Probabilidad y Estadistica 2

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Mtro. Julio Alfonso Martínez Romero Director Académico Ing. Arturo Sandoval Mariscal Director de Administración y Finanzas C.P. Jesús Urbano Limón Tapia Director de Planeación Ing. Raúl Leonel Durazo Amaya

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 Módulo de Aprendizaje. Copyright ©, 2011 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora todos los derechos reservados. Primera edición 2011. Impreso en México. DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280

COMISIÓN ELABORADORA: Elaborador: María Elena Conde Hernández Revisión Disciplinaria: Alma Lorenia Valenzuela Chávez Corrección de Estilo: Alejandro Ernesto Rivas Santoyo Apoyo Metodológico: Alma Lorenia Valenzuela Chávez Supervisión Académica: Luz María Grijalva Díaz Diseño: Joaquín Rivas Samaniego Edición: Bernardino Huerta Valdez Coordinación Técnica: Claudia Yolanda Lugo Peñúñuri Diana Irene Valenzuela López Coordinación General: Ing. Arturo Sandoval Mariscal

Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de diciembre de 2011. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México La edición consta de 6,598 ejemplares.

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PRELIMINARES

DATOS DEL ALUMNO Nombre: _______________________________________________________________ Plantel: __________________________________________________________________ Grupo: _________________ Turno: _____________ Teléfono:___________________ E-mail: _________________________________________________________________ Domicilio: ______________________________________________________________ _______________________________________________________________________

Ubicación Curricular

COMPONENTE:

HORAS SEMANALES:

GRUPO: 3 y 4 ECONÓMICO ADMINISTRATIVO / HUMANIDADES Y CIENCIAS SOCIALES

CRÉDITOS:

FORMACIÓN PROPEDÉUTICA

PRELIMINARES

03

06

3

4

PRELIMINARES

Índice Presentación ......................................................................................................................................................... 7 Mapa de asignatura .............................................................................................................................................. 8 BLOQUE 1: DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDINATE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO ...........................................................................................................................................9 Secuencia Didáctica 1: Cálculo de probabilidades de eventos simples y compuestos ..................................10 • Métodos para asignar probabilidades .......................................................................................................12 • Propiedades de la probabilidad .................................................................................................................15 • Regla del complemento de la probabilidad ...............................................................................................16 • Eventos compuestos que incluyen el conectivo “o” ..................................................................................17 Secuencia Didáctica 2: Principio fundamental de conteo .................................................................................27 • Conteo mediante una lista sistemática ......................................................................................................30 • Principio fundamental de conteo ................................................................................................................35 • Factoriales ...................................................................................................................................................38 Secuencia Didáctica 3: Teoría combinatoria......................................................................................................45 • Permutaciones ............................................................................................................................................48 • Combinaciones ...........................................................................................................................................54 BLOQUE 2: EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL ................................................................. 63 Secuencia Didáctica 1: Probabilidad condicional .............................................................................................64 • Probabilidad condicional ............................................................................................................................66 • Regla general de la multiplicación de probabilidades ...............................................................................69 • Eventos independientes .............................................................................................................................70 • Regla especial de la multiplicación de probabilidades .............................................................................71 Secuencia Didáctica 2: Teorema de Bayes .......................................................................................................79 • Teorema de Bayes ......................................................................................................................................81 BLOQUE 3: RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS ................................ 87 Secuencia Didáctica 1: Distribución de probabilidad para variables discretas ................................................88 • Distribución de probabilidad ......................................................................................................................90 • Modelos de distribuciones de probabilidad de variables discretas ..........................................................91 • Valor esperado y varianza de una distribución de probabilidad discreta .................................................92 • Distribución binomial ..................................................................................................................................98 Secuencia Didáctica 2: Distribución de probabilidad para variables continuas .............................................109 • Distribución de probabilidad para variables continuas ...........................................................................111 • Modelos de distribuciones de probabilidad de variables continuas .......................................................118 • La distribución normal ..............................................................................................................................118 Secuencia Didáctica 3: Aproximación de la distribución binomial a la normal ...............................................131 • Aproximación de la distribución binomial a la normal .............................................................................133 • Teorema central del límite .......................................................................................................................135 • Regla práctica para calcular probabilidades mediante el paso de una binomial a una normal ............136 Bibliografía ........................................................................................................................................................143

PRELIMINARES

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PRELIMINARES

Presentación “Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto específico”. El enfoque en competencias considera que los conocimientos por sí mismos no son lo más importante, sino el uso que se hace de ellos en situaciones específicas de la vida personal, social y profesional. De este modo, las competencias requieren una base sólida de conocimientos y ciertas habilidades, los cuales se integran para un mismo propósito en un determinado contexto. El presente Módulo de Aprendizaje de la asignatura Probabilidad y Estadística 2, es una herramienta de suma importancia, que propiciará tu desarrollo como persona visionaria, competente e innovadora, características que se establecen en los objetivos de la Reforma Integral de Educación Media Superior que actualmente se está implementando a nivel nacional. El Módulo de aprendizaje es uno de los apoyos didácticos que el Colegio de Bachilleres te ofrece con la intención de estar acorde a los nuevos tiempos, a las nuevas políticas educativas, además de lo que demandan los escenarios local, nacional e internacional; el módulo se encuentra organizado a través de bloques de aprendizaje y secuencias didácticas. Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, organizadas en tres momentos: Inicio, desarrollo y cierre. En el inicio desarrollarás actividades que te permitirán identificar y recuperar las experiencias, los saberes, las preconcepciones y los conocimientos que ya has adquirido a través de tu formación, mismos que te ayudarán a abordar con facilidad el tema que se presenta en el desarrollo, donde realizarás actividades que introducen nuevos conocimientos dándote la oportunidad de contextualizarlos en situaciones de la vida cotidiana, con la finalidad de que tu aprendizaje sea significativo. Posteriormente se encuentra el momento de cierre de la secuencia didáctica, donde integrarás todos los saberes que realizaste en las actividades de inicio y desarrollo. En todas las actividades de los tres momentos se consideran los saberes conceptuales, procedimentales y actitudinales. De acuerdo a las características y del propósito de las actividades, éstas se desarrollan de forma individual, binas o equipos. Para el desarrollo del trabajo deberás utilizar diversos recursos, desde material bibliográfico, videos, investigación de campo, etc. La retroalimentación de tus conocimientos es de suma importancia, de ahí que se te invita a participar de forma activa, de esta forma aclararás dudas o bien fortalecerás lo aprendido; además en este momento, el docente podrá tener una visión general del logro de los aprendizajes del grupo. Recuerda que la evaluación en el enfoque en competencias es un proceso continuo, que permite recabar evidencias a través de tu trabajo, donde se tomarán en cuenta los tres saberes: el conceptual, procedimental y actitudinal con el propósito de que apoyado por tu maestro mejores el aprendizaje. Es necesario que realices la autoevaluación, este ejercicio permite que valores tu actuación y reconozcas tus posibilidades, limitaciones y cambios necesarios para mejorar tu aprendizaje. Así también, es recomendable la coevaluación, proceso donde de manera conjunta valoran su actuación, con la finalidad de fomentar la participación, reflexión y crítica ante situaciones de sus aprendizajes, promoviendo las actitudes de responsabilidad e integración del grupo. Nuestra sociedad necesita individuos a nivel medio superior con conocimientos, habilidades, actitudes y valores, que les permitan integrarse y desarrollarse de manera satisfactoria en el mundo social, profesional y laboral. Para que contribuyas en ello, es indispensable que asumas una nueva visión y actitud en cuanto a tu rol, es decir, de ser receptor de contenidos, ahora construirás tu propio conocimiento a través de la problematización y contextualización de los mismos, situación que te permitirá: Aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a ser y aprender a vivir juntos.

PRELIMINARES

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Secuencia Didáctica 1. Cálculo de probabilidades de eventos simples y compuestos.

Bloque 1.

Probabilidad y estadística 2

Determina la probabilidad de eventos medinate diferentes décnicas de conteo.

Secuencia Didáctica 2. Principio fundamental de conteo.

Secuencia Didáctica 3. Teoría combinatoria.

Secuencia Didáctica 1. Probabilidad condicional. Bloque 2. Emplea la proabilidad condicional. Secuencia Didáctica 2. Teorema de Bayes.

Secuencia Didáctica 1. Distribución de probabilidad para variables discretas.

Bloque 3. Resuelve problemas de aplicación mediante la distribución de probabilidades de variables discretas y continuas.

Secuencia Didáctica 2. Distribución de probabilidad para variables continuas.

Secuencia Didáctica 3. Aproximación de la distribución binomial a la normal.

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PRELIMINARES

Determina la probabilidad de eventos mediante diferentes técnicas de conteo.

Competencias profesionales:      

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia:    

Estructura ideas y argumenta de manera clara y coherente, los resultados de la probabilidad conjunta, mediante el uso de técnicas de conteo. Identifica los tipos de eventos y las reglas de probabilidad, para resolver problemas en situaciones de la vida cotidiana. Utiliza el principio fundamental de conteo en la solución de problemas cotidianos. Identifica las diferentes formas de contar agrupaciones de objetos, para resolver problemas relacionados con su entorno.

Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1. 5.1. 5.4. 5.6. 6.1. 7.1. 8.1. 8.2. 8.3.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Tiempo asignado: 18 horas

Secuencia didáctica1. Cálculo de probabilidades de eventos simples y eventos compuestos. Inicio



Actividad: 1 Responde a los siguientes cuestionamientos. 1. En un estudio se hace una encuesta a 800 alumnos de una universidad sobre el grado de satisfacción con la carrera y el grado de satisfacción con el progreso en la misma. Los resultados de la encuesta se muestran en la siguiente tabla. Satisfecho con la carrera Si No Total

Satisfecho con su progreso Si 362 18 380

TOTAL

No 350 70 420

712 88 800

Si se elige una encuesta al azar, determina la probabilidad de que: a) El alumno se encuentre satisfecho con la carrera. b) El alumno se encuentre satisfecho con la carrera y con su progreso en la misma. c) El alumno no se encuentre satisfecho ni con la carrera ni con su progreso. d) El alumno se encuentre satisfecho con la carrera, pero no con su progreso. 2.

Normalmente en una moneda mexicana, el águila es el sello (s) emblema de nuestra bandera, y cara (c) es la imagen del rostro del personaje que aparece en cada moneda. Si se lanzan dos monedas normales al aire, determina la probabilidad de que una de ellas sea cara y otra sello.

3.

Se arroja un dado sin truco y se observa el número de puntos que muestra la cara superior, ¿cuál es la probabilidad de que el número observado sea par?

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DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Actividad: 1 (continuación) 4.

Una escuela de idiomas necesita delimitar espacios para aquellas personas que estudian sólo un idioma. Distribuye en el diagrama de Venn la siguiente información y responde a los siguientes cuestionamientos. 25 personas estudian francés (conjunto 𝐹); 45 estudian inglés (conjunto 𝐼); 10 estudian alemán (conjunto 𝐴); 12 estudian francés e inglés; 5 estudian los tres idiomas; y 8 estudian francés y alemán. Si se elige una persona al azar, determina la probabilidad de que:

a) Estudie los tres idiomas.

b) Estudie francés o alemán.

c) Estudie solamente inglés.

d) Estudie francés e inglés, pero no alemán.

e) Estudie alemán e inglés.

f)

Estudie francés, pero no inglés.

Actividad: 1





Conceptual

Autoevaluación

BLOQUE 1



Distingue los distintos métodos de asignar probabilidades.

Evaluación Producto: Problemas aplicados. Saberes Procedimental Calcula probabilidades empleando las propiedades de la misma. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Muestra interés siguiendo instrucciones de manera reflexiva

Calificación otorgada por el docente

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Desarrollo Métodos para asignar Probabilidades. En el curso pasado de Probabilidad y Estadística 1, viste que la probabilidad de un evento, siendo ésta una medida numérica de la verosimilitud del evento, se determina de dos formas: empíricamente (de manera experimental) o teóricamente. Los siguientes ejemplos con eventos simples te harán recordar y aclarar la diferencia entre estas dos interpretaciones de la probabilidad. Ejemplo 1. Si se lanza una moneda al aire, determina la probabilidad de que caiga con la cara hacia arriba. No hay razón aparente para que uno de los lados de la moneda, a la larga, caiga hacia arriba con mayor frecuencia que el otro, de modo que normalmente se supone que cara y sello son igualmente probables de salir. Esta suposición puede remarcarse si la moneda está no defectuosa o alterada. Ahora el experimento aquí es el lanzamiento de una moneda con estas características. El espacio muestral es: {

}

y el evento de que caiga cara, cuya probabilidad se busca, se llama posibles es cara, la probabilidad es el cociente de 1 y 2: )

{ }. Como uno de los dos resultados

.

De manera simbólica, esto se expresa como: )

.

Ejemplo 2. Si se lanza al aire una taza de plástico, determina la probabilidad de que caiga hacia abajo. Intuitivamente, es probable que una taza caiga de lado, mucho más a menudo que hacia arriba o hacia abajo. Pero no queda claro exactamente qué tan a menudo. Para tener una idea, se realiza el experimento de lanzar la taza 50 veces, y observar la frecuencia de los resultados. Supóngase que cayó de lado 44 veces, boca abajo 5 veces y hacia arriba sólo una vez. Por la frecuencia de “éxitos” en este experimento, se concluye que: )

.

Observa en el ejemplo 1, que implica el lanzamiento de una moneda no defectuosa, el número de resultados posibles es obviamente dos, ambos igualmente probables, y uno de los resultados es una cara. No se requirió un experimento real. La probabilidad deseada se obtuvo teóricamente. Las probabilidades teóricas se aplican a toda clase de juegos de azar (lanzamiento de dados, juegos de cartas, ruletas, lotería, etc.), y aparentemente también a muchos fenómenos de la naturaleza. Laplace, en su famosa Teoría Analítica de la Probabilidad, publicada en 1812, dio una fórmula que se aplica a cualquiera de tales probabilidades teóricas, siempre y cuando el espacio muestral sea finito y los resultados sean igualmente probables, es decir, sean equiprobables.

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Pierre Simon Maqués de Laplace (1749 -1827). Astrónomo, físico y matemático francés, conocido por el Teorema de Laplace, Transformada de Laplace y Determinismo científico

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Fórmula de la probabilidad teórica Si todos los resultados en un espacio muestral probabilidad teórica del evento está dada por:

son igualmente probables, y

es un evento en

, entonces la

) Por otra parte, en el ejemplo 2 implicó tener que lazar una taza al aire, donde las probabilidades de los diferentes resultados no estaban claras intuitivamente. Se efectuó un experimento real para llegar a un valor de probabilidad de un décimo. Este valor se encontró de acuerdo con la fórmula de la probabilidad experimental o empírica. Fórmula de la probabilidad empírica Si

es un evento que puede suceder cuando se realiza un experimento, entonces la probabilidad empírica del evento está dada por: )

En la cual la asignación de las probabilidades de los sucesos o eventos de interés se basan en la información observada y no en el conocimiento previo del proceso. Por lo general, en las aplicaciones queda claro cuál de las dos fórmulas de probabilidad debe usarse. Más ejemplos al respecto: Ejemplo 3. Claudia quiere tener exactamente dos niñas. Suponiendo que niño y niña son igualmente probables, determina la probabilidad de éxito en cada uno de los casos siguientes: a) En total tiene dos hijos. Aquí, la suposición de igual probabilidad permite el uso de probabilidad teórica. Observa que el espacio muestral lo forman las parejas: { ) ) ) )} El único resultado favorable para el evento , que sean exactamente dos mujeres: es la pareja Por medio de la fórmula de probabilidad teórica: )

{

)}.

.

b) En total ella tiene tres hijos. Ahora el espacio muestral para este caso es: {

)

)

)

)

)

)

)

)}

De modo que son tres los casos favorables al evento exactamente dos niñas, indicadas en el espacio muestral con negritas. Luego la probabilidad de es: ) .

BLOQUE 1

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Aunque en este ejemplo se supuso que tanto niños como niñas tienen la misma probabilidad de ocurrir, por lo común, los nacimientos de niños ocurren con un frecuencia un poco mayor. A la vez, por lo regular hay siempre más mujeres en cualquier momento dado, debido al mayor índice de mortalidad entre hombres y a la esperanza de vida más larga en las mujeres, en general. Para cerciorarte de este comentario consulta los censos poblacionales del INEGI en la página: http://cuentame.inegi.gob.mx/poblacion/mujeresyhombres.aspx?tema Ejemplo 4. En un año reciente, los nacimientos en México incluían 1, 613 millones de hombres y 1, 531 millones de mujeres. Si una persona fue seleccionada aleatoriamente de los registros de nacimientos de ese año. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona fuese hombre? Ya que los nacimientos de hombres y mujeres no son igualmente probables, y se tiene información específica experimental que respalda este hecho, se calcula la probabilidad empírica. ) ) Ahora piensa nuevamente en la taza del ejemplo 2. Si se lanza 100 veces en lugar de 50, el nuevo valor sería probablemente diferente (al menos un poco) del que se obtuvo. Aún sería una probabilidad empírica, pero sería mejor en el sentido de que se basa en un conjunto mayor de resultados. Conforme el número de lanzamientos se hace cada vez más grande, los valores de la probabilidad empírica resultante pueden aproximarse a algún valor particular. Si es así, ese número puede definirse como la probabilidad teórica de que esa taza caiga boca abajo. Este valor “limite” sólo puede ocurrir cuando el número real de lanzamientos observados se aproxime al número total de lanzamientos de la taza. Como potencialmente existe un número infinito de posibles lanzamientos, en realidad nunca se encontraría la probabilidad teórica que se pretende. Pero aún se puede suponer que tal número existe, y cuando el número real de lanzamientos observados aumente, la probabilidad empírica resultante debe tender a estar más cerca del valor teórico. Este importante principio se conoce como ley de los grandes números o en algunas ocasiones como ley de los promedios. Ley de los grandes números Cuando un experimento se repite más y más veces, la proporción de resultados favorables a cualquier evento tenderá a estar cada vez más próxima a la probabilidad teórica de ese evento. Ejemplo 5. ¿Una moneda no defectuosa se lanzó 35 veces, produciendo la siguiente secuencia de resultados.

Calcular la razón del número de caras al número total de lanzamientos, después del primer lanzamiento, el segundo lanzamiento, el tercer lanzamiento y así, sucesivamente, hasta completar los 35 lanzamientos, y con ayuda del Excel mostrar estas razones en una gráfica. Para obtener las razones se toma en cuenta que los dos primeros resultados son sellos, de ahí que los dos primeros lugares sean 0.00. Luego el tercer resultado es cara, es decir, ⁄ , el cuarto lanzamiento vuelve a ser cara, por lo que ⁄ . El quinto lanzamiento nuevamente es cara, así que la razón es ⁄ , el sexto lanzamiento es sello, de ahí que la razón sea ⁄ , y así sucesivamente. Las primeras razones a dos lugares decimales, son 0.00, 0.00, 0.33, 0.50, 0.60, 0.50,…resultado de dividir respectivamente , , , , , , etc. La gráfica muestra cómo las fluctuaciones alrededor del 0.50 son más pequeñas,

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DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

conforme el número de lanzamientos aumenta, y la razón parece que se aproxima a 0.50 en la parte derecha de la gráfica, de acuerdo con la ley de los grandes números.

Observa que la ley de los grandes números proporciona una conexión importante entre las probabilidades empírica y teórica. Conocer la probabilidad empírica para un evento permite estimar su probabilidad teórica. Entre más grande sea el número en que se basa la estimación, más confiable será esta. De manera similar, conocer la probabilidad teórica de un evento permite predecir la fracción de veces que ocurrirá en una serie de experimentos repetidos, simplemente por deducción. La predicción será más precisa, claro está, para un número grande de repeticiones.

Propiedades de la probabilidad. De la fórmula de probabilidad teórica se deducirán algunas propiedades de la probabilidad. Para el experimento de lanzar dos monedas al aire no defectuosas se tiene el espacio muestral: { La probabilidad del evento

)

)

)

)}

que salgan dos caras es: )

,

en tanto que si se considera el espacio muestral con resultados no igualmente probables, se tiene que: {

}

) La probabilidad de que salgan dos caras: , lo cual es incorrecto, ya que la expresión que calcula la probabilidad, aplica para espacios con igual probabilidad (equiprobables). Para que te convenzas de que ⁄ es mejor que ⁄ , realiza el experimento de lanzar dos monedas no defectuosas 100 veces y calcula esta probabilidad de forma empírica. Como cualquier evento es subconjunto de , se sabe que el número de elementos del conjunto es mayor que cero, pero menor que el número de elementos de . Esto se puede expresar mediante la cardinalidad de un conjunto como sigue ) ), donde ) es el número de elementos del conjunto en este caso. Al dividir todo entre el número de elementos del espacio muestral queda: )

BLOQUE 1

)

)

)

)

o

)

.

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En palabras esto significa que la probabilidad de cualquier evento es un número entre 0 y 1, inclusive. Si el evento es imposible (no puede suceder), entonces el número de elementos de ese conjunto debe ser 0 ( es el ) conjunto nulo o vacío), por lo tanto Por otro lado, si un evento es seguro (es inevitable que ocurra), entonces el número de elementos de es igual al número de elementos del espacio muestral, por lo que: )

)

)

)

.

Estas propiedades se resumen a continuación: Sea

un evento en el espacio muestral , esto es, es un subconjunto de . Entonces: 1. 2. 3.

) ) )

. La probabilidad de cualquier evento es un número entre 0 y 1, inclusive. . La probabilidad de un evento imposible es cero. . La probabilidad de un evento seguro es uno.

Ejemplo 6. En el lanzamiento de un dado regular (sin truco) determina la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: Para cada caso se obtiene primeramente el espacio muestral, para luego marcar dentro de este los casos favorables del evento simple en cuestión: a)

Obtener el número 2.

{

} )

b)

Obtener un número distinto de 2.

{

} )

c)

Obtener el número 7.

.

{ )

d)

.

Obtener un número menor que 7.

} .

{

} )

.

Observa que los incisos c) y d) del ejemplo anterior ilustran las propiedades 2 y 3 respectivamente. Observa también que los eventos en los incisos a) y b) son complemento uno del otro y que sus probabilidades suman 1, lo cual es ) ) cierto para cualesquiera dos eventos complementarios; esto es, . Reagrupando términos, se puede escribir esta ecuación de dos formas equivalentes, de las cuales, la más útil se indica en la siguiente regla.

Regla del complemento de la probabilidad. La probabilidad de que un evento

ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que no ocurra. )

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)

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

El siguiente ejemplo ilustra la forma en que la regla del complemento permite calcular probabilidades de forma indirecta, cuando ello resulta más sencillo. Ejemplo 7. Cuando se toma una carta de una baraja inglesa estándar de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que la carta seleccionada sea distinta a un rey? Una baraja inglesa de 52 cartas tiene 4 palos: espadas negras, corazones rojos, diamantes rojos, tréboles negro. El As es el uno, la sota (J), la reina (Q) y el rey (K) son “cartas con figura”. Cada palo tiene 13 denominaciones As, 2, 3,…,9, 10, J, Q, K. Dependiendo del juego el As también es considerado como la última carta. Es más fácil contar las cartas que son reyes, que las que no son reyes. Sea tanto: ) ) . Donde es el evento tomar un rey.

el evento de no tomar un rey. Por lo

Ahora se considerarán ejemplos de eventos compuestos, recuerda que estos eventos se caracterizan por combinar eventos simples mediante conectivos lógicos como “o”, “y”, por mencionar algunos. En tu curso de probabilidad pasado se desarrolló la teoría de conjuntos, donde se vieron ejemplos de operaciones con conjuntos (unión, intersección) que en teoría de probabilidad equivale a eventos compuestos. En esta secuencia, el objetivo es calcular la probabilidad de estos eventos compuestos, por ejemplo: para los eventos simples y , se )o desea calcular ), recuerda que es el evento en el que ocurre por lo menos uno de los dos eventos simples. Eventos compuestos que incluyen el conectivo “o” Ejemplo 8. Se escoge un número de manera aleatoria del conjunto: {

}

Determina la probabilidad de que sea un número impar o múltiplo de 3. Primeramente se dará nombre a los eventos simples de la siguiente manera: que el número sea impar y elementos:

que el número sea múltiplo de 3. Se tienen entonces de cada evento los siguientes {

}

{

}

Distribuyendo los elementos de estos conjuntos en un diagrama de Venn quedan.

BLOQUE 1

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{ }. El El diagrama muestra la posición de los 10 elementos dentro del espacio muestral y se ve que evento compuesto corresponde al conjumto . Por lo tanto, mediante la fórmula de la probabilidad teórica, )

)

En general, no se puede tan sólo sumar probabilidades individuales de cada uno de los eventos simples que intervienen en el evento compuesto de la forma . Si se hubiera hecho así, en este ejemplo el resultado que se hubiera obtenido sería.

Lo cual es incorrecto ya que se estarían contando los resultados que están dentro de la intersección dos veces. Los enteros 3 y 9 son tanto números impares como múltiplos de 3. La regla correcta se establece de la siguiente forma. (Ya que los conectivos lógicos “o” e “y” corresponden a las operaciones de conjuntos (unión) e (intersección) respectivamente, se puede establecer dos versiones de esta regla). Regla general para la suma de probabilidades Si

y

son dos eventos cualesquiera, entonces: ) )

) )

) )

) )

Enseguida se muestra un ejemplo del uso de esta regla. Ejemplo 9. De los 20 programas de televisión que se presentarán esta noche, Paco planea ver uno que elegirá de forma aleatoria cerrando los ojos y seleccionando con el dedo el desplegado impreso de la programación televisiva. Si 8 de los programas son educativos, 9 son interesantes y 5 son educativos e interesantes, determina la probabilidad de que el programa que vea tenga por lo menos uno de estos atributos. Si que el programa sea educativo, que el programa sea interesante, que un programa tenga por lo menos uno de estos atributos significa: o que el programa es educativo o que es interesante. Así que se pide calcular la probabilidad de . Utilizando la regla general de la suma de probabilidades se tiene: ) Por otra parte

)

,

)

y

)

)

)

. Por lo que:

)

)

.

Ejemplo 10. Supóngase que se toma una carta de una baraja inglesa estándar de 52 cartas. Determina la probabilidad de que sea espada o roja. 18

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Recuerda, la baraja inglesa consta de 26 cartas rojas (diamantes y corazones) y 26 negras (espadas y tréboles), y hay 13 cartas por palo como se muestra en la figura.

Sea que la carta sea espada y que la carta sea roja, pero el evento de que la carta seleccionada sea espada y roja, no es posible que pueda suceder, ya que no existen cartas de espadas rojas (todas las espadas son negras). Por lo tanto, el tercer término de la fórmula para la suma será 0 (por la propiedad 2 de la probabilidad) por lo que puede omitirse. De ahí que:

)

.

En este ejemplo se vio que el evento sea “espada y roja” tiene probabilidad cero porque, al tomar sólo una carta no es posible que la espada y el color rojo salgan al mismo tiempo. De forma general, cuando dos eventos no pueden darse al mismo tiempo se dice que son mutuamente excluyentes. (En teoría de conjuntos recuerda que a dichos eventos se les denomina “ajenos” o “disjuntos”). Para cualesquiera dos eventos forma más sencilla.

mutuamente excluyentes, la regla de la suma de probabilidades adquiere una

Regla especial para la suma de probabilidades Si

y

son dos eventos mutuamente excluyentes en un experimento dado, entonces: ) )

) )

) )

A menudo es posible encontrarse con casos en los que necesitan considerarse composiciones de más de dos eventos. Cuando cada evento asociado es mutuamente excluyente de todos los demás, puede aplicarse una extensión de la regla especial de la suma. Ejemplo 11. Ana cree que existe una pequeña probabilidad de que pueda terminar su tarea en tan sólo una hora esta noche. De hecho, si representa el número de horas dedicadas a la tarea, entonces ella asigna probabilidades a los diferentes valores de , como se muestra en la siguiente tabla: ) 1 2 3 4 5 6 BLOQUE 1

0.05 0.10 0.20 0.40 0.10 0.15 19

(Se está suponiendo que el tiempo real necesario se redondeará a la hora más cercana y que no tomará menos de una hora ni más de 6. Los 6 períodos determinados son mutuamente excluyentes entre sí, ya que si Ana requiere de 3 horas para hacer su tarea, entonces no necesitará ni 2 horas, ni 4 horas, ni cualquiera de las otras opciones, para terminar su tarea). Determina la probabilidad de que Ana termine su tarea en cada uno de los siguientes períodos: a) Menos de 3 horas. “Menos de 3 horas” significa 1 o 2, esto se puede expresar con la siguiente desigualdad

) Por lo tanto

)

. b) Más de 2 horas. Utilizando una desigualdad como el caso anterior “más de 2 horas” se expresa sean 3 o 4 o 5 o 6 horas, por lo que: )

)

)

)

)

)significando esto que

) .

c) Más de una hora, pero no más de 5. Es decir estudiar 2 o 3 o 4 o 5, esto es

), por lo que )

Eventos compuestos que incluyen el conectivo “y” En el párrafo anterior se desarrollaron reglas para determinar la probabilidad de eventos de la forma . Básicamente se sumaron las probabilidades del evento y del evento , cuando los eventos son mutuamente excluyentes o ajenos, debiendo ajustar la fórmula restando la probabilidad del evento en aquellos casos donde los eventos no son mutuamente excluyentes. Ahora se considera, de manera general, cómo determinar la probabilidad de cualquier evento de la forma

.

Ejemplo 12. En una clase universitaria de ciencias hay 30 alumnos, de los cuales 5 estudian física, 15 matemáticas y 10 biología. De estos mismos, 22 son mujeres y el resto hombres. Si se escoge un estudiante al azar para pasar al pizarrón, ¿cuál sería la probabilidad de que este sea hombre y estudiante de matemáticas?

22 mujeres

5

Física

15

Matemáticas

10

5 15

8 hombres

10

Biología

Física Matemáticas Biología

De acuerdo al diagrama de árbol, la tarea consta de dos etapas. Primero se calculará la probabilidad del evento que sea hombre. Para esto se sabe que son 30 alumnos (casos posibles) y que de ellos 22 son mujeres, por lo que 8 son hombres (casos favorables). Por medio de la fórmula de probabilidad teórica se tiene: )

20

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Ahora se calculará la probabilidad del evento ser estudiante de matemáticas. Recuerda que 30 son los casos posibles, y que de estos, 15 estudian matemáticas (casos favorables). Así se tiene que: ) La probabilidad de que ambos eventos ocurran simultáneamente, será el producto de las probabilidades de cada suceso. Es decir: )

(

)( )

Ejemplo 13. Si se elige un número de manera aleatoria del conjunto { de que el número seleccionado sea par y múltiplo de 3.

} determine la probabilidad

El espacio muestral para este caso es todo el conjunto proporcionado { Sea

que el número sea par y

que el número sea múltiplo de 3, entonces: {

El evento compuesto probabilidad teórica,

},

}

{

corresponde al conjunto (

) )

} { }. Por lo tanto por medio de la fórmula de

.

La fórmula general de probabilidad del evento , que se verá más adelante, exigirá que se multipliquen las probabilidades individuales del evento . Pero, como se muestra en el ejemplo 13, eso debe hacerse con ) ) precaución. Aunque y , al multiplicar simplemente estos dos números se hubiera obtenido . Lo cual es incorrecto; el procedimiento correcto es calcular la probabilidad del segundo evento bajo la suposición de que ha ocurrido el primer evento (o está ocurriendo u ocurrirá, pues el tiempo carece aquí de importancia). Este tipo de probabilidad, calculada bajo alguna suposición especial, se conoce como probabilidad condicional, que se estudiará en el siguiente bloque.

BLOQUE 1

21

Actividad: 2 En equipo resuelvan los siguientes problemas. 1.

2.

Se considera el tipo de secadora de ropa (de gas o eléctrica) comprada por cinco clientes de una tienda. Si la probabilidad de que a lo más uno compre secadora eléctrica es de 0.087. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 compren secadora eléctrica?

El evento 𝐴 es que el próximo préstamo de una biblioteca sea un libro que no es de ficción y 𝐵 que sea de ficción. Supongamos que 𝑃 𝐴) y 𝑃 𝐵) . a) Calcula 𝑃 𝐴𝑐 )

b) Calcula 𝑃 𝐴 𝑜 𝐵)

3.

Las tres opciones preferidas en cierto automóvil nuevo son:  Transmisión automática 𝐴)  Dirección hidráulica 𝐵)  Seis cilindros 𝐶)

Se sabe que: el 70% de los compradores piden 𝐴; el 80% pide el tipo 𝐵, 75% piden 𝐶; 85% piden 𝐴 𝑜 𝐵; 90% 𝐵 𝑜 𝐶; 98% piden 𝐴 𝑜 𝐵 𝑜 𝐶. a) Elabora un diagrama de Venn Euler para representar los tres eventos.

22

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Actividad: 2 (continuación) b) Determina la probabilidad de que un comprador elija al menos una de las tres opciones.

c) Determina la probabilidad de que un comprador no seleccione ninguna de las tres opciones.

4.

La madrina de recuerdos de una boda ha comprado dos tipos de arreglos: 50 velas y 50 centros de mesa para los invitados, ¿cuál es la probabilidad de que a un invitado le toque recuerdo de vela o centro de mesa, si es que llegaron 150 invitados y a cada uno sólo le obsequian un recuerdo?

5.

Si se lanzan 2 veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 sellos?

Actividad: 2 Conceptual Reconoce las propiedades y reglas de la probabilidad. Autoevaluación

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Calcula la probabilidad de eventos Aporta ideas y respeta las simples y compuestos mediante aportaciones de sus las propiedades y reglas de la compañeros. probabilidad. C MC NC Calificación otorgada por el docente

Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios para que consultes y dispongas de información de interés: http://www.wiris.net/planetamatematico.com/whiteboard/es/index-sta.htm http://www.youtube.com/watch?v=_vSG858zfNI http://www.youtube.com/watch?v=Wq-MeZLKi2k http://www.youtube.com/watch?v=wPmi1pcoDq8 http://www.youtube.com/watch?v=Wq-MeZLKi2k&playnext=1&list=PL03A6D9A990D7F560 http://www.youtube.com/watch?v=-5EG28z2E08 http://www.youtube.com/watch?v=_vSG858zfNI&feature=fvsr

BLOQUE 1

23

Cierre





Actividad: 3 Resuelve los siguientes problemas. 1. En el último año las compañías de teléfonos han hecho grandes esfuerzos para atraer nuevos clientes. Supón que en una muestra de 400 familias una compañía telefónica obtuvo información sobre el interés de planes de larga distancia y sobre las necesidades semanales de realizar llamadas de larga distancia internacional. Los datos de esta encuesta se presentan en la siguiente tabla. Adherido a algún plan de larga distancia Necesidad de llamar semanalmente al exterior

Total

Si No

Si 120 30

No 120 130

240 160

TOTAL

150

250

400

A partir de la información de la tabla: a) Proporciona un ejemplo de evento simple y determina su probabilidad

b) ¿Cuál es el evento complemento de tener necesidad de llamar semanalmente al exterior?, ¿qué probabilidad tiene?

Si se selecciona una familia de las encuestadas al azar: c) ¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga necesidad de llamar al exterior y esté adherida a un plan de larga distancia?

24

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Actividad: 3 (continuación) d) ¿Cuál es la probabilidad que la familia seleccionada no se haya adherido a ningún plan de larga distancia?

e) Di si los eventos 𝐴 ∶ Está adherido a un plan de larga distancia y 𝐵 Tiene necesidad de llamar al exterior semanalmente, son mutuamente excluyentes. Justifica tu respuesta.

2. De 46 alumnos de un grupo, 18 juegan futbol, 16 juegan beisbol y 14 volibol. 2 alumnos juegas los 3 deportes 3 alumnos juegan futbol y beisbol 2 alumnos juegan futbol y voleibol 3 alumnos juegan beisbol y voleibol Elabora un diagrama de Venn Euler. Si escogemos al azar un alumno: ¿Cuál es la probabilidad de que…: a) juegue futbol o beisbol?

b) juegue volibol?

c) no juegue volibol?

d) practique los tres deportes?

e) juegue futbol o volibol?

f)

no juegue volibol o beisbol?

3.

Simultáneamente se arrojan un dado y una moneda. Escribe el espacio muestral y contesta a las siguientes preguntas. a) Las parejas resultantes son: b) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un 4?

BLOQUE 1

25

Actividad: 3 (continuación)

                                                                                                     

c) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un sello?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que caigan 4 y un sello?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que caigan una cara y un 5?

4.

Un cubo de madera se pinta de blanco y lego se separa en cubitos (como indica la figura) Si se escoge uno de estos cubitos al azar, ¿qué probabilidad hay de que…:

a) tenga 6 caras blancas?

b) tenga 3 caras blancas?

c) tenga una cara blanca?

d) no tenga caras blancas?

e) no tenga ninguna cara blanca?

                    

26

Actividad: 3 Conceptual Comprende las propiedades y reglas de la probabilidad, tanto en eventos simples como en compuestos. Autoevaluación

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Aplica propiedades y reglas de probabilidad para calcular la probabilidad de eventos. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Realiza la actividad mostrando interés en la misma, externando sus ideas.

Calificación otorgada por el docente

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Secuencia didáctica 2. Principio fundamental de conteo. Inicio



Actividad: 1 Desarrolla lo que se solicita. 1.

Considera un club con cinco miembros: Andrea, Beto, Carla, Daniel y Eva, para abreviar usaremos las letras 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 (suponiendo que todos los miembros son elegibles).

a) Elabora una lista de las diferentes formas de elegir estos tres puestos. Presidente, secretario, tesorero _________,________,_______ _________,________,_______ _________,________,_______ _________,________,_______ _________,________,_______ _________,________,_______ b) Si se eligen dos personas como representantes del Club, en la presentación de una conferencia, ¿de cuántas y cuáles formas se pueden elegir? Utiliza la siguiente tabla como apoyo para la selección. A:Andrea

B:Beto

C:Carla

D:Daniel

E:Eva

A:Andrea B:Beto C:Carla D:Daniel E:Eva 2.

Escribe en la tabla todos los números de dos dígitos que se pueden escribir con los números {

}.

2do. dígito

1er. dígito

1

2

3

1 2 3

BLOQUE 1

27

Actividad: 1 (continuación) 3.

4.

En una tabla escribe todos los posibles resultados que se obtienen cuando se lanzan dos dados comunes.

A: Andy, B: Betty, C: Clau y D: Dany, tienen boletos para cuatro asientos reservados en primera fila para un concierto de rock. Escribe 3 maneras diferentes en las que pueden sentarse, de modo que Andy y Betty estén juntos. _________,________,_______,__________ _________,________,_______,__________ _________,________,_______,__________

5.

¿Cuántos triángulos comprende la figura? Comenta con tus compañeros la forma de conteo que utilizaste para obtener la respuesta.

________ triángulos.

28

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Actividad: 1 (continuación) 6. En un restaurante se prepara un menú que consta de 3 sopas (tortillas, verduras y fideos), 2 guisados (estofado y pescado) y 3 sabores de helado como postre (nuez, chocolate y queso). Apoyándote del esquema, escribe 5 formas diferentes en las que puedes combinar los platillos del menú.

_________,________,_______ _________,________,_______ _________,________,_______ _________,________,_______ _________,________,_______

Actividad: 1 Conceptual Identifica diferentes formas de conteo. Autoevaluación

BLOQUE 1

Evaluación Producto: Esquemas. Saberes Procedimental

Puntaje: Actitudinal

Construye los posibles resultados de un proceso de conteo. C

MC

NC

Muestra interés y apertura en el desarrollo de la actividad.

Calificación otorgada por el docente

29

Desarrollo Conteo mediante una lista sistemática. En esta secuencia se tratarán las cuestiones elementales de teoría combinatoria, que puede definirse como la parte de la Matemática que se dedica al estudio de los problemas relativos al cálculo del número de formas diferentes en que pueden agruparse una cantidad dada de objetos que poseen características determinadas cuando se toman todos o algunos de los elementos de un conjunto finito. Los elementos del conjunto pueden ser de cualquier naturaleza: números, personas, objetos, empresas, artículos producidos por una fábrica, entre otros. La teoría combinatoria estudia especialmente el número de agrupaciones que se pueden obtener bajo algún modo de composición de los elementos, teniendo en cuenta las relaciones que deben existir entre ellos. Para ello, distingue básicamente tres diferentes formas que hay para llevar a cabo estos agrupamientos: Permutaciones y Combinaciones. Para calcular probabilidades, es necesario determinar la cantidad de elementos de un conjunto dado, o la cantidad de elementos del conjunto integrado por las agrupaciones que se pueden formar tomando algunos de los elementos. A menudo, la tarea de contarlos uno a uno resulta tediosa, sin embargo, para poder contar resulta de mucha utilidad el llamado Principio fundamental de conteo y los aportes realizados por la teoría combinatoria. Todos los métodos de conteo que se estudiarán en esta secuencia implican proponer una lista real de los posibles resultados para una determinada tarea. Este enfoque sólo es práctico para listas pequeñas. Hay otros métodos desarrollados que permitirán determinar “cuántas” son las posibilidades sin realmente listarlas todas. Cuando se listan todos los posibles resultados, es muy importante emplear un método sistemático. Si sólo enlistas las posibilidades conforme se te van ocurriendo, es muy probable que se te olvide nombrar algunas. Ejemplo 1. Determina cuáles y cuántos números de 2 dígitos se pueden formar con los números{

}.

1er. dígito

Esta tarea consta de dos etapas: seleccionar un primer dígito, luego elegir el segundo. Los resultados pueden representarse en una tabla de la siguiente manera:

1 3 5 7

2do. dígito 1 3 11 13 31 33 51 53 71 73

5 15 35 55 75

7 17 37 57 77

Observa que la lista de posibles resultados de la tabla son: 11,13, 15, 17, 31, 33, 35,37, 51, 53, 55, 57, 71, 73, 75, 77. Existen 16 posibilidades. Como ves, sistemáticamente se han considerado todos los posibles resultados sin olvidar ninguno de ellos. Cuando una tarea consta de más de dos etapas, no es fácil analizarla mediante una tabla, ya que necesitarías una tabla de más de dos dimensiones, que es difícil de construir en una hoja del cuaderno. Otra herramienta útil es el diagrama de árbol, como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 2. La impresora de la computadora de una oficina permite configuraciones especiales con un panel de cuatro conmutadores en hilera. ¿Cuántas configuraciones diferentes pueden seleccionarse, si ningún par de conmutadores adyacentes puede estar apagado al mismo tiempo?

30

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Esta situación es característica de opciones seleccionadas por el usuario de diferentes dispositivos, como son los equipos de computación, los mecanismos para abrir una puerta de cochera y otros equipos. En el diagrama de árbol se representa el “encendido” con el número 1, y “apagado” con el 0 (una práctica común).

1er. Conmutador

3er. Conmutador

2do. Conmutador

Configuración 4to. de los Conmutador conmutadores

1 0 1 0 1 1 0 1

0 0

1

1

0

1

1

0

1

1

0101 0110 0111 1010 1011 1101 1110 1111

Observa que cada vez que un conmutador indica que está apagado (0) en el diagrama de árbol, el siguiente conmutador sólo puede estar encendido (1). Esto es para satisfacer la restricción de que ningún par de conmutadores adyacentes puede estar al mismo tiempo apagado. Por tanto, son 8 las configuraciones diferentes que pueden seleccionarse. Ejemplo 3: Una familia desea adquirir una vivienda en cierta zona de la ciudad, y se le presentan las siguientes posibilidades: casa o apartamento. A su vez, cada una puede ser de 1, 2 o 3 dormitorios. ¿Cuántos tipos posibles de vivienda tiene a disposición? El diagrama de árbol facilitará el listado de los posibles resultados. 1 Dormitorio 2 Dormitorios

Casa

3 Dormitorios 1 Dormitorio 2 Dormitorios

Apartamento

3 Dormitorios Existen dos etapas para esta tarea; se tienen 2 opciones para la primer etapa (casa o apartamento) y 3 opciones para la segunda (número de dormitorios). Por lo que son 6 los posibles tipos de vivienda que la familia tiene a disposición. Ejemplo 4. ¿Cuántos triángulos comprende la figura? F

G

E

I H

A

BLOQUE 1

D

B

C

31

Un método sistemático es marcar los puntos, como se muestra en la figura, iniciando con A, luego proceder en orden alfabético para escribir todas las combinaciones de tres letras y, finalmente, tachar las que no son triángulos en la figura.

Por último en la figura hay 16 triángulos diferentes ¿Por qué no están incluidas las ternas en la lista?

y

(y muchas otras)

Otro método podría ser identificar primero los triángulos que constan cada uno de una sola región: . Luego, listar los que constan de dos regiones cada uno: ;y los de cuatro regiones cada uno: . No hay triángulos de tres regiones. El total es nuevamente 16 triángulos. Observa en todos estos ejemplos que utilizar un sistema definido asegurará una lista completa de todos los posibles resultados para varias tareas. Sin embargo, si el número total de posibles resultados es todo lo que necesitas saber, entonces no es necesario elaborar una lista, ya que con frecuencia es muy tedioso y díficil obtenerla, en especial cuando la lista es larga, como es el caso del ejemplo 3. Enseguida, verás formas de calcular “cuántos” por medio del principio fundamental de conteo.

Actividad: 2 En equipos de cuatro, desarrollen lo que se solicita. 1. De todos los posibles resultados del lanzamiento de dos dados, escriban las parejas de números para los que la suma (de los puntos de la cara de ambos dados) sea la siguiente: Suma

Resultados

2 8 Par Entre 6 y 10 De 6 a 8 Menor que 5 Impar 7 2. Elaboren una tabla donde escriban todos los posibles números de 2 dígitos que se pueden formar con el } suponiendo que: conjunto de números { a) Se permite repetir los dígitos.

32

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Actividad: 2 (continuación) b) No se permite repetir los dígitos.

3.

De los treinta y seis números de la tabla del problema 2, listen los que pertenecen a cada una de las siguientes categorías. a) Números impares. b) Números primos. c) Números con dígitos repetidos. d) Potencias de dos. e) Múltiplos de 6. f)

Números cuadrados.

4.

Elaboren un diagrama de árbol donde se muestren todos los resultados posibles cuando se lanzan tres monedas. Luego listen los resultados:

a) Al menos dos caras. b) Menos de dos caras.

c) Más de dos caras.

d) No más de dos caras.

BLOQUE 1

33

Actividad: 2 (continuación) 5. En el patrón que se observa abajo, los puntos están a una unidad de distancia, tanto horizontal como vertical. Si un segmento puede unir dos puntos cualesquiera, ¿cuántos segmentos pueden dibujarse con cada una de las longitudes siguientes? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 ∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

________, _________, __________, ____________, _________ 6.

Un panel que contiene seguidos tres interruptores de encendido y apagado está por activarse. Suponiendo que no hay restricciones para los interruptores elaboren un diagrama de árbol para listar todas las posibles activaciones del panel.

7.

Cuando se lanzan dos dados se tienen 36 resultados diferentes, ¿cuántos habrá si se tiran tres dados?

Actividad: 2 Conceptual Identifica diferentes formas de conteo.

Autoevaluación

34

Evaluación Producto: Listas sistemáticas de conteo Saberes Procedimental Representa sistemáticamente los posibles resultados de un proceso de conteo. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia la facilidad de la sistematización en el conteo. Es respetuoso con sus compañeros y aporta ideas en la resolución de la actividad.

Calificación otorgada por el docente

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Principio fundamental de conteo. El principio fundamental de conteo también conocido como regla de la multiplicación se puede utilizar para determinar los posibles resultados cuando una tarea consta de varias etapas, esto es, que hay dos o más características que pueden variar. Este principio establece que todos los posibles resultados en una situación dada se pueden encontrar multiplicando el número de formas en la que puede suceder cada evento. Principio fundamental de conteo Cuando una tarea consiste en 𝑘 etapas separadas, si la primera puede realizarse en 𝑛 formas, la segunda en 𝑛 formas, etc., hasta la 𝑘 é𝑠𝑖𝑚𝑎 etapa, que puede hacerse de 𝑛𝑘 formas, entonces el número total de resultados posibles para completar la tarea está dado por el producto 𝑛 𝑛 𝑛 ⋯ 𝑛𝑘

Ejemplo 1. ¿Cuántos números de dos dígitos hay en nuestro sistema (base diez) de números naturales? La “tarea” es seleccionar, o diseñar, un número de dos dígitos. Esta labor consta de dos partes o etapas. Primera etapa: Seleccionar el primer dígito. Aunque 80 es un número de dos dígitos, 08 no lo es; por lo que hay nueve formas de seleccionar el primer dígito (de 1 a 9). Segunda etapa: Seleccionar el segundo dígito. Como ya se mencionó, el cero es posible para esta etapa; de aquí que haya 10 formas de seleccionar el segundo dígito (de 0 a 9). Por lo tanto, el número total de posibilidades es

.

En este ejemplo, el segundo dígito podría haberse elegido primero, con diez opciones posibles. Luego, hay nueve opciones para el primer dígito. Nuevamente, el total es . Ejemplo 2. ¿Cuántos números de dos dígitos no contienen dígitos repetidos? (por ejemplo 66 no se permite). La tarea básica, de nuevo, es seleccionar un número de dos dígitos y hay dos etapas o partes para hacerlo. Primera etapa: Elegir el primer dígito. Como el número debe estar formado por dos dígitos, no se considera el cero para esta etapa, ya que, 01, 02, 03, en realidad son números de un dígito. Por lo tanto hay nueve opciones posibles para el primer dígito (de 1 a 9). Segunda etapa: Elegir el segundo dígito. La restricción del número de dos dígitos es que estos no se repitan, por lo tanto, se debe de descartar el dígito seleccionado en la primera etapa, esto daría como resultado 8 opciones, pero se debe considerar el 0 como una opción para el segundo dígito, ya que si tiene sentido hablar de 20, 30, 40 como números de dos dígitos por ejemplo. Luego quedan nueve opciones para el segundo dígito. Por lo que el número total de posibilidades de elegir un números de dos cifras de las cuales estas no se repitan es .

BLOQUE 1

35

Si se hubiera empezado por el segundo dígito en el ejemplo 2, como en el caso anterior, se habrían tenido problemas, porque después de observar que existen 10 opciones para el segundo dígito, no sería posible decidir el número de opciones para el primer dígito, ya que no hay manera de saber si el segundo dígito fue cero u otro distinto de cero. Para evitar esta clase de ambigüedades, es mejor empezar por cualquier parte de la tarea que tenga alguna restricción especial. En ambos ejemplos el primer dígito está restringido a que no puede ser cero, así que considéralo primero. Ejemplo 3. ¿De cuántas maneras puede un grupo escolar elegir de entre 5 candidatos, 3 mujeres y 2 hombres, a su presidente, secretario y tesorero, si el secretario debe ser hombre? Como la restricción especial se aplica al secretario, considera primero ese cargo. Hay dos opciones, luego quedan cuatro opciones para presidente (las tres mujeres junto con el hombre que no quedó como secretario). Por último hay tres opciones para tesorero (las tres personas que hasta el momento no han sido elegidas para un cargo). El número total de formas es . Ejemplo 4. ¿Cuántos números de cuatro dígitos hay en nuestro sistema de números de conteo (naturales)? La tarea de seleccionar un número de cuatro dígitos se compone de cuatro etapas. No hay restricción asociada, salvo que el primer dígito debe ser distinto de cero. Por lo que hay posibles números de cuatro dígitos. Ejemplo 5. La numeración de las placas de matrícula para carros particulares en México, se compone de 3 letras seguidas de 4 dígitos. ¿Cuántas placas diferentes son posibles, antes que sea necesario un nuevo esquema? La tarea básica es diseñar una numeración que conste de tres letras seguidas por tres dígitos. Hay seis partes o etapas que componen esta tarea. Como no hay restricciones sobre las letras o los dígitos que se utilizarán, considerando que el alfabeto tiene 26 letras, el principio fundamental de conteo muestra que existen. placas.

Actividad: 3 Mediante el principio fundamental de conteo resuelve lo siguiente: 1. Explica con tus propias palabras el principio fundamental de conteo. __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ 2.

36

Un panel que contiene seguidos tres interruptores de encendido y apagado está por activarse. Suponiendo que no hay limitaciones para los interruptores, utiliza el principio fundamental de conteo para determinar el número total de posibles activaciones.

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Actividad: 3 (continuación) 3. Suponiendo que no hay restricciones, elabora un diagrama de árbol para listar todas las posibles activaciones del panel del problema 2.

4. Del problema 2, considera que ningún par de conmutadores adyacentes puede estar apagado. Puedes usar el principio fundamental de conteo para determinar el número total de posibles activaciones. Argumenta tu respuesta. _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 5. Construye un diagrama de árbol para listar todas las posibles activaciones del panel con la restricción del problema 4.

6. El club de porristas formado por los siguientes elementos {𝐴𝑛𝑑𝑟é𝑠 𝐵𝑒𝑡𝑜 𝐶𝑎𝑡 𝑦 𝐷𝑎𝑣𝑖𝑑 𝐸𝑚𝑚𝑎}, se está preparando para una presentación en su escuela. a) ¿De cuántas maneras pueden alinearse en una fila los cinco miembros para una fotografía?

b) ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse dos miembros uno para iniciar la presentación y otro para clausurarla, dado que Beto no estará presente?

c) ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse un hombre y una mujer para que hagan la decoración del escenario?

BLOQUE 1

37

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental

Actividad: 3 Conceptual Comprende el principio fundamental de conteo en la solución de problemas cotidianos.

Utiliza el principio fundamental de conteo para solucionar problemas cotidianos. C

Autoevaluación

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Se interesa en el análisis de los problemas.

Calificación otorgada por el docente

Factoriales. La cantidad de números de cuatro dígitos diferentes que se pueden formar puedes calcularla como sigue . Como este tipo de producto aparece con mucha frecuencia en las aplicaciones, se le conoce con un nombre y un símbolo. Fórmula de factorial Para cualquier número natural (número de conteo) 𝑛, el producto de todos los números naturales de 𝑛 a 1, se denomina 𝒏 factorial, se denota con 𝑛 y está dada por: ) ) ) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 .

Por ejemplo evalúa el factorial de las siguientes cantidades:

a) b)

)

)

)

1.

)

c) ( ) d) e)

. ⋯

Observa las diferencias entre los incisos c) y e) y entre los incisos b) y d) anteriores. Con el fin de que el factorial sea definido para todos los números naturales, incluido el cero, se define el cero factorial de la siguiente manera.

Más adelante te darás cuenta que esta definición especial hace que otros resultados sean más fáciles de expresar. Siempre que necesites conocer el número total de formas de ordenar o acomodar un número de objetos distintos, puedes utilizar un factorial, el principio fundamental de conteo lo hace, como ya lo vimos con anterioridad, pero los factoriales proporcionan una forma más corta.

38

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Ordenamiento de 𝒏 objetos El número total de formas diferentes para acomodar 𝑛 objetos es : 𝑛 Ejemplo 1. Emilia tiene nueve trabajos que incluir en su portafolio de evidencia en la asignatura de química. ¿De cuántas formas diferentes puede acomodarlos? Si el portafolio tuviera secciones como folders, para acomodar el primer trabajo, Emilia tendría nueve posibles lugares donde acomodarlo; para el segundo trabajo tendría ocho posibles lugares, puesto que el primero ya ocupa un lugar, para el tercero tendría siete posibles lugares, y así sucesivamente hasta acomodar el último trabajo que sólo tendría una opción de acomodo. Por lo que el número de formas de acomodar nueve objetos distintos es. . Ejemplo 2. Cada vez que Ana, bibliotecaria de una escuela, tiene que acomodar las nuevas adquisiciones de libros, lo hace de tal manera que todos los libros de la misma asignatura queden juntos. Si le llegaron 12 libros de Álgebra de distintas editoriales, ¿de cuántas maneras diferentes puede acomodarlos? Doce libros de Álgebra pueden acomodarse entonces de: .maneras diferentes. Si compruebas este resultado con el principio fundamental de conteo, te darás cuenta que, para acomodar el primer libro tiene 12 maneras distintas de hacerlo, luego para acomodar el segundo libro tiene 11 maneras de hacerlo puesto que el primer libro ya ocupó un lugar, para el tercer libro entonces, tiene 10 maneras de colocarlo, siguiendo este proceso, al colocar el último libro, éste tendrá sólo una manera de ser colocado, por lo que las maneras diferentes de acomodar los 12 libros de álgebra puede ser expresada por el producto: . Para facilitar la tarea de cálculo del factorial de un número, las máquinas calculadoras cuentan con una tecla que te proporciona el resultado directo. La función o , dependiendo del modelo, se activa presionando la tecla de segunda función (que en algunas máquinas es la tecla SHIFT, 2nd F o INV). Así, para calcular tienes que presionar primero el número, después la tecla de factorial previamente activada con SHIFT.

BLOQUE 1

39

Actividad: 4 Contesta a los siguientes cuestionamientos. 1. Describe de qué manera conviene usar el factorial en problemas de conteo. _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 2. Explica si los siguientes resultados son o no verdaderos, en general, y justifica tu respuesta con ejemplos específicos. a) 𝑚 𝑛) 𝑚 𝑛

b) 𝑚 ∙ 𝑛)

𝑚 ∙𝑛

3. Sin utilizar calculadora evalúa las siguientes expresiones. a)

b)

− )

c)

d)

e)

40

− )

− )

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Actividad: 4 (continuación) 4.

Emma tiene siete ensayos que incluir en su carpeta de Inglés ¿De cuántas formas diferentes puede acomodarlos?

5.

Cada vez que Laura lleva al parque a los nueve niños que tiene a su cuidado, todos ellos quieren estar siempre al frente de la fila. ¿De cuántas maneras diferentes puede acomodarlos?

Actividad: 4 Conceptual Reconoce y describe la utilidad del factorial.

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental

Puntaje: Actitudinal

Aplica la definición de factorial para obtenerlo.

Autoevaluación

C

MC

NC

Realiza el ejercicio con limpieza y claridad.

Calificación otorgada por el docente

Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios para que consultes e interactúes, calculando el número de formas en las que se pueden agrupar un número de objetos. http://www.amolasmates.es/flash/combinatoria/mod_4publish/ http://www.aaamatematicas.com/sta-basic-cntg.htm

BLOQUE 1

41

Cierre Actividad: 5 Resuelve los siguientes problemas. 1. El código postal de Nicasio Mendoza es 83120. ¿Cuántos códigos postales de cinco dígitos en total pueden formarse utilizando todos los dígitos del código postal de Nicasio?

2.

El restaurante La Casa Loma ofrece cuatro opciones en la categoría de sopa y ensalada (dos sopas y dos ensaladas), dos opciones en la categoría de pan, y tres opciones en la categoría de platillo fuerte. Determina el número de comidas disponibles en cada uno de los siguientes casos: a) Se debe incluir un elemento de cada una de las tres categorías.

b) Sólo se incluirá una sopa y un platillo fuerte.

c) Sólo se incluirá una sopa, un pan y una ensalada.

3.

Un distribuidor de equipo musical tiene diez guitarras diferentes, cuatro estuches para guitarra, seis amplificadores y tres procesadores de efectos, con todos los artículos compatibles y todos adecuados para principiantes. ¿Cuántos equipos completos puede Leo seleccionar para iniciar su carrera musical?

4.

Jorge guarda cuatro libros de texto y tres novelas en su escritorio. ¿De cuántas maneras diferentes los puede acomodar en una hilera? si: a) Los libros de texto deben estar a la izquierda de las novelas.

b) Las novelas deben ir juntas.

c) Ningún par de novelas debe estar junto. 5.

Andy (A), Betty (B), Claudia (C), David (D), Emma (E) y Fernando (F) tenían reservados seis lugares en la fila de un teatro, iniciando en un asiento de pasillo. a) Si A se sentó primero, ¿cuántos asientos están disponibles para él?

b) Ahora, ¿cuántos asientos están disponibles para B?

c) Ahora, ¿cuántos para C?

42

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Actividad: 5 (continuación) d) Ahora, ¿cuántos para D?

e) Ahora, ¿cuántos para E?

f)

Ahora, ¿cuántos para F?

g) Ahora multiplica las seis respuestas anteriores. 6.

¿De cuántas formas pueden sentarse de modo que Andy y Betty estén juntos? Apóyate de siguiente esquema, primero da respuesta a la siguiente serie de preguntas. 1 X — — — —

2 X X — — —

3 — X X — —

4 — — X X —

5 — — — X X

6 — — — — X

a) ¿Cuántos pares de asientos pueden ocupar A y B?

b) Ahora, dados los dos asientos para A y B, ¿en cuántos órdenes pueden sentarse ellos?

c) Ahora, ¿cuántos asientos están disponibles para C?

d) ¿Cuántos para C?

e) ¿Cuántos para D?

f)

¿Cuántos para E?

g) ¿Cuántos para F?

BLOQUE 1

43

Actividad: 5 (continuación) 7. Rodrigo es estudiante de Ciencias en Computación, está preparando su calendario de clases del próximo semestre, que debe incluir una clase de cada una de las cuatro categorías que se muestran aquí.

Categoría

Inscripción en universidades locales, 2005. Opciones Número de opciones

Inglés

Literatura contemporánea Redacción Poesía moderna

3

Matemáticas

Álgebra Trigonometría

2

Introducción a las hojas de cálculo Procesadores avanzados de texto Programación en C Programación en R

4

Problemas sociales Sociología de Latinoamérica La mujer en la cultura hispana Minorías étnicas

4

Ciencias de la computación

Sociología

Total

13

Origen: Datos ficticios, solamente a modo de ilustración. Utiliza la tabla para que determines el número de formas que tiene Rodrigo de elegir su horario, si: a) Todas las clases mostradas están disponibles. b) No puede tomar Álgebra ni Programación en R. c) Todas las secciones de Minorías étnicas y la mujer en la cultura hispana ya están llenas. d) No cumple con los requisitos previos para la literatura contemporánea y programación en C. e) Se retiraron los fondos para tres de los cursos de computación y para dos de los cursos de sociología.

Actividad: 5 Conceptual Distingue el uso del principio fundamental de conteo y factoriales en problemas de aplicación. Autoevaluación

44

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Aplica el principio fundamental de conteo en la resolución de problemas cotidianos. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Expresa sus dudas y corrige sus errores.

Calificación otorgada por el docente

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Secuencia didáctica 3. Teoría combinatoria. Inicio



Actividad: 1 Desarrolla lo que se solicita. 1. Simplifica las siguientes expresiones: ∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

∙

∙ ∙

∙

∙

∙

2. Evalúa cada expresión con ayuda de una calculadora.

a)

b)

− )

c)

d)

∙

BLOQUE 1

45

Actividad: 1 (continuación) 3.

4.

Melvin quiere comprar cuatro libros diferentes, supongamos A, B, C, y D, pero sólo se puede costear 2. Escribe en una lista las opciones de compra que Melvin puede hacer, y determina cuántas son.

El club de porristas formado por Andrea, Beto, Carla, Daniel y Elsa, quiere elegir a un presidente y a un secretario, ¿de cuántas maneras pueden ser elegidos si nadie puede ocupar más de un cargo?

5. ¿Cuántos comités diferentes de tres miembros pueden elegirse del club de porristas del problema 4 de modo que haya sólo una mujer en el comité?

6. Del conjunto formado por las letras {𝑎 𝑏 𝑐 𝑑}, elabora una lista de todas las permutaciones de tres elementos que se puedan formar. Anótalos en la siguiente tabla.

7. Del mismo conjunto del problema 1, lista ahora los subconjuntos de tres elementos que se pueden formar. Considerando que los subconjuntos 𝑎 𝑏 𝑐) 𝑎 𝑐 𝑏) 𝑏 𝑎 𝑐) por ejemplo, son el mismo.

46

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Actividad: 1 8.

Cuando se toma una carta de una baraja inglesa estándar de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que la carta seleccionada sea distinta a un rey?

Una baraja inglesa de 52 cartas tiene 4 palos: Espadas negras. Corazones rojos. Diamantes rojos. Tréboles negros. El As es el uno, la sota (J), la reina (Q) y el rey (K) son “cartas con figura”. Cada palo tiene 13 denominaciones As, 2, 3,…,9, 10, J, Q, K.

9. Lupita toma tres bolas, sin reemplazo, de la urna mostrada abajo. Determina la probabilidad de que las bolas que obtenga sean negra, blanca y gris, en ese orden (sabiendo que la urna contiene 3 bolas grises, 10 negras y 7 blancas).

10. Si se sacan cinco cartas, sin reemplazo, determina la probabilidad de que todas sean de corazones.

11. Elabora una lista de los comités diferentes de tres miembros que podrían designar el club formado por Andrea, Beto, Carla, Daniel y Elsa, de modo que haya sólo un hombre. _________,________,_______ _________,________,_______ _________,________,_______ _________,________,_______

Actividad: 1 Conceptual Identifica diferentes formas de conteo. Autoevaluación

BLOQUE 1

Evaluación Producto: Ejercicios y problemas Puntaje: aplicados. Saberes Procedimental Actitudinal Determina el número de posibles resultados mediante principio Muestra interés y apertura en el fundamental de conteo y desarrollo de la actividad. factoriales. C MC NC Calificación otorgada por el docente

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Desarrollo Permutaciones. En el bloque anterior viste el factorial como una manera de contar el número de ordenamientos o arreglos de un determinado conjunto de objetos. Refrescando un poco la memoria, un ordenamiento es el número total de formas diferentes para acomodar objetos, es decir, es el número total de arreglos o disposiciones diferentes que se pueden formar con objetos. Por ejemplo, el club integrado por Andrés, Beto Cathy, David y Emma puede acomodarse en } { } { } una fila para tomarse una fotografía, en formas diferentes. { { } son sólo 4 arreglos o disposiciones, escritos de manera abreviada, de los 120 que hay. Usar el factorial, por lo común es más eficaz que aplicar el principio fundamental de conteo. También has utilizado listas, diagramas de árbol, tablas y el principio fundamental de conteo para responder preguntas como: ¿de cuántas formas puede elegir el club a un presidente, un secretario y un tesorero, sin que nadie pueda ocupar más de un cargo? Una vez más, esto es cuestión de ordenamientos o arreglos. La diferencia es que sólo tres de los miembros, en lugar de los cinco, están incluidos en cada caso.

Observa, el club tiene 5 maneras de elegir al presidente, cualquiera de ellos podría ser, una vez elegido al presidente, ya que nadie puede ocupar más de un cargo, el club tiene 4 formas para elegir al secretario y 3 maneras de elegir al tesorero. Algunos arreglos o disposiciones de esta elección, considerando que la primera entrada corresponde al } { } { } { } cargo de presidente, la segunda al secretario y la tercera al tesorero, son: { { } { }. La respuesta, según el principio fundamental de conteo, es formas o arreglos diferentes de hacer la elección. Los factores empiezan con el 5 y continúan de manera decreciente, al igual que en un producto factorial, pero sin llegar a 1. (En este ejemplo, el producto se detiene cuando hay tres factores.) Otra forma de elaborar la misma pregunta es: ¿cuántos arreglos o disposiciones hay de cinco cosas tomadas de tres en tres? En el contexto de los problemas de conteo, con frecuencia los arreglos se conocen como permutaciones; el número de permutaciones de objetos distintos tomados en grupos de a la vez, se denota por ). Como el número de objetos que se acomodará no puede exceder el número total disponible, para este propósito se supone que . Al aplicar el teorema fundamental de conteo para arreglos de este tipo, se obtiene: )

)

)

[

)]

Al simplificar el último factor se obtiene la fórmula siguiente. Fórmula para las permutaciones El número de permutaciones o arreglos de 𝑛 objetos distintos tomados en grupos de 𝑘 a la vez, donde 𝑘 𝑛, está dada por: ) 𝑛 ) 𝑃𝑘𝑛 𝑛) 𝑛 𝑛 𝑘 ) Los factores de este producto empiezan de y descienden hasta que el número total de factoresque son . Esto se debe a que el primer lugar del grupo puede estar ocupado por uno cualquiera de los elementos, mientras el segundo lugar puede ser ocupado por cualquiera de los elementos que no están en el primer lugar, es decir, por uno ) elementos restantes, ya que los elementos deben ser diferentes. El tercer lugar puede estar ocupado de los por cualquiera de los elementos que no están ni en el primer lugar ni en el segundo, es decir por uno cualquiera de ) elementos restantes. Si se continúa el razonamiento, para ocupar el ) los é lugar se tendrán elementos posibles.

48

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Ahora, el número de formas en las que el club puede elegir a un presidente, un secretario y un tesorero puede denotarse por: ) ) ) ) ) ) ) Observa que en estos arreglos de objetos distintos tomados en grupos de a la vez, se cumple que:   

No entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos, es decir, que en cada grupo los

elementos son distintos.

Ejemplo 1. Evalúa cada permutación: a) b) c) d) e)

) ) ; Empieza en 4, disminuye hasta que haya dos factores. ) ) ; Empieza en 5, disminuye hasta que haya dos factores. ) ) ) ; Empieza en 7, disminuye hasta que haya tres factores. ) ) ) ) ) ; Empieza en 8, y utiliza cinco factores. ) ) ) ) ) ; Empieza en 5, y utiliza cinco factores.

Observa que

. Para todos los números enteros positivos se cumple que: . objetos distintos tomados todos a la vez).

(Esto es el número de posibles resultados de

En general las permutaciones también pueden relacionarse con los factoriales de la siguiente manera. Recuerda que: )

)

)

)

Al ampliar este producto hasta llegar a 1 se obtiene: )

)

)

Multiplicando la expresión de permutaciones

)

)

)

)

)

, por un uno conveniente como se observa a continuación:

)

)⋯

)

) )

Tenemos en la parte del numerador de manera completa el factorial de denominador se tiene el factorial de .

) Este cociente es igual a

) − )

)

) )

)⋯ )

) )⋯

) ) )

)⋯ )⋯

) )

, mientras que en la parte del

)⋯

) )

, y como se obtuvo multiplicando y dividiendo por la misma cantidad la expresión de

, por lo que debe ser igual a Esta fórmula siempre puede utilizarse para evaluar permutaciones.

BLOQUE 1

49

Fórmula factorial para las permutaciones El número de permutaciones o arreglos, de 𝑛 objetos distintos tomados en grupos de 𝑘 a la vez, donde 𝑘 𝑛, puede calcularse como: 𝑛 𝑃𝑘𝑛 𝑛 𝑘) Si y son muy grandes, una calculadora con una tecla para factorial y ésta fórmula ahorrarán mucho trabajo cuando se determinen permutaciones. O mejor aún, una calculadora con la tecla de cálculo directo para permutaciones. La fórmula anterior también muestra que cuando en , (o todos a la vez) se calcula:

). El número de permutaciones de

elementos tomados de

)

O también,

) En otras palabras, el número de objetos tomados en grupos de 0 a la vez, es 1. Esto es razonable, puesto que, hay una sola forma en que no se puede acomodar ninguno de los objetos. Ejemplo 2. Calcular las permutaciones de 6 elementos tomados de tres en tres. ) )

O bien,

Ejemplo 3. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: {

}?

Observa que se cumple inmediatamente que: No entran todos los elementos. De los 5 dígitos entran sólo 3. Sí importa el orden. Es decir, los números 123, 231, 321 son distintos entre sí. No se repiten los elementos. El enunciado pide que las cifras sean diferentes. Utilizando la fórmula de factorial para las permutaciones, se tiene que:

Por lo que la cantidad de números de tres cifras diferentes que se pueden formar son:

Ejemplo 4. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: { Del problema tienes que .

}?

Para dar respuesta al problema, se tratará la situación por partes. Se sabe que el número a formar se compone de tres dígitos, cdu, el primero de ellos es el dígito de las centenas, el segundo las decenas y el tercero las unidades. Si notas en el conjunto de dígitos a seleccionar se encuentra el 0; el número que se quiere formar de tres cifras diferentes, no puede comenzar por cero (excepto los de las matrículas, los de la lotería y otros casos particulares), lo que significa que el primer dígito de la cifra (las centenas) lo puede ocupar sólo uno de los 5 números . Así que las formas en que se puede elegir el primer dígito con , es: .

50

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

El segundo dígito del número de tres cifras, (las decenas) lo puede ocupar cualquier número del conjunto de dígitos, menos el que se ocupó en las centenas, ya que los dígitos no se pueden repetir. De esta manera, con las formas en las que se puede seleccionar este segundo dígito son: . Si te fijas, en el cálculo de esta última permutación van incluidas las formas en las que se puede seleccionar el dígito de las unidades, que son 4, ya que el factor 5 representa el número de formas en las que se puede seleccionar el dígito de las decenas. (Cabe mencionar que el 0 si puede ocupar el dígito de las decenas o el de unidades). En la expresión de las permutaciones , esta calcula la cantidad de números de dos dígitos, es decir, los números que se componen de decenas y unidades. Por lo que la cantidad de números de tres cifras que se pueden formar con los 6 dígitos, es: . Ejemplo 5. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas, entre ellas la obra de un novelista mexicano. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit (mención honorífica). a) ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en uno de los cuadros de honor, la novela mexicana resulte ganadora? a) De la información que proporciona el problema, 10 candidatos hacen que honor significa que .

y 3 conforman el cuadro de

No entran todos los elementos. De 10 candidatos entran sólo 3. Sí importa el orden. No es lo mismo quedar ganador que finalista. No se repiten los elementos. Se supone que cada candidato presenta una sola obra. cuadros de honor.

− )

b) Recuerda que la probabilidad de un evento se calcula dividiendo los casos favorables entre los casos totales. Así que de los 720 cuadros de honor que se pueden formar, en sólo 72 de ellos aparece el novelista mexicano como ganador. Ya que si el mexicano es ganador, la posición de finalista la puede ocupar cualquiera de los 9 candidatos que quedan, y la posición de accésit puede ser ocupada por cualquiera de los 8 candidatos que no han logrado una posición en el concurso. Por lo que la probabilidad de que en uno de los cuadros de honor, la novela mexicana resulte ganadora es: ) Ejemplo 6. De una caja que contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4 se extraen sucesivamente 2 sin reposición, es decir, sin devolverlas a la caja. a) ¿Cuántas extracciones diferentes pueden resultar si se supone que interesa el orden de extracción? . b) ¿Cuál es la probabilidad de que en las extracciones diferentes, se extraiga primero la bola 4? c) ¿Cuál es la probabilidad de que en las extracciones, la suma de los números de las bolas sea un número par? a)

Las diferentes posibilidades son todas las agrupaciones o arreglos de 2 bolas seleccionadas de las 4 que hay, es decir, todos los pares ordenados posibles: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) extracciones diferentes.

BLOQUE 1

51

b) De los pares ordenados posibles que han sido listados anteriormente, observa que solo en tres de ellos, aparece la bola 4 en primer lugar de extracción, de modo que, la probabilidad de que de los pares ordenados se extraiga primero la bola 4, es. ) c) De la misma manera, de los pares ordenados, observa que cuatro son los pares que sumados sus números dan un número par, por lo que la probabilidad que de las extracciones la suma de un número par, es. )

Actividad: 2 Mediante la fórmula de permutaciones resuelve lo siguiente: 1. Determina el número de permutaciones (arreglos) en cada uno de los siguientes ejercicios. a) 7 objetos tomados en grupos de 4 a la vez.

b) 12 objetos tomados en grupos de 3 a la vez.

c) 41 objetos tomados en grupos de 2 a la vez.

2. ¿Cuántas placas para carros de trabajo se pueden hacer, si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de 3 dígitos diferentes? Considera que el alfabeto tiene 26 letras.

3. Del problema anterior, ¿cuántas placas pueden hacerse si el primer dígito no puede ser cero?

4. Explica cómo están relacionados los factoriales con las permutaciones. _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________

52

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Actividad: 2 (continuación) 5.

En una carrera intervienen 3 nadadores: A, B y C. ¿Cuáles son los resultados posibles de la carrera y cuántos son?

6.

¿Cuántos números distintos de 5 dígitos, se pueden formar con los dígitos del conjunto {

}?

5. ¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con las letras de cada una de las palabras? a) Tema

b) Campana

c) Estadística

Actividad: 2 Conceptual Conoce las características de los arreglos a formar de un conjunto de objetos. Autoevaluación

BLOQUE 1

Evaluación Producto: Problemas aplicados. Saberes Procedimental Resuelve permutaciones mediante problemas aplicados. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia la facilidad de utilizar permutaciones en el conteo de arreglos.

Calificación otorgada por el docente

53

Combinaciones. Hasta aquí, has estudiado las permutaciones para evaluar el número de arreglos de objetos tomados en grupos de a la vez, en donde no se permiten las repeticiones. El orden de los elementos fue importante. Recuerda que el club formado por Andrea, Beto, Carla, Daniel y Elsa, podía elegir a 3 directivos de: ) )

formas diferentes.

Por otro lado, con comités de tres miembros el orden no es importante. Los comités ) y ) no son diferentes. El número posible de comités no es el número de arreglos de tamaño 3, sino que es en realidad, el número de subconjuntos de tamaño 3 (ya que el orden de los elementos que se listan en un conjunto no tiene importancia). Los subconjuntos en este nuevo contexto se denominan combinaciones. El número de combinaciones de objetos tomados en grupos de a la vez (esto es el número de subconjuntos de tamaño , dado un conjunto de tamaño ) se escribe ). La lista de todos los comités de tamaño 3 (subconjuntos) del club (conjunto) formado por {Andrea, Beto, Carla, Daniel y Elsa} es: { }{ }{ }{ }{ } { }{ }{ }{ }{ }. Hay 10 subconjuntos de 3 elementos, de modo que diez es el número posible de comités de 3 miembros. Lo mismo } no es un subconjunto válido de tres que con las permutaciones, las repeticiones no se permiten. Por ejemplo, { } no es un comité válido de tres miembros. elementos, al igual que { Para ver cómo encontrar el número de tales subconjuntos sin listarlos todos, observa que cada subconjunto (combinación) de tamaño 3 da origen a seis arreglos (permutaciones) de tamaño 3. Por ejemplo, con la combinación { } se obtienen las 6 permutaciones { } { }{ }{ }{ }{ }. Así, hay seis veces más permutaciones de tamaño 3, o desde otro punto de vista, hay un sexto más de combinaciones que de permutaciones. Por lo tanto, ∙ ∙ El 6 aparece en el denominador ya que existen seis formas diferentes de acomodar un conjunto de tres objetos (puesto que ∙ ∙ ). Generalizando de este ejemplo, objetos pueden acomodarse de formas diferentes, con lo que se obtiene la fórmula siguiente. Fórmula de las combinaciones El número de combinaciones o subconjuntos, de 𝑛 objetos distintos tomados en grupos de 𝑘 a la vez, donde 𝑘 𝑛, está dada por: 𝑃𝑘𝑛 𝑛 𝑛 ) 𝑛 ) 𝑛 𝑘 ) 𝐶𝑘𝑛 ) 𝑘 ) ) ) 𝑘 𝑘 𝑘 Con anterioridad viste que las permutaciones se pueden expresar completamente en términos de factoriales: )

Empleando esta fórmula, se obtiene: − )

)

54

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Fórmula factorial para las combinaciones El número de combinaciones o subconjuntos, de 𝑛 objetos distintos tomados en grupos de𝑘 a la vez, donde 𝑘 𝑛, puede calcularse como: 𝑃𝑘𝑛 𝑛 𝐶𝑘𝑛 𝑘 𝑘 𝑛 𝑘) Con este resultado, las combinaciones también pueden calcularse mediante factoriales. Empleando esta fórmula y considerando el hecho de que , para cualquier número entero positivo : − )

∙

.

Esto significa que hay exactamente una combinación de objetos tomados en grupos de 0 a la vez. Lo que significa que un subconjunto de objetos tiene exactamente un subconjunto “vacío”. Observa que en estos subconjuntos de

objetos distintos tomados en grupos de

No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos, es decir, que en cada grupo los

a la vez, se cumple que:

elementos son distintos.

Ejemplo 1. Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4. Utilizando factoriales queda: ) Ejemplo 2. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? Como en una combinación: No entran todos los elementos. No importa el orden: Juan, Ana o Ana, Juan forman el mismo comité. No se repiten los elementos. Una persona no puede ocupar dos puestos diferentes dentro del comité. ) Ejemplo 3. ¿De cuántas maneras se pueden elegir los números del sorteo melate? ¿Cuál es la probabilidad de ganar el sorteo? Para jugar en el sorteo melate se tienen que elegir 6 dígitos entre los números del 1 al 54. El orden de los dígitos que conforman el número elegido no importa, es decir, las posibilidades (2, 7, 18, 45, 34, 54), (34, 7, 54, 45, 2, 18), (7, 2, 34, 45, 18, 54), (2, 7, 18, 45, 34, 54), (54, 45, 18, 7, 34, 2), por mencionar algunas, son cubiertas por la sexteta (2, 7, 18, 45, 34, 54). Para dar respuesta a la primera pregunta del problema, hay que tener en cuenta en los subconjuntos a formar que: No entran todos los elementos, sólo 6 de los 54 números. No importa el orden como ya vimos anteriormente. No se repiten los elementos, es decir, no se repiten los números dentro de cada sexteta, por lo que hay:

) maneras de elegir los números en el sorteo melate. BLOQUE 1

55

Entonces la probabilidad de

ganar el sorteo melate, es: )

¿Conviene jugar al melate sabiendo que son tantas las opciones a elegir? Como has visto a lo largo de este bloque, muchos problemas de conteo comprenden la selección de algunos elementos de un conjunto dado. Las condiciones particulares del problema determinarán qué técnica específica utilizar. Como la selección de la técnica apropiada es fundamental, considera las siguientes sugerencias. 1.

Si los elementos seleccionados se pueden repetir, utiliza principio fundamental de conteo. Ejemplo: ¿Cuántos números de cinco dígitos existen?

2.

Si los elementos seleccionados no pueden repetirse, y el orden es importante, utiliza permutaciones. Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden formar en una fila de una taquilla tres de siete personas?

3.

Si los elementos seleccionados no pueden repetirse, y el orden no es importante, utiliza combinaciones. Ejemplo: ¿De cuántas formas se puede seleccionar un comité de cuatro de un grupo de 10 personas?

Actividad: 3 Mediante la fórmula de combinaciones resuelvan lo siguiente: 1. Explica en qué se diferencian las permutaciones y las combinaciones. __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ 2.

¿Cuántos comités diferentes de cinco miembros podrían formarse de los 100 senadores de Estados Unidos?

3.

Si dos puntos cualesquiera determinan una línea, ¿cuántas líneas están determinadas por siete puntos en un plano, en el que ningún conjunto de tres puntos es colineal?

4.

¿De cuántas formas puede una muestra de cinco reproductores de CD seleccionarse de un cargamento de veinticuatro reproductores?

5.

Si el cargamento del ejercicio anterior contiene 6 reproductores defectuosos, ¿cuántas de las muestras de tamaño cinco no incluirán reproductores defectuosos?

56

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Actividad: 3 (continuación) 6.

¿De cuántas formas puede una muestra de cinco reproductores de CD seleccionarse de un cargamento de veinticuatro reproductores?

7.

Si el cargamento del ejercicio anterior contiene 6 reproductores defectuosos, ¿cuántas de las muestras de tamaño cinco no incluirán reproductores defectuosos?

8.

¿Cuántos triángulos están determinados por veinte puntos en el plano, en donde ningún conjunto de tres puntos es colineal?

9.

En la lotería conocida como ⁄ , tú eliges siete números distintos del conjunto formado por los números del 1 al 39, en donde el orden no tiene importancia. ¿De cuántas formas diferentes puedes hacer tu elección?

Actividad: 2 Conceptual Conoce las características de los subconjuntos a formar de un conjunto de objetos. Autoevaluación



Evaluación Producto: Problemas aplicados. Saberes Procedimental Resuelve combinaciones mediante problemas aplicados. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Reconoce la facilidad de utilizar combinaciones en el conteo de subconjuntos. Expone sus dudas.

Calificación otorgada por el docente

Sitios Web recomendados:

   http://www.amolasmates.es/flash/combinatoria/mod_4publish/  http://miwikideaula.wikispaces.com/Applets Cierre http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_co

Ingresa a los siguientes sitios de internet para que experimentes e interactúes los temas vistos aquí.

ntent&task=view&id=118&Itemid=158

BLOQUE 1

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Actividad: 4 Resuelve los siguientes problemas. 1. ¿Es posible evaluar 𝑃 ? Explica tu respuesta. _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 2. Considera que ciertos números de cuenta constan de dos letras seguidas por cuatro dígitos y luego tres letras más, donde las repeticiones de letras o dígitos no se permiten dentro de cada uno de los tres grupos, pero el último grupo de letras puede contener una o ambas letras de las usadas en el primer grupo. ¿Cuál es la probabilidad de que a un cuentahabiente le toque la numeración AG3645ZH? (Considera el alfabeto con 26 letras).

3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

4. ¿De cuántas formas podrían dividirse veinticinco personas en cinco grupos que comprendan, respectivamente a tres, cuatro, cinco, seis y siete personas?

5. ¿Cuántas cartas deben sacarse (sin reposición) de una baraja de 52 cartas, para garantizar que al menos dos de ellas sean del mismo palo?

6. Roberto, un contratista, construye casas de ocho modelos diferentes y actualmente tiene cinco lotes para construirlas, ¿cuál es la probabilidad de que a un comprador le toque una casa en esos lotes? Suponga que se construirán cinco modelos diferentes.

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DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Actividad: 4 (continuación) 7. ¿De cuántas maneras puede presentarse el primero, segundo y tercer lugar en una carrera en la que compiten seis corredores?

8. Del problema 7, ¿cuál es la probabilidad de que Ángel, uno de los competidores, llegue en cualquiera de los tres lugares?

9. ¿Es posible evaluar 𝐶 ? Explica tu respuesta. _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 10. Se elegirá un comité de cuatro congresistas de un grupo de siete demócratas y tres republicanos. Determina el número de formas de obtener cada uno de los puntos siguientes: a) Solamente dos demócratas

b) Sólo cuatro demócratas

c) Exclusivamente cuatro republicanos

d) Dos demócratas y dos republicanos

11.De los Coyotes, un equipo joven en una liga de béisbol, forman parte siete jugadores que sólo lanzan; y doce jugadores más que pueden jugar cualquier posición, excepto la de lanzador. Para el juego del sábado, el entrenador aún no ha determinado cuáles serán los nueve jugadores que utilizará ni qué orden de bateo tendrán, excepto que el lanzador bateará al final. ¿Cuántas órdenes de bateo diferentes puede haber?

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Actividad: 4 (continuación) 12. Si se lanzan 5 monedas al aire, ¿de cuántas formas diferentes podrían obtenerse tres caras?

13. Del problema 12, ¿cuál es la probabilidad de que se obtengan tres caras?

14. En un grupo de 10 personas se incluyen seis mujeres y cuatro hombres. Si se eligen al azar cinco personas para que llenen un cuestionario, ¿cuántas muestras diferentes de cinco personas son posibles?

15. De entre todas las posibles muestras de las cinco personas en el problema 14, ¿cuál es la probabilidad de seleccionar un grupo que conste exactamente de dos mujeres y tres hombres?

16. En la “Super Lotto”, un juego de lotería de California, se eligen seis números distintos de entre los números 1 a 51, con la esperanza de que la elección coincida con la lista seleccionada al azar por los funcionarios de la lotería. ¿Cuál es la probabilidad de ganarse la lotería?

17. Los números de identificación en ciertos proyectos de investigación científica constan de tres letras seguidas de tres dígitos y luego de tres letras más. Suponga que no se permite repetición dentro de cualquiera de los tres grupos, pero las letras del primer grupo pueden aparecer en el último grupo de tres. ¿Cuál es el porcentaje de números de identificación que empiece con las letras ABC? (Considera que el alfabeto tiene 26 letras).

60

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Actividad 4: (continuación) 18. Diana siempre incluye su edad y la edad de su esposo como dos de los números en la selección de Super Lotto. ¿De cuántas formas diferentes puede completar su lista de seis números? ¿Cuál es la probabilidad de ganarse la lotería con esta estrategia?

19. En una ciudad para ir del punto A al punto B hay 6 caminos, y de B a C hay 4 caminos. a) ¿De cuántas maneras se puede ir de A a C pasando por B?

b)

¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C pasando por B?

c)

¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C sin usar el mismo camino más de una vez?

Conceptual

Evaluación Producto. Problemas aplicados. Saberes Procedimental

Identifica las características de las diferentes formas de agrupar objetos de un conjunto dado.

Calcula probabilidades mediante problemas de aplicación usando permutaciones y combinaciones.

Actividad: 4

Autoevaluación

BLOQUE 1

C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Realiza la actividad mostrando interés en la misma, externando sus dudas.

Calificación otorgada por el docente

61

62

DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO

Emplea la probabilidad condicional.

Competencias profesionales:      

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia:   

Identifica los tipos de eventos que involucran el teorema de la multiplicación, para resolver problemas en situaciones de la vida cotidiana. Utiliza la probabilidad condicional en situaciones de su propio interés relacionados con al ámbito escolar o personal. Emplea el Teorema de Bayes basándose en la probabilidad condicional, para resolver problemas relacionados con su entorno.

Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1. 5.1. 5.4. 5.6. 6.1. 7.1. 8.1. 8.2. 8.3.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Tiempo asignado: 15 horas

Secuencia didáctica1. Probabilidad condicional. Inicio Actividad: 1 Resuelve los siguientes cuestionamientos. 1.

Si dos conjuntos son del mismo tamaño, entonces ¿son iguales?

2.

Del conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}, determina los elementos pertenecientes a los siguientes subconjuntos. a) El conjunto formado por los números pares.

b) El conjunto formado por los números impares.

c) El conjunto formado por los múltiplos de 3.

d) El conjunto formado por números pares y múltiplos de 3.

e) El conjunto formado por números impares y múltiplos de 5.

f)

El conjunto formado por números primos.

g) El conjunto formado por números pares y primos.

h) El conjunto formado por números primos y múltiplos de 4.

i)

El conjunto formado por números pares o impares.

j)

El conjunto formado por números primos o múltiplos de 4.

64

EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

Actividad: 1 (continuación) 3.

Se lanzan una moneda y un dado. El espacio muestral está dado por los doce elementos: 𝑆 = 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, 𝑐4, 𝑐5, 𝑐6, 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4, 𝑠5, 𝑠6

Determina los elementos de los siguientes conjuntos: a) Aparecen caras y un número par.

b) Aparece un número primo.

c) Aparecen sellos y un número impar.

d) ¿Cuáles de los conjuntos anteriores son mutuamente excluyentes?

e) Aparecen caras y un par o aparece un número primo.

f)

Aparece un número primo; y aparecen sellos y un número par.

g) Aparecen números que no son primos.

Actividad: 1 Conceptual Reconoce los conjuntos y operaciones entre ellos. Autoevaluación

BLOQUE 2

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental

Puntaje: Actitudinal

Construye conjuntos a partir de operaciones entre conjuntos. C

MC

NC

Muestra disposición para realizar la actividad.

Calificación otorgada por el docente

65

Desarrollo Probabilidad condicional. El concepto de Probabilidad Condicional surge cuando se quiere obtener la probabilidad de un evento , y se tiene conocimiento que ya ocurrió otro evento relacionado al primero, se denota con ,la cual se lee como “probabilidad de A dado B”. Para comprender un poco sobre la necesidad de introducir este concepto, al menos intuitivamente, suponga que se quiere conocer la probabilidad del evento : “lloverá” y se sabe que se presentó el evento : “está nublado”. Intuitivamente se percibe que aumenta si se sabe que ocurrió ya que ambos eventos están relacionados. Antes de dar la definición de probabilidad condicional, se retomará el ejemplo visto con anterioridad en una de las actividades. Ejemplo 1.En un estudio se hace una encuesta a 800 alumnos de una universidad sobre el grado de satisfacción con la carrera y el grado de satisfacción con el progreso en la misma. Los resultados de la encuesta se muestran en la siguiente tabla. Satisfecho con la carrera Si No Total

Satisfecho con su progreso Si 362 18 380

TOTAL

No 350 70 420

712 88 800

Se selecciona una encuesta al azar y se quiere calcular la probabilidad de que el alumno esté satisfecho con la carrera dado que está satisfecho con su progreso en la misma. Siguiendo la notación dada:

Si está satisfecho con la carrera, como:

está satisfecho con su progreso, entonces la probabilidad anterior se escribe

De acuerdo a la tabla, dentro de los 380 estudiantes satisfechos con su progreso, 362 están de acuerdo con la carrera, entonces se verifica que: =

362 = 3

5

Analizando esta probabilidad observa lo siguiente: Si no se tuviera información del evento

está satisfecho con su progreso, entonces: =

es decir, la probabilidad de

=

sin el conocimiento de que ocurrió

, es menor que la probabilidad condicional

.

En , el numerador (362), de acuerdo a la tabla, es el número de estudiantes que están satisfechos con la carrera y con su progreso en la misma, es decir, pertenecen al conjunto El denominador (380) es el número de empleados que pertenecen al evento , es decir, a los alumnos que están satisfechos con su progreso en la carrera. Si recuerdas, la probabilidad de un evento se determina dividiendo los casos favorables entre los casos totales. 66

EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

Por lo que en

=

, equivale a considerar una reducción del espacio muestral; en este caso el número de

casos totales se redujo de 800 a 380. Si en la expresión ,el numerador y el denominador de la igualdad se dividen por 800, es decir, el número total de estudiantes, se tiene que:

= Observa entonces que el numerador de simultánea, es decir, es =

4525 = 4 5

=

526

es la probabilidad de que ocurran los dos eventos de manera y el denominador es

A partir de esta última observación surge naturalmente la definición formal del concepto de Probabilidad Condicional para dos eventos cualesquiera y . Probabilidad condicional La probabilidad del evento𝐴, bajo la suposición de que el evento 𝐵 ha ocurrido, se denomina probabilidad condicional de 𝑨, dado 𝑩, y se denota

𝑷 𝑨𝑩 =

𝑷 𝑨 𝑩 𝑷 𝑩

.

La condición que se supone sucedió, siempre reducirá el espacio muestral a un subconjunto propio del espacio muestral original. Por lo que, no hay que confundir ) y En el primer caso, el evento está condicionando; mientras que en el segundo, quien condiciona es el evento , provocando de esta manera que los espacios reducidos, dependiendo a qué evento condiciona, generen probabilidades diferentes, como se observa en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2. Del ejemplo1, determina la probabilidad de que el alumno esté satisfecho con su progreso. Si está satisfecho con la carrera elegida. Sea el evento está satisfecho con la carrera, condicional en este caso es:

está satisfecho con su progreso, entonces la probabilidad

Observa que ahora el evento que está condicionando es ; esto lo puedes observar precisamente en la condicionante que el problema pide después del Si…, “está satisfecho con la carrera elegida”. De la tabla se observa que el número de alumnos satisfechos con la carrera elegida y con su progreso en la misma son 362, mientras que el número de alumnos que están satisfechos con la carrera elegida son 712, por lo que:

=

362 = 12

5

Ejemplo 3. Dada una familia con dos hijos, calcula lo siguiente: a) Si se sabe que por lo menos uno de los hijos es una niña, determina la probabilidad de que ambos hijos sean niñas. (Considera que el tener un niño o una niña es igualmente probable). Es indistinto cómo nombres los eventos, siempre y cuando en la probabilidad condicional consideres en segundo término (a la derecha de la vertical) el evento que está condicionando. En este caso, es el evento al cual se le calculará la probabilidad; mientras que es el evento que está condicionando, es decir, del que se sabe ya ocurrió. BLOQUE 2

67

Sea ambos hijos sean niñas y por lo menos uno de los hijos es niña. El espacio muestral para dos hijos es = , , , ; en este caso, la condición dada de que por lo menos uno de los hijos es una niña reduce el espacio muestral original, al anularse el resultado ; de modo que el espacio reducido es , , . El evento

se obtiene por uno de los tres resultados igualmente probables, por lo que: 1 = 3

b) Si el hijo mayor es una niña, determine la probabilidad de que ambos hijos sean niñas. Aquí el evento que está condicionando, que llamaremos , es ya ocurrió. El espacio muestral se reduce a , de la pareja indica el primer nacimiento). El evento

que el hijo mayor es una niña, que es el que se sabe

. (De las parejas que conforman el espacio muestral, la primer posición

que ambos sean niñas, se obtiene sólo por un elemento del espacio muestral reducido, de modo que: 1 = 2

Ejemplo 4. En un supermercado, de una muestra de 100 personas, el 70% de las compras las realizan las mujeres; de las compras realizadas por éstas, el 80% supera los $2,500, mientras que de las compras realizadas por hombres sólo el 30% supera esa cantidad. a) Elegido un ticket de compra al azar ¿Cuál es la probabilidad de que supere los $2,500? b) Si se sabe que el ticket de compra no supera los $2,500, ¿cuál es la probabilidad de que la compra haya sido hecha por una mujer? Para dar respuesta a los incisos es preciso considerar una tabla de acuerdo a la información que el problema proporciona, quedando de la siguiente manera. Ya que la muestra es de 100 personas, 70 son mujeres y 30 son hombres. Como el 80% de las mujeres realizan compras por más de $2,500, por una simple regla de tres, se deduce que 56 son las mujeres que cumplen con esa característica. Del mismo modo, 9 son los hombres que realizan compras por más de $2,500.

MUJERES HOMBRES a) Sea el evento

MENOS DE $2,500 14 21

MAS DE $2,500 56 9

que la compra supere los $2,500, de acuerdo a la tabla la probabilidad de 65 = = 65 1

es:

b) Si observas, para dar respuesta a este inciso, la probabilidad que pide el problema es condicional, debido a que empieza definiendo la condición en el momento que dice “Si se sabe…”. Considerando el evento el ticket de compra no supera los $2,500, y el evento la compra haya sido hecha por una mujer, se tiene que calcular la probabilidad condicional: Recuerda que el evento que condiciona se coloca en segundo término (derecha de la vertical), y en primer término se coloca el evento al que se le va a calcular la probabilidad (izquierda de la vertical). Del inciso anterior se determinó que la probabilidad de que la compra supere los $2,500 fue de , por lo que su complemento es , esto es, la probabilidad de que la compra no supere los $2,500. Situación que también se puede ver si sumas 14 +21=35 que

68

EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

son las personas cuyas compras no superan los $2,500. Mientras que 14 son las personas que cumplen con que sus compras no superan los $2,500 y que además sea mujer. De aquí que la probabilidad condicional sea:

=

=

=

=

4

Regla general de la multiplicación de probabilidades. Con ayuda de la probabilidad condicional, se puede escribir la siguiente regla general de la multiplicación de probabilidades (la cual es muy similar al principio fundamental del conteo). Ésta se ilustra en el siguiente diagrama de Venn.

El conectivo lógico “y”, como ya viste en el bloque anterior, corresponde a la intersección en la teoría de conjuntos, = Regla general de la multiplicación de probabilidades: Si 𝐴 y 𝐵 son dos eventos cualesquiera, entonces 𝑃 𝐴𝑦𝐵 =𝑃 𝐴 𝑃 𝐵𝐴 o 𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃 𝐴 𝑃 𝐵𝐴 Retomando el ejemplo 13 de la Secuencia didáctica 1 del bloque anterior. Ejemplo 5. Si se elige un número de manera aleatoria del conjunto 1,2,3,4,5,6, , , ,1 , determina la probabilidad de que el número seleccionado sea par y múltiplo de 3. El espacio muestral para este caso es todo el conjunto proporcionado: = 1,2,3,4,5,6, , , ,1 Sea

que el número sea par y

que el número sea múltiplo de 3, entonces: = 2,4,6, ,1

El evento compuesto probabilidad teórica:

= 3,6,

corresponde al conjunto (

= 6 . Por lo tanto por medio de la fórmula de =

1 1

La fórmula general de probabilidad del evento exigirá que se multiplique las probabilidades individuales del evento . Pero, como se muestra en el ejemplo anterior, eso debe hacerse con precaución. Aunque = y =

BLOQUE 2

, al multiplicar simplemente estos dos números se obtiene:

69

=

=

,

lo cual es incorrecto; el procedimiento correcto es calcular la probabilidad del segundo evento bajo la suposición de que ha ocurrido el primer evento. Esto es, la condición que se supone sucedió, de que el número seleccionado es par, reducirá el espacio muestral a un subconjunto propio del espacio muestral original, significa que sólo se considera el conjunto 2,4,6, ,1 De estos cinco elementos, sólo uno, el 6, es múltiplo de 3. Por lo tanto, usando la regla general de la multiplicación de probabilidades, pero con probabilidad condicional en el segundo factor de la multiplicación, se puede escribir: 5 1 5 1 = = = = 1 5 5 1 Ejemplo 6. Cada año, Roxana suma a su colección de libros varias publicaciones nuevas que cree serán interesantes y de valor duradero. Tiene clasificadas cada una de sus veinte adquisiciones de 1997 como de pasta dura o rústica, y de ficción o no-ficción, de acuerdo a la siguiente tabla.

Si escoge de forma aleatoria uno de estos 20 libros para el período de lectura de la tarde de hoy, determina la probabilidad de que el libro sea de cada uno de los siguientes tipos: a) Pasta dura

.

Ocho de los 20 libros son de pasta dura, por lo tanto

=

=

b) De ficción, siempre que sea de pasta dura. Observa otra variante de presentar la condición, hasta ahora has visto que ésta se presenta con las leyendas “dado que”, “si…”, agrega ahora la frase “siempre que”. La condición dada de que el libro sea de pasta dura reduce el espacio muestral a ocho libros. De esos ocho, sólo 3 son de ficción. Por lo tanto: 3 = c) De pasta dura y ficción. Por medio de la regla para la multiplicación de probabilidades, 2 3 6 3 = = = = 5 4 2 Si observas directamente la tabla, el inciso c) se facilita puesto que 3 de los 20 libros son de “pasta dura y ficción”. Esto confirma que la regla general de la multiplicación de probabilidades sí proporciona la respuesta correcta.

Eventos independientes. Ejemplo 7. Supóngase que se toman dos cartas sucesivamente, sin reemplazo, de una baraja estándar de 52 cartas. Determina la probabilidad de que la primera carta seleccionada sea una reina y la segunda carta sea una figura , (recuerda que la baraja tiene un total de 12 figuras). Sea el evento de que la primera carta seleccionada sea reina y el evento que la segunda carta sea cualquier figura. Como la primera carta seleccionada fue una reina (figura) y no se reemplaza, es decir no se regresa, antes de que se tome la segunda carta, el monto de las cartas se reduce a 51 cartas, de las cuales 11 son figuras. Por lo tanto =

70

=

4 52

11 44 4 = = = 51 2652 663

1

EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

La selección de la segunda carta, en una extracción sin reemplazo, se ve afectada por lo que salió en la primera debido a que se reduce el número de éstas; sin embargo, en una extracción con reemplazo esto no sucede, puesto que se vuelve a tener la misma cantidad de cartas que en la primera extracción. En este caso, serían independientes uno del otro. De forma general, los eventos independientes se definen de la siguiente manera. Eventos independientes. Dos eventos 𝐴 y 𝐵 son independientes si el conocimiento de la incidencia de uno de ellos no tiene efecto en la probabilidad de ocurrencia del otro, esto es: 𝑃 𝐵𝐴 =𝑃 𝐵 El enunciado = es equivalente al que se dio en la definición de eventos independientes. Por lo tanto, en la práctica, se puede establecer la independencia entre y verificando cualquiera de estas dos ecuaciones. Ejemplo 8. Se toma una carta de una baraja de 52 cartas. Sea el evento de que la carta sea negra y sea evento de que la carta sea de diamantes. Responde las preguntas siguientes. a) ¿Son eventos independientes? Para la probabilidad no condicional de

=

, tenemos

Pero, para la probabilidad condicional de

dado

el

= . (trece de las 52 cartas son de diamantes.)

, tenemos

=

=

=

(ninguna de las 26

cartas negras es de diamantes, ya que éstos son rojos.) Puesto que la probabilidad condicional diferente a la probabilidad no condicional , esto es , se deduce que los eventos son independientes.

es no

b) ¿Son los eventos mutuamente excluyentes? Los eventos mutuamente excluyentes, definidos en el bloque anterior, son los que no pueden ocurrir juntos para una determinada realización de un experimento, es decir = . Puesto que ninguna carta del montón es a la vez negra y de diamantes, son mutuamente excluyentes (algunas veces se tiene la idea de que “mutuamente excluyentes” e “independencia” significan lo mismo, pero este ejemplo muestra que no es así).

Regla especial de la multiplicación de probabilidades. Siempre que dos eventos son independientes, la probabilidad condicional y no condicional son iguales. Es decir, será igual a , por lo que la condición puede ignorarse en el cálculo de la probabilidad. En este caso, la regla general de la multiplicación de probabilidades se reduce a la siguiente forma. Regla especial de la multiplicación de probabilidades Si 𝐴 y 𝐵 son dos eventos independientes, entonces 𝑃 𝐴𝑦𝐵 =𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 o 𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 Ejemplo 9. Si se toman dos cartas con reemplazo de una baraja estándar de 52 cartas, determina la probabilidad de que la primera carta sea una reina y la segunda una figura. Este problema es una repetición del ejemplo 7, excepto porque ahora se hace con reemplazo; es decir que cuando se toma la primera carta, ésta se regresa al montón. De modo que cuando se saca la segunda carta, están disponibles las 52 cartas, incluidas las 12 figuras. Sea el evento de que la primera carta seleccionada sea reina y el evento que la segunda carta sea cualquier figura. Los eventos son independientes, ya que el hecho de que el experimento se haga con reemplazo no condiciona de ninguna manera la extracción de la segunda carta. Siendo así, se utiliza la regla particular de la multiplicación de probabilidades. = = = = = 1 BLOQUE 2

71

Una pequeña diferencia comparada con la respuesta del ejemplo 7, donde que la selección se hizo con reemplazo.

no eran independientes, debido a

Las reglas general y especial de la multiplicación de probabilidades pueden aplicarse a casos en los que intervienen más de dos eventos. Ejemplo 10. Lupita toma tres bolas, sin reemplazo, de la urna mostrada en la figura. Determina la probabilidad de que las bolas que obtenga sean negra, blanca y roja, en ese orden. Utilizando las letras apropiadas para denotar los colores y subíndices para indicar la primera, segunda y tercera selección, el evento que buscamos puede simbolizarse por . De modo que por la regla general de la multiplicación; la probabilidad de que la primera bola sea negra, la segunda blanca y la tercera roja se determina de la siguiente manera: La probabilidad de que la primera bola sea negra ; por la probabilidad de que la segunda bola sea blanca dado que la primera fue negra ; ya que las extracciones son sin reemplazo el total de bolas va disminuyendo; por la probabilidad de que la tercera bola sea roja dado que la primera fue negra y la segunda blanca, . Es decir:

= =

1 2

3 21 = = = 1 6 4 22

1

3

Ejemplo 11. Si se sacan cinco cartas sin reemplazo, determina la probabilidad de que todas sean de corazones. Cada vez que se selecciona un corazón, el número de cartas disminuye en uno y el número de corazones disminuye en uno. La probabilidad de seleccionar solamente corazones es: =

13 52

12 51

11 5

1 4

4

=

154,44 311, 5,2

=

33 = 66,64

4 5

Cuando se tiene una tarea con varias etapas de experimentos en los cuales cada experimento tiene un número finito de resultados con probabilidades dadas se llama un proceso estocástico (finito). Una manera conveniente de describir tal proceso y calcular la probabilidad de un evento es mediante un diagrama de árbol. Se utilizará el teorema de la multiplicación que ya se ha visto anteriormente, que calcula la probabilidad de que el resultado representado por cada trayectoria del árbol suceda. Ejemplo 12. Una fábrica de lámparas de buró tiene tres líneas de producción para elaborarlas, éstas son empaquetadas en cajas para su distribución. Si un inspector de calidad debe supervisar la producción probando una lámpara de alguna de las cajas elegidas al azar, y con base en la siguiente información preliminar:

Cajas 1

Lámpara s4defectuosos 6 no defectuosos 1defectuoso

2 3

5 no defectuosos 3defectuosos 5 no defectuosos

¿Cuál es la probabilidad de que la lámpara seleccionada sea defectuosa? La tarea del inspector consta de 2 etapas: primero escoger al azar una de las tres cajas, la segunda etapa, escoger al azar una lámpara de la misma. El diagrama de árbol muestra todos los posibles resultados del proceso. La probabilidad de que una trayectoria determinada del diagrama de árbol suceda, es, según el teorema de la 72

EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

multiplicación, el producto de las probabilidades de cada rama de la trayectoria, es decir, que la probabilidad de escoger la caja 1 y luego que la lámpara sea defectuosa es: 1 3

4 4 2 = = 1 3 15

La probabilidad de escoger la segunda caja y luego que la lámpara sea defectuosa es: 1 3

1 1 = 6 1

Por último elegir la tercera caja y que la lámpara sea defectuosa es: 1 3

3

=

3 1 = 24

Ahora, como hay tres trayectorias mutuamente excluyentes (las lámparas de la caja 1 pertenecen solamente a esa caja; de la misma manera las lámparas de las otras dos cajas están solamente en sus respectivas cajas) que conducen a una lámpara defectuosa, la suma de las probabilidades de estas trayectorias es la probabilidad que se busca: 1 3

4 1

1 3

1 6

1 3

3

=

2 15

1 1

1

=

6 113 = 216 36

Ejemplo 13. Se lanza una moneda cargada de modo que la probabilidad de que caiga cara es 2⁄3 y la probabilidad de que caiga sello es por tanto 1⁄3. Si sale cara, se escoge al azar un número de 1 a 9; si sale sello, se escoge al azar un número del 1 al 5. Hallar la probabilidad de que se escoja un número par. El diagrama de árbol para este caso queda: Números

Lados de la moneda

4 pares

C

5 impares 2 pares

S

3 impares

Observa que la probabilidad de escoger un número par del 1 al 9 cuando la moneda cae cara es

puesto que hay 4

números pares del 1 al 9, por otro lado la probabilidad de elegir un número par cuando la moneda cae sello es

, ya

que hay dos pares del 1 al 5. Dos de las trayectorias del diagrama conducen a un número par, por lo que la probabilidad de escoger un número par es:

=

BLOQUE 2

=

=

.

73

Actividad: 2 En equipos de cuatro integrantes, resuelve los siguientes problemas. 1. Un hombre visita a un matrimonio que tiene dos hijos. Uno de los hijos, un niño, entra en la sala. Encontrar la probabilidad de que el otro niño sea también niño si: a) Se sabe que el otro hijo (hija) es menor.

b) No se sabe nada del otro hijo.

2.

Se lanzan un par de dados corrientes. Si la suma es 6, hallar la probabilidad de que uno de los dados sea 2.

3. Se sacan dos cartas al azar de una baraja corriente de 52 cartas. Hallar la probabilidad de que: a) Las dos sean espadas, si las cartas son rojas.

b) Una sea espada y otra corazón, si las cartas son rojas.

74

EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

Actividad: 2 (continuación) 4. Se reparten 13 cartas de una baraja de 52 cartas a cuatro personas Ana, Beto, Carlos y Edgar. a) Si Beto no tiene ases, hallar la probabilidad de que su compañera Ana tenga exactamente dos ases.

b) Si Ana y Beto juntos tienen nueve corazones, hallar la probabilidad de que Carlos y Edgar tengan cada uno dos corazones.

5. Un lote de 12 artículos tiene 4 defectuosos. Se toman al azar tres artículos del lote uno tras otro. Hallar la probabilidad de que los tres estén buenos.

6. Se tienen tres cajas numeradas, cada una de ellas contiene lo siguiente: Caja I: contiene 10 lámparas de las cuales 4 son defectuosas. Caja II: contiene 6 con 1 defectuosa. Caja III: contiene 8 con 3 defectuosas. Se elige al azar una caja y luego se elige al azar una lámpara. ¿Cuál es la probabilidad de que la lámpara sea defectuosa?

a) Se tiene una caja con 3 canicas azules, 2 canicas rojas y 4 bolas de color amarillo. Se elige una canica y se anota su color, se pone de nuevo en la caja y se saca otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja seguida de una canica azul?

b) Si las extracciones se hacen con reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de sacar una canica roja seguida de una canica azul?

7. Una clase tiene 12 niños y 4 niñas. Si se escogen tres estudiantes de la clase al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sean todos niños?

BLOQUE 2

75

Actividad: 2 (continuación) 8. Una urna contiene 7 bolas rojas y 3 blancas. Se sacan 3 bolas de la urna una tras otra. Hallar la probabilidad de que las dos primeras sean rojas y la tercera blanca.

9.

Sea el evento 𝐴 que una familia tenga hijos de ambos sexos; y sea el evento 𝐵 que una familia tenga a lo más un niño. a) Comprobar que los eventos 𝐴 𝑦 𝐵 son independientes si una familia tiene dos hijos.

b) Comprobar que los eventos 𝐴 𝑦 𝐵 son independientes si una familia tiene tres hijos.

Actividad: 2 Conceptual Identifica las características de la probabilidad condicional y la multiplicación de probabilidades. Autoevaluación

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Realiza el cálculo de probabilidades, empleando la Participa exponiendo sus ideas y probabilidad condicional en respetando la de los demás. problemas de aplicación. C MC NC Calificación otorgada por el docente

Sitios Web recomendados: Ingresa al siguiente sitio para que consultes e interactúes con los temas vistos. http://matescampanilleras.wordpress.com/2010/09/26/probabilidad -compuesta-de-sucesos-independientes-2/

76

EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

Cierre Actividad: 3 Resuelve los siguientes problemas. 1.

En una ciudad el 55% de los habitantes consume pan integral, el 30% consume pan de multicereales y el 20% consume ambos. Se selecciona un habitante al azar, determina: a) ¿Cuál es la probabilidad de que coma pan de multicereales, si se sabe que consume pan integral?

b) Sabiendo que consume pan de multicereales, ¿cuál es la probabilidad de que no consuma pan integral?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona de esa ciudad no consuma ninguno de los dos tipos de pan?

2.

El equipo directivo de cierta empresa del sector de hotelería está constituido por 25 personas, de las que un 60% son mujeres. El gerente tiene que seleccionar a una persona de dicho equipo para que represente a la empresa en un concurso internacional. Decide lanzar una moneda: si sale cara, selecciona a una mujer y si sale sello selecciona a un hombre. Sabiendo que 5 mujeres y 3 hombres del equipo directivo no hablan inglés, determina la probabilidad de que la persona seleccionada hable inglés. Escribe el desarrollo que te llevó a la respuesta.

3.

Se lanza un par de dados normales. Hallar la probabilidad de que la suma de sus números sea 10 o mayor si: a) Aparece un 5 en el primer dado.

b) Aparece un 5 en uno de los dos dados por lo menos.

4.

En una universidad existen tres facultades: 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 En la facultad 𝐴 hay matriculados 150 mujeres y 50 hombres, en 𝐵 hay 300 mujeres y 200 hombres; y en C hay 150 mujeres y 150 hombres. a) Calcula la probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea hombre.

b) Si un estudiante elegido al azar es hombre, ¿cuál es su facultad más probable?

BLOQUE 2

77

Actividad: 3 (continuación) 5. a)

Una caja contiene 10 bolas blancas, 5 negras y 5 rojas. Se extraen dos bolas consecutivamente de la caja. Calcula la probabilidad de que las dos sean blancas si: Antes extraer la segunda bola se vuelve a meter la primera.

b) La segunda bola se extrae sin haber metido la primera en la caja. 6.

A un hombre se le reparten 4 espadas de una baraja de 52 cartas. Si se le dan tres cartas más, hallar la probabilidad de que por lo menos una de las cartas adicionales sea también espada.

7.

Un monedero contiene 2 monedas de plata y 3 de cobre, y otro monedero contiene 4 de plata y 3 de cobre. Si se elige un monedero al azar y se extrae una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que sea de plata?

8.

Dos personas piensan cada una de ellas un número del 0 al 9. Calcula la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número.

9.

A un jugador le reparten 5 cartas una tras otra de una baraja corriente de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que todas sean espadas?

10. La probabilidad de que un hombre vivirá 10 años más es 1⁄4, y la probabilidad de que su esposa vivirá 10 años más es 1⁄3. Hallar la probabilidad de que: a) Ambos estén vivos dentro de 10 años. b) Al menos uno estará vivo dentro de 10 años. c) Ninguno estará vivo dentro de 10 años. d) Solamente la esposa estará viva a los 10 años.

Actividad: 3 Conceptual Reconoce la probabilidad condicional y la regla de la multiplicación como herramientas para resolver situaciones problémicas. Autoevaluación

78

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Aplica la probabilidad condicional y la regla general de la multiplicación para resolver problemas cotidianos. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Expresa sus dudas y corrige sus errores.

Calificación otorgada por el docente

EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

Secuencia didáctica 2. Teorema de Bayes. Inicio Actividad: 1 Responde a los siguientes cuestionamientos. 1.

Una caja contiene tres monedas: una es corriente; la segunda tiene dos caras; y la última está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara sea 1⁄3. Se selecciona una moneda al azar y se lanza. a) Elabora un diagrama de árbol para el problema, escribiendo en sus ramas las probabilidades correspondientes.

b) Del diagrama, determina la probabilidad de que caiga cara.

2.

Se dan tres urnas como sigue: Urna 𝐴 contiene 3 bolas rojas y 5 blancas. Urna 𝐵 contiene 2 bolas rojas y 1 blanca. Urna 𝐶 contiene 2 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona una urna al azar y se saca una bola de ella.

a) Elabora un diagrama de árbol para el problema, escribiendo en sus ramas las probabilidades correspondientes.

b) Apoyándote del diagrama: si la bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que haya salido de la urna 𝐴?

BLOQUE 2

79

Actividad: 1 (continuación) 3.

En una oficina de gobierno, el 70% de los empleados son foráneos. De entre los foráneos, el 50% son mujeres, mientras que de los no foráneos, sólo son mujeres el 20%.

a) ¿Qué porcentaje de empleados no foráneos son hombres?

b) Calcula la probabilidad de que un empleado de la oficina sea hombre.

c) Fernanda trabaja en dicha oficina, ¿cuál es la probabilidad de que sea foránea?

Actividad: 1 Conceptual Identifica procesos compuestos de varias etapas, mediante la construcción de diagramas de árbol. Autoevaluación

80

Evaluación Producto: Problemas aplicados. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Calcula probabilidades de procesos de varias etapas, Se muestra interesado al utilizando probabilidad condicional reconocer conocimientos previos. y regla de la multiplicación. C MC NC Calificación otorgada por el docente

EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

Desarrollo Teorema de Bayes. Una de las aplicaciones más común de la probabilidad condicional es el teorema de Bayes, que se abordará a continuación. Considera la suposición de que el espacio muestral está dividido en varios eventos simples , , , , mutuamente excluyentes y su unión es todo el espacio muestral. Ahora sea otro evento. Entonces el conjunto se puede formar con las intersecciones de los eventos simples , , , , como se muestran en la siguiente figura.

Por la propiedad distributiva de relaciones entre conjuntos se expresa el conjunto =

=

como sigue:

=

Donde las intersecciones son eventos mutuamente excluyentes. En consecuencia, por la regla de la suma especial de probabilidades se tiene: .

= Luego, por la regla general de la multiplicación. =

Por otra parte, para cualquier subíndice del evento , la probabilidad condicional de

dado

se define por:

= En esta última ecuación se usa la expresión que se obtuvo en el paso anterior a este y se sustituye en el denominador de la expresión . Además se usó la regla general de la multiplicación de probabilidades en la expresión de la intersección del numerador, obteniendo así el teorema de Bayes. Teorema de Bayes. Supongamos que 𝐴 , 𝐴 , 𝐴 , , 𝐴𝑛 es una partición del espacio muestral 𝑆y que 𝐵 es cualquier evento. Entonces para cualquier evento 𝐴𝑖 𝑃 𝐴𝑖 𝐵 =

BLOQUE 2

𝑃 𝐴 𝑃 𝐵𝐴

𝑃 𝐴𝑖 𝑃 𝐵 𝐴𝑖 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵𝐴

𝑃 𝐴𝑛 𝑃 𝐵 𝐴𝑛

81

Ejemplo 1. Tres máquinas , producen respectivamente 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son 3%, 4% y 5% respectivamente. Si se selecciona al azar un artículo, ¿cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso? Sea el evento el artículo sea defectuoso, entonces por la regla general de la multiplicación se tiene la suma de los productos de las probabilidades del porcentaje de producción de cada máquina y la probabilidad de que el artículo defectuoso dado salga de dicha máquina. = =

5

3

3

4

2

5 =

3

Observa que también se puede considerar este problema como un proceso estocástico que tiene el siguiente diagrama de árbol, visualizándose el resultado en la suma del producto de probabilidades de cada una de las ramas de los artículos defectuosos. Artículos Máquinas 0.50

0.03 defectuosos

A

0.97 no defectuosos 0.04 defectuosos

0.30 0.20

B I C

0.96 no defectuosos 0.05 defectuosos 0.95 no defectuosos

Ejemplo 2. Considerando la fábrica del ejemplo anterior. Suponga ahora que se selecciona un artículo al azar y resulta ser defectuoso. Hallar la probabilidad de que el artículo fue producido por la máquina ; esto es, hallar . Observa que el problema, además de ser una tarea de dos etapas como lo muestra el diagrama de árbol, está manejando una condicionante, “que el artículo que fue elegido al azar es defectuoso”, es decir, dado que sucedió el evento , determina la probabilidad de que haya salido de la máquina . Por el Teorema de Bayes se tiene: =

=

=

=

4 54.

Ejemplo 3. De manera similar, si el artículo seleccionado es no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina ? Sea el evento : el artículo sea no defectuoso, nuevamente se tiene una condicionante, ahora de que el artículo seleccionado haya sido no defectuoso. Nuevamente por el Teorema de Bayes se obtiene: =

=

82

5

2 3

5 6

2

5

=

1 = 63

1

3

EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

Actividad: 2 Resuelve los siguientes problemas. 1.

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

2.

La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene ésta si se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

3.

En cierta facultad, 4% de los hombre y 1% de las mujeres tienen más 1.85 m de altura. Además, 60% de los estudiantes son mujeres. Si selecciona al azar un estudiante y es más alto que 1.85 m, ¿cuál es la probabilidad que el estudiante sea mujer?

4.

Tres máquinas 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 producen respectivamente 60%, 30% y 10% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son 2%, 3% y 4% respectivamente. Seleccionado un artículo al azar, resultó defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo haya sido producido por la máquina 𝐶?

Actividad: 2 Conceptual Diferencia el uso de la probabilidad condicional en el Teorema de Bayes.

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Utiliza el Teorema de Bayes para resolver problemas de aplicación.

Autoevaluación

C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Expresa la importancia de la utilidad del Teorema de Bayes para la resolución de problemas.

Calificación otorgada por el docente

Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios para que consultes el tema. http://www.vitutor.com/pro/2/a_e.html http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/7.html

BLOQUE 2

83

Cierre Actividad: 3

0

Resuelve los siguientes problemas. 1.

El 12% de los habitantes de un país padece cierta enfermedad. Para el diagnóstico de ésta, se dispone de un procedimiento que no es completamente fiable ya que da positivo en el 90% de los casos de personas realmente enfermas, pero también da positivo en el 5% de personas sanas. ¿Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona a la que el procedimiento le ha dado positivo?

2.

Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los hospeda en cualquiera de tres hoteles de la ciudad: el Paraíso perdido, el Rincón encantado o el Palacio del rey, en una proporción de 18.5%, 32% y 49.5% respectivamente, de los cuales se ha tenido información de que se les ha dado un mal servicio en un 2.8%, 1% y 4% respectivamente. Si se selecciona un visitante al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se le haya dado un mal servicio?

b) Y se sabe que él no se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el Paraíso perdido?

c) Si se sabe que el visitante seleccionado se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el hotel el Rincón encantado?

3.

Se dan tres urnas como sigue: Urna 𝐴 contiene 3 bolas rojas y 5 blancas. Urna 𝐵 contiene 2 bolas rojas y 1 blanca. Urna 𝐶 contiene 2 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona una urna al azar y se saca una bola de ella. Si la bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea de la urna 𝐴?

84

EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

Actividad: 3 (continuación) 4.

En una etapa de la producción de un artículo se aplica soldadura y para eso se usan tres diferentes robots. La probabilidad de que la soldadura sea defectuosa varía para cada uno de los tres, así como la proporción de artículos que cada uno procesa, de acuerdo a la siguiente tabla. robot defectuosos Art. procesados A 0.002 18% B 0.005 42% C 0.001 40% a) ¿Cuál es la proporción global de defectos producidos por los tres robots?

b) Si se toma un artículo al azar y resulta con defectos en la soldadura, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido soldado por el robot C?

5.

Hay tres bolsas que tienen, cada una, dos monedas en oro o plata. En la primera bolsa las dos monedas son de oro, en la segunda las dos son de plata, y las de la tercera son una de plata y otra de oro. Se escoge una bolsa al azar y de ella una moneda también al azar. Si la moneda es de oro, ¿cuál es la probabilidad de que la otra moneda en la bolsa sea de oro también?

Actividad: 3 Conceptual Identifica las características del Teorema de Bayes para su aplicación. Autoevaluación

BLOQUE 2

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Resuelve problemas de aplicación mediante el Teorema de Bayes. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Muestra interés en el desarrollo de la actividad, expone sus dudas.

Calificación otorgada por el docente

85

86

EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

BLOQUE 3 Resuelve problemas de aplicación mediante la distribución de probabilidades de variables aleatorias discretas y continuas.

Competencias profesionales:      

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia:   

Identifica los tipos de variables aleatorias discretas y continúas, así como sus distribuciones de probabilidad que modelan fenómenos o eventos de situaciones de nuestro entorno. Utiliza la distribución de probabilidad de variables aleatorias discretas y continuas más comunes, como la binomial y la normal, respectivamente, para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana. Emplea la aproximación binomial a la normal, para resolver problemas relacionados con su entorno.

Atributos a desarrollar en el bloque:

4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Tiempo asignado: 15 horas

Secuencia didáctica1. Distribución de probabilidad para variables discretas. Inicio Actividad: 1 Responde los siguientes cuestionamientos. 1.

Completa la tabla considerando la gráfica que representa los posibles resultados de lanzar dos dados y sumar los puntos obtenidos en las caras superiores. Resultado 2

Frec. 1

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total

Probab. 1 36

36

36

Frec.=Frecuencia Probab.=Probabilidad

36 = 1

a) ¿Cuántas parejas suman 12? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 12? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 7? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma no sea 7? e) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea mayor que 5?

88

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

Actividad: 1 (continuación) f)

¿Cuál es la probabilidad de que la suma no sea mayor que 5?

h) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea menor que 4? i)

¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea mayor que 5 o menor que 4?

j)

¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea número par?

k)

De las parejas cuya suma es mayor que 5 o cuya suma es un número par ¿cuántas parejas hay en común entre los dos conjuntos?

l)

¿Cuántas parejas su suma es mayor que 5 o su suma es un número par?

m) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea mayor que 5 o sumen un número par?

2.

En una caja hay 10 canicas, 70% son rojas y el resto blancas. Se saca al azar una de ellas, y si es roja se obtienen 4 puntos. Se regresa la canica a la caja y nuevamente se extrae una canica; si es roja se obtienen 6 puntos; si es blanca, cero puntos. Si en el primer intento se saca una canica blanca, no se tiene derecho al segundo intento. Realiza el experimento 10 veces y registra los resultados. Exp. 1° 2°

3.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Miriam va a presentar un examen y tiene 70% de probabilidades de aprobarlo y obtener 4 puntos. Si aprueba el examen presentará un segundo examen en el que también tiene 70% de probabilidades de aprobarlo y obtener 6 puntos. Si reprueba el primer examen no tiene derecho a presentar el segundo y tiene 0 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de tener 10 puntos?

Actividad: 1 Conceptual Interpreta gráficos y resultados de experimentos aleatorios. Autoevaluación

BLOQUE 3

Evaluación Producto: Tablas y cuestionario. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Calcula probabilidades y ejecuta Muestra interés y apertura en el experimentos aleatorios. desarrollo de la actividad. C MC NC Calificación otorgada por el docente

89

Desarrollo Distribución de Probabilidad. Según los conocimientos adquiridos en tu curso de Probabilidad y Estadística I, puedes distinguir dos tipos de variables: categóricas y numéricas. Dentro de las variables aleatorias numéricas, se revisaron dos casos, numéricas discretas y numéricas continuas. Una variable aleatoria es discreta si toma valores en un conjunto con un número finito de elementos o infinito numerable (esto es, que los elementos se puedan contar a pesar de ser un número exageradamente grande), de manera puntual. Una variable aleatoria es continua si puede tomar valores en un conjunto infinito no numerable, como un intervalo por ejemplo, donde en él se encuentran una infinidad de números decimales imposibles de contar. En este bloque como ejemplo típico de variable aleatoria discreta se verá la distribución binomial, y como ejemplo típico de variable aleatoria continua se estudiará la distribución normal. Para proporcionar una descripción con una mejor comprensión de lo que es una variable aleatoria discreta, se analizarán algunos ejemplos relacionados con fenómenos reales. Los eventos experimentales con frecuencia son numéricos, es decir, se realiza un experimento y se observa el valor numérico de alguna característica que sea de interés estudiar o analizar. Por ejemplo, la cantidad de bacterias que han crecido por unidad de área en un estudio del control de fármacos, constituye una variable aleatoria, pues no se sabe cuántas bacterias van a reproducirse, además la variable es discreta, pues el número de bacterias es numerable. En otro caso, supóngase que un producto fabricado en una empresa, se vende en lotes de 20 cajas, cada una de las cuales contiene 12 artículos. A fin de verificar la calidad del producto, el jefe de control de calidad de la empresa selecciona al azar cuatro de entre los 240 artículos de un lote y determina si los artículos están defectuosos o no. Si más de uno de los artículos muestreados resulta defectuoso, se rechazará todo el lote. En este experimento es importante saber el número de artículos defectuosos de entre los cuatro artículos seleccionados al azar, para decidir si se rechaza todo el lote. Es por ello que el número de artículos defectuosos es la variable aleatoria que se pretende analizar. En este caso es una variable aleatoria discreta, debido a que no se sabe cuántos artículos defectuosos se pueden extraer, y que a lo más pueden ser cuatro. De aquí que una variable aleatoria es una función que cuantifica los resultados de un experimento o fenómeno aleatorio. Esto es, es una función que asigna uno y sólo un número real a cada suceso del espacio muestral de un experimento aleatorio y puede tomar posibles valores. Una variable aleatoria es discreta cuando puede asumir una cantidad de valores susceptible de contarse. Para denotar una variable aleatoria generalmente se usan las últimas letras del abecedario en mayúsculas: . Continuando con éste último ejemplo, la selección de cuatro artículos fabricados de entre 240 produce un espacio muestral que contiene eventos, cada uno de los cuales corresponde a una posible combinación de cuatro artículos que podrían seleccionarse del lote. El evento de interés para el jefe de control de calidad es la observación de la variable número de artículos defectuosos entre los cuatro que se prueban. Por lo tanto existe una relación funcional entre los eventos (combinación de cuatro artículos) de y los valores que puede asumir . Así, para asignar un valor numérico a la variable , el evento = es la combinación de cuatro artículos que no contiene artículos defectuosos. De forma similar, el evento = 1 es la combinación en la que se observa un artículo defectuoso. Igualmente = , = 3 y = son las combinaciones de cuatro artículos en los que se observan dos, tres o cuatro artículos defectuosos. Nuevamente, puesto que el valor que puede asumir es un valor numérico que varía de forma aleatoria de una repetición del experimento a otra, es una variable aleatoria discreta. De modo que el valor numérico que puede tomar la variable aleatoria , una vez observado el experimento, es representado con la letra minúscula . Así, la expresión ( = ) puede leerse como el conjunto de todos los posibles resultados del espacio muestral que pueden asignarse a valores mediante la variable aleatoria Ahora tiene sentido hablar de la probabilidad de que la variable aleatoria adopte el valor , que se denota (

90

=

)

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

Cuando una de estas variables aleatorias toma diversos valores, la probabilidad asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada como una distribución de probabilidad, es decir, como un listado de las probabilidades de todos los resultados posibles que se presentan en el experimento. Esta probabilidad se define como la sumatoria de las probabilidades de todos los posibles valores obtenidos en el espacio muestral asignados al valor . Por lo que una vez más se cumplen las propiedades 1 y 3 de la probabilidad, ( ) 1 y ( ) = 1, respectivamente.

Modelos de distribuciones de probabilidad de variables discretas. Existen diferentes tipos de modelos que permiten describir el comportamiento de fenómenos estadísticos que permiten hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre o duda. En los casos de variables discretas se tienen los siguientes modelos.     

Uniforme. Es la distribución donde todos los eventos simples tienen la misma probabilidad. Por ejemplo: tirar un dado, donde la probabilidad de que ocurra ( = ) = 1 6 para valores de = 1 3 6. Binomial. Es la que maneja la distribución de la probabilidad de obtener cierta cantidad de éxitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de éxito constante y con repeticiones del experimento independientes. Geométrica. Es la distribución de la probabilidad de realizar cierto número de experimentos antes de obtener un éxito. Hipergeométrica. Es similar a la binomial, pero con un tamaño de muestra grande en relación al tamaño de la población. De Poisson. Es la distribución de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un periodo de tiempo, un espacio o un lugar. En materia de estudio, la que más nos interesará estudiar de estas, será la distribución binomial que se abordará más adelante.

La distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta puede representarse a través de una tabla, una gráfica o una fórmula que da la probabilidad ( = ), en cuyo caso tal regla de correspondencia se le denomina función de probabilidad, que es la función que asigna la probabilidad a cada valor . En ocasiones, para acortar la notación ( = ), es representado por ( ), como se verá en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1. Considera el experimento de lanzar dos veces una moneda normal y se observa la variable aleatoria número de caras. Calcula la distribución de probabilidad para .

el

Sean los eventos simples de observar una cara, para = 1 , ya que durante el experimento podemos observar que no caigan caras en ninguno de los lanzamientos, que caiga una cara en cualquiera de ellos o que ambos lanzamientos sean caras. Los eventos simples que conforman el espacio muestral y los correspondientes valores de se muestran en la siguiente tabla. ( ) (

)

1

(

)

1

1

(

)

1

1

(

)

1

Recuerda que en la pareja ( ) la primer entrada hace referencia al resultado observado en el primer lanzamiento, mientras que la segunda entrada refiere al segundo lanzamiento. De acuerdo a la tabla, el evento = refiere a los elementos del espacio muestral donde no se observó una cara en ambos lanzamientos; en este caso es el único evento, luego la probabilidad de que asuma el valor cero es: ( = ) = ( ) = ( ) = El evento = 1 contiene dos eventos simples donde aparece sólo una cara en cualquiera de los lanzamientos, por tanto ( = 1) = (1) = ( ) = ( ) = = Por último, la probabilidad del evento donde aparecen dos caras es (

=

BLOQUE 3

)= ( )= ( )= . 91

La siguiente tabla muestra la distribución de probabilidad para : = 0

( ) 1

1

1

2

1 ∑

( )=1

Como puedes notar cada una de las probabilidades es mayor que cero, pero menor que uno, además la suma de todas las probabilidades es igual a uno. Esto es, cumple con los requisitos para que la distribución anterior sea de probabilidad. A través de un gráfico de barras, la distribución de probabilidad se representa de la siguiente manera:

Observa que la variable “número de caras” (eje horizontal) toma valores de manera puntual; esto es, 0, 1 o 2. De ahí que las barras estén separadas entre sí. Se sabe que entre los números 0 y 1 de la recta numérica, se encuentran una infinidad de números decimales, que la variable, en este caso, es imposible que tome. Por otro lado, en el eje vertical se encuentran las probabilidades asociada a cada uno de los valores que la variable aleatoria toma, es en ese sentido que decimos que una variable aleatoria discreta toma valores puntuales. Requisitos para una distribución de probabilidad discreta 1. 2.

Las probabilidades de cada uno de los eventos simples debe ser positiva y menor que uno. ( ) 1 La suma de las probabilidades de cada evento simple debe ser igual a 1. ∑

( )=1

Valor esperado y varianza para una distribución de probabilidad discreta. El valor esperado –también llamada esperanza, media poblacional o media– es una idea fundamental en el estudio de las distribuciones de probabilidad. Es el número ( ) que representa la idea de valor medio de los resultados de un experimento aleatorio. Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, se multiplica cada valor que la variable pueda tomar por la probabilidad de ocurrencia de ese valor y luego se suman esos productos. Por lo tanto representa la cantidad media que se “espera” como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Aunque cabe mencionar que el valor que 92

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

toma la esperanza en algunos casos puede no ser "esperado", ya que el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible. Por ejemplo, el valor esperado cuando se lanza un dado normal de 6 caras es 3.5; es fácil realizar el cálculo para comprobar dicha aseveración. 1 1 1 1 1 1 16 ( ) = 1( ) ( ) 3( ) ( ) ( ) 6( ) = =3 6 6 6 6 6 6 6 Observa que no es posible obtener el valor 3.5 en una de las caras del dado al lanzarlo. En este caso, en el que todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la media aritmética, esto es, es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación. El valor esperado pesa cada resultado posible con respecto a la frecuencia con que se espera que se presente. En consecuencia, los valores de la variable que más ocurren tienen asignadas un peso mayor que las que menos ocurren. Por ejemplo, un jugador afirma que al lanzar dos dados es igual de probable obtener en la suma de estos un seis que un siete, ya que hay el mismo número de resultados a favor de una suma que de otra. Cinco y uno, cuatro y dos, tres y tres, para el seis. Seis y uno, cinco y dos, cuatro y tres, para el siete. ¿Es cierta esta afirmación? Claro que no, en realidad los sucesos que dan origen a que la suma sea 6 en el lanzamiento de dos dados son: (1 ) ( ) (3 3) ( ) ( 1) por tanto la probabilidad es , mientras que los sucesos que hacen que la suma sea 7 son (1 6) ( ) (3 ) ( 3) ( ) (6 1) y en consecuencia esta probabilidad es . Si de apuestas se trata, resulta contraproducente apostar a un suceso que tiene menor peso (probabilidad) de ocurrir. Si este experimento se realiza en repetidas ocasiones, la probabilidad de que la suma sea 7 es mayor que la suma sea 6, por lo que se espera que el resultado 7 se presente con mayor frecuencia que el resultado 6. En muchas situaciones, se encuentra que es más conveniente, en términos de los cálculos que se deben hacer, representar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria de una manera algebraica. Al hacer esto, se puede llevar a cabo cálculos de probabilidad mediante la sustitución de valores numéricos directamente en una fórmula algebraica, como se verá más adelante. Formalizando la definición de valor esperado se tiene. Sea una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades ( ) Entonces el valor esperado, esperanza. o media aritmética de es ( ), = ( )=∑ donde corresponde a los resultados individuales que la variable aleatoria toma. La media aritmética o valor esperado es una medida de centralización, ya que dentro de la gráfica te indica dónde se están concentrando los datos de mayor frecuencia. La distribución de probabilidad para el lanzamiento de dos monedas visto anteriormente, está dada por las primeras dos columnas de la siguiente tabla. La tercera columna ilustra la esperanza o valor esperado para el experimento, calculada con la fórmula planteada, es decir, cada valor que toma la variable es multiplicado por su respectiva probabilidad, y al final sumamos los resultados obtenidos en cada caso, produciendo así = ( ) = 0

( ) 1

1

1

2

1 ∑ ( )=1

( ) 0 ( )=0 1 ( )=1 =1

2 ( )= = ( )=

1

1

=1

El hecho de que = ( ) = 1, sugiere que si se lanzan dos monedas el beneficio medio o beneficio esperado a largo plazo de observar el número de caras es en promedio uno.

BLOQUE 3

93

Sea una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades ( ) y con media = ( ) se define la varianza, (que suele representarse con el símbolo ) como una medida de su dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media. ) ] = [( Desarrollando la definición anterior, se obtiene la siguiente definición y equivalente: = [ ] Por propiedades de la Esperanza se tiene, = ( ) ( ) ] Pero como = ( ) = ( ) ] = ( ) Si la variable aleatoria

es discreta con probabilidades =∑

entonces: (

)

( )

Donde: = ( )=∑

( )

La varianza está medida en unidades distintas de las de la variable, por ser la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media; las unidades de la varianza están expresadas al cuadrado. Por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la varianza se expresa en metros al cuadrado; por lo que resulta poco conveniente de usar. En cambio si se considera la desviación estándar de , que se denota por , definida como la raíz cuadrada positiva de la varianza de , es una medida de dispersión alternativa expresada en las mismas unidades que la variable aleatoria, y mide la distancia a la que se encuentran los datos con respecto a la media. Continuando con el experimento del lanzamiento de dos monedas, el cálculo de la varianza para este caso, queda expresado en la cuarta columna de la siguiente tabla.

= 0

( ) 1

0 =0

(

1)

1

1

1

=

(1

1)

2

1

= =

(

1)

∑

( )=1

( )

2

= ( )=

1

(

1

=1

=

1

)

1

1 1 1 =

( ) 1 = = =

1

=

1

=

La desviación estándar para este caso es la raíz cuadrada del valor obtenido en la varianza; es decir, =√ =√ = 1 Ejemplo 2. Se lanza un par de dados sin truco, y se desea observar la variable de interés las caras superiores. a) Obtener la distribución de probabilidad para b) Construir una gráfica para la distribución de probabilidad. c) Calcular la esperanza, varianza y desviación estándar de

94

: la suma de los puntos de

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

De antemano se sabe que el espacio muestral para este experimento está conformado por las 36 parejas de números igualmente probables de ocurrir, donde la primer entrada refiere al resultado obtenido en el primer dado, y la segunda entrada a la cara del segundo dado.

La variable aleatoria : la suma de los puntos de las caras superiores, puede tomar a lo menos el valor de 2 (correspondiente a la pareja (1 1)) y a lo más el valor de 12 (correspondiente a la pareja (6 6)). Por lo que los valores que puede tomar la variable son: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12. Por ejemplo, para el caso ( = ) corresponden las cuatro parejas (1 ) ( 3) (3 ) ( 1), por lo que la probabilidad asociada es ( = ) = a) De modo que la distribución de probabilidad para la variable aleatoria

( )

2 1 36

3 36

4 3 36

5

6

36

36

7 6 36

8

9

36

36

10 3 36

es: 11 36

12 1 36

Nuevamente observa que todas las probabilidades son mayores que cero, pero menores que uno, y en total la suma es uno. b) El gráfico de barras para la distribución de probabilidad.

BLOQUE 3

95

c) La esperanza y varianza para la variable aleatoria =

( )

2

1 36

3

36 3 36

4 5

36

6

36 6 36

7 8

36

9

36 3 36

10 11

36 1 36

12 ∑

( )=1

son calculadas en la siguiente tabla.

( )

(

2

=

(

)

3

=

(3

)

4

=

(

)

5

=

(

)

6

=

(6

)

7

=

(

)

8

=

(

)

9

=

10

=

11

=

12

=

= ( )=

36

=

( )

)

1 = 36 36 3 = 36 36 3 = 36 36 16 = 36 36 = 36 36 6 = 36 36 36

=

36 16 ( ) = 36 36 3 (1 ) = 36 36 3 (11 ) = 36 36 1 (1 ) = 36 36 1 = = 36

Por lo que la desviación estándar es: =√

=√

3=

1

Con lo que se concluye que la media o esperanza de la suma de las caras en el lanzamiento de dos dados es de 7, con una tendencia a variar por debajo o por encima de dicha suma 2.4 unidades.

96

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

Actividad: 2 En equipo de cuatro, realicen lo que se pide. 1.

Cuando un agente de ventas atiende a un cliente, tiene 30% de probabilidades de realizar una venta; 20% de realizar dos ventas; 10% de realizar tres ventas; y 40% de no realizar ventas. Si por cada venta gana $120.00, completa la tabla anotando el monto de dinero para cada caso. Ventas 0 1 2 3 Total

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Total

a) ¿Cuál fue el total de ventas?

b) ¿Cuánto ganará si recibe 10 clientes? Si 𝑋 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠, c) Elaboren una distribución de probabilidades. 𝑿=𝒙

𝑷(𝒙)

∑

𝑖

𝑃(𝑥𝑖 ) = 1

d) Realicen la representación gráfica de la distribución de probabilidad.

e) Calculen la esperanza y la desviación estándar e interprétalas. 𝑿=𝒙 0 1 2 3

𝑷(𝒙)

∑

𝑖

BLOQUE 3

𝑃(𝑥𝑖 ) = 1

𝒙𝒊 𝒑(𝒙𝒊 )

𝜇 = 𝐸(𝑥) =

(𝒙𝒊

𝝁)𝟐 𝒑(𝒙𝒊 )

𝜎 =

97

Actividad: 2 (continuación) 2.

Ana cree que existe una pequeña probabilidad de que pueda terminar su tarea en tan solo una hora esta noche. De hecho, si ℎ representa el número de horas dedicadas a la tarea, entonces ella asigna probabilidades a los diferentes valores de ℎ, como se muestra en la siguiente tabla: 𝒉 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔

𝑷(𝒉)

1

0.05

2

0.10

3

0.20

4

0.40

5

0.10

6

0.15

a) Determinen si la tabla representa una distribución de probabilidad.

b) Elaboren el gráfico correspondiente a la distribución de probabilidad anterior.

c) Calculen la esperanza y la desviación estándar de dicha variable, e interprétalas. 𝒉 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 1 2 3 4 5 6

𝑷(𝒉)

∑

𝑖

Actividad: 2 Conceptual Distingue la información del problema para el cálculo de probabilidades y la construcción de la gráfica. Autoevaluación

98

𝑃(ℎ𝑖 ) = 1

𝒉𝒊 𝒑(𝒉𝒊 )

𝜇 = 𝐸(𝑥) =

(𝒉𝒊

𝝁)𝟐 𝒑(𝒉𝒊 )

𝜎 =

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Construye la distribución de probabilidad de una variable Participa exponiendo sus ideas y discreta. Calcula media y varianza respetando las de los demás. de una variable aleatoria. C MC NC Calificación otorgada por el docente

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

Sitios Web recomendados: Ingresa al siguiente sitio para que consultes e interactúes con los temas vistos. http://www.estadisticaparatodos.es/software/java.html http://www.analyzemath.com/spanish/statistics.html http://www.matematicasvisuales.com/html/probabilidad/varaleat/tstu dentprob.html

Distribución binomial. Supóngase que la flecha de la figura se gira dos veces y que se está interesado en el número de veces que se obtiene el 2. (Imagina que cada una de las regiones contiene un arco de 120º, por lo que cada uno es igualmente probable). Se puede pensar en el caso que caiga dos como un “éxito”, mientras que en el caso que caiga uno y tres serían “fracasos”. Cuando los resultados de un experimento se dividen en dos categorías, éxito y fracaso, la distribución de probabilidades se conoce como “binomial” (el prefijo bi significa dos). Las realizaciones repetidas de un experimento de estas características, en que la probabilidad de éxito permanece constante en todas las repeticiones, se conocen también como ensayos de Bernoulli repetidos (en honor a su creador Jakob Bernoulli). Si representa el número de 2 (doses) obtenidos después de dos giros, entonces es una variable aleatoria y se puede construir su distribución de probabilidad. Durante el experimento de girar dos veces la flecha, podría tomar los valores 0, 1 o 2, esto es, que en el par de giros no se obtenga ningún dos, que se obtenga 1 o que se obtengan 2 doses, respectivamente. El espacio muestral de resultados (igualmente probables) de la ruleta para los dos giros: = {(1 1) (1 ) (1 3) ( 1) (

) ( 3) (3 1) (3 ) (3 3)}

En cada uno de estos pares ordenados, el primer y segundo números hacen referencia al primer giro y segundo giro, respectivamente. Observa que de los nueve resultados que son, en 4 de ellos no se obtuvo ningún 2, en 4 de ellos se obtuvieron sólo un 2, y sólo en uno de ellos se obtuvieron 2 doses. Entonces la distribución de probabilidad para dos giros se expresa en la siguiente tabla. ( ) (

1

)

(1 ) ( 1) ( 3) (3 )

1

(1 1) (1 3) (3 1) (3 3) ∑

( )= =1

En este ejemplo se tiene un caso de una distribución de probabilidad binomial. Observa que la suma de probabilidades es uno y que cada una de las probabilidades son positivas y menores que uno, lo cual concuerda con la propiedad 3 de la probabilidad vistas en el segundo bloque, debido a que todos los posibles valores de han sido listados. Con la finalidad de desarrollar una fórmula general para la probabilidad binomial, se puede considerar otra forma de obtener las probabilidades de la tabla anterior. Los diferentes giros de la flecha son independientes entre sí y en cada giro la probabilidad de éxito, es decir, que caiga un dos (que denotaremos con la letra ) es de 1 3 , mientras que la de fracaso ( ) es 3. Se denotará éxito en el primer giro como , fracaso en el segundo como , y así sucesivamente. Entonces aplicando las reglas de la probabilidad, se tiene lo siguiente. Que en los dos giros la flecha no haya caído en dos, significa que ambos sean fracasos. ( = )= ( ) BLOQUE 3

99

Por la regla especial de la multiplicación se tiene: ( = )= ( ) ( ) = ( 3) ( 3) = . Que la flecha haya caído en un dos, significa que haya un éxito y un fracaso que se pueden presentar de la siguiente manera: ( = 1) = [( ) ( )]. Por la regla especial de la suma: ( = 1) = [(

)

(

)].

Por la regla especial de la multiplicación: ( = 1) = ( ) ( ) = ( 1 3) ( 3) =

( ) ( ) ( 3) (1 3)

= . Y por último que haya dos éxitos, significa que en cada giro caiga un dos. ( = )= ( ) Por la regla especial de la multiplicación: ( = ) = (1 3) (1 3) =1 . Si observas bien, existe un patrón en los cálculos anteriores. Sólo existe una forma de obtener = (es decir que se fracase en los dos intentos, ). Y sólo hay una manera de obtener = (cuando los dos giros son éxitos, ). Pero existen dos formas posibles de obtener = 1, una es y la otra es . Existen dos formas porque el único éxito requerido puede ocurrir en el primer giro o en el segundo. ¿De cuántas formas puede ocurrir exactamente un éxito en dos ensayos repetidos? Esta pregunta es equivalente a decir ¿cuántos subconjuntos de tamaño uno existen en el conjunto de dos ensayos? La respuesta es = , (¿recuerdas la expresión de combinaciones? significa las combinaciones de dos objetos tomados de uno en uno). Cada una de las dos formas de obtener exactamente un éxito tiene una probabilidad igual a (1 3) ( 3), la probabilidad de éxito multiplicada por la probabilidad de fracaso. Si la misma flecha se gira tres veces en vez de dos, entonces , el número de éxitos de que caiga un dos, es = 3. Estas formas son , y . La probabilidad de cada una de estas tres formas es (1 3) ( 3) ( 3) = . Por lo tanto, ( = 1) = 3 ( )=1 = . El siguiente diagrama de árbol muestra todas las posibilidades de tres giros, observa que el número de formas de obtener dos éxitos en tres ensayos es también de tres, de acuerdo con el hecho de que = 3.

100

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

Núm. de éxitos

Probabilidad

3er. giro

1er. giro

𝐴

1

1

𝐴

3

𝐹

2

𝐴

2

𝐹

𝐹

1

𝐴

𝐴

2

𝐹

1

𝐴

1

3

3

𝐹

0

3

3

2do. giro

𝐴

𝐹 𝐹

1 1 1

3 3

1

3

3

3

3

3

1 1

3

3=

1

3=

3

3

3

1

1

3= 3=

1

3= 3=

3 1

3= 3=

La siguiente tabla proporciona la distribución de probabilidad asociada. Observa también que la suma de las probabilidades es uno. ( )

= 0

1

1

6

2

1

3 ∑

( )=

=1

El patrón que se observa en estos experimentos ahora puede generalizarse para cualquier experimento binomial. Sea: = = =1 = ú

=

Observa que la probabilidad de éxito permanece fija en todos los ensayos. Esto significa que todos los ensayos son independientes entre sí. La variable aleatoria (número de éxitos) puede tomar cualquier valor entre y . En general, se puede obtener éxitos de ensayos de formas diferentes, debido a que este es el número de subconjuntos diferentes de posiciones de la flecha (hablando específicamente del problema aquí desarrollado) entre un conjunto de posiciones. También sin importar cuáles de los ensayos resultaron éxitos, habrá siempre éxitos y fracasos; por lo tanto multiplicamos veces la probabilidad de éxito por veces la probabilidad de fracaso . Todo el análisis anterior se resume en el siguiente enunciado.

BLOQUE 3

101

Fórmula de la probabilidad Binomial Cuando ocurren 𝑛 repeticiones independientes de un ensayo, donde 𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑥𝑖𝑡𝑜 y 𝑞 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑜, con 𝑝 𝑦 𝑞 = 1 𝑝 constantes a lo largo de los 𝑛 ensayos. La probabilidad de obtener exactamente 𝑥éxitos está dada por: 𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝑪𝒏𝒙 𝒑𝒙 𝒒𝒏 𝒙 . Para denotar que una variable aleatoria discreta es una variable aleatoria binomial con parámetros ensayos o repeticiones y con probabilidad de éxito , utilizamos la expresión ( ), donde y parámetros de la variable.

éxitos, son los

)= La fórmula de la probabilidad binomial ( = ) = ( es una función de probabilidad discreta, también se le conoce como ensayos o pruebas de Bernoulli, es aplicable a un gran número de problemas de carácter económico y en numerosas aplicaciones como: - Juegos de azar. - Control de calidad de un producto. - En educación. - En las finanzas. La media y la desviación estándar de la distribución binomial La media de una distribución de probabilidad binomial con parámetros

y

es:

= Por otro lado, la desviación estándar de una distribución probabilística binomial con parámetros

y

es:

=√ Resumiendo, la distribución binomial tiene las siguientes propiedades. Distribución Binomial ( ). = Media Varianza = Desviación estándar =√ Existen tablas de valores para la binomial, por lo regular están disponibles en los libros de estadística, para distintos valores de , de modo que para llegan comúnmente hasta cerca de 20. También, puedes usar los paquetes de software estadísticos que realizan estos cálculos de manera automática o bien tu máquina calculadora. Para este propósito, se utilizará la fórmula establecida anteriormente, ayudado con la calculadora. Así, se puede usar cualquier número entero para y cualquier valor de entre 0 y 1. Ejemplo 1. Determina la probabilidad de obtener exactamente tres caras en cinco lanzamientos al aire de una moneda sin defectos. Determina también la media y la desviación estándar. Como el problema pide determinar la probabilidad de obtener cara, entonces la cara de la moneda será el “éxito”. Ya que sólo se tienen dos opciones, éxito y fracaso, éste es un experimento binomial con parámetros: = 1 lanzamientos que pide el problema; la probabilidad de éxito, que caiga cara, es = . De la misma manera, la probabilidad de fracaso, que caiga sello, es = 1 1 = 1 ; y como piden la probabilidad de que caigan tres caras, o sea, tres éxitos, entonces

= 3. De la fórmula de la probabilidad binomial. ( = )=

102

,

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

sustituyendo todos los valores tenemos que la probabilidad resulta: (1 ) (1 ) = (1 ) (1 ) 1 1 1 =1 = = = 3 16

( = 3) =

31

Nota: En algunas calculadoras, las permutaciones y combinaciones se encuentran generalmente arriba de las teclas de ( ) y ( ), respectivamente. Para calcular , primero escribes 5 en la calculadora, presionas la tecla SHIFT para que se active la función de combinaciones, enseguida presionas la tecla sobre la cual se encuentran las combinaciones, para este tipo de calculadoras es la tecla ( ); y aparece en la pantalla la expresión , enseguida presionas 3, luego el igual. Y te devuelve como resultado el número de combinaciones de 5 en 3 que es 10. Por último, la media de acuerdo a su fórmula es: = Y la desviación estándar es: =√

= ( )(1 ) =

=

= √( )(1 )(1 ) = √

. = 1 11

Esto quiere decir que al realizar cinco lanzamientos al aire de una moneda, en teoría, el número de caras promedio que se esperan observar en los cinco lanzamientos sería de 2.5 (casi tres caras) con una tendencia a variar por debajo o por encima de dicha suma 1.11 unidades. Ejemplo 2. Determina la probabilidad de obtener exactamente dos cincos en seis lanzamientos de un dado sin truco. Calcula su media y desviación estándar. Nuevamente ya que piden la probabilidad de obtener el número cinco de un dado, el “éxito” será que salga un cinco. Entonces los parámetros de la distribución son: = 6 ya que son 6 lanzamientos, la probabilidad de éxito, que salga un cinco es = 1 6, la probabilidad de fracaso por tanto es = 1 1 6 = 6 y ya que pide obtener exactamente dos cincos, entonces = . De la fórmula de la probabilidad binomial se tiene. ( = )= ( 1 6) ( 6) = ( 1 6) ( 6) 1 6 31 =1 = = 1 36 1 6 1 La media de acuerdo a su fórmula es: = La desviación estándar es: =√

= (6)(1 6) = 6 6 = 1

= √(6)(1 6)( 6) = √3 36 =

1

Esto quiere decir que al lanzar un dado seis veces, en teoría, el promedio de observar un cinco sería de 1 con una dispersión de 0.91. En el caso de ensayos repetidos independientes, cuando un evento implica más de un número específico de éxitos, se puede emplear la fórmula de la probabilidad binomial junto con la regla de complementos o la regla de la suma vistas en el bloque anterior. Ejemplo 3. Una pareja planea tener 5 hijos. Determina la probabilidad de que tengan más de tres niñas, su media y desviación estándar. (se va a suponer que los niños y las niñas son igualmente probables.) BLOQUE 3

103

El “éxito” entonces es que sea una niña. Entonces los parámetros de la distribución son: = , = 1 , = 1 1 =1 y 3, ya que pide que tengan más de tres niñas, o sea 4 o 5, . Por lo que implica usar la regla de la suma. Utilizando la fórmula de la probabilidad binomial, resulta. (

3) = ( = ) ( = ) = ( = ) ( = ) 1 1 = ( ) ( ) (1 ) (1 )

= = Por último, la media de acuerdo a su fórmula es: = Su desviación estándar es: =√

1 1 1 1 1 16 3 = = = 1

= ( )(1 ) =

=

= √( )(1 )(1 ) = √

= 1 11

Esto quiere decir que al tener cinco hijos, en teoría el número de niñas promedio que se espera observar en los cinco alumbramientos sería de 2.5 (entre dos y tres niñas) con una desviación con respecto a la media de 1.11. Ejemplo 4. Rudy Preciado, un jugador de béisbol, tiene una carrera establecida por haber bateado un promedio de 0.3, (esto significa, que en promedio de cada 10 bateos, aproximadamente 3 son imparables). En una serie corta, con otro equipo rival, Rudy bateará 10 veces. Determina la probabilidad de que obtenga más de dos imparables en la serie. Este “experimento” implica = 1 ensayos de Bernoulli, pues sólo se tienen dos opciones nuevamente, con probabilidad de éxito (dar un imparable) dada por = 3 (lo cual implica que la probabilidad de fracaso es, = 1 3= ). Debido a que en este caso, “más de 2”, significa “3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10” (lo cual significa 8 diferentes posibilidades), sería menor trabajo si se aplica la regla de los complementos, es decir, calcular la probabilidad para los casos cuando el número de imparables es “0, 1 o 2” y restárselos a 1. (

)=1 =1 =1 =1

( ) ( = 1 ( = ) [

=1 [ =1 3 = 61 .

) ( = 1)

( 3) (

( 3) ( ) 1 11

( =

) ( 3) ( 33 ]

)

)

Por regla de los complementos Sólo tres posibilidades diferentes Regla especial de la suma

]

Fórmula de la probabilidad binomial

Por lo que Rudy Preciado tiene el 61.72% de probabilidad de pegar más de dos imparables en la serie corta.

104

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

Actividad: 3 Resuelve los siguientes problemas. 1.

En baloncesto, al cobrar un falta, si se encesta el primer lanzamiento se tiene derecho a un segundo lanzamiento extra, de tal manera que se pueden obtener:  0 puntos, si se falla el primer lanzamiento.  1 punto, si se encesta el primer lanzamiento y se falla el segundo.  2 puntos, si se encesta en ambos lanzamientos.

Si un jugador en promedio encesta 3 de cada 4 intentos, al cobrar una falta, ¿qué probabilidad hay de obtener? a) Cero puntos b) 1 punto.

c) 2 puntos.

2.

Si se lanzan al aire tres monedas no defectuosas, determina la probabilidad de cada uno de los siguientes números de sellos. a) Cero.

b) Uno o dos.

c) Uno.

d) Al menos uno.

e) Tres.

f)

No más de uno.

g) Menos de 3.

BLOQUE 3

105

Actividad: 3 (continuación)

         

3.

Suponiendo que un bebé niño o niña son igualmente probables, determina la probabilidad de que una familia con tres hijos tengan exactamente dos niños.

          Actividad: 3 Conceptual Identifica las propiedades de la distribución binomial. Autoevaluación

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Aplica la distribución binomial, para resolver problemas cotidianos. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia las características de la distribución binomial en el cálculo de probabilidades.

Calificación otorgada por el docente

    Sitios Web recomendados:   e interactúes con los temas Ingresa al siguiente sitio para que consultes vistos.  http://www.analyzemath.com/statistics/binomial_probability.html  http://e-stadistica.bio.ucm.es/mod_distribu/distribu_applet_ghost.html  http://www.matematicasvisuales.com/html/probabilidad/varaleat/binomial.html    



106

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

Cierre Actividad: 4 Resuelve los siguientes problemas.

1. Un examen consta de 10 preguntas de Falso y Verdadero. Suponiendo que una de las personas decide resolver el examen al azar. Hallar: a) La probabilidad de obtener cinco aciertos.

b) La probabilidad de obtener algún acierto.

c) La probabilidad de obtener al menos cinco aciertos.

2. La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de Licenciado en farmacéutica es de 0.3. Hallar la probabilidad de que un grupo de estudiantes matriculados en primer curso: a) Todos finalicen la carrera.

b) Ninguno de los siete finalice la tarea.

c) Al menos dos acaben la carrera.

d) Hallar la media y la desviación estándar del número de alumnos que acaben la carrera.

3. La probabilidad de que un alumno de primer año de bachillerato repita un curso es de 0.25. Se eligen 20 alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya exactamente 4 alumnos repetidores?

4. En una oficina de servicio al cliente de una tienda de autoservicio, se atiende a 100 personas diariamente.

Por lo general, 10 personas se van sin recibir bien el servicio. Determina la probabilidad de que en una encuesta a 15 clientes, 3 no hayan recibido un buen servicio.

BLOQUE 3

107

Actividad: 4 (continuación) 5.

6.

En una fábrica de cámaras fotográficas, el 5% sale con defectos. Determine la probabilidad de que en una muestra de 12 se encuentren 2 cámaras defectuosas.

En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 20% de ellos presentaban fuga de aceite. Si se instalan 20 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que: c) 4 salgan defectuosos.

d) Más de 5 tengan fuga de aceite.

e) De 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos.

d) Determina el promedio y la desviación estándar de amortiguadores defectuosos.

Actividad: 4 Conceptual Identifica los parámetros de la distribución binomial, en la solución de problemas cotidianos. Autoevaluación

108

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Emplea la distribución binomial, en la solución de problemas cotidianos. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Reconoce el uso de la distribución binomial en diversas situaciones de la vida real.

Calificación otorgada por el docente

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

Secuencia didáctica 2. Distribución de probabilidad para una variable continua. Inicio Actividad: 1 Responde los siguientes cuestionamientos. 1.

Clasifica las siguientes cantidades de variables como numéricas discretas o continuas. a) El número de caras obtenidas en 30 monedas lanzadas.

b) El número de bebés que nacen en un día en cierto hospital.

c) El peso promedio de los bebés nacidos en una semana.

d) La altura de los abetos de seis semanas de edad.

e) Tiempo que tarda un avión en despegar.

f)

2.

El nivel de hemoglobina en la sangre de una persona.

Observa la gráfica y contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Qué porcentaje está por encima de 70? b) ¿Qué porcentaje está por debajo de 85?

BLOQUE 3

109

Actividad: 1 (continuación)

3.

c)

Si se supone que los números del eje horizontal son calificaciones de 500 alumnos que cursaron la materia de Matemáticas 4, ¿cuántos de ellos obtuvieron una calificación entre 70 y 90?

d)

¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar a un alumno que cursó esta materia haya tenido una calificación inferior a 75?

Suponiendo, ahora, que la gráfica refleja los niveles de hemoglobina en las mujeres adultas, da respuesta a cada una de las siguientes preguntas:

a) ¿Qué porcentaje de mujeres tiene niveles de hemoglobina inferiores a 13.6?

b) ¿Qué porcentaje de mujeres tiene niveles de hemoglobina entre 11.6 y 12.4?

c) ¿Qué porcentaje de mujeres tiene niveles de hemoglobina superiores a 12.8?

d) ¿Qué porcentaje de mujeres tiene niveles de hemoglobina entre 12.4 y 13.6?

    ¿Cuál es la probabilidad de que al elegiral azar a una mujer a quien le realizaron un estudio sanguíneo, arroje un nivel de hemoglobina inferior  a 12.8?   Si se eligen al azar 300 mujeres adultas, ¿cuántas  de ellas tienen niveles de hemoglobina superior a 13.2?  

e) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar a una mujer a quien le realizaron un estudio sanguíneo, arroje un nivel de hemoglobina que varíe entre 12 y 13.2?

f)

g)

110

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

    

Actividad: 1 Conceptual Interpreta áreas bajo la curva en porcentajes y probabilidades. Autoevaluación

Evaluación Producto: Descripción y Puntaje: cuestionario. Saberes Procedimental Actitudinal Convierte áreas bajo la curva en Se muestra interesado en el porcentajes y probabilidades. desarrollo de la actividad. C MC NC Calificación otorgada por el docente

Desarrollo Distribución de probabilidad para variables continuas. Hasta el momento se han considerado las distribuciones de probabilidad para variables discretas, donde se podía asignar el valor que toma la función de probabilidad cuando la variable aleatoria tomaba un valor en concreto. Sin embargo, al considerar las variables continuas se encuentra el problema de que, lo más probable, los datos que se puedan recabar no sean completamente exactos, o dos o más de ellos no coincidan, por lo que se tienen que trabajar en intervalos y, en ese momento, modelar una función se convierte en un problema más complicado. Sin embargo, se pueden realizar aproximaciones y describir la probabilidad a través de modelos teóricos de probabilidad cuya gráfica es una línea continua, a diferencia de las variables discretas que le corresponde un gráfico de barras. Al iniciar el análisis estadístico de una serie de datos, y después de la etapa de detección y corrección de errores, un primer paso consiste en describir la distribución de las variables estudiadas y, en particular, de los datos numéricos. Además de las medidas descriptivas correspondientes, el comportamiento de estas variables puede explorarse gráficamente mediante un histograma de frecuencias. Recuerda de tu primer curso de probabilidad que para construir un histograma se divide el rango de valores de la variable en intervalos de igual longitud, representando sobre cada intervalo un rectángulo con área proporcional al número de datos en ese rango. Si se unen los puntos medios del extremo superior de las barras (techos de los rectángulos), se obtiene el llamado polígono de frecuencias. Entre más grande sea la cantidad de valores observados de la variable de interés, se puede construir un histograma en el que las bases de los rectángulos sean cada vez más pequeñas, de modo que el polígono de frecuencias tendrá una apariencia cada vez más suavizada. Esta curva suave "asintótica" representa de modo intuitivo la distribución teórica de la característica observada. Es la llamada función de densidad, como se verá a continuación. Para clarificar cómo se realiza esta aproximación al modelo teórico se considerará el siguiente caso: Se han registrado los tiempos que le tomó a una empresa de mensajería entregar 190 paquetes con destinatarios diferentes dentro de una misma ciudad. Los datos se han agrupado en una distribución de frecuencias considerando intervalos de cinco días como sigue: Tiempo de entrega (días) [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30)

BLOQUE 3

No. de paquetes

115 31 17 12 10 5

111

Se va a suponer que un posible cliente, conociendo esta información, quisiera saber qué probabilidad tiene de que su paquete sea entregado en dos días. El problema es que al manejar intervalos de cinco días se está suponiendo que dentro de cada intervalo los datos se distribuyen de manera uniforme, es decir, que los paquetes se distribuyen equitativamente cada día, cosa que no es así. Se puede aumentar la muestra y seguir recogiendo información para hacer una distribución de frecuencias similar a la anterior, pero se tendría el mismo problema: dentro de cada intervalo se está presuponiendo que los datos se distribuyen uniformemente. Otra posible solución es reducir la amplitud de los intervalos, de tal suerte que se podría tomar una amplitud de tres días por intervalo y hacer la siguiente distribución de frecuencias: Tiempo de entrega (días)

No. de paquetes

[0,3)

93

[3,6)

30

[6,9)

18

[9,12)

13

[12,15)

9

[15,18)

8

[18,21)

6

[21,24)

6

[24,27)

4

[27,30)

3

Al seguir reduciendo la amplitud a dos días se obtiene la distribución:

112

Tiempo de entrega (días)

No. de paquetes

[0,2)

76

[2,4)

29

[4,6)

18

[6,8)

13

[8,10)

10

[10,12)

8

[12,14)

6

[14,16)

6

[16,18)

5

[18,20) [20,22)

4 4

[22,24)

4

[24,26)

3

[26,28)

2

[28,30)

2

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

Al reducirla a intervalos de un día se tiene la distribución: Tiempo de entrega (días)

No. de paquetes

[0,1)

51

[1,2)

25

[2,3)

17

[3,4)

12

[4,5)

10

[5, 6)

8

[6,7)

7

[7,8)

6

[8,9)

5

[9,10) [10,11

5 4

[11,12)

4

[12,13)

3

[13,14)

3

[14,15) [15,16)

3 3

[16,17)

3

[17, 18)

2

[18,19)

2

[19,20)

2

[20,21)

2

[21,22)

2

[22,23)

2

[23,24)

2

[24,25)

2

[25,26)

1

[26,27)

1

[27,28)

1

[28,29)

1

[29,30)

1

Ahora, lo que le interesa al futuro cliente es la probabilidad de que se haga una entrega en un cierto tiempo, por lo que habría que considerar las frecuencias relativas (para este caso es la frecuencia de cada intervalo entre 190, el total de datos), y nuevamente reducir la amplitud de los intervalos. Y se podría graficar tal información en histogramas para poder ver cómo se aproximan, si es que ocurre, los valores a una curva continua.

BLOQUE 3

113

Donde las barras del fondo, las más anchas (rosas) y la línea (roja) que los recorre, corresponden a los intervalos de cinco días; le siguen las barras y línea azules, corresponden a los intervalos de tres días; las barras y línea amarillas, a los intervalos de dos días; y las barras y líneas verdes, que son los que están en primer plano, a los intervalos de un día. Se han incluido de una vez las líneas que unen los puntos medios de las barras del histograma porque se puede ver que las barras de las frecuencias relativas se "van reduciendo en altura" y las líneas graficadas están tan separadas del lado izquierdo (en este caso) que no se puede hablar de una aproximación continua a una sola línea. Una posible solución a esto es utilizar la densidad del intervalo, que se va a definir como el cociente de la frecuencia relativa entre la amplitud del intervalo: = De hecho, existe la función de densidad de una distribución de probabilidad, de donde se deriva esta definición de densidad del intervalo. De esta manera, añadiendo las columnas correspondientes a la frecuencia relativa y la densidad se tienen las siguientes tablas: Intervalos de cinco días

114

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

Intervalos de tres días

Intervalos de dos días

Intervalos de un día

Al realizar los histogramas correspondientes, quedan como sigue:

BLOQUE 3

115

Observa cómo las barras azules, que son las que están en primer plano dentro del gráfico, corresponden a los intervalos de un día, han aumentado su altura, y las barras rosas que son las que se ven en último plano ahora se han reducido en altura. Igual que en el caso anterior, se han graficado simultáneamente las barras y las líneas que unen los puntos medios de éstas para observar que con la densidad sí se aproximan los histogramas a una línea continua (que la mejor aproximación presentada es la línea azul) cuando los intervalos se reducen continuamente. El resultado es una línea continua que es la gráfica de una cierta función denominada función de densidad de la distribución de probabilidad. Ahora, considerando la manera en que se definió la densidad de un intervalo como: = y recordando que la frecuencia relativa es la probabilidad de un evento (en el ejemplo de la mensajería sería la probabilidad de entregar un paquete dentro de un intervalo dado de tiempo): =

=

Entonces, despejando en el primer cociente la frecuencia relativa e igualando con esta segunda expresión se obtiene que: =(

) (

)

Geométricamente hablando, el producto que proporciona la probabilidad del evento representa lo siguiente: La densidad del intervalo es la altura de cada uno de los rectángulos, mientras que la amplitud del intervalo es el ancho de cada rectángulo, se sabe que alto por ancho proporciona el área del rectángulo. De esta manera, la probabilidad de que ocurra un evento corresponde al área de las barras del histograma hecho, tomando en cuenta la densidad de los intervalos y que cuando tales intervalos tienen una amplitud cada vez más pequeña, es decir, que tiende a cero; la gráfica se convierte en la curva continua de la función de densidad, entonces la probabilidad de que un evento ocurra en un intervalo [ ] es el área bajo la curva de la función en ese intervalo, como se ve en la siguiente gráfica:

116

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

Por tanto, el cálculo de tal probabilidad se realiza utilizando cálculo integral: (

)=∫

( )

( )

=

Donde ( ) es la función de densidad de la distribución de probabilidad correspondiente. La gráfica de ( ) se conoce a veces como curva de densidad, la probabilidad de que tome un valor en el intervalo [ ] es el área bajo la curva de la función de densidad. Así, la función de densidad de probabilidad mide la probabilidad concentrada alrededor de los valores de una variable aleatoria continua. Para que ( ) sea una función de densidad de probabilidad (FDP) legítima, debe satisfacer las siguientes dos condiciones: 1. 2.

para toda . Esto es que en todo valor dentro del intervalo debe ser positiva.

( ) ∫

( )

= 1. Es decir que el área total de la curva de densidad en toda la recta real es igual a 1.

Observa que estas propiedades para el caso de variables aleatorias continuas son similares al caso discreto. En la número 1, que las probabilidades sean positivas y en la número 2, a que la suma de las probabilidades de los valores que toma la variable es igual a 1. Hay que estar conscientes de que en el caso de las variables continuas sólo se puede calcular la probabilidad de que un evento caiga dentro de un intervalo, debido a que la exactitud de los instrumentos de medición siempre es relativa y muy lejana a la "exactitud" de los cálculos matemáticos. Por esto, la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor exacto es nula: ( = )=∫

( )

=

Esto se puede explicar de la siguiente manera: si, como ya se dijo, la probabilidad (frecuencia relativa) es igual a la densidad del intervalo por la amplitud del intervalo, entonces no importa qué tan grande sea la densidad de tal intervalo porque, como ya también se dijo, por ser variable continua la amplitud del intervalo tiende a cero y, por tanto, la probabilidad es igual a cero.

BLOQUE 3

117

Modelos de distribución de probabilidad de variables continuas. Al igual que en el caso de las distribuciones de probabilidad de variables discretas, en el caso de las distribuciones de probabilidad de variables continuas se tienen varios modelos teóricos.      

Uniforme. Es la distribución en donde todos los eventos tienen la misma probabilidad. Exponencial. Se utiliza para estudiar el tiempo entre dos sucesos. Beta. Sirve para el estudio de variaciones, a través de varias muestras, de un porcentaje que representa algún fenómeno. Gamma. Se utiliza para estudiar variables cuya distribución puede ser asimétrica. ji cuadrada (  2 ). Es una distribución asociada a la prueba c², y se usa para comparar los valores observados con los esperados. Normal. Es la distribución más utilizada porque la mayoría de las variables utilizadas en fenómenos sociales se distribuyen aproximadamente siguiendo este modelo. Es la que tocaremos a continuación y se le llama comúnmente distribución normal.

La distribución normal. Una de las distribuciones teóricas mejor estudiadas en los textos de bioestadística y demás disciplinas utilizadas en la práctica, es la distribución normal, también llamada distribución Gaussiana, en honor a su creador Carl Friedrich Gauss. La importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal:       

Caracteres morfológicos de individuos como peso, estatura, etc. Caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco. Caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos. Caracteres psicológicos como el cociente intelectual. Nivel de ruido en telecomunicaciones. Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Valores estadísticos muestrales como la media.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

No obstante, y aunque algunos autores han señalado que el comportamiento de muchos parámetros en el campo de la salud pueden ser descritos mediante una distribución normal, puede resultar incluso poco frecuente encontrar variables que se ajusten a este tipo de comportamiento. De cualquier modo es importante no dar por hecho que un conjunto de observaciones asume la distribución normal. La simple exploración visual de los datos puede sugerir la forma de su distribución. Aun así, existen otras medidas, gráficos de normalidad y contrastes de hipótesis que ayudan a decidir de un modo más riguroso, si la muestra de la que se dispone procede o no de una distribución normal. Cuando los datos no sean normales, se puede transformarlos o emplear otros métodos estadísticos que no exijan este tipo de restricciones (los llamados métodos no paramétricos). A continuación se describirá la distribución normal, su ecuación matemática y sus propiedades más relevantes, proporcionando algunos ejemplos sobre sus aplicaciones. La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media y su desviación estándar, denotadas generalmente por las letras griegas minúsculas (mu) y (sigma), respectivamente. La distribución normal es la distribución de probabilidad que con más frecuencia aparece en estadística y teoría de probabilidades. Esto se debe a dos razones fundamentalmente: a). Su función de densidad es simétrica y con forma de campana, lo que favorece su aplicación como modelo a gran número de variables estadísticas. b). Es además, límite de otras distribuciones y aparece relacionada con una gran cantidad de resultados ligados a la teoría de las probabilidades gracias a sus propiedades matemáticas.

118

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

La función de densidad está dada por:

( )=

1

(

)

√

Donde (mu) es la media, (sigma) es la desviación estándar ( es la varianza) y es la variable aleatoria continua que determina la curva en forma de campana. Así, se dice que una variable sigue una distribución normal con media y desviación estándar , y se denota como ( ), si su función de densidad está dada por la ecuación anterior. Como se deduce de este último apartado, no existe una única distribución normal, sino una familia de distribuciones con una forma común, que se diferencian por los valores de su media y su varianza. De entre todas ellas, la más utilizada es la distribución normal estándar, que corresponde a una distribución de media = y desviación estándar = 1. Es importante saber que, a partir de cualquier variable que siga una distribución ( ), se puede obtener otra variable con una distribución normal estándar, efectuando la transformación: = entonces la variable aleatoria se dice que se ha estandarizado, de tal modo que la nueva variable aleatoria tendrá una distribución normal con = y = 1. Esta propiedad resulta especialmente interesante en la práctica, ya que para una distribución ( 1) existen tablas a partir de las cuales se puede obtener de modo sencillo la probabilidad de observar un dato menor o igual a un cierto valor , y que permitirán resolver preguntas de probabilidad acerca del comportamiento de variables de las que se sabe o se asume que siguen una distribución aproximadamente normal, como se verá en algunos ejemplos más adelante. Propiedades de la curva normal Las medidas de tendencia central (media, moda, mediana) son idénticas. Conforme nos alejamos de la media (centro), la curva decae rápidamente, y después, de manera gradual se aproxima al eje de las abscisas. Pero de hecho nunca alcanza al eje, por ello, la curva normal es asintótica al eje de abscisas. No importa que tanto nos alejemos, siempre existe la posibilidad (aunque muy pequeña) de que tome un valor superior. Por lo tanto, en forma teórica, el rango de la distribución normal es infinito, . Es simétrica con respecto a su media. Para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor. La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación estándar ( ). Cuanto mayor sea la , más aplanada será la curva de la densidad. Regla empírica: El área bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a una desviación estándar de la media es aproximadamente el 68%, a dos desviaciones estándar el 95% aproximadamente y a tres desviaciones estándar aproximadamente el 99.7%. En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo ( 1 6 1 6 ). Como lo muestra la gráfica.

34%

34%

13.5%

13.5%

2.3%

µ-3

BLOQUE 3

2.3%

µ-2

µ-1

µ

µ+1

µ+2

µ+3

119

Es importante darse cuenta de que el porcentaje de valores en un intervalo es equivalente a la probabilidad de que un valor aleatorio se encuentre en dicho intervalo. La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros y . La media es una medida de localización, esta indica la posición de la campana. De modo que para diferentes valores de la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. Por otra parte, la desviación estándar es una medida de dispersión, ya que determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de , más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana. Un valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución. Ejemplo 1. Supongamos que 300 estudiantes de química hacen un examen semestral y que la distribución de sus resultados está distribuida de manera normal. Determina el número de resultados que caen dentro de los siguientes intervalos. a) Dentro de 1 desviación estándar de distancia de la media. Mediante la regla empírica, el 68% de los resultados posibles están a 1 desviación estándar de la media. Ya que hay un total de 300 resultados, el número de resultados a 1 desviación estándar es de (6 )(3 ) = b) Dentro de 2 desviaciones estándar de distancia de la media. Un total de 95% de todos los resultados caen dentro de 2 desviaciones estándar de la media. Esto sería ( )(3 ) = Casi todas las preguntas a las que se necesita dar respuesta sobre distribuciones normales implican regiones diferentes de las de 1, 2, 3 desviaciones estándar de la media. Por ejemplo, se podría necesitar el porcentaje de resultados a 1 o desviaciones estándar de distancia de la media, o quizá el área bajo la curva de 0.8 a 1.3 desviaciones estándar por encima de la media. En tales casos, se necesita más que la regla empírica. El método tradicional es consultar una tabla de valores de áreas, como la tabla que se anexa en este módulo. Al igual que ocurre con un histograma, en el que el área de cada rectángulo es proporcional al número de datos en el rango de valores correspondiente si, tal y como se muestra en la figura abajo en el eje horizontal se considera un valor , el área bajo la curva delimitada entre la media 0 y el valor de indica la probabilidad de que la variable de interés , tome un valor cualquiera en ese intervalo. Puesto que la curva alcanza su mayor altura en torno a la media, mientras que sus "ramas" se extienden asintóticamente hacia los ejes, cuando una variable siga una distribución normal, será mucho más probable observar un dato cercano al valor medio que uno que se encuentre muy alejado de este. Los paquetes de software diseñados para aplicaciones estadísticas por lo común pueden calcular los valores de las probabilidades necesarias, y además muchas de las avanzadas calculadoras actuales tienen esta capacidad. Si bien se podrían usar estas herramientas como un método opcional, el objetivo aquí es ilustrar el uso de la tabla de valores de la normal.

Áreas bajo la curva normal estándar entre 0 y 𝒛.

𝑧

0

Segunda cifra decimal del valor de 𝒛.

120

0.0 0.1

0.00 0.0000 0.0398

0.01 0.0040 0.0438

0.02 0.0080 0.0478

0.03 0.0120 0.0517

0.04 0.0160 0.0557

0.05 0.0199 0.0596

0.06 0.0239 0.0636

0.07 0.0279 0.0675

0.08 0.0319 0.0714

0.09 0.0359 0.0753

0.2

0.0793

0.0832

0.0871

0.0910

0.0948

0.0987

0.1026

0.1064

0.1103

0.1141

0.3

0.1179

0.1217

0.1255

0.1293

0.1331

0.1368

0.1406

0.1443

0.1480

0.1517

0.4

0.1554

0.1591

0.1628

0.1664

0.1700

0.1736

0.1772

0.1808

0.1844

0.1879

0.5

0.1915

0.1950

0.1985

0.2019

0.2054

0.2088

0.2123

0.2157

0.2190

0.2224

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

0.6

0.2257

0.2291

0.2324

0.2357

0.2389

0.2422

0.2454

0.2486

0.2517

0.2549

0.7

0.2580

0.2611

0.2642

0.2673

0.2704

0.2734

0.2764

0.2794

0.2823

0.2852

z 0.8

0.00 0.2881

0.01 0.2910

0.02 0.2939

0.03 0.2967

0.04 0.2995

0.05 0.3023

0.06 0.3051

0.07 0.3078

0.08 0.3106

0.09 0.3133

0.9

0.3159

0.3186

0.3212

0.3238

0.3264

0.3289

0.3315

0.3340

0.3365

0.3389

1.0

0.3413

0.3438

0.3461

0.3485

0.3508

0.3531

0.3554

0.3577

0.3599

0.3621

1.1

0.3643

0.3665

0.3686

0.3708

0.3729

0.3749

0.3770

0.3790

0.3810

0.3830

1.2

0.3849

0.3869

0.3888

0.3907

0.3925

0.3944

0.3962

0.3980

0.3997

0.4015

1.3

0.4032

0.4049

0.4066

0.4082

0.4099

0.4115

0.4131

0.4147

0.4162

0.4177

1.4

0.4192

0.4207

0.4222

0.4236

0.4251

0.4265

0.4279

0.4292

0.4306

0.4319

1.5 1.6 1.7 1.8

0.4332 0.4452 0.4554 0.4641

0.4345 0.4463 0.4564 0.4649

0.4357 0.4474 0.4573 0.4656

0.4370 0.4484 0.4582 0.4664

0.4382 0.4495 0.4591 0.4671

0.4394 0.4505 0.4599 0.4678

0.4406 0.4515 0.4608 0.4686

0.4418 0.4525 0.4616 0.4693

0.4429 0.4535 0.4625 0.4699

0.4441 0.4545 0.4633 0.4706

1.9

0.4713

0.4719

0.4726

0.4732

0.4738

0.4744

0.4750

0.4756

0.4761

0.4767

2.0

0.4772

0.4778

0.4783

0.4788

0.4793

0.4798

0.4803

0.4808

0.4812

0.4817

2.1

0.4821

0.4826

0.4830

0.4834

0.4838

0.4842

0.4846

0.4850

0.4854

0.4857

2.2

0.4861

0.4864

0.4868

0.4871

0.4875

0.4878

0.4881

0.4884

0.4887

0.4890

2.3

0.4893

0.4896

0.4898

0.4901

0.4904

0.4906

0.4909

0.4911

0.4913

0.4916

2.4

0.4918

0.4920

0.4922

0.4925

0.4927

0.4929

0.4931

0.4932

0.4934

0.4936

2.5

0.4938

0.4940

0.4941

0.4943

0.4945

0.4946

0.4948

0.4949

0.4951

0.4952

2.6

0.4953

0.4955

0.4956

0.4957

0.4959

0.4960

0.4961

0.4962

0.4963

0.4964

2.7 2.8 2.9 3.0

0.4965 0.4974 0.4981 0.4987

0.4966 0.4975 0.4982 0.4987

0.4967 0.4976 0.4982 0.4987

0.4968 0.4977 0.4983 0.4988

0.4969 0.4977 0.4984 0.4988

0.4970 0.4978 0.4984 0.4989

0.4971 0.4979 0.4985 0.4989

0.4972 0.4979 0.4985 0.4989

0.4973 0.4980 0.4986 0.4990

0.4974 0.4981 0.4986 0.4990

3.1

0.4990

0.4991

0.4991

0.4991

0.4992

0.4992

0.4992

0.4992

0.4993

0.4993

3.2

0.4993

0.4993

0.4994

0.4994

0.4994

0.4994

0.4994

0.4995

0.4995

0.4995

3.3

0.4995

0.4995

0.4995

0.4996

0.4996

0.4996

0.4996

0.4996

0.4996

0.4997

3.4

0.4997

0.4997

0.4997

0.4997

0.4997

0.4997

0.4997

0.4997

0.4997

0.4998

3.5

0.4998

0.4998

0.4998

0.4998

0.4998

0.4998

0.4998

0.4998

0.4998

0.4998

3.6

0.4998

0.4998

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

3.7

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

3.8

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

3.9

0.5000

0.5000

0.5000

0.5000

0.5000

0.5000

0.5000

0.5000

0.5000

0.5000

La tabla proporciona la fracción de los resultados de una distribución normal estándar que caen entre la media y un valor . Debido a la simetría de la curva normal, la tabla puede usarse para valores por debajo de la media o por encima de esta. Todos los elementos de la tabla pueden pensarse como una correspondencia con el área que está bajo la curva. El área total se arregla para que sea igual a 1.000 unidad cuadrada, con 0.500 unidades cuadradas a cada lado de la media. La tabla muestra que a 3.9 desviaciones estándar de la media se encuentra esencialmente toda el área. Lo que queda más allá es tan pequeño que no aparecen los decimales. Ejemplo 2. Utiliza la tabla de la curva normal para determinar el porcentaje de todos los resultados que caen entre la media y los siguientes valores.

BLOQUE 3

121

a) Una desviación estándar por encima de la media.

Aquí = 1 (el número de desviaciones estándar, escrito como decimal a la centésima más cercana). Consulta la tabla de valores, y encuentra el 1.00 en la columna de . La entrada de la tabla correspondiente a la columna de área señala 0.3413; por lo tanto el 34.13% de todos los valores cae entre la media y una desviación estándar por encima de la misma, como se observa en el gráfico. b) A 2.45 desviaciones estándar por debajo de la media. Aunque en este caso pide el porcentaje por debajo de la media (es decir, a la izquierda de esta), la tabla de la curva normal estándar continua funcionando, ya que la curva normal es simétrica con respecto a la media. Localiza 2.45 en la columna de . Un total de 0.4929ó 49.29% de todos los valores caen entre la media y 2.45 desviaciones estándar por debajo de ésta.

Observa en la gráfica que para valores de

por debajo de la media se denotan con números negativos.

Ejemplo 3. La duración de las llamadas de larga distancia de cierta ciudad está distribuida normalmente con una media de 6 minutos, y una desviación estándar de 2 minutos. Si se elige al azar 1 llamada, de los archivos de cierta compañía, ¿cuál es la probabilidad de que haya durado más de 10 minutos? En este caso, 10 minutos son dos desviaciones estándar más que la media. La probabilidad de tal llamada es igual a la región sombreada como se muestra en la figura.

) por encima de la media es 0.4772. El total a De la tabla, el área entre la media y dos desviaciones estándar ( = la derecha de la media es 0.500. Entonces para encontrar el área a la derecha de 10 se hace mediante la resta: = . Por lo tanto, la probabilidad de que una llamada exceda los 10 minutos es de 0.0228. Ejemplo 4. Determina las áreas de las regiones sombreadas en las siguientes figuras: a) El área entre 1.45 desviaciones estándar por debajo de la media y 2.71 desviaciones estándar por encima de la media, es decir, él área entre -1.45 y 2.71 desviaciones. De la tabla de valores de la normal, = 1 da un área de 0.4265, mientras que = 1 da 0.4966. Por lo que el área total es la suma de éstas como se logra ver en la gráfica, es decir, 6 66 = 31.

122

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

b) El área entre 0.62 y 1.59 desviaciones estándar por encima de la media.

Nuevamente de la tabla de valores, para = , el área bajo la curva es de 0.2324, mientras que para = el área es 0.4441. Para obtener el área entre éstos dos valores se restan las áreas: 1 3 = 11 Los ejemplos anteriores enfatizan la equivalencia de tres cantidades, de la siguiente forma: 1. Porcentaje (del total de resultados que caen en un intervalo). 2. Probabilidad (de un resultado elegido aleatoriamente y que caiga en un intervalo). 3. Área (por debajo de la curva normal a lo largo de un intervalo). La cantidad en que se debe pensar depende de la forma en la que se formule cada pregunta. Todas estas cantidades las determinan los valores de la columna de la tabla de la normal. En general cuando se usa la tabla de valores de la normal, es la puntuación de un elemento en particular. De la sección anterior, recuerda que la puntuación se relaciona con la media y con la desviación estándar de la distribución por medio de la fórmula: = Supóngase, por ejemplo, que una curva normal tiene una media = y una desviación estándar = 1 . Para determinar el número de desviaciones estándar a que se encuentra un valor dado respecto a la media, se utiliza la fórmula anterior. Así para el valor = se tiene: =

=

=

1

1

=

en consecuencia, 247 se encuentra a 2.25 desviaciones estándar por encima de la media, ya que 247 se encuentra a la derecha de 220. Para = 16 = = = = 1 33 1 1 Así, 204 se encuentra a 1.33 desviaciones estándar por debajo de la media. (Se sabe que es por debajo de la media, en lugar de por encima, ya que la puntuación es negativa y no positiva). Al proceso anterior se le conoce como estandarización de la variable , como ya se había comentado. Ejemplo 5. En cierta área, la distancia recorrida mensualmente por los automovilistas es, en promedio, de 1,200 millas, con una desviación estándar de 150 millas. Suponga que el número de millas se aproxima mediante una curva normal, y determina el porcentaje de todos los automovilistas que recorren las siguientes distancias. a) Entre 1,200 y 1,600 millas por mes. Comienza por determinar a cuántas desviaciones estándar por encima de la media son 1,600 millas. Estandarizando el valor de la variable mediante la fórmula anterior tenemos. =

BLOQUE 3

=

16

1 1

=

1

=

6

123

De la tabla de valores, el área bajo la curva es 0.4962 ó 49.62%, de todos los conductores manejan entre 1,200 y 1,600 millas por mes. b) Entre 1,000 y 1,500 millas por mes. Como se aprecia en la gráfica, los valores de

deben estandarizarse para ambos valores, 1,000 y 1,500.

Para 1,000: =

=

1

Para 1,500: = De la tabla de la normal, de 3 =

1

=

1

=

1

1

1

=

1

3 1

= 1 33

=

= 1 33 da un área de 0.4083, mientras que = da 0.4772. Esto significa un área total , u 88.55%, donde los automovilistas manejan entre 1,000 y 1,500 millas por mes.

Los ejemplos anteriores han dado un valor y después han requerido que se determine el valor de ejemplo da el valor de y pide el valor correspondiente. Ejemplo 6. Una distribución normal tiene una media distribución corresponderá a = 1 3

= 1

y una desviación estándar

=

. El siguiente

1. ¿Qué valor de la

Se comienza con la fórmula de estandarización de una variable: = En este caso

=

13 ,

= 1

y

=

1 y se desconoce . Se sustituyen los valores dados en la fórmula: 13 =

1 1

Despejando de esta ecuación, multiplicando primero a ambos lados de la igualdad por 5.21. 13 (

1) = 33 =

1 ( 1 1

1)

1

1

Se suma luego 81.7 en cada lado de la igualdad para obtener: 33

1 = 666 =

Redondeando a la décima más cercana, el valor necesario es 74.7.

124

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

Actividad: 2 Resuelve los siguientes problemas. 1.

2.

Supongamos que 100 estudiantes de geología miden la masa de cierta muestra de un mineral. Por errores humanos y por las limitaciones en la fidelidad de la balanza, no todas las lecturas son iguales. Se descubre que los resultados se aproximan a una curva normal, con una media de 37 g y una desviación estándar de 1 g. Utiliza la simetría de la curva normal y la regla empírica para estimar el número de estudiantes que informan lecturas dentro de los rangos. a) Más de 37 g.

b)

Entre 36 y 38 g.

c)

Más de 36 g.

d)

Entre 36 y 39 g.

Determina el porcentaje de área bajo la curva normal entre la media y el número de desviaciones estándar de la media (observa que el signo positivo indica por encima de la media, mientras que el signo negativo quiere decir por debajo de la media) a) 2.5

b)

0.81

c)

-1.71

d)

-2.01

BLOQUE 3

125

Actividad: 2 (continuación) 3. Determina el porcentaje del área total bajo la curva normal entre los valores dados de 𝑧. a) 𝑧 = 1 1 y 𝑧 = 3

4.

b) 𝑧 =

1

y𝑧=

c) 𝑧 =

3 11 y 𝑧 = 1

d) 𝑧 =

1

1

y𝑧=1

Determina el valor de 𝑧 de manera que se cumplan las siguientes condiciones. a) 5% del área total está a la derecha de 𝑧.

b) 1% del área total está a la izquierda de 𝑧.

c) 15% del área total está a la izquierda de 𝑧.

d) 25% del área total está a la derecha de 𝑧.

126

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

Actividad: 2 (continuación) 5.

Los focos tienen un promedio de vida de 500 ℎ, con una desviación estándar de 100 ℎ. El tiempo de vida de un foco puede aproximarse por medio de una curva normal. Un parque de diversiones compra e instala 10,000 de estos focos. Encuentra el número de focos que puede esperarse que duren las siguientes cantidades de tiempo. a) Por lo menos 500 ℎ.

b) Entre 500 y 650 ℎ.

c) Entre 650 y 780 ℎ.

d) Entre 290 y 540 ℎ

e) Menos de 740 ℎ

f)

Menos de 410 ℎ.

Actividad: 2 Conceptual Reconoce las propiedades de la distribución normal en la solución de problemas de aplicación. Autoevaluación

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Calcula áreas bajo la curva, utilizando las propiedades de la distribución normal. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Muestra interés y apertura en el desarrollo de la actividad.

Calificación otorgada por el docente

Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios para que consultes el tema. http://www.matematicasvisuales.com/html/probabilidad/varaleat/tstudentprob.html http://www.analyzemath.com/statistics/graph_normal.html http://www.estadisticaparatodos.es/software/excel_simulacion.html

BLOQUE 3

127

Cierre Actividad: 3 Resuelve los siguientes problemas. 1.

Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una distribución normal con media 100 y desviación estándar de 15. a) Determina el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.

b) ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?

c) En una población de 2500 individuos, ¿cuántos individuos se espera que tengan un coeficiente superior a 125?

2.

Un producto de una empresa se distribuye de manera normal con un peso promedio de 90 g y una desviación estándar de 6.4 g. Calcular la probabilidad de que un lote de productos seleccionados aleatoriamente tenga: a) Entre 80 y 90 g.

b)Entre 80 y 95 g.

c) Entre 75 y 85 g.

d)Más de 97.5 g.

e) Menos de 77.5 g.

128

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

Actividad: 3 (continuación) 3.

Las alturas de 1000 estudiantes se distribuyen normalmente con una media de 174.5 cm y una desviación estándar de 6.9 cm. ¿Cuántos de estos estudiantes se esperaría que tuvieran alturas. a) menores de 160 cm?

b) entre 171.5 cm y 182 cm?

c) mayores a 165 cm?

d) entre 174.5 cm y 180 cm?

e) entre 180 cm y 195 cm?

f)

menores de 185 cm?

g) ¿Cuál es la probabilidad de que de cinco estudiantes, al menos 3 midan más de 180 cm?

h) ¿Cuál es la probabilidad de que de tres estudiantes, ninguno mida menos de 160 cm?

BLOQUE 3

129

Actividad: 3 (continuación) 4.

Una estación de radio encontró que el tiempo de sintonía que emplean los radioescuchas sigue una distribución normal, el tiempo promedio que una persona sintoniza esa estación es de 15 minutos con una desviación estándar de 3.5 minutos ¿Cuál es la probabilidad de que un radioescucha sintonice la estación por:

a) más de 20 minutos?

b) entre 15 y 18 minutos?

c) entre 10 y 12 minutos?

d) ¿Cuántos minutos como máximo sintonizan la estación el 70% de los radioescuchas? (Sugerencia: De la expresión

despejar

y obtener

a partir del porcentaje proporcionado y de la consulta de

la tabla de probabilidad.)

e)

¿Cuál es la probabilidad de que de ocho radioescuchas, al menos siete sintonicen la estación por más de cinco minutos?

Actividad: 3 Conceptual Identifica áreas bajo la curva de acuerdo a la simetría de la distribución normal. Autoevaluación

130

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Aplica la distribución normal para resolver situaciones cotidianas. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Expresa la importancia de la utilidad de la distribución normal reconociendo sus propiedades en la resolución de problemas.

Calificación otorgada por el docente

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

Secuencia didáctica 3. Aproximación de la distribución binomial a la normal. Inicio Actividad: 1 Realiza las siguientes actividades. 1.

Escribe que características debe tener una distribución para que sea binomial.

2.

Simulación con fichas. En una caja introduce 6 fichas de las cuales 3 sean verdes; el resto, del color de tu preferencia (puedes elaborar las fichas con cartón o cualquier otro material). Realiza50 extracciones de dos fichas una tras otra con reemplazo y registra cada resultado. a) Construye una tabla de distribución de frecuencias del número de fichas verdes obtenidas. b) Realiza un gráfico de barras y comenta sus características. c) Calcula media y varianza del experimento y compáralos con la media y varianza teórica. En este espacio pega la hoja doblada de los resultados obtenidos.

Actividad: 1 Conceptual Identifica las características de una distribución binomial en cuanto a sus parámetros y gráfica. Autoevaluación

BLOQUE 3

Evaluación Producto: Actividades Puntaje: experimentales. Saberes Procedimental Actitudinal Construye distribuciones de Se interesa en el desarrollo de la probabilidad, gráficos y calcula actividad cumpliendo en forma y media y desviación estándar de tiempo con la misma. una distribución binomial. C MC NC Calificación otorgada por el docente

131

Desarrollo Actividad: 2 Sigue las indicaciones de la siguiente actividad.

1.

Entra al sitio de internet http://www.matematicasvisuales.com/html/probabilidad/varaleat/binomial.htm y representa gráficamente la distribución 𝐵(𝑛 𝑝) para distintos valores de sus parámetros 𝑛 y 𝑝. Manteniendo constante 𝑝 = 1 compara las distintas gráficas para 𝑛 = 1 𝑦3 . Ahora manteniendo 𝑝 = 3 compara las gráficas para 𝑛 = 1 𝑦 3 . Por último manteniendo constante el valor de 𝑝 = compara las gráficas para 𝑛 = 1 𝑦 3 . En base a lo que observaste, ¿cómo varían las gráficas para los distintos valores de los parámetros? En una hoja que anexarás en este espacio, elabora un pequeño resumen de los resultados observados anexando gráficas que argumenten tus conclusiones.

Actividad: 2 Conceptual Compara gráficamente las características de una distribución binomial en cuanto a sus parámetros. Autoevaluación

132

Evaluación Producto: Práctica. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Argumenta el comportamiento de las distribuciones de probabilidad Participa exponiendo sus ideas binomial de acuerdo a los distintos cumpliendo en forma y tiempo valores de los parámetros de la con la actividad. misma. C MC NC Calificación otorgada por el docente

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

Aproximación de la distribución binomial a la normal. En las secuencias anteriores se han estudiado ya las distribuciones binomial con parámetros discreto y la normal con parámetros y , ( )para el caso continuo.

y , (

) para el caso

Para ciertos valores de y , la distribución binomial tiene un extraordinario parecido con la correspondiente distribución normal. Una distribución binomial ( ) se puede aproximar por una distribución normal, siempre que el número de ensayos o repeticiones , sea grande y la probabilidad de éxito no esté muy próxima a 0 o a 1. La aproximación consiste en utilizar una distribución normal con la misma media y desviación estándar o típica que la distribución binomial. Cuando el valor de es grande; la distribución binomial resulta muy laboriosa y complicada, por lo que el matemático Abraham de Moivre (1667-1754), demostró que cuando se dan ciertas condiciones una distribución binomial se puede aproximar a una distribución normal de media = y desviación estándar de = √ , es decir, ( ) ( = =√ ). En el siguiente gráfico se representa una serie de distribuciones binomiales para variables que se nombrarán para distintos valores de y un valor constante de = 3

Observa cómo efectivamente entre mayor sea el valor de , mejora el parecido de las gráficas de barras de las distribuciones binomiales (discretas) a la gráfica de la distribución normal estándar (continua), pero con el inconveniente de que se produce un desplazamiento hacia la derecha de la distribución binomial a medida que aumenta . Lo que se quiere, entonces, es aproximar estas distribuciones a una distribución normal estándar, es decir, se va a estandarizar la variable.

Este inconveniente se evita corrigiendo la variable aleatoria , restando la media de la binomial ( ) (para corregir el desplazamiento) y dividiendo por la desviación estándar o típica de la binomial (√ ) (para ajustar la dispersión).

BLOQUE 3

133

=

√

Si has observado con detenimiento, el proceso que se ha realizado anteriormente no es otra cosa que la estandarización de la variable aleatoria . A la nueva variable , se le asigna ( ) La representación gráfica para el caso del mayor número de repeticiones o ensayos, = y = 3, del diagrama de barras de la binomial corregida y de la función de densidad de la distribución normal estándar es:

Cuando aumenta, la longitud de las barras disminuye, razón por la cual se ven “disminuidas en altura”, situación lógica, porque la suma de las longitudes de todas las barras es 1 (función de probabilidad definida sobre una variable aleatoria discreta); mientras que el área bajo la función de densidad (definida sobre una variable aleatoria continua) de la distribución normal estándar, también es 1. Para ajustar ambas funciones, se tendría que conseguir que la suma de las áreas de los rectángulos que forman el diagrama de barras fuera 1. Como la distancia entre las barras es constante y la suma de las alturas de todas las barras es 1, el área bajo los rectángulos del diagrama de barras es igual a la distancia entre barras consecutivas. La distancia entre barras consecutivas es: =

√

√

=

=

√

1 √

Por tanto, para que la suma de las áreas de los rectángulos entre barras consecutivas sea 1, es suficiente multiplicar por la inversa de la distancia entre barras consecutivas; es decir, a cada variable se le asigna: (

√ Si se representa ahora para el mismo caso normal estándar, se tiene:

134

=

y

=

)

3, junto con la función de densidad de la distribución

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

Como se puede apreciar en la gráfica se ajustan bien ambas funciones. En resumen: Una distribución binomial ( ) se puede aproximar por una distribución normal, siempre que sea grande y no esté muy próxima a 0 o 1. La aproximación consiste en utilizar una distribución normal con la misma media ( = ) y desviación estándar o típica ( = √ ) que la distribución binomial. En la práctica se utiliza la aproximación cuando: 3 = = En cuyo caso, corrigiendo la variable se tiene: (

)

( =

=√

)

Es decir, que si se tiene una variable binomial con parámetros y , con el proceso de corrección anterior, esta variable se aproxima a una normal con parámetros = =√ . Y estandarizando la variable se obtiene la normal estándar correspondiente: =

( 1)

√

Teorema central del límite. La distribución binomial ( ) se aproxima a una curva normal de media = y desviación estándar o típica =√ , cuando se hace exageradamente grande, es decir, tiende a infinito. La aproximación se puede aplicar (y es una buena aproximación) sólo si es grande, (en concreto 3 ). Además y . Si no se cumplen estas condiciones NO se puede aproximar la binomial que se tenga por una distribución normal. En caso de que se pueda aproximar, se debe tener en cuenta que se está pasando de una variable discreta (binomial) a una continua (normal), y por tanto son distribuciones diferentes. El “precio” que hay que pagar por pasar de una a otra se denomina “corrección por continuidad” y consiste en hacer determinados ajustes para que la aproximación realizada sea lo más precisa posible. Así, si se pide la probabilidad ( = ) en una distribución binomial , y se aproxima por una distribución normal , no se puede calcular directamente la probabilidad de esta nueva variable ( = ) porque, como ya se ha comentado anteriormente, en una distribución continua todas estas probabilidades valen 0. La corrección por continuidad consiste en tomar un pequeño intervalo de longitud 1 alrededor del punto . Así, si se pide ( = ) con

binomial, con la aproximación normal (

, se debe calcular: )

Del mismo modo se razona en el caso de probabilidades acumuladas en la binomial. Algunos ejemplos: Si se pide ( ) con binomial, aproximando por normal se calcula ( ) La explicación de que haya que restar 0.5 y no sumarlo es que se quiere que sea menor estrictamente que , con lo cual, si se sumara 0.5, el propio aparecería en la probabilidad a calcular y NO debe aparecer. Por otro lado, si se debiera calcular ( ), con binomial, fíjate que ahora por tanto al aproximar por la normal se debe calcular ( )

sí está incluido en la probabilidad y

Comprender estos dos hechos es fundamental para realizar bien la corrección por continuidad al aproximar una distribución binomial por una normal. Aunque en realidad esta aproximación no da resultados muy precisos a menos que realmente sea un valor muy grande o Para entender mejor, se ilustra una comparación entre la función de densidad de una variable aleatoria continua con distribución ( ) y el diagrama de barras de una variable aleatoria discreta de distribución ( ) para casos en que la aproximación normal de la binomial es válida. La primera de ellas es una binomial con parámetros

BLOQUE 3

=1

y

=

1 .

135

Observa la localización que tienen tanto la normal como la gráfica de barras de la binomial, están ambas recargadas hacia la izquierda. La aproximación es peor cuando el valor de está muy cercano a los bordes del intervalo [ 1]. Ahora, se presenta la misma comparación que en la figura anterior, pero realizada con parámetros con los que la aproximación normal de la binomial es mejor. Aquí = 1 y = .

Regla práctica para calcular probabilidades mediante el paso de una binomial a una normal. ) que al ser corregida se aproxima a una nueva variable Si es una variable binomial ( cálculo de probabilidades de puede hacerse a partir de del siguiente modo: [ [ [ [

=

] = [ ] = [ ] = [ ] = [ [ ] = [ [ ] = [

Los pasos a seguir para calcular estas probabilidades son: Identificar que la variable es binomial con parámetros ( ). Realizar la corrección es una normal con parámetros ( ⏟ √ ⏟ Estandarizar

,

=

, normal

(

) el

] ] ] ] ] ].

).

⏟ √ ( )

Ejemplo 1. Durante cierta epidemia de gripe, enferma el 30% de la población. En un aula con 200 estudiantes de Medicina, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 40 padezcan la enfermedad? La variable aleatoria que contabiliza el número de alumnos que padece la gripe es: ( = = 3), 136

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

cuya media es = = 6 y su varianza es = = . Realizar los cálculos con la ley binomial es muy engorroso, ya que intervienen números combinatorios de gran tamaño y potencias muy elevadas. Por ello se utiliza la aproximación normal de , teniendo en cuenta que se verifican las condiciones necesarias para que el error sea aceptable: = 3 =6 ( ) { } ( =6 = ) =1 Para responder a la pregunta acerca de la probabilidad de que al menos 40 padezcan la enfermedad, se manejará a través del complemento, ya que es menos trabajo. Así aproximando la variable aleatoria discreta binomial , mediante la variable aleatoria continua normal se tiene: ( ) ( ) Estandarizando la aproximación se obtiene. (

6 ⏟√

√ (

Observa que el valor de

6

)

(

3

)

)

está por debajo de la media.

Por simetría, esta probabilidad es equivalente a calcular (

3

), como se observa en el gráfico.

Se busca en la tabla el valor de 3.09 y el área correspondiente es de 0.499. Por lo que el área que se pide en la gráfica se obtendrá, como ya se hizo anteriormente, haciendo la resta = 1. De esta manera la probabilidad de que al menos 40 estudiantes padezcan la enfermedad es de 0.001. Ejemplo 2. Si 35% de los productos manufacturados en cierta línea de producción es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 productos manufacturados en esa línea: a) menos de 354 productos sean defectuosos? b) entre 342 y 364 productos sean defectuosos? c) exactamente 354 productos sean defectuosos? a) Menos de 354 productos sean defectuosos. Si : es el número de productos defectuosos que se manufacturan en la línea, entonces menos de 354 productos refiere a la desigualdad 3 . La información que el problema proporciona es la siguiente: = 1 = ( ) = 3 = ( ) = 1 = 6 ( 3 )=3 = =1 )( 3 )( 6 ) = 1 =√ = √(1 31

BLOQUE 3

137

Preguntan por la probabilidad de que al menos 354 productos sean defectuosos, es decir, ( regla práctica para el cálculo de probabilidades para este caso, se tiene.

= De esta manera ( = 3 )= acuerdo a la gráfica es la siguiente. ( 3

(3

) 3 31

1

=

3 3 1

3 31

=

1. Por lo que la probabilidad de que al menos 354 sean defectuosos, de )=

( =

3

)=

1=

1

(3

) 3 31

1

=

3 1 1

3 31

=

63

De aquí que ( = 6) = 331 es la suma de las dos áreas. (3

(36

) 3 31

1

=

36 1

3 31

=

613

36 ). Para

6

Observa que el valor de está por debajo de la media, entonces busca el valor de decir, se busca ( = 6) = 1 3 Ahora, =

). Siguiendo la

3

b) Entre 342 y 364 productos sean defectuosos, es equivalente a considerar el intervalo (3 este tipo de intervalo la regla práctica sugiere lo siguiente.

=

3

equivalente por simetría, es

6

Por lo tanto la probabilidad de que entre 342 y 364 productos sean defectuosos 36 ) =

( )

(

) =

1 3

331

=

3

c) Exactamente 354 productos sean defectuosos. Para este caso se trata de determinar la probabilidad de que = 3 , de acuerdo a la regla práctica se tiene que considerar un intervalo de tamaño 1 centrado en el valor 354, como se ilustra en la gráfica.

= Por lo que ( = 138

3) =

1

(3 1

) 3 31

=

3 3 1

3 31

=

3

3

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

= (

=

3 ) =

11

.

(3 1

) 3 31

=

3 1

3 31

=

3

Por tanto la probabilidad de que exactamente 354 productos sean defectuosos es. ( = 3 ) = ( ) ( ) = 11 1 =

3

6 .

Actividad: 3 Apoyándote del sitio http://www.ruf.rice.edu/~lane/stat_sim/normal_approx/, en equipo lean las instrucciones (usa un traductor si se presentan complicaciones) y determinen las siguientes probabilidades. Anoten la probabilidad de la binomial y de la aproximación normal para cada caso, dibujen la gráfica correspondiente, sombreando el área bajo la curva que se indique en el mismo. 1.

La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es 0.4. Si se sabe que 100 personas contrajeron esa enfermedad. a) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 30 se recuperen?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 30 se recuperen?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 30 se recuperen?

2.

Investigadores de la Universidad George Washington reportan que aproximadamente 75% de las personas creen que “los tranquilizantes funcionan muy bien para hacer una que una persona esté más tranquila y relajada”. De las siguientes 80 personas entrevistadas, ¿cuál es la probabilidad de que a) al menos 50 sean de esa opinión?

b) a lo más 56 tengan esta opinión?

c) entre 60 y 70 tengan esta opinión?

BLOQUE 3

139

Actividad: 3 (continuación) 3.

Si el 20% de los residentes de una ciudad de Estados Unidos prefiere un teléfono blanco sobre cualquier otro color disponible, ¿cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 teléfonos que se instalen en esta ciudad.

a) entre 170 y 200 sean blancos?

b) al menos 210 sean blancos?

c) más de 225 sean blancos.

4.

¿Cómo son, entre sí, las probabilidades de la binomial y de la aproximación normal que se obtuvieron en cada caso? Anoten sus conclusiones.

Actividad: 3 Conceptual Compara las probabilidades binomial y de aproximación normal. Autoevaluación

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Comprueba las condiciones para la Expone sus dudas e ideas, aproximación de una distribución respetando la de los demás. binomial a la normal. C MC NC Calificación otorgada por el docente

Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios para que consultes el tema. http://www.matematicasvisuales.com/html/probabilidad/varaleat/tstudentprob.html http://www.youtube.com/watch?v=8A7nRuaHav4 http://www.matematicasvisuales.com/html/probabilidad/varaleat/binomialnormal.html http://matematicasies.com/?Aproximacion-de-Binomial-a-Normal http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Button.htm http://masmatematicas.comlu.com/estadisticas/aproximacion.html#Aproximación

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RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

Cierre Actividad: 4 Resuelve los siguientes problemas de aplicación, mediante la regla práctica del cálculo de probabilidades.

1.

En una ciudad, una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 familias que tengan teléfono.

2.

En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen.

3.

Un fabricante de medicamentos sostiene que cierto medicamento cura una enfermedad de la sangre en promedio el 80% de los casos. Para verificar esta afirmación, inspectores de gobierno utilizan el medicamento en una muestra de 100 individuos y deciden aceptar la afirmación si 75 o más se curan. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el gobierno acepte la afirmación?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el gobierno rechace la afirmación si en la realidad la probabilidad de curarse es de 0.70?

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Actividad: 4 (continuación) 4.

Un estudio sobre nuevos delincuentes juveniles reveló que el 38% de ellos vuelve a delinquir. a) ¿Cuál es la probabilidad de que de 100 nuevos delincuentes juveniles 30 o más vuelvan a delinquir?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que de 50 nuevos delincuentes juveniles 40 o menos vuelvan a delinquir?

5.

El 2% de los tornillos fabricados por una máquina presentan defectos. Si tenemos un lote de 2000 tornillos, ¿cuál es la probabilidad de que haya menos de 50 defectuosos?

6.

Un tirador acierta en el blanco el 70% de sus tiros. Si el tirador participa en una competición y tira 25 veces, ¿cuál es la probabilidad de que acierte más de 10 tiros?

7.

Se lanza una moneda sin truco al aire 400 veces. Calcula la probabilidad de obtener un número de caras comprendido entre 180 y 210.

Actividad: 4 Conceptual Determina el uso de la aproximación binomial mediante la normal, al distinguir las condiciones de los parámetros. Autoevaluación

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Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Determina la probabilidad de Reconoce la bondad de la eventos binomiales que se aproximación de una distribución aproximan a una normal, mediante discreta binomial a una el uso de la regla práctica del distribución continua normal. cálculo de probabilidades. C MC NC Calificación otorgada por el docente

RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

Bibliografía BRISEÑO AGUIRRE, L. ALBERTO Y VERDUGO DÍAZ, JULIETA. (2000). Matemáticas 3. México: Santillana. CANAVOS, GEORGE C. (2001). Probabilidad y Estadística. México: Mc Graw Hill. FUENLABRADA, S. (2001). Probabilidad y Estadística. México: Mc Graw Hill. JOHNSON, ROBERT Y KUBY PATRICIA (2002). Estadística elemental. México. Editorial Thompson. LIPSCHUTZ, SEYMUR (2001). Teoría y Problemas de Probabilidad. México: Mc Graw Hill. MEYER, P. (1994).Probabilidad y aplicaciones estadísticas. México: Addison-Wesley Iberoamericana. MILLER, CARLES D. (1999). Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. México: Addison-Wesley Longman. SPIEGEL, MURRAY. (2003).Probabilidad y Estadística. México: Mc Graw Hill. ZÚÑIGA TOPETE, JORGE (2000). Matemáticas, ejercicios y problemas de reforzamiento. México: Progreso ZÚÑIGA TOPETE, JORGE (2002). Matemáticas, ejercicios y problemas de reforzamiento y evaluación. México: Progreso.  ZYLBERBERG, A. (2005). Probabilidad y Estadística. México: Nueva Librería.          

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