PROBABILIDAD TEORIA

TEORIA DE LA PROBABILIDAD

 Definiciones .  Probabilidad . La  probabilidad  pertenece a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos  por el azar, en los que se conocen todos los resultados posibles (bajo condiciones suficientemente estables), pero no es posible tener  certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes.  Espacio muestral. El espacio muestral  (E) asociado a un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento. Ejemplo: al lanzar un dado el espacio muestral es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; al lanzar una moneda el espacio muestral es: E = {cara, sol}

subconjunto de un espacio muestral. muestral. Por ejemplo: en el espacio espacio muestral muestral del   Evento o suceso. suceso. Se llama evento o suceso a todo subconjunto lanzamiento de un dado (E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}), los siguientes son eventos: •

Obtener un número primo

A = { 2, 3, 5}

•

Obtener un número par y primo

B={2}

•

Obte Obtene nerr un un núm número ero may mayor or o igu iguaal a 4

C = {4, {4, 5, 5, 6} 6}

 Eventos mutuamente excluyentes . Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía. Ejemplo: en el lanzamiento de un dado el evento B={2} y el evento C = {4, 5, 6} son mutuamente excluyentes  porque ningún elemento aparece en ambos eventos; por otro lado, el evento A = { 2, 3, 5} y el evento B = { 2 } no son mutuamente excluyentes pues en ambos eventos aparece el elemento 2.  Eventos independientes. independientes. Condición en la que la presentación de algún evento no tiene efecto sobre la probabilidad de presentación de otro evento.   Eventos dependientes. dependientes. Se dice que un evento A es dependiente de otro B si para que ocurra ocurra A es necesario que ocurra el evento evento B. Complemento. El complemento de un evento esta formado por todos los elementos del espacio muestral que no se encuentran en el evento; se simboliza A c. Ejemplo: el complemento del evento A (A c) sería A c = { 1, 4, 6}; el complemento del evento B (B c) sería B c={ 1, 3, 4, 5, 6 }.

PROBABILIDAD CLASICA

 Definición. Número de resultados favorables a la presentación de un evento dividido entre el número total de resultados posibles. Asignación de una probabilidad sin necesidad de realizar el experimento.

P (A) = Casos favorables favorables = CF Casos posibles CP

Ejercicios de probabilidad

1. De un grupo de 8 hombres y 5 mujeres se seleccionará a 5 personas ¿cuál es la probabilidad de que:

a)  b) c)

todas sean del mismo sexo? al menos una sea mujer?  sean 2 hombres y 3 mujeres?

2. Se sentarán 3 ingenieros y 4 contadores en fila; ¿cuál es la probabilidad de que:

a)

los contadores se sienten juntos?

b)

los los ing ingen enie iero ross y con conta tado dore ress se se sie sient nten en est estén én alte altern rnad ados os? ?

c)

un inge ingeni nier ero o y un cont contad ador or dete determ rmin inad ados os debe deben n sen senta tars rsee junt juntos os? ?

3. Una caja contiene 5 calcetines blancos y 4 negros. Se sacan tres calcetines al azar, ¿cuál es la probabilidad de que:

a)  b) c)

todos sean de igual color? al menos dos sean blancos? ninguno sea negro?

4. Tres caballos A, B y C están en una carrera. A tiene el doble de probabilidad de ganar que B y B tiene el doble de probabilidad de  ganar que C.

a)

 Halla la probabilidad de ganar de cada uno.

b)

Halla la probabilidad de que, en una carrera entre los tres gane B ó C.

c)

Halla la probabilidad de que B pierda.

5. El peso de un dado ha sido alterado de manera que los resultados produzcan la siguiente distribución de probabilidad: Resultado

1

2

3

4

5

6

Probabilidad

0.1

0.3

0.2

0.1

0.1

0.2

 

Suponga que se tira una vez el dado; considere los siguientes eventos:  A = {caiga número par}  B = {caiga 2, 3, 4 ó 5} C = {x | x < 3}  D = {x | x > 7}  Determine la probabilidad de cada evento

6. Encuentra la probabilidad del evento A si las posibilidades de que éste ocurra son:

a)

2 a 1.

 b)

5 a 11

7. Encuentra las posibilidades de que ocurra B si:

a)

 P(B) = 2/7 

 b)

 P(B) = 0.4

8. Se lanza un par de dados; sea A = la suma es número par y B = la suma es número mayor que 8.  Halla:  P(A)  P(B)  P(A∩B)  P(AUB)

9. Se saca una carta de una baraja corriente de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que la carta sea:

a) rey?  b)  figura? c) roja? d)  figura roja? e) negra o número?

f)  sea un número menor que 6? g)  sea un número mayor o igual a 7 y corazón? 10. Se lanzarán 3 monedas corrientes ¿cuál es la probabilidad de que: a)

caigan al menos 2 soles?

 b) todas sean cara o todas sean sol? c) la primera y la tercera moneda caigan en cara? d) caiga exactamente 1 sol? 11. Se hizo una encuesta a 100 estudiantes para saber qué deporte practican, a continuación aparecen los resultados: 25 estudiantes juegan futbol 46 estudiantes juegan básquetbol 45 estudiantes juegan beisbol 20 estudiantes juegan futbol y básquetbol 21 estudiantes juegan básquetbol y beisbol 12 estudiantes juegan futbol y beisbol 10 estudiantes juegan los tres deportes Se eligen 3 estudiantes al azar, halla la probabilidad de que: a) los 3 no practiquen ningún deporte  b) al menos 2 practiquen exactamente 1 deporte c) 1 practique únicamente futbol y 2 practiquen únicamente beisbol d) 1 practique futbol solamente y 2 practiquen beisbol y basquetbol e) los 3 practiquen futbol y basquetbol pero no beisbol.

12. Una familia planea tener 3 hijos, halla la probabilidad de que: a) tengan al menos 1 de cada sexo.  b) todos deben de ser de igual sexo. c) tengan exactamente 2 mujeres. d) tengan al menos 1 hombre.

13. Se tienen 3 libros de física, 4 de inglés y 2 de español y van a escogerse 5 de ellos, halla la probabilidad de que: a) todos sean de la misma asignatura  b) al menos 1 sea de español c) halla exactamente 2 de física d) ninguno sea de español e) el primero y el último sean de igual asignatura.

14. Si se extrae una carta de un paquete de 52 naipes, ¿cuál es la probabilidad de obtener: a) 1 rey rojo?  b) un 3, 4, 5 ó 6? c) 1 carta negra?

d) 1 as rojo o una reina negra?

15. Una agencia de alquiler de autos tiene 18 compactos y 12 intermedios. Si se escogen aleatoriamente 4 de ellos para una inspección de seguridad, ¿cuál es la probabilidad de obtener: a) 2 de cada clase?  b) al menos 2 compactos? c) exactamente 3 intermedios? d) todos del mismo tamaño?

16. Con las letras A, B, C, E, G, I, J y L van a formarse palabras de 4 letras distintas (con o sin significado); halla la probabilidad de que: a) la palabra comience y termine con vocal  b) en los primeros dos espacios no haya una consonante c) todas las letras de la palabra sean lo mismo, todas consonantes ó todas vocales.

17. En un salón hay 12 hombres y 7 mujeres; de los hombres 8 son casados y de las mujeres 5. Se eligen 3 personas al azar para asistir a un congreso, halla la probabilidad de que: a) todos sean de igual sexo  b) halla al menos 2 mujeres c) halla exactamente 1 hombre d) todos sean casados e) halla exactamente 2 hombres solteros.

18. Se tienen 2 ingenieros, 5 abogados y 4 contadores y van a sentarse 4 de ellos en una fila, halla la probabilidad de que: a) todos sean de igual profesión  b) el primero y el último no sean abogados c) ninguno sea ingeniero.

19. Hay 3 bolas rojas, 6 negras y 4 blancas y de ellas se eligen 3 bolas, halla la probabilidad de que: a) al menos 1 sea roja  b) ninguna sea negra c) a lo sumo 2 sean blancas d) sea una de cada color.

20. A continuación se ofrece un resumen de varias órdenes de compra de dispositivos de alumbrado, de acuerdo con las características opcionales solicitadas para éstos. Proporción de órdenes de compra

Sin características opcionales

0.3

1 característica opcional

0.5

Más de 1 característica opcional

0.2

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una orden se solicite al menos una característica opcional?

 b) ¿Cuál es la probabilidad de que en una orden no se pida más de una característica opcional?

21. El último dígito de una medición de peso puede ser cualquier número de 0 a 9, todos ellos con la misma probabilidad. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el último dígito sea cero?  b) ¿cuál es la probabilidad de que el último dígito sea mayor o igual que 5?

22. El 25% de los técnicos de un laboratorio completan correctamente la preparación de una muestra para una medicina química, el 70% la termina con errores pequeños, y el 5% restante, con errores grandes. a) Si se elige un técnico al azar para completar la preparación, ¿cuál es la probabilidad de terminarla sin error?  b) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra sea terminada con errores pequeños o grandes? Respuestas

1. a) 19/429; b) 1231/1287; c) 280/1287 2. a) 4/35; b) 1/35; c) 1/21 3. a) 1/6; b) 25/42; c) 5/42 4. a) P(A) = 4/7, P(B) = 2/7, P(C) = 1/7; b) 3/7; c) 5/7 5. P (A) = 0.6, P (B) = 0.7, P (C) = 0.4, P (D) = 0 6. a) 2/3; b) 5/16 7. a) 2 a 5; b) 2 a 3 8. a) ¾; b) 5/18; c) ¼; d) 7/9 9. a) 1/13; b) 3/13; c) ½; d) 3/26; e) 23/26; f) 5/13; g) 1/13 10. a) ½; b) 1/4; c) ¼; d) 3/8 11. a) 39/2156; b) 2834/8085; c) 3/700; d) 3/770; e) 2/2695 12. a) ¾; b) ¼; c) 3/8; d) 7/8 13. a) 0; b) 5/6; c) 10/21; d) 1/6; e) 5/18 14. a) 1/26; b) 4/13; c) ½; d) 1/13 15. a) 374/1015; b) 170/203; c) 88/609; d) 79/609 16. a) 3/28; b) 3/28; c) 1/14 17. a) 5/19; b) 287/969; c) 84/323; d) 286/969; e) 30/323 18. a) 1/55; b) 3/11; c) 21/55 19. a) 83/143; b) 35/286; c) 141/143; d) 36/143 20. a) 0.7; b) 0.8 21. a) 1/10; b) ½ 22. a) 0.25; b) 0.75

PROBABILIDAD AXIOMATICA

FORMULAS 

0 ≤ P (A) ≤ 1 P (A) + P (A c) = 1 P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A∩B) P (AcUBc) = P (A∩B)c = 1 – P (A∩B) P (Ac∩Bc) = P (AUB)c = 1 – P (AUB)

P (A-B) = P(A) – P (A∩B)

  Eventos independientes. Si dos eventos son independientes debe cumplirse la siguiente fórmula:

P (A∩B) = P(A) P(B) Fórmulas para eventos independientes: P (AUB) = P (A) + P (B) – P(A) P(B) P (AcUBc) = 1 – P(A) P(B) P (Ac∩Bc) = P (AUB)c = 1 – P(A) – P(B) + P(A) P(B) P (A-B) = P(A) – P(A) P(B)

 Eventos mutuamente excluyentes. Si dos eventos son mutuamente excluyentes no debe de haber intersección entre ellos:

P (A∩B) = 0 Fórmulas para eventos mutuamente excluyentes: P (AUB) = P (A) + P (B) P (AcUBc) = 1 P (Ac∩Bc) = P (AUB)c = 1 – P(A) – P(B) P (A-B) = P(A)

Ejercicios de probabilidad axiomática

1. Se lanza un dado y una moneda, se definen los siguientes eventos: A = {la moneda cae cara y el dado cae número par}, B {el dado cae número menor que 3} y C = {la moneda cae sol y el dado cae número impar}. Halla: a) P(A) b) P(B) c) P(C) d) P(A∩B) e) P(A∩C)  f) P(B∩C)  g) P(BUC) h) La probabilidad de B pero no A ni C  i) La probabilidad de B pero no C   j) P(AUBUC) k) P(A∩B∩C)

2. Suponga que A y B son eventos tales que P(A) = 0.6, P(B) = 0.3 y P(A∩B) = 0.2. Encuentre la probabilidad de que: a) A no ocurra b) A ó B ocurran c) no ocurran ni A ni B d) Son A y B eventos independientes? (Justifica tu respuesta)

3. En un grupo de 15 profesionales hay 6 médicos, 5 abogados y 4 ingenieros; se quiere sentar en una fila a 4 de ellos. Sean los eventos:  A = El primero y el cuarto son de igual profesión y B = El primero no es médico.

 Determina la relación que hay entre los eventos.

4. En una caja A hay 10 libros de los cuales 4 son de matemáticas; en una caja B hay 9 libros de los cuales 5 son de matemáticas. Se  selecciona al azar un libro de cada caja. Sean los eventos independientes A = sacar un libro de matemáticas de la caja A y el evento  B= sacar un libro de matemáticas de la caja B.  Halla la probabilidad de que los dos libros seleccionados sean de matemáticas.

5. Al ir a su trabajo Pedro pasa por tres semáforos; la probabilidad de que cada uno de los semáforos esté en verde cuando Pedro llega es de 0.2; si el color de luz que tenga cada uno de los tres semáforos son eventos independientes, halla la probabilidad de que un día que Pedro este yendo a su trabajo: a) encuentre los 3 semáforos en verde. b) encuentre al menos 2 semáforos en verde. c) encuentre exactamente 1 semáforo en verde. d) encuentre sólo el tercer semáforo en verde.

6. Si P(A) = 0.83 y P(B) = 0.17; determine: a) si A y B son mutuamente excluyentes.  b) si A y B son eventos complementarios.

7. Se lanzan dos monedas corrientes. Considere los siguientes eventos: A = La primera moneda cae cara B = La segunda moneda cae cara C = Una monedea cae cara y la otra sol. a) ¿Son independientes los eventos 2 a 2?  b) ¿Son independientes los eventos entre sí?

8. Sean P(A) = 0.4 y P(B) = 0.7; determine: a) si ambos eventos son excluyentes  b) Si ambos eventos son dependientes o independientes

9. En base a la experiencia se sabe que Larry falla el 25% de los penaltis que tira; si Larry hace 4 tiros a penalti y el resultado de cada tiro es independiente; halle la probabilidad de que: a) Anote todos los penaltis.  b) Anote al menos 2 penaltis. c) Falle exactamente 3 tiros. d) Anote sólo el primer y el segundo tiro. Resultados

1. a) ¼; b) 1/3; c) ¼; d) 1/12; e) 0; f) 1/12; g) ½; h) 1/6; i) ¼; j) 2/3; k) 0 2. a) 0.4; b) 0.7; c) 0.3; d) 0.2 ≠ 0.18 No son independientes 3. Los eventos son dependientes 4. 2/9 5. a) 0.04; b) 0.104; c) 0.384; d) 0.128 6. a) Si son mutuamente excluyentes porque P(A ∩B) = 0; b) Si son complementarios porque suman 1.

7. a) A y B son independientes, A y C son independientes, B y C son independientes, por lo tanto, los eventos son independientes 2 a 2; b) Los eventos no son independientes entre sí. 8. a) No son excluyentes; b) No hay datos suficientes para determinarlo. 9. a) 81/256; b) 243/256; c) 3/64; d) 9/256.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

 Definición. Es la probabilidad de que se presente un evento, dado que otro evento ya se ha presentado.

P (A/B) = P(A∩B)= CF (A∩B) P(B) CF (B) P (A/B) se lee: probabilidad de A dado B y eso significa la probabilidad de que suceda A si ya sucedió B.

Ejercicios de probabilidad condicional

1. Se lanza un par de dados corrientes; halla la probabilidad de que: a) al menos en 1 de los dados caiga el número 2 si se sabe que la suma es 6. b) la suma sea 6 si uno de los dados cayó en el número 2.

2. En cierta universidad el 25% de los estudiantes tronó matemáticas, el 15% tronó química y el 10% tronó ambas materias. Se  selecciona un estudiante al azar  a) si tronó matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya tronado química? b) si tronó química, ¿cuál es la probabilidad de que haya tronado matemáticas? c) ¿cuál es la probabilidad de que truene matemáticas o química? d) ¿cuál es la probabilidad de que no truene ninguna de las dos materias? e) ¿cuál es la probabilidad de que truene las dos materias?

3. Se seleccionan dos canicas, una tras otra, sin reposición de una caja que contiene 5 canicas blancas y 4 canicas rojas. Encuentra la  probabilidad de que: a) ambas canicas sean blancas.

 b) ambas canicas sean del mismo color. c) la segunda canica sea blanca si se sabe que la primera canica resultó roja. d) ambas canicas sean de igual color si resultó que la primera canica es roja.

4. Resolver el problema 3 suponiendo que las canicas se sacan con reposición.

5. La probabilidad de que A dé en el blanco es de ¼ y la probabilidad de que B dé en el blanco es de 2/5. Ambos apuntan al mismo objetivo una sola vez. Encuentra la probabilidad de que: a) Al menos uno de ellos dé en el blanco.  b) Exactamente uno acierte. c) Si al menos uno de ellos acierta, ¿cuál es la probabilidad de que sea A?

6. La probabilidad de que un hombre viva 10 años más es ¼ y la probabilidad de que su esposa viva 10 años más es 1/3. Supongamos independencia entre los eventos. Encuentra la probabilidad de que en 10 años: a) ambos estén vivos.  b) al menos uno este vivo.

c) ninguno este vivo. d) solo la esposa esté viva. e) Si al menos uno está vivo, ¿cuál es la probabilidad de que sea la esposa?

Resultados

1. a) 2/5; b) 2/11 2. a) ½; b) 2/3; c) 0.3; d) 0.7; e) 0.1 3. a) 5/18; b) 4/9; c) 5/8; d) 3/8 4. a) 25/81; b) 41/81; c) 5/9; d) 4/9 5. a) 11/20; b) 9/20; c) 5/11 6. a) 1/12; b) ½; c) ½; d) ¼; e) ½

TEOREMA DE LA MULTIPLICACION

El teorema de la multiplicación toma como referencia la fórmula de probabilidad condicional y la despeja de manera que la incógnita a encontrar sea P(A∩B). La fórmula de probabilidad condicional es: P (A/B) = P(A∩B) P(B) al despejar obtenemos:

P(A∩B)= P(B) P (A/B)

Ejercicios del teore ma de la multiplicación

1. En un lote de producción hay 25 productos, 5 de los cuales tienen defectos menores y 9 tienen defectos mayores, si se toman de este lote 3 productos uno tras otro, determine la probabilidad de que: a) el primer producto no tenga defectos y que el segundo y tercero tengan defectos mayores. b) el primer producto tenga defectos menores, el segundo tenga defectos mayores y que el tercero no tenga defectos. c) el primer producto y el tercero no tengan defectos.

2. Doce personas (6 mujeres, 4 hombres y 2 niños) realizan un paseo en un pequeño autobús, al llegar a cierto lugar; bajan del autobús cuatro personas una tras otra, determine la probabilidad de que: a) la primera y segunda persona que bajen sean mujeres, el tercero sea un niño y por último baje un hombre. b) que baje un niño, luego un hombre, luego otro niño y por último que baje una mujer. c) que baje una mujer, luego un hombre, después otra mujer y por último otro hombre.

3. En una urna hay 6 bolas rojas, 4 negras y 2 blancas; se toman 3 bolas una tras otra, determine la probabilidad de que: a) ninguna bola sea roja.  b) al menos 2 bolas sean rojas. c) exactamente 1 bola sea blanca.

4. En un almacén hay 4 productos X, 8 productos Y y 2 productos Z; se toman 4 artículos al azar uno tras otro, determine la probabilidad de que: a) todos los productos sean del mismo tipo.  b) ningún producto sea Z c) el primer y el segundo producto sean Y

Resultados

1. a) 33/575; b) 33/920; c) 11/60 2. a) 2/99; b) 2/495; c) 1/33 3. a) 1/11; b) 17/22; c) 9/22 4. a) 71/1001; b) 45/91; c) 1/91

TEOREMA DE BAYES Y PROCESOS ESTOCASTICOS

Teorema de probabilidad total.

P(E) = P(A1) P (E/A1) + P(A2) P (E/A2) + P(A3) P (E/A3) + … + P(A n) P (E/An)

Teorema de Bayes.

P(Ai/E) = P(Ai∩E) P(E)

Ejercicios de Teorema de Bayes y procesos estocásticos.

1. En un lote de autos usados, el 25% son de la marca Ford, el 45% son Chevrolet y el 30% son Chrysler. De los autos Ford, 2 de cada 8 son estándar; de los Chevrolet 1 de cada 10 y de los Chrysler 2 de cada 10. Suponga que un cliente compra un auto en este lote, a) ¿cuál es la probabilidad de que el auto seleccionado por el cliente sea estándar? b) ¿cuál es la probabilidad de que haya seleccionado un auto Chevrolet estándar? c) ¿cuál es la probabilidad de que el auto seleccionado sea Ford o Chrysler automático? d) ¿cuál es la probabilidad de que el auto sea estándar si resultó ser Ford?

e)

¿cuál es la probabilidad de que un auto sea Chrysler si se sabe que es automático?

2. En un lote de producción se tienen 150 artículos, de los cuales 30 son del tipo A, 60 del tipo B y 60 del tipo C, de los que el 15% de los  productos del tipo A, 20% de los productos del tipo B y 5% de los productos del tipo C, no cumplen con las especificaciones, si se  selecciona un producto de este lote al azar, a) determine la probabilidad de que el producto seleccionado no cumpla con las especificaciones b) si el producto seleccionado no cumple con las especificaciones, ¿cuál es la probabilidad de que sea un producto del tipo B? c) ¿cuál es la probabilidad de que un producto cumpla con las especificaciones y sea del tipo B? d) determine la probabilidad de que un producto sea del tipo C 

3. En una urna se tienen 10 esferas blancas, 5 verdes y 2 azules, se extraen de la urna dos esferas una tras otra, sin reemplazo, a) determine la probabilidad de que la segunda esfera extraída sea verde.  b) ¿cuál es la probabilidad de que ambas esferas sean blancas. c) si la segunda esfera es verde, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea blanca? d) si resulta que la segunda esfera no es azul, halla la probabilidad de que ambas esferas sean del mismo color 

4. Fernando tiene 3 cajas donde guarda monedas; en la caja 1 tiene 5 monedas de $20, 3 monedas de $10 y 1 moneda de $5; en la caja 2 tiene 8 monedas de $20 y 4 monedas de $10; por último, en la caja 3 tiene 1 moneda de $20, 3 monedas de $10 y 1 moneda de $5. Suponga que se elige una caja al azar y de ella se elige, también al azar una moneda; halla la probabilidad de que: a) la moneda sea de $10.  b) la moneda venga de la caja 2 si resultó ser de $20. c) la moneda venga de la caja 2 .

d) la moneda no sea de $5 si resultó ser de la caja 3.

5. La prevalencia de infarto cardíaco para hipertensos es del 0.3% y para no hipertensos del 0.1%. Si la prevalencia de hipertensión en una cierta población es de 25%, ¿cuál es la prevalencia del infarto en esa población?

Resultados

1. a) 67/400; b) 9/200; c) 171/400; d) ¼; e) 32/111 2. a) 13/100; b) 8/13; c) 8/25; d) 2/5 3. a) 5/17; b) 45/136; c) 5/8; d) 7/15 4. a) 19/45; b) 15/32; c) 1/3; d) 4/5 5. 0.0015