PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA - Blumenfarb

PROBABILIDAD

→casos favorables casos posibles

Sean A y B sucesos posibles, dentro de un espacio muestral E, se pueden clasificar en: •

Incompatibles (excluyentes o mutuamente excluyentes): A ∩ B = Ø

En un mismo espacio muestral, la ocurrencia de uno de los sucesos excluye que ocurra el otro.

P(AUB)= P(A) + P(B)

•

Compatibles (no excluyentes): A ∩ B ≠ Ø

En un mismo espacio muestral, la ocurrencia de uno de los sucesos no excluye que ocur ra el otro.

P(AUB)= P(A) + P(B) - P(A∩B)

o

o

Compatibles condicionados condicionados: la ocurrencia de uno de los sucesos condiciona la ocurrencia del otro suceso. P(A∩B)= P(A/B) . P(B) = P(B/A) . P(A) Siendo P(A/B)= P(A∩B)/ P(B) →P(B) es la condición Compatibles independientes independientes: cada suceso posee su propio espacio muestral. La ocurrencia de uno de los sucesos no condiciona la l a ocurrencia del otro suceso. P(A∩B)= P(A) . P(B)  P(A/B)= P(A) Siendo  P(A/B)=

^ P(B/A)= P(B) 

1. Ejemplo de Sucesos incompatibles De un mazo de 40 cartas ¿Cuál es la probabilidad de d e que salga un As de basto ó un As de espada? P(As de basto)= 1/40 P(As de espada)= 1/40

P(Asb U Ase)= P(Asb) + P(Ase) P(Asb U Ase)= 1/40 + 1/40 P(Asb U Ase)= 1/20

2. Ejemplo de Compatibles ¿Cuál es la probabilidad de que salga un As de espada o cualquier otra carta de espada? P(As de espada)= 1/40 P(Espada)= 10/40

P(Ase U E)= P(Ase) + P(E) - P(Ase∩E) P(Ase U E)= 1/40 + 10/40 - 1/40 P(Ase U E)= 1/4

3. Ejemplo de Compatibles condicionales ¿Cuál es la probabilidad de que salga un As y que además de espadas?

P(Ase ∩ E)= P(E) . P(Ase/E)

← P(Ase/E)= P(Ase ∩ E) P(E)

P(Ase ∩ E)= 10/40 . 1/10 P(Ase ∩ E)= 1/40

= 1 10

→favorables P(Ase ∩ E) → favorables P(E)

4. Ejemplo de Compatibles independientes Explicar con 2 bolsas que contengan 2 dados blancos y 1 negro en una, y 1 blanco y 3 negros en la otra. ¿Qué probabilidad hay de que, si saco 1 dado de cada bolsa, ambos sean negros?

•

BOLSA 1→ P(N)= 1/3 BOLSA 2→ P(N)= 2/3

P(NB1∩ NB2)= P(NB1) . P(NB2) = 1/3 . 2/3 P(NB1∩ NB2)= 3/8 5. Teorema de Bayes

EJ: Un equipo de tres hombres A, B y C compiten en lanzamiento con arco y flecha. Por estadísticas 1

1

1

anteriores se sabe que cada vez que tiran tienen probabilidades de 6 , 4  y 3 respectivamente de lograr el mejor puntaje. Si cada uno de ellos dispara una sola vez, calcular si uno de ellos lo logra: ¿Qué probabilidad hay de que haya sido A? Que acierte exactamente uno  de los tres tiradores lo denominaremos P(x=1) Esto es una probabilidad condicional y el problema se resuelve por Teorema de Bayes:

P(A X 1) =

P(A ∩ ( X = 1))

=

P

(

 A

 X  =1

)=

P( X = 1) 6 ≅ 31

 

1 3 2 . . 6 4 3 = = 1 3 2 1 5 2 1 5 3 + + . . . . . . 6 4 3 4 6 3 3 6 4

6 72 31 72

=

6 31

0,1935

6. Definición axiomática  de probabilidad Axioma 1: La probabilidad de que ocurra un suceso 'A' es un Nº real no negativo que es posible asignar a un espacio muestral 'E' y a c/u de sus subconjuntos. P(A) ≥ 0 Axioma 2: La probabilidad de un suceso cierto es igual a la unidad, tomando como suceso cierto todo lo que es posible asignar dentro de un espacio muestral. P(E) = 1 Axioma 3: La probabilidad del suceso, suma de 2 sucesos excluyentes, es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. A ∩ B = Ø → P(AUB)= P(A) + P(B)

ESTADÍSTICA Siendo: N= población; xi = variable; yi =frecuencia absoluta; fi =frecuencia relativa (y /N) i 7. Definir Media, Mediana, Moda y dispersión (desvío estándar). Las medidas de posición  o valores de tendencia central -media, mediana y moda- re presentan los valores característicos del conjunto observado.

Moda o modo: Es el valor más frecuente de la variable  (la yi mayor). Un conjunto puede ser unimodal (moda única) y cabe suponer que la serie de frecuencias corresponde a una población homogénea. Si la grafica presenta más de un máximo, se llama multimodal  o plurimodal y corresponde a una publicación heterogénea. En cambio, la serie puede ser amodal cuando carece de moda o todos los valores tienen la misma influencia.

Media aritmética o valor medio: Promedio aritmético  , la suma de todos los valores observados dividida por el total de observaciones. La media no permite asegurar la homogeneidad al conjunto (moda-unimodal), es un concepto matemático de equilibrio (baricentro) donde todos los datos se encuentran e n equilibrio matemático.

Mediana: Valor de la variable cierta que divide la serie de frecuencias en 2 partes iguales  de individuos observados, ordenados por valor creciente del atributo qu e los caracteriza. La posición que ocupa la mediana corresponde al total de los individuos observados di vidido 2; o sea que el 50% de ellos posee valores inferiores que la mediana, y el otro 50% posee valores superiores. La mediana y la moda no dependen de los valores de la variable cierta (xi), sino de la cantidad u ordenamiento de estos. Si el número de valores es impar, enton ces me es el valor central. Si es par, me está indeterminada por los extremos más próximos a su posición.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN:  indican como es la concentración de datos alrededor de la media. Dispersión o desvíos: Indican la distancia a la que se encuentran los correspondientes valores respecto del valor tomado como referencia  (alejamiento en magnitud y dirección). Las sumas de todas las desviaciones es igual a cero, por la propiedad de los baricentros. Son la diferencia entre un valor cualquiera que puede tomar la variable y el valor medio.

Varianza: Representa la variabilidad que tienen los datos entre sí , o sea, el área de dispersión de los datos tomando como centro el promedio. Es el promedio de los d esvíos elevados al cuadrado, multiplicados por fi.

Dispersión, desvío típico, desvío tipificado o desvío estándar: Representa la variabilidad o la distancia de los datos en promedio respecto de la media . Un valor grande de σ indica que la generalidad de los datos está alejada de la media, y un valor pequeño indica que los datos están concentrados en la proximidad. Pero su tamaño es relativo, ya que dependerá de las unidades de medición de la variable.

Por eso se utiliza el coeficiente de variación o dispersión relativa : indica en forma porcentual, si la medida aritmética es representativa de la serie de frecuencias . Si es < 5% la media aritmética es representativa de la serie; si ≥ 20% los datos están dispersos y conviene fraccionar la observación.

•

Dar ejemplo numérico utilizando 10 datos, donde se la homogeneidad. xi = Sueldo fi F 1000 1 1 1500 2 3 2500 3→ MO 6→ ME  4000 2 8 5500 2 10 N= 10

observe que la media no permite asegurar fi / N 1/10 1/5 3/10 1/5 1/5 1

media=

= 1000.1 + 1500.2 + 2500.3 + 4000.2 + 5500.2 = 3050 10 moda= MO= 250

mediana= ME= 1000, 1500, 1500, 2500, 2500, 2500, 4000, 5500= 2500 + 2500= 2500 •

2 Aplicar lo dicho anteriormente a una muestra que posea 5 intervalos de clase. Una muestra de 100 lamparitas fue sometido a una prueba d e duración hasta que se quemaron: Duración (en miles de horas) Cantidad de lamparitas

xi [0.2; 0.4) [0.4; 0.6) [0.6; 0.8) [0.8; 1.0) [1.0; 1)

[0.2; 0.4)

[0.4; 0.6)

[0.6; 0.8)

[0.8; 1.0)

[1.0; 1)

15

35

10

25

15

xi1 + xi2 2

Frec. absoluta

Frec. acumulada

y /N i

ci 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1

yi 15 35→ MO 10 25 15 N=∑yi 100

Fai 15 50→ ME 60 85 100

fi 0.15 0.35 0.1 0.25 0.15

MO=intervalo [0.4; 0.6) ME=intervalo [0.4; 0.6)

ci . fi 0.045 0.175 0.07 0.225 0.165 0.68

ei -0.38 -0.18 0.02 0.22 0.42

ei² 0.1444 0.0324 1/2500 0.0484 0.1764

ei². fi 0.02 0.01134 1/25000 0.0121 0.02646 σ²=∑ ei².fi 0.06994 σ 0.26

8. Que es una variable aleatoria ? cuando se dice que es discreta y cuando continua? A diferencia de las variables ciertas que llevan asociada una frecuencia de ocu rrencia, las variables aleatorias llevan asociada una probabilidad de ocurrencia. Con las variables ciertas se calcula una vez realizado el experimento (a posteriori) y con las variables aleatorias se calcula antes (a pri ori). La variable aleatoria permite pasar de los resultados experimentales, a una función numérica de los resultados. El valor numérico de la variable aleatoria depende del resultado del experimento. Entonces, una variable aleatoria “X” es una regla bien definida para asignar valores numéricos a todos los resultados posibles de un experimento, regla por la que a c/u de los resultados de un experimento se le asocia un número: los pares ordenados (x; P(x)) dan la distribución de l a variable aleatoria. X x1 x2 x3 … xn P(x) P(x1) P(x2) P(x3) … P(xn) Es variable  porque son posibles diferentes valores numéricos. Es aleatoria  porque el valor observado depende de cuál de los posibles resultados experimentales aparezca y, además, porque in volucra la probabilidad de los resultados del espacio muestral. Es una función de valor real definida sobre el espacio muestral, de manera que transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas.

Discreta: Es cuando el número de valores que puede tomar es contable, ya sea finito o infinito (Ej: cantidad de unidades defectuosas, vehículos que arriban o parten, personas, etc.)

Continua: Es cuando puede tomar cualquier valor numérico en un intervalo o conjunto de intervalos (Ej: escalas de medición de tiempo, peso, distancia, etc.) • Calcular la esperanza matemática  y decir para que sirve..

Esperanza matemática, valor esperado o media: Valor promedio de una variable aleatoria después de infinitas observaciones. n

E(x)= μ = ∑ xi . Pi i=1

E(x) > 0 beneficioso para el apostador E(x) < 0 beneficioso para la banca E(x) = 0 equitativo para ambos

•

Defina las tres medidas de posición y explique su utilidad.

Esperanza matemática, valor esperado o media Varianza: Valor esperado del cuadrado de las desviaciones de la variable aleatoria respecto de su esperanza matemática. Mide aleatoriedad misma de la variable, porque indica cuán dispersa puede ser la distribución. Se la indica: n

V(x)= σ² = ∑ [(ri - μ)² P(ri)] i=1 n

V(x)= σ² = ∑ [(ei². P(ri)] i=1

Desvío estándar, desvío típico o dispersión: Valor que mide la dispersión de los valores que toma la variable respecto de la esperanza matemática.

D(x)= σ= √σ² Si se tiene una bolsa con tres bolillos negras y una blanca, totalmente indistinguibles al tacto, proponer un ejemplo numérico de variable aleatoria discreta asociado a ello y resolverlo. 1 bolillero →3 negras →1 blanca 4 bolas •

se extraen 2 bolillas c/ reposición si saca 2 negras= premio $10 en cualquier otro caso= pierde $2 P(gana) = P(2N) P(2N)= P(1N) . P(1N) = 3/4 . 3/4 P(2N)= 9/16 P(no gana)= 1 - P(gana) = 1 - 9/16 P(no gana)= 7/16 xi $10 - $2= $8 -$2

P(xi) 9/16 7/16 16/16

E(x)= 8 . 9/16 - 2 . 7/16 E(x)= 29/8 →esto significa que es favorable para el apostador Para que sea equitativo la E(x)= 0, para ello hay que d eterminar el valor de la apuesta: E(x)= 0 (10 - Ap) . 9/16 - (Ap) . 7/16 = 0 90/16 - 9/16 Ap - 7/16Ap = 0 - Ap = 90/16 Ap = $5.62