Probabilidad - Muestreo Estadistico Aplicado A La Contabilidad
November 24, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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PROBABILIDAD CAPITULO – I M. Sc. Hipólito Macalopú Inga.
Un
1.EXPERIMENTOS 1.EXPERIMENTOS
experimento es un proceso mediante el cual se obtiene el resultado de una observación. Un experimento puede ser determinístico o aleatorio.
precisa por las condiciones bajo las cuales se realiza el experimento.
Experimento Determinístico:
Experimento aleatorio:
Cuando el resultado de la observación es determinado en forma
un experimento es aleatorio o no determinístico cuando cuando los resultados de la observación no se pueden predecir con exactitud antes de realizar el experimento.
Ejemplo 1.2: -Observar el tiempo de vida de una computadora. -Elegir un representanta de un grupo de 50 personas. -Lanzar un dado y ver el número que q ue aparece en la cara superior.
ESPACIO MUESTRAL
Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio.
Ω={w/w es un resultado particular simple de la realización realización de un experimento aleatorio}
Los resultados posibles de un experimento se llaman punto de muestra.
Ejemplo 1.3: E1:
lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. Ω={1, 2, 3, 4, 5,6} E2: designar a un delegado de un grupo de 50 personas Ω={A1, A2,… A50} Dónde: Ai se presenta una persona: Pedro, Juan, etc.
1.2.1. Espacio muestral
discreto: si se tiene un número nito o innito numerable de elementos.
Los espacios muéstrales se clasifcan en:
1.2.2. Espacio muestral continuo:
cuando sus elementos son todos los puntos de un intervalo.
Son
EVENTOS
subconjuntos de un espacio muestral (Ω). En particular el espacio muestral (Ω) Y el conj co njun unto to vac vacío ío (∅) son son even evento tos. s. Al esp espac acio io muestral (Ω) se le llama evento seguro y al conj co njun unto to (∅) se le lla llama ma ev even ento to imp impos osib ible le..
a) Evento simple:
cuando contiene solamente un punto de espacio muestral.
1.3.1. Tipo de eventos:
b)
Evento compuesto: cuando puede expresarse como en la unión de dos o más eventos simples.
Ejemplo 1.5:
Sea el experimento: lanzar una moneda dos veces. Determinar los siguientes eventos:
A1: ocurre cara en el primer lanzamiento.
A2: ocurre sello en el segundo lanzamiento
A3: ocurre por lo menos una cara.
A4: ocurre lo mismo en ambos lanzamientos.
Solución:
Diagrama del árbol
E2: lanzar una moneda dos veces
C
C
S C
S S
Ω = {(c, c), (c, s), (s, c), (s, s)} Eventos: A1 = {(c, c), (c, s)}
A3 = {(c, s), (s, c), (c, c)}
A2 = {(c, s), (s, s)}
A4 = {(c, c), (s, s)}
Unión de eventos: A ∪ B:
Operaciones con eventos
Sea A y B dos eventos cualesquiera denido sobre un mismo espacio muestral, la unión de eventos es el evento que ocurre si A ocurre o B ocurre o ambos ocurren.
Simbólicamente: A ∪ B = {w є Ω/w є A v w є B}
Ω A
B
Ω A
B
Intersección de eventos: A ∩ B
Sean A y B eventos cualesquiera denidos sobre un mismo espacio muestral, la intersección de estos eventos es el evento que ocurre si A y B ocurren simultáneamente.
Simbólicamente: ∩
A
B = {w є Ω / w є A Λ w є B}
A∩B
Complemento de un evento: o
Si A es un evento del espacio se llama complemento del evento A al evento que ocurremuestral, si A no ocurre. = {w є Ω / w ∄ A}
Dierencia de eventos: A - B
Sean A y B dos eventos cualquiera denido sobre un mismo espacio muestral, se llama a diferencia de los eventos A y B al evento formado por los elementos que son favorables de A pero que no son favorables a B.
Simbólicamente: A-B= AB=A A∩{w ∈ Ω / w ∈ A ∧ w ∄ B}
A-B=A∩
A-B=A ∩=A
Inclusión de eventos: A
Dado dos eventos a y B denidos en un mismo espacio muestral, se dice que el evento A esta contenido en B si siempre que ocurre A ocurre B.
Simbólicamente: A ⊂ B,si W ∈ A → W ∈ B
A⊂B A=[2,4,6] B=[1,3,5]
Eventos Mutuamente excluyentes y eventos colectivamente exhaustivos
a)Dos eventos A y B denidos en el espacio muestral se dice que son mutuamente excluyentes excluyentes si no pueden ocurrir juntos. juntos.
Ω B
A
A∩B= ∅
b)Una colección colección de eventos A1, A2,...., Ak denido sobre un mismo espacio muestral. Se dice que son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno de ellos excluye la ocurrencia de los otros, es decir: ∩=∅ ∀ i≠ i≠jj ; i= i=1, 1,2, 2,…. ….k k c)Se dice que una colección de evento A1,A2,....,Ak, denido sobre el mismo espacio muestral son colectivamente exhaustivos si la unión de ellos es igual al espacio esp acio muestral. ∪∪… = =Ω ∀ i ; i=1,2,….k
a)Ley conmutativa A∪B=B∪A A∩B=B∩A
b)Ley asociativa (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
Propiedades de las operaciones con eventos
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
c)Ley distributiva
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
d)Complemento del complemento =A
e) Ω∪A=Ω ∅∪A=A A∪=Ω A∪A=A
Propiedades de las operaciones con eventos
) Ω∩A=A ∅∩A=∅
g)Leyes de Morgan
A∩= ∅ A∩A=A (AUB=∩
=∪
h) A=(A∩B)∪(A∩)
Regla 1:
Técnicas de Conteo
Si cualquiera de k eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos puede ocurrir en cada uno de los n
ensayos, el número de resultados posibles es:
Ejemplo 1- 1 Si una moneda se arroja 10 veces, el número de resultados posibles es: = 1024; Si un dado se lanza dos veces, el número de resultados posibles es = 36.
Regla 2
Técnicas de Conteo
Si hay eventos del primer intento, k2 eventos del del segundo intento,... y eventos del n-ésimo n-ésimo intento, entonces el número de resultados resultados posibles es: () () ()... ( )
Ejemplo 1- 2 Si una placa de un auto tiene 2 letras (sin la ñ) y cuatro dígitos, el número total de resultados posibles sería entonces: (26)(26)(10)(10) (10)(10) = 6 760 000. Si un restaurante tuviera una cena completa con precio jo que consistiera en un aperitivo, entrada, bebida y postre, y tuviera la opción de escoger entre 5 aperitivos, 10 entradas, tres bebidas y 6 postres, el número total de cenas posibles sería: (5) (10) (3) (6) = 900
Regla 3
El número de formas en que n objetos pueden ordenarse es: n! = n ( n-1) (n-2) ... (1) Ejemplo 1- 3 Si un conjunto de 6 libros desean colocarse en un estante. ¿De cuántas formas posibles pueden ordenarse?. El número de formas posibles en que pueden ordenarse es de 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 formas
Regla 4
Permutaciones: el número de modos de ordenar m objetos seleccionados Permutaciones: de n objetos es:
P(n;m)=
Ejemplo 1- 4 Supóngase que hay ocho máquinas fotocopiadoras pero sólo tres espacios e spacios en el piso del establecimiento donde se van instalar las máquinas. ¿De cuántas formas diferentes pueden colocarse las ocho máquinas en los tres espacios disponibles? Hay 8 posibilidades para el primer espacio, 7 para el segundo y 6 para el tercero. Entonces sería: 8 (7) (6) = 336 permutaciones También esto puede expresarse de forma matemática al decir que el número de permutaciones de 8 en 3 es:
8P3 =
permutaciones
Regla 5:
Combinaciones: El número de modos de seleccionar m objetos de Combinaciones: n objetos, sin tomar en cuenta el orden, es igual a:
C(n,m)=
Ejemplo 1- 5 Un estudiante tiene 7 libros que desearía acomodar en su maletín. Sin embargo, sólo caben 4 libros. Sin importar el orden. ¿De cuantas formas puede escoger los libros que puede llevar en el maletín? Solución: cuando no importa el orden se utiliza la fórmula: Formas posibles
PROBABILIDAD
Probabilidad es la posibilidad numérica de la ocurrencia de un evento.
1. Probabilidad Clásica o Apriori
CLASIFICACION DE PROBABILIDAD Existen tres enfoques para el estudio de la probabilidad.
Llamada también probabilidad priori debido a que es posible p osible conocer el resultado con anterioridad, es decir, decir, sin llevar a cabo el
experimento solocada basado en el razonamiento lógico. Se basalaen el supuesto dey que elemento del espacio muestral tiene misma posibilidad de ser elegido.
Se calcula a través de:
Ejemplo :
Hallar la probabilidad de obtener cara en el lanzamiento de una moneda.
Solución:
El espacio muestral será:
Sea el evento A: obtener cara: Luego:
2. Probabilidad de Frecuencia Relativa
El cálculo de este tipo de probabilidad se basa en la repetición de la ocurrencia de un evento al realizar una gran cantidad de pruebas o experimentos.
Se halla a través de:
La probabilidad de frecuencia relativa es llamada también empírica o a posteriori debido a que se obtiene el resultado después de llevar a cabo el experimento.
Ejemplo :
Tras una encuesta realizada a 500 vendedores ambulantes de Chiclayo cuadrada se encontró que 325 de ellos se dedicaban a esta actividad porque habían sido despedidos de empresas fabriles. Hallar la probabilidad de que al seleccionar aleatoriamente a un vendedor ambulante, este haya sido
despedido de una empresa fabril. Solución: Sea el evento A: Vendedor ambulante despedido.
f: Número de veces en que ocurrió B = 325
n: Número total de observaciones = 500
Luego:
3. Probabilidad Subjetiva
Es la probabilidad asignada bajo un criterio personal, basada en cualquier tipo de evidencias disponible.
Las probabilidades subjetivas se asignan a eventos que pueden suceder solo una vez o muy pocas veces.
Ejemplo : a) La probabilidad de que una mujer llegué a ser presidenta de PERU. b) La probabilidad de que el elefante viva eternamente. c) La probabilidad de que quiebre la Bolsa de Valores de New York.
a. La probabilidad de un evento cualquiera es siempre positiva.
b. La probabilidad de un evento cierto o seguro es la probabilidad del espacio muestral, que equivale a la unidad.
AXIOMAS DE PROBABILIDAD
c. La probabilidad de la unión de una familia de eventos mutuamente excluyentes es igual a la suma de las probabilidades de dichos eventos.
De los axiomas de probabilidad resultan los siguientes teoremas.
La probabilidad de un evento toma valores entre cero y uno. Es decir:
TEOREMAS DE LOS AXIOMAS DE PROBABILIDAD
La probabilidad de un evento nulo o imposible es cero. Es decir:
La probabilidad del complemento de un evento está dada por:
Si el evento A es un subconjunto del evento B, entonces:
Es utilizada cuando se desea conocer la probabilidad de ocurrencia de un evento condicionado a la ocurrencia anterior de otro evento.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Se calcula mediante la fórmula:
El símbolo / se lee: DADO, SI y expresa condición.
Donde:
P (B/A): Probabilidad de que ocurra el evento B, dado que el evento A ha ocurrido:
En una comunidad se llevó a cabo una encuesta a 500 personas mayores de 18 años, donde se halló lo siguiente: 300 se encontraba con empleo a tiempo completo y 200 desempleados. Del total de desempleados, 140 eran padres de familia ¿Cuál es la probabilidad de que sea padre de familia dado que se encuentra desempleado?
Ejemplo :
Solución:
Describiendo los eventos. Sean los eventos. E: Personas mayores de 18 años de edad con empleo a tiempo completo. D: Personas mayores de 18 años desempleadas C: Personas mayores de 18 años de edad, que son padres de familia. D ∩ C: Personas mayores de 18 años desempleadas y que son padres de familia. Nos pide:
Se utiliza para calcular la probabilidad conjunta o simultanea de dos o más eventos. Si los eventos A y B son dependientes,
REGLAS DE PROBABILIDAD
Entonces la ocurrencia conjunta de los eventos es:
Si los eventos A, B y C son dependientes, entonces la ocurrencia conjunta de los eventos es:
En un estudio se encontró que la probabilidad de que se incremente el empleo en el Asentamiento Humano “Pedro Ruiz” es de 0.35 de que se incremente el consumo de artículos de primera necesidad es de 0.05 y de que se incremente el consumo de artículos de primera necesidad dado el incremento del empleo es de 0.10.
¿Cuál es la probabilidad de que se incremente el empleo y el consumo de artículos de primera necesidad?
Ejemplo :
Eventos
Probabilidades
A: Incremento del empleo
P(A) = 0.35
B: Incrementos del consumo de artículos de
P(B) = 0.05
Solución: Describiendo los datos según el problema. Sea:
primera necesidad.
B/A: Incremento del consumo de artículos de primera necesidad dado incrementado el empleo.
que
se
ha
P(B/A) = 0.10
Luego:
La probabilidad de que se incremente el empleo y el consumo de artículos de primera necesidad es de 0.035.
Probabilidad de la Suma
Se usa cuando se desea averiguar la probabilidad de que ocurra al menos un evento.
De 200 trabajadores de
una UNPRG, 80 se encuentran aliados a la AFP
Integra 100 se encuentra aliados a la AFP Horizonte y 20 aportan al Sistema Nacional de Pensiones. Si se elige un trabajador al azar, calcular la probabilidad de que se encuentre aliado a la AFP Integra o AFP Horizonte. Solución:
Ejemplo :
Sean los eventos: I: El trabajador está aliado a liado a la AFP Integra. H: El trabajador está P: El trabajador
aliado a la AFP Horizonte.
está aliado al Sistema Nacional de Pen Pensiones. siones.
Si los eventos A y B son independientes:
Ejemplo:
La probabilidad que una persona ahorre en el Banco de Crédito es 0.5, la probabilidad de que ahorre en el Banco Continental es 0.4 y la probabilidad de que ahorre en ambos banco es 0.3. Hallar la
probabilidad de que una persona ahorre en alguno de los bancos. Solución:
Sean eventos:
A: La persona ahorra en el Banco Ba nco de Crédito. Crédito.
B: La persona ahorra en el Banco Continental
A ∩ B: La persona ahorra en ambos bancos.
Además: P (A)= 0.5 P (B) = 0.4
P (AB)= 0.3
Entonces :
Si los eventos A, B y C son independientes, entonces:
En la Universidad de Lima se publican tres revistas: A, B y C. El 30% de los estudiantes lee A, el 20% lee B, el 15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C finalmente 3% lee A, B y C. Se pide calcular el porcentaje de estudiantes que lee al menos una de las revistas:
Ejemplo :
Solución:
Sean los eventos:
A:
El estudiant estudiantee lee la revista A P (A)=0.30
B:
El estudiante lee la revista B P (B) = 0.20
C:
El estudiante lee la revista C P (C)= 0.15
El estudiante lee la revista A y B El estudiante lee la revista El estudiante lee la revista El estudiante lee la revista
Entonces:
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)+P(A∩B∩C)
P(A P( A∪B∪C) C)=0 =0.3 .30+ 0+0. 0.2 20+ 0+0. 0.15 15−0 −0.1 .12− 2−0. 0.09 09−0 −0.0 .06+ 6+0. 0.0 03= 3=0. 0.41 41⇒41 41% %
El 41% de las personas lee al menos una de las revistas.
TABLA DE CONTINGENCIA Y TABLA TABLA DE PROBABILIDAD
Tablas de Contingencia.- Es una tabla de doble entrada que muestra la clasicación de eventos de los espacios muéstrales de dos experimentos aleatorios.
Tablas de probabilidad.- Son aquellas que se obtienen a través de las tablas de contingencia aplicando loa criterios dados. La siguiente tabla N° 3 de probabilidades muestra las probabilidades conjuntas y marginales para una tabla de contingencia de manera general:
P(B1)
P(B2)
P(B3)
…..
P(Bk )
Total
P(A1)
P(A1B1)
P(A1B2)
P(A1B3)
…..
P(A1Bk )
P(A1) P(A
P(A2)
P(A2B1)
P(A2B2)
P(A2B3)
…..
P(A2Bk )
P(A2) P(A
.
.
.
.
…..
.
.
.
.
.
.
…..
.
.
.
.
.
.
…..
.
.
P(Ar )
P(Ar B1)
P(Ar B2)
P(Ar B3)
…..
P(Ar Bk )
P(Ar ) P(A
Total
P(B1)
P(B2)
P(B3)
…..
P(Bk )
1
P(Bi) P(Ai)
TABLA N° 03
TABLA N° 04 Distribución de trabajadores trabajadores por categoría categoría laboral según sexo
Ejemplo : La siguiente tabla N° 4| muestra la clasicación de los trabajadores de una empresa por categoría laboral según sexo.
CATEGORIA LABORAL Sexo
Obrero (o)
Empleado (E)
Funcionario (FU)
Total
Masculino (M)
120
150
30
3 00
Femenino (F)
50
140
10
200
TOTAL
170
290
40
500
Si se elige un trabajador al azar, hallar la probabilidad de que: a) Sea obrero. b) Sea Sea de de sex sexo om mas ascu culi lino no y obr obrer ero o c) Sea Sea em empl plea eado do,, si es es de sex sexo o masc mascul ulin ino o d) Sea Sea de de sexo sexo masc mascul ulin ino, o, si e ess fun funci cion onar ario io e) Sea Sea obre obrero ro O empl emplea eado do
Solución: Construyendo la tabla de probabilidades obtenemos los siguientes resultados .
TABLA N° 05 Tabla de probabilidades de los trabajadores por categoría laboral según sexo
P(E)
P(FU)
P(M)
120/500=0.24
150/500=0.30
30/500=0.06
300/500=0.60
P(F)
50/500=0.10
140/500=0.28
10/500=0.08
200/500=0.40
TOTAL
170/500=0.34
290/500=0.58
40/500=0.08
500/500=0.10
Sexo
Entonces: a) P(O) = 0.34 b) c) d)
CATEGORIA LABORAL P(O)
Total
Es un método que nos permite calcular la probabilidad de que un evento que ya ocurrió sea resultante de alguna causa. Para entender el Teorema de Bayes debemos estudiar.
TEOREMA DE BAYES
Partición de un Espacio Muestral: Se denomina partición del espacio muestral Ω a una colección de k evento A1, A2,…, AK que sean mutuamente excluyente y cuya unión es el espacio muestral, es decir, tales que verican las siguientes condiciones:
a) P (Ai) > 0, para cada i= 1, 2,..k. A A = b) i j
Esquemáticamente: A1
A2
… …
Ak
Partición de Ω
1.11.2. Probabilidad Total: Si k eventos A1, A2,…Ak , constituyen una partición del espacio espacio muestral , entonces entonces para cualquier cualquier evento B en :
=P(=0.34
Esquemáticamente:
B …
A1
A2
…
Ai
Ak
Relación entre el evento B y la partición de Ω
Teorema de Bayes: Bayes: Si los k eventos A 1, A2,…., Ak , constituyen una partición del espacio muestral , entonces para cualquier evento B de tal que P (B) > 0:
, para cada i=1, 2,…, k.
El Teorema de Bayes nos permite comparar la probabilidad previa (o a priori) P (Ai) con la probabilidad posterior posterior (o a posteriori) P (Ai/B). Esto es, P (Ai/B) es la probabilidad de A i corregida o modificada por la ocurrencia del evento B.
Si A es un evento en tal que 0 ≤ P(A) ≤ 1, entonces para un evento B en:
Esquemáticamente:
Ejemplo : Ejemplo: Un ensamblador de computadoras usa partes que provienen de tres proveedores A1, A2, A3. De 2000 partes recibidas 1000 provienen de A1, 600 de A2 y el resto de A3. De expresiones pasadas el ensamblador sabe que las partes defectuosas que provienen de A1, A2, A3 son respectivamente 3%, 4%, y 5%. Si se elige una computadora al azar: a)
¿Cuál ¿Cuál es la proba probabili bilidad dad de que que conten contenga ga una una parte parte defectuo defectuosa? sa?
b) Y si contien contiene e una parte parte defectuo defectuosa, sa, ¿Cuál ¿Cuál es es la proba probabili bilidad dad de de que hayas hayas sido sido proveído por A2?
Solución:
Solución:
Sean los eventos:
: Parte proviene del proveedor proveedor , i=1, 2, 3.
B: Parte defectuosa
Además:
y
Esquemáticamente: A1
0.03
B
0.5 0.3 A 2
0.04
A3
0.05
B
0.2 B
Total P (B) = 0.037
a)
Aplican Aplicando do la rregl eglaa de pr probab obabilid ilidad ad total total se obtie obtiene: ne:
b)
Aplicando el Teorema de Bayes se obtiene:
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