2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

apropiados. CG4.1 Ex Expr pres esaa ideas ideas y conce concept ptos os me medi dian ante te re repre prese sent ntac acio ione ness ling lingüí üíst stic icas as,, mate matemá mátitica cass o gráficas.

CDobl EM 4.a, Argumenta solución obtenida un, pro pr blem ema, con méto étla odo dos s nu numé méri rico cos, s, gráf grde áfic icos os, an anal alíti íticos cos o va variriac acio iona nale les, s, me medi dian ante te el le leng nguaj uajee verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Desarr Desarrolla olla innova innovaciones ciones y propone soluci soluciones ones a problemas a partir de métodos establecidos.

CDEM8. Interpreta tablas, gráficas, mapas diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

CG5.2 Ordena información de categorías, jerarquías y relaciones.

acuerdo

a

6. Sustent Sustentaa una post postura ura perso personal nal sobr sobree temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. CG6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.

 

 

BLOQUE II DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Propósito del bloque  Aplica de manera crítica las distribuciones de probabilidad probabilidad,, demostrando que son modelos útiles para hacer inferencias en la toma t oma de decisiones en diferentes situaciones de incertidumbre en su vida cotidiana.

Interdisciplinariedad

Transversalidad

Filosofía Ecología y Medio Ambiente. Se retomaran las asignaturas que en cada plantel se imparte en 6to. semestre, tanto del Componente de Formación Propedéutica como el de Formación para el Trabajo.

  

   

Eje transversal social. Eje transversal ambiental Eje transversal de salud. Eje transversal habilidades lectoras.

Aprendizajes esperados • • •

Emp Emple leaa las tabl tablas as de dis distri tribu bucio ciones nes de frecue frecuenc ncias ias par paraa desc describ ribirir de manera manera cr críti ítica ca y reflexiva los resultados resultados de investigaciones contextualizada contextualizadas. s. Demu Demuestra estra qque ue la lass gráfica gráficass son un un medio medio cre creativ ativoo para comp comparar arar valor valores es y facili facilitar tar la toma responsable de decisiones en problemas presentes en cualquier contexto. Ca Calcu lcula la las probab probabililida idade dess a partir partir de di diver versas sas formas formas de distri distribu bució ciónn eligi eligiend endoo de una una forma crítica un enfoque determinista o aleatorio para el estudio de un fenómeno de su entono. Conocimientos

Distribución de Bernoulli. Distribución Binomial. Distribución Normal.

Habilidades

Actitudes

 Analiza las probabilidades de un fenómeno aleatorio bivariacional.

Expresa idea y conceptos favoreciendo su creatividad.

Describe probabilidades en base a una gráfica estadística relativas a una población.

Expresa de manera crítica sus ideas y muestra respeto por las demás opiniones.

Distingue las formas en que se evalúan los resultados obtenidos de un experimento aleatorio.

Se relaciona con sus semejantes de forma colaborativa disposición al trabajo metódico y organizado.

Infiere posibles comportamientos de la población a través de una muestra.

To Toma ma decisiones de manera consciente e informada asumiendo las consecuencias.

 

 

¿Aprobado o reprobado? reprobado? En un examen con 12 preguntas a las que se debe responder con falso o verdadero, conoces la respuesta correcta a cuatro de las preguntas. Si contestas al azar las otras ocho, ¿cuál es la probabilidad de aprobar (obteniendo siete o más respuestas correctas en total)? ¿Crees que sea alta o baja la probabilidad de aprobar? Antes de continuar leyendo, intenta responder las preguntas anteriores. Compara tus resultados con los obtenidos por tus compañeros. Coméntenlo entre ustedes y con su profesor. Análisis de la situación: 1. ¿Cuáles ¿Cuáles son los posi posible bless resulta resultados dos en cada preg pregunta unta del exa examen men que con conteste testess al azar? Considera p=1/2 como probabilidad de acertar en cada una de las preguntas del examen cuya respuesta desconoce desconoces. s. 2. ¿Cuáles ¿Cuáles son tus posibles posibles resultad resultados os en el conjunto conjunto de las ocho pregunta preguntass que contes contestes tes al azar? DISTRIBUCIÓN DE BERNULLI Supongamos que en un ensayo de Bernoulli la probabilidad de obtener éxito es p. Como el ensayo tiene únicamente dos resultados posibles, entonces la probabilidad probabilidad de obtener un fracaso es 1-p 1-p.. llamaremos q a la probabilidad de fracaso. p = Probabili Probabilidad dad de éxito q = (1-p) = Probabilidad de fracaso Con esto, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Bernoulli es:

La media o valor esperado de la variable aleatoria de Bernoulli es: E[I] = 0q +1p = p La varianza de la variable aleatoria de Bernoulli es: V[I] = E[I ]2− E[I ]2 V[I] = (02 q +12 p) – p2 = p – p2 = p(1− p) = pq

 

 

Si llamamos X, en lugar de I, a la Variable aleatoria de Bernoulli, su distribución de probabilidad queda:

La cual también se puede abreviar de la forma:

Ejemplo Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55. Sea X=1 si anota el tiro. Si no lo hace entonces X=0. Determine la media y la varianza de X. Si anota el tiro, su equipo obtiene 2 puntos. Si lo falla su equipo no recibe puntos. Sea Y el númer númeroo de punto puntoss ano anotad tados os ¿T ¿Tie iene ne un unaa probab probabili ilidad dad de Ber Berno noull ulli? i? Si es así así,, encue encuentr ntraa la probabilidad de éxito. Si no explica. Determina la media y varianza de Y. Respuesta Media Px = (0) (1-0.55) + (1) (0.55) = PX = 0.55 Varianza V 2M = (0-0.55)2 (0.55) (0-0.55)2 (0.45) = V 2 X = 0.2475 No; una variable aleatoria de Bernoulli tiene valores positivos de 0 y 1 mientras que los valores de Y son 0 y 2. X P XP 1 0.55 1.1 0 0.45 0 (Y-M) 2 *P (2-1.1)2 (0.55) (0-1.1)2 (0.45) = 0.99

 

 

ACTIVIDAD 1 1.- En un restaurante la comida rápida .25% de las órdenes para saberes una bebida pequeña, .35% una mediana y .40% una grande. Se X=1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y X=0 en cualquier otro caso. Sea PX la probabilidad de éxito de X. determine PX. Sea PY la probabil probabilidad idad de éxito de Y. Determina PY. 2.- Cuando se aplica aplica cierto barniz barniz a una superficie de cerá cerámica, mica, 5% es de probabilidad probabilidad que se decolore o no se agriete. O ambas. Sea X=1 si se produce una decoloración y X=0 en cualquier otro caso: Y=1 si hay alguna grieta y Y=0 en cualquier otro caso: Z=1 si hay decoloración decoloraci ón grieta o ambas, y Z=0 en cualquier otro caso. Sea PX la probabilidad de éxito de X. Dete Determ rmin inaa PX se seaa PY la pr prob obab abililid idad ad de éx éxititoo de Y. De Dete term rmin inaa PY se seaa PZ la probabilidad de éxito de Z. Determina PZ. 3.- Se lanza al aire una moneda de 1 y de 5 centavos. Sea X=1 si sale cara en la moneda de 1 centavo y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si sale cara en la moneda de 5 centavos y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale cara en ambas monedas y Z=0 en cualquier  otro caso. Sea PX la probabilidad de éxito de X. Determina PX sea PY la probabilidad de éxito de Y. Determina PY sea PZ la probabilidad de éxito de Z. Determina PZ. 4.- Se lanzan dos dados. Sea X=1 si sale el mismo número en ambos y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si la suma es 6 y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale el mismo número en los dados y ambas suman 6 es decir, que salga 3 en los dos dados y Z=0 en cualquier otro caso. Sea PX la probabilidad de éxito de X. Determina PX Sea PY la probabilidad de éxito de Y. Determina PY sea PZ la probabilidad de éxito de Z. Determina PZ. ¿Son X y Y independientes? Ejemplo:

 

 

Grafica la distribución de probabilidad del número de artículos defectuosos que podría contener  una muestra de diez artículos, si la población infinita de artículos tiene un porcentaje de defectuosos del 35%. Solución: La gráfica incluye los valores de probabilidad correspondientes a 0, 1, 2, 3…10 artículos defectuosos. Dichos valores se pueden obtener aplicand aplicandoo la fórmula:

Considerar que seleccionar un artículo defectuoso sea éxito, entonces tomará el valor de “p” y si no es defectuoso tomará el valor de “q”, por lo que: x= número de éxitos deseado; en este caso desde 0 hasta 10. n= número de veces que se realiza la operación, son 10 artículos p= probabilidad de obtener un éxito, 35% es decir 0.35 q= complemento de p, es decir 1-p = 1- 0.35 = 0.65 = 65%

Mediante el mismo procedimiento se calculan las demás probabilidades: p(2)= 0.1757≈17.6% p(3)=0.2522≈25.2% p(4)=0.2377≈23.8% p(5)=0.1536≈15.4% p(6)=0.0689≈6.9% p(7)=0.0212≈2.1% p(8)=0.0042≈0.4% p(9)=0.0005≈0.05% p(10)=0.0000≈0%

 

 

ACTIVIDAD 2 Distribución binomial, su media y desviación estándar. Realizar en binas, en hojas blancas, los siguientes ejercicios, calcula y grafica la distribución distribución de probabilidad probabili dad para cada caso, utilizando algún programa (Excel, etc.): 1. Un bateador bateador de bei beisbol sbol tiene uuna na probabilidad probabilidad de 0.25 de dar de hit en cada ooportunidad portunidad al bate. ¿Cuál es la probabilidad que dé uno o más hits en cuatro oportunidades de bateo? 2. El 70% de todos los pacientes pacientes que han tomado tomado cierta medicina se curará curarán. n. Se tie tiene ne una muestra de 30 pacientes. a) Calcula llaa media y desviación desviación estándar  b) ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que en esa muestra de pa pacientes cientes que han tomado tomado la medicina, 20 se curen? 3. Una prueba pruebaadivinando, contiene contiene 20 preguntas de verdadero verdadero y falso. Si un estud estudiante iante con contesta testa las preguntas calcula la probabilidad de que: a) Contesta ccorrectamente orrectamente las 10 preguntas b) Contesta correc correctamente tamente 5 o menos menos preguntas. Grá Gráfica. fica. 4. En México, México, la pro probabilid babilidad ad de que que una pareja que contra contraee matrimo matrimonio nio se divorcie es de 0.14. Si se eligen al azar a 4 parejas recién casadas, determina la probabilidad de que de estas cuatro parejas: a) Nin Ninguna guna se divor divorcie cie b) Las cua cuatro tro se divo divorcie rcienn c) Ninguna divorcie o las se divorcien d) Grafica laseprobab probabilidad ilidad de4divorci divorcio o desde cero hasta las 4 parejas. parejas.

 

 

5. Suponer que que 10 aaparatos paratos de radar está estánn operando operando independientemen independientemente te uno de dell otro y que la probabilidad de que uno solo de esos aparatos detecte un cohete enemigo es de 0.80. a) Calcula llaa media y desviació desviaciónn estándar  b) ¿Cuál es la probab probabilidad ilidad de que 9 aparatos de detecten tecten al cohete? 6. Un equipo equipo profesional profesional de futbol está está programado programado para jugar 15 partidos eenn el país de Irlanda, en el cual el 55% de los días está lloviendo. Calcula la probabilidad de que: a) Tres partidos se jueguen jueguen bajo llaa lluvia b) Menos de 3 se jjueguen ueguen baj bajoo la lluvia c) Grafica la probabilidad probabilidad para para los 15 partidos. partidos. 7. En una clase clase el 60 60% % so sonn mu muje jere res. s. Cal Calcu cula la la prob probab abililid idad ad de que que en un gr grup upoo de 10 estudiantes, se seleccion seleccionará ará aleatoriam aleatoriamente: ente: a) 5 mu mujer jeres es b) Entre 4 y 6 mu mujere jeress c) Calcula la la media y desviación desviación estándar  8. Se cons conside idera ra que el 10% de toda todass las person personas as que piden piden pre presup supue uesto stoss a un vend vendedo edor  r  de servicios funerarios terminan comprando algún paquete (cremación, velación, cripta, mausoleo, etc.). Si 30 personas han pedido presupuesto, estima la probabilidad de que: a) 5 o menos perso personas nas compren un un servicio funerario. funerario. b) Exactamente 20 no compren serv servicio icio funerario funerario.. c) Realiza la gráfic gráficaa de distribución de prob probabilidad abilidad de compra compra de servicios desde 0 a 30 personas. d) Calcula la medi mediaa y desviación estánd estándar. ar.

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR Existen tantas variables normales que resulta poco práctico desarrollar una distribución probabilística distinta para cada una. Para ello existe la distribución normal estándar, en la cual el valor central es cero, la desviación estándar (típica) es uno y el área es de -∞ hasta +∞, la fórmula para realizar esa equivalencia es: Z=X-µ σ  Donde: z=valor en la tabla de distribución normal estándar  x=variable aleatoria normal µ=media σ=desviación estándar 

 

 

Ejemplo: Se considera que las calificaciones de una prueba aplicada a todos los graduados del COBACH se distribuyen normalmente, con una media de 500 puntos y una desviación estándar de 100 puntos. ¿Cuál es la probabilid probabilidad ad de que una calificación seleccionada aleatoriamente sea mayor de 700 puntos? Solución: Primero se estandariza la variable: z=(700-500)/100=2 El área de la izquierda de la media es el 50% y es simétrica a la de la derecha. El área total bajo la curva es de 1 (100%). La probabilidad desde 0 hasta 2 se obtiene de la tabla anexa pero no representa lo que se pide en el problema, para calcularlo, haremos lo siguiente: Probabilidad entre 0 y z = 0.4772 Proporción o probabilidad en la curva normal=0.50-0.4772=0.0228 normal=0.50-0.4772=0.0228 Es decir que la probabilidad de que una calificación seleccionada al azar sea mayor de 700 puntos es de 2.28% ACTIVIDAD 3 Calculando probabilidades para una variable estandarizada z utilizando las tablas de probabilidad. a) z1.37 c) z